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2026年九年级学业质量检测
数学试题
第I卷（选择题 共40分）
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．每小题只有一个选项符合题目要求．
1．在，0，，1中，最小的数是
A． B．0 C． D．1
2．下列几何体中，左视图和俯视图相同的是
A． B． C． D．
3．根据国家统计局的数据，2025年11月中国生产芯片约431840000000颗，彰显了中国芯片产业的强大实力．数据431840000000用科学记数法可以表示为
A． B． C． D．
4．如图，，，，则的度数是
A． B． C． D．
5．下列各式计算正确的是
A． B． C． D．
6．实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，下列式子正确的是
A． B． C． D．
7．如图，在正五边形中，连接对角线，，则的度数是
A． B． C． D．
8．不透明的盒子中有三张卡片，上面分别印有2026年米兰-科尔蒂纳冬奥会的金、银、铜奖牌图案，除图案外三张卡片无其他差别．从中随机摸出一张卡片，记录其图案，放回并摇匀，再从中随机摸出一张卡片，记录其图案，那么两次记录的图案是相同奖牌图案的概率是
A． B． C． D．
9．如图，在中，，分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和，作直线交于点，再以点为圆心，以的长为半径作弧交直线于点，连接交于点，连接．以下结论不一定正确的是
A． B． C． D．平分
10．在平面直角坐标系中，已知二次函数，将其图象在直线左侧部分沿轴翻折，其余部分保持不变，组成图形．，是图形上两点，若对于，，都有，则的取值范围是
A．或 B． C． D．或
第II卷（非选择题 共110分）
二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分．直接填写答案．
11．若二次根式在实数范围内有意义，写出一个符合要求的的值：__________．
12．在不透明的盒子中装有一个黑球，两个白球，三个红球，四个绿球，这十个球除颜色外完全相同．那么从中随机摸出一个球是绿球的概率为__________．
13．将一把直尺和一个含角的直角三角板按如图方式放置．若，那么的度数是__________．
14．共享电动车是一种新理念下的交通工具，现有A，B两种品牌的共享电动车，图象反映了收费（元）与骑行时间（分钟）的关系，其中A品牌共享电动车的收费方式对应，B品牌共享电动车的收费方式对应．当骑行时间为25分钟时，A品牌共享电动车比B品牌共享电动车收费少__________元．
15．如图，在矩形纸片中，，是上一点，将纸片沿过点的直线翻折，使点落在点处，点恰好落在延长线上的点处，折痕交于点．若，，则__________．
三、解答题：本题共10小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．（本小题满分7分）计算：．
17．（本小题满分7分）解不等式组，并写出所有正整数解．
18．（本小题满分7分）如图，在菱形中，点，分别在，边上，，求证：．
19．（本小题满分8分）数学兴趣小组借助无人机开展实物测量的社会实践活动．如图所示，兴趣小组令一架无人机从河岸边的处，沿仰角方向飞行130米到达点处，然后无人机沿水平线方向继续飞行30米至处，测得此时河对岸处的俯角为．线段的长为无人机距地面的铅直高度，点，，在同一条直线上．
（1）求无人机的飞行高度；
（2）求的长．
（结果精确到0.1 m．参考数据：，，，，，）
20．（本小题满分8分）如图，是四边形的外接圆，点在上，过点作的切线交延长线于点，对角线，交于点，是的直径．
（1）求证：
（2）若，，求直径的长．
21．（本小题满分9分）某校举行校园体育文化节，体育社团为了解学生日常体育锻炼的情况开展了统计活动．
【收集数据】体育社团设计了如下调查问卷，在全校随机抽取部分学生进行调查，收集得到“问题1”和“问题2”的数据．（被调查学生两个问题全部按要求作答并提交）
调查问卷
问题1：你日常体育锻炼的主要项目是（ ）．（单选） A．跑步类 B．球类 C．健身操类 D．其他 问题2：你每周体育锻炼的时间是_______分钟．
【整理和表示数据】
第一步：将“问题1”的数据进行整理后，绘制成如下的人数统计表和扇形统计图；
第二步：将“问题2”中每周体育锻炼的时间（分钟）整理分成4组：①，②，③，④，并绘制成如下的频数分布直方图．
学生体育锻炼项目的人数统计表和扇形统计图 学生每周体育锻炼时间的频数直方图
项目人数A30BC15D3
（1）求随机抽取的学生人数；
（2）统计表中的________，扇形统计图中D项目所对应扇形的圆心角为_______度；
（3）补全频数分布直方图；
【分析数据，解答问题】
（4）已知“”这组的数据是：60，61，63，63，64，65，65，65，70，70，75，75，75，75，75，80，80，80，80，85．被调查的全部学生每周体育锻炼时间的中位数为________分钟；
（5）若该校共有4200名学生，请你估计该校全体学生中每周体育锻炼时间不少于60分钟的学生人数．
22．（本小题满分10分）为构建蓝色粮仓，某沿海新区启动“深蓝计划”，在远海部署两种新型智能养殖单元：型深海网箱与型水下机器人．已知用180万元购买型网箱的数量与用300万元购买型机器人的数量相等，且型机器人的单价比型网箱的单价多40万元．
（1）求型网箱和型机器人的单价；
（2）若该海域计划共采购，两种单元共20个（两种单元均需采购），且采购型机器人的数量不少于型网箱数量的，则采购单元多少个时，可使投资总额最少？最少投资总额为多少万元？
23．（本小题满分10分）已知反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点，一次函数的图象经过点，交轴于点，交轴于点．为反比例函数图象上点右侧一动点，连接，将沿着的方向平移，的对应点为，的对应点为，连接．
（1）求，的值；
（2）如图1，若四边形的面积为6，求坐标；
（3）如图2，连接，若，求的坐标．
24．（本小题满分12分）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点．直线经过点，与轴交于点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图1，为直线与抛物线对称轴在第一象限的交点，连接，，，若是锐角三角形，求的取值范围；
（3）如图2，若，点是抛物线第四象限图象上一点，连接并延长，交直线与点，连接，，求面积的最大值．
25．（本小题满分12分）在中，，，，在中，，且，连接，．
【初步感知】
（1）如图1，判断线段与的数量关系并给出证明；
【深入探究】
（2）如图2，点在在内部，若，，共线，且，求线段的长；
（3）如图3，点在在内部，，过点作于点，点为线段上一点，且，连接，当的面积取最大值时，求的值．
九年级二模测试数学答案
一、选择题
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
A B C C D A C B B D
二、填空题
11．即可（答案不唯一） 12． 13． 14．1 15．
三、解答题
16．（本小题满分7分）
原式 5分
7分
17．（本小题满分7分）
解：解不等式①得， 2分
解不等式②得， 4分
所以不等式组的解集为： 6分
则该不等式组的正整数解为：1，2，3． 7分
18．（本小题满分7分）
证明：∵四边形是菱形，，， 3分
又，，即， 5分
， 6分
． 7分
19．（本小题满分8分）
解：（1），，
在中，
2分
答：无人机的飞行高度为119.6m； 3分
（2）过点作于点
，
，，，
，
∴四边形为矩形， 4分
，，
在中，
， 5分
在中，
， 7分
答：的长为163.3m． 8分
20．（本小题满分8分）解：（1）如图，连接，
为的切线，， 1分
，
由题可知是的直径
， 2分
，
，， 3分
，，． 4分
（2）连接
是的直径，，
，， 5分
，． 6分
在中，
设，
，即 7分
解得
． 8分
21．（本小题满分9分）
解：（1）（人）
答：随机抽取的学生人数为60人． 2分
（2）12，18 4分
（3）补全频数分布直方图为：
5分
（4）62 7分
（5） 8分
（人）
答：估计该校全体学生中每周体育锻炼时间不少于60分钟的学生人数是2240人． 9分
22．（本小题满分10分）
解：（1）设型网箱的单价是万元，则型机器人的单价是万元 1分
由题意得：， 3分
解得：， 4分
经检验是原方程的根，且符合题意 5分
答：型网箱的单价是60万元，型机器人的单价是100万元． 6分
（2）设购买型网箱个，则购买型机器人个，
由题意得：，
解得：， 7分
设投资总额为万元，
由题意得：， 8分
，随的增大而减小，
∴当，有最小值 9分
此时（万元）
答：采购单元15个时总投资总额最少，最少投资总额为1400万元． 10分
23．（本小题满分10分）
解：（1）∵正比例函数经过点，， 1分
∴点，
∵反比例函数经过点，， 2分
∵一次函数经过点，，． 3分
（2）沿方向平移得到，且，
∴四边形为平行四边形
连接
∵平行四边形为的面积为6，的面积为3， 4分
，
∵一次函数，．
设
则 5分
解得
6分
（3）过点作，交的延长线于点
过点作轴的平行线，过点和点，分别作，．
，，
又，，
，，
，，
∵一次函数，，，
，，， 7分
又，解析式：， 8分
设
∵四边形为平行四边形，，
在反比例函数上，， 9分
解得，（舍去）
所以． 10分
24．（本小题满分12分）
解答：（1）过，；
，解得； 2分
∴抛物线的表达式． 3分
（2）∵直线过点，，，
抛物线的对称轴为直线
， 4分
∵点和，，，，
若是直角三角形，则只能或
若，则，解得 6分
若，则，解得
是锐角三角形，∴综合得． 8分
（3）连接，由点和，则直线的解析式为，
过点作轴，交于点，
设点的坐标为，∴点的坐标为，
，
， 9分
∴当时，的面积最大，最大值为， 10分
，
∴直线的解析式为，，
到的距离到的距离（或到的距离）
，为定值，
面积的最大值为． 12分
25．（本小题满分12分）
解：（1）判断： 1分
证明：∵在中，，，，
，，
， 2分
，，
， 3分
，
，即． 4分
（2）由（1）得，
，
又，， 5分
，，A、E、D三点共线，
， 6分
∵在中，，，
由勾股定理得
∴在中
，． 8分
（3）过点作交于点
，
，
， 9分
，
，，， 10分
，
∴点在以为直径的圆周上运动（一段圆弧），记圆心为，半径，
当时，取最大值， 11分
，．
所以此时． 12分
2

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