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【50道填空题·专项集训】浙教版数学八年级下册第4章 平行四边形
1．如图1，这是某公园里采用的六角形空窗，其轮廓是一个正六边形，图2是该六角形空窗的示意图，则它的内角和为　 　．
2．在平行四边形ABCD中，AB＝5，则CD＝　 　．
3．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝50°，将△ABC绕点B旋转后，点A落在直线BC上的点A′处，点C落在点C′处，那么∠AA′C′的度数是　 　．
4．如图，在Rt△OBC中，OB与x轴正半轴重合，∠OBC=90°，且OC=2，BC=，将△OBC绕原点O逆时针旋转60°再将其各边扩大为原来的2倍，使OB1=OC，得到△OB1C1，将△OB1C1绕原点O逆时针旋转60°再将其各边扩大为原来的2倍，使OB2=OC，得到△OB2C2，…，如此继续下去，得到△OB2016C2016，则点C2016的坐标为　 　
5．将 ABCD（如图）绕点A旋转后，点D落在边AB上的点D′，点C落到C′，且点C′、B、C在一直线上．如果AB=13，AD=3，那么∠A的余弦值为　 　．
6．如图，绕B点逆时针旋转至，、B、C三点在一条直线上，若，则　 　．
7．如图在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点坐标分别是O（0，0），C（6，0），B（6，4），A（0，4），已知矩形OA'B'C与矩形OABC位似，位似中心是原点O，矩形OA'BC'的面积等于矩形OABC面积的，且点B不在第一象限，则点B＇的坐标是　 　
8．如图，已知平行四边形ABCD的周长为20，对角线AC，BD相交于点O，过O作EO⊥AC，连接EC，则△DEC的周长为　 　

9．平行四边形的对角线　 　，并将四边形分成　 　对全等三角形， 　 　对面积相等的三角形.
10．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=6，BC=16，E是BC的中点．点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿AD向点D运动；点Q同时以每秒8个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B运动．点P停止运动时，点Q也随之停止运动．当运动时间t=　 　 秒时，以点P、Q、E、D为顶点的四边形是平行四边形．
11．如图，在中，，将绕点逆时针旋转到若，则旋转角的度数是　 　．
12．如图，在 ABCD中，AE平分∠BAD交边BC于点E，若AD=8，EC=2，则 ABCD的周长为　 　．
13．如图，⊙O的半径为 ，圆心与坐标原点重合，在直角坐标系中，把横坐标、纵坐标都是整数的点称为格点，则⊙O上格点有　 　个，设L为经过⊙O上任意两个格点的直线，则直线L同时经过第一、二、四象限的概率是　 　.
14．四边形ABCD是矩形，以点D为旋转中心，顺时针旋转矩形ABCD，得到矩形DEFG，，，试探究：
（1）如图1，当点E落在BC上时，CE的长度为　 　；
（2）如图2，O是对角线BD的中点，连接EO，FO，设的面积为s，在矩形DEFG的旋转过程中，s的取值范围为　 　．
15．如图，在中，，，将绕点B逆时针旋转至，使点C落在边上的D处，则　 　．
16．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于О，过点O的线段EF与AD，BC分别交于点E，F，若AB=CD=4，AD=BC=5，OE=1.5，那么四边形EFCD的周长为　 　
17．如图，在中，边，的垂直平分线交于点D，若，则的大小是　 　．
18．如图四边形中，，，，点，分别是线段，上任意一点（含端点，但不与重合)，点，分别为，的中点，则长度的最大值为　 　．
19．如图，P是等边三角形ABC内一点，连接PA、PC，PA＝PC，∠APC＝90°，把线段AP绕点A逆时针旋转120°，得到线段AQ（点P与点Q为对应点），连接BQ交AP于点E．点D为BQ的中点，连接AD、PD，若S△DAP＝2，则AB＝　 　．
20．如图，在 中， ， ，以点 为旋转中心把 按顺时针旋转 度，得到 ，点 '恰好落在 上，连接CC′，则∠ACC'=　 　．
21．点P（-2，3）关于X轴对称点的坐标是　 　，关于原点对称点的坐标是　 　.
22．如图，在平面直角坐标系中，点，，以点B为中心，把线段顺时针旋转得到线段，则点C的坐标为　 　．
23．在平行四边形ABCD中，AB=3，BC=5，AC=4，则平行四边形ABCD的面积是　 　
24．如图，在直角坐标系中，平行四边形ABCD的BC边在x轴上，点A ，B ， 若直线 恰好平分平行四边形ABCD的面积，则点D的坐标是　 　．
25．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD>BC，BC=6 cm，动点P，Q分别从A，C同时出发，P以1 cm/s的速度由A向D运动，Q以2 cm/s的速度由C向B运动(Q运动到B时两点同时停止运动)，则　 　后四边形ABQP为平行四边形.
26．如图所示， 在平行四边形 中， 的平分线 交线段 于点 ， 则 　 　.
27．在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点为，．直线平分平行四边形的周长，则的值为　 　
28．如图， ABCD的对角线相交于点O，且AD CD，过点O作OM AC，交AD于点M．如果 CDM的周长为8，那么 ABCD的周长是　 　．
29．“皮克定理”是用来计算顶点在整点的多边形面积的公式，公式表达式为S= 孔明只记得公式中的S 表示多边形的面积，a和b 中有一个表示多边形边上（含顶点）的整点个数，另一个表示多边形内部的整点个数，但不记得究竟是a 还是b 表示多边形内部的整点个数，请你选择一些特殊的多边形（如图①）进行验证，得到公式中表示多边形内部的整点个数的字母是　 　；并运用这个公式求得图②中多边形的面积是　 　.
30．正方形OABC的各顶点A，B，C的坐标如图所示，则A，B，C分别关于x轴，y轴，原点对称的点的坐标分别是　 　
31．如图，在 ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，若AE＝4，AF＝6， ABCD的周长为40，则S 为　 　.
32．如图，△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC， ∠ABC的平分线BE交AD于点F ，AG平分∠DAC.给出下列结论：①∠BAD=∠C；②AE=AF；③∠EBC=∠C；④ FG∥AC ；⑤EF=FG.其中正确的结论是　 　。
33．如图，在中，D，E分别是的中点，F是线段上一点，连接．若，，，则的长为　 　．
34．在四边形ABCD中，AB∥DC，AD∥BC，若∠B=70°，那么∠D=　 　度，∠C=　 　度．
35．四边形的内角和是　 　
36．如图，将三角尺ABC（其中∠ABC＝60°，∠C＝90°）绕点B按顺时针转动一个角度到A1B l的位置，使得点A，B，C1在同一条直线上，那么这个角度等于　 　度．
37． 一个多边形的内角和是它的外角和的 3 倍， 这个多边形的边数是　 　
38．如图，在五边形ABCDE中，∠A+∠B+∠E=280°，DP，CP分别平分∠EDC，∠BCD，则∠P的度数是　 　．
39．如图所示，四个图形中，图形①与图形　 　成轴对称；图形①与图形　 　成中心对称．（填写符合要求的图形所对应的序号）
40．如图，在平行四边形中，平分，为上一点，若，则　 　．
41．如图，在平面直角坐标系中，ABCD的顶点A，B，D的坐标分别是(0，0)，(5，0)，(2，3)，则顶点C的坐标是　 　．
42．如图，在△ABC中，AB=2，AC= ，∠BAC=105°，△ABD、△ACE、△BCF都是等边三角形，则四边形AEFD的面积为　 　．
43．如图，已知四边形是正方形，点在上，将绕点逆时针旋转一定角度后与重合，再将沿向右平移后与重合．给出下面四个结论：
①旋转的角度为；
②连接，则是等腰直角三角形；
③若，连接，当点为中点时，则的面积等于8；
④．
上述结论中，所有正确的结论序号是　 　．
44．如图，在四边形中，于点E， ，M为的中点，N为线段上的点，且，连接，若四边形为平行四边形，则的长为　 　．
45．[知识背景]：三角形是数学中常见的基本图形，它的三个角之和为180°．等腰三角形是一种特殊的三角形，如果一个三角形有两边相等，那么这个三角形是等腰三角形，相等的两边所对的角也相等．
如图1，在三角形ABC中，如果AB=AC，那么∠B=∠C．同样，如果∠B=∠C，则AB=AC，即这个三角形也是等腰三角形．
[知识应用]：如图2，在三角形ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，将三角形ABC绕点C逆时针旋转α(0°＜α＜60°)度(即∠ECB=α度)，得到对应的三角形DEC，CE交AB于点H，连接BE，若三角形BEH为等腰三角形，则α=　 　°．
46．如图，在中，，点D为的中点，，绕点D旋转，分别与边交于E、F两点．下列结论：①，②，③，④，⑤始终为等腰直角三角形．其中正确的结论有　 　.(填写序号)
47．在中，当，点E是边上的中点，点F为上一点，连结，作交的边于点G．
（1）如图1，若G点在边上，，则的面积是　 　．
（2）如图2，若G点在边上，，则的面积是　 　．
48．某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯，主道路是平行，即PQ∥MN． 如图所示，灯A射线从AM开始顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线从BP开始顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是每秒2度，灯B转动的速度是每秒1度． 若灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，A灯转动　 　秒，两灯的光束互相平行．
49．如图，O是正△ABC内一点， ， ， ，将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段 ，下列结论正确的有　 　．(请填序号)
①点O与 的距离为4；② ；③ ；④ ．
50．如图，在平面直角坐标系中，是等边三角形，点，直线绕轴上一点顺时针旋转120°，得到的直线恰好经过点，则点的坐标是　 　．
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【50道填空题·专项集训】浙教版数学八年级下册第4章 平行四边形
1．如图1，这是某公园里采用的六角形空窗，其轮廓是一个正六边形，图2是该六角形空窗的示意图，则它的内角和为　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：由题意得：该正六边形的内角和为．
故答案为：．
【分析】根据正多边形内角和即可求出答案.
2．在平行四边形ABCD中，AB＝5，则CD＝　 　．
【答案】5
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD＝5，
故答案为：5．
【分析】平行四边形的对边相等，据此解答即可.
3．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝50°，将△ABC绕点B旋转后，点A落在直线BC上的点A′处，点C落在点C′处，那么∠AA′C′的度数是　 　．
【答案】或
【解析】【解答】解：在中，，
，
由题意，分以下两种情况：
①如图，当点在的延长线上时，
由旋转的性质得：，
，
；
②如图，当点在的延长线上时，
由旋转的性质得：，
，
；
综上，的度数是或，
故答案为：或．
【分析】先求出，再分类讨论，结合图形计算求解即可。
4．如图，在Rt△OBC中，OB与x轴正半轴重合，∠OBC=90°，且OC=2，BC=，将△OBC绕原点O逆时针旋转60°再将其各边扩大为原来的2倍，使OB1=OC，得到△OB1C1，将△OB1C1绕原点O逆时针旋转60°再将其各边扩大为原来的2倍，使OB2=OC，得到△OB2C2，…，如此继续下去，得到△OB2016C2016，则点C2016的坐标为　 　
【答案】（22016， 22016）
【解析】【解答】解：∵∠OBC=90°，且OC=2，BC=，
∴sin∠BOC=
∴∠BOC=60°，
∵将△OBC绕原点O逆时针旋转60°再将其各边扩大为原来的2倍，使OB1=OC，
∴OC1=2OC=2×2=4=22，
OC2=2OC1=2×4=8=23，
OC3=2OC2=2×8=16=24，
…，
OCn=2n+1，
∴OC2016=22017，
∵2016÷6=336，
∴点C2016与点C在同一射线上，
∴OB2016=OC2016=22016，
C2016B2016=OB2016= 22016，
∴点C2016的坐标为（22016， 22016）．
故答案为（22016， 22016）．
【分析】先解直角三角形求出∠BOC=60°，再求出OC1、OC2、OC3、…、OC2016的长度，再根据周角等于360°，每6次为一个循环，求出点C2016是第几个循环组的第几个点，再根据变化规律写出点的坐标即可．
5．将 ABCD（如图）绕点A旋转后，点D落在边AB上的点D′，点C落到C′，且点C′、B、C在一直线上．如果AB=13，AD=3，那么∠A的余弦值为　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：∵ ABCD绕点A旋转后得到 AB′C′D′，
∴∠DAB=∠D′AB′，AB=AB′=C′D′=13，
∵AB′∥C′D′，
∴∠D′AB′=∠BD′C′，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠C=∠DAB，
∴∠C=∠BD′C′，
∵点C′、B、C在一直线上，
而AB∥CD，
∴∠C=∠C′BD′，
∴∠C′BD′=∠BD′C′，
∴△C′BD′为等腰三角形，
作C′H⊥D′B，则BH=D′H，
∵AB=13，AD=3，
∴BD′=10，
∴D′H=5，
∴cos∠HD′C′= = ，
即∠A的余弦值为 ．
故答案为 ．
【分析】根据平行四边形的性质得∠DAB=∠D′AB′，AB=AB′=C′D′=13，再由AB′∥C′D′得∠D′AB′=∠BD′C′，加上∠C=∠DAB，则∠C=∠BD′C′，接着由点C′、B、C在一直线上，AB∥CD得到∠C=∠C′BD′，所以∠C′BD′=∠BD′C′，可判断△C′BD′为等腰三角形，作C′H⊥D′B，根据等腰三角形的性质得BH=D′H，由于BD′=10得到D′H=5，然后根据余弦的定义得到cos∠HD′C′= ，由此得到∠A的余弦值．
6．如图，绕B点逆时针旋转至，、B、C三点在一条直线上，若，则　 　．
【答案】40
【解析】【解答】解：∵绕B点逆时针旋转至，、B、C三点在一条直线上，
∴，，
∵，
∴，
∴，
故答案为：40．
【分析】本题考查旋转的性质与平角定义的综合应用。根据旋转性质可得对应角相等，即。同时根据平角定义可知。代入已知条件后，可计算出，最终利用平角定义即可求得所需角度。
7．如图在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点坐标分别是O（0，0），C（6，0），B（6，4），A（0，4），已知矩形OA'B'C与矩形OABC位似，位似中心是原点O，矩形OA'BC'的面积等于矩形OABC面积的，且点B不在第一象限，则点B＇的坐标是　 　
【答案】（-3，-2）
【解析】【解答】矩形OA′B'C'与矩形OABC位似，且面积比为1：4，由分析可知，则矩形OA'B'C'与矩形OABC位似比为1：2，由于B（6，4）， 点B'不在第一象限，则点B'在第三象限，其坐标是（-3，-2）。
【分析】根据相似性质可知，矩形OA'B'C'与矩形OABC位似比的平方等于面积之比，结合点的坐标与象限位置进行分析。
8．如图，已知平行四边形ABCD的周长为20，对角线AC，BD相交于点O，过O作EO⊥AC，连接EC，则△DEC的周长为　 　

【答案】10
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=DC，AD=BC，OA=OC，
∵平行四边形ABCD的周长为20，
∴AD+DC=10，
∵EO⊥AC，
∴EA=EC，
∴△DEC的周长=DE+EC+DC=DE+EA+DC=AD+DC=10；
故答案为：10．
【分析】由平行四边形的性质和已知条件得出AD+DC=10，由线段垂直平分线的性质得出EA=EC，得出△DEC的周长=AD+DC，即可得出结果．
9．平行四边形的对角线　 　，并将四边形分成　 　对全等三角形， 　 　对面积相等的三角形.
【答案】互相平分；4；12
【解析】【解答】解：如图， ABCD的两条对角线相交于点O，
（1）图中共有4对全等三角形：△AOB≌△COD，△AOD≌△COB，△ABD≌△CDB，△ABC≌△CDA.
（2）S△ABO=S△BCO=S△CDO=S△DAO= ABCD，有6对，
S△ABD=S△BCD=S△ACD=S△ABC= ABCD，有6对.
共有12对面积相等的三角形.
【分析】根据平行四边形的性质及全等三角形的面积相等解答此题即可。
10．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=6，BC=16，E是BC的中点．点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿AD向点D运动；点Q同时以每秒8个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B运动．点P停止运动时，点Q也随之停止运动．当运动时间t=　 　 秒时，以点P、Q、E、D为顶点的四边形是平行四边形．
【答案】或　
【解析】【解答】解：BC=16，E是BC的中点，
∴BE=CE=8，
①当Q运动到E和B之间，PD=QE时，
设运动时间为t，则得：
8﹣8t=6﹣t，
解得：t=，
②当Q运动到E和C之间，PD=QE时，
设运动时间为t，则得：8t﹣8=6﹣t，
解得：t=，
故当运动时间t为或秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形．
故答案为：或．
【分析】由已知以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形有两种情况，（1）当Q运动到E和C之间，（2）当Q运动到E和B之间，根据平行四边形的判定，由AD∥BC，所以当PD=QE时为平行四边形．根据此设运动时间为t，列出关于t的方程求解．
11．如图，在中，，将绕点逆时针旋转到若，则旋转角的度数是　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：∵，，，
∴，
∴旋转角的度数是，
故答案为：
【分析】根据等腰三角形的性质结合旋转角的定义即可得到∠BAD的度数，进而即可求解。
12．如图，在 ABCD中，AE平分∠BAD交边BC于点E，若AD=8，EC=2，则 ABCD的周长为　 　．
【答案】28
【解析】【解答】解：∵在 ABCD中，AD=8，
∴BC=8，
又∵EC=2，
∴BE=6，
∵AE平分∠BAD，AD∥BC，
∴∠BAE=∠DAE=∠BEA，
∴AB=BE=6，
∴ ABCD的周长为2（AB+BC）=2×14=28，
故答案为：28．
【分析】先根据平行四边形的性质得到BC的长以BE的长，再根据∠BAE=∠DAE=∠BEA，即可得到AB=BE=6，进而得出平行四边形的周长．
13．如图，⊙O的半径为 ，圆心与坐标原点重合，在直角坐标系中，把横坐标、纵坐标都是整数的点称为格点，则⊙O上格点有　 　个，设L为经过⊙O上任意两个格点的直线，则直线L同时经过第一、二、四象限的概率是　 　.
【答案】8；
【解析】【解答】连接ABCDEFGH可得到八边形，
八边形各边共有 条对角线，连同8条边所在8条直线，共28条，而过第一、二、四象限的直线共4条，直线L同时经过第一、二、四象限的概率是
故答案为：(1) 8 (2).
【分析】连接ABCDEFGH可得到八边形，由多边形的对角线=可求得对角线的条数，而正八边形有八条边，所以共有28条直线，由题意知过第一、二、四象限的直线共4条，则直线L同时经过第一、二、四象限的概率可求解。
14．四边形ABCD是矩形，以点D为旋转中心，顺时针旋转矩形ABCD，得到矩形DEFG，，，试探究：
（1）如图1，当点E落在BC上时，CE的长度为　 　；
（2）如图2，O是对角线BD的中点，连接EO，FO，设的面积为s，在矩形DEFG的旋转过程中，s的取值范围为　 　．
【答案】（1）
（2）9≤s≤39
【解析】【解答】（1），当点E落在BC上时，
CE的长度为；
（2）当点E落在BD上时，s最小，此时，，
∴；
当点D落在BD的反向延长线上时，s最大，，
∴，∴．
【分析】（1）根据勾股定理求出AB的长，从而得出CD的长，再根据勾股定理即可得出CE的长；
（2）根据三角形的面积公式得出当点E落在BD上时，OE最短，得出s最小，当点D落在BD的反向延长线上时，OE最长，得出s最大，分别求出s的值，即可得出答案.
15．如图，在中，，，将绕点B逆时针旋转至，使点C落在边上的D处，则　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：由旋转的性质得：，
∴，
∴，
∵，
∴；
故答案为：．
【分析】本题考查旋转的性质，等边对等角.先利用旋转的性质可得：，根据等边对等角可得：，利用三角形的内角和定理可求出，再根据，可求出的度数.
16．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于О，过点O的线段EF与AD，BC分别交于点E，F，若AB=CD=4，AD=BC=5，OE=1.5，那么四边形EFCD的周长为　 　
【答案】12
【解析】【解答】解：如图，
∵AB=CD，AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，AD∥BC，
∴∠EAO=∠FCO
在△AEO和△CFO中
∴△AEO≌△CFO（ASA），
∴AE=CF，OE=OF=1.5，
∴EF=3，
∴四边形EFCD的周长为
DE+CF+OE+OF+CD=AE+DE+DC+EF=AD+CD+EF=4+5+3=12.
故答案为：12.
【分析】由AB=CD，AD=BC，可证得四边形ABCD是平行四边形，利用平行四边形的性质及平行线的性质可证得∠EAO=∠FCO，OA=OC；再利用ASA证明△AEO≌△CFO，可得到AE=CF，同时可求出EF的长；然后证明四边形EFCD的周长=AD+CD+EF，代入计算可求解.
17．如图，在中，边，的垂直平分线交于点D，若，则的大小是　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：如图，连接AD，
∵l1与l2分别是AB及AC的垂直平分线，
∴DB=DA=DC，
∴∠DBA=∠DAB，∠DAC=∠DCA，
∴∠BAC=∠DAB+∠DAC=(360°-∠BDC)=110°.
故答案为：110°.
【分析】连接AD，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得DB=DA=DC，进而根据等边对等角可得∠DBA=∠DAB，∠DAC=∠DCA，最后根据四边形的内角和定理及角的和差，由∠BAC=∠DAB+∠DAC=(360°-∠BDC)可算出答案.
18．如图四边形中，，，，点，分别是线段，上任意一点（含端点，但不与重合)，点，分别为，的中点，则长度的最大值为　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：如下图所示：连接DN，
∵点，分别为，的中点，
∴DE=EM，FM=NF，EF=DN，
∴当点N与点B重合时，DN的值最大，此时EF的值最大，
∵，，，
∴，
∴长度的最大值为 EF=BD=，
故答案为：.
【分析】利用三角形的中位线先求出EF=DN，再求出当点N与点B重合时，DN的值最大，此时EF的值最大，最后利用勾股定理计算求解即可。
19．如图，P是等边三角形ABC内一点，连接PA、PC，PA＝PC，∠APC＝90°，把线段AP绕点A逆时针旋转120°，得到线段AQ（点P与点Q为对应点），连接BQ交AP于点E．点D为BQ的中点，连接AD、PD，若S△DAP＝2，则AB＝　 　．
【答案】
【解析】【解答】延长QA到M，使得AM＝AQ，连接BM，PM．
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝60°，
∵PA＝PC，∠APC＝90°，
∴∠PAC＝∠PCA＝45°，
∵∠PAQ＝120°，
∴∠PAM＝180°﹣120°＝60°，
∵AM＝AQ＝AP，
∴△APM是等边三角形，
∴∠MAP＝∠BAC＝60°，
∴∠MAB＝∠PAC，
∵AM＝AP，AB＝AC，
∴△MAB≌△PAC（SAS），
∴BM＝PC，∠AMB＝∠APC＝90°，
∵AQ＝AM，BD＝DQ，
∴AD∥BM，BM＝2AD，
∴AD＝ PA，
∴∠QAD＝∠QMB＝90°，
∴∠PAD＝∠MAD﹣∠MAP＝90°﹣60°＝30°，
∵S△PAD＝2，
∴ PA AD sin30°＝2，
∴ PA PA ＝2，
∴PA＝4，
∴AB＝AC＝ PA＝4 ，
故答案为4 ．
【分析】延长QA到M，使得AM＝AQ，连接BM，PM．首先证明△PAM是等边三角形，证明△MAB≌△PAC（SAS），推出∠AMB＝∠APC＝90°，由AQ＝AM，BD＝DQ，推出AD∥BM，BM＝2AD，推出AD＝ PA，再利用三角形的面积公式构建方方程求出PA即可解决问题．
20．如图，在 中， ， ，以点 为旋转中心把 按顺时针旋转 度，得到 ，点 '恰好落在 上，连接CC′，则∠ACC'=　 　．
【答案】110°
【解析】【解答】∵∠A=70°，AC=BC，
∴∠BCA=40°，
根据旋转的性质，AB=BA′，BC=BC′，
∴∠α=180°﹣2×70°=40°．
∵∠CBC′=∠α=40°，
∴∠BCC′=70°，
∴∠ACC′=∠ACB+∠BCC′=110°．
故答案为：110°．
【分析】利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理，求出∠BCA的度数，再根据旋转的性质，可证得AB=BA′，BC=BC′，求出∠BCC′，然后根据∠ACC′=∠ACB+∠BCC′，计算可得出答案。
21．点P（-2，3）关于X轴对称点的坐标是　 　，关于原点对称点的坐标是　 　.
【答案】（-2，-3）；（2，-3）
【解析】【解答】点P（-2，3）关于X轴对称点的坐标是（-2.-3），关于原点对称点的坐标是（2，-3），点关于x轴对称点坐标为y值取相反数，原点对称点坐标则x值和y值皆取相反数即可
【分析】根据关于x轴对称的点横坐标不变，纵坐标变为原来的相反数可求解；根据关于原点对称的点横纵坐标都变为原来的相反数可求解。
22．如图，在平面直角坐标系中，点，，以点B为中心，把线段顺时针旋转得到线段，则点C的坐标为　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：过点作轴于点，
∵，，
∴，，
由旋转可知： ，，则，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】过点作轴于点，根据两点间距离可得，，根据旋转性质可得： ，，则，再根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，，根据边之间的关系可得OH，再根据点的坐标即可求出答案.
23．在平行四边形ABCD中，AB=3，BC=5，AC=4，则平行四边形ABCD的面积是　 　
【答案】12
【解析】【解答】解：依照题意画出图形，如图所示．
∵AB=3，BC=5，AC=4，
∴AB2+AC2=9+16=25=BC2，
∴AB⊥AC．
∴S平行四边形ABCD=2S△ABC=2× AB AC=12．
故答案为：12．
【分析】根据AB=3，BC=5，AC=4，结合勾股定理的逆定理即可得出△ABC为直角三角形，再根据平行四边形的性质即可得出S平行四边形ABCD=2S△ABC，此题得解．
24．如图，在直角坐标系中，平行四边形ABCD的BC边在x轴上，点A ，B ， 若直线 恰好平分平行四边形ABCD的面积，则点D的坐标是　 　．
【答案】（，3）
【解析】【解答】解：如图，设直线y=-2x+4与AD和BC分别交于H点和G点，
∵平行四边形ABCD，A（0，3），
∴H（，3），G（2，0），AD∥BC且AD=BC，
设D（d，3），
∴DH=AD-AH=d-，BG=2-（-1）=3，
∵直线y=-2x+4恰好平分平行四边形ABCD的面积，即等分为两个全等的梯形，
∴DH=BG，
∴d-=3，
∴d=，
∴D（，3）.
故答案为：（，3）.
【分析】设直线y=-2x+4与AD和BC分别交于H点和G点，再结合平行四边形性质可得到A（0，3），
H（，3），G（2，0），AD∥BC且AD=BC，设D（d，3），从而表示出DH=AD-AH=d-，BG=2-（-1）=3，再根据直线y=-2x+4恰好平分平行四边形ABCD的面积，即等分为两个全等的梯形，得DH=BG，即d-=3，解得d=，进而确定D点坐标.
25．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD>BC，BC=6 cm，动点P，Q分别从A，C同时出发，P以1 cm/s的速度由A向D运动，Q以2 cm/s的速度由C向B运动(Q运动到B时两点同时停止运动)，则　 　后四边形ABQP为平行四边形.
【答案】2s
【解析】【解答】解：设运动时间为t秒，
∴AP=tcm，QC=2tcm
则BQ=6-2t
∵四边形ABQP为平行四边形.
∴AP=BQ
∴t=6-2t
解之：t=2
∴t为2秒时，四边形ABQP为平行四边形.
【分析】设运动时间为t秒，用含t的代数式分别表示出AP，BQ的长，再根据四边形ABQP为平行四边形，得出AP=BQ，建立关于t的方程求解即可。
26．如图所示， 在平行四边形 中， 的平分线 交线段 于点 ， 则 　 　.
【答案】2
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形；
，．
，
的平分线交于点，
，
，
，
，，
，
故答案为：2．
【分析】本题考查平行四边形的性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定.根据四边形是平行四边形，利用平行四边形的性质可得：，根据两直线平行，内错角相等可推出：，再利用角平分线的定义可得：，利用等量代换可得：，根据等角对等边可得：，再利用线段的运算可得：，代入数据进行计算可求出答案．
27．在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点为，．直线平分平行四边形的周长，则的值为　 　
【答案】-1
【解析】【解答】解：∵ 直线平分平行四边形的周长，
∴ 直线经过对角线的交点，
∵O（0，0）B（2，2），
∴OB的中点坐标为（1，1），
把（1，1）代入中，得k=-1，
故答案为：-1.
【分析】由直线平分平行四边形的周长，可知直线经过对角线的交点，利用中点坐标公式求出OB的中点坐标，再将其代入直线解析式中即可求出k值.
28．如图， ABCD的对角线相交于点O，且AD CD，过点O作OM AC，交AD于点M．如果 CDM的周长为8，那么 ABCD的周长是　 　．
【答案】16
【解析】【解答】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，
∵OM⊥AC，
∴AM=CM，
∵△CDM的周长为8，
∴CM+DM+CD=AM+DM+CD=AD+CD=8，
∴平行四边形ABCD的周长是：2×8=16.
故答案为：16.
【分析】根据平行四边形的对角线互相平分得出OA=OC，根据过线段的中点且垂直于线段的直线就是线段的中垂线，得出OM是AC的中垂线，再根据中垂线上的点到线段两个端点的距离相等得出AM=CM，从而根据三角形的周长计算方法及线段的和差，等量代换得出CM+DM+CD=AM+DM+CD=AD+CD=8，最后根据平行四边形的周长等于两邻边和的2倍即可算出答案。
29．“皮克定理”是用来计算顶点在整点的多边形面积的公式，公式表达式为S= 孔明只记得公式中的S 表示多边形的面积，a和b 中有一个表示多边形边上（含顶点）的整点个数，另一个表示多边形内部的整点个数，但不记得究竟是a 还是b 表示多边形内部的整点个数，请你选择一些特殊的多边形（如图①）进行验证，得到公式中表示多边形内部的整点个数的字母是　 　；并运用这个公式求得图②中多边形的面积是　 　.
【答案】a；17.5
【解析】【解答】解：图1中三角形面积为：2×4÷2=4
若a为边上整点个数，用公式算出面积应为，不等于4
则a为内部整点个数，验证后，正好符合
图2中内部有15个整点，边上有7个整点
∴多边形的面积是
故答案为：a；17.5
【分析】求出图1中三角形面积，分a为边上整点个数及内部整点个数进行验证，再根据多边形面积公式求出图2多边形面积即可求出答案.
30．正方形OABC的各顶点A，B，C的坐标如图所示，则A，B，C分别关于x轴，y轴，原点对称的点的坐标分别是　 　
【答案】(0，-2)，(-2，2)，(- 2，0)
【解析】【解答】解：由题图可知点A的坐标为(0，2)，点A关于x轴对称的点的坐标为(0，- 2)；点B的坐标为(2，2)，则点B关于y轴对称的点的坐标为(-2，2)；点C的坐标为(2，0)，则点C关于原点对称的点的坐标为(-2，0)．
【分析】利用正方形的性质，先在坐标系中分别读出A、B、C三点的坐标，再分别根据关于x轴对称，关于y轴对称，关于原点对称点坐标特点解答即可.
31．如图，在 ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，若AE＝4，AF＝6， ABCD的周长为40，则S 为　 　.
【答案】48
【解析】【解答】解：设BC＝x，CD＝y，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，
∵ ABCD的周长为40，
∴x＋y＝20，
∵AE＝4，AF＝6，S ＝BC×AE＝CD×AF，
∴4x＝6y，
得方程组： ，
解得：
∴S平行四边形ABCD＝BC×AE＝12×4＝48.
故答案为：48.
【分析】设BC＝x，CD＝y，根据平行四边形的性质可得x＋y＝20，且可得4x＝6y，求解可得平行四边形的边长，根据平行四边形的面积公式可得结果.
32．如图，△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC， ∠ABC的平分线BE交AD于点F ，AG平分∠DAC.给出下列结论：①∠BAD=∠C；②AE=AF；③∠EBC=∠C；④ FG∥AC ；⑤EF=FG.其中正确的结论是　 　。
【答案】①②④
【解析】【解答】解：连接EG.
①∵∠BAC=90°，AD⊥BC.
∴∠C+∠ABC=90°，∠C+∠DAC=90°，∠ABC+∠BAD=90°
∴∠ABC=∠DAC，∠BAD=∠C，故①正确；
②∵BE、AG分别是∠ABC、∠DAC的平分线。
∴∠ABF=∠EBD.
∵∠AFE=∠FAB+∠FBA，∠AEG=∠C+∠EBD，
∴∠AFE=∠AEF，
∴AF=AE，故②正确；
③如果∠EBC=∠C，则∠C=∠ABC，
∵∠BAC=90°
那么∠C=30°，但∠C≠30°，故③错误；
④∵AG是∠DAC的平分线，
∴AN⊥BE，FN=EN，
在△ABN与△GBN中
∴△ABN≌△GBN（ASA）
∴AN=GN，
∴四边形AFGE是平行四边形，
∴GF∥AE，
即GF∥AC，故④正确；
⑤∵AE=AF，AE=FG，
而△AEF不是等边三角形，
∴EF≠AE，
∴EF≠FG，故⑤错误。
故答案为：①②④。
【分析】①连接EG．根据等角的余角相等，可对①作出判断；②由BE、AG分别是∠ABC、∠DAC的平分线．得到∠ABF=∠EBD．再证明∠AFE=∠AEF，根据等腰三角形的性质，可对②作出判断；③如果∠EBC=∠C，则∠C=∠ABC，由于∠BAC=90°那么∠C=30°，但∠C≠30°，由此可对③作出判断；④先证明△ABN≌△GBN，利用全等三角形的性质易证AN=GN，再证四边形AFGE是平行四边形，得到GF∥AE，可对④作出判断；⑤由AE=AF，AE=FG，而△AEF不是等边三角形，得到EF≠AE，于是EF≠FG，可对⑤作出判断，综上所述，可得出正确结论的个数。
33．如图，在中，D，E分别是的中点，F是线段上一点，连接．若，，，则的长为　 　．
【答案】14
【解析】【解答】解：∵D，E分别是的中点，
∴是的中位线，
∴，
∵，
∴，
∵，E是的中点，
∴，
故答案为：14．
【分析】利用三角形中位线的性质可得，利用线段的和差求出，再利用直角三角形斜边上中线的性质可得。
34．在四边形ABCD中，AB∥DC，AD∥BC，若∠B=70°，那么∠D=　 　度，∠C=　 　度．
【答案】70；110
【解析】【解答】解：根据平行四边形的性质：邻角互补，对角相等．
∵AB∥DC，
∴∠C=180°﹣∠B=110°
∵AB∥DC，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形
根据平行四边形的对角相等即∠D=∠B=70°
故填70，110．
【分析】利用平行四边形的性质可知，平行四边形对角相等，所以∠B=∠D，∠C也可求出．
35．四边形的内角和是　 　
【答案】360°
【解析】【解答】解：（4﹣2）×180°=360°．
故答案为：360°．
【分析】根据n边形的内角和是（n﹣2） 180°，代入公式就可以求出内角和．
36．如图，将三角尺ABC（其中∠ABC＝60°，∠C＝90°）绕点B按顺时针转动一个角度到A1B l的位置，使得点A，B，C1在同一条直线上，那么这个角度等于　 　度．
【答案】120°
【解析】【解答】三角板中∠ABC=60°，旋转角是∠CBC1，
则∠CBC1=180-60=120°．
这个旋转角度等于120度．
【分析】由平角的定义和题意可得旋转角是∠CBC1=-∠ABC可求解。
37． 一个多边形的内角和是它的外角和的 3 倍， 这个多边形的边数是　 　
【答案】八
【解析】【解答】解：设多边形的边数是n，根据题意得，
（n-2）·180°=3×360°，
解得：n=8，
∴这个多边形为八边形.
故答案为：八.
【分析】根据多边形的内角和等于（n-2）·180°，外角和等于360°，列方程求解即可.
38．如图，在五边形ABCDE中，∠A+∠B+∠E=280°，DP，CP分别平分∠EDC，∠BCD，则∠P的度数是　 　．
【答案】50°
【解析】【解答】解：∵五边形的内角和等于540°，∠A+∠B+∠E=280°，
∴∠BCD+∠CDE=540°﹣280°=260°，
∵∠BCD、∠CDE的平分线在五边形内相交于点O，
∴∠PDC+∠PCD= ，
∴∠P=180°﹣130°=50°．
故答案为：50°．
【分析】利用五边形内角和计算出∠BCD+∠CDE，再利用三角形内角和可计算出∠P=180°-(∠BCD+∠CDE)，即可得出答案.
39．如图所示，四个图形中，图形①与图形　 　成轴对称；图形①与图形　 　成中心对称．（填写符合要求的图形所对应的序号）
【答案】④；③
【解析】【解答】图形①与图形④可以找到对称轴；图形①与图形③可以找到对称中心．
【分析】轴对称图形关键在于找到对称轴，中心对称图形关键在于找到对称中心．
40．如图，在平行四边形中，平分，为上一点，若，则　 　．
【答案】4
【解析】【解答】解：在平行四边形中，
，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
故答案为：4．
【分析】根据平行四边形的性质得到，，即可得到，然后利用角平分线的定义得出，进而可得，再根据等腰三角形的判定得到结论．
41．如图，在平面直角坐标系中，ABCD的顶点A，B，D的坐标分别是(0，0)，(5，0)，(2，3)，则顶点C的坐标是　 　．
【答案】(7，3)
【解析】【解答】解：ABCD的顶点A，B，D的坐标分别是(0，0)，(5，0)，(2，3)，
∴AB=CD=5，
∵点A、点B在x轴上，
∴点C与点D的纵坐标相等，都为3，
又∵D点相对于A点横坐标移动了2-0=2，
∴C点横坐标为2+5=7，
∴即顶点C的坐标(7，3)．
故答案为：(7，3)．
【分析】根据平行四边形性质即可求出答案.
42．如图，在△ABC中，AB=2，AC= ，∠BAC=105°，△ABD、△ACE、△BCF都是等边三角形，则四边形AEFD的面积为　 　．
【答案】2
【解析】【解答】解：∵△ABD，△ACE都是等边三角形，
∴∠DAB=∠EAC=60°，
∵∠BAC=105°，
∴∠DAE=135°，
∵△ABD和△FBC都是等边三角形，
∴∠DBF+∠FBA=∠ABC+∠ABF=60°，
∴∠DBF=∠ABC．
在△ABC与△DBF中，
∴△ABC≌△DBF（SAS），
∴AC=DF=AE= ，
同理可证△ABC≌△EFC，
∴AB=EF=AD=2，
∴四边形DAEF是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）．
∴∠FDA=180°﹣∠DAE=45°，
∴S AEFD=AD （DF sin45°）=2×（ × ）=2．
即四边形AEFD的面积是2，
故答案为：2．
【分析】根据题中的等式关系可推出两组对边分别相等，从而可判断四边形AEFD为平行四边形，求出∠DAE=135°，故易求∠FDA=45°，所以由平行四边形的面积公式即可解答．
43．如图，已知四边形是正方形，点在上，将绕点逆时针旋转一定角度后与重合，再将沿向右平移后与重合．给出下面四个结论：
①旋转的角度为；
②连接，则是等腰直角三角形；
③若，连接，当点为中点时，则的面积等于8；
④．
上述结论中，所有正确的结论序号是　 　．
【答案】①②④
【解析】【解答】解：①、四边形是正方形，点在上，将绕点逆时针旋转一定角度后与重合，
数形结合得到旋转得到，即旋转的角度为，①正确；
②、连接，如图所示：
旋转的角度为，
，，则连接，则是等腰直角三角形，②正确；
③、如图所示：
，点为中点，
，
在中，由勾股定理可得，
是等腰直角三角形，
的面积等于，③错误；
④、，即，
又将沿向右平移后与重合，则，
，④正确；
综上所述，所有正确的结论序号是①②④，
故答案为：①②④．
【分析】
由旋转性质数形结合即可得到①②正确；再由①②结论即可得到③错误；结合平移性质及平行线的性质即可得到④正确；逐一判断即可解答．
44．如图，在四边形中，于点E， ，M为的中点，N为线段上的点，且，连接，若四边形为平行四边形，则的长为　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵M是的中点，
∴，
在和中，，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，M是的中点，
设，
∵四边形是平行四边形，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
在中，由勾股定理可得，
即，
解得：，或 (舍去），
∴．
故答案为：2
【分析】
先由等腰三角形三线合一可得AM垂直BC，再由直角三角形两锐角互余可得 ，由等边对等角结合三角形外角性质可得，设，由平行四边形的性质可得，再利用证明，则，再利用勾股定理求出，则的长可得．
45．[知识背景]：三角形是数学中常见的基本图形，它的三个角之和为180°．等腰三角形是一种特殊的三角形，如果一个三角形有两边相等，那么这个三角形是等腰三角形，相等的两边所对的角也相等．
如图1，在三角形ABC中，如果AB=AC，那么∠B=∠C．同样，如果∠B=∠C，则AB=AC，即这个三角形也是等腰三角形．
[知识应用]：如图2，在三角形ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，将三角形ABC绕点C逆时针旋转α(0°＜α＜60°)度(即∠ECB=α度)，得到对应的三角形DEC，CE交AB于点H，连接BE，若三角形BEH为等腰三角形，则α=　 　°．
【答案】40或20
【解析】【解答】解：∵将三角形ABC绕点C逆时针旋转α(0°＜x＜60°)度，∴CE=CB，∠ECB=α，∴∠CEB=∠CBE=90° ，
∵∠ABC=30°，
∴∠BHE=30°+α，∠EBH=60° ，
若BE=BH，则30°+α=90° ，∴α=40°，
若EH=BH，则90° 60° ，∴无解
若EH=BE，则30°+α=60° ，∴α=20°
综上所述：α=40或20．
【分析】由旋转的性质可得CE=CB，∠ECB=α，由等腰三角形的性质和外角性质可得∠BHE=30°+α，∠EBH=60° ，分三种情况讨论，即可求解．
46．如图，在中，，点D为的中点，，绕点D旋转，分别与边交于E、F两点．下列结论：①，②，③，④，⑤始终为等腰直角三角形．其中正确的结论有　 　.(填写序号)
【答案】①④⑤
【解析】【解答】
解：如图所示：连接CD
∵在中，，点D为的中点，
∴ CD⊥AB，AD=CD，∠A=∠BCD=∠ACD=45°
∵ GDH=90°
∴ ∠EDC+∠CDF=∠ADE+∠EDC=90°
∴ ∠EDC=∠ADE
∴（ASA）
∴ AE=CF，DE=DF···········则 ①⑤ 正确；
∴ AE+BF=CF+BF=BC且 BC=AB
∴ ··········则 ④ 正确；
∵，
∴
∴···········则 ③ 错误；
∵ EF=DF，BD≠DF，BD=AB
∴ EF≠AB···········则 ② 错误；
综上，正确的是 ①④⑤
【分析】本题考查旋转的性质、等腰直角三角形的性质、三角形全等的判定与性质等知识，熟悉性质是关键。连接CD，证，可判定 ①⑤ 正确；结合全等的性质和等腰直角三角形的性质可得则④正确；根据，得 则③ 错误；根据EF=DF，BD≠DF，BD=AB得 EF≠AB则② 错误。
47．在中，当，点E是边上的中点，点F为上一点，连结，作交的边于点G．
（1）如图1，若G点在边上，，则的面积是　 　．
（2）如图2，若G点在边上，，则的面积是　 　．
【答案】（1）
（2）10
【解析】【解答】解：（1）如图，过点A作AM⊥BC于M，过点G作GL⊥AD于L，过点F作FK⊥AD于K，
∴∠DKF=∠EKF=∠GLE=∠AMB=90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，∠B=45°，AB=6，BC=8，
∴∠B=∠D=45°，AD∥BC，AB=CD=6，AD=BC=8，
∴∠DFK=∠D=45°，
∴DK=KF，，
∴由勾股定理得：，
∴DK=KF=2，
∵E是AD中点，
∴，
∴EK=DE-DK=2，
∴EK=KF，
∵∠EKF=90°，
∴，∠KEF=∠KFE=45°，
又∵GE⊥EF，
∴∠AEG=90°-∠KEF=45°，
又∵GL⊥AD，
∴∠GEF=90°，
∴∠LEG=90°-∠KEF=45°，
∵∠GLE=90°，
∴∠LGE=∠LEG=45°，
∴GL=LE，
∵∠B=45°，∠AMB=90°，
∴∠BAM=∠B=45°，
∴AM=BM，
由勾股定理得：
∴，
∵AD∥BC，AM⊥BC，LG⊥AD，
∴易证四边形AMGL是矩形，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）如图，过点F作FK⊥AD于K，延长KF∠BC延长线于M，过点G作GL⊥AD于L，交DA延长线于L，延长LG交BC于N，过点F作FH⊥GN于H，过点A作AI⊥BC于I，
∴∠DKF=∠L=∠GHF=∠NHF=∠AIB=∠AIM=90°，
由（1）得∠B=∠D=45°，AD∥BC，
∴∠BNG=∠L=∠M=∠DKF=∠LAI=∠KAI=90°，∠LAG=∠B=45°，
∴∠D=∠KFD=∠LAG=∠LGA=∠B=∠BGN=∠BAI=45°，
∴DK=KF，AL=GL，BN=GN，BI=AI，
∵∠L=∠LAI=∠AIB=∠KAI=∠AIM=∠M=∠NHF=∠GHF=90°，
∴四边形ALNI、AIMK、HNMF、LHFK均为矩形，
∴LN=AI=KM，HF=MN，HN=FM，LH=FK，
又∵，AB=6
∴，
∴DK=KF=3，，
∴，LH=FK=3，
由（1）得AE=DE=4，
∴EK=DE-DK=4-3=1，
∴，
设GH=x，则GL=AL=LH-GH=3-x，
∴LE=AL+AE=3-x+4=7-x，，
∴，
∵AB∥CD，∠B=45°，
∴∠FCM=∠B=45°，
∵∠M=90°，
∴∠MFC=∠FCM=45°，
∴，
∵BC=8，
∴，
∴，
∵GE⊥EF，
∴∠GEF=90°，
∴，
∴，
解得：x=1，
∴，
∴，
故答案为：10.
【分析】（1）过点A作AM⊥BC于M，过点G作GL⊥AD于L，过点F作FK⊥AD于K，根据平行四边形的性质得∠B=∠D=45°，AD∥BC，AB=CD=6，AD=BC=8，然后利用勾股定理求出DK=KF=KE=2，从而求出EF的值，接下来求LE=GL=AM的值，从而利用勾股定理求EG的值，最后利用三角形面积公式进行求解；
（2）过点F作FK⊥AD于K，延长KF∠BC延长线于M，过点G作GL⊥AD于L，交DA延长线于L，延长LG交BC于N，过点F作FH⊥GN于H，过点A作AI⊥BC于I，先利用等腰三角形的判定与性质得DK=KF，AL=GL，BN=GN，BI=AI，易证四边形ALNI、AIMK、HNMF、LHFK均为矩形，从而根据矩形的性质得LN=AI=KM，HF=MN，HN=FM，LH=FK，利用勾股定理求出DK=KF=LH=3，，同时求EK=1，利用勾股定理求出EF的值，接下来设GH=x，则GL=AL=LH-GH=3-x，从而得LE、BN=GN的值，利用勾股定理得，求出CM=FM的值，从而得MN=HF的值，进而利用勾股定理求出，由勾股定理得关于x的方程，解方程求出x的值，得GE的值，最后利用三角形面积公式进行求解.
48．某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯，主道路是平行，即PQ∥MN． 如图所示，灯A射线从AM开始顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线从BP开始顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是每秒2度，灯B转动的速度是每秒1度． 若灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，A灯转动　 　秒，两灯的光束互相平行．
【答案】30或110
【解析】【解答】解：设灯转动t秒，两灯的光束互相平行，即AC∥BD，
①当0＜t≤90时，如图1所示：
∵PQ∥MN，则∠PBD＝∠BDA，
∵AC∥BD，则∠CAM＝∠BDA，
∴∠PBD＝∠CAM
由题意可知：2t＝30＋t
解得：t＝30，
②当90＜t＜150时，如图2所示：
∵PQ∥MN，则∠PBD＋∠BDA＝180°，
∵AC∥BD，则∠CAN＝∠BDA，
∴∠PBD＋∠CAN＝180°，
∴30＋t＋（2t－180）＝180
解得：t＝110
综上所述，当t＝30秒或t＝110秒时，两灯的光束互相平行．
故答案为：30或110
【分析】设灯转动t秒，两灯的光束互相平行，即AC∥BD，①当0＜t≤90时，②当90＜t＜150时，分别得出t的值即可。
49．如图，O是正△ABC内一点， ， ， ，将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段 ，下列结论正确的有　 　．(请填序号)
①点O与 的距离为4；② ；③ ；④ ．
【答案】①②④
【解析】【解答】解：连接 ，如图所示：
∵线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段 ，
∴ ， ，
∴ 为等边三角形，
∵ ， ， ，
∴ ， ，故①符合题意；
∴ ，
∴ ，
∴ ，故②符合题意；
过点B作BE⊥ 于点E，如图所示，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故③不符合题意；
将△AOB绕点A逆时针旋转60°至 ，连接OD，如图所示：
同理易得△AOD为等边三角形，OD=OA=3，OB=DC=4，∠ODC=90°，
∴ ，故④符合题意；
∴正确的有①②④；
故答案为①②④．
【分析】连接OO'，根据旋转的性质即可得到三角形OBO'为等边三角形，分别进行判断即可得到答案。
50．如图，在平面直角坐标系中，是等边三角形，点，直线绕轴上一点顺时针旋转120°，得到的直线恰好经过点，则点的坐标是　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：设点C是直线l上一点，且点C绕点M顺时针旋转120度得到点B，连接，过点C作交x轴于F，
∵是等边三角形，点，
∴，
∴，
由旋转的性质可得，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴；
如图所示，过点C作x轴的垂线，垂足分为E，设，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴，
故答案为：．
【分析】 设点C是直线l上一点，且点C绕点M顺时针旋转120度得到点B，连接， 过点C作交x轴于F， 通过 证明，得到； 设点， 再表示出点C的坐标，根据l的解析式可得关于m的方程， 解方程求得M的值，即可得出点M的坐标。
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