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分式 单元同步真题检测卷
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．分式 的值是 ，则 的值为（　　）
A．3 B．1 C．-1 D．-3
2．化简 的结果为 ，则M为（　　）
A． B． C． D．
3．如果把分式 中的a、b都扩大2倍，那么分式的值一定（　　）
A．是原来的2倍 B．是原来的4倍 C．是原来的 D．不变
4．某市铺设一条长660米的管道，为了尽量减少施工对城市交通造成的影响，实际施工时每天铺设的管道长比计划增加10%，结果提前6天完工，求实际每天铺设管道长度及实际施工天数，小明列出方程： =6，题中x表示的量为（　　）
A．实际每天铺设管道长度 B．实际施工天数
C．计划施工天数 D．计划每天铺设管道的长度
5．对于正数x，规定f（x）= 1 1 + x ，例如f（2）= 1 1 + 2 = 1 3 ，f（ 1 4 ）= 1 1 + 1 4 = 4 5 ，则f（2015）+f（2014）+…+f（2）+f（1）+f（ 1 2 ）+…+f（）+f ()的值是（　　）
A．2014 B．2015 C．2014.5 D．2015.5
6．已知关于x的分式方程无解，则a的值是（　　）
A． B．3或0 C．或4 D．4
7．分式 的分母经过通分后变成2（a﹣b）2（a+b），那么分子应变为（　　）
A．6a（a﹣b）2（a+b） B．2（a﹣b）
C．6a（a﹣b） D．6a（a+b）
8．赛龙舟是端午节的主要习俗之一，也是中国民俗传统与运动精神的完美结合.2019年起，深圳大沙河生态长廊龙舟邀请赛连续4年举办，已然成为深圳市标志性的体育赛事.2022年龙舟邀请赛设置了标准龙舟（22人龙舟）500米直道竞速赛项目，其中甲、乙两队参加比赛（比赛起点相同），甲队每秒的速度比乙队快0.5米，结果甲队比乙队提前14秒到达终点．设甲队的速度为米/秒，下列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
9．商家常将单价不同的A，B两种糖混合成“什锦糖”出售，记“什锦糖”的单价为：A，B两种糖的总价与A，B两种糖的总质量的比．现有两种“什锦糖”：一种是由相同千克数的A种糖和B种糖混合而成的“什锦糖”甲，另一种是由相同金额数的A种糖和B种糖混合而成的“什锦糖”乙．若B种糖比A种糖的单价贵40元/千克，“什锦糖”甲比“什锦糖”乙的单价贵5元/千克，则A种糖的单价为（　　）
A．50元/千克 B．60元/千克 C．70元/千克 D．80元/千克
10．关于x，y的方程xy﹣x+y＝﹣3的整数解（x，y）的对数为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如果关于x的分式方程 有增根，那么m的值为　 　．
12．若 的值为 ，则 的值为　 　．
13．计算： 　 　.
14．与分式 的和等于 的分式是　 　.
15．计算： =　 　．
16．关于的方程无解，则的值为　 　．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．解方程：
（1）；
（2）．
18．下面是甲、乙两位同学解分式方程的过程：
甲同学：解：去分母，得：，解得：，检验：当时，，∴分式方程的解为． 乙同学：解：去分母，得：，解得：，检验：当时，，∴分式方程无解．
（1）请判断甲、乙的解法是否正确？如果正确，请在框内打√；如果不正确，请在框内打×．
（2）请写出你认为正确的过程解答此方程．
19．昭通苹果和天麻美味可口，小明在昆明某超市购买1市斤昭通苹果和2市斤小草坝天麻需要支付105元，购买3市斤昭通苹果和5市斤小草坝天麻需要265元．
（1）1市斤昭通苹果和1市斤小草坝天麻的单价分别是多少元？
（2）昆明到昭通的距离大约350km，以前超市老板都会亲自去往昭通选果，但今年的疫情原因，只能选择专车托运，以前花240元进购的苹果现在要花300元，进货单价比原来贵了1元，原来1市斤苹果进货单价为多少？
20．甲、乙两个工程队分别完成36千米的道路施工任务．甲队计划前18千米按每天施工m千米完成，剩下的18千米按每天施工n千米完成；乙队计划一半的时间每天施工m千米，另一半的时间每天施工n千米．
（1）当时，甲队恰好6天完成任务，求m的值；
（2）如果按照各自施工计划，甲队和乙队谁更早完成施工任务？请说明理由．
21．为了加强学生体育锻炼，某班计划购买部分跳绳和实心球，已知每条跳绳的价格比每个实心球的价格少23元，且84元购买跳绳的数量与360元购买实心球的数量相同.
（1）跳绳和实心球的单价各是多少元？
（2）如果本次购买的总费用为 510元，且购买跳绳的数量是实心球数量的3 倍，那么购买跳绳和实心球的数量各是多少？
22． 如图，共享单车停放点 A，B 和电影院 C 依次在同一自西向东的道路上.小天和小台从两停放点之间的 P 点同时出发，去往 3060 米远的电影院.小天先步行 3 分钟到停放点 A，然后骑共享单车去往电影院；小台先步行 6 分钟到停放点 B，然后骑共享单车去往电影院.已知两人步行速度均为 60 米/分，小天的骑车速度是小台骑车速度的 0.9 倍，两人同时到达电影院.
（1） 求停放点 A，B 之间的距离；
（2） 请分别求出小天和小台的骑车速度；
（3） 小山同学在线段 AC 之间的 Q 处，当他得知小天和小台已经出发 1 分钟后，马上走到离他最近的共享单车停放点，骑车赶往电影院，结果三人同时到达电影院.已知小山的步行速度为 70 米/分，他骑车速度与小天相同.求小山出发点 Q 和电影院 C 之间的距离.
23．已知：P=x+2，Q=
（1）当x>0时，判断P与Q的大小关系，并说明理由．
（2）设，若x，y均为非零整数，求xy的值．
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分式 单元同步真题检测卷
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．分式 的值是 ，则 的值为（　　）
A．3 B．1 C．-1 D．-3
【答案】A
【解析】【解答】解：由题意可得：x-3=0且x+1≠0，解得x=3.
故答案为A.
【分析】根据分式值为0的条件可得x-3=0且x+1≠0，求解即可.
2．化简 的结果为 ，则M为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：由题意得 =
所以M= ．
故答案为：C．
【分析】由题意得 = 即M= ，然后计算即可．
3．如果把分式 中的a、b都扩大2倍，那么分式的值一定（　　）
A．是原来的2倍 B．是原来的4倍 C．是原来的 D．不变
【答案】D
【解析】【解答】解：把2a、2b代入分式可得 = = ，
可知分式的值没有改变，
故选：D．
【分析】根据题意把2a、2b代入分式得到一个新的分式，然后比较分式与原式的值．
4．某市铺设一条长660米的管道，为了尽量减少施工对城市交通造成的影响，实际施工时每天铺设的管道长比计划增加10%，结果提前6天完工，求实际每天铺设管道长度及实际施工天数，小明列出方程： =6，题中x表示的量为（　　）
A．实际每天铺设管道长度 B．实际施工天数
C．计划施工天数 D．计划每天铺设管道的长度
【答案】D
【解析】【解答】解：设原计划每天铺设管道 米，则实际每天铺设管道 ，
根据题意，可列方程： ，
所以小明所列方程中未知数 所表示的量是计划每天铺设管道的长度，
故答案为：D．
【分析】根据计划所用时间-实际所用时间=6，可知方程中未知数x所表示的量．
5．对于正数x，规定f（x）= 1 1 + x ，例如f（2）= 1 1 + 2 = 1 3 ，f（ 1 4 ）= 1 1 + 1 4 = 4 5 ，则f（2015）+f（2014）+…+f（2）+f（1）+f（ 1 2 ）+…+f（）+f ()的值是（　　）
A．2014 B．2015 C．2014.5 D．2015.5
【答案】C
【解析】【解答】解：由题意得：f（x）+f（）==1，
则原式=[f（2015）+f（）]+[f（2014）+f（）]+…+[f（2）+f（）]+f（1）=1+1+…+1+=2014.5，
故选C．
【分析】由题意得到f（x）+f（）=1，原式结合后相加即可得到结果．
6．已知关于x的分式方程无解，则a的值是（　　）
A． B．3或0 C．或4 D．4
【答案】C
【解析】【解答】解：，
方程两边同乘，得：，
整理得：，
①若，该整式方程无解，原分式方程也无解，
此时；
②若，该整式方程的解为：，
∵原分式方程无解，
∴是方程的增根，
∵，
∴x=0或x=3.
∴或，
解得：，
综上所述，a的值为4或3．
故答案为：C．
【分析】分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解，或解这个整式方程得到的解是原分式方程的增根．分式方程整理得．再分两种情况讨论：①若，方程无解；②若，整式方程的解为，根据原分式方程无解，得到或，求解即可．
7．分式 的分母经过通分后变成2（a﹣b）2（a+b），那么分子应变为（　　）
A．6a（a﹣b）2（a+b） B．2（a﹣b）
C．6a（a﹣b） D．6a（a+b）
【答案】C
【解析】【解答】解： = = ．
故选C．
【分析】分式 的分母a2﹣b2=（a﹣b）（a+b），经过通分后变成2（a﹣b）2（a+b），那么分母乘以了2（a﹣b），根据分式的基本性质，将分子3a乘以2（a﹣b），计算即可得解．
8．赛龙舟是端午节的主要习俗之一，也是中国民俗传统与运动精神的完美结合.2019年起，深圳大沙河生态长廊龙舟邀请赛连续4年举办，已然成为深圳市标志性的体育赛事.2022年龙舟邀请赛设置了标准龙舟（22人龙舟）500米直道竞速赛项目，其中甲、乙两队参加比赛（比赛起点相同），甲队每秒的速度比乙队快0.5米，结果甲队比乙队提前14秒到达终点．设甲队的速度为米/秒，下列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：设甲队的速度为x米/秒，乙队的速度为(x-0.5)米/秒，
，
故答案为：C.
【分析】设甲队的速度为x米/秒，由甲队每秒的速度比乙队快0.5米可知乙队的速度为(x-0.5)米/秒，再根据两队的路程相等，甲队比乙队提前14秒到达终点可列出分式方程.
9．商家常将单价不同的A，B两种糖混合成“什锦糖”出售，记“什锦糖”的单价为：A，B两种糖的总价与A，B两种糖的总质量的比．现有两种“什锦糖”：一种是由相同千克数的A种糖和B种糖混合而成的“什锦糖”甲，另一种是由相同金额数的A种糖和B种糖混合而成的“什锦糖”乙．若B种糖比A种糖的单价贵40元/千克，“什锦糖”甲比“什锦糖”乙的单价贵5元/千克，则A种糖的单价为（　　）
A．50元/千克 B．60元/千克 C．70元/千克 D．80元/千克
【答案】B
【解析】【解答】解：设A、B两种糖的单价为x、y， “什锦糖”甲 混合时所谓的相同质量是m， “什锦糖”乙 混合时所谓的相同金额是n， “什锦糖”甲单价为a， “什锦糖”甲单价为b， 则：
，
把y=40+x代入上式解得：x=60.
故答案为：B
【分析】根据题意设单价、数量和金额等未知量，注意有些未知量是为解题需要，但设而不求，分别计算两种情况下的“什锦糖”单价，结合已知的单价关系，解出x即可。
10．关于x，y的方程xy﹣x+y＝﹣3的整数解（x，y）的对数为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【解析】【解答】解：∵xy﹣x+y＝﹣3，
∴，解得，
则x，y为整数，（其中）
当x>3时，y的分母永远比分子大，故不可能为整数，
当x=3时，y=0，符合题意，
当x=2时，y=，舍去，
当x=1时，y=-2，符合题意，
当x=0时，y=-3，符合题意，
当x=-2时，y=5，符合题意，
当x=-3时，y=3，符合题意，
当x=-4时，y=，舍去，
当x=-5时，y=2，符合题意，
当x<-5时，y不可能有整数解，
∴关于x，y的方程xy﹣x+y＝﹣3的整数解（x，y）的对数共6对，
故答案为：D.
【分析】分别将x用含有y的代数式表示出来，将y用含有x的代数式表示出来，因为x，y均为整数，且各自的分母不能为0，分类讨论，即可求解.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如果关于x的分式方程 有增根，那么m的值为　 　．
【答案】-4
【解析】【解答】解： ，
去分母，方程两边同时乘以 ，得： ，
由分母可知，分式方程的增根可能是2，
当 时， ，
..．
故答案为 ．
【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根 所以应先确定增根的可能值，让最简公分母 ，确定可能的增根；然后代入化为整式方程的方程求解，即可得到正确的答案．
12．若 的值为 ，则 的值为　 　．
【答案】1
【解析】【解答】解：∵ 的值为 ，即
∴
∴
故答案为：1
【分析】根据题意可得，化简可得，再将原式变形为即可。
13．计算： 　 　.
【答案】x+5
【解析】【解答】公分母为x﹣5，将分母化为同分母，再将分子因式分解，约分：
.
故答案为：x+5.
【分析】将代数式转化为同分母分式相加，然后利用同分母分式相加，分母不变，把分子相加，然后化简即可。
14．与分式 的和等于 的分式是　 　.
【答案】
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ 与 的和等于 .
故答案为： .
【分析】已知一个加数与两个加数的和求另一个加数，则利用和减去另一个加数列式，然后进行分式的减法运算，即可求出结果.
15．计算： =　 　．
【答案】
【解析】【解答】原式= = ，
故答案为：
【分析】先算分式的乘方运算，再算乘法。约分化成最简分式。
16．关于的方程无解，则的值为　 　．
【答案】-5
【解析】【解答】解：去分母，得3x-2=m+x+1，因为原分式方程无解，所以x=-1，所以-3-2=m-1+1，解得m=-5.
故答案为：.
【分析】去分母，将分母为0的未知数的值代入，转化待求字母的方程求解.
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．解方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：∵，去分母，得30（x+1）=20x，去括号，得30x+30=20x，移项、合并同类项，得10x=-30，系数化为1，得x=-3，检验：当时，，是原方程的根．
（2）解：∵，去分母，得，去括号，得，移项、合并同类项，得4x=-8，系数化为1，得x=-2，检验：当时，，是原方程的增根，原方程无解．
【解析】【分析】（1）先去分母，再去括号，然后移项、合并同类项，最后系数化为1并检验即可；
（2）先去分母，再去括号，然后移项、合并同类项，最后系数化为1并检验即可。
18．下面是甲、乙两位同学解分式方程的过程：
甲同学：解：去分母，得：，解得：，检验：当时，，∴分式方程的解为． 乙同学：解：去分母，得：，解得：，检验：当时，，∴分式方程无解．
（1）请判断甲、乙的解法是否正确？如果正确，请在框内打√；如果不正确，请在框内打×．
（2）请写出你认为正确的过程解答此方程．
【答案】（1）解：∵甲同学漏乘分母，乙同学应为，∴甲、乙的解法都是错误的；
即
甲同学：
解：去分母，得：，
解得：，
检验：当时，，
∴分式方程的解为． 乙同学：
解：去分母，得：，
解得：，
检验：当时，，
∴分式方程无解．
（2）解：
，
检验：当时，，
∴分式方程的解为．
【解析】【分析】（）利用分式方程的解法逐步判断即可解答；
（）利用分式方程的解法解题即可.
（1）∵甲同学漏乘分母，乙同学应为，
∴甲、乙的解法都是错误的；
即
甲同学：解：去分母，得：，解得：，检验：当时，，∴分式方程的解为． 乙同学：解：去分母，得：，解得：，检验：当时，，∴分式方程无解．
（2）解：
，
检验：当时，，
∴分式方程的解为．
19．昭通苹果和天麻美味可口，小明在昆明某超市购买1市斤昭通苹果和2市斤小草坝天麻需要支付105元，购买3市斤昭通苹果和5市斤小草坝天麻需要265元．
（1）1市斤昭通苹果和1市斤小草坝天麻的单价分别是多少元？
（2）昆明到昭通的距离大约350km，以前超市老板都会亲自去往昭通选果，但今年的疫情原因，只能选择专车托运，以前花240元进购的苹果现在要花300元，进货单价比原来贵了1元，原来1市斤苹果进货单价为多少？
【答案】（1）解：设一市斤昭通苹果和一市斤小草坝天麻的单价分别是x元和y元，依题意得： ，解得：，
∴一市斤昭通苹果和一市斤小草坝天麻的单价分别是5元和50元．
（2）解：设原来一市斤苹果进货单价为a元，则现在的进货单价为（a+5）元
，
∴解得：a＝4
经检验，a＝4是原方程的解，
∴原来一市斤苹果进货单价为4元．
【解析】【分析】（1） 设一市斤昭通苹果和一市斤小草坝天麻的单价分别是x元和y元，根据购买1市斤昭通苹果和2市斤小草坝天麻需要支付105元，购买3市斤昭通苹果和5市斤小草坝天麻需要265元． 即可得出方程组，解方程组即可得出结果；
（2） 设原来一市斤苹果进货单价为a元，则现在的进货单价为（a+5）元 ，根据 以前花240元进购的苹果现在要花300元， 即可得出方程 ， 解方程并检验，即可得出答案。
20．甲、乙两个工程队分别完成36千米的道路施工任务．甲队计划前18千米按每天施工m千米完成，剩下的18千米按每天施工n千米完成；乙队计划一半的时间每天施工m千米，另一半的时间每天施工n千米．
（1）当时，甲队恰好6天完成任务，求m的值；
（2）如果按照各自施工计划，甲队和乙队谁更早完成施工任务？请说明理由．
【答案】（1）解：由题意得：，
，
，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
答：的值为4.5；
（2）解：乙队更早完成施工任务，理由如下：
由题意可知，甲队完成施工任务需要的时间为天，
设乙队完成施工任务需要的时间为天，
由题意得：，
解得：，
，
，，，，
，
，
乙队更早完成施工任务．
【解析】【分析】（1）根据当时，甲队恰好6天完成任务，可得出，解方程即可；
（2）设乙队完成施工任务需要的时间为天，根据乙队计划一半的时间每天施工千米，另一半的时间每天施工千米，可得出方程，整理得：，即可得出答案乙队更早完成施工任务．
（1）解：由题意得：，
，
，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
答：的值为4.5；
（2）解：乙队更早完成施工任务，理由如下：
由题意可知，甲队完成施工任务需要的时间为天，
设乙队完成施工任务需要的时间为天，
由题意得：，
解得：，
，
，，，，
，
，
乙队更早完成施工任务．
21．为了加强学生体育锻炼，某班计划购买部分跳绳和实心球，已知每条跳绳的价格比每个实心球的价格少23元，且84元购买跳绳的数量与360元购买实心球的数量相同.
（1）跳绳和实心球的单价各是多少元？
（2）如果本次购买的总费用为 510元，且购买跳绳的数量是实心球数量的3 倍，那么购买跳绳和实心球的数量各是多少？
【答案】（1）解：设跳绳的单价为x元，则实心球的单价为（23+x）元，根据题意得，
，
解得，x=7，
经检验x=7是分式方程的解，
∴ 23+x=30.
答：跳绳的单价为7元，实心球的单价为 30元.
（2）解：设购买实心球m个，则跳绳3m个，
根据题意得，30m+7×3m=510，
解得，m=10，
∴ 3m=30，
答： 购买跳绳的数量为30条，购买实心球的数量为10个 .
【解析】【分析】（1）设跳绳的单价为x元，则实心球的单价为（23+x）元，根据题意列分式方程，解方程，检验，即可求得；
（2）设购买实心球m个，则跳绳3m个，根据总购买的总费用列一元一次方程，解方程，即可求得.
22． 如图，共享单车停放点 A，B 和电影院 C 依次在同一自西向东的道路上.小天和小台从两停放点之间的 P 点同时出发，去往 3060 米远的电影院.小天先步行 3 分钟到停放点 A，然后骑共享单车去往电影院；小台先步行 6 分钟到停放点 B，然后骑共享单车去往电影院.已知两人步行速度均为 60 米/分，小天的骑车速度是小台骑车速度的 0.9 倍，两人同时到达电影院.
（1） 求停放点 A，B 之间的距离；
（2） 请分别求出小天和小台的骑车速度；
（3） 小山同学在线段 AC 之间的 Q 处，当他得知小天和小台已经出发 1 分钟后，马上走到离他最近的共享单车停放点，骑车赶往电影院，结果三人同时到达电影院.已知小山的步行速度为 70 米/分，他骑车速度与小天相同.求小山出发点 Q 和电影院 C 之间的距离.
【答案】（1）解： (米)
（2）解：设小台的骑车速度为x米/分，则小天的骑车速度为0.9x米/分，根据题意可列方程
，解得，
经检验是原分式方程的解且符合实际，\therefore ，
答：小天的骑车速度为270米/分，小台的骑车速度为300米/分.
（3）解：小天和小台从点P出发，到达点C所用的时间为15分钟，设AQ=y米，分三种情况考虑：
① 如图1，当点Q在AB之间靠近点A处时，则小山在点A处骑车，
由题意可列方程，解得，
此时AQ=140米，BQ=400米，符合题意
∴CQ = 3100米.
② 如图2，当点Q在AB之间靠近点B处时，则小山在点B处骑车，
由题意可列方程，解得，
此时AQ = 260米，BQ = 280米，不符合题意，舍去。
③ 如图3，当点Q在BC之间靠近点B处时，则小山在点B处骑车，
由题意可列方程，
解得，
此时AQ = 820米，BQ = 280米，符合题意
答：小山出发点Q和电影院C之间的距离为3100米或2420米
【解析】【分析】(1)根据题目中的步行速度和时间，计算出两人步行的总距离；
(2)设定变量并根据题目中的骑车速度关系和到达时间相同建立方程，解方程得到骑车速度；
(3)利用小山的步行速度和骑车速度，以及已知到达时间，建立方程求解小山出发点Q和电影院之间的距离.
23．已知：P=x+2，Q=
（1）当x>0时，判断P与Q的大小关系，并说明理由．
（2）设，若x，y均为非零整数，求xy的值．
【答案】（1）解：当 时， ． 理由如下：
∴ 当 时，
（2）解：
∵x，y 均为非零整数，
时， ，；
当 时， ；
当 时， ，．
综上所述， 的值为 18 或 12 ．
【解析】【分析】
（1）先求两式的差，再根据差的正负判断P，Q的大小。
（2）把P，Q所代表的代数式代入 中进行化简，根据x，y都是非0整数，得出x的取值，并求出相应的y值，从而得出xy的值。
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