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浙教版2024 八年级下册
第4章 平行四边形
单元测试·提高卷 试卷分析
三、知识点分布
一、单选题
1 0.95 中心对称图形的识别
2 0.85 利用平行四边形的性质求解
3 0.65 斜边的中线等于斜边的一半；等边对等角；利用平行四边形的判定与性质求解
4 0.65 与三角形中位线有关的证明；斜边的中线等于斜边的一半；线段垂直平分线的性质；作已知线段的垂直平分线
5 0.65 与三角形中位线有关的求解问题；两直线平行内错角相等；角平分线的有关计算；根据等角对等边求边长
6 0.65 全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）；利用平行四边形性质和判定证明
7 0.65 利用平行四边形的判定与性质求解
8 0.65 全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）；直角三角形的两个锐角互余；利用平行四边形的性质证明；用勾股定理解三角形
9 0.65 全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）；等腰三角形的性质和判定；利用平行四边形的性质证明
10 0.65 多边形外角和的实际应用
三、知识点分布
二、填空题
11 0.85 等边对等角；三角形内角和定理的应用；利用平行四边形的性质求解
12 0.85 求点到坐标轴的距离；利用平行四边形的性质求解
13 0.85 多边形内角和问题
14 0.65 与三角形中位线有关的求解问题；斜边的中线等于斜边的一半；全等的性质和SSS综合（SSS）；证明四边形是平行四边形
15 0.65 全等三角形的性质；用勾股定理解三角形；利用平行四边形的判定与性质求解
16 0.65 两直线平行内错角相等；作角平分线(尺规作图)；根据等角对等边求边长；利用平行四边形的判定与性质求解
三、知识点分布
三、解答题
17 0.65 利用平行四边形性质和判定证明
18 0.7 角平分线的判定定理；多边形内角和问题；等边对等角；三角形内角和定理的应用
19 0.65 与三角形中位线有关的求解问题；与三角形中位线有关的证明；利用平行四边形的性质求解；利用平行四边形的性质证明；证明四边形是平行四边形
20 0.65 全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）；利用平行四边形的性质求解；利用平行四边形的性质证明
21 0.65 根据旋转的性质求解；三角形内角和定理的应用；用勾股定理解三角形
22 0.65 角平分线的有关计算；根据等角对等边求边长；利用平行四边形的性质求解；利用平行四边形的性质证明
23 0.56 与三角形的高有关的计算问题；根据旋转的性质求解；等腰三角形的性质和判定；利用平行四边形的性质求解；全等三角形的性质；证明四边形是平行四边形；利用平行四边形的判定与性质求解
24 0.65 平行四边形性质和判定的应用；折叠问题；等腰三角形的性质和判定；利用平行四边形的性质求解；用勾股定理解三角形；利用平行四边形性质和判定证明2025—2026学年八年级数学下学期单元测试卷
第4章 平行四边形单元测试·提高卷
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（每题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．未来将是一个可以预见的时代，下列是国内常见人工智能品牌公司图标，其中是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．在平行四边形中，对角线、相交于点，若，，，则的周长为（ ）
A．21 B．12 C．35 D．14
3．如图，在平行四边形中，，于点E，F为的中点．若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，中，，是边上的中线．按下列步骤作图：①分别以点B，C为圆心，大于线段长度一半的长为半径作弧，相交于点M，N；②过点M，N作直线，分别交于点D，O；③连接．下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，点，分别为的边，的中点，连接，过点作平分，交于点若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
6．如图1，平行四边形中，，为锐角．要在对角线上找点，，使四边形为平行四边形，现有图2中的甲、乙、丙三种方案，则正确的方案是（ ）
A．只有甲、乙才是 B．只有甲、丙才是
C．只有乙、丙才是 D．甲、乙、丙都是
7．如图，已知的面积为，点在线段上，点在线段的延长线上，且，四边形是平行四边形，与交于点，则图中阴影部分的面积为（ ）．
A． B． C． D．
8．如图，为平行四边形的对角线，于点E，于点F，相交于点H，直线交线段的延长线于点G，下列结论：①；②；③；④，其中正确结论的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
9．如图，在平行四边形中，，于点E，于点F，相交于点H，的延长线相交于点．下列结论：①；②；③；④；⑤，其中正确结论的是（ ）
A．①②④⑤ B．①②③④ C．①③④⑤ D．①②③⑤
10．“花影遮墙，峰峦叠窗”苏州园林空透的窗棂中蕴含着许多的数学元素．图①中的窗棂是冰裂纹窗，图②是这种窗棂中的部分图案．若，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．无法确定
二、填空题（每小题 3 分，共 18 分）
11．如图，在平行四边形中，点是边上的一点，、的延长线相交于点，若，则的度数为___________°．
12．如图，在平面直角坐标系中，顶点、、都在坐标轴上，点的坐标为，则面积为__________．
13．如图①是化学实验中利用酒精灯给试管中液体加热的实验装置图，如图②是其简化示意图．若，则的度数为_____．
14．如图，在中，分别是各边的中点，是高，连接，．有如下结论：①四边形是平行四边形；②；③；以上结论正确的有______．
15．我们规定：在四边形中，是边上一点，如果与全等（对应关系不确定），那么点叫做该四边形的“等形点”．在四边形中，，，，，如果该四边形的“等形点”在边上，那么四边形的周长是__________．
16．如图，在中，按以下步骤尺规作图：①以点C为圆心，适当的长为半径作弧，分别交，于点G，H；②分别以点G，H为圆心，大于的长为半径作弧，交于点P；③连接并延长交于点E；④过点E作交于点F．，，则四边形的周长为________．
三、解答题（第 17，18，19，20，21 ，22题每题 10分，第 23题每题 12 分，共 72 分）
17．如图，在中，点分别在上，且．连接，．求证：四边形是平行四边形．
18．如图，点是内一点，于点于点，连接
(1)求证：平分；
(2)若，求的度数．
19．如图，在四边形中，是的中点，、交于点，，．
(1)求证：四边形为平行四边形；
(2)若，，，求的面积．
20．如图，在平行四边形中，过对角线的交点O分别与交于E，F，，，．
(1)求证：；
(2)求四边形的周长．
21．如图，在中，，将绕着点逆时针旋转得到，点的对应点分别为．点落在上，连接．
(1)若，求的度数；
(2)若，求的长．
22．如图，在平行四边形中，，，．点在边上由点向点运动，速度为每秒；点在边上由点向点运动，速度为每秒．点，同时出发，当点运动到点时，两点停止运动，连接，设运动时间为．
(1)用含的代数式分别表示：______，______；
(2)当为何值时，四边形为平行四边形？
(3)当为何值时，点在的平分线上？
(4)当为何值时，四边形的面积是四边形的面积的？
23．如图1，在中，，．点是边上的动点，连接，将绕点旋转至，使点与点重合，连接交于点．
(1)当点为中点时，线段________；
(2)如图2，作交于点，连接交于点．求证：四边形是平行四边形；
(3)在（2）的条件下：
①若，求的度数；
②连接，当时，________．
24．综合与实践
折纸操作简单，富有数学趣味，同学们可以通过折纸开展数学探究．“乐学小组”以“平行四边形纸片的折叠”为主题开展了数学活动：在平行四边形纸片中，E为边上任意一点，将沿折叠，点B的对应点为．
(1)【感知】如图①，若点恰好落在边上时，求证：四边形是平行四边形；
(2)【探究】如图②，若点三点在同一条直线上，求证：；
(3)【应用】如图③，若，连接并延长，交于点F．若平行四边形纸片的面积为6，，求线段的长．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B A C C D D C C B C
1．B
中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可．
解：A．不是中心对称图形，故A不符合题意；
B．是中心对称图形，故B符合题意；
C．不是中心对称图形，故C不符合题意；
D．不是中心对称图形，故D不符合题意．
2．A
根据平行四边形的性质对角线平分，对边相等，结合已知条件，即可求出，，的长度，即可求出的周长．
解：平行四边形中， ，，
，，．
的周长为．
3．C
本题考查了平行四边形的判定与性质、直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质，过点作，交于，连接，则四边形为平行四边形，，由平行四边形的性质可得，，，结合题意可得，由直角三角形的性质得出，从而得出，由平行线的性质并结合等边对等角得出，进而可得，求出，再由等边对等角即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
解：如图，过点作，交于，连接，
∵四边形为平行四边形，
∴，，，
∴四边形为平行四边形，，
∴，，，
∵F为的中点．，
∴，
∵于点E，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：C．
4．C
本题考查了线段垂直平分线的性质，尺规作线段垂直平分线，三角形中位线定理，三角形中线平分三角形面积等知识，掌握这些知识是关键；由作图知是线段的垂直平分线，则，从而可判断选项A正确；由三角形中位线定理可判断选项B正确；由三角形中线的性质可得，从而判断选项D正确；当时得，否则不成立，从而可判断选项C错误．
解：由作图知，是线段的垂直平分线，则，，
故选项A正确；
∵是边上的中线，
∴点E是的中点，
∵点D是的中点，
∴是的中位线，
∴，
故选项B正确；
∵是边上的中线，点D是的中点，
∴，，
∴，
故选项D正确；
当时，，否则不成立，
故选项C错误．
故选：C．
5．D
根据三角形中位线定理得出，，根据平行线的性质，角平分线的定义以及等角对等边可求出，则，即可求解．
解∶点为的中点，，
．
点，分别为的边，的中点，
，，
，
平分，
，
，
，
，
．
6．D
方案甲，连接，由平行四边形的性质得，，则，得四边形为平行四边形，方案甲正确；方案乙，证，得，再由，得四边形为平行四边形，方案乙正确；方案丙，证，得，，则，证出，得四边形ANCM为平行四边形，方案丙正确．
解：方案甲中，连接，如图所示：
四边形是平行四边形，为的中点，
，，
，，
，
四边形为平行四边形，故方案甲正确；
方案乙中，四边形是平行四边形，
，，
，
，，
，，
在和中，
，
，
又，
四边形为平行四边形，故方案乙正确；
方案丙中，四边形是平行四边形，
，，
，
平分，平分，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
四边形为平行四边形，故方案丙正确．
7．C
本题考查了平行四边形的性质和判定，三角形的面积的应用，根据等底等高的三角形面积相等得出的面积和的面积相等，的面积和的面积相等，推出阴影部分的面积等于平行四边形的面积的一半，求出的值即可，掌握知识点的应用是解题的关键．
解：如图，连接，设点到距离为，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵边上的高和的边上的高相同，
∴的面积和的面积相等，同理的面积和的面积相等，即阴影部分的面积等于平行四边形的面积的一半，是，
∵的面积是，，
∴，
∴，
∴阴影部分的面积是，
故选：．
8．C
根据“”可证明，得到，，可对①进行判断；通过判断为等腰直角三角形，得到，根据等角的余角相等得到，再根据平行四边形的性质得到，则，于是可对②进行判断；因为，，由，推出，可对③进行判断；接着由平行四边形的性质得，则，可对④进行判断．
解：在和中，
，
，
，
，
，故①错误；
，，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，，
，故②正确；
，，
，
，故③错误；
，，
，
，
，
，
，
，故④正确；
故选：C．
本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质以及勾股定理，熟练运用平行四边形的性质是本题的关键．
9．B
①由题意可知是等腰直角三角形，故此可得到；②由，证明即可；③先证明≌，从而得到，然后由平行四边形的性质可知；④根据，，即可得；⑤没有条件证明，所以不一定等于．
解：，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，故①正确，符合题意；
，，
，
，，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
，故②正确，符合题意；
在和中，，
≌，
，，
，
，故③正确，符合题意；
四边形是平行四边形，
，
，
；故④正确，符合题意；
根据已知不能推出，故⑤错误，不符合题意；
综上，正确的有①②③④，
故选：B．
本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解此题的关键．
10．C
根据多边形的外角和等于360度，，，可求得的度数．
解：由多边形的外角和等于，
可得，
∵，，
∴，
∴，
即．
11．
先利用平行四边形的性质得到且，再由推出为等腰三角形，算出，最后利用平行线的性质得出．
解：∵在平行四边形中，对边平行，
∴，，
∴，
∵，
∴是等腰三角形，顶角，
∴，
∵，
∴．
12．42
根据平行四边形的性质得到轴，由点的坐标得到，，根据平行四边形的面积公式计算即可．
解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴轴，
∵点的坐标为，
∴，，
∴．
13．/135度
先求出，再根据四边形的内角和求解即可．
解：由题意得：，，
∴，
∵，
∴．
14．①②③
根据三角形中位线定理得到，，继而得到四边形是平行四边形，结论①正确；根据三角形中位线定理和直角三角形斜边中线定理得到，结论③正确；同理可证，根据判定，得到，结论②正确．
解：∵分别是的中点，
是的中位线，
，，
四边形是平行四边形，结论①正确；
分别是边的中点，
是的中位线，
，
，是的中点，
，
，结论③正确；
，同理可得，
在和中，
，
，
，结论②正确．
15．
8或
根据平行线的性质可得，结合“等形点”对应关系不确定的条件，分两种全等对应情况讨论，利用全等三角形的性质、勾股定理求出四边形各边长，进而计算周长．
解：，，
，
四边形的“等形点”在边上，
如图1，当时，可得，，
，，，
四边形是平行四边形，
，
四边形的周长为；
如图2，当时，可得，，，，
，
，
，
，
，
，
，
在中，由勾股定理得，
，
在中，由勾股定理得，
四边形的周长为，
综上所述，四边形的周长为或．
16．12
由平行四边形的性质得，，，证明得，从而，再证明四边形是平行四边形，即可求解．
解：∵中，，，
∴，，，
∴．
由作图可知，，
∴，
∴，
∴．
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴四边形的周长．
17．见解析．
由四边形是平行四边形，得，，然后通过线段的和与差得，再由平行四边形的判定方法即可求证．
证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形．
18．(1)见解析
(2)
（1）根据，得出，即可求证；
（2）先求出，再利用三角形的内角和定理即可解答．
（1）证明：∵，
∴，
∵于点A，于点B，
∴平分（到角的两边距离相等的点在角的平分线上）；
（2）解：∵，于点A，于点B，
∴
∴，
∵，
∴．
19．(1)见解析
(2)20
（1）根据三角形中位线定理证明，由已知即可证明结论；
（2）先求出，，，然后根据三角形面积公式即可求出答案．
（1）证明：∵是的中点，，
∴是的中位线，
∴，
∴．
∵，
∴四边形为平行四边形；
（2）解：∵，是的中位线，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴的面积．
20．(1)见解析
(2)四边形的周长为16
（1）由平行四边形的性质得，，推出，根据可证明，从而得出结论；
（2）根据四边形的周长等于解答即可．
（1）证明：如图，
在中，，，
∴，
又∵，
∴，
∴．
（2）解：由（1）可知，
∴，，
∴，，
在中，，，
四边形BCEF的周长．
21．(1)
(2)
（1）根据三角形内角和定理求出，由旋转的性质得，即可求解；
（2）先用勾股定理解求出斜边长，由旋转的性质得，最后用勾股定理解即可．
（1）解：在中，，
∴，
∵绕着点逆时针旋转得到，点落在上，
∴，
∴，
即的度数为；
（2）解：在中，由勾股定理得，
∵将绕着点逆时针旋转得到，点落在上，
∴，
∴，
在中，
即的长为．
22．(1)，；
(2)当时，四边形为平行四边形；
(3)当时，点在的平分线上；
(4)当时，四边形的面积是四边形的面积的．
本题考查了动点问题、平行四边形的判定与性质，等腰三角形的性质，解决本题的关键是根据平行四边形的性质找到边、角之间的关系．
根据点在边上由点向点运动，速度为每秒，可得：；根据点在边上由点向点运动，速度为每秒，可得：；
根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可得：，解方程求出；
连接，根据角平分线的性质和平行四边形的性质，可得：，所以可得：，解方程即可求出；
根据平行四边形的面积公式和梯形的面积公式可得：，解方程即可求出
（1）解：点在边上由点向点运动，速度为每秒，
，
，
；
点在边上由点向点运动，速度为每秒，
，
故答案为：，；
（2）解：四边形为平行四边形，
，
，
，
当时，四边形为平行四边形；
（3）解：如下图所示，连接，
在平行四边形中，，，
，，，
，
点在的平分线上，
，
，
，
，
解得：，
当时，点在的平分线上；
（4）解：设平行四边形的边上的高为，
四边形的面积是四边形的面积的，
，
解得：
当时，四边形的面积是四边形的面积的
23．(1)3
(2)见解析
(3)①；②
（1）根据旋转的性质求解即可；
（2）由等边对等角可得，由旋转的性质可知，，进而推出，则，即可证明；
（3）①根据旋转和等边对等角的性质，得出，进而推出，则，再根据平行四边形对角相等求解即可；
②连接交于点，根据同底等高三角形面积相等，推出，由旋转的性质可知，得到，再利用面积的和差计算即可．
（1）解：，点为中点，
，
由旋转的性质可知，，
；
（2）证明：，
，
由旋转的性质可知，，
，，
，
，
，
，
，
又，
四边形是平行四边形；
（3）解：①由旋转的性质可知，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
；
②如图，连接交于点，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
由旋转的性质可知，，
，
设，，
，，
．
24．(1)见解析；
(2)见解析；
(3)．
（1）由折叠的性质结合平行四边形的性质得到，推出，即可证明四边形是平行四边形；
（2）由折叠的性质结合平行四边形的性质证明是等腰三角形，即可得出结论；
（3）延长交于点H，由折叠的性质先证明是等腰三角形，得到，根据平行四边形的性质得到，易证是等腰三角形，用平行四边形的面积公式即可求出，进而得到，利用勾股定理即可解答．
（1）解：四边形是平行四边形，理由如下：
由折叠的性质可得：，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，，
，
四边形是平行四边形；
（2）证明：由折叠的性质可得：，
四边形是平行四边形，
，
，
，
点三点在同一条直线上
是等腰三角形，
；
（3）解：如图，延长交于点H，
由折叠的性质可得：，
，
，
是等腰直角三角形，
，
四边形是平行四边形，，
，，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
．
本题考查平行四边形的判定及性质，翻折的性质，等腰直角三角形的判定及性质，勾股定理等知识点，熟练掌握相关性质定理是解决问题的关键．

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