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第18章 矩形、菱形与正方形 单元综合知识梳理卷
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（　　）
A．对角线互相垂直 B．对角线相等
C．对角线互相平分 D．对角相等
2．如图，在中，对角线，交于点，，点，，分别是，，的中点，交于点．有下列4个结论：①；②；③；④，其中说法正确的有（　　）
A．①②③ B．①③④ C．②④ D．①②③④
3．如图，矩形的对角线、相交于点，，，，若，则四边形的周长为（　　）
A．4 B．8 C．10 D．12
4．如图，在菱形中，，对角线交于点O，E为的中点，连接，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
5．如图，E、F分别是正方形ABCD的边AB、BC上的点，且AE=BF，CE和DF相交于点O，有下列结论：
①CE=DF；②CE⊥DF；③CO=OE；④S△C0D=S四边形0EBF．
其中正确的有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
6．如图，矩形OABC的顶点O，A，C的坐标分别是（0，0），（3，0），（0，2）， OADE与矩形OABC周长相等， OADE的面积是矩形OABC面积的一半，则点D的坐标为（　　）
A． B． C．（5，1） D．
7．已知：正方形中，对角线、相交于点，的角平分线交于点，交于点，，则（　　）
A． B． C． D．
8．如图 ， 在矩形 中， 为 的中点， 连结 并延长， 交 的延长线于点 为 上的一点， 当 时， 的长为（　　）
A． B． C．4 D．
9．如图，在正方形中，P为上一点（点P不与点B，C重合），于G，并交于点H，过C作交AH延长线于点F，则的值为（　　）
A． B． C． D．
10．如图，在中，，于，的平分线交于点，交于，于，的延长线交于点．下列五个结论：①；②；③；④；⑤连接，若，则．其中正确的结论有（　　）
A．①②④ B．①②③ C．①②③⑤ D．①②③④⑤
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．用直角边分别为3和4的两个直角三角形拼成一个平行四边形（非矩形），所得的平行四边形的周长是　 　．
12．如图，菱形的周长为，，，分别是、上的动点，则的最小值为　 　．
13．如图，在正方形的内部作等边三角形，则的度数是　 　 ．
14．如下图，正方形ABCD的边AB在x轴上，A（﹣4，0），B（﹣2，0），定义：若某个抛物线上存在一点P，使得点P到正方形ABCD四个顶点的距离相等，则称这个抛物线为正方形ABCD的“友好抛物线”．若抛物线y=2x2﹣nx﹣n2﹣1是正方形ABCD的“友好抛物线”，则n的值为　 　．
15．折叠矩形纸片ABCD时，发现可以进行如下操作：①把△ADE翻折，点A落在DC边上的点F处，折痕为DE，点E在AB边上；②把纸片展开并铺平；③把△CDG翻折，点C落在直线AE上的点H处，折痕为DG，点G在BC边上，若AB=AD+2，EH=1，则AD=　 　。
16．如图，矩形ABCD中，AB=1，AD=2，E是AD中点，P在射线BD上运动，若△BEP为等腰三角形，则线段BP的长度等于　 　．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图所示，在菱形中，对角线，相交于点，过点作，且，连接.
（1）求证：四边形是矩形；
（2）连接，交于点，连接，若，，求的长.
18．如图是由全等的小菱形组成的网格，点A，B，P均在格点上，.
（1）求证：；
（2）请你画出一个顶点都在格点上且面积最大的矩形；
（3）满足(2)中条件的矩形一共能画出　 　个.
19．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD为AC的中线，过点C作CE⊥BD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG＝BD，连接BG，DF．
（1）猜想四边形BDFG的形状，并说明理由；
（2）若AF＝8，CF＝6，求四边形BDFG的周长．
20．如图，的对角线AC、BD相交于点O，，OE与AB交于点F．
（1）在不添加新的点和线的前提下，增加一个条件： ▲ ，使得四边形AOBE是矩形，并说明理由；
（2）若，求的面积．
21．如图，在△ABC中，D，E分别是边 AB，AC 的中点，且BE=2DE.延长 DE 至点 F，使得EF=BE，连结CF.
（1）求证：四边形 BCFE 是菱形.
（2）若 CE= 6，∠BEF =120°，求四边形BCFE的面积.
22．已知矩形，，，将矩形绕A顺时针旋转，得到矩形，点B的对应点是点E，点C的对应点是点F，点D的对应点是点G．
（1）如图①；当时，连接，求的长；
（2）如图②，当边经过点D时，延长交于点P，求的长；
（3）连接，点M是的中点，连接，在旋转过程中，线段的最大值　 　．
23．如图，已知正方形，，点在边上，射线交于点，交射线于点，过点作，交于点．
（1）求证：≌．
（2）判断的形状，并说明理由．
（3）作的中点，连结，若，求的长．
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第18章 矩形、菱形与正方形 单元综合知识梳理卷
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（　　）
A．对角线互相垂直 B．对角线相等
C．对角线互相平分 D．对角相等
【答案】B
【解析】【解答】解：矩形的对角线相等，而平行四边形的对角线不一定相等．
故选：B．
【分析】矩形的对角线互相平分且相等，而平行四边形的对角线互相平分，不一定相等．
2．如图，在中，对角线，交于点，，点，，分别是，，的中点，交于点．有下列4个结论：①；②；③；④，其中说法正确的有（　　）
A．①②③ B．①③④ C．②④ D．①②③④
【答案】D
【解析】【解答】解：①∵四边形是平行四边形，
∴．
∵，
∴．
∵为中点，
∴．
故①正确．
②∵，是中点，
∴．
∵分别是中点，
∴．
∵四边形是平行四边形，
∴．
∴．
故②正确．
如下图所示，连结和．
③如上图所示：∵四边形是平行四边形，
∴，．
∵分别是中点，
∴．
∴，即．
∵，，
∴．
∴四边形是平行四边形．
∴．
故③正确．
④∵四边形是平行四边形，
∴，
又∵为的中点，
∴，故④正确
故答案为：D．
【分析】
根据平行四边形ABCD的性质及，即可得到等腰三角形，再由等腰三角形的性质“三线合一”故①正确；根据平行四边形的性质得AB=CD，再由三角形中位线定理和直角三角形斜边中线的性质即可判断②；连接FG，得平行四边形即可判断③；由平行四边形及三角形中线的性质即可判断④.
3．如图，矩形的对角线、相交于点，，，，若，则四边形的周长为（　　）
A．4 B．8 C．10 D．12
【答案】B
【解析】【解答】解：四边形是矩形，
，，，
，
，
，
是等边三角形，
，
，，
四边形是平行四边形，
四边形是菱形，
四边形的周长为：
故答案为：B.
【分析】根据矩形的性质可得BD=AC，DO=BO，AO=CO，则AO=DO，由邻补角的性质可得∠DOA=60°，推出△AOD为等边三角形，得到DO=AO=AD=OC=2，推出四边形CODE是菱形，据此不难求出其周长.
4．如图，在菱形中，，对角线交于点O，E为的中点，连接，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：∵在菱形中，，
∴，，O为的中点，
∵E为的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴，
∴，
故答案为：C．
【分析】由菱形的每一条对角线平分一组对角求得，由菱形的对角线互相垂直得，由菱形的对角线互相平分得点O是BD的中点，根据三角形中位线平行于第三边得到，由二直线平行，同位角相等求得，最后根据∠AOE=∠AOD+∠DOE列式计算即可.
5．如图，E、F分别是正方形ABCD的边AB、BC上的点，且AE=BF，CE和DF相交于点O，有下列结论：
①CE=DF；②CE⊥DF；③CO=OE；④S△C0D=S四边形0EBF．
其中正确的有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴CD=BC，
∵AE=BF，
∴BE=CF，
在△BEC与△CFD中，
，
∴△BEC≌△CFD，
∴CE=DF（故①正确），S△BEC=S△CFD，∠BEC=∠DFC，∠BCE=∠FDC，
∵S△COD=S△CFD﹣S△OFC，
S四边形OEBF=S△BCE﹣S△OFC，
∴S△COD=S四边形OEBF（故④正确），
∵∠BEC+∠ECB=∠DFC+∠ECB=90°
∴∠DFC+∠ECB=90°
∴CE⊥DF一定成立（故②正确）．
假设CO=OE，
∵CE⊥DF（已证），
∴CF=EF（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等），
∵在Rt△BEF中，EF＞BE，
∴EF＞CF，这与正方形的边长EF=CFC相矛盾，
∴，假设不成立，CO≠OE（故③错误）；
故选：B
【分析】根据四边形ABCD是正方形及AE=BF，可证出△BEC≌△CFD，则得到：①CE=DF，以及△BEC和△CFD的面积相等，得到；④S△COD=S四边形OEBF；可以证出∠OFC+∠FCO=90°，则②CE⊥DF一定成立．错误的结论是：③CO=OE．
6．如图，矩形OABC的顶点O，A，C的坐标分别是（0，0），（3，0），（0，2）， OADE与矩形OABC周长相等， OADE的面积是矩形OABC面积的一半，则点D的坐标为（　　）
A． B． C．（5，1） D．
【答案】A
【解析】【解答】解：过点D作DF⊥x轴于点F，则∠AFD=90°
即△AFD是直角三角形
∵矩形OABC的顶点O，A，C的坐标分别是（0，0），（3，0），（0，2）
∴OA=BC=3，AB=OC=2
∴矩形OABC的周长为2(OA+AB)=10，面积为
∵四边形OADE是平行四边形
∴AD=DE，DE=OA=3
∴平行四边形OADE的周长为2(OA+AD)=2(3+AD)，面积为
∵ OADE与矩形OABC周长相等， OADE的面积是矩形OABC面积的一半，
∴2(3+AD)=10，
∴AD=2，DF=1
∴
∴
∴点D的坐标为
故答案为：A
【分析】过点D作DF⊥x轴于点F，则∠AFD=90°，即△AFD是直角三角形，根据两点间距离可得OA=BC=3，AB=OC=2，求出矩形OABC的周长与面积，根据平行四边形性质可得AD=DE，DE=OA=3，再求出平行四边形OADE的周长与面积，根据题意建立等式，可得AD=2，DF=1，再根据勾股定理可得AF，再根据边之间的关系可得OF，再根据点的坐标即可求出答案.
7．已知：正方形中，对角线、相交于点，的角平分线交于点，交于点，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：如图，作FH∥BC交BD于点H.
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠OBC=∠OCB=45°，OB=OC，∠BOC=90°
∵FH∥BC，
∴∠OHF=∠OBC，∠OFH=∠OCB，
∴∠OHF=∠OFH，
∴OH=OF=1，，
∵BF平分∠OBC，
∴∠HBF=∠FBC=∠BFH，
∴，
∴，
∴.
故答案为：A.
【分析】作FH∥BC交BD于点H，根据正方形的性质可得∠OBC=∠OCB=45°，OB=OC，∠BOC=90°，由平行线的性质可得∠OHF=∠OBC，∠OFH=∠OCB，则∠OHF=∠OFH，推出OH=OF=1，由勾股定理可得FH，由角平分线的概念以及平行线的性质可得∠HBF=∠FBC=∠BFH，则BH=FH，据此求解.
8．如图 ， 在矩形 中， 为 的中点， 连结 并延长， 交 的延长线于点 为 上的一点， 当 时， 的长为（　　）
A． B． C．4 D．
【答案】B
【解析】【解答】解：E为CE的中点得DE=CE，ABCD为矩形知AD||BC，得∠DAE=∠CFE，又∠AED=∠CEF得△ADE≌△FCE，故CF=2AD=4；而得∠PAE=∠CFE，故PA=PF，设PA=m，则PF=m，BP=8-m，在Rt△ABP中，由勾股定理得22+(8-m)2=m2，解得m=，故PA=.
故答案为：B.
【分析】由E为CD的中点联想到平行线+中点模型，可得全等三角形，由角度关系可得等腰三角形APF，最后由勾股定理可得PA的长度.
9．如图，在正方形中，P为上一点（点P不与点B，C重合），于G，并交于点H，过C作交AH延长线于点F，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：如图，过点D作DM⊥DF交AF于点M，过点A作AE⊥AF交FD延长线于点E，
四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD=CD，，
，
∴∠MDF=90°，
，
，
即，
，
，
，
又，
，
∴在△DAM和△DCF中
∴△DAM≌△DCF(ASA)，
∴DM=DF，
∴∠ADFM=∠DMF=45°，
∵DG⊥AH，
，
，
，
，
∴；
，
，
，，
，，
，，
∴，
在△ADE和△ABF中，
，
∴△ADE和△ABF(SAS)，
∴DE=BF，
，
．
故答案为：C．
【分析】
本题考查正方形的性质、等腰直角三角形的性质与判定、全等三角形的性质与判定，熟练掌握相关知识点，学会结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．过点D作DM⊥DF交AF于点M，过点A作AE⊥AF交FD延长线于点E，根据正方形的性质：四边相等，四个角都是直角可知：AB=AD=CD，∠BAD=∠ADC=90°，再根据垂直的定义可知：∠MDF=90°，由此可得：∠MDF=∠ADC，根据等式的性质可得：∠ADC-∠MDC=∠MDF-∠MDC，即∠ADM=∠CDF，结合∠DAM=∠DCF和AD=CD，根据全等三角形的判定定理ASA可证得：证出△DAM≌△DCF，再根据全等三角形的性质：对应边相等可得：DM=DF，根据等腰三角形的性质：等边对等角和三角形内角和定理可得：∠DFM=∠DMF=45°，再结合AH⊥DP，可知：∠DGF=90°，即可得：∠FDG=45°，即DG=FG，根据等腰直角三角形的性质可知：；同理可得：，再结合AE=AF，∠EAD=∠FAB和AD=AB，根据全等三角形的判定定理：SAS可证得：△ADE和△ABF，再根据全等三角形的性质：对应边相等可知：DF=DE，最后根据等量代换和线段的和差关系即可得出答案．
10．如图，在中，，于，的平分线交于点，交于，于，的延长线交于点．下列五个结论：①；②；③；④；⑤连接，若，则．其中正确的结论有（　　）
A．①②④ B．①②③ C．①②③⑤ D．①②③④⑤
【答案】C
【解析】【解答】解：如图，链接FN
∵CM⊥AF
∴∠AMC=∠AMN=90°
∵AF平分∠BAC
∴∠BAF=∠CAF
在△AMN和△AMC中，
∴△AMN≌△AMC(ASA)
∴AC=AN
故①正确；
∵△AMN≌△AMC
∴CM=NM
∵CD⊥AB，∠ACB=90°
∴∠ADC=90°
∴∠AED+∠DAE=90°
∠CFA+∠CAF=90°
∵AF平分∠BAC
∴∠BAF=∠CAF
∴∠AED=∠CFA
又∵∠AED=∠CEF
∴∠CEF=∠CFE
∴CE=CF
∵CM⊥AF
∴EM=FM
∴四边形ENFC是菱形
∴EN=FC，EN//BC
故②③正确；
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，
∵AC≠BC
∴∠ABC≠45°
故④错误；
∵四边形ENFC是菱形，
∴CM=MN
∴S△ACM=S△ANM，S△BCM=S△BMN
∴S△ANM+S△BMN=S△ACM+S△BCM=S△ABC
∴S△ABM=S△ABC
∵S△ABC=16
∴S△ABM=8
故⑤正确。
综上所述：正确的结论有①②③⑤。
故答案为：C.
【分析】连接FN，根据SAS证得△AMC≌△AMN，进而得到AC=AN，可以判断①正确；由CD⊥AB，CM⊥AF，可得∠AED+∠DAE=90°，∠CFA+∠CAF=90°，结合已知，AF平分∠BAC和对顶角相等可得∠CEF=∠CFE，进而得到△ECF为等腰三角形，EM=FM，继而可得四边形ENFC是菱形，可以判断②③正确；根据等腰直角三角形的性质可以判断④错误；根据等底等高的两个三角形面积相等可判断⑤正确。
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．用直角边分别为3和4的两个直角三角形拼成一个平行四边形（非矩形），所得的平行四边形的周长是　 　．
【答案】16或18
【解析】【解答】解：∵直角边分别为3和4，
∴斜边为： =5，
若以边长为3的边为对角线，则所得的平行四边形的周长是：2×（5+4）=18；
若以边长为4的边为对角线，则所得的平行四边形的周长是：2×（5+3）=16；
若以边长为5的边为对角线，则所得的平行四边形的周长是：2×（3+4）=14（此时是矩形，舍去）；
综上可得：所得的平行四边形的周长是：16或18．
故答案为：16或18．
【分析】根据勾股定理求出斜边的长，抓住已知条件，用直角边分别为3和4的两个直角三角形拼成一个平行四边形（非矩形），因此只能以边长为3、4的边为对角线拼成一个平行四边形，分析即可求解。
12．如图，菱形的周长为，，，分别是、上的动点，则的最小值为　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：连接，作于，
四边形是菱形，
，，
在与中，
，
，
，
当点、、共线，的最小值为的长，
∵菱形的周长为，
∴，解得：，
∵，
∴，
∴，
，
的最小值为，
故答案为：．
【分析】先利用证明，再根据全等三角形的性质得出，当点、、共线，的最小值为的长，再根据菱形的周长求出AB，然后利用含有30度角的直角三角形的性质求出BH，再利用勾股定理求出的长即可．
13．如图，在正方形的内部作等边三角形，则的度数是　 　 ．
【答案】
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=90°，AB=AD，
∵△ADE是等边三角形，
∴AE=AD=AB，∠EAD=60°，
∴∠BAE=∠BAD-∠EAD=30°，
∴∠AEB=∠ABE=（180°-∠BAE）=（180°-30°）=75°，
故答案为：75°.
【分析】由正方形及等边三角形的性质可求出AE=AB，∠BAE=30°，再利用三角形内角和及等腰三角形的性质求解即可.
14．如下图，正方形ABCD的边AB在x轴上，A（﹣4，0），B（﹣2，0），定义：若某个抛物线上存在一点P，使得点P到正方形ABCD四个顶点的距离相等，则称这个抛物线为正方形ABCD的“友好抛物线”．若抛物线y=2x2﹣nx﹣n2﹣1是正方形ABCD的“友好抛物线”，则n的值为　 　．
【答案】-3或6
【解析】【解答】连接AC、BD交于点E，作EF⊥AB交AB于点F，
由题意得，抛物线必经过点E，
∵A（﹣4，0），B（﹣2，0），
∴AB=2，BO=2，
∵正方形ABCD，
∴∠ABE=45°，AE⊥BE，AE=BE，
∴AF=BF=EF=1，
∴E（﹣3，﹣1），
∴﹣1=2×9+3n﹣n2﹣1，
解得n=﹣3或6.
故答案为﹣3或6.
【分析】先根据正方形的性质求出正方形的中心点E的坐标，然后将点E的坐标代入抛物线解析式，由此解出n的值即可。
15．折叠矩形纸片ABCD时，发现可以进行如下操作：①把△ADE翻折，点A落在DC边上的点F处，折痕为DE，点E在AB边上；②把纸片展开并铺平；③把△CDG翻折，点C落在直线AE上的点H处，折痕为DG，点G在BC边上，若AB=AD+2，EH=1，则AD=　 　。
【答案】
【解析】【解答】解：设AD=x，则AB=x+2，
∵把△ADE翻折，点A落在DC边上的点F处，
∴DF=AD，EA=EF，∠DFE=∠A=90°，
∴四边形AEFD为正方形，
∴AE=AD=x，
∵把△CDG翻折，点C落在直线AE上的点H处，折痕为DG，点G在BC边上，
∴DH=DC=x+2，
∵HE=1，
当AH=AE-HE=x-1，
在Rt△ADH中，
∵AD2+AH2=DH2，
∴x2+(x-1）2=(x+2）2
整理得x2-6x-3=0，解得x1=，x2=（舍去），
即AD的长为.
故答案未：
【分析】设AD=x，则AB=x+2，利用折叠的性质得DF=AD，EA=EF，∠DFE=∠A=90°，则可判断四边形AEFD为正方形，所以AE=AD=x，再根据折叠的性质得DH=DC=x+2，当AH=AE-HE=x-1，然后根据勾股定理得到x2+(x-1）2=(x+2）2，再解方程求出x即可.
16．如图，矩形ABCD中，AB=1，AD=2，E是AD中点，P在射线BD上运动，若△BEP为等腰三角形，则线段BP的长度等于　 　．
【答案】 或 或
【解析】【解答】解：∵矩形ABCD中，AB=1，AD=2，E是AD中点，
∴∠BAD=90°，AE=DE=1，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴BE= AB= ．
若△BEP为等腰三角形，则分三种情况：①当BP=BE时，显然BP= ；②当PB=PE时，如图，连结AP．
∵PB=PE，AB=AE，
∴AP垂直平分BE，
∵△ABE是等腰直角三角形，
∴∠BAP=∠EAP=45°．
作PM⊥AB于M，设PM=x，
∵S△ABD=S△ABP+S△APD
∴ ×1 x+ ×2 x= ×1×2，
解得x= ，
∴PM= ，
∴BP= = = ；③当EB=EP时，如图，过A作AF⊥BD于F，
过E作EG⊥BD于G．
在Rt△ABF中，AF=AB sin∠ABF=1× = ，
∵AE=ED，EG∥AF，
∴EG= AF= ．
在Rt△BEG中，∵BE= ，EG= ，
∴BG= = ．
∵EB=EP，EG⊥BP，
∴BP=2BG= ．
综上所述，线段BP的长度等于 或 或 ．
故答案为 或 或 ．
【分析】先根据矩形的性质及中点的定义得出∠BAD=90°，AE=DE=1，那么△ABE是等腰直角三角形，BE= AB= ．再分三种情况讨论：①BP=BE；②PB=PE；③EB=EP．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图所示，在菱形中，对角线，相交于点，过点作，且，连接.
（1）求证：四边形是矩形；
（2）连接，交于点，连接，若，，求的长.
【答案】（1）证明：菱形，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
是矩形；
（2）解：菱形，
，
，
在与中，
，
，
，
矩形，
，
，
，
【解析】【分析】(1)根据菱形的性质得出OD⊥OC，进而利用平行四边形的判定和矩形的判定解答即可；
(2)根据菱形的性质得出OB=OD，进而利用全等三角形的判定和性质解答即可.
18．如图是由全等的小菱形组成的网格，点A，B，P均在格点上，.
（1）求证：；
（2）请你画出一个顶点都在格点上且面积最大的矩形；
（3）满足(2)中条件的矩形一共能画出　 　个.
【答案】（1）解：由题意得
是直角三角形，且∠ABP=90°，
；
（2）解：如图，矩形ABCD即为所求；
（3）6
【解析】【解答】解：（3）如图，
故满足（2）中条件的矩形一共能画出6个.
故答案为：6.
【分析】（1）利用菱形的性质得到AP的长，再由勾股定理的逆定理证得△APB是直角三角形，且∠ABP=90°，进而根据垂直的定义证得AB⊥PB；
（2）由菱形的性质可得AD=BC=2，AB=CD=，再利用AB⊥PB可证得四边形ABCD是矩形，且面积最大；
(3)利用（2）中的图形特征，从不同角度可在网格中画出4个不同位置的矩形，再利用矩形的面积和菱形的性质可画出另两种矩形，故这样的矩形有6个.
19．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD为AC的中线，过点C作CE⊥BD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG＝BD，连接BG，DF．
（1）猜想四边形BDFG的形状，并说明理由；
（2）若AF＝8，CF＝6，求四边形BDFG的周长．
【答案】（1）解：四边形BGFD是菱形；
理由：∵AG∥BD，BD＝FG，
∴四边形BGFD是平行四边形，
∵CF⊥BD，
∴∠CFA＝∠CED＝90°，
又∵点D是AC中点，
∴DF＝AC，
∵∠ABC＝90°，BD为AC的中线，
∴BD＝AC，
∴BD＝DF，
∴平行四边形BGFD是菱形；
（2）解：由（1）知，∠AFC＝90°，
∵CF⊥AG，AF＝8，CF＝6，
∴AC＝＝10，
∴BD＝AC＝5，
∴四边形BDFG的周长＝4BD＝5×4＝20．
【解析】【分析】（1）先证出四边形BGFD是平行四边形，再根据直角三角形斜边中线定理得出BD=DF=AC，即可证出四边形BGFD是菱形；
（2）利用勾股定理求出AC的长，从而求出BD的长，利用四边形BDFG的周长＝4BD，即可得出答案.
20．如图，的对角线AC、BD相交于点O，，OE与AB交于点F．
（1）在不添加新的点和线的前提下，增加一个条件： ▲ ，使得四边形AOBE是矩形，并说明理由；
（2）若，求的面积．
【答案】（1）解：添加AC⊥BD，理由如下：
∵BE∥AC，AE∥BD
∴四边形AOBE是平行四边形
∵AC⊥DB
∴∠AOB=90°
∴四边形AOBE是矩形
（2）解：由（1）可知，四边形AOBE是矩形
∴AB=OE=10
∵四边形ABCD是平行四边形
∴
∵AC⊥BD
∴
∴BD=12
∴
【解析】【分析】（1）根据矩形判定定理即可求出答案.
（2）根据矩形性质可得AB=OE=10，再根据平行四边形性质可得，根据勾股定理可得BD，再根据平行四边形面积即可求出答案.
21．如图，在△ABC中，D，E分别是边 AB，AC 的中点，且BE=2DE.延长 DE 至点 F，使得EF=BE，连结CF.
（1）求证：四边形 BCFE 是菱形.
（2）若 CE= 6，∠BEF =120°，求四边形BCFE的面积.
【答案】（1）证明：∵ 在△ABC中，D，E分别是边 AB，AC 的中点，
∴DE∥BC，DE=BC，
又∵ BE=2DE，
∴BE=BC，
∵EF=BE，
∴BC=EF，
∴四边形BCFE是平行四边形，
而BE=BC，
∴四边形BCFE是菱形；
（2）解：由（1）得：DE∥BC，
∴∠BEF+∠EBC=180°，
∵ ∠BEF =120°，
∴∠EBC=60°，
由（1）得：BE=BC，
∴△BCE是等边三角形，
∵CE=6，
∴BC=BE=6，
过E作ET⊥BC于T，
∴∠BET=30°，
∴BT=3，
∴ET=，
∴S菱形BCFE=BC×ET=6×3=18.
【解析】【分析】（1）由三角形的中位线定理可得DE∥BC，DE=BC，结合已知可得BC=EF，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形BCFE是平行四边形，然后再根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形可求解；
（2）由平行线的性质可得∠EBC=60°，根据有一个角等于60度的等腰三角形是等边三角形可得△BCE是等边三角形，过E作ET⊥BC于T，在直角三角形BET中，用勾股定理求出ET的值，然后根据菱形的面积等于底乘高可求解.
22．已知矩形，，，将矩形绕A顺时针旋转，得到矩形，点B的对应点是点E，点C的对应点是点F，点D的对应点是点G．
（1）如图①；当时，连接，求的长；
（2）如图②，当边经过点D时，延长交于点P，求的长；
（3）连接，点M是的中点，连接，在旋转过程中，线段的最大值　 　．
【答案】（1）解：连接、，
∵是矩形，
∴，
又∵，，
∴，
由旋转可得，
∴；
（2）解：如图，连接，
由题意可知，在 中，，
根据勾股定理得，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴；
（3）
【解析】【解答】解：（3）连接，交于点O，连接，，
∵是矩形，
∴，
∵点M是的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴点M在以为圆心，以为半径的圆上运动，
根据直径是圆中最长的弦可知，当为直径时，即点M与点D重合时，最大，最大为：，
故答案为：．
【分析】（1） 连接、，由勾股定理求出AC=， 由旋转可得， 再利用勾股定理求出CF即可；
（2）连接，由勾股定理求出ED的长，再求出，从而得出DP=DA=5，利用PE=PD-DE计算即可；
（3）连接，交于点O，连接，，易得是的中位线，可得，解得点M在以为圆心，以为半径的圆上运动，根据直径是圆中最长的弦可知，当为直径时，即点M与点D重合时，最大，求出此时MB的长即可.
23．如图，已知正方形，，点在边上，射线交于点，交射线于点，过点作，交于点．
（1）求证：≌．
（2）判断的形状，并说明理由．
（3）作的中点，连结，若，求的长．
【答案】（1）证明：四边形是正方形，
，，
在和中，
，
≌；
（2）解：是等腰三角形，理由如下：
≌，
，
又，，
，
又，
，
，
，
是等腰三角形；
（3）解：如图，连接，
，
，
，
，
又点是的中点，
，
．
【解析】【分析】(1)根据正方形的性质得到边角的数量关系，在利用“SAS”即可证明≌ .
(2)由全等三角形的性质可得∠DAE=∠DCE，由余角的性质可得∠PCF=∠DCE，在利用平行线的性质将将∠DAE转化，从而得出∠PCF=∠PFC，因此可以证明得到△CPF是等腰三角形；
(3)由三角形中位线定理可知连接DF，可求DF=6，再由勾股定理计算出CF的长度即可得出答案.
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