资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
【50道解答题·专项集训】浙教版数学八年级下册第5章 特殊平行四边形
1．如图，在平面直角坐标系中，将矩形沿直线折叠（点E在边上），折叠后顶点恰好落在边上的点F处，若点D的坐标为．
（1）求的长；
（2）求点E的坐标．
2．如图1是两条直角边长分别为斜边长为c的直角三角形纸片，图2是用四张图1纸片拼成的正方形图案．
（1）用含有的式子表示图2中正方形的边长；
（2）当时，小正方形的面积是多少？
3．如图平行四边形的对角线，相交于点，分别以点，为圆心，，的长为半径画弧，两弧交于点，连接，．
（1）求证：四边形是平行四边形：
（2）当的对角线满足_______条件时，四边形是正方形，并说明理由．
4．如图，在△ABC中，AB=AC，点O在△ABC的内部，∠BOC=90°，OB=OC，D，E，F，G分别是AB，OB，OC，AC的中点．
（1）求证：四边形DEFG是矩形；
（2）若DE=2，EF=3，求△ABC的面积．
5．如图，四边形ABCD是菱形，∠ACD=30°，BD=6，
求（1）∠BAD，∠ABC的度数；
（2）求AB，AC的长；
（3）求菱形ABCD的面积．
6．如图，矩形 的对角线 相交于点O， ，且 ，求矩形 的面积．
7．四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AD∥BC，OA＝OC，AB＝BC．
（1）如图1，求证：四边形ABCD是菱形；
（2）如图2，AB＝AC，CH⊥AD于点H，交BD于点E，连接AE，点G在AB上，连接EG交AC于点F，若∠FEC＝75°，在不添加任何辅助线的情况下，直接写出四条与线段CE相等的线段（线段CE除外）．
8．如图，在四边形 ABCD中， AB∥CD， AB=AD，对角线 AC， BD 交于点 O， AC平分∠BAD，过点 C作 CE⊥AB交 AB的延长线于点 E，连接 OE.
（1）求证：四边形 ABCD是菱形；
（2）若 OE=4， BD=6，求 CE的长.
9．如图，的对角线，相交于点O，将对角线向两个方向延长，分别至点E和点F，且使．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，求证：四边形是矩形．
10．如图，正方形ABCD的边长为3，E、F分别是AB、BC边上的点，且∠EDF=45°，将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM．若AE=1，求FM的长．
11．如图，在中，，，分别是，的中点，，．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）连接，若，，求的长．
12．如图，在四边形中，，点E在的延长线上，，连接，交边于点F，且，连接.
（1）求证：；
（2）若，求证：四边形为菱形；
（3）在（2）的条件下，若，，求菱形的面积.
13． 定义： 有两个相邻的内角是直角， 并且有两条邻边相等的四边形称为邻等四边形， 相等两邻边的夹角称为邻等角．
（1） 如图 1， 在四边形 中， ， 对角线 平分 ． 求证： 四边形 为邻等四边形．
（2） 如图 2 ， 在 的方格图中， 三点均在格点上． 若四边形 是邻等四边形， 请画出所有符合条件的格点 ．
（3） 如图 3， 四边形 是邻等四边形， 为邻等角， 连结 ， 过点 作 交 的延长线于点 ． 若 ， 求四边形 的周长．
14．如图是由边长为1的小正方形构成的6×4的网格，点A，B均在格点上.
（1）在图1中画出以AB为边且周长为无理数的ABCD，且点C和点D均在格点上（画出一个即可）.
（2）在图⒉中画出以AB为对角线的正方形AEBF，且点E和点F均在格点上.
15．把几个图形拼成一个新的图形，再通过图形面积的计算，常常可以得到一些有用的式子，或可以求出一些不规则图形的面积.如图，是将两个边长分别为a和b的正方形拼在一起，B，C，G三点在同一直线上，连接BD和BF，若两正方形的边长满足a+b＝10，ab＝20，你能求出阴影部分的面积吗？
16．如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，AF⊥DE，且AF＝DE，AF与DE相交于点G．
（1）求证：矩形ABCD为正方形：
（2）若AE：EB＝2：1，△AEG的面积为4，求四边形BEGF的面积．
17． 如图，在正方形ABCD中，点E是对角线BD上的一点（DE＜BE），连接AE，过点E分别作EF⊥AE交BC于点F，EG⊥BD交BC的延长线于点G．
（1）若AD＝6，DE＝2，求EG的长度；
（2）求证：FG＝AB．
18．如图，在平面直角坐标系中，直线y=2x+4分别交x轴，y轴于点A，C，点D（m，2）在直线AC上，点B在x轴正半轴上，且OB=3OC．点E是y轴上任意一点记点E为（0，n）．
（1）求点D的坐标及直线BC的解析式；
（2）连结DE，将线段DE绕点D按顺时针旋转90°得线段DG，作正方形DEFG，是否存在n的值，使正方形的顶点F落在△ABC的边上？若存在，求出所有满足条件的n的值；若不存在，说明理由．
（3）作点E关于AC的对称点E’，当n为何值时，A E’分别于AC，BC，AB垂直？
19．如图，矩形的对角线相交于点O，过点D作的平行线交的延长线于点E．
（1）求证：；
（2）连接，若，，求的长．
20．已知：如图，在正方形ABCD中，点E在边BC上，点F在边CD的延长线上，且BE=DF．
（1）求∠AEF的度数；
（2）如果∠AEB=75°，AB=2，求△FEC的面积．
21．如图1，在正方形ABCD中，P在对角线AC上，E在AC的延长线上，PB＝PM，DE＝EF.
（1）求证：∠CDE＝∠F；
（2）若AB＝5，CM＝1，求PB的长；
（3）如图2，若BF＝10，△QCF是以CF为底的等腰三角形，连接DQ，试求△CDQ的最大面积.
22． ABCD中，AE平分∠BAD交BC于E，EF∥AB交AD于F，试问：四边形ABEF是什么图形吗？
23．如图，菱形 的周长为 cm，对角线 、 相交于点O， cm，求对角线 的长和菱形 的面积.
24．如图，在△ABC中，AB=AC，D 是 BC 的中点，CE∥AD，AE⊥AD，EF⊥AC.
（1）求证：四边形 ADCE 是矩形；
（2）若BC=4，CE=3，求 EF的长.
25． 如图， 在长方形ABCD中， 已知E是边 CD上的一点， ∠DAE=∠CBE=45°， AD=1.
（1）求△ABE的面积；
（2）求△ABE的周长(结果精确到0.01).
26．如图，在中，，是BC的中点，是AD的中点，过点作交CE的延长线于点，连接BF．
（1）求证：四边形ADBF是菱形；
（2）若四边形ADBF面积为S，请直接写出图中，面积为的所有三角形．
27．如图，在矩形ABCD中，AB=8，AD=4，点E，F分别在边CD，AB上，若四边形AFCE是菱形，求菱形AFCE的周长．
28．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠DAB，AB＝2CD，E为AB中点，连结CE．
（1）求证：四边形AECD为菱形；
（2）若∠D＝120°，DC＝2，求△ABC的面积．
29．如图，在△ABC中，点D是BC的中点，点E、F分别是线段AD及其延长线上，且DE=DF，给出下列条件：①BE⊥EC；②BF∥EC；③AB=AC，从中选择一个条件使四边形BECF是菱形，并给出证明，你选择的条件是___（只填写序号）．

30．如图，在菱形中，对角线和交于点，分别过点作，与交于点．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）当时，求的长．
31．如图，在一副七巧板中，
（1）全等三角形有 2 对，分别是　 　(填序号)；
（2）面积相等的图形有5 对，分别是　 　(填序号)；
（3）若大正方形的边长为1，则七巧板的七块图形的边长只有 1，， ，，角的度数分别为 45°，90°，135°.
32．如图，在中，．BD平分交AC于点D．过D作交AB于点E．交BC于点F．连接EF．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求BF的长．
33．已知，在矩形 中， ， ，动点 从点 出发沿边 向点 运动．如图，当 ，点 运动到边 的中点时，请证明 ．
34．在一次数学活动中，王老师布置任务，让同学们用已学知识制作一个菱形．小汪同学经过思考，
给出了如下作图步骤：
①如图，作直角三角形，其中；
②分别延长至点，使；延长至点，使；
③连结，形成四边形．
请根据上述步骤，解答以下问题：
（1）判断四边形是否为菱形，并说明理由．
（2）若，求点到的距离．
35．已知正方形ABCD的边长为a，两条对角线AC、BD相交于点O，P是射线AB上任意一点，过P点分别作直线AC、BD的垂线PE、PF，垂足为E、F．
（1）如图1，当P点在线段AB上时，PE+PF的值是否为定值？如果是，请求出它的值；如果不是，请加以说明．
（2）如图2，当P点在线段AB的延长线上时，求PE﹣PF的值．
36．如图，M是矩形ABCD的边AD的中点，P为BC上一点，PE⊥MC，PF⊥MB，垂足分别为E，F，当AB，BC满足什么条件时，四边形PEMF为矩形？试加以证明．
37．在平行四边形 中，，，．请判定四边形 是哪种特殊的平行四边形？并说明理由．
38．如图，将平行四边形的边延长至点，使，连接，，交于点．
（1）求证：；
（2）连接，若，求证：四边形是矩形．
39．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，过点C作BD的平行线，过点D作AC的平行线，两直线相交于点E，判断四边形OCED的形状，并说明理由．
40． 如图，在菱形中，对角线，相交于点，过点作于点，连接，延长至点，连接．
（1）请你只添加一个条件，使得四边形为矩形，你添加的条件是 ▲ ，并进行证明；
（2）若，，求的长．
41．如图，从一个大正方形中裁去面积为和的两个小正方形，求留下部分的面积．
42．已知：如图，在△ABC中，AC＝BC，点E为AB的中点，DC∥AB，且DC＝AB，连接CE，DE．
（1）四边形AECD是什么特殊四边形？并证明你的结论．
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AECD是正方形？并证明你的结论．
43．已知：如图，AC，BD是平行四边形ABCD的对角线，且AC=BD，若AB=4，BD=8，
求：平行四边形ABCD的周长.
44． 在正方形ABCD中，E是边AD上的一动点（不与点A，D重合），连接BE，点C关于直线BE的对称点为点F，连接FA，FB．
（1）如图1，若△ABF是等边三角形，则　 　°。
（2）如图2，延长BE交FA的延长线于点M，连接CF交BE于点H，连接DM．
①求∠MFH的度数；
②用等式表示线段MB，MD，AB之间的数量关系，并证明．
45．如图1，在菱形ABCD中，AC与BD 交于点O，AB=13，BD=24，F是BD 上一动点(不与点 B重合)，将线段 AF 绕点 A 顺时针旋转60°得到线段 AM.
（1）求OA 的长.
（2）若点 M，F，C在同一条直线上，求证：
（3）如图 2，以 AB 为边作等边△ABE，S△AEM=40，求AF的长
46．如图，已知直线y=kx+b与直线y= x-9平行，且y=kx+b过点(2，3)，与y轴交于点A．
（1）求点A坐标．
（2）若点P是该直线上的一个动点，过点P分别作PM⊥x轴于M，PN⊥y轴于N，在四边形PMON 上分别截取：PC= MP ，MB= OM ，OE= ON，ND= NP，证明： 四边形BCDE是平行四边形．
（3）在(2)的条件下，在直线y=kx+b上是否存在这样的点P，使四边形BCDE为正方形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
47．【模型建立】
（1）我们知道，正方形的四条边都相等，四个角都为直角．如图1，在正方形中，点E，F分别在边，上，连接，，，并延长到点G，使，连接．若，则，，之间的数量关系为________；
【模型应用】
（2）如图2，当点E在线段的延长线上，且时，试探究，，之间的数量关系，并说明理由；
【模型迁移】
（3）如图3，在中，，，点D，E在B，C上，，试探究，，之间的数量关系，并说明理由．
48．如图，矩形纸片ABCD中，AB=8，将纸片折叠，使顶点B落在边AD上的E点，折痕的一端点G在边BC上，BG=10．
（1）当折痕的另一端点F在AB边上时，如图1，求ΔEFG的面积．
（2）当折痕的另一端点F在AD边上时，如图2，证明四边形BGEF为菱形，并求出折痕GF的长．
49．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点的坐标分别为，点为对角线中点，点在轴上运动，连接，把沿翻折，点的对应点为点，连接．
（1）当点在第四象限时（如图1），求证：．
（2）当点落在矩形的某条边上时，求的长．
（3）是否存在点，使得以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．
50．四边形 是边长为 4 的正方形， 点 在边 所在的直线上， 连结 ， 以 为边， 作正方形 (点 在直线 的同侧)， 连结 ．
（1） 如图 1， 当点 与点 重合时， 请直接写出 的长．
（2） 如图 2， 当点 在线段 上时， ． 求： ①点 到 的距离．② 的长．
（3） 若 ， 请直接写出此时 的长．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
【50道解答题·专项集训】浙教版数学八年级下册第5章 特殊平行四边形
1．如图，在平面直角坐标系中，将矩形沿直线折叠（点E在边上），折叠后顶点恰好落在边上的点F处，若点D的坐标为．
（1）求的长；
（2）求点E的坐标．
【答案】（1）解：∵点D的坐标为，在矩形中，∴，，
由折叠的性质的可知：，
在中，由勾股定理得：，
∴．
∴．
（2）由（1）得，∴，
设，则，
在中，由勾股定理得：即，
解得：，
∴点E的坐标为．
【解析】【分析】（1）折叠转化：利用折叠性质，将 转化为 ，构建 求 .
（2）边长关联：通过 求 ，设 为未知数，利用折叠性质关联 与 ；方程求解：在 中应用勾股定理列方程，解出 ，确定 坐标.
（1）解：∵点D的坐标为，在矩形中，
∴，，
由折叠的性质的可知：，
在中，由勾股定理得：，
∴．
∴．
（2）由（1）得，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理得：即，
解得：，
∴点E的坐标为．
2．如图1是两条直角边长分别为斜边长为c的直角三角形纸片，图2是用四张图1纸片拼成的正方形图案．
（1）用含有的式子表示图2中正方形的边长；
（2）当时，小正方形的面积是多少？
【答案】（1）解：图1中的直角三角形的两条直角边长分别为，，
图2中正方形的边长是.

（2）解：由图可知，小正方形的边长为图1中的直角三角形的斜边，
由勾股定理可知，当，时，，
小正方形的面积等于5．
【解析】【分析】（1）根据图形并利用线段的和差求出正方形的边长即可；
（2）先利用勾股定理求出，再利用正方形的面积公式求解即可.
（1）图1中的直角三角形的两条直角边长分别为，，
图2中正方形的边长是；
（2）由图可知，小正方形的边长为图1中的直角三角形的斜边，
由勾股定理可知，当，时，，
小正方形的面积等于5．
3．如图平行四边形的对角线，相交于点，分别以点，为圆心，，的长为半径画弧，两弧交于点，连接，．
（1）求证：四边形是平行四边形：
（2）当的对角线满足_______条件时，四边形是正方形，并说明理由．
【答案】（1）解：∵分别以点，为圆心，，的长为半径画弧，两弧交于点，∴，，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：且，
理由如下：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵
∴
∵
∴
∴平行四边形是正方形．
【解析】【分析】（1）由作图得，，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，得四边形是平行四边形 ；
（2）由四边形是平行四边形，满足对角线 ，得到∠BOC=90°，且 ，得邻边相等BO=CO，根据一个角是直角且邻边相等的平行四边形是正方形判定.
（1）解：∵分别以点，为圆心，，的长为半径画弧，两弧交于点，
∴，，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：且，理由如下：
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵
∴
∵
∴
∴平行四边形是正方形．
4．如图，在△ABC中，AB=AC，点O在△ABC的内部，∠BOC=90°，OB=OC，D，E，F，G分别是AB，OB，OC，AC的中点．
（1）求证：四边形DEFG是矩形；
（2）若DE=2，EF=3，求△ABC的面积．
【答案】（1）证明：如图，连结AO并延长交BC于点H．
∵AB=AC，OB=OC，
∴AH是BC的垂直平分线，即AH⊥BC于点H．
∵D，E，F，G分别是AB，OB，OC，AC的中点，
∴DG∥ EF∥ BC ，DE∥AH∥ GF，
∴四边形DEFG是平行四边形．
∵EF'∥BC，AH⊥BC，∴AH⊥EF．
又∵DE∥AH，∴EF⊥DE，∴∠DEF=90°，
∴四边形DEFG是矩形．
（2）解：∵△BOC是等腰直角三角形，∴BC=2EF=2OH=2×3=6，AH=OA+OH= 2DE+EF= 2×2+3=7，∴S△ABC=×6×7=21．
【解析】【分析】(1)利用等腰三角形的轴对称性可得AH是BC的垂直平分线，再通过三角形的中位线定理可得DG∥ EF∥ BC ，DE∥AH∥ GF，证得四边形DEFG是平行四边形，然后利用平行线的性质证得∠DEF=90°，故平行四边形DEFG是矩形．
(2)利用等腰直角三角形的性质可得BC=2OH=6，由三角形的中位线定理可得AO=2DE=4，故AH=7，再通过三角形的面积公式计算出△ABC的面积．
5．如图，四边形ABCD是菱形，∠ACD=30°，BD=6，
求（1）∠BAD，∠ABC的度数；
（2）求AB，AC的长；
（3）求菱形ABCD的面积．
【答案】解：（1）∵四边形ABCD是菱形，∠ACD=30°，
∴∠BCD＝2∠ACD＝60o，∴∠BAD=∠BCD=60°，
∴∠ABC＝180°-∠BCD=180o-60o=120o；
（2）∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD
∵BD＝6，∴，
在中，∠BAO＝∠ACD＝30°，∴AB＝2OB＝6，
∴OA＝，
∴AC＝2OA＝，
（3）∵AC=，BD=6，
∴菱形ABCD的面积为：.
【解析】【分析】(1)根据菱形的性质：对角线互相平分，并且平分每一组对角，可得∠BAD＝∠DCB＝2∠ACD＝60o，再由菱形中邻角互补求得∠ABC的度数；
(2)由菱形的性质，可得AC⊥BD，且，在中，由∠BAO＝30o，可得AB＝2OB＝6，再根据勾股定理求得OA的长度，再根据AC＝2AO计算可得；
(3)根据菱形的面积等于对角线乘积的一半，得菱形ABCD的面积为：，即可求解。
6．如图，矩形 的对角线 相交于点O， ，且 ，求矩形 的面积．
【答案】解： 四边形ABCD是矩形，
，
又 ，
是等边三角形，
，
，
在 中， ，
则矩形 的面积为 ．
【解析】【分析】根据矩形的性质，可得是等边三角形，可得BD=2OB=2AB=4，在Rt△ABD中，利用勾股定理求出AD的长，根据矩形的面积=计算即得.
7．四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AD∥BC，OA＝OC，AB＝BC．
（1）如图1，求证：四边形ABCD是菱形；
（2）如图2，AB＝AC，CH⊥AD于点H，交BD于点E，连接AE，点G在AB上，连接EG交AC于点F，若∠FEC＝75°，在不添加任何辅助线的情况下，直接写出四条与线段CE相等的线段（线段CE除外）．
【答案】（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠ADO＝∠CBO，
在△ADO和△CBO中，
，
∴△ADO≌△CBO（AAS），
∴OD＝OB，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AB＝BC，
∴四边形ABCD是菱形；
（2）解：与线段CE相等的线段有：AE，DE，AG，CF.
【解析】【解答】（2）解：与线段CE相等的线段有：AE，DE，AG，CF．理由：
由（1）知：四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，AC⊥BD，
∵AB＝AC，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝AC，
∴△ABC和△ADC为等边三角形，
∵CH⊥AD，
∴AH＝DH，
即CH为AD的垂直平分线，
∴AE＝DE．
同理：CE＝AE，
∴AE＝DE＝EC．
∵△ADC为等边三角形，CH⊥AD，
∴∠ACH∠ACD＝30°，
∵∠FEC＝75°，
∴∠EFC＝180°﹣∠ACH＝∠FEC＝75°，
∴∠EFC＝∠FEC，
∴CF＝CE．
∵△ABC和△ADC为等边三角形，
∴∠BAC＝CAD＝60°，
∵CE＝AE，
∴∠EAC＝∠ECA＝30，
∴∠BAE＝∠BAC+∠CAE＝90°，∠AEC＝180°﹣∠EAC﹣∠ECA＝120，
∴∠AEG＝∠AEC﹣∠FEC＝45°，
∴△AGE为等腰直角三角形，
AE＝AG，
∴AG＝EC．
【分析】（1）首先根据AAS证得△ADO≌△CBO，进而得出OD＝OB，进而根据对角线互相平分，可得出四边形ABCD是平行四边形，再结合AB＝BC，即可得出四边形ABCD是菱形；
（2）与线段CE相等的线段有：AE，DE，AG，CF．根据菱形的性质，结合AB＝AC，可得出△ABC和△ADC为等边三角形，进而得出CH为AD的垂直平分线，可得出AE＝DE．同理CE＝AE，再通过计算可得出∠EFC＝∠FEC，可得出CF＝CE．再证明△AGE为等腰直角三角形，得出AE＝AG即可。
8．如图，在四边形 ABCD中， AB∥CD， AB=AD，对角线 AC， BD 交于点 O， AC平分∠BAD，过点 C作 CE⊥AB交 AB的延长线于点 E，连接 OE.
（1）求证：四边形 ABCD是菱形；
（2）若 OE=4， BD=6，求 CE的长.
【答案】（1）证明：∵AB∥CD
∴∠OAB=∠DCA
∵AC平分∠BAD
∴∠OAB=∠DAC
∴∠DCA=∠DAC
∴CD=AD=AB
∵AB∥CD
∴四边形ABCD是平行四边形
∵AD=AB
∴平行四边形ABCD是菱形
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，BD=6
∴OA=OC，，BD⊥AC
∴∠AOB=90°
∵CE⊥AB
∴∠CEA=90°
∴AC=2OE=8
∴
∴
∵菱形ABCD的面积为：
∴
解得：CE=
【解析】【分析】（1）根据直线平行性质可得∠OAB=∠DCA，根据角平分线定义可得∠OAB=∠DAC，则∠DCA=∠DAC，根据等角对等边可得CD=AD=AB，再根据菱形判定定理即可求出答案.
（2）根据菱形性质可得OA=OC，，BD⊥AC，根据直角三角形斜边上的中线性质可得AC，再根据勾股定理可得AB，再根据菱形面积建立方程，解方程即可求出答案.
9．如图，的对角线，相交于点O，将对角线向两个方向延长，分别至点E和点F，且使．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，求证：四边形是矩形．
【答案】（1）证明：连接，设与交于点．如图所示：
四边形是平行四边形，
，，
又，
．
四边形是平行四边形．
（2）证明：由（1）知：四边形是平行四边形，
，，
∵
∴
∴四边形是矩形．
【解析】【分析】（1）根据平行四边形性质对角线互相平分知OA=OC，OB=OD，根据已知BE=DF，推出OE=OF，再根据平行四边形的判定定理：对角线互相平分的四边形是平行四边形.
(2)由（1）知四边形AECF是平行四边形，根据平行四边形对角线互相平分以及OF=OA得出AC=EF，所以对角线相等的平行四边形是矩形即可证明.
10．如图，正方形ABCD的边长为3，E、F分别是AB、BC边上的点，且∠EDF=45°，将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM．若AE=1，求FM的长．
【答案】解：∵△DAE逆时针旋转90°得到△DCM，
∴∠FCM=∠FCD+∠DCM=180°，
∴F、C、M三点共线，
∴DE=DM，∠EDM=90°，
∴∠EDF+∠FDM=90°，
∵∠EDF=45°，
∴∠FDM=∠EDF=45°，
在△DEF和△DMF中， ，
∴△DEF≌△DMF（SAS），
∴EF=MF，
设EF=MF=x，
∵AE=CM=1，且BC=3，
∴BM=BC+CM=3+1=4，
∴BF=BM﹣MF=BM﹣EF=4﹣x，
∵EB=AB﹣AE=3﹣1=2，
在Rt△EBF中，由勾股定理得EB2+BF2=EF2，
即22+（4﹣x）2=x2，
解得：x= ，
∴FM= ．
【解析】【分析】由旋转可得DE=DM，∠EDM为直角，可得出∠EDF+∠MDF=90°，由∠EDF=45°，得到∠MDF为45°，可得出∠EDF=∠MDF，再由DF=DF，利用SAS可得出三角形DEF与三角形MDF全等，由全等三角形的对应边相等可得出EF=MF；则可得到AE=CM=1，正方形的边长为3，用AB﹣AE求出EB的长，再由BC+CM求出BM的长，设EF=MF=x，可得出BF=BM﹣FM=BM﹣EF=4﹣x，在直角三角形BEF中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即为FM的长．
11．如图，在中，，，分别是，的中点，，．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）连接，若，，求的长．
【答案】（1）证明：∵，，
∴四边形ADEF是平行四边形，
∵，分别是，的中点，
∴DE是△ABC的中位线，AD=AB，
∴DE=BC，
∵，
∴AD=DE，
∴平行四边形ADEF是菱形；
（2）解：连接交于，
四边形是菱形，
，，
，分别是，的中点，，，
，，
，
，
．
【解析】【分析】（1）先证出四边形ADEF是平行四边形，再证出AD=DE，可证出平行四边形ADEF是菱形；
（2）先利用勾股定理求出DO的长，再利用菱形的性质可得.
12．如图，在四边形中，，点E在的延长线上，，连接，交边于点F，且，连接.
（1）求证：；
（2）若，求证：四边形为菱形；
（3）在（2）的条件下，若，，求菱形的面积.
【答案】（1）证明：，点E在的延长线上，
，
，，
在和中，
，
，
，
，
（2）证明：，，
四边形为平行四边形，
，，
是斜边的中线，
，
四边形为菱形
（3）解：如图，作于点H，
，，
，
四边形为菱形，
，
，，
，
，
，
菱形的面积
【解析】【分析】（1）利用平行线的性质得到，， 结合， 利用AAS即可证明，最后根据三角形全等的性质即可求解；
（2）先证明 四边形为平行四边形， 结合，， 利用直角三角形斜边上的中线性质定理即可求解；
（3） 作于点H， 利用菱形的性质以及勾股定理求得AH，BH的值，再利用菱形的面积公式代入数据计算即可求解.
13． 定义： 有两个相邻的内角是直角， 并且有两条邻边相等的四边形称为邻等四边形， 相等两邻边的夹角称为邻等角．
（1） 如图 1， 在四边形 中， ， 对角线 平分 ． 求证： 四边形 为邻等四边形．
（2） 如图 2 ， 在 的方格图中， 三点均在格点上． 若四边形 是邻等四边形， 请画出所有符合条件的格点 ．
（3） 如图 3， 四边形 是邻等四边形， 为邻等角， 连结 ， 过点 作 交 的延长线于点 ． 若 ， 求四边形 的周长．
【答案】（1）证明： 在四边形 中，
∴
∵ 对角线 平分
∴ 四边形 为邻等四边形．
（2）解 ： 如下 3 个图， 点 即为所求．
（3）解： 如图 3， 由题意，得四边形 是平行四边形，
过点 作 于点 ， 得矩形 ， 设 ，
则 ，
在 Rt 和 Rt 中， 根据勾股定理， 得 ，
， 整理得 ，
解得 (不符合题意，舍去)，
∴ 四边形 的周长．
【解析】【分析】（1）根据直线平行性质可得，再根据角平分线概念可得，再根据直线平行性质可得，则，即，再根据邻等四边形判定定理即可求出答案.
（2）根据邻等四边形性质作图即可.
（3）根据平行四边形性质可得，则，过点 作 于点 ， 得矩形 ， 设 ，则则 ， 根据勾股定理建立方程，解方程可得，则，再根据四边形周长进行边之间的转换即可求出答案.
14．如图是由边长为1的小正方形构成的6×4的网格，点A，B均在格点上.
（1）在图1中画出以AB为边且周长为无理数的ABCD，且点C和点D均在格点上（画出一个即可）.
（2）在图⒉中画出以AB为对角线的正方形AEBF，且点E和点F均在格点上.
【答案】（1）解：如图1中，四边形ABCD即为所求，
（2）解：如图2中，四边形AEBF即为所求，
【解析】【分析】（1）周长要为无理数，则平行四边形的另一条边只要出现根号，则满足条件，如图1，AD=，则周长为无理数；
（2）AB为对角线，则找到AB的中点，再做垂线，做另外一条对角线EF=AB，连接后的四边形即为所求.
15．把几个图形拼成一个新的图形，再通过图形面积的计算，常常可以得到一些有用的式子，或可以求出一些不规则图形的面积.如图，是将两个边长分别为a和b的正方形拼在一起，B，C，G三点在同一直线上，连接BD和BF，若两正方形的边长满足a+b＝10，ab＝20，你能求出阴影部分的面积吗？
【答案】解：∵a+b＝10，ab＝20，
∴（a+b）2＝100，
∴a2+b2+2ab＝100，
∴a2+b2＝60，
∴S阴影＝S两正方形-S△ABD-S△BFG
＝a2+b2- a2-b（a+b）
＝（a2+b2-ab）
＝×（60-20）
＝20.
【解析】【分析】根据完全平方公式可得(a+b)2=a2+b2+2ab，结合已知条件可得a2+b2＝60，由图形可得S阴影＝S两正方形-S△ABD-S△BFG，然后利用正方形、三角形的面积公式进行计算.
16．如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，AF⊥DE，且AF＝DE，AF与DE相交于点G．
（1）求证：矩形ABCD为正方形：
（2）若AE：EB＝2：1，△AEG的面积为4，求四边形BEGF的面积．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAB＝∠B＝90°，
∵DE⊥AF，
∴∠DAB＝∠AGD＝90°，
∴∠BAF+∠DAF＝90°，∠ADE+∠DAF＝90°，
∴∠BAF＝∠ADE，
在△ABF和△DAE中，
，
∴△ABF≌△DAE（AAS），
∴AD＝AB，
∵四边形ABCD是矩形，
∴四边形ABCD是正方形；
（2）解：∵△ABF≌△DAE，
∴BF＝AE，
∵AE：EB＝2：1，
设AE＝2x，EB＝x，
∴BF＝AE＝2x，AB＝3x，
∴AF＝
∵∠EAG＝∠FAB，∠AGE＝∠B＝90°，
∴△AEG∽△AFB，
∴△AEG的面积：△AFB的面积＝AE2：AF2＝4x2：13x2＝4：13，
∵△AEG的面积为4，
∴△AFB的面积为13，
∴四边形BEGF的面积＝13﹣4＝9．
【解析】【分析】（1）根据矩形的性质得由等角的余角相等可得，利用AAS可得，由全等三角形的性质得AD=AB，即可得四边形ABCD是正方形；
（2）根据相似三角形面积的比等于相似比的平方即可解决问题．
17． 如图，在正方形ABCD中，点E是对角线BD上的一点（DE＜BE），连接AE，过点E分别作EF⊥AE交BC于点F，EG⊥BD交BC的延长线于点G．
（1）若AD＝6，DE＝2，求EG的长度；
（2）求证：FG＝AB．
【答案】（1）解：∵四边形ABCD是正方形，AD＝6，
∴∠DBC＝45°，BD＝＝6，
∵EG⊥BD，
∴∠BEG＝90°，
∴∠G＝45°，
∴BE＝EG，
∵DE＝2，
∴EG＝BE＝6-2；
（2）证明：连接CF，如图，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABE＝∠CBE＝45°，
∴△ABE≌△CBE（SAS），
∴∠AEB＝∠CEB，
∵EF⊥AE，EG⊥BD，
∴∠AEF＝∠BEG＝90°，
∴∠AEB+∠BEF＝90°，∠CEB+∠GEC＝90°，
∴∠BEF＝∠GEC，
由（1）知BE＝GE，∠EBF＝∠G，
∴△BEF≌△GEC（ASA），
∴BF＝GC，
∴BC＝FG，
∵AB＝BC，
∴FG＝AB．
【解析】【分析】（1）利用正方形的性质和勾股定理可求出BD的长，同时可证得∠DBC=45°，利用垂直的定义可得到∠BEG=90°，同时可证得∠DBC=∠G=45°，利用等角对等边可推出BE=EG，即可求出EG的长.
（2）连接CF，利用正方形的性质可证得AB＝BC，∠ABE＝∠CBE＝45°，利用SAS证明△ABE≌△CBE，利用全等三角形的性质可推出∠AEB＝∠CEB；再利用余角的性质可证得∠BEF＝∠GEC，利用ASA证明△BEF≌△GEC，可得到BC=GC=FG，由此可证得结论.
18．如图，在平面直角坐标系中，直线y=2x+4分别交x轴，y轴于点A，C，点D（m，2）在直线AC上，点B在x轴正半轴上，且OB=3OC．点E是y轴上任意一点记点E为（0，n）．
（1）求点D的坐标及直线BC的解析式；
（2）连结DE，将线段DE绕点D按顺时针旋转90°得线段DG，作正方形DEFG，是否存在n的值，使正方形的顶点F落在△ABC的边上？若存在，求出所有满足条件的n的值；若不存在，说明理由．
（3）作点E关于AC的对称点E’，当n为何值时，A E’分别于AC，BC，AB垂直？
【答案】（1）解：由直线y=2x+4，
当x=0时，y=4，则C（0，4）；
当y=0时，x=-2，则A（-2，0）；∵D（m，2）在直线y=2x+4上，则2x+4=2，即D（-1，2）；∵C（0，4），OB=3OC．∴OB=3×4=12，
则B（12，0）.
设BC的解析式为y=kx+b，
则解得则直线BC的解析式为y=x+4.
（2）解：过点D作y轴的垂线DM交y轴于点M，过点F作y轴的垂线FN交y轴于点N，
则∠DME=∠FNE=90°，∠DEM+∠EDM=90°，
在正方形DEFG中，
则DE=EF，∠DEF=90°，
∴∠DEM+∠FEN=90°，
∴∠EDM=∠FEN，
∴△DME≌△ENF，
∴FN=EM=|n-2|，EN=DM=1，
则ON=OE-EN=|n-1|，
则F（|n-2|，|n-1|）
当点F在BC上时，F（n-2，n-1），将它代入直线BC的解析式y= x+4，
得
(n-2)+4=n-1，解得n=
；
当点F在AB上时，即n-1=0，则n=1；
综上n=
或1.
（3）解：①当AE’⊥AC时，A，E，E'三点共线，如图2，则AE⊥AC，
易证得△ACE~△OCA，
则
由AC===2.
则CE==5，
即n=4-5=-1.
②当AE’⊥AB时，设EE'与AC的交点为P，如图3，可得△AE'P≌△CEP，

则AE=AE'=CE=4-n，
在Rt△AEO中，则AE2=AO2+OE2，
即（4-n）2=22+n2，
解得n=
③如图3，当AE'与BC垂直时，直线AE’与BC的延长线交于点M，与y轴交于点Q，
则tan∠OAQ=tan∠MCQ=tan∠BCO==3，
所以OQ=3OA=6，则Q（0，6），
由A（-2，0）和Q（0，6）得直线AQ的解析式为y=3x+6.
因为直线AC的解析式为y=2x+4，AC与EE'垂直，
所以可设EE'的解析式为y=-x+c，
将E（0，n）代入可解得y=-x+n.
联立
解得
即E'（，)，
则EE'的中点P的坐标为（，），
因为点P在直线AC上，代入y=2x+4可得
+4=，
解得n=.
综上n=-1，或.
；解：①当AE’⊥AC时，A，E，E'三点共线，如图2，则AE⊥AC，
易证得△ACE~△OCA，
则
由AC===2.
则CE==5，
即n=4-5=-1.
②当AE’⊥AB时，设EE'与AC的交点为P，如图3，可得△AE'P≌△CEP，

则AE=AE'=CE=4-n，
在Rt△AEO中，则AE2=AO2+OE2，
即（4-n）2=22+n2，
解得n=
③如图3，当AE'与BC垂直时，直线AE’与BC的延长线交于点M，与y轴交于点Q，
则tan∠OAQ=tan∠MCQ=tan∠BCO==3，
所以OQ=3OA=6，则Q（0，6），
由A（-2，0）和Q（0，6）得直线AQ的解析式为y=3x+6.
因为直线AC的解析式为y=2x+4，AC与EE'垂直，
所以可设EE'的解析式为y=-x+c，
将E（0，n）代入可解得y=-x+n.
联立
解得
即E'（，)，
则EE'的中点P的坐标为（，），
因为点P在直线AC上，代入y=2x+4可得
+4=，
解得n=.
综上n=-1，或.
；解：①当AE’⊥AC时，A，E，E'三点共线，如图2，则AE⊥AC，
易证得△ACE~△OCA，
则
由AC===2.
则CE==5，
即n=4-5=-1.
②当AE’⊥AB时，设EE'与AC的交点为P，如图3，可得△AE'P≌△CEP，

则AE=AE'=CE=4-n，
在Rt△AEO中，则AE2=AO2+OE2，
即（4-n）2=22+n2，
解得n=
③如图3，当AE'与BC垂直时，直线AE’与BC的延长线交于点M，与y轴交于点Q，
则tan∠OAQ=tan∠MCQ=tan∠BCO==3，
所以OQ=3OA=6，则Q（0，6），
由A（-2，0）和Q（0，6）得直线AQ的解析式为y=3x+6.
因为直线AC的解析式为y=2x+4，AC与EE'垂直，
所以可设EE'的解析式为y=-x+c，
将E（0，n）代入可解得y=-x+n.
联立
解得
即E'（，)，
则EE'的中点P的坐标为（，），
因为点P在直线AC上，代入y=2x+4可得
+4=，
解得n=.
综上n=-1，或.
【解析】【分析】（1）将点D（m，2）代入直线AC的解析式可求出m；由直线AC的解析式可得点C的坐标，由OB=3OC，求出点B的坐标，运用待定系数法求BC的解析式；
（2）由正方形的性质构造全等三角形，用n表示出点F的坐标，再分类讨论点F在BC上和在AB上时n的值；
（3）分三种情况讨论：EE'⊥AC，EE'⊥AB，EE'⊥BC.
19．如图，矩形的对角线相交于点O，过点D作的平行线交的延长线于点E．
（1）求证：；
（2）连接，若，，求的长．
【答案】（1）证明：∵四边形是矩形，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴；
（2）解：如图，过点O作于点F，
∵四边形是矩形，
∴点O是的中点，
∴
∴
∴，
∴点是的中点，
∴是的中位线，
∴
又∵四边形是平行四边形，
∴．
∴．
在中，由勾股定理可得：．
【解析】【分析】（1）先证出四边形是平行四边形，可得，再结合AC=BD，可得；
（2）过点O作于点F，先证出是的中位线， 可得利用线段的和差求出，再利用勾股定理求出即可.
20．已知：如图，在正方形ABCD中，点E在边BC上，点F在边CD的延长线上，且BE=DF．
（1）求∠AEF的度数；
（2）如果∠AEB=75°，AB=2，求△FEC的面积．
【答案】（1）解：由正方形ABCD，得 AB=AD，∠B=∠ADF=∠BAD=90°，
在△ABE和△ADF中，
，
∴△ABE≌△ADF，
∴∠BAE=∠FAD，AE=AF．
∴∠BAD=∠BAE+∠EAD=∠FAD+∠EAD=90°．
即得∠EAF=90°，
又∵AE=AF，
∴∠AEF=∠AFE=45°
（2）解：∵∠AEB=75°，∠AEF=45°，
∴∠BEF=120°．
即得∠FEC=60°，
由正方形ABCD，得∠C=90°．∴∠EFC=30°．
∴EF=2EC，
设EC=x．则 EF=2x，BE=DF=2﹣x，CF=4﹣x．
在Rt△CEF中，由勾股定理，得 CE2+CF2=EF2．
即得 x2+（4﹣x）2=4x2．
解得 ， ，（不合题意，舍去）．
∴ ．
∴△FEC的面积为
【解析】【分析】（1）根据题目所给条件易证△ABE≌△ADF，根据三角形全等的性质可证得△EAF为等腰直角三角形，可得∠AEF=45°。
（2）由（1）得∠AEF=45°，根据题意可求得EC与EF之间的数量关系，在直角三角形EFC中依据勾股定理构造方程，从而求得EC和CF的长度，即可得出△EFC面积。
21．如图1，在正方形ABCD中，P在对角线AC上，E在AC的延长线上，PB＝PM，DE＝EF.
（1）求证：∠CDE＝∠F；
（2）若AB＝5，CM＝1，求PB的长；
（3）如图2，若BF＝10，△QCF是以CF为底的等腰三角形，连接DQ，试求△CDQ的最大面积.
【答案】（1）过E作EG⊥CF于G，EH⊥DC于H
则四边形CHEG是矩形，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ACB＝∠ACD＝45°，
∴∠ECG＝∠ECH＝45°，
∴CH=EH
∵矩形CHEG是正方形
∴EG＝EH
又∵DE＝EF，∴Rt△DEH≌Rt△FEG
∴∠CDE＝∠F
（2）解：过P作PN⊥BC于N
∵BC＝AB＝5，CM＝1，∴BM＝6
∵PB＝PM，∴BN＝NM＝3，∴NC＝2
在Rt△PNC中，∵∠PCN＝45°，
∴PN＝NC＝2
在Rt△PNM中，PM＝ ＝ ＝ ，
∴PB＝
（3）作QR⊥CF于R，QK⊥CD于K
则四边形CKQR是矩形，
∴KQ＝CR
又∵△QCF是以CF为底的等腰三角形，∴ CR=RF=CF
设BC＝x，则CD＝x，
KQ＝CR＝CF＝(10－x)＝5－x
∴S△CDQ＝CD·KQ＝·x·(5－x)
＝－x2＋ x＝－(x－5)2＋
∴当x＝5，△CDQ的面积有最大值
【解析】【分析】（1）要证∠CDE＝∠F，尝试找全等三角形，由DE=EF，可作过E作EG⊥CF于G，EH⊥DC于H，则要证Rt△DEH≌Rt△FEG，需要再证EG=EH，由直角三角形全等判定条件“HL”可判定全等，即可证得∠CDE＝∠F；
（2）要求PB，则可需要求PM，求边一般要构造直角三角形运用勾股定理解决，则可过P作PN⊥BC于N，根据PB=PM，三线合一，可得NM=BN=BM=(AB+CM），可求出NM和NC；由（1）可得∠PCN＝45°，PN＝NC，从而由勾股定理可得在Rt△PNM中，PM＝ ；
(3)由三角形的面积=CD×CD边上的高，可过Q作CD边上的高，则作QR⊥CF于R，QK⊥CD于K，把求面积的最大值转化成函数最值问题：设BC＝x，则CD＝x，需要用x表示出KQ，易得四边形CKQR是矩形，则KQ＝CR，由等腰三角形的性质可得三线合一，即KQ= CR=RF=CF=(10－x)，所以将CD和KQ代入面积公式，即可把问题转化成求二次的最值问题。
22． ABCD中，AE平分∠BAD交BC于E，EF∥AB交AD于F，试问：四边形ABEF是什么图形吗？
【答案】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∵EF∥AB，∴四边形ABEF是平行四边形，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠FAE，∵AD∥BC，∴∠FAE=∠AEB，∴∠BAE=∠AEB，∴AB=BE，∴ ABEF是菱形．
【解析】【分析】由 ABCD中，EF∥AB，易证得四边形ABEF是平行四边形，又由AE平分∠BAD，易证得AB=BE，即可证得 ABEF是菱形．
23．如图，菱形 的周长为 cm，对角线 、 相交于点O， cm，求对角线 的长和菱形 的面积.
【答案】解：菱形周长为20cm，则AB=5cm，
∵AC=8cm，
∴AO=4cm，
∵菱形对角线互相垂直，
∴△AOB为直角三角形，
在Rt△AOB中，BO= =3cm，
∴BD=2BO=6cm，
∴菱形ABCD的面积为S= ×6cm×8cm=24cm2，
答：菱形ABCD对角线BD长为6cm，面积为24cm2.
【解析】【分析】根据菱形周长可以计算AB，已知AC即可求AO，菱形对角线互相垂直，所以△AOB为直角三角形，根据勾股定理即可求BO的值，即可求BD的值，菱形ABCD的面积等于两对角线乘积的一半即可算出答案.
24．如图，在△ABC中，AB=AC，D 是 BC 的中点，CE∥AD，AE⊥AD，EF⊥AC.
（1）求证：四边形 ADCE 是矩形；
（2）若BC=4，CE=3，求 EF的长.
【答案】（1）证明： ∵在△ABC中， AB =AC， D是BC的中点，
∴AD⊥BC， 即∠ADC =∠ADB=90°，
∵CE∥AD，
∴∠ECD=∠ADB =90°，
∵AE⊥AD，
∴∠EAD=90°，
∴∠ADC =∠ECD =∠EAD =90°，
∴四边形ADCE是矩形
（2）解：
∵在△ABC中， AB=AC， D是BC的中点， BC=4，
由 (1)可知： 四边形ADCE是矩形，
∵AE=CD=2， ∠AEC =90°，
在Rt△AEC中， AE = 2， CE =3，
由勾股定理得：
∵EF⊥AC，
由三角形的面积公式得：

【解析】【分析】(1)根据等腰三角形性质得AD⊥BC， 即∠ADC =∠ADB=90°， 由CE∥AD得∠ECD=∠ADB=90°， 由AE⊥AD得∠EAD =90°， 则∠ADC=∠ECD=∠EAD=90°， 由此即可得出结论；
(2)根据等腰三角形性质得 ， 根据四边形ADCE是矩形， 则AE=CD=2，∠AEC =90°， 进而可在Rt△AEC中求出AC = 然后根据三角形的面积公式可求出EF的长.
25． 如图， 在长方形ABCD中， 已知E是边 CD上的一点， ∠DAE=∠CBE=45°， AD=1.
（1）求△ABE的面积；
（2）求△ABE的周长(结果精确到0.01).
【答案】（1）解：∵矩形ABCD
∴∠DAB=∠CBA=∠D=∠C=90°，AD=BC，AB=DC，
∵∠DAE=∠CBE=45°
∴∠DEA=∠CEB=∠EAB=∠EBA=45°
∴∠DAE=∠DEA，∠CEB=∠CBE
∴AD=DE，EC=CB
∵AD=BC，AD=1
∴AD=DE=CB=EC=1
∴DC=DE+EC=1+1=2
∴AB=2
∵∠EAB=∠EBA
∴AE=BE，
在Rt△ADE中，根据勾股定理可得
∵∠DEA=∠CEB=45°，∠EAB+∠AEB+∠EBA=180°
∴∠AEB=90°，
∴
（2）解：△ABE的周长为
【解析】【分析】(1)通过矩形和等腰直角三角形的性质，先求出AB=2，，再利用三角形的面积即可求解；
(2)由(1)可知AE、BE、AB的长度，即可求解.
26．如图，在中，，是BC的中点，是AD的中点，过点作交CE的延长线于点，连接BF．
（1）求证：四边形ADBF是菱形；
（2）若四边形ADBF面积为S，请直接写出图中，面积为的所有三角形．
【答案】（1）证明：，，
是BC中点，，，
，是BC中点
，，且 AF=BD ，
是平行四边形，
又
平行四边形AFBD是菱形
（2）解：，，
【解析】【解答】解：（2）∵四边形ADBF是菱形
∴S△ABF=S△ABD=S
∵BD=CD
∴S△ACD=S△ABD=S△ABF=S
∵点E是AD的中点
∴S△ACE=S△CDE=S△ACD= 14S
∵△AEF≌△CDE
∴S△ACE=S△CDE=S△ACE=14S
故答案为：△AEF，△AEC，△EDC
【分析】（1）利用 得出两对角相等，进而证明AF=CD=BD，证明四边形AFBD是平行四边形，又AD=BD，所以四边形ADBF是菱形；
（2）利用菱形的对角线平分菱形的面积，得出S△ABF=S△ABD=S，再利用同底等高得出S△ACD=S△ABD=S，三角形的中线平分三角形的面积得出S△ACE=S△CDE=S△ACD= 14S，再利用全等得出S△ACE=S△CDE，即可得出答案.
27．如图，在矩形ABCD中，AB=8，AD=4，点E，F分别在边CD，AB上，若四边形AFCE是菱形，求菱形AFCE的周长．
【答案】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=90°，
∵四边形AFCE是菱形，
∴AE=CE，
设DE=x，
则AE= ，CE=8﹣x，
则 =8﹣x，
解得：x=3，
将x=3代入原方程检验可得等式两边相等，
即x=3为方程的解．
则菱形的边长为：8﹣3=5，
周长为：4×5=25，
故菱形AFCE的周长为25．
【解析】【分析】根据四边形AFCE是菱形，可得AE=CE，然后设DE=x，表示出AE，CE的长度，根据相等求出x的值，继而可求得菱形的边长及周长．
28．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠DAB，AB＝2CD，E为AB中点，连结CE．
（1）求证：四边形AECD为菱形；
（2）若∠D＝120°，DC＝2，求△ABC的面积．
【答案】（1）证明：∵E为AB中点，
∴AB＝2AE＝2BE，
∵AB＝2CD，
∴CD＝AE，
又∵AE∥CD，
∴四边形AECD是平行四边形，
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC＝∠EAC，
∵AB∥CD，
∴∠DCA＝∠CAB，
∴∠DCA＝∠DAC，
∴AD＝CD，
∴平行四边形AECD是菱形；
（2）解：∵四边形AECD是菱形，∠D＝120°，
∴AD＝CD＝CE＝AE＝2，∠D＝120°＝∠AEC，
∴AE＝CE＝BE，∠CEB＝60°，
∴∠CAE＝30°＝∠ACE，△CEB是等边三角形，
∴BE＝BC＝EC＝2，∠B＝60°，
∴∠ACB＝90°，
∴AC＝BC＝2，
∴S△ABC＝×AC×BC＝×2×2＝2．
【解析】【分析】（1）先根据已知条件证明 四边形AECD是平行四边形， 再利用平行线的性质和角平分线的性质得到 AD＝CD， 根据菱形的判定定理即可求解；
（2）根据菱形的性质可得 AD＝CD＝CE＝AE＝2， 结合已知可证明 △CEB是等边三角形， 利用等边三角形的性质和直角三角形的性质求得AC，BC的值，利用三角形的面积公式即可求解.
29．如图，在△ABC中，点D是BC的中点，点E、F分别是线段AD及其延长线上，且DE=DF，给出下列条件：①BE⊥EC；②BF∥EC；③AB=AC，从中选择一个条件使四边形BECF是菱形，并给出证明，你选择的条件是___（只填写序号）．

【答案】解：∵BD=CD，DE=DF，
∴四边形BECF是平行四边形，
①BE⊥EC时，四边形BECF是矩形，不一定是菱形；
②四边形BECF是平行四边形，则BF∥EC一定成立，故不一定是菱形；
③AB=AC时，∵D是BC的中点，
∴AF是BC的中垂线，
∴BE=CE，
∴平行四边形BECF是菱形．
故答案是：③．
【解析】【解答】根据点D是BC的中点，点E、F分别是线段AD及其延长线上，且DE=DF，即可证明四边形BECF是平行四边形，然后根据菱形的判定定理即可作出判断．
【分析】此题考查了菱形的判定，涉及知识点有中垂线性质和平行四边形性质.
30．如图，在菱形中，对角线和交于点，分别过点作，与交于点．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）当时，求的长．
【答案】（1）证明：，
四边形为平行四边形，
四边形为菱形，
，
四边形是矩形；
（2）解：四边形为菱形，
，
，
为等边三角形，
在中，，
，
四边形是矩形，
，
．
【解析】【分析】（1）先证出四边形为平行四边形，再结合，即可证出平行四边形是矩形；
（2）先证出为等边三角形，可得利用勾股定理求出AO的长，再利用矩形的性质求出，最后利用勾股定理求出ED的长即可.
31．如图，在一副七巧板中，
（1）全等三角形有 2 对，分别是　 　(填序号)；
（2）面积相等的图形有5 对，分别是　 　(填序号)；
（3）若大正方形的边长为1，则七巧板的七块图形的边长只有 1，， ，，角的度数分别为 45°，90°，135°.
【答案】（1）④⑤；③⑦
（2）④⑤；③⑦；①⑥；①②；②⑥
（3）解：如图，AG=GD=EK=DH=HC=，
∴GH=，
∴GK=KH=AE=OE=OF=FC=OK=HF=，
∠OAB=∠OBA=∠OBC=∠OCB=∠FHC=∠FCH=∠OKE=∠OEK=∠DGH=∠DHG=∠GAE=∠GKE=45°，
∠AOB=∠BOD=∠D=∠KOE=∠KOF=∠OFH=∠FHK=∠OKH=∠HFC=90°，
∠AEK=∠AGK=135°.
【解析】【解答】解：（1） 全等三角形有 2 对，分别是④⑤；③⑦；
故答案为：④⑤；③⑦；
（2）面积相等的图形有5 对，分别是④⑤；③⑦；①⑥；①②；②⑥；
故答案为：④⑤；③⑦；①⑥；①②；②⑥；
【分析】（1）根据正方形的性质，利用全等三角形的定义解答即可；
（2）根据七巧板的特点得到面积相等的图形即可；
（3）根据正方形的性质和勾股定理求出各边长，再根据等腰直角三角形的性质求出角的度数解答.
32．如图，在中，．BD平分交AC于点D．过D作交AB于点E．交BC于点F．连接EF．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求BF的长．
【答案】（1）证明：，，四边形是平行四边形．
平分，．，，
，，四边形是菱形
（2）解：，，．
设，则，，
在中，，，
解得，，．
【解析】【分析】（1）先证四边形BFDE是平行四边形，再根据角平分线的定义和平行线的性质，结合等腰三角形的判定证EB＝ED，即可得到平行四边形BFDE是菱形；
（2）设BF＝x，于是有DE＝BE＝x，AE＝8﹣x，在RtADE中，由勾股定理可得AE2＝DE2+AD2，求出x的值即可．
33．已知，在矩形 中， ， ，动点 从点 出发沿边 向点 运动．如图，当 ，点 运动到边 的中点时，请证明 ．
【答案】证明：∵b＝2a，点M是AD的中点，
∴AB＝AM＝MD＝DC＝a，
又∵在矩形ABCD中，∠A＝∠D＝90°，
∴∠AMB＝∠DMC＝45°，
∴∠BMC＝90°．
【解析】【分析】由b＝2a，点M是AD的中点，可得AB＝AM＝MD＝DC＝a，又由四边形ABCD是矩形，即可求得∠AMB＝∠DMC＝45°，则可求得∠BMC＝90°．
34．在一次数学活动中，王老师布置任务，让同学们用已学知识制作一个菱形．小汪同学经过思考，
给出了如下作图步骤：
①如图，作直角三角形，其中；
②分别延长至点，使；延长至点，使；
③连结，形成四边形．
请根据上述步骤，解答以下问题：
（1）判断四边形是否为菱形，并说明理由．
（2）若，求点到的距离．
【答案】（1）解：四边形是菱形，理由为：
∵AO=CO，BO=OD，
∴ABCD是平行四边形，
又∵∠AOB=90°，
∴ABCD是菱形；
（2）解：∵AO=OC=，
∴，
∴BD=6，
设点C到AB的距离为h，
∴，即，
即.
【解析】【分析】（1）根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形解答即可；
（2）先根据勾股定理求出OB长，然后求出BD长，再根据菱形的面积计算距离即可.
35．已知正方形ABCD的边长为a，两条对角线AC、BD相交于点O，P是射线AB上任意一点，过P点分别作直线AC、BD的垂线PE、PF，垂足为E、F．
（1）如图1，当P点在线段AB上时，PE+PF的值是否为定值？如果是，请求出它的值；如果不是，请加以说明．
（2）如图2，当P点在线段AB的延长线上时，求PE﹣PF的值．
【答案】解：（1）是定值，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AC⊥BD．
∵PF⊥BD，
∴PF∥AC，
同理PE∥BD．
∴四边形PFOE为矩形，故PE=OF．
又∵∠PBF=45°，
∴PF=BF．
∴PE+PF=OF+FB=OB=acos45°=a．
（2）∵四边形ABCD为正方形，
∴AC⊥BD．
∵PF⊥BD，
∴PF∥AC，
同理PE∥BD．
∴四边形PFOE为矩形，故PE=OF．
又∵∠PBF=45°，
∴PF=BF．
∴PE﹣PF=OF﹣BF=OB=acos45°=a．
【解析】【分析】（1）因为ABCD是正方形，所以对角线互相垂直，又因为过P点分别作直线AC、BD的垂线PE、PF，垂足为E、F，所以可证明四边形PFOE是矩形，从而求出解．
（2）因为四边形ABCD是正方形，所以对角线互相垂直，又因为过P点分别作直线AC、BD的垂线PE、PF，垂足为E、F，所以可证明四边形PFOE是矩形，从而求出解．
36．如图，M是矩形ABCD的边AD的中点，P为BC上一点，PE⊥MC，PF⊥MB，垂足分别为E，F，当AB，BC满足什么条件时，四边形PEMF为矩形？试加以证明．
【答案】解：AB= BC时，四边形PEMF是矩形．理由如下：
∵在矩形ABCD中，M为AD边的中点，AB= BC，
∴AB=DC=AM=MD，∠A=∠D=90°，
∴∠ABM=∠MCD=45°，
∴∠BMC=90°，
又∵PE⊥MC，PF⊥MB，
∴∠PFM=∠PEM=90°，
∴四边形PEMF是矩形
【解析】【分析】根据已知条件、矩形的性质和判定，欲证明四边形PEMF为矩形，只需证明∠BMC=90°，易得AB= BC时能满足∠BMC=90°的条件．
37．在平行四边形 中，，，．请判定四边形 是哪种特殊的平行四边形？并说明理由．
【答案】解：四边形时菱形，理由如下：
∵四边形是平行四边形，，，
，
是直角三角形，
又∵四边形是平行四边形，
∴四边形时菱形．
【解析】【分析】根据平行四边形的性质得出，再根据勾股定理逆定理两短边的平方和等于最长边的平方计算得出，从而判定是直角三角形，即可得出四边形时菱形，解答即可．
38．如图，将平行四边形的边延长至点，使，连接，，交于点．
（1）求证：；
（2）连接，若，求证：四边形是矩形．
【答案】（1）证明：在平行四边形中，，，，则．
又，
，
四边形为平行四边形，
．
（2）证明：由（1）知，四边形为平行四边形，则，．
四边形为平行四边形，
，即．
又，，
，
，
，即，
平行四边形为矩形．
【解析】【分析】（1）由平行四边形的性质及BE=AB，可得BE=CD，AE∥CD，根据一组对边平行且相等即证 四边形为平行四边形， 可得BD=EC；
（2）由四边形为平行四边形，可得，，由四边形为平行四边形，
可得，由三角形的外角可得，结合，可得 ， 利用等角对等边可得OC=OD，从而得出，即， 根据矩形的判定定理即证结论.
39．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，过点C作BD的平行线，过点D作AC的平行线，两直线相交于点E，判断四边形OCED的形状，并说明理由．
【答案】解：平行四边形OCED是矩形，理由如下：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠COD＝90°．
∵CE∥OD，DE∥OC，
∴四边形OCED是平行四边形，
又∠COD＝90°，
∴平行四边形OCED是矩形．
【解析】【分析】证明四边形OCED是矩形，首先证明四边形OCED是平行四边形，然后证明有一内角为90度即可．
40． 如图，在菱形中，对角线，相交于点，过点作于点，连接，延长至点，连接．
（1）请你只添加一个条件，使得四边形为矩形，你添加的条件是 ▲ ，并进行证明；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）解：（答案不唯一），
证明如下：
∵四边形ABCD为菱形
∴AD=CB，AD∥CB，
又∵
∴EF=EB+BF=CE+EB=CB=AD，
∴四边形ADEF是平行四边形，
又∵
∴四边形ADEF是矩形。
（2）解：∵四边形ABCD为菱形，，
∴CD=CB=10，OD=OB，OA=OC，
在Rt△DEB中，
∵， OD=OB，
∴OD=OB=6，DB=2OE=12，
在Rt△OCB中，
∵CB=10，OB=6
∴OC=8，
∴AC=2OC=16，
由菱形面积可知：
，
即，
∴DE=．
【解析】【分析】（1）通过添加条件，先根据菱形性质，推出AD=CB，AD∥CB，再根据线段间运输，推出EF=AD，证明四边形ADEF是平行四边形，继而可证明四边形ADEF是矩形；
（2）先根据菱形性质，推出CD=CB=10，OD=OB，OA=OC，再分别利用"直角三角形斜边中线长度等于斜边长度的一半"和勾股定理，求出OB=6，OC=8，继而可得到AC=16，DB=12，再根据菱形面积计算公式：S菱形面积=底×高=对角线乘积的一半，即可列出等式，求出DE的长。
41．如图，从一个大正方形中裁去面积为和的两个小正方形，求留下部分的面积．
【答案】解：∵两个小正方形的面积分别为和，
∴这两个小正方形的边长分别为cm和cm，
∴大正方形的边长是，
∴留下部分（即阴影部分）的面积是
，
答：留下部分的面积为．
【解析】【分析】先求出两个小正方形的边长，再利用割补法求出留下部分（即阴影部分）的面积是，最后计算即可。
42．已知：如图，在△ABC中，AC＝BC，点E为AB的中点，DC∥AB，且DC＝AB，连接CE，DE．
（1）四边形AECD是什么特殊四边形？并证明你的结论．
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AECD是正方形？并证明你的结论．
【答案】（1）解：四边形AECD是矩形，
证明：∵DC＝AB，E为AB的中点，
∴CD＝BE＝AE．
又∵DC∥AB，
∴四边形ADCE是平行四边形，
∵AC＝BC，E为AB中点，
∴CE⊥AB，
∴∠AEC＝90°，
∴四边形AECD是矩形；
（2）解：当△ABC满足∠ACB＝90°时，可使得四边形AECD为正方形，
证明：∵∠ACB＝90°，E为AB的中点，
∴AE＝CE＝AB，
∵四边形AECD是矩形，
∴四边形AECD是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形）．
【解析】【分析】（1）、因为点E是AB的中点，所以可知DC平行且等于AE，即可确定四边形ADCE是平行四边形 ； 在△ABC中，AC＝BC，即可确定CE三线合一，即CE⊥AB，即可得出四边形AECD是矩形 。
（2） 当△ABC满足∠ACB＝90°时，E为AB的中点， 即可知AE＝CE＝AB， 即四边形AECD为正方形。
43．已知：如图，AC，BD是平行四边形ABCD的对角线，且AC=BD，若AB=4，BD=8，
求：平行四边形ABCD的周长.
【答案】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AC=BD，
∴平行四边形ABCD是矩形，
∴AD= =4 ，
∴平行四边形ABCD的周长是8 +8.
【解析】【分析】先根据对角线相等的平行四边形是矩形证明平行四边形ABCD是矩形，再根据勾股定理求得AD的长，进一步得到平行四边形ABCD的周长.
44． 在正方形ABCD中，E是边AD上的一动点（不与点A，D重合），连接BE，点C关于直线BE的对称点为点F，连接FA，FB．
（1）如图1，若△ABF是等边三角形，则　 　°。
（2）如图2，延长BE交FA的延长线于点M，连接CF交BE于点H，连接DM．
①求∠MFH的度数；
②用等式表示线段MB，MD，AB之间的数量关系，并证明．
【答案】（1）15
（2）解：①∵四边形ABCD是正方形，
∴，．
∵点C关于直线BE的对称点为点F，
∴，，
∴．
设，
∴，，
∴．
②解：数量关系为：，
理由如下：
如图，过点A作交BM于点N，连接BD．
∵，∴，
∴，，
∴．
∵四边形ABCD是正方形，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
即．
【解析】【解答】解：（1）在正方形ABCD中，∠ABC=90°，
∵ △ABF是等边三角形，
∴∠ABF=60°，
∴∠FBC=∠ABF+∠ABC=150°，
∵ 点C关于直线BE的对称点为点F，
∴∠EBC=∠FBE=∠FBC=75°，
∴∠ABE=∠ABC-∠EBC=90°-75°=15°.
故答案为：15.
【分析】（1）由正方形的性质及等边三角形的性质可得∠ABC=90°，∠ABF=60°，可求∠FBC=150°，利用对称性可得∠EBC=∠FBE=∠FBC=75°，利用∠ABE=∠ABC-∠EBC计算即可；
（2）①由正方形的性质及对称性可得AB=BC=BF，∠ABC=90°，∠MHF=90°，设，可得∠BFH=45°-x，∠BFA=90°-x，利用进行计算即可；
②过点A作交BM于点N，连接BD．可得△AMH为等腰直角三角形，可求AM=AN，，利用正方形的性质可得，再证，可得，从而求出∠DMB=90°，由勾股定理可得，继而可得.
45．如图1，在菱形ABCD中，AC与BD 交于点O，AB=13，BD=24，F是BD 上一动点(不与点 B重合)，将线段 AF 绕点 A 顺时针旋转60°得到线段 AM.
（1）求OA 的长.
（2）若点 M，F，C在同一条直线上，求证：
（3）如图 2，以 AB 为边作等边△ABE，S△AEM=40，求AF的长
【答案】（1）解：∵四边形ABCD 是菱形，
∵BD=24， ∴OB=12.
在 Rt△OAB中， ∵AB=13，
（2）证明：∵四边形 ABCD是菱形，
∴BD垂直平分AC， ∴FA=FC，∠FAC=∠FCA.
已知AF=AM，∠MAF=60°，
∴△AFM为等边三角形， ∴∠M=∠AFM=60°.
∵M，F，C三点在同一条直线上，
∴∠FAC+∠FCA=∠AFM=60°
∴∠FAC=∠FCA=30°.
∴∠MAC=∠MAF+∠FAC=60°+30°=90°.在Rt△ACM中，
（3）解：连接FM，
∵△ABE是等边三角形，
∴AE=AB，∠EAB=60°，
由(2)知，△AFM为等边三角形，
∴AM=AF，∠MAF=60°.
∴∠EAM=∠BAF.
在△AEM和△ABF中
∴△AEM≌△ABF(SAS).
∵△AEM的面积为40，△ABF 的高为AO.
∴BF·AO=40. ∴BF=16.
∴FO=BF-BO=16-12=4.

【解析】【分析】(1)由菱形的对角线垂直，且互相平分易得OB的值，在 中，利用勾股定理可得OA= 据此可求出OA的长；
(2)由四边形ABCD是菱形，结合已知可得 为等边三角形，则 进而可求出. 在 中，根据 即可得到待证结论；
(3)连接FM， 利用SAS可证 利用 的面积为40求出BF的长，再利用勾股定理即可求出AF的长.
46．如图，已知直线y=kx+b与直线y= x-9平行，且y=kx+b过点(2，3)，与y轴交于点A．
（1）求点A坐标．
（2）若点P是该直线上的一个动点，过点P分别作PM⊥x轴于M，PN⊥y轴于N，在四边形PMON 上分别截取：PC= MP ，MB= OM ，OE= ON，ND= NP，证明： 四边形BCDE是平行四边形．
（3）在(2)的条件下，在直线y=kx+b上是否存在这样的点P，使四边形BCDE为正方形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：∵直线y=k×+b与y=x-9平行，且过点(2，3)，
则解得．一次函数表达式为y=x+4，
当×=0时，y=4，∴点A坐标是(0，4)．
（2）解：∵PM⊥x轴，PN⊥y轴，
∴∠PMO=∠PNO=∠NOM= 90° ，∴四边形PMON是矩形，
∴ PM= ON，OM=PN，∠PMO=∠NOM= ∠ PNO= C NPM= 90°．
∵PC=MP ，MB=OM，OE=N，ND=NP，
∴PC=OE， CM=NE ，ND= BM， PD=OB．
在△OBE和△PDC中，0B=PD，∠EOB=∠CPD ，OE=PC，
∴△OBE≌△PDC，∴DC= BE，
同理可证△MBC≌△NDE，
∴DE= BC，∴四边形BCDE是平行四边形．
（3）解：存在这样的点P，且点P坐标为()或(-8，8)．
【解析】【解答】解：（3）设点P，则CM=PM==，PD=
当四边形BCDE为正方形时，则∠DCB= 90° ，DC=BC，
而∠CBM+∠MCB=90°，∠MCB+∠DCP=90°，
∴∠CBM=∠DCP，
而∠DPC=∠CMB= 90°，
∴△DPC≌△CMB，∴PD= CM，
即，解得m=，或-8，
故点P坐标是(，)或(-8，8)．
【分析】(1)由直线y=kx+b与直线平行 可得，再将点(2，3)代入函数解析式，解得b的值，然后求得点A坐标.
(2)先通过垂直的定义证得四边形PMON是矩形，再利用矩形的性质得到PC=OE， CM=NE ，ND= BM， PD=OB，进而通过SAS判定△OBE≌△PDC，△MBC≌△NDE，即可证得四边形BCDE是平行四边形．
(3)设点P，可得，，当四边形BCDE为正方形时，则∠DCB= 90° ，DC=BC，利用余角的性质可得∠CBM=∠DCP，再通过AAS判定△DPC≌△CMB，可得PD= CM，进而解得，或-8，故点P坐标是(，)或(-8，8)．
47．【模型建立】
（1）我们知道，正方形的四条边都相等，四个角都为直角．如图1，在正方形中，点E，F分别在边，上，连接，，，并延长到点G，使，连接．若，则，，之间的数量关系为________；
【模型应用】
（2）如图2，当点E在线段的延长线上，且时，试探究，，之间的数量关系，并说明理由；
【模型迁移】
（3）如图3，在中，，，点D，E在B，C上，，试探究，，之间的数量关系，并说明理由．
【答案】证明：（1）∵四边形为正方形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2），理由如下：
如图，在上截取，连接，
∵四边形为正方形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3），理由如下：
如图，将绕点逆时针旋转得到，连接，此时与重合，
∵在中，，，
∴，
由旋转的性质可得：，，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴。
【解析】【分析】（1）根据正方形的性质可得，，易证，得出，，根据 ，可得 ，又因为 ，易证，进而可得出，即可得解；
（2）在上截取，连接，根据正方形的性质，可得，，易证，从而得出，，根据 ，所以 ，易证，得出，即可得解；
（3）将绕点逆时针旋转得到，连接，此时与重合，根据等腰直角三角形的性质可得，由旋转的性质可得，，易证，从而可得，，求出，易证，得出，最后再根据勾股定理即可得解。
48．如图，矩形纸片ABCD中，AB=8，将纸片折叠，使顶点B落在边AD上的E点，折痕的一端点G在边BC上，BG=10．
（1）当折痕的另一端点F在AB边上时，如图1，求ΔEFG的面积．
（2）当折痕的另一端点F在AD边上时，如图2，证明四边形BGEF为菱形，并求出折痕GF的长．
【答案】（1）解：如图所示，过点G作GH⊥AD于点H，
则四边形ABGH为矩形，
.
由图形的折叠可知，
.
由勾股定理，得，
.
设，则，
在Rt中，，
即，解得，
即，
.
（2）解：如图所示，由图形的折叠可知四边形ABGF与四边形HEGF全等，
四边形BGEF为平行四边形.
又，
平行四边形BGEF为菱形.
连接BE，由四边形BGEF为菱形可知互相垂直平分.
在Rt中，，
由勾股定理可得：，
【解析】【分析】（1）过点G作GH⊥AD于点H，根据矩形的判定与性质得到，根据折叠的性质得到，进而根据三角形全等的性质得到，从而根据勾股定理求出EH，设，则，根据勾股定理求出x，进而根据三角形的面积即可求解；
（2）根据折叠的性质得到四边形ABGF与四边形HEGF全等，则，再根据平行线的性质得到，结合题意根据等腰三角形的判定得到，等量代换得到，再根据平行四边形的判定和菱形的判定得到平行四边形BGEF为菱形，连接BE，根据菱形的性质得到四边形BGEF为菱形可知互相垂直平分，进而根据勾股定理得到，BE=，从而根据即可求解。
49．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点的坐标分别为，点为对角线中点，点在轴上运动，连接，把沿翻折，点的对应点为点，连接．
（1）当点在第四象限时（如图1），求证：．
（2）当点落在矩形的某条边上时，求的长．
（3）是否存在点，使得以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）证明：由折叠可知，，
点为中点，
，
，
，
，
，
（2）解：①当时，如图所示：
，此时点与点重合，
，
，四边形是矩形，
，
；
②当点与点重合时，如图所示：
，，
在中，，即，解得，
；
综上所述：的长为4或
（3）解：在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：
当四边形为平行四边形时，如图所示：
，且，
，，
，
是的中点，，
，
，
；
当四边形为平行四边形时，如图所示：
，且，
是的中点，
，
，
，
四边形为平行四边形，
由折叠性质可得，则四边形为菱形，
，
是的中点，，
，
，
；
当四边形为平行四边形时，如图所示：
，
，
，
，
在中，，，则由勾股定理可得，
，
；
当四边形为平行四边形时，如图所示：
，
，
，
在中，，则由勾股定理可得，
，
；
综上所述：点或或或
【解析】【分析】（1）根据折叠和三角形的外角得到，，即可得到，再根据内错角相等，两直线平行得到结论解题；
（2）①当时，此时点与点重合，根据三线合一解题即可；②当点与点重合时，在中，运用勾股定理求出BE长即可解题；
（3）分为三种情况画图：当四边形为平行四边形时；当四边形为平行四边形时；当四边形为平行四边形时；根据平行四边形的性质解答即可．
（1）证明：由折叠可知，，
点为中点，
，
，
，
，
，
；
（2）解：①当时，如图所示：
，此时点与点重合，
，
，四边形是矩形，
，
；
②当点与点重合时，如图所示：
，，
在中，，即，解得，
；
综上所述：的长为4或；
（3）解：在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：
当四边形为平行四边形时，如图所示：
，且，
，，
，
是的中点，，
，
，
；
当四边形为平行四边形时，如图所示：
，且，
是的中点，
，
，
，
四边形为平行四边形，
由折叠性质可得，则四边形为菱形，
，
是的中点，，
，
，
；
当四边形为平行四边形时，如图所示：
，
，
，
，
在中，，，则由勾股定理可得，
，
；
当四边形为平行四边形时，如图所示：
，
，
，
在中，，则由勾股定理可得，
，
；
综上所述：点或或或．
50．四边形 是边长为 4 的正方形， 点 在边 所在的直线上， 连结 ， 以 为边， 作正方形 (点 在直线 的同侧)， 连结 ．
（1） 如图 1， 当点 与点 重合时， 请直接写出 的长．
（2） 如图 2， 当点 在线段 上时， ． 求： ①点 到 的距离．② 的长．
（3） 若 ， 请直接写出此时 的长．
【答案】（1）
（2）解：①过点F作FH⊥AD交AD的延长线于点H，
∵四边形CEFG是正方形
∴EC=EF，∠FEC=90°
∴∠DEC+∠FEH=90°，
又因四边形ABCD是正方形
∴∠ADC=90°
∴∠DEC+∠ECD=90°，
∴∠ECD=∠FEH
又∵∠EDC=∠FHE=90°，
∴
∴FH=ED
∵AD=4，AE=1，
∴ED=AD-AE=4-1=3，
∴FH=3，
即点F到AD的距离为3.
②延长FH交BC的延长线于点K，
∴∠DHK=∠HDC=∠DCK =90°，
∴四边形CDHK为矩形，
∴HK=CD=4，
∴FK=FH+HK=3+4=7
∵
∴EH=CD=AD=4
∴AE=DH=CK=1
∴BK=BC+CK=4+1=5，
在Rt△BFK中，
（3）
【解析】【解答】（1）解：过点F作FH⊥AB，交BA的延长线于点Ｈ，如图所示，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAC=45°，AB=4，，
∵四边形CEFG是正方形，
∴∠CEF=90°，CE=EF，
∴∠HAF=45°，
∴AH=HF=，
∴BH=AB+AH=8，
（2） ② 分三种情况：
①当点E在边AD的左侧时，过F作FH⊥AD交AD于点H，交BC于K．
同（1）得：△EFH≌△CED，
∴FH=DE=AE+4，EH=CD=4，
∴FK=8+AE，
在Rt△BFK中，BK=AH=EH-AE=4-AE，
由勾股定理得：（4-AE）2+（8+AE）2=（3）2，
解得：AE=1或AE=-5（舍去），
∴AE=1；
②当点E在边AD的右侧时，过F作FH⊥AD交AD的延长线于点H，交BC延长线于K：
同（1）得：△EFH≌△CED，
∴FH=DE=AE-4，EH=CD=4，
∴FK=FH+HK=AE-4+4=AE，
在Rt△BFK中，BK=AH=AE-AD=AE-4，
由勾股定理得：（AE-4）2+AE2=（3）2，
解得：或2-（舍去）．
③当点E在AD上时，可得：（8-AE）2+（4+AE）2=90，
解得AE=5或-1，
5＞4不符合题意．
综上所述：AE的长为1或
【分析】（1）过点F作FH⊥AB，交BA的延长线于点Ｈ，根据正方形的性质求出BH和HF的长，再用勾股定理求解即可；
（2）①过点F作FH⊥AD交AD的延长线于点H，根据正方形的性质准备条件，证，根据全等 三角形的性质即可求解；②延长FH交BC的延长线于点K，证四边形CDHK是矩形，根据矩形的性质，结合勾股定理求解；
（3）分三种情况：当点E在边AD的左侧时，当点E在边AD的右侧时，当点E在AD上时，分别根据正方形的性质，结合勾股定理求解。
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑