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浙教版2024 八年级下册
第4章 平行四边形
单元测试·提分卷 试卷分析
三、知识点分布
一、单选题
1 0.85 中心对称图形的识别
2 0.85 对角线分成的三角形个数问题
3 0.65 与三角形中位线有关的求解问题；根据平行线的性质求角的度数；根据等角对等边证明边相等；用勾股定理解三角形
4 0.65 用勾股定理解三角形；利用平行四边形的判定与性质求解
5 0.65 添一个条件成为平行四边形
6 0.65 角度问题(旋转综合题)
7 0.65 数图形中平行四边形的个数
8 0.65 判断三边能否构成直角三角形；线段垂直平分线的性质；利用平行四边形的性质证明；用勾股定理解三角形
9 0.65 三角形中位线的实际应用；图形类规律探索
10 0.65 平行四边形性质和判定的应用；作垂线(尺规作图)
三、知识点分布
二、填空题
11 0.85 多边形对角线的条数问题
12 0.56 与三角形中位线有关的证明；利用平行四边形的性质证明；等边三角形的判定和性质
13 0.65 与三角形中位线有关的求解问题；用勾股定理解三角形
14 0.65 全等的性质和SAS综合（SAS）；添一个条件使四边形是菱形；证明四边形是菱形；利用平行四边形性质和判定证明
15 0.65 坐标与旋转规律问题；求关于原点对称的点的坐标
16 0.65 全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）；利用平行四边形的性质求解
三、知识点分布
三、解答题
17 0.76 等腰三角形的性质和判定；利用平行四边形的性质证明
18 0.68 与三角形中位线有关的证明；化为最简二次根式；用勾股定理解三角形；利用平行四边形性质和判定证明
19 0.69 全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）；利用平行四边形的性质求解
20 0.68 根据平行线判定与性质求角度；角平分线的有关计算；三角形的外角的定义及性质；利用平行四边形性质和判定证明
21 0.65 利用平移的性质求解；利用平行四边形的判定与性质求解
22 0.65 全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）；利用二次根式的性质化简；利用平行四边形的性质求解；利用平行四边形的性质证明；证明四边形是平行四边形；用勾股定理解三角形；利用平行四边形性质和判定证明
23 0.65 根据旋转的性质求解；根据旋转的性质说明线段或角相等；等腰三角形的性质和判定；三角形内角和定理的应用
24 0.63 与三角形中位线有关的求解问题；与三角形中位线有关的证明；全等的性质和SAS综合（SAS）；利用平行四边形性质和判定证明2025—2026学年八年级数学下学期单元测试卷
第4章 平行四边形单元测试·提分卷
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（每题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．下列图案是中心对称图形的是（ ）
A．中国火箭 B．中国火星探测
C．神舟 D．中国行星探测
2．过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成3个三角形，则这个多边形是（ ）
A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．七边形
3．如图，在中，，点，分别在边和上，且，，连接，，分别是和的中点，连接，则（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在中，对角线，交于点，过点作于点，为上一点，连接．若，，，则的面积为（ ）
A．6 B．7.5 C．8 D．10
5．如图，在四边形中，，对角线和交于点O，要使四边形成为平行四边形，则应添加的条件是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，将绕点顺时针旋转得到，若点共线，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
7．如图，中，，则图中共有平行四边形的个数为（　　）
A．9个 B．8个 C．7个 D．6个
8．如图，在中，对角线相交于点，过点作交于点，若，则的长为（ ）
A． B．6 C． D．8
9．如图，的周长是2，以它的三边中点为顶点组成第1个三角形，再以的三边中点为顶点，组成第2个三角形，…，则第个三角形的周长为（ ）

A． B． C． D．
10．已知，求作的中线，两位同学给出了如图所示的两种方案，对于方案、，说法正确的是（ ）
方案 作法： （1）分别以点，为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，； （2）作直线，交于点，即为所求． 方案 作法： （1）分别以点，为圆心，，长为半径作弧，两弧相交于点； （2）作直线，交于点，即为所求．
A．可行、不可行 B．不可行、可行
C．、都可行 D．、都不可行
二、填空题（每小题 3 分，共 18 分）
11．一个多边形从一个顶点出发共有8条对角线，那么这个多边形是__________边形．
12．在中，，对角线与相交于点O．已知点E，F分别在边，上，且，连接与．若点M，N分别为，的中点，连接，则=_______．
13．如图，已知中，，，，将绕点顺时针旋转得到，是中点，连接，则的长为________．
14．如图，在中，对角线相交于点，点在上，且，添加一个适当的条件，使四边形是菱形，这个条件可以是________．（填一个正确条件即可）
15．如图，在平面直角坐标系中，长方形的两边与坐标轴重合，．将长方形绕点逆时针旋转，每次旋转，则第2026次旋转结束时，点的坐标是_____．
16．如图，在中，对角线与相交于点，点在上，直线交于点．若，，，则的周长为______．
三、解答题（第 17，18，19，20，21 ，22题每题 10分，第 23题每题 12 分，共 72 分）
17．如图，已知在中，的平分线交于点，连接．
(1)求证：；
(2)若，，求的度数．
18．在中，，，分别是边，的中点，延长到点，使，连接，，．
(1)求证：四边形是平行四边形．
(2)连结，交于点，若，求的长．
19．如图，在中，直线过对角线的中点O，分别交，于点E，F，且．
(1)已知，求的度数．
(2)猜想与的数量关系，并证明你的猜想．
20．如图1，将线段平移至，使点A与点D对应，点B与点C对应，连接，．

(1)填空：与的位置关系为______；
(2)如图2，E为延长线上一点，连接，，且，作平分交于点F，
①若当，时，求的度数；
②试探究与之间的数量关系，并说明理由．
21．如图，在中，，，将此三角形沿方向平移得到，点A、B、C的对应点分别为点、、，此时边与边AC相交于点D，连接．
(1)若，试求和的度数；
(2)若点落在BC的中点处，且，求四边形的面积．
22．如图，在矩形中，和相交于点O，，垂足为E，，垂足为F，连接和．
(1)若，，求的长；
(2)求证：四边形为平行四边形．
23．如图，在中，，将绕点C顺时针旋转得到，点B的对应点为点E，点A的对应点D落在线段上，与相交于点F，连接．
(1)求证：平分；
(2)若，求的度数．
24．数学课上，我们探究过三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半．以下是对此定理的探究及证明过程：
已知：如图①，在中，，分别是，的中点．
求证：且．
(1)【定理探究】某数学小组有甲、乙、丙三位同学．他们在思考后说出了添加的辅助线：
甲：如图②，延长至点，使，连接
乙：如图③，延长到点，使，连接，，．
丙：如图④，作于点，延长，使，延长，使，连接，．
三位同学所作的辅助线能证明三角形中位线定理的是___________．
A．仅甲、乙 B．仅乙 C．仅乙、丙 D．甲、乙、丙
(2)【定理证明】请你按“乙同学”所作的辅助线将证明过程补充完整．
(3)【定理应用】如图⑤，，两地被池塘隔开，不能直接测量它们之间的距离．小颖在地面上选了点和点，使，连接，，并分别找到和的中点，．若测得，，则，两地间的距离为 ．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A B A C B A A C A C
1．A
解：选项B、C、D都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，不符合题意；
选项A能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，符合题意．
2．B
解：设这个多边形是边形，
∵边形过一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成个三角形，题目中分成了个三角形，
∴，
解得，
因此这个多边形是五边形，
3．A
连接，取的中点，连接，，延长线交于点，作，交延长线于点，则，由三角形的中位线定理，可得，，，，由平行线的性质可得，由直角三角形的两个锐角互余，结合等角对等边可得，根据勾股定理可得，即可得．
解：连接，取的中点，连接，，延长线交于点，作，交延长线于点，则，
∵是的中点，是的中点，是的中点，
∴，，，，
∴，
∵，，，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
4．C
根据平行四边形的性质，得，，利用勾股定理，可求，从而，，再根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”，可得四边形是平行四边形，进而可得，，最后根据三角形的面积公式计算即可．
解：在中，对角线，交于点，，
，，
，，
，
，
，即，
，，，
，
，，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
．
5．B
本题考查平行四边形的判定定理，三角形全等的判定，平行线的性质，根据平行四边形的判定定理对选项依次判断即可．
解：A、仅且，四边形可能是等腰梯形，无法判定为平行四边形，故 A错误；
B、∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形．故B正确．
C、由无法判定为平行四边形，故C错误；
D、且，四边形可能是等腰梯形，故D错误；
故选：B．
6．A
利用旋转的性质和三角形内角和定理即可求解．
解：∵将绕点顺时针旋转得到，且点共线，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
此题主要考查了旋转的性质，同时也利用了三角形的内角和定理，比较简单．
7．A
本题考查平行四边形的定义，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形解答即可．
解：图中的平行四边形为：，，，，，，，，，共个，
故选：A．
8．C
连接，由平行四边形的性质得，因为交于点，所以垂直平分，则，而，则，所以，求得，于是得到问题的答案．
解：连接，
四边形是平行四边形，，对角线相交于点，
，
交于点，
垂直平分，
，
，
，
是直角三角形，且，
，
．
9．A
根据三角形的中位线定理建立周长之间的关系，即可得到答案．
解：的周长是2，以它的三边中点为顶点组成第1个三角形，
，，，
的周长为，
的周长为，
…
以此类推，第个三角形的周长为，
故选：A．
本题考查了找规律-图形的变化类，三角形的中位线定理，熟练掌握三角形的中位线等于第三边的一半是解题的关键．
10．C
本题考查了作图基本作图与平行四边形的判定和性质，掌握作已知线段的垂直平分线的基本作法和平行四边形的判定和性质是解题的关键．根据过直线外一点作已知直线的垂线的基本作法，网格线的特征进行判断即可．
解：方案是作已知线段的垂直平分线的基本作法，故方案可行，
方案是先根据对边相等的四边形是平行四边形作出以、为邻边的平行四边形，再连接第二条对角线，根据平行四边形的对角线互相平分可知方案可行，
故选：C．
11．十一
从n边形的一个顶点出发有条对角线，根据题意列方程即可求解多边形的边数．
解：设这个多边形的边数为n，
由题意得，，
∴，
∴这个多边形是十一边形．
12．
/
连接，利用平行四边形对角线互相平分得出点为中点，再根据三角形中位线定理求出，的长及，与，的位置关系，进而求出的度数，判定为等边三角形即可求解．
解：连接，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
点，分别为，的中点，
是的中位线，
，，
点在边上，
，
同理可得是的中位线，
，，
点在边上，
，
，，，，
，
，
，
，
是等边三角形，
．
13．
取中点，连接，结合是中点由中位线定理可得，，进而得，由是中点可求长，由旋转得长，即可得长，最后在中利用勾股定理求长即可．
解：如图，取中点，连接，
又∵是中点，
∴是的中位线，
∴，，
∴，
∵是中点，
∴，
由旋转得，
∴，
在 中，
．
14．（答案不唯一）
本题考查添加条件使四边形为菱形，涉及平行四边形的判定与性质、菱形的判定、全等三角形的判定与性质等知识，熟记平行四边形的判定与性质、菱形的判定是解决问题的关键．
根据题意，由平行四边形的性质及已知条件得到，再由平行四边形的判定定理得到四边形是平行四边形，结合邻边相等平行四边形是菱形、对角线相互垂直的平行四边形是菱形添加条件即可得到答案．
解：在中，对角线相交于点，则，
，
，
在四边形中，，则四边形是平行四边形，
当时，四边形是菱形；
当时，四边形是菱形；
当时，四边形是菱形；
当时，四边形是菱形；
当时，是菱形，
平分，
即，
，，，
，
则，即四边形是菱形；
当时，是菱形，
，
，，，
，
则，即四边形是菱形；
当时，是菱形，
平分，
即，
，，，
，
则，即四边形是菱形；
当时，是菱形，
，
，，，
，
则，即四边形是菱形；
此外，还有对角线垂直也可以判定四边形是菱形；
综上所述，选取其中一个即可，
故答案为：（答案不唯一）．
15．
根据长方形的性质求出点B初始位置的坐标，再根据题意可得每4次旋转为一个循环，点B都会回到初始位置，求出2026除以4的余数为2，则第2026次旋转结束时点B的位置即为点绕原点逆时针旋转后的位置，据此可得答案．
解：旋转前，∵四边形是长方形，
∴，
又∵，
∴，
∵将长方形绕点逆时针旋转，每次旋转，且，
∴每4次旋转为一个循环，点B都会回到初始位置，
∵，
∴第2026次旋转结束时点B的位置与第2次旋转结束时点B的位置相同，
∴第2026次旋转结束时点B的位置即为点绕原点逆时针旋转后的位置，
∴此时点B的坐标为．
16．
结合平行四边形的性质推得，，利用角边角证明，再由全等三角形性质得，最后由即可得解．
解：中，，，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
．
17．(1)见解析
(2)
（1）由平行四边形的性质得到，再由平行线的性质和角平分线的定义证明，则可证明；
（2）由平行四边形的性质得到，再证明，则由等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得答案．
（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵的平分线交于点，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，，
∴，
∴．
18．(1)见解析
(2)
（1）根据三角形的中位线定理，可知，，据此即可证明结论；
（2）容易证明，，利用勾股定理求得的长度，进而可求得的长度．
（1）证明：∵，分别为，的中点，
∴，．
∴．
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形．
（2）解：∵，，
∴，．
∵，
∴．
在中，，
∵四边形是平行四边形，
∴，．
在中，，
∴．
19．(1)
(2)，证明见解析
（1）根据平行四边形的性质得到，再根据即可得到答案；
（2）在中，，证明，得到，即可得到结论．
（1）解：在中，，
，
；
（2）解：．
在中，，
，
，
，
，
，即．
20．(1)
(2)①；②，理由见解析
（1）根据平移的性质得到四边形是平行四边形，从而得出；
（2）①由（1）知，则，进而得到，根据角平分线的性质得到，利用求解即可；
②设、，则，根据角平分线的性质得到，进而得到，根据三角形外角的性质得到，从而得出结论．
（1）解：将线段平移至，
且，
四边形是平行四边形，
；
（2）解：①由（1）知，
，
平分交于点F，
；
②，理由如下：
设、，则，
平分，
，
，
是的外角，
，
，
．
21．(1)，
(2)
本题考查了平移的性质，平行四边形的判定及性质等；掌握平移的性质，平行四边形的判定及性质是解题的关键．
（1）由平移的性质得，，结合平行线的性质，即可求解；
（2）由平移的性质得，，，结合平行四边形的判定及性质，即可求解．
（1）解：由平移得：
，，
，
，
；
（2）解：由平移得：
，
，，
四边形是平行四边形，
点落在的中点处，
，
四边形的面积为：
．
22．(1)
(2)见解析
（1）由矩形的性质求出，然后在中，利用勾股定理求解即可；
（2）由矩形的性质得出，证明，再由全等三角形的性质得出，由，得出，由平行四边形的判定可得出结论．
（1）解：∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∵，
∴．
在中，．
（2）证明：∵四边形是矩形，
∴，．
∴．
∵，，
∴，
在和中，
∴．
∵，
∴．
∴四边形是平行四边形．
23．(1)见解析
(2)
（1）根据旋转的性质即可得证；
（2）利用旋转的性质和三角形内角和即可求解．
（1）证明：绕点C顺时针旋转得到，点B的对应点为点E，点A的对应点D落在线段上，
，，
，
，
平分．
（2）解：，，
，
，
．
绕点C顺时针旋转得到，
，，，
，
，
则．
24．(1)D
(2)见解析
(3)26
（1）观察三位同学所作的辅助线，都能证明三角形中位线性质定理；
（2）由，，可得四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质有，，结合，可得，四边形是平行四边形，即可得；
（3）先证明，根据全等三角形的性质可得，从而可得为的中点，再根据为的中点，可得是的中位线，从而可得，就可得．
（1）解：观察三位同学所作的辅助线，都能证明三角形中位线性质定理．
（2）解：如图，
∵，，
∴四边形是平行四边形．
∴，，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形．
∴，，
∴，
，
．
（3）解：连接并延长，交延长线于P，如图：
∵，
∴，，
∵，
∴（），
∴，，
∴为的中点，
∵为的中点，
∴是的中位线，
∴，
∵，
∴，
∴．
∴，两地间的距离为．

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