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三角形 单元综合模拟测试卷
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．如图，五边形公园中，，张老师沿公园由A点经散步，张老师共转了（　　）
A． B． C． D．
2．如图， 中， ，则 的度数是（　　）
A．50° B．60° C．70° D．80°
3．如图，∠ABC＝∠ACB，AD、BD、CD分别平分△ABC的外角∠EAC、内角∠ABC、外角∠ACF.以下结论：①AD∥BC；②∠BDC＝ ∠BAC；③∠ADC＝90°－∠ABD； ④BD平分∠ADC.其中正确的结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．如图， 是 的外角， ， 则 的大小是 （　　）
A． B． C． D．
5．如图，为估计池塘岸边A、B两点的距离，小方在池塘的一侧选取一点O，测得OA＝15米，OB＝10米，A、B间的距离不可能是（　　）
A．5米 B．10米 C．15米 D．20米
6．一个三角形三个内角的度数之比为，这个三角形一定是（　　）
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形
7．如图，小贤将一根长度为10cm的红色小棒分成两段，使它们可以和另一根绿色小棒首尾相接构成一个三角形．若绿色小棒长为acm（a为正整数），则a的最大值为（　　）
A．10 B．9 C．8 D．7
8．分别剪一些边长相同的①正三角形，②正方形，③正五边形，如果用其中一种正多边形镶嵌，可以镶嵌成一个平面图案的有（　　）
A．①② B．②③
C．①③ D．①②③都可以
9．如图，已知△ABC的内角∠A=α，分别作内角∠ABC与外角∠ACD的平分线，两条平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC和∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2；…以此类推得到∠A2017，则∠A2017的度数是（　　）
A． α B．90+ α C． α D． α
10．如图，在△ABC中，BE平分∠ABC交AC于点E，CD⊥AC交AB于点D，∠BCD=∠A，则∠BEA的度数（　　）
A．155° B．135° C．108° D．100°
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11． 如图，中，，于点D，，，则　 　.
12．将一副三角尺按如图所示的方式叠放，则的度数为　 　．
13．如图，在五边形中，，去掉后得到一个六边形，则的度数为　 　．
14．如图，AD⊥BC，BE是△ABC的角平分线，BE，AD相交于点F，若∠BAD=44°，则∠BFD=　 　.
15．已知a，b，c为三角形的三边，化简 的结果是　 　。
16．如图ABDE，BF平分∠ABC，反向延长射线BF，与∠EDC的平分线DG相交于点P，若∠BPD＝44°，则∠C＝　 　.
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．已知△ABC的三个内角分别是∠A、∠B、∠C，若∠A=30°，∠C=2∠B，求∠B的度数．
18． 中， ， ， 平分 交 于点D，求 的度数．
19．若两个多边形的边数之比是1：2，内角和度数之和为1440°，求这两个多边形的边数．
20．已知的三边a，b，c满足，，且．
（1）求c的取值范围；
（2）若的周长为，求c的值．
21．如图所示．、分别是的角平分线和高．
（1）若，，求的度数；
（2）试探究、、之间的数量关系，并说明理由．
22．如图1，已知，连接AD和BC交于点.
（1）求证：；
（2）如图2，点F，G分别在线段BE，ED上，且，且.
①若，求的度数；
②当　 　时，为定值，此时定值为　 　.
23．直线MN与直线PQ垂直相交于点O，点A在射线OP上运动（点A不与点O重合），点B在射线OM上运动（点B不与点O重合）．
（1）如图1，已知AE、BE分别是∠BAO和∠ABO的角平分线，
①当∠ABO＝60°时，求∠AEB的度数；
②点A、B在运动的过程中，∠AEB的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明变化的情况：若不发生变化，试求出∠AEB的大小；
（2）如图2，延长BA至G，已知∠BAO、∠OAG的角平分线与∠BOQ的角平分线所在的直线分别相交于E、F，在△AEF中，如果有一个角是另一个角的3倍，请直接写出∠ABO的度数．
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三角形 单元综合模拟测试卷
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．如图，五边形公园中，，张老师沿公园由A点经散步，张老师共转了（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：∵五边形的外角和为：，
∴张老师共转了；
故选D．
【分析】 本题考察多边形外角和定理及邻补角的性质，多边形的外角和是固定的360°，张老师散步过程中的转向角度总和与多边形的外角和相关，但需排除∠BAE的邻补角。首先，∠BAE=90°，其邻补角为；张老师的转向角度总和等于五边形的外角和减去这个邻补角，即，因此张老师共转了270°。
2．如图， 中， ，则 的度数是（　　）
A．50° B．60° C．70° D．80°
【答案】D
【解析】【解答】解：在 中， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
故答案为：D．
【分析】利用三角形内角和定理求出∠C，再根据平行线的性质求出∠AED即可。
3．如图，∠ABC＝∠ACB，AD、BD、CD分别平分△ABC的外角∠EAC、内角∠ABC、外角∠ACF.以下结论：①AD∥BC；②∠BDC＝ ∠BAC；③∠ADC＝90°－∠ABD； ④BD平分∠ADC.其中正确的结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】【解答】解：∵AD平分∠EAC，
∴∠EAC=2∠EAD，
∵∠EAC=∠ABC+∠ACB，∠ABC=∠ACB，
∴∠EAD=∠ABC，
∴AD∥BC，
∴①正确；
∵∠ACF=2∠DCF，∠ACF=∠BAC+∠ABC，∠ABC=2∠DBC，∠DCF=∠DBC+∠BDC，
∴∠BAC=2∠BDC，
∠BDC＝ ∠BAC，
∴②正确；
在△ADC中，∠ADC+∠CAD+∠ACD=180°，
∵CD平分△ABC的外角∠ACF，
∴∠ACD=∠DCF，
∵AD∥BC，
∴∠ADC=∠DCF，∠ADB=∠DBC，∠CAD=∠ACB
∴∠ACD=∠ADC，∠CAD=∠ACB=∠ABC=2∠ABD，
∴∠ADC+∠CAD+∠ACD=∠ADC+2∠ABD+∠ADC=2∠ADC+2∠ABD=180°，
∴∠ADC+∠ABD=90°
∴∠ADC=90°-∠ABD，
故③正确；
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC，
∵∠ADB=∠DBC，∠ADC=90°- ∠ABC，
∴∠ADB不等于∠CDB，
∴④不正确；
即正确的有3个，
故答案为：C.
【分析】利用角平分线的定义，可知∠EAC=2∠EAD，利用三角形外角的性质，可得到∠EAC=∠ABC+∠ACB，由此可推出∠EAD=∠ABC，再根据同位角相等，两直线平行，就可对①作出判断；利用角平分线的定义，可得到∠ACF=2∠DCF，∠ABC=2∠DBC，再根据三角形外角的性质，就可推出∠ACF=∠BAC+∠ABC，∠DCF=∠DBC+∠BDC，继而可推出∠BAC=2∠BDC，可对②作出判断；在△ADC中，利用三角形内角和定理，可得到∠ADC+∠CAD+∠ACD=180°，利用角平分线的定义，就可推出∠ACD=∠DCF，然后利用平行线的性质，去证明∠ADC+∠ABD=90°，即可对③作出判断；利用角平分线的定义及平行线的性质，可知∠ABD=∠DBC，∠ADB=∠DBC，∠ADC=90°- ∠ABC，由此可得到∠ADB≠∠CDB，可对④作出判断，综上所述，可得到正确结论的个数。
4．如图， 是 的外角， ， 则 的大小是 （　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：∵∠CBD为△ABC的外角，
∴∠CBD=∠A+∠C.
∵∠CBD=120°，∠A=40°，
∴∠C=∠CBD－∠A=80°.
故答案为：B.
【分析】三角形的外角等于与它不相邻的内角的和，据此计算即可.
5．如图，为估计池塘岸边A、B两点的距离，小方在池塘的一侧选取一点O，测得OA＝15米，OB＝10米，A、B间的距离不可能是（　　）
A．5米 B．10米 C．15米 D．20米
【答案】A
【解析】【解答】解：连接AB，根据三角形的三边关系定理得：
15﹣10＜AB＜15+10，
即：5＜AB＜25，
∴A、B间的距离在5和25之间，
∴A、B间的距离不可能是5米.
故答案为：A.
【分析】连接AB，根据三角形的三边关系可得5＜AB＜25，据此判断.
6．一个三角形三个内角的度数之比为，这个三角形一定是（　　）
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形
【答案】D
【解析】【解答】解：
三角形最大内角大于90度，是钝角三角形
故答案为：D
【分析】根据三角形内角和180°和钝角三角形定义判定。
7．如图，小贤将一根长度为10cm的红色小棒分成两段，使它们可以和另一根绿色小棒首尾相接构成一个三角形．若绿色小棒长为acm（a为正整数），则a的最大值为（　　）
A．10 B．9 C．8 D．7
【答案】B
【解析】【解答】解：设红色小棒分成的两段中的一段为，则另一段为，
由三角形三边关系可得：，
即，
为正整数，
的最大值为，
故答案为：B
【分析】设红色小棒分成两段，分别长为和，根据三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，可得，结合“为正整数”即可求解。
8．分别剪一些边长相同的①正三角形，②正方形，③正五边形，如果用其中一种正多边形镶嵌，可以镶嵌成一个平面图案的有（　　）
A．①② B．②③
C．①③ D．①②③都可以
【答案】A
【解析】【解答】①正三角形的每个内角是60°，能整除360°，能密铺，符合题意；②正方形的每个内角是90°，4个能密铺，符合题意；③正五边形每个内角是180°﹣360°÷5=108°，不能整除360°，不能密铺，不符合题意．故可以镶嵌成一个平面图案的有：①②．故选A．
【分析】分别求出各个正多边形的每个内角的度数，再利用镶嵌应符合一个内角度数能整除360即可作出判断．
9．如图，已知△ABC的内角∠A=α，分别作内角∠ABC与外角∠ACD的平分线，两条平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC和∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2；…以此类推得到∠A2017，则∠A2017的度数是（　　）
A． α B．90+ α C． α D． α
【答案】D
【解析】【解答】△ABC中，∵∠A=∠ACD ∠ABC，A1是∠ABC角平分与∠ACD的平分线的交点，∠A=α，
∴∠A1=∠A1CD ∠A1BC= (∠ACD ∠ABC)= ∠A；
同理可得，∠A2= ∠A1= ∠A，
∠A3= ∠A2= ∠A，
…
依此类推，∠An= ∠A.
∴∠A2017= α，
故答案为：D.
【分析】由三角形的外角性质知：∠A=∠ACD-∠ABC，而∠A1= （∠ACD-∠ABC），即∠A1= ∠A，同理可得，∠A2= ∠A1，依此类推即可.
10．如图，在△ABC中，BE平分∠ABC交AC于点E，CD⊥AC交AB于点D，∠BCD=∠A，则∠BEA的度数（　　）
A．155° B．135° C．108° D．100°
【答案】B
【解析】【解答】解：∠AEB=∠BCE+∠CBE
=∠ECF+∠BCD+∠CBE
=90°+∠A+∠B，
∠BCE=∠A+∠ABE=∠A+∠B，
∴∠AEB+∠BCE=90°+2（∠A+∠B）=180°，
∴∠A+∠B=45°，
∴∠AEB=90°+∠A+∠B=135°.
故答案为：B.
【分析】利用三角形外角的性质把∠AEB和∠BEC分别用含∠A+∠B的代数式表示，然后利用补角的性质列等式求得∠A+∠B为45°，则∠BCE的度数可知.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11． 如图，中，，于点D，，，则　 　.
【答案】16
【解析】【解答】解：因为∠ACB=90°，∠BCD=36°，所以， .因为 CD⊥AB 于点 D，所以∠ADC =90°，所以∠CAD=90°-54°= 36°. 因为∠CEA = 70°，所以∠CAE =90°-70°=20°，所以∠EAB=∠CAD-∠CAE=
故答案为：16.
【分析】先根据 得出 的度数，再由 于点D可知 故可得出 的度数，由 可得出∠CAE的的度数，进而得出. 的度数.
12．将一副三角尺按如图所示的方式叠放，则的度数为　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：
，，，
，
，
．
故答案为：．
【分析】根据三角形的外角性质可得∠2=∠3+∠4，再根据邻补角即可求得∠1=180°-∠2.
13．如图，在五边形中，，去掉后得到一个六边形，则的度数为　 　．
【答案】215°
【解析】【解答】解：∵五边形的内角和为，
∴，
∴，
∵六边形的内角和为，
∴，
∴
，
∵，
∴.
即的度数为215°.
故答案为：215°.
【分析】先利用多边形的内角和公式求出，再计算即可。
14．如图，AD⊥BC，BE是△ABC的角平分线，BE，AD相交于点F，若∠BAD=44°，则∠BFD=　 　.
【答案】67°
【解析】【解答】解：AD⊥BC，
∠ADB=90°，
∠BAD=44° ，
∠ABD=90°-∠BAD=46°，
又BE是△ABC的角平分线 ，
∠DBF=∠ABD=23°，
∠BFD= 180°-∠ADB-∠DBF=180°-90°-23°=67°.
故答案为：67°.
【分析】先利用垂直的定义和三角形内角和定理求得∠ABD=46°，再根据角平分线的定义求得∠DBF=23°，再利用三角形内角和定理求解即可.
15．已知a，b，c为三角形的三边，化简 的结果是　 　。
【答案】2b-2c
【解析】【解答】解：∵a，b，c为三角形的三边，
∴a+b＞c，a+c＞b，
∴a+b-c＞0，b-a-c＜0，
∴原式=a+b-c-（a+c-b）
=a+b-c-a-c+b
=2b-2c．
故答案为：2b-2c．
【分析】根据三角形的三边关系以及绝对值的性质即可求解．
16．如图ABDE，BF平分∠ABC，反向延长射线BF，与∠EDC的平分线DG相交于点P，若∠BPD＝44°，则∠C＝　 　.
【答案】92°
【解析】【解答】解：如图，延长AB交PD于点M，过点C作CN∥AB，
∵BF平分∠ABC，DG平分∠EDC，
∴设∠ABF＝∠FBC＝x，∠CDP＝∠EDP＝y，
∴∠MBP＝∠ABF＝x，
∵AB∥DE，
∴∠AMD＝∠EDP＝y，
∵∠AMD＝∠BPD＋∠MBP，∠BPD＝44°，
∴y＝44°＋x，
∴y－x＝44°，
∵AB∥DE，CN∥AB，
∴CN∥DE，
∴∠CDE＋∠NCD＝180°，
∴∠NCD＝180°－∠CDE＝180°－2y，
∵CN∥AB，
∴∠NCB＝∠ABC＝2x，
∴∠BCD＝∠NCD＋∠NCB
＝180°－2y＋2x
＝180°－2（y－x）
＝180°－2×44°
＝92°，
故答案为：92°.
【分析】延长AB交PD与点M，过点C作CN∥AB，利用角平分线的定义可设∠ABF＝∠FBC＝x，∠CDP＝∠EDP＝y，可得到∠MBP＝∠ABF＝x；再利用平行线的性质表示出∠AMD的度数，利用三角形的外角的性质可用含x的代数式表示出y；利用两直线平行，同旁内角互补，可表示出∠NCD的度数，同时可表示出∠NCB的度数；然后根据∠BCD＝∠NCD＋∠NCB，代入计算求出∠C的度数.
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．已知△ABC的三个内角分别是∠A、∠B、∠C，若∠A=30°，∠C=2∠B，求∠B的度数．
【答案】解：∵∠A=30°，
∴∠B+∠C=180°﹣∠A=150°，
∵∠C=2∠B，
∴3∠B=150°，
∴∠B=50°．
【解析】【分析】根据三角形内角和定理求出∠B+∠C的度数，把∠C=2∠B代入求出即可．
18． 中， ， ， 平分 交 于点D，求 的度数．
【答案】解：根据三角形内角和是 得
平分 ，
【解析】【分析】先利用三角形的内角和求出∠ABC的度数，再利用角平分线的定义可得∠ABD，再利用三角形的外角的性质可得∠BDC=∠A+∠ABD。
19．若两个多边形的边数之比是1：2，内角和度数之和为1440°，求这两个多边形的边数．
【答案】解：设多边形较少的边数为n，则
（n 2） 180°＋（2n 2） 180°＝1440°，
解得n＝4．
2n＝8．
故这两个多边形的边数分别为4，8．
【解析】【分析】设多边形较少的边数为n，列出方程并解答即可。
20．已知的三边a，b，c满足，，且．
（1）求c的取值范围；
（2）若的周长为，求c的值．
【答案】（1）解：由题意有，且，，
∴，
∴
又∵
∴
故
又因为
∴.
（2）解：∵周长为∴
又∵，
∴
∴，
【解析】【分析】（1）根据三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边得出|，结合，得出，故解不等式即可求出c的取值范围；
（2）由三角形的周长为，得出，结合（1）的条件得出，即可作答．
（1）解：由题意有，且，，
∴，
∴
又∵
∴
故
又因为
∴
（2）解：∵周长为
∴
又∵，
∴
∴，
21．如图所示．、分别是的角平分线和高．
（1）若，，求的度数；
（2）试探究、、之间的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）解：∵在中，，，∴，
∵，分别是的角平分线和高，
∴，，
∴，
∴；
（2）解：∵，分别是的角平分线和高，∴，，
∴，
∴
．
【解析】【分析】本题考查三角形的内角和定理、三角形的角平分线、高线的定义，直角三角形两锐角互余的性质．熟记定理并准确识图是解题的关键.
（1）先根据三角形的内角和求出，再利用角平分线的定义和直角三角形的两锐角互余求得，，再利用三角形内角和求解即可求得的度数 ；
（2）综合利用三角形内角和、角平分线和直角三角形锐角互余的特点，推出，，再根据内角和表示出，进行等量代换并化简，即可得到、、之间的数量关系 ．
（1）解：∵在中，，，
∴，
∵，分别是的角平分线和高，
∴，，
∴，
∴；
（2）解：∵，分别是的角平分线和高，
∴，，
∴，
∴
．
22．如图1，已知，连接AD和BC交于点.
（1）求证：；
（2）如图2，点F，G分别在线段BE，ED上，且，且.
①若，求的度数；
②当　 　时，为定值，此时定值为　 　.
【答案】（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠ABC=∠BCD，
∵∠AEC是△ABE的一个外角，
∴∠AEC=∠DAB+∠ABC=∠BAD+∠BCD；
（2）2；175°
【解析】【解答】解：（2）①设∠BAF=x°，∠ECG=y°，
∵∠EAF=2∠BAF，∠DCG=2∠ECG，
∴∠EAF=2x°，∠DCG=2y°，
∴∠BAD=3x°，∠BCD=3y°，
由（1）知∠AEC=∠BAD+∠BCD，
又∠AEC=75°，
∴3x°+3y°=75°，
∴x+y=25①，
∵∠AEC是△AFE的一个外角，
∴∠AEC=∠AFE+∠EAF=∠AFE+2x°，
∵∠AEC是△EGC的一个外角，
∴∠AEC=∠ECG+∠EGC=y°+∠EGC，
∴∠AFE+2x°=y°+∠EGC，
∴2x°-y°=∠EGC-∠AFE，
又∠EGC-∠AFE=5°，
∴2x-y=5②，
联立①②求解可得x=10，y=15，
∴∠BCD=3y°=45°；
②由①可得x+y=25，
∴y=25-x，
∵∠AEC=∠AFE+2x°，∠AEC=∠EGC+y°，
∴∠AFE=∠AEC-2x°=75°-2x°，∠EGC=∠AEC-y°=75°-y°=75°-（25-x）°=50+x°，
∴∠AFE+k∠EGC=75°-2x°+k(50+x°)=（k-2）x°+75°+50°k，
∵（∠AFE+k∠EGC）是定值，
∴k-2=0，
∴k=2，
∴∠AFE+k∠EGC=75°+50°×2=175°，
当k=2时，（∠AFE+k∠EGC）是定值，此时这个定值为175°.
故答案为：2，175°.
【分析】（1）由二直线平行，内错角相等得∠ABC=∠BCD，进而根据三角形的一个外角等于与之不相邻的两个内角的和得∠AEC=∠DAB+∠ABC，最后等量代换即可得出答案；
（2）①设∠BAF=x°，∠ECG=y°，则∠EAF=2x°，∠DCG=2y°，∠BAD=3x°，∠BCD=3y°，由（1）的结论可得x+y=25①，然后利用三角形外角性质及已知可得2x-y=5②，联立①②求解可得x、y的值，从而此题得解；
②由①可得y=25-x，∠AFE=75°-2x°，∠EGC=50+x°，则∠AFE+k∠EGC=75°-2x°+k(50+x°)=（k-2）x°+75°+50°k，根据（∠AFE+k∠EGC）是定值，可得k-2=0，从而求解即可解决此题.
23．直线MN与直线PQ垂直相交于点O，点A在射线OP上运动（点A不与点O重合），点B在射线OM上运动（点B不与点O重合）．
（1）如图1，已知AE、BE分别是∠BAO和∠ABO的角平分线，
①当∠ABO＝60°时，求∠AEB的度数；
②点A、B在运动的过程中，∠AEB的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明变化的情况：若不发生变化，试求出∠AEB的大小；
（2）如图2，延长BA至G，已知∠BAO、∠OAG的角平分线与∠BOQ的角平分线所在的直线分别相交于E、F，在△AEF中，如果有一个角是另一个角的3倍，请直接写出∠ABO的度数．
【答案】解：（1）①∵MN⊥PQ，∴∠AOB＝90°，
∵∠ABO＝60°，
∴∠BAO＝30°，
∵AE、BE分别是∠BAO和∠ABO的角平分线，
∴∠ABE＝∠ABO＝30°，∠BAE＝∠BAO＝15°，
∴∠AEB＝180°﹣∠ABE﹣∠BAE＝135°．
②∠AEB的大小不会发生变化．理由如下：
∵AE、BE分别是∠BAO和∠ABO的角平分线，
∴∠ABE＝∠ABO，∠BAE＝∠BAO，
∴∠AEB＝180°﹣∠ABE﹣∠BAE＝180°﹣∠ABO﹣∠BAO
＝180°﹣（∠ABO+∠BAO）＝180°﹣×90°＝135°．
(2)∠ABO的度数为60°或45°
【解析】【解答】解：（2）∠ABO的度数为60°或45°．理由如下：
∵∠BAO、∠OAG的角平分线与∠BOQ的角平分线所在的直线分别相交于E、F，
∴∠OAE+∠OAF＝（∠BAO+∠GAO）＝90°，即∠EAF＝90°，
又∵∠BOA＝90°，
∴∠GAO＞90°，
①∵∠E＝∠EAF＝30°，
∠EOQ＝45°，∠OAE+∠E＝∠EOQ＝45°，
∴∠OAE＝15°，
∠OAE＝∠BAO＝（90﹣∠ABO）
∴∠ABO＝60°．
②∵∠F＝3∠E，∠EAF=90°
∴∠E+∠F=90°
∴∠E=22.5°
∴∠EFA=90-22.5°=67.5°
∵∠EOQ＝∠EOM= ∠AOE= 45°，
∴∠BAO＝180°-(180°-45°-67.5°)×2=45°
∴∠ABO=90°-45°=45°.
【分析】（1）①先根据垂直和三角形内角和定理求出∠BAO，再根据角分线的定义求出∠ABE和∠BAE，最后在根据三角形的内角和定理求解即可；
②先根据角分线的定义求出∠ABE和∠BAE，再根据三角形的内角和定理得到AEB＝180°﹣∠ABE﹣∠BAE，进行计算即可；
（2）先根据角平分线的定义和平角求出∠EAF，再分∠E＝∠EAF和∠F＝3∠E两种情况讨论即可.
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