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【50道解答题·专项集训】浙教版数学八年级下册第4章 平行四边形
1．如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，且，满足：．
（1）求：的值；
（2）为延长线上一动点，以为直角边作等腰直角，连接，求直线与轴交点的坐标；
（3）在（2）的条件下，当时，在坐标平面内是否存在一点，使以、、、为顶点的四边形是平行四边形，如果存在，直接写出点的坐标，若不存在，说明理由．
2．如图，矩形ABCD的边长是常量，点E在AD上以每秒3个单位的速度从D运动到A，当运动时间为1秒时，△ABE的面积为10；当运动时间为2秒时，△ABE的面积为4．
（1）设AD=a，AB=b，点E的运动时间为t秒，△ABE的面积为S，用含a，b，t的式子表示S；
（2）求a和b的值；
（3）求运动时间为0.5秒时，△ABE的面积．
3．计算10边形的内角和及外角和．
4． 阳阳同学发现了这样一个正多边形，它的每个外角都等于它每个内角的，阳阳想知道它是一个正几边形，还想知道它每个内角和每个外角的度数，还想知道它是不是轴对称图形，还想知道它的对称轴有多少条，还想知道……呃，想知道的还真有点多，也只有你能帮助阳阳同学了，请把所有的答案都写下来告诉他吧！
5．在各个内角都相等的多边形中，一个外角等于一个内角的．求多边形的边数．
6．如图，在五边形ABCDE中满足
AB∥CD，求图形中的x的值．
7． 在平行四边形ABCD中，点O是对角线BD的中点，点E在边BC上，EO的延长线与边AD交于点F，连接BF、DE如图1．
（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；
（2）若，过点C作DE的垂线，与DE、BD、BF分别交于点G、H、P如图2．
①当．时，求BE的长；
②求证：．
8．如图，在中，于点E，于点F，连结AF，CE.
（1）证明：四边形AECF是平行四边形；
（2）若，，，求BD的长.
9．□ABCD的对角线交于点O，分别过点A，C作直线l的垂线，垂足为E，F，连结OE，OF。
（1）如图1，若直线l恰好经过点O，试判断线段OE与OF的数量关系并证明。
（2）若直线l不经过点O，请结合图2情形判断(1)中的结论是否仍然成立，若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由。
10．如图，设点 P 是等边 内一点，PA=3，PB=4，PC=5.求 的度数.
11．在中，，点为边上任意一点（与不重合），以为直角边构造等腰直角三角形为的中点．
（1）如图2，将绕点旋转，当点与重合时，求证：；
（2）如图3，将绕点旋转，当点在上且时，求证：．
12．如图， 平行四边形 的对角线 相交于点 ， 点 在对角线 上， 且 ， 连接 ， ．
（1）求证： 四边形 是平行四边形；
（2）若 的面积等于 2 ， 求 的面积．
13．如图，已知四边形ABCD，仅从下列条件中任取两个加以组合，能否得出四边形ABCD 是平行四边形的结论
①AB∥CD；②BC∥AD；③AB=CD；④BC=AD；⑤∠A=∠C；⑥∠B=∠D.
14．如图，在中，点E，F分别为，的中点，点D为上一点，连结交于点G，已知．
（1）求证：平分；
（2）已知，若，求的度数．
15．如图
（1）如图①，四边形ABCD 中，∠ABC 和∠BCD 的平分线交于点 P，已知∠A+∠D=140°，求∠P 的度数.
（2）如图②，在四边形 ABCD 中， 和 外角的三等分线交于点 P，已知 ，请写出 与 的数量关系，并证明.
（3）如图③，E在CD 边的延长线上，F在AD 边的延长线上， 和 的平分线交于点 P，请直接写出 的数量关系.
16．一个多边形，除一个内角外，其余各内角之和等于2012°，求这个内角的度数及多边形的边数．
17．如图， 中，，为锐角要在对角线上找点，，使四边形为平行四边形，现有图中的甲、乙、丙三种方案
（1）正确的方案有　 　 种；
（2）针对上述三种作图方案，请从你认为正确的方案中选择一种给出证明过程．
18．如图，．若的面积是5，求四边形ABCD的面积.
19．如图，等腰直角中，，点在上，将绕顶点沿顺时针方向旋转后得到.
（1）求的度数；
（2）若，，求的长.
20．已知从n边形的一个顶点出发共有4条对角线，其周长为56，且各边长是连续的自然数，求这个多边形的各边长．
21． 四边形ABCD中，AD＝BC，BE＝DF，CF⊥BD，垂足分别为E、F．
（1）求证：△ADE≌△CBF；
（2）若AC与BD相交于点O，求证：AO＝CO．
22．已知点A（2a+2，3﹣3b）与点B（2b﹣4，3a+6）关于坐标原点对称，求a与b的值．
23．如图， 已知 是平行四边形 中 边的中点， 是对角线， 连结 并延长，交 的延长线于点 ， 连结 ．
求证：
（1） ．
（2） 四边形 为平行四边形．
24．如图，在平行四边形中，E为边上一点，F在的延长线上，且．
（1）求证：；
（2）若，点E为的中点，求的长．
25．已知一个多边形的对角线数为边数2倍，求该多边形的边数．
26．如图，在△ABC中，AB=AC=2，延长BC至点D，使CD=BC，连接AD，E、F分别为AC、AD中点，连接EF，若 ，求线段EF的长度．
27．如图1所示，将一副三角板的直角顶点重合摆放在一起。
（1） 图2是由图1抽象出的几何图形， 且∠AOB=∠COD=90°， 若∠AOC=130°， 求∠BOD 的度数。
（2）现在把含45°角的三角尺绕直角顶点，按逆时针方向转动至图3的位置(转动的角度小于平角)。
①请借助量角器和圆规，在图4中补全由图3所抽象出的几何图形，参照图2标上相应的字母。
②第①题中∠AOC和∠BOD 有怎样的数量关系 请说明理由。
28．如图， 是 的边 延长线上一点，连接 ，把 绕点 顺时针旋转 恰好得到 ， 其中 ， 是对应点，若 ，求 的度数．
29．如图，长方形ABCD是篮球场的简图，请通过画图找出它的对称中心.
30．已知一个多边形的内角和的等于它的外角和，求这个多边形的边数．
31．
（1） 如图 (1)， 射线AD， BE， CF 构成 量出 的度数，并计算画出几个类似的图，计算相应的三个角的和，你有什么发现
（2） 类似地， 量出图(2) 中， 的度数，计算 再换几个类似的图试试，你有什么发现
（3） 综合 (1)(2) 的发现，你还能进一步得到什么猜想
32．如图，P是等边 ABC内的一点，若将 BCP绕点B旋转到 BAP’，判断 PBP’的形状.
33．小华从点A出发向前走10m，向右转36°然后继续向前走10m，再向右转36°，他以同样的方法继续走下去，他能回到点A吗？若能，当他走回到点A时共走多少米？若不能，写出理由．
34．多边形的每一个内角都相等，它的一个外角等于正十边形的一个内角的 ，求这个多边形的边数．
35．已知一个多边形的内角和是外角和的3倍，求此多边形的边数．
36．在平面直角坐标系中，已知点A（2a﹣b，﹣8）与点B（﹣2，a+3b）关于原点对称，求a、b的值．
37．如图，在△ABC中，AB=AC，△ABC与△DEC关于点C成中心对称，连接AE、BD．
（1）线段AE、BD具有怎样的位置关系和大小关系？说明你的理由．
（2）如果△ABC的面积为5cm2，求四边形ABDE的面积．
（3）当∠ACB为多少度时，四边形ABDE为矩形？说明你的理由．
38．在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，将△ABC绕点C顺时针旋转一定的角度α得到△DEC，点A、B的对应点分别是D、E．
（1）当点E恰好在AC上时，如图1，求∠ADE的大小；
（2）若α＝60°时，点F是AC中点，如图2，求证：四边形BEDF是平行四边形．
39．如图所示，已知 为正方形 外的一点． ， ．将 绕点 顺时针旋转 ，使点 旋转至点 ，且 ，求 的度数．
40．如图，ABCD，AB=15，AD=12，AC⊥BC，求AC的长以及ABCD的面积．
41．在四边形ABCD中，．连结对角线AC，BD交于点E，且．
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形．
（2）若，已知，，求BD的长．
42．如图，在中，，过点A作于点，且，连接，延长至点，连接，使∠，若，求的长．
43．如图，在中，，，点E在射线上（不与点A，B重合），将线段绕点E顺时针旋转，得到线段，连接，取中点F，连接．
（1）如图1，若点E是中点时，点D，B，C恰好在一条直线上，用等式表示线段和的数量关系，并证明；
（2）当点E在射线上时，（1）中的结论是否成立，在图2，图3中任选一种情况完成证明．
44．
（1） 如图 1， 在四边形 中， 分别是 的中点， 连结 并延长，分别与 的延长线交于点 ． 若 ， 求证： ． (提示： 取 的中点 ， 连结 )
（2） 如图 2， 在 中， 是 边的中点， 是 边上一点， 是 的中点， 直线 交 的延长线于点 ， 连结 ． 若 ， 求 的长度．
45．一个多边形的内角和比它外角和的3倍少180°，求这个多边形的边数．
46．如图，在平面直角坐标系中，已知直线交x轴于点A，交y轴于点，过点C作直线交x轴于点B，且，，点P在线段上，P的坐标为．
（1）求的长；
（2）若M为线段的中点，求直线的解析式；
（3）在平面内是否存在点Q，使以点A、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在请直接写出点Q的坐标；若不存在请说明理由．
47．若、、三点共线，，将一个三角板的直角顶点放在点处（注：，）．
（1）如图1，使三角板的长直角边在射线上，则　 　；
（2）将图1中的三角板绕点以每秒的速度按逆时针方向旋转一周，
①若旋转到到图2位置，此时，求运动时间的值：
②经过秒后，直线恰好成为的三等分线，直接写出的值．
48．如图，直线分别交轴，轴于点和点，直线分别交轴，轴于点和点，和交于点，已知．
（1）求直线的解析式；
（2）如图，连接，将绕点顺时针旋转得到，边所在直线交轴于点，求出点的坐标；
（3）在（2）的条件下，将直线平移经过点，得直线，将沿直线平移得到，其中边所在直线与轴交于点，点是直线上的一个动点，当以、、、为顶点的四边形是以为边的平行四边形时，求出此时点的坐标．
49．已知：在等腰中，．把绕点C逆时针旋转得到，其中点D，E分别是点A，B的对应点．
（1）如图1，若，CB平分，求的度数；
（2）在旋转过程中，若直线BC，DE相交于点F．
①如图2，当点D，E在直线BC右侧时，若，求的度数；
②设（），请直接用含的式子表示．
50．已知，，，将绕点顺时针旋转至，连结．
（1）如图1，当点落在线段上时，
①填空：______；______．
②作交于点，求线段的长度；
（2）如图2，若，求四边形的面积．
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【50道解答题·专项集训】浙教版数学八年级下册第4章 平行四边形
1．如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，且，满足：．
（1）求：的值；
（2）为延长线上一动点，以为直角边作等腰直角，连接，求直线与轴交点的坐标；
（3）在（2）的条件下，当时，在坐标平面内是否存在一点，使以、、、为顶点的四边形是平行四边形，如果存在，直接写出点的坐标，若不存在，说明理由．
【答案】（1）解：∵，，，
∴，
解得：，
∴，，
∴，，
∴，
∴的值为；
（2）解：如图所示，过点作轴于，
∴，
∴，
∵为等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
设，
∴，
∴，
∴点的坐标为，
设直线的解析式为，过点，，
，
解得：，
∴直线的解析式为，
∴当时，，
∴直线与轴的交点坐标为；
（3）解：存在，点的坐标为，，．
∵，，
∴，
又∵以、、、为顶点的四边形是平行四边形，且，，
设，
当为对角线时，
得：，
解得：，
∴；
当为对角线时，
得：，
解得：
∴，
当为对角线时，
得：，
解得：，
∴，
综上所述，点的坐标为，，．
【解析】【分析】（1）根据非负数的和为0，可得性质求得即可得出，的坐标，然后根据三角形的面积公式即可得出答案；
（2）过点作轴于，首先根据AAS证明，得出，，设，则，得出点的坐标为，根据点A（-6，0），求得的解析式为，令x=0，即可求得与轴交点的坐标；
（3）首先根据得出，然后根据 以、、、为顶点的四边形是平行四边形，分类讨论：当为对角线时，；当为对角线时，；当为对角线时，；综上即可得出，点的坐标为，，．
2．如图，矩形ABCD的边长是常量，点E在AD上以每秒3个单位的速度从D运动到A，当运动时间为1秒时，△ABE的面积为10；当运动时间为2秒时，△ABE的面积为4．
（1）设AD=a，AB=b，点E的运动时间为t秒，△ABE的面积为S，用含a，b，t的式子表示S；
（2）求a和b的值；
（3）求运动时间为0.5秒时，△ABE的面积．
【答案】解：（1）∵点E在AD上以每秒3个单位的速度从D运动到A，AD=a，∴DE=3t，AE=AD﹣DE=a﹣3t，∴S△ABE=AE AB=（a﹣3t） b=ab﹣bt，即S=ab﹣bt；（2）∵当运动时间为1秒时，△ABE的面积为10，∴ab﹣b=10，∵当运动时间为2秒时，△ABE的面积为4，∴ab﹣3b=4．解方程组 ，得，即a的值为8，b的值为4；（3）∵a=8，b=4，∴S=×8×4﹣×4t，即S=16﹣6t，运动时间为0.5秒时，将t=0.5代入S=16﹣6t，得S=16﹣6×0.5=13．即△ABE的面积为13．
【解析】【分析】（1）根据路程=速度×时间得出DE=3t，则AE=AD﹣DE=a﹣3t，再根据S△ABE=AE AB，代入数据即可求出S=ab﹣bt；
（2）将t=1，S=10；t=2，S=4分别代入（1）中所求解析式，得出关于a、b的方程组，求解即可求出a和b的值；
（3）由（2）可得S=16﹣6t，将t=0.5代入计算即可求解．
3．计算10边形的内角和及外角和．
【答案】解：∵多边形的内角和为：（n-2）×180°，
∴10边形的内角和为：（10-2）×180°=1440°，
又∵多边形的外角和为360°，
∴10边形的外角和为360°.
【解析】【分析】根据多边形的内角和公式：（n-2）×180°，将n=10代入计算即可；再由多边形的外角和为360°可得10边形的外角和也为360°.
4． 阳阳同学发现了这样一个正多边形，它的每个外角都等于它每个内角的，阳阳想知道它是一个正几边形，还想知道它每个内角和每个外角的度数，还想知道它是不是轴对称图形，还想知道它的对称轴有多少条，还想知道……呃，想知道的还真有点多，也只有你能帮助阳阳同学了，请把所有的答案都写下来告诉他吧！
【答案】解：正八边形 是轴对称图形 八条
【解析】【解答】解：设这个正多边形的每个外角度数为x，则这个正多边形的每个内角度数为，
由题意得，，
∴，
∴，
∴这个正多边形的一个外角的度数为，一个内角的度数为，
∴这个正多边形的边数为，
∴这个正多边形为正八边形，
∴这个正多边形是轴对称图形，且有8条对称轴．
【分析】多边形的内角和为(n-2）乘180°，外角和为360°，结合轴对称图形的性质求解即可。
5．在各个内角都相等的多边形中，一个外角等于一个内角的．求多边形的边数．
【答案】解：设多边形的一个内角为x度，则一个外角为x度，依题意得：
x+ x=180，
解得x=135，
则360÷（180﹣135）=360÷45=8．
答：多边形的边数是8．
【解析】【分析】可设多边形的一个内角是x度，根据题意表示出外角的度数．再根据各个内角和各个外角互补，列方程求解即可．
6．如图，在五边形ABCDE中满足
AB∥CD，求图形中的x的值．
【答案】解：∵AB∥CD，∠C＝60°，
∴∠B＝180°﹣60°＝120°，
∴（5﹣2）×180°＝x+150°+125°+60°+120°，
∴x＝85°．
【解析】【分析】先根据两直线平行同旁内角互补求出∠B ，再利用多边形的内角和公式[ （n﹣2）×180° ]求出五边形ABCDE的内角和，即可求出图形中的x的值．
7． 在平行四边形ABCD中，点O是对角线BD的中点，点E在边BC上，EO的延长线与边AD交于点F，连接BF、DE如图1．
（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；
（2）若，过点C作DE的垂线，与DE、BD、BF分别交于点G、H、P如图2．
①当．时，求BE的长；
②求证：．
【答案】（1）证明：在平行四边形ABCD中，点O是对角线BD的中点，
，
，
在与中，
，
，
且，
四边形BEDF是平行四边形；
（2）解：①解：如图，过点D作于点N，
，
，
，
，
，
，
，（8分）
②证明：，
，
，
，
，
，
，
．
【解析】【分析】（1）利用平行四边形的性质求出BO=DO，结合平行线的性质求出，最后根据三角形全等求出DF=BE，利用平行四边形的判定即可求出四边形BEDF是平行四边形.
（2）①过点D作，利用等腰三角形三线合一的性质求出CN和EN的长度，根据勾股定理求出DN长度，利用，证明△BDN为等腰直角三角形求出BN的长度，从而知道BE长度；②利用垂直求出，根据等腰三角形的性质求出，利用等腰转换即可求出，最后根据外角的定义表示出结合即可求出，从而证明CD=CH.
8．如图，在中，于点E，于点F，连结AF，CE.
（1）证明：四边形AECF是平行四边形；
（2）若，，，求BD的长.
【答案】（1）证明：四边形ABCD是平行四边形，
，，
，
于点E，于点F，
，
，
在和中，
，
，
四边形AECF是平行四边形
（2）解：∵，，，
∴，
∴，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴BD的长为13
【解析】【分析】 （1）由平行四边形的性质得AD∥CB，AD=CB，则∠ADE=∠CBF，由AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，得AE∥CF，∠AED=∠CFB=90°，即可根据“AAS”证明△ADE≌△CBF，得AE=CF，即可根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”证明四边形AECF是平行四边形；
（2）由AF=DF，，得EF=AF=DF，利用比例关系和勾股定理，可以求得ED=8，而BF=ED，故BE=FD，从而求得BD=ED+BE.
9．□ABCD的对角线交于点O，分别过点A，C作直线l的垂线，垂足为E，F，连结OE，OF。
（1）如图1，若直线l恰好经过点O，试判断线段OE与OF的数量关系并证明。
（2）若直线l不经过点O，请结合图2情形判断(1)中的结论是否仍然成立，若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由。
【答案】（1）解：OE=OF。理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC。
∵AE⊥EF，CF⊥EF，
∴∠AEO=∠CFO=90°。
在△AEO和△CFO中，
∴△AEO≌△CFO(AAS)。
∴OE=OF。
（2）解：仍然成立。理由如下：
如图，延长FO与AE相交于点G。
∵AE⊥EF，CF⊥EF，
∴AE∥CF。
∴∠GAO=∠FCO。
在△AGO和△CFO中，
∴△AGO≌△CFO(ASA)。
∴OG=OF。
又∵∠AEF=90°，
∴EO=OF。
【解析】【分析】(1)由“AAS”可证 可得OE=OF；
(2)由“ASA”可证 可得GO=OF，由直角三角形的性质可得OE=OF.
10．如图，设点 P 是等边 内一点，PA=3，PB=4，PC=5.求 的度数.
【答案】解：∵△ABC是等边三角形， ∴BA=BC.
如图，将△BPC绕点B 逆时针旋转60°得到△BEA，连接EP.
∴BE=BP=4，AE= PC=5，
∴△BPE为等边三角形，
∴PE=PB=4，∠BPE=60°.在△AEP中，AE=5，AP=3，PE=4，
∴△APE为直角三角形，且∠APE=90°，
∴∠APB=∠APE+∠BPE=90°+60°=150°.
【解析】【分析】将△BPC绕点B 逆时针旋转60°得到△BEA，连接EP，根据旋转的性质得到△BPE为等边三角形，即可得到PE=PB=4，再根据勾股定理的逆定理得到∠APE=90°，然后根据角的和差解答即可.
11．在中，，点为边上任意一点（与不重合），以为直角边构造等腰直角三角形为的中点．
（1）如图2，将绕点旋转，当点与重合时，求证：；
（2）如图3，将绕点旋转，当点在上且时，求证：．
【答案】（1）证明：如图2中，
是等腰直角三角形，绕点旋转，当点E与F重合，
是等腰直角三角形，∴∠DBF=∠BFD=45°，BD=DF，
∵F为AD的中点，∴AF=DF，∴BD=AF，
∵∠ABC=90°，∴∠ABF+∠DBC=∠ABF+∠BAF=45°，∴∠BAF=∠DBC，
∵AB=BC，∴△ABF≌△BCD（SAS），
∴∠ABF=∠BCD，∴∠BAE+∠BCD=45°；
（2）证明：如图3中，作于交于于．
由（1）可知△CBM≌△BAN，∴BN=CM，AN=BM，
∵AB=AD，AN⊥BD，∴BN=DN，
∵ED⊥BD，∴，
∴∠GAF=∠FDE，BG=GE，∴DE=2GN，
在△AGF和△DEF中，∠GAF=∠FDE，∠AFG=∠DFE，AF=DF，
∴△AGF≌△DEF（AAS），∴AG=DE=BD，∴AN=3BN，BM=3CM，
∵BN=DN，∴DM=CM，∴△CDM是等腰直角三角形，
，，
，．
【解析】【分析】（1）先根据旋转的性质结合等腰直角三角形的性质得到∠DBF=∠BFD=45°，BD=DF，进而结合题意证明∠BAF=∠DBC，从而根据三角形全等的判定与性质证明△ABF≌△BCD（SAS）得到∠ABF=∠BCD即可求解；
（2）作于交于于，由（1）可知△CBM≌△BAN，进而根据三角形全等的性质得到BN=CM，AN=BM，再结合题意证明△AGF≌△DEF（AAS）得到AG=DE=BD，从而运用等腰三角形的性质结合勾股定理即可求解。
12．如图， 平行四边形 的对角线 相交于点 ， 点 在对角线 上， 且 ， 连接 ， ．
（1）求证： 四边形 是平行四边形；
（2）若 的面积等于 2 ， 求 的面积．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，0B=OD.
∵BE=DF，且 OE=OB-BE，OF=OD-DF，
∴OE=OF，
∴四边形AECF是平行四边形；
（2）解：∵ BE=EF
∴
由（1）知：平行四边形AECF
∴
∵ EF=OF
∴
【解析】【分析】本题考查平行四边形的性质，熟练掌握是关键。（1）由平行四边形ABCD可得OA=OC，0B=OD.再证OE=OF，可得结论；（2）由平行四边形的性质可得，结合，可得结论.
13．如图，已知四边形ABCD，仅从下列条件中任取两个加以组合，能否得出四边形ABCD 是平行四边形的结论
①AB∥CD；②BC∥AD；③AB=CD；④BC=AD；⑤∠A=∠C；⑥∠B=∠D.
【答案】解：①②，两组对边分别平行的四边形是平行四边形.
①③，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
①⑤，AB//CD，∠A=∠C
∴∠A与∠D互补(两直线平行，同旁内角互补)
∴∠C与∠D互补
∴AD//BC(同旁内角互补，两直线平行)
∴四边形ABCD是平行四边形
①⑥，证明同①⑤
②④，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
②⑤，证明同①⑤
②⑥，证明同①⑤
③④，两组对边分别相等的四边形是平行四边形
⑤⑥，两组对角分别相等的四边形是平行四边形
已知∠A=∠C，∠B=∠D，四边形内角和为360°
∴∠A+∠B+∠C+∠D=360°
∴2∠A+2∠B=360°
∴∠A+∠B=180°
∴AD//BC(同旁内角互补，两直线平行)
∴∠C+∠B=180°
∴AB//CD(同旁内角互补，两直线平行)
在四边形ABCD中，AD//BC，AB//CD
∴四边形ABCD为平行四边形
【解析】【分析】根据平行四边形的判定定理即可求解.
14．如图，在中，点E，F分别为，的中点，点D为上一点，连结交于点G，已知．
（1）求证：平分；
（2）已知，若，求的度数．
【答案】（1）证明：点，分别为，的中点，
是的中位线，
，
，
，
，
，即平分；
（2）解：，，
，
，
，，
，
，
，
．
【解析】【分析】
（1）先证明EF是△ABC的中位线，得EF和AB平行，根据平行线的性质结合已知条件可推导出∠CAD=∠BAD；
（2）∠C=∠BDA-∠CAD，分别求出∠BDA和∠CAD可得结果。
15．如图
（1）如图①，四边形ABCD 中，∠ABC 和∠BCD 的平分线交于点 P，已知∠A+∠D=140°，求∠P 的度数.
（2）如图②，在四边形 ABCD 中， 和 外角的三等分线交于点 P，已知 ，请写出 与 的数量关系，并证明.
（3）如图③，E在CD 边的延长线上，F在AD 边的延长线上， 和 的平分线交于点 P，请直接写出 的数量关系.
【答案】（1）解：在四边形ABCD中，∠A+∠D+∠BCD+∠ABC=360°
∵∠A+∠D=140°
∴∠BCD+∠ABC=220°
∵∠ABC 和∠BCD 的平分线交于点P
∴∠BCD=2∠PCB，∠ABC=2∠PBC
∴2∠PCB+∠2∠PBC=220°
∴∠PCB+∠PBC=110°
∵∠P+∠PCB+∠PBC=180°
∴∠P+110°=180°
∴∠P=70°
（2）解：设∠ABP=x，∠ADP=y，
由题意可得：
由①得x-y=∠P-∠A ③
将③代入②，得
（3）∠F+∠B+∠C-2∠P=180°
【解析】【解答】解：（3）设∠BAP=∠FAP=x，∠CEP=∠FEP=y
由题意可得：x-y=∠F-∠P
∵∠ADC =360°-∠B-∠C-2x=∠EDF=180°-∠F-2y
∴180°-∠B-∠C-2x+2y+∠F=0，即180°-∠B-∠C-2(∠F-∠P)+∠F=0
∴∠F+∠B+∠C-2∠P=180°
【分析】（1）根据四边形内角和定理可得∠BCD+∠ABC=220°，再根据角平分线定义可得∠BCD=2∠PCB，∠ABC=2∠PBC，则∠PCB+∠PBC=110°，再根据三角形内角和定理即可求出答案.
（2）设∠ABP=x，∠ADP=y，根据题意建立方程组，解方程即可求出答案.
（3）设∠BAP=∠FAP=x，∠CEP=∠FEP=y，根据题意建立方程组，解方程即可求出答案.
16．一个多边形，除一个内角外，其余各内角之和等于2012°，求这个内角的度数及多边形的边数．
【答案】解：∵2012÷180=11…32，
∴这个多边形的边数与2的差是12，
∴这个多边形的边数是：12+2=14，
∴这个内角的度数是：
180°×12﹣2012°
=2160°﹣2012°
=148°
答：这个内角的度数为148°，多边形的边数为14
【解析】【分析】根据多边形内角和定理：（n﹣2） 180° （n≥3）且n为整数），可得：多边形的内角和一定是180°的倍数，而多边形的内角一定大于0°，并且小于180°，用2012除以180，根据商和余数的情况，求出这个多边形的边数与2的差是多少，即可求出这个多边形的边数，再用这个多边形的内角和减去2012°，求出这个内角的度数是多少即可．
17．如图， 中，，为锐角要在对角线上找点，，使四边形为平行四边形，现有图中的甲、乙、丙三种方案
（1）正确的方案有　 　 种；
（2）针对上述三种作图方案，请从你认为正确的方案中选择一种给出证明过程．
【答案】（1）3
（2）解：方案甲中，连接，如图所示：
四边形是平行四边形，为的中点，
，，
，，
，
四边形为平行四边形，故方案甲正确；
方案乙中，四边形是平行四边形，
，，
，
，，
，，
在和中，
，
≌，
，
又，
四边形为平行四边形，故方案乙正确；
方案丙中，四边形是平行四边形，
，，，
，
平分，平分，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
四边形为平行四边形，故方案丙正确．
【解析】【解答】解：（1） 方案甲中，连接，如图所示：
四边形是平行四边形，为的中点，
，，
，，
，
四边形为平行四边形，故方案甲正确；
方案乙中，四边形是平行四边形，
，，
，
，，
，，
在和中，
，
≌，
，
又，
四边形为平行四边形，故方案乙正确；
方案丙中，四边形是平行四边形，
，，，
，
平分，平分，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
四边形为平行四边形，故方案丙正确．
故答案为：3.
【分析】（1）方案甲：连接，根据对角线互相平分可证四边形为平行四边形，故正确；方案乙： 证明≌，可得AN=CM，结合AN∥CM，可证四边形为平行四边形，故正确；方案丙：证明≌，可得，，则， 可得AN∥CM，从而证四边形为平行四边形，故丙正确.
（2）利用（1）选择一种证明即可.
18．如图，．若的面积是5，求四边形ABCD的面积.
【答案】解：∵，的面积是5，
∴的面积是10，
∵，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴平行四边形ABCD的面积为.
【解析】【分析】根据同高的三角形面积比等于对应底边之比求出△BCE的面积是10，证明四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的性质可得答案.
19．如图，等腰直角中，，点在上，将绕顶点沿顺时针方向旋转后得到.
（1）求的度数；
（2）若，，求的长.
【答案】（1）解：如图，
根据旋转的性质得：，
∵是 等腰直角 三角形，
∴，
∴．
（2）解：如图，
根据旋转的性质得：，，．
∵，
∴．
又，
∴为等腰直角三角形．
∴．
在中，．
∴．

【解析】【分析】（1）根据旋转的性质得：，根据等腰直角三角形得性质得：，最后得即可．
（2）根据旋转的性质得，，，可证得为等腰直角三角形，从而得，再根据勾股定理得，进而可求得的长度．
（1）根据图形旋转的性质可知．
．
（2）根据图形旋转的性质可知，，．
∵，
∴．
又，
∴为等腰直角三角形．
∴．
在中，
．
∴．
20．已知从n边形的一个顶点出发共有4条对角线，其周长为56，且各边长是连续的自然数，求这个多边形的各边长．
【答案】解：依题意有n﹣3=4，
解得n=7，
设最短边为x，则
7x+1+2+3+4+5+6=56，
解得x=5．
故这个多边形的各边长是5，6，7，8，9，10，11．
【解析】【分析】根据n边形从一个顶点出发可引出（n﹣3）条对角线，可求多边形的边数，再根据多边形的周长的定义可求这个多边形的各边长．
21． 四边形ABCD中，AD＝BC，BE＝DF，CF⊥BD，垂足分别为E、F．
（1）求证：△ADE≌△CBF；
（2）若AC与BD相交于点O，求证：AO＝CO．
【答案】（1）证明：∵BE＝DF，
∴BE-EF＝DF-EF，
即BF＝DE，
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AED＝∠CFB＝90°，
在Rt△ADE与Rt△CBF中，
，
∴Rt△ADE≌Rt△CBF；
（2）证明：如图，连接AC交BD于O，
∵Rt△ADE≌Rt△CBF，
∴∠ADE＝∠CBF，
∴AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO．
【解析】【分析】（1）根据已知条件得到，由垂直的定义得到，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；
（2）如图，连接交于，根据全等三角形的性质得到，由平行线的判定得到，根据平行四边形的性质即可得到结论．
22．已知点A（2a+2，3﹣3b）与点B（2b﹣4，3a+6）关于坐标原点对称，求a与b的值．
【答案】解：∵点A（2a+2，3﹣3b）与点B（2b﹣4，3a+6）关于坐标原点对称，
∴，
解得：．
【解析】【分析】利用关于原点对称点的性质得出关于a，b的等式进而求出即可．
23．如图， 已知 是平行四边形 中 边的中点， 是对角线， 连结 并延长，交 的延长线于点 ， 连结 ．
求证：
（1） ．
（2） 四边形 为平行四边形．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD 为平行四边形，
∴AB∥CD.
∴∠ABE=∠ECF，
又∵E为BC的中点，
∴BE=CE.
又∠AEB=∠FEC，
∴△ABE≌△ FCE（ASA），
∴AE=EF.
（2）证明：由（1）可得AE =EF，BE =CE.
∴四边形 ABFC 为平行四边形.
【解析】【分析】（1）由平行四边形的性质得AB//CD，从而∠ABE=∠ECF，证明△ABE≌△ FCE，即可得到结论；
（2）利用对角线互相平分的四边形是平行四边形可证明结论.
24．如图，在平行四边形中，E为边上一点，F在的延长线上，且．
（1）求证：；
（2）若，点E为的中点，求的长．
【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
又∵，
∴.
（2）解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵点E为的中点，
∴，
∵，
∴，
∴．
【解析】【分析】（1）先利用平行四边形的性质可得，再结合，利用“ASA”证出即可；
（2）先利用线段中点的性质可得，再结合，利用线段的和差求出即可．
25．已知一个多边形的对角线数为边数2倍，求该多边形的边数．
【答案】解：由题意得，=2n，
解得：n=7．
即该多边形的边数为7．
【解析】【分析】n边形对角线的总条数为：（n≥3，且n为整数），再由多边形的对角线数为边数2倍，可求出n的值．
26．如图，在△ABC中，AB=AC=2，延长BC至点D，使CD=BC，连接AD，E、F分别为AC、AD中点，连接EF，若 ，求线段EF的长度．
【答案】解：∵∠ACD＝120°，
∴∠ACB＝60°，
∵AB＝AC＝2，
∴△ABC是等边三角形，
∴BC＝AB＝2，
∴CD＝BC＝2，
∵E、F分别为AC、AD的中点，
∴EF＝ CD＝1．
【解析】【分析】先求出 △ABC是等边三角形， 再求出 CD＝BC＝2， 最后计算求解即可。
27．如图1所示，将一副三角板的直角顶点重合摆放在一起。
（1） 图2是由图1抽象出的几何图形， 且∠AOB=∠COD=90°， 若∠AOC=130°， 求∠BOD 的度数。
（2）现在把含45°角的三角尺绕直角顶点，按逆时针方向转动至图3的位置(转动的角度小于平角)。
①请借助量角器和圆规，在图4中补全由图3所抽象出的几何图形，参照图2标上相应的字母。
②第①题中∠AOC和∠BOD 有怎样的数量关系 请说明理由。
【答案】（1）解：因为为周角，
所以，
因为：
所以，
即：
（2）解：①：如图4
②：
理由如下：因为，所以，
因为，
而，
即．
【解析】【分析】（1）根据周角的定义和角的和差可得，然后代入数值计算即可；
（2）①根据题意画出图形即可；
②根据，然后根据角的和差解答即可．
28．如图， 是 的边 延长线上一点，连接 ，把 绕点 顺时针旋转 恰好得到 ， 其中 ， 是对应点，若 ，求 的度数．
【答案】解：∵把△ACD绕点A顺时针旋转60°恰好得到△ABE，
∴∠DAE＝60°，
∴∠EAC＝∠EAD ∠CAD＝42°．
【解析】【分析】有旋转的性质可得出∠DAE＝60°，即可求解。
29．如图，长方形ABCD是篮球场的简图，请通过画图找出它的对称中心.
【答案】解：如图，连接AC，BD，AC和BD相交于点O
点O就是长方形ABCD的对称中心。
故答案为：点O
【解析】【分析】长方形是中心对称图形，它的对称中心是两对角线的交点，画图即可得出答案。
30．已知一个多边形的内角和的等于它的外角和，求这个多边形的边数．
【答案】解：解：由题意可得：
多边形的外角和为360°
∴此多边形的内角和为：360°×3=1080°
设多边形边数为n
则(n-2)×180°=1080°
解得：n=8
这个多边形的边数为8
【解析】【分析】根据多边形的外角和定理可得此多边形的内角和为1080°，设多边形边数为n，再根据多边形内角和定理即可求出答案.
31．
（1） 如图 (1)， 射线AD， BE， CF 构成 量出 的度数，并计算画出几个类似的图，计算相应的三个角的和，你有什么发现
（2） 类似地， 量出图(2) 中， 的度数，计算 再换几个类似的图试试，你有什么发现
（3） 综合 (1)(2) 的发现，你还能进一步得到什么猜想
【答案】（1）解：图（1）中经测量得：
∠1=139°，∠2=113°，∠3=108°，
故，
由此发现，三角形的外角和为
（2）解：经测量得：，
由此发现，四边形的外角和为 。
（3）综合 (1) (2) 的发现， 可以猜想出：所有三角形、四边形的外角之和都是 ． (所谓外角， 就是将三角形、四边形中各角一边反向延长所得到的角)
【解析】【分析】（1）经过测量可计算得到∠1+∠2+∠3=360°，发现当三角形变化时这个值不变；
（2）经过测量可计算得到∠1+∠2+∠3+∠4=360°，发现当四边形变化时这个值不变，
（3）由此（1）（2）可猜想得：多边形的外角和为360°.
32．如图，P是等边 ABC内的一点，若将 BCP绕点B旋转到 BAP’，判断 PBP’的形状.
【答案】解：等边三角形，理由如下：
连接PP’，如图所示
根据旋转的性质可知，
则旋转角，，
∴△PBP’为等边三角形
【解析】【分析】连接PP'，根据旋转的性质得到，，进而根据有一个角为60°的等腰三角形就是等边三角形即可求证.
33．小华从点A出发向前走10m，向右转36°然后继续向前走10m，再向右转36°，他以同样的方法继续走下去，他能回到点A吗？若能，当他走回到点A时共走多少米？若不能，写出理由．
【答案】解：根据题意可知，360°÷36°=10，
所以他需要转10次才会回到起点，
它需要经过10×10=100m才能回到原地．
所以小华能回到点A．当他走回到点A时，共走100m．
【解析】【分析】他要想回到原点需要走成正多边形，根据多边形的外角和定理求出多边形的边数，从而求出路程．
34．多边形的每一个内角都相等，它的一个外角等于正十边形的一个内角的 ，求这个多边形的边数．
【答案】解：正10边形的内角：(10-2)×180°÷10=144°
多边形的外角：144°×5/12=60°
多边形的内角：180°-60°=120°
正多边形的边数为n
(n-2)×180°/n=120°
(180°-120°)n=360°
n=6
【解析】【分析】由多边形的内角和公式，求出正10边形的内角的度数，根据题意求出多边形的内角，再根据多边形的内角和公式，求出这个多边形的边数．
35．已知一个多边形的内角和是外角和的3倍，求此多边形的边数．
【答案】解：设边数为n，由题意得：（n﹣2）×180°=3×360°，
解得：n=8，
答：此多边形的边数为8．
【解析】【分析】多边形的内角和公式（n﹣2）×180°，外角和为360°，据此列方程求解即可．
36．在平面直角坐标系中，已知点A（2a﹣b，﹣8）与点B（﹣2，a+3b）关于原点对称，求a、b的值．
【答案】解：根据题意，得，解得．
【解析】【分析】平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数．这样就可以得到关于a，b的方程组，解方程组就可以求出a，b的值．
37．如图，在△ABC中，AB=AC，△ABC与△DEC关于点C成中心对称，连接AE、BD．
（1）线段AE、BD具有怎样的位置关系和大小关系？说明你的理由．
（2）如果△ABC的面积为5cm2，求四边形ABDE的面积．
（3）当∠ACB为多少度时，四边形ABDE为矩形？说明你的理由．
【答案】解：（1）∵△ABC与△DEC关于点C成中心对称，
∴AC=CD，BC=CE，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∴AE与BD平行且相等；
（2）∵四边形ABDE是平行四边形，
∴S△ABC=S△BCD=S△CDE=S△ACE，
∵△ABC的面积为5cm2，
∴四边形ABDE的面积=4×5=20cm2；
（3）∠ACB=60°时，四边形ABDE为矩形．
理由如下：∵AB=AC，∠ACB=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC=BC，
∵四边形ABDE是平行四边形，
∴AD=2AC，BE=2BC，
∴AD=BE，
∴四边形ABDE为矩形．
【解析】【分析】（1）根据中心对称的性质可得AC=CD，BC=CE，然后根据对角线互相平分的四边形是平行四边形得到四边形ABDE是平行四边形，再根据平行四边形的对边互相平行且相等解答；
（2）根据平行四边形的性质，对角线把四边形分成面积相等的四个部分解答；
（3）∠ACB=60°．先判断出△ABC是等边三角形，根据等边三角形的三条边都相等可得AC=BC，然后求出AD=BE，再根据对角线相等的平行四边形是矩形证明．
38．在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，将△ABC绕点C顺时针旋转一定的角度α得到△DEC，点A、B的对应点分别是D、E．
（1）当点E恰好在AC上时，如图1，求∠ADE的大小；
（2）若α＝60°时，点F是AC中点，如图2，求证：四边形BEDF是平行四边形．
【答案】（1）解：如图1，
∵△ABC绕点C顺时针旋转α得到△DEC，点E恰好在AC上，∴CA＝CD，∠ECD＝∠BCA＝30°，∠DEC＝∠ABC＝90°，
∵CA＝CD，
∴∠CAD＝∠CDA＝（180°- 30°）＝75°，
∴∠ADE＝90°- 75°＝15°；
（2）证明：如图2，
∵点F是边AC中点，
∴BF＝AC，
∵∠ACB＝30°，
∴AB＝AC，∠CAB＝60°
∴BF＝AB，
∴△BAF为等边三角形，
∵△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△DEC，
∴∠BCE＝∠ACD＝60°，CB＝CE，DE＝AB，
∴DE＝BF，△BCE为等边三角形，
∴BE＝CB，
易证得△CFD≌△ABC，
∴DF＝BC，
∴DF＝BE，
而BF＝DE，
∴四边形BEDF是平行四边形．
【解析】【分析】（1）根据旋转的性质，旋转后出现了等腰三角形，已知顶角，底角可求；旋转前后的图形全等，对应角相等，故问题中角度可求；（2）根据旋转性质易证明四边形的两组对边分别相等，由此证明该四边形是平行四边形。
39．如图所示，已知 为正方形 外的一点． ， ．将 绕点 顺时针旋转 ，使点 旋转至点 ，且 ，求 的度数．
【答案】解：连接 ，
∵ 绕点 顺时针旋转 得△CBP′，
∴ ，∠PBP′=90°，
∠BPP′=∠BP′P=45°，
在Rt△PBP′中，
由勾股定理
，
∵ ，
即 ，
∴△ 是直角三角形，
∴ ，
∴ ，
，
，
∴ ．
【解析】【分析】先求出 ∠BPP′=∠BP′P=45°， 再根据勾股定理求出PP'的长度，最后计算求解即可。
40．如图，ABCD，AB=15，AD=12，AC⊥BC，求AC的长以及ABCD的面积．
【答案】解：∵ABCD中，AB=15，AD=12，AC⊥BC
∴BC=AD=12
∴AC===9.
∴=BCAC=12×9=108.
【解析】【分析】利用勾股定理求出AC的长，再利用平行四边形的面积公式求解即可。
41．在四边形ABCD中，．连结对角线AC，BD交于点E，且．
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形．
（2）若，已知，，求BD的长．
【答案】（1）证明：因为，所以，
因为，，
所以，所以，
又因为，所以四边形ABCD是平行四边形．
（2）解：因为，，，所以，
因为，，，所以，所以．
【解析】【分析】（1）根据两直线平行，内错角相等可得∠DAE=∠BCE，根据两个角和它们所夹的边分别对应相等的两个三角形全等，全等三角形的对应边相等可得BE=DE，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可证明；
（2）根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方求出BC和BE的值，即可求解.
42．如图，在中，，过点A作于点，且，连接，延长至点，连接，使∠，若，求的长．
【答案】解：∵，∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵
∴
在和中，，
∴，
∴，
∴，
∴．
【解析】【分析】先利用平行四边形的性质和等腰三角形的性质证得、然后根据AAS得到，即可得到，进而可得，再根据勾股定理解答即可．
43．如图，在中，，，点E在射线上（不与点A，B重合），将线段绕点E顺时针旋转，得到线段，连接，取中点F，连接．
（1）如图1，若点E是中点时，点D，B，C恰好在一条直线上，用等式表示线段和的数量关系，并证明；
（2）当点E在射线上时，（1）中的结论是否成立，在图2，图3中任选一种情况完成证明．
【答案】（1）解：∵=60°
∴是等边三角形，
∴，
∵点E是的中点，
∴，
∴，
∵线段绕点E顺时针旋转得到线段，
∴，
∴，
∵点D，B，C恰好在一条直线上，
∴，
∴，
∴，
∵点F是的中点，点E是的中点，
∴，
∴；
（2）解：结论仍然成立，理由如下：
如图1，当点E在上时，
延长至G，使，连接，
∵F是的中点，
∴，
∴，
∵线段绕点E顺时针旋转得到线段，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
由（1）知，是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
如图2，当点E在的延长线上时，
延长至G，使，连接，
同理可得，，
∴，
∴．
【解析】【分析】（1）根据等边三角形判定定理可得是等边三角形，则，根据等腰三角形三线合一性质可得，根据旋转性质可得，根据角之间的关系可得∠BED=30°，根据三角形外角性质可得∠BDE=30°，则，根据等角对等边可得，根据线段中点可得，则，即可求出答案.
（2）当点E在上时，延长至G，使，连接，根据线段中点可得，再根据旋转性质可得，根据等边三角形判定定理可得是等边三角形，则，再根据等边三角形性质可得，则，即，再根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案；当点E在的延长线上时，延长至G，使，连接，同理可得，，根据全等三角形性质即可求出答案.
（1）解：∵是等边三角形，
∴是等边三角形，
∴，
∵点E是的中点，
∴，
∴，
∵线段绕点E顺时针旋转得到线段，
∴，
∴，
∵点D，B，C恰好在一条直线上，
∴，
∴，
∴，
∵点F是的中点，点E是的中点，
∴，
∴；
（2）解：结论仍然成立，理由如下：
如图1，当点E在上时，
延长至G，使，连接，
∵F是的中点，
∴，
∴，
∵线段绕点E顺时针旋转得到线段，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
由（1）知，是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
如图2，当点E在的延长线上时，
延长至G，使，连接，
同理可得，，
∴，
∴．
44．
（1） 如图 1， 在四边形 中， 分别是 的中点， 连结 并延长，分别与 的延长线交于点 ． 若 ， 求证： ． (提示： 取 的中点 ， 连结 )
（2） 如图 2， 在 中， 是 边的中点， 是 边上一点， 是 的中点， 直线 交 的延长线于点 ， 连结 ． 若 ， 求 的长度．
【答案】（1）证明：如图1，连结BD，取BD的中点H，连结EH，FH.
∴EH∥AB，EH= AB， FH∥CD，FH=CD，
∵∠BME=∠CNE，
∴HE=HF，
∴AB=CD；
（2）解： 连接BD，取DB的中点H，连接EH、OH，
∵AB=CD，
∴HO=HE，
∴∠HOE=∠OEC，
∵∠OEC=60°，
∴∠HOE=∠OEC=60°，
∴△OEH是等边三角形，
∵AB=DC=5，
∴OE=.
【解析】【分析】（1）连结BD，取BD的中点H，连结EH，FH，根据三角形的中位线定理可得，根据角平分线的定义和平行线的性质可得∠HEF=∠HFE，根据等角对等边可得HE=HF，即可证明；
（2）连接BD，取BD的中点H，连接EH，OH，根据三角形的中位线定理和等边对等角可得∠HOE=∠HEO，根据等边三角形的判定与性质即可求得OE的长.
45．一个多边形的内角和比它外角和的3倍少180°，求这个多边形的边数．
【答案】解：设这个多边形的边数为n． 根据题意，得(n-2)180°=3×360°-180°． 解得n=7． 答：这个多边形的边数是7．
【解析】【分析】多边形的外角和是360度，根据多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°，即可得到多边形的内角和的度数．根据多边形的内角和定理即可求得多边形的边数．
46．如图，在平面直角坐标系中，已知直线交x轴于点A，交y轴于点，过点C作直线交x轴于点B，且，，点P在线段上，P的坐标为．
（1）求的长；
（2）若M为线段的中点，求直线的解析式；
（3）在平面内是否存在点Q，使以点A、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在请直接写出点Q的坐标；若不存在请说明理由．
【答案】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∵，
∴在中，；
∴的长为15，的长为20
（2）解：∵，，
∴，
∴，
∵，M为线段的中点，
∴，即，
设直线为：，
将，代入得，，解得，
∴直线为：
（3）解：存在，Q点的坐标分别为：， ，
【解析】【解答】解：（3）由题意知，分为边，为对角线，两种情况求解：
①当为边时，如图，四边形，四边形为平行四边形，
当四边形为平行四边形，
，，
∵，，，
∴；
当四边形为平行四边形，则与的中点坐标相同，
设，
则的中点坐标为，的中点坐标为，
∴，，
解得，，
∴；
②当为对角线，四边形为平行四边形，
∴，，
∴；
综上所述，存在，Q点的坐标分别为：， ，．
【分析】（1）先求出AO、OC的长，再利用勾股定理求出AC，继而求出BC的长即可；
（2）由中点坐标公式求出M的坐标，再利用待定系数法求出直线PM的长即可；
（3）分两种情况：①当为边，②当为对角线，利用平行四边形的性质分别求解即可.
47．若、、三点共线，，将一个三角板的直角顶点放在点处（注：，）．
（1）如图1，使三角板的长直角边在射线上，则　 　；
（2）将图1中的三角板绕点以每秒的速度按逆时针方向旋转一周，
①若旋转到到图2位置，此时，求运动时间的值：
②经过秒后，直线恰好成为的三等分线，直接写出的值．
【答案】（1）50
（2）解：①三角板绕点以每秒的速度按逆时针方向旋转，
经过秒，，，
，
解得：，
即运动时间为10秒；
②的值为2或68或32或38
【解析】【解答】解：（1），，
故答案为：50；
（2）②三角板再绕点以每秒的速度按逆时针方向旋转一周，
（1）当射线为3等分线时，如图所示：
经过秒后，，
直线是的三等分线，
，或，
，，或，
即，或，
解得：或68；
情况（2）当延长线为3等分线时，如图：
直线是的三等分线，
，或，
，
，或，
此时有：，，解得或38，
故的值为2或68或32或38．
【分析】(1)根据余角的性质进行求解即可；
（2）① 根据三角板绕点以每秒的速度按逆时针方向旋转，经过秒，得到，，结合，得到关于t的一元一次方程，解方程得t的值，即可求解；
②根据题意，需要分两种情况进行讨论：（1）当射线为3等分线时，经过秒后，，根据三等分线的性质得到，或，结合，得到关于t的方程，解方程即可求解；（2）当延长线为3等分线时，根据三等分线的性质得到，或，结合，得到关于t的方程，解方程即可求解；综合即可得出结论.
48．如图，直线分别交轴，轴于点和点，直线分别交轴，轴于点和点，和交于点，已知．
（1）求直线的解析式；
（2）如图，连接，将绕点顺时针旋转得到，边所在直线交轴于点，求出点的坐标；
（3）在（2）的条件下，将直线平移经过点，得直线，将沿直线平移得到，其中边所在直线与轴交于点，点是直线上的一个动点，当以、、、为顶点的四边形是以为边的平行四边形时，求出此时点的坐标．
【答案】（1）解：令，则，即，
，
，
，
令，则，即，
在直线上，
，
直线：分别过点和点，
.
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
轴交于点，
由旋转的性质得：，，
∴，点，
∵，
∴，
∴，
，
，，
∴，
，
设直线的解析式为，
把点，代入得：
，
解得：，
直线的解析式为，
.
（3）解：直线平移得直线，设的解析式为，
将点代入，可得，
解得，
∴的解析式为，
设，
由平移的性质得：直线与直线平行，
直线的解析式为，
，
设，
当与分别为对角线时，
，
，
，
；
当与分别为对角线时，
，
，
，
；
综上所述：点坐标为或．
【解析】【分析】（1）先求出点D的坐标求出点E的坐标，再利用待定系数法求出直线解析式即可；
（2）先利用“AAS”证出△AOD≌△DKA'，再求出点A'的坐标，再利用待定系数法求出直线A'B'的解析式，最后求出点H的坐标即可；
（3）先求出点F、H的坐标，再设，分类讨论：①当与分别为对角线时，②当与分别为对角线时，再分别列出方程组求解即可.
（1）解：令，则，即，
，
，
，
令，则，即，
在直线上，
，
直线：分别过点和点，
；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
轴交于点，
由旋转的性质得：，，
∴，点，
∵，
∴，
∴，
，
，，
∴，
，
设直线的解析式为，
把点，代入得：
，
解得：，
直线的解析式为，
；
（3）解：直线平移得直线，
设的解析式为，
将点代入，可得，
解得，
∴的解析式为，
设，
由平移的性质得：直线与直线平行，
直线的解析式为，
，
设，
当与分别为对角线时，
，
，
，
；
当与分别为对角线时，
，
，
，
；
综上所述：点坐标为或．
49．已知：在等腰中，．把绕点C逆时针旋转得到，其中点D，E分别是点A，B的对应点．
（1）如图1，若，CB平分，求的度数；
（2）在旋转过程中，若直线BC，DE相交于点F．
①如图2，当点D，E在直线BC右侧时，若，求的度数；
②设（），请直接用含的式子表示．
【答案】（1）解：，
，
把绕点C逆时针旋转得到，
，
平分，
，
的度数是；
（2）解：①设，
，
，
把绕点C逆时针旋转得到，
，
，
，
，
，
②为或．
【解析】【解答】解：（2）②设，当E在F右侧时，如图，
∵，
∴，
∵把绕点C逆时针旋转得到，
∴，
∵AB=AC，
∴，
∴，
∴；
即；
当E在F左侧时，如图，
∵，
∴，
∴，
即，
综上所述，为或．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到，根据旋转的性质得到，根据角平分线的定义得到，即可求出的度数；
（2）①设，则，根据旋转的性质得到，进而求出，根据即可求解；
②设，分情况讨论，当E在F右侧时与当E在F左侧时，分别求出∠ACE的度数即可求解.
50．已知，，，将绕点顺时针旋转至，连结．
（1）如图1，当点落在线段上时，
①填空：______；______．
②作交于点，求线段的长度；
（2）如图2，若，求四边形的面积．
【答案】（1）①4，30
②过点作，如图，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
（2）过点作，过点作，
∵旋转，
∴，
∴均为等边三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形的面积为

【解析】【解答】解：①∵旋转，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
故答案为：4，30；
【分析】（1）①先证明为等边三角形，即可得到，利用等边三角形的性质解题即可；
②过点作，利用含30度角的直角三角形的性质求出的长，然后根据三角形的面积求的长解题；
（2）过点作，过点作，可得均为等边三角形，进而可得，然后利用勾股定理求的长，再利用勾股定理求出的长，根据四边形的面积等于解题．
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