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锐角三角函数单元测试卷1
选择题
1． sin60°的值等于（　　）
A． B． C． D．
2． 在△ABC中，∠C=90°，tanA=，则cosA的值为（　　）
A． B． C． D．
3．在△ABC中，（2cosA﹣）2+|1﹣tanB|=0，则△ABC一定是（　　）
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形
4．一段公路的坡度为1：3，某人沿这段公路路面前进100米，那么他上升的最大高度是（　　）
A．30米 B．10米 C．3米 D．米
5．如图，点A为∠α边上的任意一点，作AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，下列用线段比表示cosα的值，错误的是（　　）
A． B． C． D．
6．如图，⊙O的直径AB=4，BC切⊙O于点B，OC平行于弦AD，OC=5，则AD的长为（　　）
A． B． C． D．
7．如图，在△ABC中，AC⊥BC，∠ABC=30°，点D是CB延长线上的一点，且BD=BA，则tan∠DAC的值为（　　）
A．2+ B．2 C．3+ D．3
8．如图，△ABC中，AE⊥BC于E，D为AB边上一点，如果BD=2AD，CD=8，sin∠BCD=，那么AE的值为（　　）
A．3 B．6 C．7.2 D．9
第5题图 第6题图 第7题图 第8题图
9．将宽为2cm的长方形纸条折叠成如图所示的形状，那么折痕PQ的长是（　　）
A．cm B．cm C．cm D．2cm
10．小明去爬山，在山脚看山顶角度为30°，小明在坡比为5：12的山坡上走1300米，此时小明看山顶的角度为60°，则山的高度是（　　）
A．（600﹣250）米 B．（6002- 50）米
C．（350+350）米 D．500米
11．从一栋二层楼的楼顶点A处看对面的教学楼，探测器显示，看到教学楼底部点C处的俯角为45°，看到楼顶部点D处的仰角为60°，已知两栋楼之间的水平距离为6米，则教学楼的高CD是（　　）
A．（6+6）米 B．（6+3）米 C．（6+2）米 D．12米
12．如图，在某监测点B处望见一艘正在作业的渔船在南偏西15°方向的A处，若渔船沿北偏西75°方向以40海里/小时的速度航行，航行半小时后到达C处，在C处观测到B在C的北偏东60°方向上，则B、C之间的距离为（　　）
A．20海里 B．10海里 C．20海里 D．30海里
第9题图 第10题图 第11题图 第12题图
二、填空题
13．计算：sin45°+6tan30°﹣2cos30°=　 　．
14．在△ABC中，若sinA=，tanB=，则∠C=　 　．
15．一直角三角形的两边长分别为6和8，则该三角形中较小锐角的正弦值为　 　．
16．如图，AD、BE分别是△ABC中BC、AC边上的高，BE=4，BC=6，则sin∠DAC=　 　．
17． 如图，身高1.6m的小丽用一个两锐角分别为30°和60°的三角尺测量一棵树的高度，已知她与树之间的距离为6m，那么这棵树高为（其中小丽眼睛距离地面高度近似为身高）　　．
18．如图所示，已知AD是等腰△ABC底边上的高，且tan∠B=，AC上有一点E，满足AE：CE=2：3，则tan∠ADE的值是　　 ．
如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC=8，点E为AC的中点，点F在底边BC上，且FE⊥ BE， 则△CEF的面积是　 　．
第9题图 第10题图 第11题图 第12题图
20．已知：如图，在△ABC中，D是AB边上的一点，且BD=2AD，CD=10，，则BC边上的高AE的长为　 　．
21．一渔船在海岛A南偏东20°方向的B处遇险，测得海岛A与B的距离为20海里，渔船将险情报告给位于A处的救援船后，沿北偏西80°方向向海岛C靠近，同时，从A处出发的救援船沿南偏西10°方向匀速航行，20分钟后，救援船在海岛C处恰好追上渔船，那么救援船航行的速度为　 　海里/小时．
22．如图，在两建筑物之间有一旗杆，高15米，从A点经过旗杆顶点恰好看到矮建筑物的墙角C点，且俯角α为60°，又从A点测得D点的俯角β为30°，若旗杆底点G为BC的中点，则矮建筑物的高CD为　 　米．
23．如图是一个3×2的长方形网格，组成网格的小长方形长为宽的2倍，△ABC的顶点都是网格中的格点，则sin∠BAC的值为　 　．
24．如图，四边形BDCE内接于以BC为直径的⊙A，已知：BC=10，cos∠BCD=，∠BCE=30°，则线段DE的长为　 　．
第20题图 第21题图 第22题图 第23题图 第24题图
三、解答题：
25．计算：（1）sin245°+tan60°cos30°﹣tan45°； （2）||+（cos60°﹣tan30°）0+．
26．如图，在△ABC中，∠A=135°，AB=20，AC=30，求△ABC的面积．
27．如图，某校数学兴趣小组为测得校园里旗杆AB的高度，在操场的平地上选择一点C，测得旗杆顶端A的仰角为30°，再向旗杆的方向前进16米，到达点D处（C、D、B三点在同一直线上），又测得旗杆顶端A的仰角为45°，请计算旗杆AB的高度（结果保留根号）
28．如图，小丽假期在娱乐场游玩时，想要利用所学的数学知识测量某个娱乐场地所在山坡AE的长度．她先在山脚下点E处测得山顶A的仰角是30°，然后，她沿着坡度是i＝1：1（即tan∠CED＝1）的斜坡步行15分钟抵达C处，此时，测得A点的俯角是15°．已知小丽的步行速度是18米/分，图中点A、B、E、D、C在同一平面内，且点D、E、B在同一水平直线上．求出娱乐场地所在山坡AE的长度．（参考数据：1.41，结果精确到0.1米）
29．如图，一艘渔船位于小岛B的北偏东30°方向，距离小岛40nmile的点A处，它沿着点A的南偏东15°的方向航行．
（1）渔船航行多远距离小岛B最近（结果保留根号）？
（2）渔船到达距离小岛B最近点后，按原航向继续航行20nmile到点C处时突然发生事故，渔船马上向小岛B上的救援队求救，问救援队从B处出发沿着哪个方向航行到达事故地点航程最短，最短航程是多少（结果保留根号）？
30．阅读材料：
在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，＝＝，利用上述结论可以求解如下题目：
在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a，b，c．若∠A＝45°，∠B＝30°，a＝6，求b．
解：在△ABC中，∵＝∴b＝＝＝＝3．
理解应用：
如图，甲船以每小时30海里的速度向正北方向航行，当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1处，且乙船从B1处按北偏东15°方向匀速直线航行，当甲船航行20分钟到达A2时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2处，此时两船相距10海里．
（1）判断△A1A2B2的形状，并给出证明；
（2）求乙船每小时航行多少海里？
31．随着我国科学技术的不断发展，5G移动通信技术日趋完善，某市政府为了实现5G网络全覆盖，2021～2025年拟建设5G基站3000个，如图，在斜坡CB上有一建成的5G基站塔AB，小明在坡脚C处测得塔顶A的仰角为45°，然后他沿坡面CB行走了50米到达D处，D处离地平面的距离为30米且在D处测得塔顶A的仰角53°．（点A、B、C、D、E均在同一平面内，CE为地平线）（参考数据：sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈）
（1）求坡面CB的坡度；
（2）求基站塔AB的高．
答案
一、选择题
1．C．2．D．3．D．4．D．5．C．6．B．7．A．8．D．9． B．10．B．11．A．12．C．
二、填空题
13．1+　．14．　90°．15．或．16．．17．（2+1.6）m．18．．
19．16．20．9．21．30．22．20．23．．24．3+4．
三、解答题：
25．（1）1； （2）1+3．
26．解：过点B作BE⊥AC，
∵∠A=135°，
∴∠BAE=180°﹣∠A=180°﹣135°=45°，
∴∠ABE=90°﹣∠BAE=90°﹣45°=45°，
在Rt△BAE中，BE2+AE2=AB2，
∵AB=20，
∴BE==10，
∵AC=30，
∴S△ABC=AC BE=×30×10=150．
27．解：由题意可得，
CD=16米，
∵AB=CB tan30°，AB=BD tan45°，
∴CB tan30°=BD tan45°，
∴（CD+DB）×=BD×1，
解得BD=8，
∴AB=BD tan45°=（）米，
即旗杆AB的高度是（）米．
28．解：作EF⊥AC，
根据题意，CE＝18×15＝270米，
∵tan∠CED＝1，
∴∠CED＝∠DCE＝45°，
∵∠ECF＝90°﹣45°﹣15°＝30°，
∴EF=CE＝135米，
∵∠CEF＝60°，∠AEB＝30°，
∴∠AEF＝180°﹣45°﹣60°﹣30°＝45°，
∴AE＝135≈ 190.4米
29．解：（1）过B作BM⊥AC于M，
由题意可知∠BAM＝45°，则∠ABM＝45°，
在Rt△ABM中，∵∠BAM＝45°，AB＝40nmile，
∴BM＝AM＝AB＝20nmile，
∴渔船航行20nmile距离小岛B最近；
（2）∵BM＝20nmile，MC＝20nmile，
∴tan∠MBC＝＝＝，
∴∠MBC＝60°，
∴∠CBG＝180°﹣60°﹣45°﹣30°＝45°，
在Rt△BCM中，∵∠CBM＝60°，BM＝20nmile，
∴BC＝＝2BM＝40nmile，
故救援队从B处出发沿点B的南偏东45°的方向航行到达事故地点航程最短，最短航程是40nmile．
30．解：（1）△A1A2B2是等边三角形，理由如下：
连接A1B2．
∵甲船以每小时30海里的速度向正北方向航行，航行20分钟到达A2，
∴A1A2＝30×＝10，
又∵A2B2＝10，∠A1A2B2＝60°，
∴△A1A2B2是等边三角形；
（2）过点B作B1N∥A1A2，如图，
∵B1N∥A1A2，
∴∠A1B1N＝180°﹣∠B1A1A2＝180°﹣105°＝75°，
∴∠A1B1B2＝75°﹣15°＝60°．
∵△A1A2B2是等边三角形，
∴∠A2A1B2＝60°，A1B2＝A1A2＝10，
∴∠B1A1B2＝105°﹣60°＝45°．
在△B1A1B2中，
∵A1B2＝10，∠B1A1B2＝45°，∠A1B1B2＝60°，
由阅读材料可知，＝，
解得B1B2＝＝，
所以乙船每小时航行：÷＝20海里．
31．解：（1）如图，过点D作AB的垂线，交AB的延长线于点F，过点D作DM⊥CE，垂足为M．
由题意可知：CD＝50米，DM＝30米．
在Rt△CDM中，由勾股定理得：CM2＝CD2﹣DM2，
∴CM＝40米，
∴斜坡CB的坡度＝DM：CM＝3：4；
（2）设DF＝4a米，则MN＝4a米，BF＝3a米，
∵∠ACN＝45°，
∴∠CAN＝∠ACN＝45°，
∴AN＝CN＝（40+4a）米，
∴AF＝AN﹣NF＝AN﹣DM＝40+4a﹣30＝（10+4a）米．
在Rt△ADF中，
∵DF＝4a米，AF＝（10+4a）米，∠ADF＝53°，
∴tan∠ADF＝，
∴＝，
∴解得a＝，
∴AF＝10+4a＝10+30＝40（米），
∵BF＝3a＝米，
∴AB＝AF﹣BF＝40﹣＝（米）．答：基站塔AB的高为米．
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