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因式分解 单元综合素养提升卷
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．东东是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：x-y，a-b，2， ，a，x+y分别对应下列六个字：源，丽，美，我，游，渭.现将 因式分解，结果呈现的密码信息可能是（　　）
A．我爱美 B．我游渭源 C．美丽渭源 D．美我渭源
2．已知a，b，c是的三边长，则代数式的值为（　　）
A．正数 B．负数 C．0 D．无法确定
3．分解因式 结果正确的是（　　）
A． B．
C． D．
4．下列多项式① ；② ；③ ；④ 可以进行因式分解的有（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
5．下列各式从左到右的变形是因式分解的是（　　）
A． B．
C． D．
6．因式分解3y2﹣6y+3，结果正确的是（　　）
A．3（y﹣1）2 B．3（y2﹣2y+1）
C．（3y﹣3）2 D．
7．已知 ，则代数式 ab的值为（　　）
A．-15 B．-2 C．-6 D．6
8．下列因式分解正确的是（　　）
A．x2﹣4=（x+4）（x﹣4） B．x2+2x+1=x（x+2）+1
C．3mx﹣6my=3m（x﹣6y） D．2x+4=2（x+2）
9．把二次三项式2x2﹣8xy+5y2因式分解，下列结果中正确的是（　　）
A．（x﹣ y）（x﹣ y）
B．（2x﹣4y+ y）（x﹣ y）
C．（2x﹣4y+ y）（x﹣ y）
D．2（x﹣ y）（x﹣ y）
10．如果二次三项式（为整数）在整数范围内可以分解因式，那么可取值的个数是（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．无数个
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．因式分解：t3s﹣ts＝　 　．
12．若多项式x2+11x﹣12可因式分解成(x+a)(bx+c)，其中a、b、c均为整数，则a+c之值为　 　.
13．因式分解：4m2-25＝　 　．
14．因式分解：2mx2﹣4mxy+2my2=　 　
15．在实数范围内因式分解：a2－2＝　 　.
16．对于一个各个数位上的数字均不相等且均不为零的三位自然数，若的十位数字分别小于的百位数字与个位数字，则称为“义渡数”．当三位自然数为义渡数”时，重新排列各个数位上的数字可得到一个最大数和一个最小数，规定，例如：，因为，，所以524是“义渡数”，且，则最小的“义渡数”是　 　；若三位自然数是“义渡数”（其中，，，、、均为整数），且的个位数字小于百位数字，，求满足条件的所有三位自然数的最大值是　 　．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．因式分解．
（1）
（2）
（3）
18．已知a，b，c为△ABC的三条边的长，当b2+2ab=c2+2ac时，
（1）试判断△ABC属于哪一类三角形；
（2）若a=4，b=3，求△ABC的周长．
19．已知a+b=4，ab=-2，求a3+a2b+ab2+b3的值．
20．对于任意自然数是否能被24整除？
21．在分解因式x2＋ax＋b时，小明看错了b，分解结果为(x＋2)(x＋4)；小王看错了a，分解结果为(x－1)(x－9)，求ab的值．
22．阅读下面例题，并解答问题。
例题：已知二次三项式 有一个因式是 ，求另一个因式以及m的值
解：设另一个因式为 ，得
则 ∴ 解得： ，
∴另一个因式为 ，m的值为—21
请仿照上面的方法解答下面的问题：
已知二次三项式 有一个因式是 ，求另一个因式以及k的值。
23．用平方差公式进行因式分解在数的运算中有着广泛的应用，比如，数的整除性探究中的应用．
例： 能被2009整除吗？
解：
∵ 中有因数2009，
∴ 一定能被2009整除．
请你试一试：已知数字 恰能被两个在60和70之间的整数整除，求出这两个数．
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因式分解 单元综合素养提升卷
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．东东是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：x-y，a-b，2， ，a，x+y分别对应下列六个字：源，丽，美，我，游，渭.现将 因式分解，结果呈现的密码信息可能是（　　）
A．我爱美 B．我游渭源 C．美丽渭源 D．美我渭源
【答案】C
【解析】【解答】∵
=
=
故为美丽渭源
故答案为：C
【分析】根据因式分解的方法进行因式分解，即可破解密码.
2．已知a，b，c是的三边长，则代数式的值为（　　）
A．正数 B．负数 C．0 D．无法确定
【答案】B
【解析】【解答】解：根据题意可得：，
∵a，b，c是的三边长，
∴a+b-c>0，a-（c+b）<0，
∴，
∴代数式的值为负数，
故答案为：B.
【分析】先利用平方差公式将原式变形为，再利用三角形三边的关系求出a+b-c>0，a-（c+b）<0，再求出，从而得解.
3．分解因式 结果正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：原式
故答案为：D
【分析】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键.原式提取x，再利用平方差公式分解即可.
4．下列多项式① ；② ；③ ；④ 可以进行因式分解的有（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】B
【解析】【解答】解：① =-x2-y2，最终得到的不是整式的积的形式，故错误；
② ，最终得到的不是整式的积的形式，故错误；
③ ，最终得到的不是整式的积的形式，故错误；
④ = ，符合因式分解的定义，故正确.
故答案为：B．
【分析】因式分解是把一个多项式化为几个整式的积的形式，再由完全平方公式a2+2ab+b2=（a+b）2，把④因式分解.
5．下列各式从左到右的变形是因式分解的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：A、是整式的乘法，故A不符合题意；
B、等式右边不是整式积的形式，故不是分解因式，故本选项不符合题意；
C、30不是多项式，故C不符合题意；
D、把一个多项式转化成几个整式积的形式，故D符合题意；
故答案为：D．
【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做这个多项式的因式分解，据此判断即可.
6．因式分解3y2﹣6y+3，结果正确的是（　　）
A．3（y﹣1）2 B．3（y2﹣2y+1）
C．（3y﹣3）2 D．
【答案】A
【解析】【解答】解：3y2﹣6y+3=3（y2﹣2y+1）=3（y﹣1）2．
故选：A．
【分析】直接提取公因式3，进而利用完全平方公式分解因式即可．
7．已知 ，则代数式 ab的值为（　　）
A．-15 B．-2 C．-6 D．6
【答案】C
【解析】【解答】解：∵a-b=3，b+c=-5，
∴a-b＋b＋c=3-5，
即a+c=-2，
故答案为：C.
【分析】根据等式的性质把两式相加，得出a+c=-2，再把原式进行因式分解得出原式=（a-b）（a+c），然后再代入进行计算，即可得出答案.
8．下列因式分解正确的是（　　）
A．x2﹣4=（x+4）（x﹣4） B．x2+2x+1=x（x+2）+1
C．3mx﹣6my=3m（x﹣6y） D．2x+4=2（x+2）
【答案】D
【解析】【解答】A、原式=（x+2）（x﹣2），错误；
B、原式=（x+1）2，错误；
C、原式=3m（x﹣2y），错误；
D、原式=2（x+2），正确，
故答案为：D
【分析】平方差公式一定要将两个数写成平方形式；B答案从整体上看是完全平方，结果从整体上应是积的形式.
9．把二次三项式2x2﹣8xy+5y2因式分解，下列结果中正确的是（　　）
A．（x﹣ y）（x﹣ y）
B．（2x﹣4y+ y）（x﹣ y）
C．（2x﹣4y+ y）（x﹣ y）
D．2（x﹣ y）（x﹣ y）
【答案】D
【解析】【解答】解：令2x2﹣8xy+5y2＝0，
解得x1＝ y，x2＝ y，
∴2x2﹣8xy+5y2＝2（x﹣ y）（x﹣ y）
故答案为：D．
【分析】把x看成未知数，把y看成常数，令2x2﹣8xy+5y2＝0，解得x的值，即可得出答案。
10．如果二次三项式（为整数）在整数范围内可以分解因式，那么可取值的个数是（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．无数个
【答案】A
【解析】【解答】解：∵1=1×1，-9=3×（-3）或-9=9×（-1）或9=1×（-9）且a为整数
∴，
又∵是一个二次三项式，
∴不合题意
∴或
∴
故答案为：A.
【分析】根据平方差公式、完全平方公式、十字相乘法进行因式分解，据此即可求解.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．因式分解：t3s﹣ts＝　 　．
【答案】ts（t+1）（t-1）
【解析】【解答】解：原式=ts（t2-1）
=ts（t+1）（t-1），
故答案为：ts（t+1）（t-1） .
【分析】先提公因式后，然后根据平方差公式因式分解即可.
12．若多项式x2+11x﹣12可因式分解成(x+a)(bx+c)，其中a、b、c均为整数，则a+c之值为　 　.
【答案】11
【解析】【解答】解：利用十字相乘法将x2+11x﹣12因式分解，
可得：x2+11x﹣12=(x+12)( x 1)，
∴a=12，c= 1，
∴a+c=11.
故答案为11.
【分析】首先利用十字相乘法将x2+11x﹣12因式分解，继而求得a，c的值.
13．因式分解：4m2-25＝　 　．
【答案】（2m+5）（2m-5）
【解析】【解答】解：4m2-25=（2m+5）（2m-5），
故答案为：（2m+5）（2m-5）．
【分析】利用平方差公式进行因式分解即可。
14．因式分解：2mx2﹣4mxy+2my2=　 　
【答案】2m（x﹣y）2
【解析】【解答】解：2mx2﹣4mxy+2my2，
=2m（x2﹣2xy+y2），
=2m（x﹣y）2．
故答案为：2m（x﹣y）2．
【分析】先提取公因式2m，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．
15．在实数范围内因式分解：a2－2＝　 　.
【答案】(a+ )(a- )
【解析】【解答】原式=a2-（ ）2=（a+ ）（a- ）.
故答案为（a+ ）（a- ）.
【分析】2写成（ ）2，然后利用平方差公式分解即可.
16．对于一个各个数位上的数字均不相等且均不为零的三位自然数，若的十位数字分别小于的百位数字与个位数字，则称为“义渡数”．当三位自然数为义渡数”时，重新排列各个数位上的数字可得到一个最大数和一个最小数，规定，例如：，因为，，所以524是“义渡数”，且，则最小的“义渡数”是　 　；若三位自然数是“义渡数”（其中，，，、、均为整数），且的个位数字小于百位数字，，求满足条件的所有三位自然数的最大值是　 　．
【答案】213；978
【解析】【解答】解：由“义渡数”定义得最小的“义渡数”是213，
故答案为：213．
，
，
，
，
，
当时，，若最大，则，
当时，，若最大，则，
当时，，若最大，则，
的最大是978．
故答案为：978．
【分析】由“义渡数”定义得最小的“义渡数”是213．先求出F（n）=x-y，进一步可得F（n）+2x=20得y=3x-20，结合y三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．因式分解．
（1）
（2）
（3）
【答案】（1）解：
（2）解：
（3）解：
【解析】【分析】利用完全平方公式，平方差公式和提公因式法计算求解即可。
18．已知a，b，c为△ABC的三条边的长，当b2+2ab=c2+2ac时，
（1）试判断△ABC属于哪一类三角形；
（2）若a=4，b=3，求△ABC的周长．
【答案】解：（1）△ABC是等腰三角形，理由如下：
∵a，b，c为△ABC的三条边的长，b2+2ab=c2+2ac，
∴b2﹣c2+2ab﹣2ac=0，
因式分解得：（b﹣c）（b+c+2a）=0，
∴b﹣c=0，
∴b=c，
∴△ABC是等腰三角形；
（2）∵a=4，b=3，
∴b=c=3，
∴△ABC的周长=a+b+c=4+3+3=10．
【解析】【分析】（1）由已知条件得出b2﹣c2+2ab﹣2ac=0，用分组分解法进行因式分解得出（b﹣c）（b+c+2a）=0，得出b﹣c=0，因此b=c，即可得出结论；
（2）由（1）得出b=c=3，即可求出△ABC的周长．
19．已知a+b=4，ab=-2，求a3+a2b+ab2+b3的值．
【答案】解：∵a+b=4，ab=-2，
∴a3+a2b+ab2+b3
=
=
=
=4×[42-2×（-2）]
=80
故答案为：80．
【解析】【分析】a+b看成一个整体，将多项式用含有a+b、ab的式子代替，即可得出答案．
20．对于任意自然数是否能被24整除？
【答案】解：原式
．
∵n为自然数，
∴能被24整除，
故对于任意自然数能被24整除．
【解析】【分析】利用平方差公式对 进行因式分解，然后分析分解后的式子是否能被24整除解答即可.
21．在分解因式x2＋ax＋b时，小明看错了b，分解结果为(x＋2)(x＋4)；小王看错了a，分解结果为(x－1)(x－9)，求ab的值．
【答案】解：∵x2＋ax＋b′＝(x＋2)(x＋4)＝x2＋6x＋8，∴a＝6.
∵x2＋a′x＋b＝(x－1)(x－9)
＝x2－10x＋9，
∴b＝9.∴ab＝6×9＝54
【解析】【分析】因为小明看错了b，而未看错a，则根据小明的分解结果，列恒等式可求a值；而小王看错了a，而未看错b，则根据小明的分解结果，列恒等式可求b值；最后将a、b值代入ab 中即可求出结果.
22．阅读下面例题，并解答问题。
例题：已知二次三项式 有一个因式是 ，求另一个因式以及m的值
解：设另一个因式为 ，得
则 ∴ 解得： ，
∴另一个因式为 ，m的值为—21
请仿照上面的方法解答下面的问题：
已知二次三项式 有一个因式是 ，求另一个因式以及k的值。
【答案】解：设另一个因式为 ，得 ，
则 ，
∴ ，
解得：，
∴另一个因式为 ，m的值为65 .
【解析】【分析】设另一个因式为(2x+a) ，根据恒等的关系列等式，根据等式两边x的相同指数项的系数对应相等，列出方程求解即可.
23．用平方差公式进行因式分解在数的运算中有着广泛的应用，比如，数的整除性探究中的应用．
例： 能被2009整除吗？
解：
∵ 中有因数2009，
∴ 一定能被2009整除．
请你试一试：已知数字 恰能被两个在60和70之间的整数整除，求出这两个数．
【答案】解：
=
= ；
= ；
∴ 可被63与65整除，
即所求在60和70之间的两个整数是63和65．
【解析】【分析】 利用平方差公式数字可变形为 = = = ，利用结果判断即可.
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