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2026年中考数学高频压轴题训练——二次函数与最值
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、解答题
1．如图1，在中，，点D在边上（不与点B重合），以为一边作正方形，连接．

(1)如图2，当时，
①求正方形的边长；
②求证：；
(2)当点D在上运动时，求面积的最大值．
2．已知二次函数的图象上，时，取得最小值为．点、是二次函数的图象上任意两点，设．
(1)求此二次函数的解析式；
(2)当时，以下结论：，，，你认为哪个正确？请证明你认为正确的那个结论．
3．中国古代数学家秦九韶和古希腊数学家海伦分别提出了一般三角形面积的计算方法：
①；②．
（其中为三角形的三边长，为面积）
(1)请证明：；
(2)如图，线段，点在上，且，点是线段上一点，分别以为圆心，的长为半径画圆，和交于点，直接写出的面积的最大值：_______．
4．已知二次函数
(1)当时
①求二次函数图象与x轴的交点坐标；
②若点是二次函数图象上的点，且，求的最小值．
(2)若点和在二次函数图像上，且点C在对称轴的左侧，求证：．
5．已知抛物线（b为常数）．
(1)若抛物线过点，求b值；
(2)求证：该抛物线的顶点在x轴上方；
(3)当时，最小值为，求b值．
6．如图，在矩形中，点是边上任意一点（点不与、重合），连接，作，交于点，若，．

(1)试证明：；
(2)当为多少时，最长，最长是多少？
(3)试探究，是否存在一点，使是等腰直角三角形？
7．在直角坐标系中，O为坐标原点，二次函数（是常数）的图象与x轴交于两点，与y轴交于点C，已知．
(1)若，求该二次函数的最小值．
(2)求证：．
(3)若点A位于点之间，求证：．
8．已知二次函数（为常数）．
(1)求证：不论为何值，该二次函数图象与轴总有两个交点；
(2)当（）时，该二次函数的最大值与最小值的差为，求的值；
(3)若二次函数图象的对称轴为直线，顶点为，与轴的交点为，点关于对称轴的对称点为，为的中点，过点的直线（不经过，两点）与二次函数的图象相交于点，，连接，，若，求的面积．
9．已知二次函数．
(1)若该函数图象经过点，求的值；
(2)当时，随的增大而减小，
①求的取值范围；
②证明：．
10．在中，，，，点，点同时从点出发，点沿边以的速度向点运动，点从点出发，沿边以的速度向点运动，（点不与，重合，点不与，重合），设运动时间为．

(1)求证：；
(2)当为何值时，以为直径的与直线相切？
(3)把沿直线折叠得到，若与梯形重叠部分的面积为，试求关于的函数表达式，并求为何值时，的值最大，最大值是多少？
11．如图，已知内接于，，点P为上一点．
(1)如图1，若点P在弧上，连结交于点D．
①求证：；
②若，，求的长．
(2)如图2，若点P在弧上，，于点H，设，．
①求y关于x的函数表达式；
②求函数y的最大值．
12．如图，在正方形中，，为对角线上一动点，连接、，过E点作，交直线于点F．E点从B点出发，沿着方向以每秒的速度运动，当点E与点D重合时，运动停止，设的面积为，点的运动时间为x秒．
(1)求证：；
(2)求y与x之间关系的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；
(3)用配方法说明的面积有最大值，并求出它的最大值．
13．如图，在等腰直角中，，点是斜边上一动点（不与点重合），连接，以为直角边在右侧构造等腰直角，，连接，交于点．
(1)求证：；
(2)若，点从点运动到点，
①设，，求关于的函数关系式，并写出最大值；
②的外心所经过的路径长为_____；
(3)记的面积为，的面积为，若，求的正切值．
14．如图，在矩形中，点为边的中点，点为上的一个动点，连接并延长，交的延长线于点，以为底边在下方作等腰，且．

(1)如图①，若点恰好落在上，连接，．求证：；
(2)如图②，点H落在矩形内，连接，若，，求四边形面积的最大值．
15．在中，，以为直径的交于点，过点D作，交于点．
(1)如图1，若，，求的长．
(2)如图2，若，与相交于点，连接，当点与圆心重合时，
①求证：；
②四边形的周长有最大值吗？请说明理由．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
《2026年中考数学高频压轴题训练——二次函数与最值》参考答案
1．(1)①；②见解析
(2)
【分析】（1）①利用勾股定理求解即可；
②证明，可得结论；
（2）设长为，构建二次该函数，利用二次函数的性质解决问题．
【详解】（1）①解：
，
，
，
，
，
．
②证明：由①可知，
，
，
，
，
；
（2）解：如图，过E作交延长线与G，
，
，
，
，
，
设长为，
，
当时，面积的最大值．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，二次函数的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用二次函数的性质解决最值问题．
2．(1)
(2)，证明见解析
【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的最值，二次函数的性质，熟知二次函数的相关知识是解题的关键．
（1）利用对称轴结合待定系数法求解即可；
（2）根据题意得到点、关于对称，进而得到，再根据二次函数的最值求解，即可解题．
【详解】（1）解：由题意得：对称轴为：，即：，得：．
当时，的值为，即：，得：．
此二次函数的解析式为．
（2）证明：，理由如下：
，
点、关于对称，
，即，，
，，
．
当时，，，
，
抛物线开口向下，
当时，有最大值，最大值．
故．
3．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了乘法公式的应用，二次函数的图象与性质．
（1）对被开方数的字母因式利用乘法公式变形即可完成；
（2）设，则，利用表示出面积，再利用二次函数知识即可求解．
【详解】（1）证明：∵
，
∵，
∴，
∴
，
∴；
（2）解：设，则，，
∴，
∴
，
而对于，当时，它有最大值3，
∴有最大值；
故答案为：．
4．(1)①二次函数图象与x轴的交点坐标为；②的最小值为．
(2)见解析
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与坐标轴交点情况，二次函数最值情况，解题的关键在于熟练掌握二次函数的图象与性质．
（1）①将代入中，得到二次函数解析式，再当时，有，求解该方程，即可解题；
②根据题意得到，利用二次函数解析式表示出，进而得到，再结合二次函数最值情况求解，即可解题；
（2）根据题意得到二次函数对称轴为直线，进而推出，再分别表示出，进而表示出，再结合求解，即可解题．
【详解】（1）解①：当时，，
当时，有，
解得，
二次函数图象与x轴的交点坐标为；
②点是二次函数图象上的点，且，
，
，
，
，
的最小值为．
（2）证明：二次函数，
二次函数对称轴为直线，
点C在对称轴的左侧，
，即，
点和在二次函数图像上，
，
，
，
，
，
，
．
5．(1)或
(2)见解析
(3)b的值为1或7
【分析】本题为二次函数综合运用，涉及到解待定系数法求二次函数解析式、二次函数的图象和性质等，熟悉二次函数图象和性质是本题解题的关键．
（1）将点代入解方程即可求解；
（2）将化成顶点式得抛物线的顶点为，根据，开口向下可得该抛物线的顶点在轴上方；
（3）分两种情况：①当，即时，当时，有最小值；②当，即时，当时，有最小值．分别代入解方程即可求解；
【详解】（1）解：抛物线过点，
，
解得；
（2）证明：，
抛物线的顶点为，
，
该抛物线的顶点在轴上方；
（3）解：当时，y的最小值为，需要分情况讨论：
情况一：对称轴在内．
①当，
解得．
此时，y的最小值在处取得，
即当时，，
解得：或．
∵，
∴不符合题意舍去．
②当解得．
此时，y的最小值在处取得，
即当时．
解得：或．
∵，
∴或不合题意舍去．
情况二：对称轴不在内，
即或，
即或．
①当时，y的最小值在处取得，
即当时，．
解得：或．
∵，
∴．
②当时，y的最小值在处取得，
即当时，．
解得：或．
∵，
∴．
综上，b的值为1或7．
6．(1)见解析
(2)为4时，最长，最长是
(3)存在，时，是等腰直角三角形
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，二次函数的性质，等腰三角形的性质．
（1）证明，即可求解；
（2），则，则，进而求解；
（3）是等腰直角三角形，则，由，进而求解．
【详解】（1）解：四边形是矩形，
，
，
而，
，
；
（2）解：设，
，
，即，
则，
故当时，的最大值为，
即为4时，最长，最长是；
（3）解：是等腰直角三角形，则，
而，
，
，
则，
即时，是等腰直角三角形．
7．(1)二次函数的最小值为；
(2)见解析
(3)见解析
【分析】本题考查二次函数的解析式，掌握待定系数法是解题的关键．
（1）将点和的坐标代入即可求出解析式，然后配方得到最小值即可；
（2）将点B的坐标代入得到，然后代入关系式为，然后求出点A和点C的坐标即可解题；
（3）由题可得整理相加即可得到结论．
【详解】（1）解：把点和代入得：
，解得，
∴，
∴二次函数的最小值为；
（2）证明：把代入得：，
∴，
∴，
令，则，解得或，
∴点A的坐标为，
当时，，
∴点C的坐标为，
∴；
（3）解：由题可知：，即
两式相加得．
8．(1)见解析
(2)
(3)
【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式，求出，即可证明；
（2）根据抛物线的对称轴为，有最大值为，结合抛物线的开口方向以及，得出当时，取最小值，此时最小值为，结合题意，列出方程，解方程即可求出的值；
（3）根据抛物线的对称轴求出，即可得出二次函数的表达式，分别求出点、、、的坐标，得出，表示出过点的直线的解析式，联立方程组，根据一元二次方程根与系数的关系得出，结合题意列出方程，求出的值，进一步求出过点的直线与抛物线的交点横坐标，结合三角形的面积计算方法，即可求解．
【详解】（1）证明：令，即，
则，
∴方程有两个不相等的实数根
即不论为何值，二次函数的图象与轴总有两个公共点．
（2）解：∵，
即抛物线开口向下，二次函数图象对称轴为，有最大值为，
∵，，
∴，
故当时，取最小值，此时最小值为，
根据题意，得
解得或（舍去）．
（3）解：∵二次函数对称轴为，
∴，
∴，
∴二次函数的表达式为，
∴点的坐标为，点的坐标为，
∴点的坐标为，点的坐标为，
故，
设过点的直线的表达式为，则，
即，
∴过点的直线的解析式为．
由，得，
∴，，
∴，
结合题意可得，
∴，
∴，
∴，
解得，，
∴．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求抛物线的解析式，二次函数与一次函数的交点问题，一元二次方程根与系数的关系，二次函数与坐标轴的交点问题，二次函数中的面积问题等．熟练运用相关知识是解题的关键．
9．(1)；
(2)①；②见解析．
【分析】
（1）将点代入即可求得的值；
（2）①先根据解析式确定抛物线的开口方向和对称轴，然后根据“当时，随的增大而减小”列不等式并结合即可解答；
②由“当时，随的增大而减小”可知当时，有最大值，然后再说明最大值小于等于零即可证明结论．
【详解】（1）
解：二次函数过点，
，
解得：；
（2）
①解：，
函数图象抛物线开口向上，对称轴为，
当时，随的增大而减小，
，
解得：，
，
的取值范围；
②证明：在时，随的增大而减小，
当时，有最大值，即，
，
，
，
，
，
即．
【点睛】
本题主要考查了二次函数图象的性质、配方法、二次函数的性质等知识点，掌握二次函数的性质是解答本题的关键．
10．(1)证明见解析
(2)
(3)当时，值最大，最大值是8
【分析】（1）欲证，可以通过应用两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似，得证；
（2）为直径的与直线相切，则圆心到直线的距离等于半径，列出函数关系式，求出的值；
（3）因为，与梯形重叠部分的面积分为两种情况：①等于，②等于，列出关于的函数表达式，求出当时，值最大，最大值是8．
【详解】（1）证明：点，点同时从点出发，点沿边以的速度向点运动，点从点出发，沿边以的速度向点运动，
设运动时间为，则，
，，
，
，
；
（2）解：过作于，如图所示：

在中，，
由（1）知，
，即，
，
的半径，
由（1）知，即，
，
，
于，
由等面积法可知；，
圆心到直线的距离，
与直线相切，
，解得，即当时，与直线相切；
（3）解：折叠如图所示：

当点落在直线上时，则点为的中点，根据题意，以点在直线上为分界线分两种情况讨论：
①当时（当点落在直线上方），，
当时，；
②当时（当点落在直线下方），设交于，交于，，，
，
，
当时，，
综上所述，当时，值最大，最大值是8．
【点睛】本题考查几何综合，涉及相似三角形的判定与性质，勾股定理求线段长，等面积法求线段长，切线的性质，折叠，三角形的性质及二次函数的综合应用，难度较大，熟练掌握相关几何性质是解决问题的关键．
11．(1)①见解析；②4
(2)①；②
【分析】（1）①由，可得，则，进而可证；②设，则，由①得，则，，可求，，同理①，，则，，则，求解作答即可；
（2）①如图1，在上取一点E，使得，证明，则，由，可得，则，；②由题意知，，则，可求得，然后求二次函数的最值即可．
【详解】（1）①证明：∵，
∴，
∴，
又∵，
∴；
②解：设，则，
由①得，
∴，则，
解得，
∴，
同理①，，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴；
（2）①解：如图1，在上取一点E，使得，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
②解：由题意知，，
∴，
解得，
∵，，
∴当时，取最大值，．
【点睛】本题考查了同弧或等弧所对的圆周角相等，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，二次函数的应用，二次函数的最值等知识．熟练掌握同弧或等弧所对的圆周角相等，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，二次函数的应用，二次函数的最值是解题的关键．
12．(1)见解析
(2)
(3)当时，y有最大值是；即面积的最大值是
【分析】（1）过E作，交于M，交于N，则，结合正方形的性质，先证明，再证明，得到，即可得证；
（2）由勾股定理得，根据题意得，，由（1）知：，从而得出，再根据，即可求出解析式；
（3）利用配方法求二次函数最大值即可．
【详解】（1）证明：过E作，交于M，交于N，则，
四边形是正方形，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
四边形是正方形，
，，
，
，
；
（2）解：在中，由勾股定理得：，
E点从B点出发，沿着方向以每秒的速度运动，
，，
，
由（1）知：，
，
，
，
，
；
（3）解：，
，
当时，y有最大值是；即面积的最大值是．
【点睛】此题是四边形的综合题，主要考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形面积，二次函数的最值等知识点的理解和掌握，难度适中，熟练掌握正方形中利用辅助线构建全等来解决问题是本题的关键．
13．(1)见解析
(2)①；最大值为2；②4
(3)或
【分析】（1）证明，得出即可；
（2）①过点C作于点H，过点F作于点G，证明为等腰直角三角形，得出，求出，，证明，得出，代入相关的长度值求出，再根据二次函数的最值，求出最大值即可；
②延长，交于点G，作线段的垂直平分线，交于点M，交于点N，连接、，先说明点在过点B与垂直的射线上运动，证明垂直平分，垂直平分，说明当点D从点A运动到点B的过程中，点E从点B运动到点G，且点D在点A处时，点E在点B处，点D在点B处时，点E在点G处，的外心从点H处运动到点M处，求出其运动轨迹长即可；
（3）设，则，根据，列出方程，求出或，分两种情况：当时，当时，分别画出图形，求出结果即可．
【详解】（1）证明：∵，，
∴，
∴，
∵和都是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴；
（2）解：①过点C作于点H，过点F作于点G，如图所示：
则，
∵是等腰直角三角形，，
∴，，，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，，
根据解析（1）可知：，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
整理得：；
∵，
∴当时，取最大值2；
②延长，交于点G，作线段的垂直平分线，交于点M，交于点N，连接、，如图所示：
根据①可知：，
∴，
∴点在过点B与垂直的射线上运动，
∵垂直平分，
∴的外心在上，
∵，，，
∴和为等腰直角三角形，
∴，
∴，，
∵，，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴M为的中点，
∴垂直平分，
同理得：垂直平分，
∵当点D从点A运动到点B的过程中，点E从点B运动到点G，且点D在点A处时，点E在点B处，点D在点B处时，点E在点G处，
∴的外心从点H处运动到点M处，
∴的外心运动的轨迹长为；
（3）解：设，则，
根据解析（2）可知：，
∴为等腰直角三角形，
∴，
根据勾股定理得：，
，
∴，
∴，
，
∵，
∴，
整理得：，
解得：或，
根据解析（1）可知：，
∴的正切值等于的正切值，
当时，，过点D作于点M，如图所示：
则，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴；
当时，，过点D作于点M，如图所示：
则，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴；
综上分析可知：或．
【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质，二次函数的应用，解直角三角形的应用，一元二次方程的应用，解题的关键是数形结合，作出辅助线，注意进行分类讨论．
14．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）通过和等腰证明且，作作可知，四边形为矩形，再根据推出，从而证明四边形为正方形，最后利用是中点，即可求出答案．
（2）利用第一问的证明方法可证明四边形为正方形和四边形为矩形，利用已知条件从而可推出的长度，最后利用面积法列二次函数从而求出的最大面积，即可求出四边形面积的最大值．
【详解】（1）证明：过点作于点，如图所示，

四边形为矩形，
．
为中点，
．
，，，
．
．
为等腰直角三角形，
，．
．
，四边形为矩形，
，
四边形为矩形．
，，
．
，，
．
．
四边形为矩形，
四边形为正方形．
，
，
．
（2）解：过点作于点，过点作于点，过点作于点，连接和，如图所示，

按照（1）的方法可证明，
．
为等腰直角三角形，
，．
，四边形为矩形，
，
四边形为矩形．
，，
．
，，
．
，．
，，
．
四边形为矩形，
四边形为正方形．
．
，
．
，，，
四边形为矩形．
．
．
设，
，
．
，
时，的面积最大，且最大值为．
四边形的面积的最大值为：．
故答案为：．
【点睛】本题是四边想综合题，考查的有矩形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质以及二次函数的性质等知识，解题的关键在于寻找正确的三角形全等证明线段之间的数量关系以及学会利用参数构建二次函数解决最值问题．
15．(1)
(2)①证明见解析；②四边形的周长有最大值，理由见解析
【分析】（1）连接，在中，由相似三角形的性质可得，求出、即可求；
（2）①连接，根据平行线的性质得出，可得，即可得证；
②先求，设，，再由，得出，则四边形的周长，根据二次函数的最值即可得解．
【详解】（1）解：连接，
∵，，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）①证明：连接，
∵，点与圆心重合，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
②解：四边形的周长有最大值，理由如下：
∵是的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，点是的中点，
∴，
设，，
∴，，
∴，
∴，
∴四边形的周长：，
∵，
∴当时，四边形的周长有最大值．
【点睛】本题是圆的综合应用，考查了直径所对的圆周角是直角，相似三角形的判定和性质，平行线的性质，同弧或等弧所对的圆周角相等，等腰三角形的判定和性质，三角形中位线定理，勾股定理，二次函数的图像及性质等知识点．掌握圆的基本性质，相似三角形的判定和性质及二次函数的图像和性质是解题的关键．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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