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【50道解答题·专项集训】浙教版数学七年级下册第4章 因式分解
1．因式分解：
（1）；
（2）.
2．因式分解：
（1）
（2）
3．若，求xy的值．
4．试判断 的值与 的大小关系，并证明你的结论.
5．将下列每个多项式与因式分解适用的方法连线．
6．分解因式：（2a+b）（2a﹣b）+b（4a+2b）
7．设 ，求x2+y2﹣2xy的值．
8．分解因式（1）a（x﹣y）﹣b（y﹣x）；
（2）（a2+b2）2﹣4a2b2．
9．分解2x4﹣3x3+mx2+7x+n，其中含因式（x+2）和（x﹣1），求m，n．
10．“数形结合”是一种非常重要的数学思想方法，比如：在学习“整式的乘法”时，我们通过构造几何图形，用“等积法”直观地得到多项式的乘法公式.
（1）从图1可以容易得到；，等乘法公式（如图1），根据得到的乘法公式完成下列问题：
①若，，则 ▲ ；
②若x满足，求的值.
（2）观察图2，回答下列问题：
①请你从图2中得到 ▲ ；
②根据得到的结论，解决问题：若，，，，求的值.
11．先因式分解再求值：
（1）其中x=-5.
（2）其中：x=3，y=1.
12．
（1）因式分解：
（2）计算：
13．一个正方形，如果先把一组对边加长 ， 再把另一组对边减少 ， 这时得到的矩形面积与原正方形的边长减少 后的正方形面积相等，求原正方形的面积．
14． 下列各式一定成立吗
（1）
（2）
（3）
（4）
15．分解因式：
（1）4x2﹣12x3
（2）a2﹣ab+b2
（3）x4﹣81．
16．分解因式：2x2﹣8．
17．已知x+y=5，xy=6，求x（x+y）（x﹣y）﹣x（x+y）2．
18．化简：（3x+2y+1）2﹣（3x+2y﹣1）（3x+2y+1）
19．分解因式：3x（a﹣b）﹣6y（b﹣a）
20．（1）因式分解：ax2﹣4axy+4ay2；
（2）解方程组：．
21．分解因式：
（1）
（2）
22．分解因式：
（1）4m3n－mn3
（2）(x－1)(x－3)＋1．
23．已知整式，整式．
（1）若，求的值；
（2）若可以分解为，求的值．
24． 已知（x+a）（x+b）＝x2﹣4x+2．
（1）求（a﹣1）（b﹣1）的值．
（2）求（a﹣b）2的值．
25．在分解因式 时， 甲看错了 的值， 分解的结果是 ， 乙看错了 的值， 分解的结果是 ， 求 的值．
26．下列各式从左到右的变形中， 是整式乘法的填“A”， 是因式分解的填“B”， 两者都不是的填"C"．
（1） ．（　 　 ）
（2） ．（ 　 　）
（3） ．（ 　 　）
（4） ．（ 　 　）
（5） ．（ 　 　）
27．分解因式：4n2（m﹣1）+9﹣9m．
28．给出三个多项式X＝2a2+3ab+b2，Y＝3a2+3ab，Z＝a2+ab，请你任选两个进行加（或减）法运算，再将结果分解因式．
29．如图1是一个长为2m、宽为2n的长方形，用剪刀沿图中虚线均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．
（1）请用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积（结果不化简）：
方法1：　 　；方法2：　 　．
（2）观察图2，请写出，三个式子之间的等量关系．
（3）若，结合（2）中的等量关系，求的值．
30．如图①，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形 图②是由图①中阴影部分拼成的一个长方形.
（1）观察图①、图②，当用不同的方法表示图中阴影部分的面积时，可以得出一个因式分解的等式，则这个等式是　 　；
（2）如果大正方形的边长a比小正方形的边长b多3，它们的面积相差57，试利用(1)中得到的等式求a，b的值.
31．已知多项式x2+（m+k）x+k可以分解因式为（x+2）（x+4），求m、k的值．
32．已知，，求的值.
33．已知a+2b=5，a-2b=3，求5a2- 20b2的值．
34．如图①是由方尊缶（中间小正方形，冷藏食物）和方鉴（外围大正方形，放置冰块）组成的青铜冰鉴，古人用于冷藏保存食物，其从上面看到的图形如图②所示，若大正方形的边长为（2a+b），小正方形的边长为（2a-b），求放置冰块部分的面积.
35．已知：A=4x+y，B=4x﹣y，计算A2﹣B2．
36．下面是某同学对多项式（x2﹣4x+2）（x2﹣4x+6）+4进行因式分解的过程
解：设x2﹣4x=y，
原式=（y+2）（y+6）+4　（第一步）= y2+8y+16　（第二步）
=（y+4）2（第三步） = （x2﹣4x+4）2（第四步）
（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的____（填序号）．
A．提取公因式 B．平方差公式
C．两数和的完全平方公式 D．两数差的完全平方公式
（2）该同学在第四步将y用所设中的x的代数式代换，得到因式分解的最后结果．这个结果是否分解到最后？　 　．（填“是”或“否”）如果否，直接写出最后的结果　 　．
（3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1进行因式分解．
37．已知 互为相反数，且满足 ，求 的值.
38．2x2﹣12xy2+8xy3．
39．一个长为4a、宽为b的长方形如图（a）所示，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回”形正方形，如图（b）所示．
（1）根据上述过程，写出，，ab之间的等量关系：　 　；
（2）利用（1）中的结论，若，，则的值是　 　；
（3）如图（c），实际上通过计算图形的面积可以探求相应的等式，请你根据图形写出这个等式：　 　；
（4）两个正方形ABCD，AEFG如图（d）所示，边长分别为x，y，若，，求图中阴影部分的面积和．
40．已知：x2+bx+c（b、c为整数）是3（x4+6x2+25）及3x4+4x2+28x+5的公因式，求b、c的值．
41．已知.
（1）求、的值；
（2）求的值.
42．分解因式：
（1）；
（2）．
43．把几个图形拼成一个新的图形，通过图形面积的计算，常常可以得到一些等式，这是研究数学问题的一种常用方法．我们在学习“从面积到乘法公式”时，曾用两种不同的方法计算同一个图形的面积，探索了完全平方公式：（如图1）．
（1）观察图2，请你写出、、之间的等量关系是　 　；
（2）拓展应用：根据（1）中的等量关系及课本所学的完全平方公式知识，解决如下问题：
若，且，求的值；
（3）若，求的值；
（4）如图3，在中，，点在边上，，在边上取一点，使，分别以为边在外部作正方形和正方形，连接，若的面积等于，设，求正方形和正方形的面积和．
44．已知两互不相等的正整数a，b满足 求a+b的值.
45．完全平方公式：，是多项式乘法中的重要公式之一，它经过适当变形可以解决很多数学问题
例如：若a＋b＝2，ab＝1，求的值．
解：．
根据以上信息回答下列问题：
（1）若m＋n＝4，，求mn的值；
（2）若，ab＝﹣5，求a﹣2b的值；
（3）如图，长方形ABCD的面积为6，BC>2AB．在长方形ABCD外分别以BC，AD为边作正方形BCQP和正方形ADNM，在长方形ABCD内以AB，CD为边分别作正方形CDEF和正方形ABGH．若阴影部分的周长为38，求阴影部分的面积．
46．在同一间屋子里有100盏电灯排成一横行，依次从左到右的顺序编上号码1、2、3、....100，每盏灯有一根拉线开关，最初所有的电灯全是关着的，现在有100个学生在门外排着队，第一个学生走进屋，把凡是编号是1的倍数的电灯的开关拉了一下；接着第二个学生走进屋，把凡是编号是2的倍数的电灯开关拉了一下；第三个学生走进屋，把凡是编号是3的倍数的电灯开关拉了一下....最后第100个学生走进屋，把编号是100的倍数的电灯开关拉了一下，这样做过以后，问哪些编号的电灯是亮着的 为什么
47．设a，b，c，d都是正整数，并且 19，求d-b的值.
48．小磊和小轩在课外练习中碰到了一个问题，需要对多项式进行因式分解．小磊认为该整式一定有一个因式，小轩认为必有因式是，两人找到老师寻求帮助．老师提供了一个方法：因式分解是整式乘法的逆运算．若整式A能被整式B整除，则B必为A的一个因式．老师给出了演算方法：
（1）观察老师的演算后，你认为　 　同学的想法是对的；
（2）已知多项式的其中一个因式为，请试着根据老师的方法列出演算过程，并将多项式进行因式分解；
（3）若多项式能因式分解成与另一个完全平方式，求与的值．
49．完全平方公式：适当的变形，可以解决很多的数学问题．
例如：若，，求的值．
解：因为，所以，即：，
又因，所以
根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
（1）若，，则的值为______；
（2）拓展：若，则______．
（3）应用：如图，在长方形中，，，点E、F是、上的点，且，分别以、为边在长方形外侧作正方形和正方形，若长方形的面积为160，求图中阴影部分的面积和．
50．所谓完全平方式，就是对于一个整式A，如果存在另一个整式B，使A=B2，则称A是完全平方式，例如：
（1）下列各式中是完全平方式的有　 　（填序号）
（2）若和都是完全平方式，求的值.
（3）多项式：加上一个单项式后，能成为一个完全平方式，那么加上的单项式可以是哪些 （请直接写出所有可能的单项式）
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【50道解答题·专项集训】浙教版数学七年级下册第4章 因式分解
1．因式分解：
（1）；
（2）.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】【分析】本题考查提取公因式法，公式法分解因式.(1)先对式子进行变形可得：原式，再利用平方差公式进行分解因式可求出答案；
(2)先直接提取公因式2y可得：原式，再利用完全平方公式进行分解因式可求出答案．
2．因式分解：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】【分析】（1）提公因式，再用平方差公式；（2）先将式子展开，再根据完全平方公式进行分解；
3．若，求xy的值．
【答案】解：+（y﹣2）2=0，
∵≥0，（y﹣2）2≥0，
∴x﹣y=0，y﹣2=0，
解得：y=2，x=2，
∴xy=4．
【解析】【分析】首先把等式变为+（y﹣2）2=0，再根据非负数的性质可得x﹣y=0，y﹣2=0，解出x、y的值，再求出xy即可．
4．试判断 的值与 的大小关系，并证明你的结论.
【答案】解： 原式
．
【解析】【分析】先根据平方差公式 ，将原式分解因式， 再找出规律， 进行约分即可 ．
5．将下列每个多项式与因式分解适用的方法连线．
【答案】解：①2a2-2a=2a（a-1），根据提公因式法因式分解；
②b2+6b+9=（b+3）2，根据完全平方公式因式分解；
③4-c2=（2-c）（2+c），根据平方差公式因式分解；
④4x2-12x+9=（2x-3）2，根据完全平方公式因式分解；
⑤2（a-b）2-a+b=（a-b）（2a-2b-1），根据提公因式法因式分解；
∴.
【解析】【分析】先将多项式分别因式分解，再根据因式分解的方法连线即可.
6．分解因式：（2a+b）（2a﹣b）+b（4a+2b）
【答案】解：（2a+b）（2a﹣b）+b（4a+2b），
=（2a+b）（2a﹣b）+2b（2a+b），
=（2a+b）2．
【解析】【分析】运用提取公因式法进行因式分解即可．
7．设 ，求x2+y2﹣2xy的值．
【答案】解：∵x2+y2﹣2xy=（x﹣y）2，
∴把x=2+ ，y=﹣2+ 代入得：
原式=（2+ +2﹣ ）2
=16
【解析】【分析】直接利用完全平方公式分解因式，进而将已知数据代入求出答案．
8．分解因式（1）a（x﹣y）﹣b（y﹣x）；
（2）（a2+b2）2﹣4a2b2．
【答案】解：（1）原式=a（x﹣y）+b（x﹣y）=（x﹣y）（a+b）．（2）原式=（a2+b2）2﹣（2ab）2=（a2+b2+2ab）（a2+b2﹣2ab）=（a+b）2（a﹣b）2．
【解析】【分析】（1）提取公因式（x﹣y）后整理即可；
（2）先利用平方差公式分解因式，再利用完全平方公式分解因式即可．
9．分解2x4﹣3x3+mx2+7x+n，其中含因式（x+2）和（x﹣1），求m，n．
【答案】解：∵分解2x4﹣3x3+mx2+7x+n，其中含因式（x+2）和（x﹣1），
∴x=1、x=﹣2肯定是关于x的方程2x4﹣3x2+mx2+7x+n=0的两个根，
∴，
解得：．
【解析】【分析】由“多项式2x4﹣3x3+mx2+7x+n含有因式（x﹣1）和（x+2）”得到“x=1、x=﹣2肯定是关于x的方程2x4﹣3x3+mx2+7x+n=0的两个根”，所以将其分别代入该方程列出关于m、n的方程组，通过解方程组来求m、n的值．
10．“数形结合”是一种非常重要的数学思想方法，比如：在学习“整式的乘法”时，我们通过构造几何图形，用“等积法”直观地得到多项式的乘法公式.
（1）从图1可以容易得到；，等乘法公式（如图1），根据得到的乘法公式完成下列问题：
①若，，则 ▲ ；
②若x满足，求的值.
（2）观察图2，回答下列问题：
①请你从图2中得到 ▲ ；
②根据得到的结论，解决问题：若，，，，求的值.
【答案】（1）解：①28；②设则
，
因为 ，
所以
；
（2）解：①；
②由①得
．
【解析】【解答】解：（1）① ，
，
故答案为： ；
②设则
，
因为 ，
所以
；
（2）① ；
故答案为：；
②由①得
．
【分析】本题考查整式的化简求值，完全平方公式
（1）①根据完全平方公式变形可得，代入数据可求出答案；②设，根据题意可求出 和 ，再利用完全平方公式的变形：，代入数据可求出答案；
（2）①根据完全平方公式展开即可得到答案；②根据完全平方公式变形可得：，代入数据可求出答案.
11．先因式分解再求值：
（1）其中x=-5.
（2）其中：x=3，y=1.
【答案】（1）解：原式.
当x=-5时，原式
（2）解：原式=(x2+y2+2xy)(x2+y2-2xy)=(x+y)2(x -y)2.
当时，原式
【解析】【分析】（1）先变形，提公因式（x-3），再利用平方差公式分解因式，最后代入求值即可；
（2）先利用平方差公式分解因式，再利用完全平方公式进行第二次分解，最后代入求值即可.
12．
（1）因式分解：
（2）计算：
【答案】（1）原式
（2）原式
【解析】【分析】(1)根据因式分解的方法解出即可.(2)根据整式的混合运算进行计算即可.
13．一个正方形，如果先把一组对边加长 ， 再把另一组对边减少 ， 这时得到的矩形面积与原正方形的边长减少 后的正方形面积相等，求原正方形的面积．
【答案】解：设原正方形的边长为a cm，则有：
，即，解得a=5 cm.
于是原正方形面积=5×5= 25cm2.
答：原正方形的面积为2．
【解析】【分析】设原正方形的边长为a cm，根据题意分别列出边长变化后的正方形面积与长方形面积，并建立等式，等号左右各自按平方差公式、完全平方公式展开后，移项并合并同类项得到关于a的一元一次方程，求解后计算其平方即可.
14． 下列各式一定成立吗
（1）
（2）
（3）
（4）
【答案】（1）解：3(x+8)=3x+24，故原式不成立.
（2）解：，故原式不成立.
（3）解：）-(x-6)=-x+6，故原式不成立.
（4）解：-a+b=-(a-b)，故原式不成立．
【解析】【分析】根据去括号与添括号法则，逐一进行计算即可．
15．分解因式：
（1）4x2﹣12x3
（2）a2﹣ab+b2
（3）x4﹣81．
【答案】解：（1）原式=4x2（1﹣3x）；
（2）原式=（a﹣b）2；
（3）原式=（x2+9）（x2﹣9）=（x2+9）（x+3）（x﹣3）．
【解析】【分析】（1）原式提取公因式即可得到结果；
（2）原式利用完全平方公式分解即可；
（3）原式利用平方差公式分解即可．
16．分解因式：2x2﹣8．
【答案】解：2x2﹣8=2（x2﹣4）=2（x+2）（x﹣2）
【解析】【分析】先提取公因式﹣3，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
17．已知x+y=5，xy=6，求x（x+y）（x﹣y）﹣x（x+y）2．
【答案】解：∵x+y=5，xy=6，
∴原式=x（x+y）[（x﹣y）﹣（x+y）]=﹣2xy（x+y）=﹣60．
【解析】【分析】原式提取公因式后，把已知等式代入计算即可求出值．
18．化简：（3x+2y+1）2﹣（3x+2y﹣1）（3x+2y+1）
【答案】解：原式=（3x+2y+1）[3x+2y+1﹣（3x+2y﹣1）]=(3x+2y+1)[1﹣（﹣1）]=2（3x+2y+1）．
【解析】【分析】此题用提公因式法求解，把3x+2y+1提出来，进行化简计算．
19．分解因式：3x（a﹣b）﹣6y（b﹣a）
【答案】解：原式=3x（a﹣b）+6y（a﹣b）=3（a﹣b）（x+2y）．
【解析】【分析】原式变形后，提取公因式即可得到结果．
20．（1）因式分解：ax2﹣4axy+4ay2；
（2）解方程组：．
【答案】解：（1）原式=a（x2﹣4xy+4y2）=a（x﹣2y）2；（2），①×3，得3x+9y=﹣3③，③﹣②，得11y=﹣11，解得：y=﹣1，将y=﹣1代入①，得x=2，则方程组的解为．
【解析】【分析】（1）原式提取a，再利用完全平方公式分解即可；
（2）方程组利用加减消元法求出解即可．
21．分解因式：
（1）
（2）
【答案】解：（1）
；
（2）
．
．
【解析】【分析】（1）提取公因式，再根据完全平方公式进行因式分解即可求出答案.
（2）根据平方差公式进行因式分解即可求出答案.
22．分解因式：
（1）4m3n－mn3
（2）(x－1)(x－3)＋1．
【答案】（1）解：原式＝mn(4m2－n2)＝mn(2m＋n)(2m－n)
（2）解：原式＝x2－4x＋3＋1＝x2－4x＋4＝(x－2)2
【解析】【分析】（1）分解因式的三种方法：一是提公因式，二是运用公式法，三是分组分解法，先提取公因式，再根据平方差公式对提公因式后的因式进行分解即可；
（2）对于此类因式没有公因式也不能运用公式时，先将多项式相乘，再合并同类项，然后再按照先提取公因式，再运用公式的方法进行因式分解即可。
23．已知整式，整式．
（1）若，求的值；
（2）若可以分解为，求的值．
【答案】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∵可以分解为，
∴，
∴，
∴．

【解析】【分析】（1）先将整式A、B代入可得，再利用等量代换可得，最后求出a的值即可；
（2）先将整式A、B代入可得，再利用等量代换可得，最后求出a的值即可.
（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）∵，，
∴，
∵可以分解为，
∴，
∴，
∴．
24． 已知（x+a）（x+b）＝x2﹣4x+2．
（1）求（a﹣1）（b﹣1）的值．
（2）求（a﹣b）2的值．
【答案】（1）解：∵（x+a）（x+b）
＝x2+（a+b）x+ab
＝x2﹣4x+2，
∴a+b＝﹣4，ab＝2，
∴（a﹣1）（b﹣1）
＝ab﹣（a+b）+1
＝2+4+1
＝7；
（2）解：（a﹣b）2
＝（a+b）2﹣4ab
＝16﹣8
＝8．
【解析】【分析】(1)根据可得然后将最后将代入即可求值；
（2）根据完全平方公式运算法则可以将变形为即可求值.
25．在分解因式 时， 甲看错了 的值， 分解的结果是 ， 乙看错了 的值， 分解的结果是 ， 求 的值．
【答案】解： 分解因式 时， 甲看错了 的值，分解的结果是 ，
且 ， ．
乙看错了 的值， 分解的结果是 ，
【解析】【分析】利用多项式×多项式可分别逆推b、a值，然后相加即可求解.
26．下列各式从左到右的变形中， 是整式乘法的填“A”， 是因式分解的填“B”， 两者都不是的填"C"．
（1） ．（　 　 ）
（2） ．（ 　 　）
（3） ．（ 　 　）
（4） ．（ 　 　）
（5） ．（ 　 　）
【答案】（1）C
（2）A
（3）B
（4）C
（5）B
【解析】【解答】（1）（4）等号左边是多形式，等号右边整体不是乘积形式，既不属于整式乘法，也不属于因式分解，故填“C”；
（2）等号左边是乘积形式，右边是多项式，属于整式乘法，故填“A”；
（3）（5）等号左边是多项式，右边是乘积形式，且分解彻底，属于因式分解，故填“B”.
【分析】根据整式乘法以及因式分解的定义判断.
整式乘法：指单项式与单项式、单项式与多项式、以及多项式与多项式相乘；
因式分解：因式分解 是将一个多项式转化为几个整式的积的形式的过程.
27．分解因式：4n2（m﹣1）+9﹣9m．
【答案】解：4n2（m﹣1）+9﹣9m=4n2（m﹣1）﹣9（m﹣1）=（m﹣1）（4n2﹣9）=（m﹣1）（2n+3）（2n﹣3）．
【解析】【分析】将9﹣9m提公因式后，再提公因式（m﹣1），再根据平方差公式进行下一步分解．
28．给出三个多项式X＝2a2+3ab+b2，Y＝3a2+3ab，Z＝a2+ab，请你任选两个进行加（或减）法运算，再将结果分解因式．
【答案】解答一：Y+Z＝（3a2+3ab）+（a2+ab）＝4a2+4ab＝4a（a+b）；解答二：X﹣Z＝（2a2+3ab+b2）﹣（a2+ab）＝a2+2ab+b2＝（a+b）2；解答三：Y﹣X＝（3a2+3ab）﹣（2a2+3ab+b2）＝a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
【解析】【分析】根据整式加法法则算出 Y+Z ，再利用提公因式法分解因式；根据整式加法法则算出 X-Z ，再利用完全平方公式法分解因式；根据整式加法法则算出 Y-X ，再利用平方差公式法分解因式。
29．如图1是一个长为2m、宽为2n的长方形，用剪刀沿图中虚线均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．
（1）请用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积（结果不化简）：
方法1：　 　；方法2：　 　．
（2）观察图2，请写出，三个式子之间的等量关系．
（3）若，结合（2）中的等量关系，求的值．
【答案】（1）(m-n)2；(m+n)2-4mn
（2）解：由(1)可得：(m-n)2=(m+n)2-4mn；
（3）解：由（2）得：(m-n)2=(m+n)2-4mn，
因为，
则(2a-b)2=(2a+b)2-4×2ab=52-4×2×2=25-16=9，
则2a-b=±3
【解析】【解答】解：(1)方法1：根据题意可知，图②中阴影部分正方形的边长等于m-n，
所以阴影部分的面积等于：(m-n)2；
方法2：图②中阴影部分的面积等于(m+n)2-4mn.
故答案为：(m-n)2；(m+n)2-4mn.
【分析】(1)方法1：求出阴影部分的边长m-n，再根据正方形的面积公式进行计算；方法2：用大正方形的面积减去小正方形的面积；
(2)根据(1)得出的阴影部分的面积进行解答即可；
(3)根据(2)的公式，代入解答即可.
30．如图①，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形 图②是由图①中阴影部分拼成的一个长方形.
（1）观察图①、图②，当用不同的方法表示图中阴影部分的面积时，可以得出一个因式分解的等式，则这个等式是　 　；
（2）如果大正方形的边长a比小正方形的边长b多3，它们的面积相差57，试利用(1)中得到的等式求a，b的值.
【答案】（1）
（2）由题意可得 ∴，
联立解得∴，的值分别是11，8.
【解析】【解答】解：(1)由图1可得阴影部分的面积： 由图2可得阴影部分的面积：=(a-b)(a+b)，
∴可得公式为(
故答案为
【分析】(1)根据阴影部分的面积相等可得出公式；
(2)由平方差公式可求a+b=19，连接方程组可求解.
31．已知多项式x2+（m+k）x+k可以分解因式为（x+2）（x+4），求m、k的值．
【答案】解：（x+2）（x+4）=x2+6x+8=x2+（m+k）x+k，
，
解得．
【解析】【分析】根据因式分解与整式的乘法互为逆运算，可得答案．
32．已知，，求的值.
【答案】解：
，
∵，，
∴原式.
【解析】【分析】首先提取公因式3xy，然后利用完全平方公式分解可将待求式变形为3xy(x-y)2，然后将已知条件代入进行计算.
33．已知a+2b=5，a-2b=3，求5a2- 20b2的值．
【答案】解：∵a+2b=5，a-2b=3，
∴5a2-20b2=5（a2-4b2）=5（a+2b）（a-2b）=5×5×3=75.
【解析】【分析】通过观察可以发现：多项式5a2-20b2中，每一项都含有公因式5，所以可以先提取公因式5，把5a2-20b2化为5（a2-4b2）的形式，然后可以发现：a2-4b2可以化为（a+2b）（a-2b），所以最终5a2-20b2分解为5（a+2b）（a-2b）.然后把已知a+2b=5，a-2b=3代入5a2-20b2求出代数式的值即可.
34．如图①是由方尊缶（中间小正方形，冷藏食物）和方鉴（外围大正方形，放置冰块）组成的青铜冰鉴，古人用于冷藏保存食物，其从上面看到的图形如图②所示，若大正方形的边长为（2a+b），小正方形的边长为（2a-b），求放置冰块部分的面积.
【答案】解：由题意得，放置冰块部分的面积
=(2a+b+2a-b)(2a+b-2a+b)
=4a·2b
=8ab.
【解析】【分析】从图②中可以看出，放置冰块部分的面积就是大正方形面积减去小正方形的面积，然后列式首先利用平方差公式进行因式分解，最后分别合并同类项进行计算即可。
35．已知：A=4x+y，B=4x﹣y，计算A2﹣B2．
【答案】解：∵A=4x+y，B=4x﹣y，
∴A2﹣B2=（A+B）（A﹣B）
=（4x+y+4x﹣y）（4x+y﹣4x+y）
=8x×2y
=16xy．
【解析】【分析】直接利用平方差公式将原式变形，进而求出答案．
36．下面是某同学对多项式（x2﹣4x+2）（x2﹣4x+6）+4进行因式分解的过程
解：设x2﹣4x=y，
原式=（y+2）（y+6）+4　（第一步）= y2+8y+16　（第二步）
=（y+4）2（第三步） = （x2﹣4x+4）2（第四步）
（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的____（填序号）．
A．提取公因式 B．平方差公式
C．两数和的完全平方公式 D．两数差的完全平方公式
（2）该同学在第四步将y用所设中的x的代数式代换，得到因式分解的最后结果．这个结果是否分解到最后？　 　．（填“是”或“否”）如果否，直接写出最后的结果　 　．
（3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1进行因式分解．
【答案】（1）C
（2）否；
（3）解：设，
则原式
．
【解析】【解答】解：（1）写出是两个数和的完全平方公式，
故选：C；
（2）该同学因式分解的结果不彻底，．
故答案为：否，
【分析】本题考查因式分解的应用．
（1）式子可写成：，再根据完全平方公式的特点可选出选项；
（2）根据完全平方公式的特点可知：，据此可知分解不彻底，再利用积的乘方可分解出因式；
（3）先设，进行换元后括号展开，再利用完全平方公式可得，再换回原来的式子，再次利用完全平方公式可分解出因式．
37．已知 互为相反数，且满足 ，求 的值.
【答案】解：∵m与n互为相反数，
∴m+n=0①，
∵（m+4）2-（n+4）2=[（m+4）+（n+4）][（m+4）-（n+4）]=（m+n+8）（m-n）=16，
∴8（m-n）=16，即m-n=2②，
联立①②解得：m=1，n=-1，
则m2+n2- =1+1+1=3．
【解析】【分析】由m与n互为相反数得到m+n=0，将已知等式左边利用平方差公式分解因式，将m+n的值代入得到m-n=2，两方程联立组成方程组求出m与n的值，代入所求式子中计算即可求出值．
38．2x2﹣12xy2+8xy3．
【答案】解：2x2﹣12xy2+8xy3=2x（x﹣6y2+4y3）．
【解析】【分析】直接提取公因式2x，进而得出答案即可．
39．一个长为4a、宽为b的长方形如图（a）所示，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回”形正方形，如图（b）所示．
（1）根据上述过程，写出，，ab之间的等量关系：　 　；
（2）利用（1）中的结论，若，，则的值是　 　；
（3）如图（c），实际上通过计算图形的面积可以探求相应的等式，请你根据图形写出这个等式：　 　；
（4）两个正方形ABCD，AEFG如图（d）所示，边长分别为x，y，若，，求图中阴影部分的面积和．
【答案】（1）
（2）12
（3）
（4）解：∵，∴．①∴．∵，∴．
∵，且，∴．②
由①＋②，得，∴．
∴
．
【解析】【分析】(1)由图a、b的面积关系可直接推导三个代数式的关系式；
(2)利用(1)式中的关系式，代入直接求值即可；
(3)通过求长方形的面积可推导这个成立的关系式，一是直接当作长方形将长宽求出，乘积即为面积；二是将整个长方形拆分成小正方形与长方形，分别求出加起来即可，两者相等即为所求；
(4)由(1)关系式，可得xy=15，而由大正方形的面积为64可得x+y=8，进而得到x与y的值，最后可直接求阴影部分的面积.
40．已知：x2+bx+c（b、c为整数）是3（x4+6x2+25）及3x4+4x2+28x+5的公因式，求b、c的值．
【答案】解：∵二次三项式x2+bx+c既是x4+6x2+25的一个因式，也是3x4+4x2+28x+5的一个因式，
∴也必定是x4+6x2+25与3x4+4x2+28x+5差的一个因式，而3（x4+6x2+25）﹣（3x4+4x2+28x+5）=14（x2﹣2x+5），
∴x2﹣2x+5=x2+bx+c，
∴b=﹣2，c=5．
【解析】【分析】根据二次三项式x2+bx+c既是x4+6x2+25的一个因式，也是3x4+4x2+28x+5的一个因式，我们可得到x2+bx+c也必定是x4+6x2+25与3x4+4x2+28x+5差的一个因式．通过做差，就实现了降次，最高次幂成为2，与二次三项式x2+bx+c关于x的各次项系数对应相等，解得b、c的值．
41．已知.
（1）求、的值；
（2）求的值.
【答案】（1）解：∵
∴①，
②，
由①+②可得：；由①-②可得：，即.
（2）解：∵，，
∴.
【解析】【分析】根据题意，熟练应用完全平方公式的变形，结合已知条件进行分析求解，即可求解.
（1）∵
∴①，
②，
由①+②可得：；由①-②可得：，即；
（2）∵，，
∴.
42．分解因式：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：原式，
（2）原式
【解析】【分析】本题考查因式分解，因式分解的步骤是“先提公因式，再用公式”，需熟练掌握平方差公式和完全平方公式的结构特征，确保分解彻底.（1）先提公因式b，再用平方差公式分解为.
（2）先提公因式3，再利用完全平方公式分解为.
（1）解：原式，
；
（2）原式
43．把几个图形拼成一个新的图形，通过图形面积的计算，常常可以得到一些等式，这是研究数学问题的一种常用方法．我们在学习“从面积到乘法公式”时，曾用两种不同的方法计算同一个图形的面积，探索了完全平方公式：（如图1）．
（1）观察图2，请你写出、、之间的等量关系是　 　；
（2）拓展应用：根据（1）中的等量关系及课本所学的完全平方公式知识，解决如下问题：
若，且，求的值；
（3）若，求的值；
（4）如图3，在中，，点在边上，，在边上取一点，使，分别以为边在外部作正方形和正方形，连接，若的面积等于，设，求正方形和正方形的面积和．
【答案】（1）
（2）解：由（1）可得，
，
，
，
；
（3）解：
，
，
，
；
（4）解：设，则，
，
，
，
，
令，
，
正方形和正方形的面积和：
．
【解析】【解答】（1）解：由图可知：大正方形的面积等于4个长方形的面积加上阴影正方形的面积
∴；
故答案为：．
【分析】（1）有图形可得，大的正方形的面积等于四个长方形的面积加小正方形的面积，求解即可；
（2）由（1）中的结论，可得，求得，再开方根据 求解即可；
（3）由题意可得，根据可得，整体代入求解即可；
（4）设，则，根据线段的和差关系可得，，，根据的面积得到，再根据，结合（1）的结论，求解即可．
（1）解：由图可知：大正方形的面积等于4个长方形的面积加上阴影正方形的面积
∴；
（2）由（1）可得，
，
，
，
；
（3），
，
，
；
（4）设，则，
，
，
，
，
令，
，
正方形和正方形的面积和：
．
44．已知两互不相等的正整数a，b满足 求a+b的值.
【答案】解：由条件得
∴(a+1+b)(a+1-b)=2019=3×673，
∵a+1+b>a+1-b>1，
∴a+1+b=673，
∴a+b=672.
【解析】【分析】首先根据完全平方公式，得出a2+2a+1=(a+1)2，然后再根据平方差公式，把原等式左边进行因式分解得出(a+1+b)(a+1-b)=2019=3×673，因a+1+b>a+1-b>1，即可得出a+1+b=673，进而求出a + b的值。
45．完全平方公式：，是多项式乘法中的重要公式之一，它经过适当变形可以解决很多数学问题
例如：若a＋b＝2，ab＝1，求的值．
解：．
根据以上信息回答下列问题：
（1）若m＋n＝4，，求mn的值；
（2）若，ab＝﹣5，求a﹣2b的值；
（3）如图，长方形ABCD的面积为6，BC>2AB．在长方形ABCD外分别以BC，AD为边作正方形BCQP和正方形ADNM，在长方形ABCD内以AB，CD为边分别作正方形CDEF和正方形ABGH．若阴影部分的周长为38，求阴影部分的面积．
【答案】（1）解： ∵
∴ 42-2mn=25
∴ mn=
（2）解：∵
∴ (a-2b)2+4×（-5）=11
∴ (a-2b)2=31
∴ a-2b=
（3）解：如图
设长方形ABCD的长AD=BC为a，宽AB=DC为b，则ab=6
∵ 正方形ABHG，正方形DEFC，正方形AMND，正方形BPQC，
∴ S正ABHG= S正DEFC=b2， S正AMND= S正BPQC=a2
∴ S阴影=S正ABHG+ S正DEFC+S正AMND+ S正BPQC=2（b2+a2）
∵ 阴影部分的周长为38
∴ 8a+4b=38 即4a+2b=19
∴ （4a+2b）2=192
∴ （4a-2b）2=（4a+2b）2-32ab=192-32×6=169
∴ （4a-2b）2=169
∵ BC＞2AB
∴ a＞2b
∴ 4a＞2b即4a-2b＞0
∴ 4a-2b=13
联立解得a=4，b=
则S阴影=2（b2+a2）=2（16+）=
【解析】【分析】本题考查完全平方公式的变形应用求值，灵活变形，解二元一次方程组是解题关键。（1）用完全平方公式变形，得 即可；（2）先求，可得 a-2b的值；（3）设长方形ABCD的长AD=BC为a，宽AB=DC为b，则ab=6，表示S阴影=2（b2+a2）；根据阴影周长得4a+2b=19；利用完全平方公式变形后得4a-2b=13，联立可得a，b值，可得S阴影.
46．在同一间屋子里有100盏电灯排成一横行，依次从左到右的顺序编上号码1、2、3、....100，每盏灯有一根拉线开关，最初所有的电灯全是关着的，现在有100个学生在门外排着队，第一个学生走进屋，把凡是编号是1的倍数的电灯的开关拉了一下；接着第二个学生走进屋，把凡是编号是2的倍数的电灯开关拉了一下；第三个学生走进屋，把凡是编号是3的倍数的电灯开关拉了一下....最后第100个学生走进屋，把编号是100的倍数的电灯开关拉了一下，这样做过以后，问哪些编号的电灯是亮着的 为什么
【答案】解：因为最初所有电灯是关着的，所以只有哪些拉了奇数次开关的电灯才是亮的，而每一盏电灯的拉线开关被拉了多少次取决于这盏灯的编号的数字有多少个不同的正约数，最后亮着的灯的编号只有为完全平方数。
所以，只有编号为1，4，9，16，25，36，49，64，81，100的电灯最后是亮着的。
【解析】【分析】根据数的奇偶性，最后亮着的灯的编号只有为完全平方数。
47．设a，b，c，d都是正整数，并且 19，求d-b的值.
【答案】解：
由c-a=19得 即
因为19是质数， 是自然数，而且 得 解得n=10，m=3，
所以
【解析】【分析】设 这样，a，b可用m的式子表示，c，d可用n的式子表示，通过减少字母的个数降低问题的难度.
48．小磊和小轩在课外练习中碰到了一个问题，需要对多项式进行因式分解．小磊认为该整式一定有一个因式，小轩认为必有因式是，两人找到老师寻求帮助．老师提供了一个方法：因式分解是整式乘法的逆运算．若整式A能被整式B整除，则B必为A的一个因式．老师给出了演算方法：
（1）观察老师的演算后，你认为　 　同学的想法是对的；
（2）已知多项式的其中一个因式为，请试着根据老师的方法列出演算过程，并将多项式进行因式分解；
（3）若多项式能因式分解成与另一个完全平方式，求与的值．
【答案】（1）小磊
（2）解：根据题意得：
∴将多项式进行因式分解为：
（3）解：根据题意得：
∴
∵多项式能因式分解成与另一个完全平方式，
∴是一个完全平方式，
∴，
∴，
n=m+4=4．
∴m=0， n=4
【解析】【解答】（1）解：根据题意可得：，
，
∴该整式一定有一个因式，没有因式是，
∴小磊同学的想法是对的；
【分析】（1）根据题意观察老师列的竖式发现原式除以（x+2）没有余数，原式除以（x-2）有余数，说明没有余数的是对的。
（2）根据老师提供的方法进行结合整数的竖式除法解答即可；
（3）根据题意列出竖式，得出，，根据多项式能因式分解成与另一个完全平方式，即是一个完全平方。得出，求出m=0、然后把m=0代入n-（m+4）中求出n的值．
49．完全平方公式：适当的变形，可以解决很多的数学问题．
例如：若，，求的值．
解：因为，所以，即：，
又因，所以
根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
（1）若，，则的值为______；
（2）拓展：若，则______．
（3）应用：如图，在长方形中，，，点E、F是、上的点，且，分别以、为边在长方形外侧作正方形和正方形，若长方形的面积为160，求图中阴影部分的面积和．
【答案】（1）12
（2）10
（3）解：四边形是长方形，
，，
，
，，
设，，
，
长方形的面积为160，
，
正方形的面积正方形的面积
，
图中阴影部分的面积和为384．
【解析】【解答】（1）解：，，
，
．
故答案为：12；
（2）解：设，，
，
，
，
．
故答案为：10.
【分析】（1）利用完全平方式的特征及变形求出，再求出即可；
（2）设，，先求出ab=3，再求出即可；
（3）设，，先求出a-b=8，ab=160，再求出正方形的面积正方形的面积，从而得解.
（1）解：，，
，
．
（2）解：设，，
，
，
，
．
（3）解：四边形是长方形，
，，
，
，，
设，，
，
长方形的面积为160，
，
正方形的面积正方形的面积
，
图中阴影部分的面积和为384．
50．所谓完全平方式，就是对于一个整式A，如果存在另一个整式B，使A=B2，则称A是完全平方式，例如：
（1）下列各式中是完全平方式的有　 　（填序号）
（2）若和都是完全平方式，求的值.
（3）多项式：加上一个单项式后，能成为一个完全平方式，那么加上的单项式可以是哪些 （请直接写出所有可能的单项式）
【答案】（1）①③④⑤
（2）解：和都是完全平方式，
∴m=4，n=±1，
当n=1时， ；
当n=-1时，.
（3）解：单项式可以为-1，-9x2，6x，-6x或x4.
【解析】【解答】解：（1）①∵a6=(a3)2，∴①式是完全平方式；
③，∴③式是完全平方式；
④∵x2+4xy+4y2=x2+2x2y+(2y)2=(x+2y)2，∴④式是完全平方式；
⑤∵，∴⑤式是完全平方式；
a2-ab+b2与x2-6x-9都不能写成一个整式的完全平方，所以它们都不是完全平方式，
综上完全平方式有①③④⑤.
故答案为：①③④⑤；
（3）∵9x2+1-1=9x2=（3x）2，
9x2+1-9x2=1=12，
9x2+6x+1=(3x+1)2，
9x2-6x+1=(3x-1)2，
，
∴多项式9x2+1加上单项式-1，-9x2，6x，-6x或x4可以构成一个完全平方式.
【分析】（1）判断给出的各个式子能否写成一个整式的完全平方即可；
（2）形如“a2±2ab+b2”的式子就是完全平方式，据此可求出m、n的值，再代入待求式子计算可得答案；
（3）根据完全平方式的定义，在多项式9x2+1加上单项式后，所得的式子能写成一个整式的完全平方即可.
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