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分式与分式方程 单元专项培优测试卷
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列方程中，属于关于x的分式方程的有（　　）
A． B．
C． D．
2．化简 的结果是（　　）
A． B． C． D．
3．下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
4．化简的结果是（　　）
A． B． C． D．
5．如果把中的和都扩大为原来的5倍，那么分式的值（　　）
A．扩大为原来的4倍 B．不变
C．缩小为原来的 D．扩大为原来的5倍
6．下列运算中，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
7．若关于x的方程无解，则m的值为　　
A． B． C． D．
8．若分式方程有增根，则的值是（　　）
A．3 B．2 C．1 D．
9．人们把这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚的优选法中的法就应用了黄金分割数． 设，，得，记（取正整数），的值为（　　）
A． B． C． D．
10．给定一列数，我们把这列数中第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，以此类推，第n个数记为（n为正整数）．已知，并规定：，，，下列说法：
①；
②；
③对于任意正整数k，都有成立．
其中正确的个数是（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．计算 的结果是　 　.
12．已知，则代数式的值为　 　．
13．某校组织1080名学生去外地参观，现有A、B两种不同型号的客车可供选择.在每辆车刚好满座的前提下，每辆B型客车比每辆A型客车多坐15人，单独选择B型客车比单独选择A型客车少租12辆.设B型客车每辆坐 人，根据题意列方程为　 　.
14．= 　 　.
15．已知、、是互不相等的实数，是任意实数，化简：　 　．
16．若数使关于的不等式组的解集为，且使关于的分式方程的解为负数，则符合条件的所有整数的和为　 　．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17． 已知：，求代数式的值．
18．先化简，再求值：其中，满足．
19．某超市用3000元购进某种干果，由于销售状况良好，超市又用9000元第二次购进该干果，但第二次的进价比第一次的提高了20%，第二次购进干果数量是第一次的2倍还多300千克．
（1）求该干果的第一次进价是每千克多少元？
（2）百姓超市按每千克9元的价格出售，当大部分干果售出后，余下的按售价的8折售完，若两次销售这种干果的利润不少于5820元，则最多余下多少千克干果按售价的8折销售．
20．已知，关于的方程：．
（1）若方程有增根，求的取值；
（2）若方程无解，求的取值；
（3）若方程的解为整数，求整数的值．
21．广州增城是著名的荔枝之乡，优质荔枝品种有“挂绿”“桂味”“糯米糍”“仙进奉”等某荔枝种植基地计划购买挂绿荔枝苗、糯米糍荔枝苗进行种植，已知每株挂绿荔枝苗的价格比每株糯米糍荔枝苗的价格贵元，且用元购买挂绿荔枝苗的株数与用元购买糯米糍荔枝苗的株数相同．
（1）求购买每株挂绿荔枝苗、糯米糍荔枝苗的价格分别是多少元？
（2）该荔枝种植基地计划购买挂绿荔枝苗、糯米糍荔枝苗共100株已知挂绿荔枝苗和糯米糍荔枝苗的成活率分别为和，若要使这批荔枝苗的成活率不低于，且购买荔枝苗的总费用最少，则应购买挂绿荔枝苗、糯米糍荔枝苗各多少株？最少费用是多少元？
22． 4件同型号的产品中，有1件不合格品和3件合格品.
（1）从这4件产品中随机抽取1件进行检测，不放回，再随机抽取1件进行检测. 请用列表法或画树状图的方法，求两次抽到的都是合格品的概率；(解答时可用A表示1件不合格品，用B、C、D分别表示3件合格品)
（2）在这4件产品中加入若干件合格品后，进行如下试验：随机抽取1件进行检测，然后放回，多次重复这个试验，通过大量重复试验后发现，抽到合格品的频率稳定在0.95，则可以推算出大约加入多少件合格品
23．阅读：
对于两个不等的非零实数a，b，若分式的值为零，则或．又因为，所以关于x的方程有两个解，分别为．
应用上面的结论解答下列问题：
（1）方程有两个解，分别为2，________．
（2）关于x的方程的两个解分别为2，_________．
（3）关于x的方程的两个解分别为，求的值．
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分式与分式方程 单元专项培优测试卷
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列方程中，属于关于x的分式方程的有（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：根据分式方程的定义得： ．
故选B．
【分析】根据分式方程的定义：分母中含有未知数的方程，判断即可得到结果．
2．化简 的结果是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】原式=
故答案为：A．
【分析】将分式的除法转化为分式的乘法，约分化简求解答。
3．下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：A、 ，不符合题意；
B、 ，不符合题意；
C、 ，不符合题意.
D、 ，符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据幂的运算、积的运算、合并同类项、完全平方公式即分式的混合运算逐项判定即可。
4．化简的结果是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：
故答案为：C．
【分析】先将分式的分子和分母因式分解，再约分即可。
5．如果把中的和都扩大为原来的5倍，那么分式的值（　　）
A．扩大为原来的4倍 B．不变
C．缩小为原来的 D．扩大为原来的5倍
【答案】D
【解析】【解答】解：原式，
即分式的值扩大为原来的5倍.
故答案为：D.
【分析】把分式 中的和都扩大为原来的5倍，，根据分式的基本性质化简即可.
6．下列运算中，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：A、不是同类项不能合并；
B、根据积的乘方与幂的乘方的运算法则可得原式；
C、原式；
D、根据合并同类项法则可得原式．
故选：C．
【分析】本题主要考查积的乘方、幂的乘方、分式的除法以及合并同类项等基础知识，属于必须掌握的内容。需依据相关运算法则逐项分析判断。
7．若关于x的方程无解，则m的值为　　
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：方程去分母得，x+2=m，则x=m-2
当分母X+3=0即X=-3时，方程无解
所以m-2=-3即m=-1时方程无解
故答案为：B.
【分析】先去分母方程两边同乘以+3，根据无解的定义可求出m。
本题考查了分式方程无解的条件，分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0。
8．若分式方程有增根，则的值是（　　）
A．3 B．2 C．1 D．
【答案】A
【解析】【解答】解：若关于的方程有增根，则为增根．
把方程去分母可得，
把代入可得，
解得．
故答案为：A．
【分析】此题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值，据此可求解．
9．人们把这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚的优选法中的法就应用了黄金分割数． 设，，得，记（取正整数），的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：，
，
∴
，
故答案为：C．
【分析】由积的乘方运算法则的逆用及已知可求出anbn=1，将的右边通分计算后，整体代入约分化简可得，据此分别得出S1、S2、S3、S4、S5、S6的表达式，进而利用裂项相消计算即可．
10．给定一列数，我们把这列数中第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，以此类推，第n个数记为（n为正整数）．已知，并规定：，，，下列说法：
①；
②；
③对于任意正整数k，都有成立．
其中正确的个数是（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】A
【解析】【解答】解：∵，，
∴，，，，
即：这列数以，，，每三个为一个循环，
，
∴，，故①不正确；
∵
∴，
，
，
，
，
，
∴，
∵，
，故②不正确；
由①②可得、分别是以3和6为周期的数列，
当为奇数时，则，，，
，
，
∴，故③不正确；
故选：A．
【分析】先求出前面几个a的值，得出这列数每三个为一个循环，即可求出a15的值，即可判断①，先求出前面几个T的值，得出是每六个为一个循环，即可判断②，结合①②可得、分别是以3和6为周期的数列，进行计算，即可判断③.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．计算 的结果是　 　.
【答案】
【解析】【解答】解：原式
.
故答案为： .
【分析】先将第一个分式的分子、分母分别分解因式，然后约分化为最简形式，再利用同分母分式相减，分母不变，把分子相减，可求出结果.
12．已知，则代数式的值为　 　．
【答案】-1
【解析】【解答】解：原式
，
，
，
∵，
∴，
∴原式，
故答案为：-1．
【分析】把“a”看成“”，先通分计算括号内异分母分式的减法，同时将除式的分子利用完全平方公式分解因式，分母利用提取公因式法分解因式，然后将第一个分式的分子利用那个十字相乘法分解因式，同时根据除以一个不为零的数等于乘以这个数的倒数举哀那个除法转变为乘法，进而计算分式乘法，约分化简；再由得，代入化简后的结果中约分即可求解．
13．某校组织1080名学生去外地参观，现有A、B两种不同型号的客车可供选择.在每辆车刚好满座的前提下，每辆B型客车比每辆A型客车多坐15人，单独选择B型客车比单独选择A型客车少租12辆.设B型客车每辆坐 人，根据题意列方程为　 　.
【答案】
【解析】【解答】解：∵B型客车比每辆A型客车多坐15人
∴A型客车每辆坐（x-15）人
∴根据题意的：
故答案为： .
【分析】由题意知A型客车每辆坐（x-15）人，根据总人数÷每辆客车可坐的人数=客车的辆数，由单独选择B型客车比单独选择A型客车少租12辆列出方程即可.
14．= 　 　.
【答案】
【解析】【解答】 =.
【分析】考查分式的乘除法.
15．已知、、是互不相等的实数，是任意实数，化简：　 　．
【答案】1
【解析】【解答】 解：
=
=
故答案为：1.
【分析】先通分，计算前两项的和，化简，再计算求解即可.
16．若数使关于的不等式组的解集为，且使关于的分式方程的解为负数，则符合条件的所有整数的和为　 　．
【答案】-2
【解析】【解答】解： ，
由①得，x＜-2，
由②得，x≤2a+4，
∵若数使关于的不等式组的解集为 ，
∴2a+4≥-2，
∴a≥-3，
∵
∴1-y-a=-3y-3， ∴， ∵关于的分式方程的解为负数，∴，且， ∴a＜4，且a≠2， ∴-3≤a＜4，且a≠2， ∴符合条件的整数a的值是-3，-2，-1，0，1，3， ∴符合条件的所有整数a的和为-2.
故答案为：-2.
【分析】先计算不等式组的解集，再根据已知不等式组的解集为x＜-2，得出a≥-3，根据分式方程解出，再根据分式方程的解为负数，得出a＜4，且a≠2，进而得出a的所有可能值，计算它们的和即可.
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17． 已知：，求代数式的值．
【答案】解：原式
，
，
．
【解析】【分析】先根据分式的混合运算化简，进而整体代入即可求解。
18．先化简，再求值：其中，满足．
【答案】解：原式
；
∵，
∴，
∴，
∴原式
【解析】【分析】先通分计算括号内异分母分式的加法，同时将除式的分母利用完全平方公式分解因式，并根据除以一个不为零的数等于乘以这个数的倒数将除法转变为乘法，然后计算分式乘法，约分化简；根据绝对值及偶数次幂的非负性，由两个非负数的和为零，则每一个数都等于零可求出x、y的值，然后将x、y的值代入化简后的式子根据有理数加减乘除混合运算的运算顺序计算即可.
19．某超市用3000元购进某种干果，由于销售状况良好，超市又用9000元第二次购进该干果，但第二次的进价比第一次的提高了20%，第二次购进干果数量是第一次的2倍还多300千克．
（1）求该干果的第一次进价是每千克多少元？
（2）百姓超市按每千克9元的价格出售，当大部分干果售出后，余下的按售价的8折售完，若两次销售这种干果的利润不少于5820元，则最多余下多少千克干果按售价的8折销售．
【答案】解：（1）设该种干果的第一次进价是每千克x元，则第二次进价是每千克（1+20%）x元，
由题意，得=2×+300，
解得x=5，
经检验x=5是方程的解．
答：该种干果的第一次进价是每千克5元．
（2）设当大部分干果售出后，余下a千克按售价的8折售完，
由题意得：[+﹣a]×9+9×80%a﹣（3000+9000）≥5820，
解得a≤600．
答：当大部分干果售出后，余下的按售价的8折售完，若两次销售这种干果的利润不少于5820元，则最多余下600千克干果按售价的8折销售．
【解析】【分析】（1）设该种干果的第一次进价是每千克x元，则第二次进价是每千克（1+20%）x元．根据第二次购进干果数量是第一次的2倍还多300千克，列出方程，解方程即可求解．
（2）根据利润=售价﹣进价列出不等式并解答．
20．已知，关于的方程：．
（1）若方程有增根，求的取值；
（2）若方程无解，求的取值；
（3）若方程的解为整数，求整数的值．
【答案】（1）解：去分母，得，
去括号，得，
移项、合并同类项，得，
当时，得，
解得；
当时，得，
解得，
∴若方程有增根，的取值为或；
（2）解：∵，
∴当时原分式方程无解，
∴，
∵当或时方程有增根，
∴若方程无解，的取值为或或；
（3）解：∵，
∴，
∵方程的解为整数，
∴，，
当时，（舍去）；
当时，（舍去）；
当时，；
当时，；
∴或．
【解析】【分析】（）先把m当作常数解关于x的分式方程，即，再由增根的概念即使最简公分母等于0的未知数的值可得关于m的方程并求解即可 ；
（）由于，则由题意知关于m的分式无意义，即m=9；再由增根的概念可知m=6或m=12；即方程无解时m的值有3个；
（）由（1）知，由于方程的解为整数可得或，再分别求解并排除（1）和（2）的结果即可．
21．广州增城是著名的荔枝之乡，优质荔枝品种有“挂绿”“桂味”“糯米糍”“仙进奉”等某荔枝种植基地计划购买挂绿荔枝苗、糯米糍荔枝苗进行种植，已知每株挂绿荔枝苗的价格比每株糯米糍荔枝苗的价格贵元，且用元购买挂绿荔枝苗的株数与用元购买糯米糍荔枝苗的株数相同．
（1）求购买每株挂绿荔枝苗、糯米糍荔枝苗的价格分别是多少元？
（2）该荔枝种植基地计划购买挂绿荔枝苗、糯米糍荔枝苗共100株已知挂绿荔枝苗和糯米糍荔枝苗的成活率分别为和，若要使这批荔枝苗的成活率不低于，且购买荔枝苗的总费用最少，则应购买挂绿荔枝苗、糯米糍荔枝苗各多少株？最少费用是多少元？
【答案】（1）解：设每株糯米糍荔枝苗的价格是a元，则每株挂绿荔枝苗的价格是元，
根据题意，得，解得，
经检验，是所列分式方程的根，且符合题意．
（元）．
答：每株挂绿荔枝苗的价格是32元，每株糯米糍荔枝苗的价格是12元．
（2）解：设购买这批荔枝苗的总费用为y元，购买挂绿荔枝苗x株，则购买糯米糍荔枝苗株．
根据题意，得
．
，
随x的增大而增大．
根据题意，得，
解得，
当时，最小，最小，
（株），
答：应购买挂绿荔枝苗40株，糯米糍荔枝苗60株，最少费用是2000元．
【解析】【分析】（1）设每株糯米糍荔枝苗的价格是a元，则每株挂绿荔枝苗的价格是元，根据用元购买挂绿荔枝苗的株数与用元购买糯米糍荔枝苗的株数相同建立方程，解方程即可求出答案.
（2）设购买这批荔枝苗的总费用为y元，购买挂绿荔枝苗x株，则购买糯米糍荔枝苗株．根据题意建立函数关系式，结合一次函数的性质即可求出答案.
（1）解：设每株糯米糍荔枝苗的价格是a元，则每株挂绿荔枝苗的价格是元，
根据题意，得，解得，
经检验，是所列分式方程的根，且符合题意．
（元）．
答：每株挂绿荔枝苗的价格是32元，每株糯米糍荔枝苗的价格是12元．
（2）设购买这批荔枝苗的总费用为y元，购买挂绿荔枝苗x株，则购买糯米糍荔枝苗株．
根据题意，得
．
，
随x的增大而增大．
根据题意，得，
解得，
当时，最小，最小，
（株），
答：应购买挂绿荔枝苗40株，糯米糍荔枝苗60株，最少费用是2000元．
22． 4件同型号的产品中，有1件不合格品和3件合格品.
（1）从这4件产品中随机抽取1件进行检测，不放回，再随机抽取1件进行检测. 请用列表法或画树状图的方法，求两次抽到的都是合格品的概率；(解答时可用A表示1件不合格品，用B、C、D分别表示3件合格品)
（2）在这4件产品中加入若干件合格品后，进行如下试验：随机抽取1件进行检测，然后放回，多次重复这个试验，通过大量重复试验后发现，抽到合格品的频率稳定在0.95，则可以推算出大约加入多少件合格品
【答案】（1）（1）画出树状图.
由树状图可知，共有12种等可能的情况，抽到的都是合格品的情况有6种，
由此可得P(抽到的都是合格品)==.
（2）设加入x件合格品，
∵大量重复试验后发现，抽到合格品的频率稳定在0.95，
∴抽到合格品的概率等于0.95，
根据题意得=0.95，解得x=16.
经检验，x=16是原分式方程的根.
答：大约加入16件合格品.

【解析】【分析】本题考查概率的求法，用频率估计概率.
（1）先利用树状图表示出所有可能出现的情况，找出抽到的都是合格品的情况，再利用古典型概率的计算公式进行计算可求出答案；
（2）设加入x件合格品，根据频率估计出抽到合格品的概率为：抽到合格品的概率等于0.95，再利用概率公式列出关于x的方程：=0.95，解方程可求出x的值，再进行检验，进而可求出答案.
23．阅读：
对于两个不等的非零实数a，b，若分式的值为零，则或．又因为，所以关于x的方程有两个解，分别为．
应用上面的结论解答下列问题：
（1）方程有两个解，分别为2，________．
（2）关于x的方程的两个解分别为2，_________．
（3）关于x的方程的两个解分别为，求的值．
【答案】（1）4
（2）
（3）解：方程整理得：，
得2x1=n1或2x1=n，
可得x1=，x2=，
则原式=．
【解析】【解答】（1）解：∵2×4=8，2+4=6，
∴方程的两个解分别为x1=2，x2=4．
故答案为：4．
（2）解：方程变形得：，
由题中的结论得：方程有一根为2，另一个根为；
则x1=2，x2=；
故答案为：．
【分析】（1）根据题意结论即可求出答案.
（2）根据题意结论即可求出答案.
（3）根据题意结论即可求出答案.
（1）解：∵2×4=8，2+4=6，
∴方程的两个解分别为x1=2，x2=4．
故答案为：4．
（2）解：方程变形得：，
由题中的结论得：方程有一根为2，另一个根为；
则x1=2，x2=；
故答案为：．
（3）解：方程整理得：，
得2x1=n1或2x1=n，
可得x1=，x2=，
则原式=．
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