资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
二元一次方程组 单元综合能力提升卷
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．表格中上下每对x、y的值都是同一个二元一次方程的解，则这个方程为（　　）
x ﹣1 0 1 2
y 8 5 2 ﹣1
A．5x+y＝3 B．x+y＝5 C．2x﹣y＝0 D．3x+y＝5
2．某校要举办一场教师茶话会．若每桌坐8人，则有10人不能就坐；若每桌坐10人，则空出一张桌子．问该校准备的桌子和参加茶话会的教师各有多少？设该校准备了张桌子，参加茶话会的教师有人．根据题意，可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
3．甲、乙两人同求方程ax﹣by=7的整数解，甲正确地求出一个解为，乙把ax﹣by=7看成ax﹣by=1，求得一个解为，则a，b的值分别为（　　）
A． B． C． D．
4．已知是关于x，y的二元一次方程的一个解，那么a的值为（　　）
A．3 B．1 C．-1 D．-3
5．现用190张铁皮做盒子，每张铁皮做8个盒身或做22个盒底，而一个盒身与两个盒底配成一个盒子，设用x张铁皮做盒身，y张铁皮做盒底，则可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
6．小亮求得方程组的解为，由于不小心，滴上了两滴墨水，刚好遮住了两个数和★，请你帮他找回这两个数，“”“★”表示的数分别为（　　）
A．9， B．，2 C．5，2 D．5，4
7．已知关于x，y的方程组的解是，则的值是（　　）
A．2 B．1 C．1 D．0
8．为守住国家耕地底线，确保粮食安全，某地区积极相应国家“退林还耕”号召，将该地区一部分林地改为耕地，改变后，耕地面积和林地面积共有2000亩，林地面积是耕地面积的．设改变后耕地面积为x亩，林地面积为y亩，则下列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
9．下列说法中：①若，，则；②两条直线被第三条直线所截，一组内错角的角平分线互相平行；③若，则或；④已知二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则a的值是0.5；其中正确的是（　　）
A．①② B．②③ C．①④ D．③④
10．已知 和 的方程组 的解是 ，则 和 的方程组 的解是
A． B． C． D．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．小林、小芳和小亮三人玩飞镖游戏，各投5支飞镖，规定在同一圆环内得分相同，中靶和得分情况如图，则小亮的得分是　 　．
12．已知方程组 的解是 ，则a﹣b的值为　 　．
13．我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托.折回索子却量竿，却比竿子短一托.”其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺.设绳索长 尺，竿长 尺，则符合题意的方程组是　 　
14．已知方程组 的解为 由于小强看错了系数m而求得解为 则a+b+m=　 　.
15．已知是方程的解，则a＝　 　．
16．某公司要购买办公桌，A型办公桌每张500元，B型办公桌每张300元，购买10张办公桌共花费4200元．设购买A型办公桌x张，购买B型办公桌y张，则根据题意可列方程组为　 　．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．解方程组：
（1）
（2）
18． 汝南著名传统土特产品“五香大头菜”和“鸡汁豆腐干”深受广大消费者喜爱.已知2件大头菜和1件豆腐干进货价为160元，1件大头菜和3件豆腐干进货价为180元.
（1）分别求出每件大头菜、豆腐干的进价；
（2）某特产店计划购进大头菜、豆腐干共60件，且大头菜的数量不高于豆腐干数量的 .若该特产店每件大头菜售价为80元，每件豆腐干售价为55元，怎样进货可使该特产店获得利润最大，最大利润为多少元
19．某物流公司计划用两种不同车型的车运输救灾物资，已知2辆A 型车和1辆B 型车都装满物资，一次可运10吨；1辆A 型车和2辆B 型车都装满物资，一次可运11 吨.某物流公司现有31吨物资，计划同时租用A 型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都装满.
（1）1辆A 型车和1辆B 型车都装满物资，一次可分别运多少吨
（2）请你帮该物流公司设计租车方案.
（3）若A 型车租金为每辆每次 100元，B型车租金为每辆每次120元，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费.
20．一艘轮船从A地顺水航行到B地用了4小时，从B地逆水航行返回A地比顺水航行多用了2小时，已知轮船在静水中的速度是25千米/时．
（1）求水流的速度和A，B两地之间的距离；
（2）若在A，B两地之间的C地建立新的码头，使该轮船从A地顺水航行到C码头的时间是它从B地逆水航行到C码头所用时间的一半，问A，C两地相距多少千米？
21． 2025年10月31日，神舟二十一号载人飞船成功发射.这是中国载人航天工程进入空间站应用与发展阶段的第六次载人飞行任务，进一步推动了中国在航天领域的技术进步和国际地位.为纪念“神舟二十一号”成功发射，学校航模社团李老师在某商店分两次购买A、B两种型号的“航天模型”，购买时，均按标价购买，两次购买“航天模型”的数量和费用如表所示.
　 A型模型/个 B型模型/个 总费用/元
第一次 6 5 980
第二次 3 7 940
（1）A、B两种型号的“航天模型”标价分别为多少元；
（2）元旦期间，商店举行优惠促销活动，A、B两种型号的“航天模型”同时按标价的六折出售.若李老师准备花费960元再次购买A、B两种型号的“航天模型”（两种型号均购买），则李老师有哪几种购买方案？
22．数学方法：解方程组 若设2x+y=m，x-2y=n，则原方程组可化为 解方程组得 所以 解方程组得 我们把某个式子看成一个整体，用一个字母去替代它，这种解方程组的方法叫作换元法.
（1）已知关于x，y的二元一次方程组 的解为 那么关于m，n的二元一次方程组 的解为　 　.
（2）知识迁移：请用上述方法解方程组
（3）拓展应用：已知关于x，y的二元一次方程组的解为 求关于x，y的方程组 的解.
23．某校准备组织八年级400名学生参加夏令营，已知满员时，用3辆小客车和1辆大客车每次可运送学生105人；用一辆小客车和2辆大客车每次可运送学生110人．
（1）1辆小客车和1辆大客车都坐满后一次共可送多少名学生？
（2）若学校计划租用小客车a辆，大客车b辆（可以只租用一种客车），一次送完，且恰好每辆车都坐满．①请你设计出所有的租车方案；②若小客车每辆需租金200元，大客车每辆需租金400元，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租金．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
二元一次方程组 单元综合能力提升卷
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．表格中上下每对x、y的值都是同一个二元一次方程的解，则这个方程为（　　）
x ﹣1 0 1 2
y 8 5 2 ﹣1
A．5x+y＝3 B．x+y＝5 C．2x﹣y＝0 D．3x+y＝5
【答案】D
【解析】【解答】设方程为y＝kx+b，
由题意得：当 时 ；当 时 ，
∴将其代入y＝kx+b可得： ，
解得： ，
∴这个方程为y＝ 3x+5，即3x+y＝5，
故答案为：D.
【分析】二元一次方程的解：使得方程成立的未知数的值，分别代入可判断.
2．某校要举办一场教师茶话会．若每桌坐8人，则有10人不能就坐；若每桌坐10人，则空出一张桌子．问该校准备的桌子和参加茶话会的教师各有多少？设该校准备了张桌子，参加茶话会的教师有人．根据题意，可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：
根据若每桌坐8人，则有10人不能就坐，
有8x=y-10，
若每桌坐10人，则空出一张桌子，
则实际坐了（x-1）桌，可列10（x-1）=y，
则.
故答案为：A.
【分析】 根据若每桌坐8人，则有10人不能就坐；若每桌坐10人，则空出一张桌子，可以列出相应的方程组.
3．甲、乙两人同求方程ax﹣by=7的整数解，甲正确地求出一个解为，乙把ax﹣by=7看成ax﹣by=1，求得一个解为，则a，b的值分别为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：把代入ax﹣by=7中得：
a+b=7 ①，
把代入ax﹣by=1中得：
a﹣2b=1 ②，
把①②组成方程组得：，
解得：，
故选：B．
【分析】首先根据题意把代入ax﹣by=7中得a+b=7，把代入ax﹣by=1中得：a﹣2b=1，组成方程组可解得a，b的值．
4．已知是关于x，y的二元一次方程的一个解，那么a的值为（　　）
A．3 B．1 C．-1 D．-3
【答案】A
【解析】【解答】解：把代入方程ax+y=1得：
a-2=1，
解得a=3，
故答案为：A.
【分析】将x=1、y=-2代入方程中进行计算可得a的值.
5．现用190张铁皮做盒子，每张铁皮做8个盒身或做22个盒底，而一个盒身与两个盒底配成一个盒子，设用x张铁皮做盒身，y张铁皮做盒底，则可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：根据共有190张铁皮，得方程x+y=190；
根据做的盒底数等于盒身数的2倍时才能正好配套，得方程2×8x=22y．
列方程组为．
故选：A．
【分析】此题中的等量关系有：①共有190张铁皮；
②做的盒底数等于盒身数的2倍时才能正好配套．
6．小亮求得方程组的解为，由于不小心，滴上了两滴墨水，刚好遮住了两个数和★，请你帮他找回这两个数，“”“★”表示的数分别为（　　）
A．9， B．，2 C．5，2 D．5，4
【答案】A
【解析】【解答】解：把x=5代入2x-3y=4中，得10-3y=4，
解得y=2，
把x=5，y=2代入x+2y=△中，得△=5+2×2=9，
∴"""★"表示的数分别为9，2；
故答案为：A.
【分析】把x=5代入2x-3y=4中求出y值，即得"★"，再将x、y值代入x+2y=△中，即可求出"△".
7．已知关于x，y的方程组的解是，则的值是（　　）
A．2 B．1 C．1 D．0
【答案】A
【解析】【解答】∵是关于x，y的方程组的解，
∴，
解得a=1，b=1，
则a+b=1+1=2．
故答案为：A．
【分析】把x和y值代入，即可求得.
8．为守住国家耕地底线，确保粮食安全，某地区积极相应国家“退林还耕”号召，将该地区一部分林地改为耕地，改变后，耕地面积和林地面积共有2000亩，林地面积是耕地面积的．设改变后耕地面积为x亩，林地面积为y亩，则下列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：设改变后耕地面积为x亩，林地面积为y亩，
则列方程为．
故答案为：D．
【分析】根据“ 耕地面积和林地面积共有2000亩，林地面积是耕地面积的 ”直接列出方程组即可。
9．下列说法中：①若，，则；②两条直线被第三条直线所截，一组内错角的角平分线互相平行；③若，则或；④已知二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则a的值是0.5；其中正确的是（　　）
A．①② B．②③ C．①④ D．③④
【答案】C
【解析】【解答】解：①∵am=6，an=3，∴am-n=am÷an=6÷3=2，故此小题正确；
②如图，当AB∥CD时，
∵AB∥CD，
∴∠CMP=∠BPM，
∵PQ平分∠BPM，MN平分∠CMP，
∴∠QPM=∠BPM，∠NMP=∠CMP，
∴∠QPM=∠NMP，
∴MN∥PQ；
当AB不平行CD时，∠CMP≠∠BPM，当然∠QPM≠∠NMP，当然MN就不平行PQ，故此小题错误；
③∵（t-2）2t=1，∴2t=0或t-2=±1，解得：t=0或3或1，故此小题错误；
④∵的解也是二元一次方程x-3y=-2的解，
∴的解也是ax+y=4的解，
解
得，
∴是ax+y=4的解，
∴4a+2=4，
解得a=0.5，故此小题正确，
综上正确的有①④.
故答案为：C.
【分析】根据同底数幂的除法法则的逆用可判断①小题，根据平行线的性质及判断可判断②小题；根据0指数幂性质（任何一个不为0的数的0次幂都等于1），有理数的乘方运算法则（1的任何次幂都等于1，-1的偶数次幂等于1）可判断③；根据方程组的解可判断④.
10．已知 和 的方程组 的解是 ，则 和 的方程组 的解是
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：方程组 变形为 ，
和 的方程组 的解是 ，
，
解得 ．
故答案为： ．
【分析】把第二个方程组的两个方程的两边都除以5，通过换元法替代的方法来解决。
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．小林、小芳和小亮三人玩飞镖游戏，各投5支飞镖，规定在同一圆环内得分相同，中靶和得分情况如图，则小亮的得分是　 　．
【答案】21
【解析】【解答】解：设掷中A区、B区一次的得分分别为x，y分，
依题意得： ，
解这个方程组得： ，
则小亮的得分是2x+3y=6+15=21分．
故答案为21；
【分析】设掷中外环区、内区一次的得分分别为x，y分，根据等量关系列出方程组，再解方程组即可．
12．已知方程组 的解是 ，则a﹣b的值为　 　．
【答案】-1
【解析】【解答】解：把 代入方程组 中，
可得： ，
解得： ，
把a=1，b=2代入a﹣b=﹣1；
故答案为：﹣1．
【分析】把 代入方程组 中，得出关于a，b的方程组，解答即可．
13．我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托.折回索子却量竿，却比竿子短一托.”其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺.设绳索长 尺，竿长 尺，则符合题意的方程组是　 　
【答案】
【解析】【解答】解：根据题意得： .
故答案为： .
【分析】设绳索长为x尺，竿子长为y尺，根据“索比竿子长一托，折回索子却量竿，却比竿子短一托”，即可得出关于x、y的二元一次方程组.
14．已知方程组 的解为 由于小强看错了系数m而求得解为 则a+b+m=　 　.
【答案】4
【解析】【解答】解：将代入，得
，
将代入，得 11a+6b=62③，
l联立①②③，得
解得
∴a+b+m=4.
故填：4.
【分析】看错方程组中某个系数时，可将所得的“错解”代入另外一个不含此系数的方程，进而得到新的方程；再将正解代入含参数的原方程组，得到新的方程；最后将所得方程联立成新的方程组求解并将参数的值代入代数式求值即可.
15．已知是方程的解，则a＝　 　．
【答案】1
【解析】【解答】解：∵是方程的解，
∴代入得：，
解得．
故答案为：1
【分析】将 代入方程的求解即可。
16．某公司要购买办公桌，A型办公桌每张500元，B型办公桌每张300元，购买10张办公桌共花费4200元．设购买A型办公桌x张，购买B型办公桌y张，则根据题意可列方程组为　 　．
【答案】
【解析】【解答】解： 根据题意得：，
故答案为：．
【分析】设购买A型办公桌x张，购买B型办公桌y张，根据题意直接列出方程组即可。
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．解方程组：
（1）
（2）
【答案】（1）解：
由②-①，得3x=7-（2x-3），
解得x=2，
将x=2代入①，得y=1，
所以方程组的解是
（2）解：
由②×2-①，得x=2，
将x=2代入①，得
所以方程组的解是。
【解析】【分析】（1）根据②-①消去未知数y，求出x的值，并把x的值代入①求出y的值解方程组即可；
（2）根据②×2-①消去未知数y，求出x的值，并把x的值代入①求出y的值解方程组即可.
18． 汝南著名传统土特产品“五香大头菜”和“鸡汁豆腐干”深受广大消费者喜爱.已知2件大头菜和1件豆腐干进货价为160元，1件大头菜和3件豆腐干进货价为180元.
（1）分别求出每件大头菜、豆腐干的进价；
（2）某特产店计划购进大头菜、豆腐干共60件，且大头菜的数量不高于豆腐干数量的 .若该特产店每件大头菜售价为80元，每件豆腐干售价为55元，怎样进货可使该特产店获得利润最大，最大利润为多少元
【答案】（1）解：设每件大头菜的进价为x元，每件豆腐干的进价为y元
根据题意得
解之得
每件大头菜的进价为60元，每件豆腐干的进价为40元.
（2）解：设购进大头菜a件，则购进豆腐干(60-a)件，
∵大头菜的数量不高于豆腐干数量的，
a)，解得a≤15，
设该特产店获得利润为w元，则w=(80-60) a+(55-40) (60-a)=5a+900，
∵5>0，∴w随a的增大而增大，
∴当a=15时，w取得最大值，最大值为5×15+900=975，
∴购进大头菜15件，豆腐干45件，可使该特产店获得利润最大，最大利润为975元.
【解析】【分析】（1）设每件大头菜的进价为x元，每件豆腐干的进价为y元，根据2件大头菜和1件豆腐干进货价为160元，1件大头菜和3件豆腐干进货价为180元可列方程组，解之可得答案；
（2）设购进大头菜a件，则购进豆腐干(60-a)件，由大头菜的数量不高于豆腐干数量的，可得
a)，解得a≤15；设该特产店获得利润为w元，则w=(80-60) a+(55-40) (60-a)=5a+900，根据一次函数的性质，k=5>0，则w随a的增大而增大，即当a=15时，w取得最大值，最大值为5×15+900=975。
19．某物流公司计划用两种不同车型的车运输救灾物资，已知2辆A 型车和1辆B 型车都装满物资，一次可运10吨；1辆A 型车和2辆B 型车都装满物资，一次可运11 吨.某物流公司现有31吨物资，计划同时租用A 型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都装满.
（1）1辆A 型车和1辆B 型车都装满物资，一次可分别运多少吨
（2）请你帮该物流公司设计租车方案.
（3）若A 型车租金为每辆每次 100元，B型车租金为每辆每次120元，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费.
【答案】（1）解：设1辆A型车装满物资一次可运x吨，1辆B型车装满物资一次可运y吨.由题意，得解得
答：1辆A型车装满物资一次可运3吨，1辆B型车装满物资一次可运4吨
（2）解：由题意，得3a+4b=31，
∴a=31-4b.
又∵a，b均为正整数，
或或
答：该物流公司共有3种租车方案.
①租用9辆A型车，1辆B型车；
②租用5辆A型车，4辆B型车；
③租用1辆A型车，7辆B型车
（3）解：方案①所需租金为100×9+120×1=1020(元)；
方案②所需租金为100×5+120×4=980(元)；
方案③所需租金为100×1+120×7=940(元).
∵1020>980>940，
∴方案③最省钱.答：最省钱的租车方案为租用1辆A型车，7辆B型车，最少租车费为940元
【解析】【分析】（1）根据条件找到两个等量关系，列出相应的二元一次方程组，求解即可；
（2）由（1）可得出一个二元一次方程3a+4b=31，由于实际问题中x、y都必须为正整数，所以用枚举法逐一列举出方程有三组解，即三种租车方案；
（3）分别计算（2）中的三种方案各需要花费多少钱，通过比较可知方案③最省钱。
20．一艘轮船从A地顺水航行到B地用了4小时，从B地逆水航行返回A地比顺水航行多用了2小时，已知轮船在静水中的速度是25千米/时．
（1）求水流的速度和A，B两地之间的距离；
（2）若在A，B两地之间的C地建立新的码头，使该轮船从A地顺水航行到C码头的时间是它从B地逆水航行到C码头所用时间的一半，问A，C两地相距多少千米？
【答案】（1）解：设水流的速度为x千米/时，A，B两地之间的距离为y千米，则轮船在顺水中的速度为千米/时，在逆水中的速度为千米/时．
由题意，得，解得．
答：水流的速度为5千米/时，A，B两地之间的距离为120千米．
（2）解：设A，C两地相距m千米．
由题意，得，解得．
答：A，C两地相距千米．
【解析】【分析】（1）设水流的速度为x千米/时，A，B两地之间的距离为y千米，则轮船在顺水中的速度为千米/时，在逆水中的速度为千米/时，进而结合题意列出二元一次方程组，从而即可求解；
（2）设A，C两地相距m千米．根据题意列出一元一次方程，从而即可求解。
21． 2025年10月31日，神舟二十一号载人飞船成功发射.这是中国载人航天工程进入空间站应用与发展阶段的第六次载人飞行任务，进一步推动了中国在航天领域的技术进步和国际地位.为纪念“神舟二十一号”成功发射，学校航模社团李老师在某商店分两次购买A、B两种型号的“航天模型”，购买时，均按标价购买，两次购买“航天模型”的数量和费用如表所示.
　 A型模型/个 B型模型/个 总费用/元
第一次 6 5 980
第二次 3 7 940
（1）A、B两种型号的“航天模型”标价分别为多少元；
（2）元旦期间，商店举行优惠促销活动，A、B两种型号的“航天模型”同时按标价的六折出售.若李老师准备花费960元再次购买A、B两种型号的“航天模型”（两种型号均购买），则李老师有哪几种购买方案？
【答案】（1）解：设A种型号的“航天模型”标价为 x元，B两种型号的“航天模型”标价为 y元，
∴，
∴．
答：A种型号的“航天模型”标价为80元，B两种型号的“航天模型”标价为100元；
（2）解：设李老师购买A种型号的“航天模型”m个、B种型号的“航天模型”n个（均为正整数），
∴0.6（80m＋100n）＝960，
∴4m＋5n＝80，
∴m＝20 n，
∵m、n均为正整数，
∴或或．
答：李老师共有三种方案：①购买A种型号的“航天模型”15个、B两种型号的“航天模型”4个；
②购买A种型号的“航天模型”10个、B两种型号的“航天模型”8个；
③购买A种型号的“航天模型”5个、B两种型号的“航天模型”12个．
A种型号的“航天模型”标价为80元，B两种型号的“航天模型”标价为100元
【解析】【分析】（1）依据题意，设A种型号的“航天模型”标价为 x元，B两种型号的“航天模型”标价为 y元，根据两次购买的数量和总费用，列出二元一次方程组并求解；
（2）依据题意，设购买A种型号的“航天模型”m个、B种型号的“航天模型”n个（均为正整数），根据总费用 960 元列出方程，化简后寻找所有正整数解，即为购买方案．
22．数学方法：解方程组 若设2x+y=m，x-2y=n，则原方程组可化为 解方程组得 所以 解方程组得 我们把某个式子看成一个整体，用一个字母去替代它，这种解方程组的方法叫作换元法.
（1）已知关于x，y的二元一次方程组 的解为 那么关于m，n的二元一次方程组 的解为　 　.
（2）知识迁移：请用上述方法解方程组
（3）拓展应用：已知关于x，y的二元一次方程组的解为 求关于x，y的方程组 的解.
【答案】（1）
（2）解：设 则x+y=2m，x-y=3n，
∴原方程组可化为
解得
（3）解：原方程组可变 形为设 则 原方程组可化为
关于x，y的二元一次方程组的解为
即 解得
【解析】【解答】解：(1)设m+n=x，m-n=y，则原方程组可化为
的解为解得
故答案为：
【分析】方法归纳
“换元思想”的运用
(1)当方程组中出现相同的部分时，可以考虑用“整体换元”的方法.
(2)“换元思想”的重点在于找出“整体”进行换元，把已知方程组转化为简单方程组求解.
(3)由已知解构建新的方程组，求解即可得到原方程组的解.
(4)部分题型需要先进行转化，再进行整体换元.
23．某校准备组织八年级400名学生参加夏令营，已知满员时，用3辆小客车和1辆大客车每次可运送学生105人；用一辆小客车和2辆大客车每次可运送学生110人．
（1）1辆小客车和1辆大客车都坐满后一次共可送多少名学生？
（2）若学校计划租用小客车a辆，大客车b辆（可以只租用一种客车），一次送完，且恰好每辆车都坐满．①请你设计出所有的租车方案；②若小客车每辆需租金200元，大客车每辆需租金400元，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租金．
【答案】（1）解：设1辆小客车坐满后一次可送x名学生，1辆大客车坐满后一次可送y名学生，
依题意得：，
解得：，
∴x+y＝20+45＝65．
答：1辆小客车和1辆大客车都坐满后一次共可送65名学生．
（2）解：①依题意得：20a+45b＝400，
∴a＝20-b．
又∵a，b均为自然数，
∴或或，
∴共有3种租车方案，
方案1：租用小客车20辆；
方案2：租用小客车11辆，大客车4辆；
方案3：租用小客车2辆，大客车8辆．
②选择方案1所需费用为20×200＝4000（元）；
选择方案2所需费用为11×200+4×400＝3800（元）；
选择方案3所需费用为2×200+8×400＝3600（元）．
∵4000＞3800＞3600，
∴租车方案3最省钱，最少租金为3600元．
【解析】【分析】（1）设1辆小客车坐满后一次可送x名学生，1辆大客车坐满后一次可送y名学生，根据“ 用3辆小客车和1辆大客车每次可运送学生105人；用一辆小客车和2辆大客车每次可运送学生110人”列出方程组并解之即可；
（2）根据总人数为400，可得方程组20a+45b＝400，求出其自然数解，即得租车方案 ，再求出每种方案的租金，继而比较即可.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑