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特殊平行四边形 单元综合素养提升卷
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．在菱形中，，，则（　　）
A． B． C． D．
2．如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F分别是边BC、AD的中点，AB=2，BC=4，一动点P从点B出发，沿着B—A—D—C的方向在矩形的边上运动，运动到点C停止.点M为图1中的某个定点，设点P运动的路程为x，△BPM的面积为y，表示y与x的函数关系的图象大致如图2所示.那么，点M的位置可能是图1中的（　　）
A．点 C B．点E C．点F D．点O
3．如图，在正方形中，为对角线，将绕点逆时针旋转，得到线段，连接．设，下列说法正确的是（　　）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
4．如图， 是菱形 的对角线 ， 的交点， ， 分别是 ， 的中点.下列结论中正确是（　　）
① ；②四边形 是菱形；③四边形 的面积为 ，④ .
A．①② B．②④ C．②③ D．③④
5．如图，在矩形中，，则D的坐标为（　　）
A． B． C． D．
6．如图，在RtΔABC中，，按以下步骤作图：（1）分别以点A，B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点（点在AB的上方）；（2）作直线MN交AB于点，交BC于点；（3）用圆规在射线OM上截取．连接AD，AE，BE，过点作，垂足为，交AD于点．下列结论：
（1）；（2）；（3）；（4）若，则四边形ADBE的周长为25．其中正确的结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．如图是边长为10cm的正方形铁片，过两个顶点剪掉一个三角形，以下四种剪法中，裁剪线长度所标的数据（单位：cm）不正确的是（　　）
A． B．
C． D．
8．下列命题，其中正确命题的个数为（　　）
（1）等边三角形是中心对称图形；
（2）一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形；
（3）两条对角线互相垂直的矩形是正方形；
（4）两条对角线互相垂直的四边形是菱形．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．如图，已知，，，，的平分线交于点E，且．将沿折叠，使点C与点E恰好重合，下列结论：①，②点E到的距离为3，③，④四边形是菱形．其中正确的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．如图，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F．连接DE，DF，若，则一定等于（　　）
A． B． C． D．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点．若AB=5，AD=12，则四边形ABOM的周长为　 　 ．
12．如图，菱形 的对角线 与 相交于点O．已知 ， ．那么这个菱形的面积为　 　 ．
13．“方胜”是以两个菱形压角相叠而构成的几何图形或纹样，既寓意“双合同心”，又暗含“优胜、佳美”之意．如图是铜胎画珐琅山水图方胜盖盒，它由两个全等的正方形重叠而成，其中重叠部分也是正方形．已知该盖盒的长为（点A、B之间的距离），宽为（点C、D之间的距离），则重叠部分的正方形面积为　 　．
14．如图，有两张矩形纸片 ABCD和EFGH，AB=EF=2cm，BC=FG=8cm.将两纸片按如图所示的方式叠放，使点D 与点G 重合，且重叠部分为 MNDK.若两张纸片交叉所成的角记为α，则当a=30°时，BM=　 　cm；当α最小时，重叠部分的面积为　 　cm2.
15．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点B坐标为，E是边上一点．连接，将沿折叠，点刚好与边上点重合，则的长为　 　．
16．如图，已知E是正方形ABCD对角线AC上的一点，AE=AD，过点E作AC的垂线，交边CD于点F，∠FAD=　 　度．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．已知，在矩形ABCD中，点E是线段AB上的一个动点，将线段DE绕点D逆时针旋转得到DF，过F作于点G，连接EF，取EF的中点H，连接DH，AH．
（1）证明：；
（2）当点H与点G重合时，探究线段AH与DE的关系．
18．如图，在一条笔直的火车轨道同侧有两城镇A，B，城镇A到轨道的垂直距离为5千米，城镇B到轨道的垂直距离为10千米，的长度为12千米．
（1）求城镇A，B之间的距离；
（2）现要在线段上修建一个货运中转站P，使得中转站P到城镇A，B的距离相等，此时中转站应修建在离点M多远处？
19．如图，菱形ABCD对角线交于点O，BE∥AC，AE∥BD，EO与AB交于点F．
（1）求证：EO＝DC；
（2）若菱形ABCD的边长为10，∠EBA＝60°，求：菱形ABCD的面积．
20．如图1，在□ABCD中，点E，F分别在AB，CD上，满足DE//BF.
（1）求证：四边形BFDE是平行四边形；
（2）如图2，连接EF，若AD=13，AE=14，DE=DF=15，求EF的长.
21．如图是由边长为1的小正方形构成的的网格，点A、B均在格点上．
（1）在图1中画一个以线段为对角线的正方形，点C、D为格点；
（2）在图2中画一个以线段为边且面积为整数的平行四边形，点E、F为格点．
22．如图， ABCD中，∠ACB=45°，点E 在对角线AC上，BE=BA，BF⊥AC 于点F，BF 的延长线交AD 于点G，点 H 在BC 的延长线上，且CH=AG，连接EH.
（1）若BC=，AB=13，求AF 的长.
（2）求证：EB=EH.
23．如图，在正方形ABCD中， E为AB上一点，连接CE，过点D作DF∥CE，交BA延长线于点 F．
（1）求证： AF=BE．
（2）如图2，连接BD，过点F作 FG⊥BD交BD于点 G，连接GE.
①若AE=2，求 DG的长．
②求 的值．
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特殊平行四边形 单元综合素养提升卷
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．在菱形中，，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：∵在菱形ABCD中，∠ABC=80°，
∴∠ABD==40°，
∵BA=BE，
∴∠BAE==70°．
故答案为：A．
【分析】首先根据“菱形的对角线平分该角”计算得出∠ABD=40°，然后再利用等腰三角形的性质以及三角形内角和性质即可求出∠BAE=70°．
2．如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F分别是边BC、AD的中点，AB=2，BC=4，一动点P从点B出发，沿着B—A—D—C的方向在矩形的边上运动，运动到点C停止.点M为图1中的某个定点，设点P运动的路程为x，△BPM的面积为y，表示y与x的函数关系的图象大致如图2所示.那么，点M的位置可能是图1中的（　　）
A．点 C B．点E C．点F D．点O
【答案】D
【解析】【解答】∵AB=2，BC=4，四边形ABCD是矩形，∴当x=6时，点P到达D点，此时△BPM的面积为0，说明点M一定在BD上，∴从选项中可得只有O点符合，所以点M的位置可能是图1中的点O．故答案为：D．
【分析】根据矩形的性质和折线图，得到当x=6时，点P到达D点，此时△BPM的面积为0，点M一定在BD上，得到点M的位置可能是图1中的点O.
3．如图，在正方形中，为对角线，将绕点逆时针旋转，得到线段，连接．设，下列说法正确的是（　　）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】D
【解析】【解答】解：当时，过点E作于H，
∵四边形是正方形，
∴，
由勾股定理得：，
由旋转的性质可得，
当时，则，
∵，
∴，故选项A错误；
当时，则，
∴，
∵，
∴，故选项B错误；
当时，则，
∴，
∴
∵，
∴，故选项C错误；
当时，由勾股定理得，即，故选项D正确.
故答案为：D.
【分析】当时，过点E作于H，根据勾股定理和旋转的性质以及正方形的性质求出，再根据不同的角度求出，根据即可判断选项A、B、C；当时，利用勾股定理即可判断D.
4．如图， 是菱形 的对角线 ， 的交点， ， 分别是 ， 的中点.下列结论中正确是（　　）
① ；②四边形 是菱形；③四边形 的面积为 ，④ .
A．①② B．②④ C．②③ D．③④
【答案】A
【解析】【解答】解：∵四边形 是菱形
∴OA=OC，
∵E、F分别是OA、OC的中点.
∴ ， .
∴ .
∵
∴ ，故①正确
∵四边形ABCD是菱形，
∴ ，OB=OD
∴AC是BD的垂直平分线
∴BE=ED
∵四边形ABCD是菱形，E，F分别是OA，OC的中点.
∴EF⊥OD，OE=OF.
∴BD是EF的垂直平分线
∴DE=DF，BE=BF.
∴DE=DF=BE=BF.
∴四边形BFDE是菱形.②正确
∵四边形ABCD是菱形，
∴ ，
∴菱形ABCD的面积 ，故③不正确；
由已知无法求得 ，故④不正确
所以正确的结论有①②，
故答案为：A.
【分析】 ①根据菱形的性质先证AE =OF，然后根据三角形的面积公式即可得出得出结果； ②根据菱形的性质，结合OE=OF，即可判断已知条件四边形是菱形；③根据菱形的面积等于对角线乘积的一半即可判断；④根据已知无法得出∠ABE=∠OBE，逐一判断可得答案.
5．如图，在矩形中，，则D的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：∵A（-3，2），B（3，2），
∴AB=6，轴，
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD=AB=6，轴，
同理可得轴，
∵点C（3，-1），
∴点D的坐标为（-3，-1）.
故答案为：D.
【分析】根据点A、B的坐标可得AB=6，AB∥x轴，根据矩形的性质可得AB=CD=6，AB∥CD∥x轴，同理可得AD∥BC∥y轴，据此不难得到点D的坐标.
6．如图，在RtΔABC中，，按以下步骤作图：（1）分别以点A，B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点（点在AB的上方）；（2）作直线MN交AB于点，交BC于点；（3）用圆规在射线OM上截取．连接AD，AE，BE，过点作，垂足为，交AD于点．下列结论：
（1）；（2）；（3）；（4）若，则四边形ADBE的周长为25．其中正确的结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】（1）D
【解析】【解答】解：由题意可知，直线MN是线段AB的垂直平分线，
点0是线段AB的中点，．
∴点G，F分别是AD，AC的中点．
．故（1）正确；
又
∴四边形ADBE是菱形．
在Rt中，
∴。故（2）正确；
．故（3）正确；
∴．
在Rt中，．
设
∴解得．
四边形ADBE的周长为25．故（4）正确．
故选D
【分析】由题意可知，直线MN是线段AB的垂直平分线，根据垂直平分线性质可得点0是线段AB的中点，，再根据直线平行判定定理可得，再根据三角中位线定理可判断（1）；根据菱形判定定理可得四边形ADBE是菱形，根据直角三角形斜边上的中线等斜边的一半可得，再根据勾股定理可判断（2）；根据三角形面积可判断（3）；根据勾股定理可得，设，再根据勾股定理建立方程，解方程可判断（4）.
7．如图是边长为10cm的正方形铁片，过两个顶点剪掉一个三角形，以下四种剪法中，裁剪线长度所标的数据（单位：cm）不正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：选项A不正确．理由正方形的边长为10，所以对角线=10 ≈14，
因为15＞14，所以这个图形不可能存在．
故选A．
【分析】利用勾股定理求出正方形的对角线为10 ≈14，由此即可判定A不正确．
8．下列命题，其中正确命题的个数为（　　）
（1）等边三角形是中心对称图形；
（2）一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形；
（3）两条对角线互相垂直的矩形是正方形；
（4）两条对角线互相垂直的四边形是菱形．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【解析】【解答】解：（1）因为正奇边形不是中心对称图形，故等边三角形不是中心对称图形，此选项错误；
（2）一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，因为等腰梯形也符合此条件，此选项错误；
（3）两条对角线互相垂直的矩形是正方形，此选项正确；
（4）两条对角线互相垂直平分的四边形是菱形，此选项错误．
故选：A．
【分析】根据中心对称的概念以及平行四边形、正方形、菱形的判定定理进行判断即可．
9．如图，已知，，，，的平分线交于点E，且．将沿折叠，使点C与点E恰好重合，下列结论：①，②点E到的距离为3，③，④四边形是菱形．其中正确的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】【解答】①，，
，
设，则有，
由折叠得：
在中
，
，
解得：，
．
故此项不符合题意．
②如图，过作，，
由①得：平分，
，
平分，
，
点E到的距离为．
故此项不符合题意．
③由①得：
．
故此项符合题意．
④如图，连接交于，
由①②得，，，
垂直平分，
，
在和中
，
，
，
，
四边形是菱形．
故此项符合题意．
故答案为：B．
【分析】①由等腰三角形的性质可得，设，则，由折叠可得，在中，利用勾股定理建立关于x方程并解之即得DM=3；②过作，，由角平分线的性质可得EF=EN=DE=4，即可判断；③由①得=5，即可判断；④连接交于，根据ASA证明△CQM≌△CQG，可得，根据菱形的判定即证，即可判断④.
10．如图，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F．连接DE，DF，若，则一定等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：取的中点，连接，过点作，．
∵四边形为正方形，
∴，．
∵点为的中点，点为的中点，
∴，，
∴，．
∵，，
∴，
∴．
∵，平分
∴，
∴．
在和中
∴≌
∴，
在和中
，
∴≌
∴，
又∵平分，，
∴
∵，，，
∴四边形是正方形，
∴，
∴，
∴．
在和中
，
∴≌
∴
∴．
故答案为：C．
【分析】取AB的中点G，连接EG，过点F作FM⊥BC，FN⊥CD，根据正方形的四边相等，四个角都是直角得，，由中点定义推出AG=EC，BG=BE，由同角的余角相等得，由等腰直角三角形的性质、角平分线定义及等角的补角相等得，从而由ASA判断出≌，得AE=EF，再由AAS判断出≌，得，由角平分线上的点到角两边的距离相等得，然后根据有一组邻边相等的矩形是正方形得四边形是正方形，则FM=CN，进而推出FN=DN，由等腰直角三角形性质得，再由SAS判断出≌，得，最后根据角的构成可得答案.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点．若AB=5，AD=12，则四边形ABOM的周长为　 　 ．
【答案】20
【解析】【解答】解：∵O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点，
∴OM=CD=AB=2.5，
∵AB=5，AD=12，
∴AC= =13，
∵O是矩形ABCD的对角线AC的中点，
∴BO=AC=6.5，
∴四边形ABOM的周长为AB+AM+BO+OM=5+6+6.5+2.5=20，
故答案为：20．
【分析】根据题意可知OM是△ADC的中位线，所以OM的长可求；根据勾股定理可求出AC的长，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可求出BO的长，进而求出四边形ABOM的周长．
12．如图，菱形 的对角线 与 相交于点O．已知 ， ．那么这个菱形的面积为　 　 ．
【答案】96
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，OA＝OC＝ AC＝6cm，OB＝OD，
∴OB＝ ＝8（cm），
∴BD＝2OB＝16cm，
S菱形ABCD＝ AC BD＝ ×12×16＝96（cm2）．
故答案为：96．
【分析】根据菱形的性质得出AC⊥BD，OA＝OC＝ AC＝6cm，OB＝OD，利用勾股定理求出OB=8，从而求出BD＝2OB＝16cm，利用S菱形ABCD＝ AC BD计算即得结论.
13．“方胜”是以两个菱形压角相叠而构成的几何图形或纹样，既寓意“双合同心”，又暗含“优胜、佳美”之意．如图是铜胎画珐琅山水图方胜盖盒，它由两个全等的正方形重叠而成，其中重叠部分也是正方形．已知该盖盒的长为（点A、B之间的距离），宽为（点C、D之间的距离），则重叠部分的正方形面积为　 　．
【答案】2.88
【解析】【解答】解：∵该盖盒的长为（点A、B之间的距离），宽为（点C、D之间的距离） ，设重叠正方形的对角线为x，
∴10+10-x=17.6，
∴x=2.4cm，
∴重叠正方形的面积为
故答案为：2.88.
【分析】根据正方形的性质知道正方形对角线相等，从而知道重叠正方的对角线，进而求出重叠正方形面积.
14．如图，有两张矩形纸片 ABCD和EFGH，AB=EF=2cm，BC=FG=8cm.将两纸片按如图所示的方式叠放，使点D 与点G 重合，且重叠部分为 MNDK.若两张纸片交叉所成的角记为α，则当a=30°时，BM=　 　cm；当α最小时，重叠部分的面积为　 　cm2.
【答案】4-2 ；
【解析】【解答】解：如图，
∵ABCD和EFGH是矩形，
∴∠ADC=∠HDF=∠H=∠C=90°
∵
∴∠CDN=∠LDH，且CD=DH，∠H=∠C=90°
∴△CDN≌△HDL（ASA）
∴ND=LD，且四边形DLMN是平行四边形
∴四边形DLMN是菱形
∴
过点M作MK⊥FD于点K，则cm
当时，cm
又
∴cm
∴cm
∴cm
当点B与点E重合时，两张纸片交叉所成的角α最小，如图，
设DN=a=BN，则CN=8-a，
∵ND2=CD2+NC2，
∴a2=4+（8-a）2，
∴a=，
∴重叠部分的面积=cm2，
故答案为：cm；cm2
【分析】本题考查矩形的性质，菱形的判定，勾股定理，全等三角形的判定和性质.根据∠CDN=∠LDH，且CD=DH，∠H=∠C=90°，由“ASA”可证△CDN≌△LDN，可证ND=DL，结合四边形DLMN是平行四边形可推出四边形DLMN是菱形，当时，过点M作MK⊥FD于点K，可求出MK，KC，从而可求出DM，当点B与点E重合时，两张纸片交叉所成的角α最小，可求DN，即求出本题答案．
15．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点B坐标为，E是边上一点．连接，将沿折叠，点刚好与边上点重合，则的长为　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：∵矩形的顶点B坐标为，
∴，，，
由折叠可知，，，
∵，
∴，
∴，
设，则，
在中，根据勾股定理得，
解得；
的长为．
故答案为．
【分析】利用勾股定理得到长，然后设，根据勾股定理解出x值即可．
16．如图，已知E是正方形ABCD对角线AC上的一点，AE=AD，过点E作AC的垂线，交边CD于点F，∠FAD=　 　度．
【答案】22.5
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠D=∠BAD=90°，∠DAC=45°，
∵EF⊥AC，
∴∠AEF=∠D=90°，
在Rt△AFE和Rt△AFD中，
，
∴Rt△AFE≌Rt△AFD，
∴∠FAD=∠FAE=22.5°，
故答案为22.5．
【分析】首先证明∠DAC=45°，再证明Rt△AFE≌Rt△AFD（HL）即可解决问题．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．已知，在矩形ABCD中，点E是线段AB上的一个动点，将线段DE绕点D逆时针旋转得到DF，过F作于点G，连接EF，取EF的中点H，连接DH，AH．
（1）证明：；
（2）当点H与点G重合时，探究线段AH与DE的关系．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAB=∠ADC=90°，
∵线段DE绕点D逆时针旋转90°得到DF，
∴DE=DF，∠EDF=90°=∠ADC，
∴∠ADE=∠FDG，
∵FG⊥CD，
∴∠FGD=90°=∠DAB，
∴△ADE≌△GDF（AAS），
∴AE=GF；
（2）解：AH⊥DE，AH=DE．
理由如下：当点H和点G互相重合时，如图：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAB=∠ADC=90°，
∵FG⊥DC，
∴∠DHE=90°，
∴四边形AEHD是矩形，
∵线段DE绕点D逆时针旋转90°得到DF，
∴DE=DF，∠EDF=90°，
∴△DEF是等腰直角三角形，
∵H是EF中点，FG⊥DC，
∴，
∴DH=EH，
∴矩形AEHD是正方形，
∴AH⊥DE，AH=DE．
【解析】【分析】 （1）由四边形ABCD是矩形，线段DE绕点D逆时针旋转90°得到DF，可证△ADE≌△GDF（AAS），根据全等三角形的性质可得AE=GF；
（2）当点H和点G互相重合时，可判定四边形AEHD是正方形，从而得到线段AH与DE的位置关系和数量关系．
18．如图，在一条笔直的火车轨道同侧有两城镇A，B，城镇A到轨道的垂直距离为5千米，城镇B到轨道的垂直距离为10千米，的长度为12千米．
（1）求城镇A，B之间的距离；
（2）现要在线段上修建一个货运中转站P，使得中转站P到城镇A，B的距离相等，此时中转站应修建在离点M多远处？
【答案】（1）解：如图所示，过点作于点，连接．
．
，，
，，
四边形为矩形，
千米，千米，
（千米），
在中，（千米），
答：城镇，之间的距离为13千米；
（2）解：如图，连接，，设千米，则千米．，
，
∴，
解得，
中转站应修建在离点的距离为千米处．
【解析】【分析】（1）过点作于点，连接，可证明四边形为矩形，得到千米，千米，求出（千米），由勾股定理可得（千米）；
（2）连接，，设千米，则千米．由勾股定理可得，解方程即可得到答案．
（1）解：如图所示，过点作于点，连接．
．
，，
，，
四边形为矩形，
千米，千米，
（千米），
在中，（千米），
答：城镇，之间的距离为13千米；
（2）解：如图，连接，，设千米，则千米．
，
，
∴，
解得，
中转站应修建在离点的距离为千米处．
19．如图，菱形ABCD对角线交于点O，BE∥AC，AE∥BD，EO与AB交于点F．
（1）求证：EO＝DC；
（2）若菱形ABCD的边长为10，∠EBA＝60°，求：菱形ABCD的面积．
【答案】（1）证明：∵BE∥AC，AE∥BD
∴四边形AEBO是平行四边形
又∵菱形ABCD对角线交于点O
∴AC⊥BD
即∠AOB＝90°
∴四边形AEBO是矩形∴EO＝AB
∵菱形ABCD
∴AB＝DC
∴EO＝DC．
（2）解：由（1）知四边形AEBO是矩形
∴∠EBO＝90°
∵∠EBA＝60°
∴∠ABO＝30°
在Rt△ABO中，AB＝10，∠ABO＝30°
∴AO＝5，BO＝5
∴BD＝10
∴菱形ABCD的面积＝△ABD的面积+△BCD的面积
＝2×△ABD的面积
＝2× ×10 ×5
＝50
【解析】【分析】（1）根据平行的四边形的定义，可证
四边形AEBO是平行的四边形.根据菱形的性质可得
AC⊥BD ，从而可证
四边形AEBO是矩形，根据矩形的性质，可得
EO＝AB，由菱形的邻边相等，可得AB＝DC，从而可得EO＝DC．
（2）根据矩形的性质，可得∠EBO＝90°，利用三角形的内角和定理，可求出∠ABO＝30°，根据30°锐角所对的直角边等于斜边的一半，可求出AO＝
AB=5，利用勾股定理，可得
BO＝5 ，由BD=2BO，可求出BD的长，利用
菱形ABCD的面积＝△ABD的面积+△BCD的面积=2×△ABD的面积，代入数据计算即可.
20．如图1，在□ABCD中，点E，F分别在AB，CD上，满足DE//BF.
（1）求证：四边形BFDE是平行四边形；
（2）如图2，连接EF，若AD=13，AE=14，DE=DF=15，求EF的长.
【答案】（1）证明：在□ABCD 中，DC//AB，即DF//BE，又因为DE//BF，所以四边形BFDE是平行四边形.
（2）解：方法一：
过点D，点E分别作DG⊥AB，EH⊥CD，
在△DAG和△DGE中，有DG2=AD2-AG2=DE2-GE2，
已知AD=13，AE=14，DE=15，设AG=x，则GE=14-x，
可得方程132-x2=152-(14-x)2，解得x=5. 所以AG=5，则DG=，GE=14-5=9.
因为四边形BFDE是平行四边形且DE=DF，
所以四边形BFDE是菱形，则DF=DE=15，DC∥AB，
过点E作EH⊥CD于点H，则EH=DG=12，DH=GE=9，
所以HF=DF-DH=15-9=6.
在Rt△EHF中，根据勾股定理，得EF=.
方法二：
由（1）得，DE=DF=15，所以四边形BFDE是菱形.
过点D作DG⊥AB于点G，设AG=x，则GE=14-x.
在Rt△ADG中，由勾股定理得DG2=AD2-AG2=132-x2；在Rt△EDG中，DG2=DE2-GE2=152-(14 - x)2，
所以132-x2=152-(14 - x)2，解得x=5，则，
则.
连BD交EF于O，因为四边形BFDE是菱形，所以BD⊥EF，且BD与EF互相平分，
则.
过点E作EH⊥CD于点H，由于DC∥AB，所以EH=DG=12，DH=GE=14-5=9.
又因为DF=15，所以HF=DF-DH=15-9=6.
在Rt△EHF中，根据勾股定理.
【解析】【分析】（1）先根据平行四边形的判定定理 “两组对边分别平行的四边形是平行四边形”，证明四边形BFDE是平行四边形；再作辅助线，构造直角三角形，利用勾股定理来计算相关线段的长度，为后续求EF的长提供条件；接着利用勾股定理列方程求AG的长度；然后根据 “一组邻边相等的平行四边形是菱形”，证明四边形BFDE是菱形；最后求出HF的长，并利用勾股定理，即可得出EF的长.
（2）方法一：
先作辅助线，构造直角三角形△DAG、△DGE和△EHF，以便利用勾股定理计算线段长度；再利用勾股定理列方程求解AG；然后根据 “一组邻边相等的平行四边形是菱形”，证明四边形BFDE是菱形，从而计算EH、DH、HF的长度；最后利用勾股定理，即可得出EF的长.
方法二：
先根据 “一组邻边相等的平行四边形是菱形”，可判定四边形BFDE为菱形；再作辅助线并利用勾股定理求DG等线段长度；然后计算菱形BFDE的面积；接着作辅助线并计算EH、DH、HF的长度；最后利用勾股定理，即可得出EF的长.
21．如图是由边长为1的小正方形构成的的网格，点A、B均在格点上．
（1）在图1中画一个以线段为对角线的正方形，点C、D为格点；
（2）在图2中画一个以线段为边且面积为整数的平行四边形，点E、F为格点．
【答案】（1）解：如图，正方形ACBD即为所求；
（2）解：如图，平行四边形ABEF即为所求.
【解析】【分析】（1）先利用勾股定理求出，再根据正方形的判定、利用勾股定理取正方形的边长，由此画出图形即可；
（2）令平行四边形底边AF=3，高为4，根据平行四边形的判定，结合网格直接画出图形即可.
（1）如下图，正方形即为所求；
理由：，
，
四边形是菱形，
，
，
四边形是正方形；
（2）如下图，四边形ABEF即为所求（答案不唯一），
理由：，，
四边形是平行四边形，
观察图形，边上的高为，
平行四边形的面积，是整数．
22．如图， ABCD中，∠ACB=45°，点E 在对角线AC上，BE=BA，BF⊥AC 于点F，BF 的延长线交AD 于点G，点 H 在BC 的延长线上，且CH=AG，连接EH.
（1）若BC=，AB=13，求AF 的长.
（2）求证：EB=EH.
【答案】（1）解：∵BF⊥AC，∠ACB=45°，，
∴等腰Rt△BCF中，BF=sin45°×BC=12，
又∵AB=13，
∴Rt△ABF中，
（2）解：连接GE，过A作AP⊥AG，交BG于P，连接PE，
∵BE=BA，BF⊥AC，
∴AF=FE，
∴BG是AE的垂直平分线，
∴AG=EG，AP=EP
∵∠GAE=∠ACB=45
∴△AGE是等腰直角三角形，即∠AGE=90°
△APE是等腰直角三角形，即∠APE=90°，
∴∠APE=∠PAG=∠AGE=90°
又∵AG=EG，
∴四边形APEG是正方形，
∴PF=EF，AP=AG=CH
又∵BF=CF，
∴BP=CE，
∵∠APG=45°=∠BCF，
∴∠APB=∠HCE=135°
∴△APB≌△HCE(SAS)，
∴AB=EH，
又∵AB=BE，
∴BE=EH
【解析】【分析】(1)依据BF⊥AC，∠ACB=45°，，可得等腰Rt△BCF中，BF=sin45°×BC=12，再根据勾股定理，即可得到答案；
(2)连接GE，过A作AP⊥AG，交BG于P，连接PE，判定四边形APEG是正方形，即可得到PF=EF，AP=AG=CH，进而得出△APB≌△HCE，依据AB=EH，ABBE，即可得到答案.
23．如图，在正方形ABCD中， E为AB上一点，连接CE，过点D作DF∥CE，交BA延长线于点 F．
（1）求证： AF=BE．
（2）如图2，连接BD，过点F作 FG⊥BD交BD于点 G，连接GE.
①若AE=2，求 DG的长．
②求 的值．
【答案】（1）证明：因为DF∥CE，
所以∠F=∠BEC，
因为在正方形ABCD中， AD=BC， ∠B=∠DAF=90°，
所以△ADF≌△BCE(AAS)，
所以AF=BE．
（2）解：①设AF=x，
因为△ADF≌△BCE，
所以AF=BE=x，
因为 BD为正方形的对角线，
所以∠FBG=45°，
因为FG⊥BD，
所以△BGF为等腰直角三角形．
因为AE=2，
所以BF=2x+2，AB=x+2，
由勾股定理得
所以
②如图，连接CG，
因为△ADF≌△BCE，
所以AF=BE，
所以AB=EF，
因为BG=FG， ∠GBC=∠GFE=45°，
所以△EFG≌△BCG，
所以GE=GC， ∠BGC=∠EGF，
所以∠EGC=90°，
所以
【解析】【分析】（1）根据正方形的性质，利用AAS得到△AFD≌△BEC，根据对应边相等得到结论即可；
（2）①设AF=x，根据全等三级形的对应边相等得到AF=BE=x，即可得到△BGF为等腰直角三角形，进而得到F=2x+2，AB=x+2，然后根据勾股定理求出BG和BD长，根据线段的和差即可求出DG长；
②连接GC，根据全等可得AF=BE，即可得到AB=EF，然后根据SAS得到△EFG≌△BCG，即可得带GE=GC，∠MCG＝∠KGE，然后根据勾股定理求出比值即可．
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