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2025—2026学年八年级数学下学期单元测试卷
第5章 特殊平行四边形 单元测试·基础卷
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（每题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．矩形具有而菱形不具有的性质是（ ）
A．对角线互相垂直 B．四条边都相等
C．两组对边分别平行 D．对角线相等
2．如图，小明能用一根绳子检查一个书架的侧边与上、下底垂直，他的依据是（ ）
A．有一个角是直角的平行四边形是矩形 B．对角线相等的四边形是矩形
C．对角线相等的平行四边形是矩形 D．有三个角是直角的四边形是矩形
3．如图，在矩形中，点E在边上，，连接，若，，则的长为（ ）
A． B．10 C． D．
4．如图，在矩形中，，．把沿折叠，使点恰好落在边上的处，再将绕点顺时针旋转，得到，使得恰好经过的中点．设交于点，连接．有如下结论：①；②；③的长度是；④．上述结论中，正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．如图，正方形的边长为是边上的一动点，以为边向左作正方形，连接，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，点是正方形内一点，连接．若是等边三角形，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在平行四边形中，平分，，若，，平行四边形的面积为144，则线段的长为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
8．如图，中，，，分别以点和点为圆心，长为半径作弧，两弧交于点，连接，以点为圆心，长为半径作弧，交于点，连接，则的长为（ ）
A．5 B． C．6 D．
9．如图，在菱形中，对角线与交于点O，点E为中点．若，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，直线平分，且平移恰好到．下列结论中：①平分；②；③平分；④．一定正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（每小题 3 分，共 18 分）
11．如图，在矩形中，，交于点，，，分别是线段，的中点，则的长为_____．
12．如图，在正方形中，是边上一动点（不与、重合），对角线、相交于点，过点分别作、的垂线，分别交、于点、，交．于点、，下列结论：①；②；③；④当是的中点时，．其中正确的结论有______．
13．如图，为正方形内一点，，，，将绕点按顺时针方向旋转，得到，延长交于点，连接．则的面积为______
14．如图，四边形是边长为6的正方形，点E在边上，，过点E作，分别交于点G、F，点H、M、N、P分别是的中点，则的长是________．
15．如图，分别为四边形各边的中点，当四边形满足条件_________时，四边形是菱形；当四边形满足条件________时，四边形是矩形．（请填上你认为正确的一个条件即可）
16．如图，菱形的对角线和相交于点O，，垂足为E，若菱形的周长为20，，则的长为_________．
三、解答题（第 17，18，19，20，21 ，22题每题 10分，第 23题每题 12 分，共 72 分）
17．如图，在矩形中，已知，点E、F分别为、上两点，连接、．
(1)如图1，当时，连接，且．
①已知，，求的长；
②已知，求的值；
(2)如图2，若平分，且，延长交延长线于点Q，若，，求k的值．
18．如图1，过的对角线交点作两条互相垂直的直线，分别交于四点，连接．
(1)试判断四边形的形状，并说明理由．
(2)如图2，如果四边形是正方形，其它条件不变，试判断四边形的形状并说明理由．
19．2026年，我国多地实行中小学生春假制度．春假期间，同学们走出课堂、积极参与实践活动．小明在学习了菱形的相关知识后，动手制作了一款由三个全等菱形组成的木制活动衣帽架，该衣帽架可灵活调节挂钩间距，既实用又美观．如图，在A、E、F、C、G和H处安装上、下两排挂钩，可以根据需要改变挂钩间的距离，并在B，M处固定．若菱形的边长为，要使两排挂钩间的距离为，则B、M之间的距离为多少？
20．如图，四边形是菱形，，点，在上，，连接，，，．
(1)求证：四边形是菱形．
(2)若，，求四边形的周长．
21．如图，四边形中，对角线相交于点O，，，且．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，求四边形的周长．
22．小华家院子里有如图一把遮阳伞，他发现在一天当中，遮阳伞保持不动的情况下，伞下的投影长度会随着时间推移而变化，于是他测量了相关数据，并画出了侧面示意图．已知遮阳伞支架垂直于地面，点D在上，，D、E、F三点共线，．如图，当太阳光线与垂直时，此时太阳光线与地面的夹角正好为．
(1)求的长；
(2)求落在地面上的投影的长．
23．如图，在四边形中，，，．延长到E，使，连接．动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿向终点A运动，设点P运动的时间为t秒（）．
(1)四边形的形状为 ；
(2)当 时，点P运动到的角平分线上；
(3)请用含t的代数式表示的面积S；
(4)当时，直接写出点P到四边形相邻两边距离相等时t的值．
24．如图，过菱形的对角线的中点O作两条互相垂直的直线，分别交，，，于E，F，G，H四点，连接，，，．
(1)判断四边形的形状，并说明理由．
(2)若，，，求四边形的面积．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C A D B C B D B D
1．D
根据矩形和菱形的性质逐一判断选项，即可得到答案。
解：A 对角线互相垂直是菱形具有矩形不具有的性质，不符合要求；
B 四条边都相等是菱形具有矩形不具有的性质，不符合要求；
C 两组对边分别平行是矩形和菱形都具有的性质，不符合要求；
D 对角线相等是矩形具有而菱形不具有的性质，符合要求。
2．C
本题考查了矩形的判定，熟练掌握矩形的判定定理是解题的关键．根据矩形的判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形即可判定．
解：小明用一根绳子检查一个书架的侧边与上、下底垂直，推理依据是对角线相等的平行四边形是矩形．
故选：C．
3．A
先在直角三角形中利用勾股定理求出的长度，从而得到的长度，进而得出和的长度，最后在直角三角形中用勾股定理求出的长度．本题主要考查了矩形的性质以及勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
解：∵ 四边形是矩形
∴ ，，，
∵ ，，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
4．D
证明四边形是正方形，可求，，求出，结合是的中点可判断①正确；取的中点，连接，可证是等边三角形，从而可求，进而可判断②正确；求出，进而可判断③正确；由，，可求，进而可判断④正确．
解：四边形是矩形，
，
四边形是矩形，
由折叠得：，
四边形是正方形，
，
，
是的中点，
．故①正确；
在中
，
如图，取的中点，连接，
，
，
是等边三角形，
，
，
，故②正确；
在中
，
由旋转得：，
，故③正确；
四边形是正方形，
，
，，
，
，故④正确．
①②③④均正确．
故选D．
本题考查了旋转的性质，矩形的性质，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质等知识，灵活运用这些性质进行推理证明是本题的关键．
5．B
延长到，使，连接，，证明，得，根据，，得是线段的垂直平分线，则，由此得，因此当为最小时，为最小，根据“两点之间线段最短”得，据此得当点，，共线时，为最小，最小值为线的长，继而得的最小值为线段的长，然后在中，由勾股定理求出即可得出答案．
解：延长到，使，连接，，如图所示:
∵四边形是正方形，且边长为3，
∴，，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴是线段的垂直平分线，
∴，
∴，
∴当为最小时，为最小，根据“两点之间线段最短”得：，
∴当点，，共线时，为最小，最小值为线段的长，
∴的最小值为线段的长，
在中，，，
由勾股定理得：，
∴的最小值是，
6．C
根据正方形的性质得到，，，根据等边三角形的性质得到，，则，，最后根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求解．
解：∵正方形，
∴，，，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，，
∴，
∴．
7．B
过点A作于点G，证明四边形为菱形，得出，，，，根据勾股定理求出，根据，求出，根据，求出结果即可．
解：过点A作于点G，如图所示：
∵四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴四边形为菱形，
∴，，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
8．D
先由作图得，结合，可推出四边形是菱形，根据菱形的性质得，，则，再由勾股定理分别求出、即可．
解：如图，连接交于点，
由作图得，
又∵，
∴，
∴四边形是菱形，
∴，，
∴，
∵，
∴．
9．B
根据菱形的性质求出的度数，利用菱形对角线平分对角的性质求出的度数，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出，利用等边对等角即可求解．
解：∵四边形是菱形，，
∴，，
∴，
∵菱形的对角线平分，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∵点E为中点，
∴是斜边上的中线，
∴，
∴，
∵，
∴．
10．D
本题考查了平行线的性质，矩形的判定和性质，角平分线的计算，根据题意得到，，可判定①正确；根据平行四边形，矩形的判定方法得到四边形是矩形，由此可判定②③④，由此即可求解．
解：∵，即，
∴，，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴平分，故①正确；
∵平移到，
∴，
∴四边形是平行四边形，
又，
∴平行四边形是矩形，
∴，故②正确；
∵四边形是矩形，
∴，，故④正确，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∵平分，即，
∴，
∴平分，故③正确；
综上所述，正确的有4个，
故选：D ．
11．
9
根据矩形的性质和三角形的中位线定理即可得出结果.
解：∵在矩形中，，
∴，
∵，分别是线段，的中点，
∴.
12．①③
根据正方形的性质证明全等，可判断①结论；根据正方形的性质证明边形是矩形，可判断②结论；过点作交于点，分别证明四边形是平行四边形，四边形是正方形，可判断③结论；同③理可证，四边形、是正方形，可判断④结论．
解：四边形是正方形，
，
，
，
又，
，①结论正确；
四边形是正方形，
，
，
四边形是矩形，
，
，②结论错误；
如图，过点作交于点，
，，
，
四边形是平行四边形，
，
由①可知，，
，
，
垂直平分，
，
，，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
又，
四边形是正方形，
，
，③结论正确；
设正方形的边长为，则，
是的中点，
，
同③理可证，四边形、是正方形，
，
，
，，
，④结论错误，
故答案为：①③．
本题考查了正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，垂直平分线的判定和性质等知识，掌握相关知识点是解题关键．
13．//
本题考查旋转的性质、勾股定理、正方形的判定与性质，熟练掌握旋转的性质、勾股定理、正方形的判定与性质是解答本题的关键．
由旋转得，，，，，可得出四边形为正方形，可得．在中，由勾股定理得，，则，，即可解答．
解：由旋转得，，，，
，
四边形为矩形，
，
四边形为正方形，
，
在中，由勾股定理得，，
，
，
，
故答案为：．
14．
先证四边形和都是矩形，由是等腰直角三角形，M是的中点，可得．由“矩形的对角线相等且互相平分”可得，且N是的中点．根据勾股定理求出的长，即可求出的长．
解：如图，连接、，
∵四边形是正方形，
．
又，
，
，
∴四边形和都是矩形，
．
．
，
是等腰直角三角形．
∵M是的中点，
，
．
∵四边形是矩形，
．
又∵N是的中点，
∴N是的中点，
．
15．
连接，利用三角形的中位线定理，先证明四边形为平行四边形，再根据邻边相等的平行四边形为菱形，有一个角是直角的平行四边形为矩形，即可得出答案．
解：连接，
∵分别为四边形各边的中点，
∴是的中位线，是的中位线，是的中位线，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形，
当时，四边形为菱形，
∵，
∴当时，四边形为菱形，
当，即时，四边形为矩形，
∵，
∴当时，四边形为矩形．
16．
根据菱形的性质求出的长度，再利用等面积法求出答案．
解：∵四边形是菱形，且周长为，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∵，且，
∴，
解得．
17．(1)①10；②
(2)
（1）①首先由得到，证明出四边形是正方形，然后利用勾股定理求解即可；
②如图所示，延长到点G使，证明出，得到，然后利用勾股定理求出，得到，进而求解即可；
（2）如图所示，连接，设，，证明出，得到，，然后表示出，勾股定理得到，表示出，由得到，然后代入求出，，进而求解即可．
（1）①∵在矩形中，已知，
∴当时，
∴
∴四边形是正方形
∴
∵，
∴；
②如图所示，延长到点G使
∵四边形是正方形，，
∴，
∵
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∴；
（2）如图所示，连接
∵
∴设，
∵四边形是矩形
∴，设
∴
∴
∵，
∴
∴，
∴
∵平分
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∴代入得，
∴，即
∴
∴
∴
∴，
∴．
此题考查了正方形的性质和判定，矩形的性质，勾股定理，全等三角形的性质和判定，等角对等边等知识，解题的关键是掌握以上知识点．
18．(1)四边形的形状是菱形；理由见解析
(2)四边形是正方形；理由见解析
（1）先证明，可得，同理可得，结合，即可证明四边形是菱形．
（2）先证明，可得，同理可得，结合，即可证明四边形是菱形，进而证明，可得，即可证明菱形是正方形．
（1）解：四边形的形状是菱形．
理由如下：在平行四边形中，，
．
在和中，，
．
．
同理可得，
四边形是平行四边形．
，
四边形是菱形；
（2）解：四边形的形状是正方形．
理由如下：在正方形中，，
．
在和中，，
．
．
同理可得，
四边形是平行四边形．
，
四边形是菱形．
，
．
在和中，，
．
，
．
菱形是正方形．
19．B、M之间的距离为30厘米
理解图形结构，识别出B到M的距离是由三个菱形的水平对角线长度组成，并利用勾股定理求出单个菱形的水平对角线长度．
解：如图，设菱形的对角线、相交于点O，
∵四边形是菱形，
∴，，，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∵衣帽架由三个全等菱形组成，且B、M为固定点，
∴B、M之间的距离为3个菱形水平对角线的长度之和，
∴，
即B、M之间的距离为30厘米．
20．(1)见解析；
(2)四边形的周长为．
（）连接，交于点，由菱形的性质可得，，，从而得，所以四边形是平行四边形，又，故平行四边形是菱形，从而求证；
（）连接，交于点，由四边形是菱形，得，，，通过勾股定理求得，因为四边形是菱形，所以，，由勾股定理得，即可求出四边形的周长．
（1）证明：如图，连接，交于点，
∵四边形是菱形，
∴，，，
∵，
∴，即，
∴四边形是平行四边形，
又，
∴四边形是菱形；
（2）解：如图，连接，交于点，
∵四边形是菱形，
∴，，，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∵四边形是菱形，
∴，，
在中，由勾股定理得：，
∴四边形的周长为．
21．(1)见解析
(2)28
（1）根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可证明四边形是平行四边形，根据三角形外角的性质和已知条件可证明，得到，则可证明，据此可证明结论；
（2）根据矩形的性质可得，利用勾股定理求出的长即可得到答案．
（1）证明：∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴平行四边形是矩形；
（2）解：∵四边形是矩形，
∴，
，
∴四边形的周长．
22．(1)
(2)
（1）证明为等边三角形即可求解；
（2）取中点，连接，则，然后证明四边形为矩形，则，再证明为等边三角形，则，则，然后运用勾股定理求解即可．
（1）解：如图，过点G作垂直于，
由题意得，，
∵，
∴
∵，
∴，
∴
∴
为等边三角形，
；
（2）解：如图，取中点，连接，
∵，
∴，
，
∴
∴
∴四边形为矩形，
，
∵，点为的中点，
∴，
同理可证明为等边三角形，
∴，
∴
设，则
在中，由勾股定理得，
∴，
解得
∴．
23．(1)矩形
(2)8
(3)
(4)或或
本题考查矩形的判定、平行四边形的性质、角平分线定理、三角形的面积、全等三角形的判定与性质，解题的关键是综合运用以上知识．
（1）根据，可得四边形是矩形；
（2）根据角平分线定义可得，得，进而可得的值；
（3）根据题意分3种情况讨论：①当点在上运动时，②当点在上运动时，③当点在上运动时，分别用含的代数式表示的面积即可；
（4）当时，点在、边上运动，根据题意分情况讨论：①当点在上，点到边的距离为，点到边的距离也为，②当点在上，点到边的距离为，点到边的距离也为，③当点在上且到与距离一样时．
（1）解：，
四边形是矩形，
故答案为：矩形．
（2）如图，作的角平分线交于，
，
四边形是矩形，
∴，
，
，
，
，
，
，解得．
当时，点运动到的角平分线上；
故答案为：；
（3）根据题意分3种情况讨论：
①当点在上运动时，
，；
②当点在上运动时，
，；
③当点在上运动时，
，；
综上，；
（4）解：当时，点在、边上运动，根据题意分情况讨论：
①当点在上，且点到与距离一样时，
点到边的距离为，
点到边的距离也为，
即，
，解得；
②当点在上，且到与距离一样时，如图，过作于点，
则，即，
，
，
在和中，
，
，
，
，
；
③当点在上，则到与距离一样时，如图，过点作于点，
设，则，
，
，
解得：，
，
．
综上所述：或或时，点到四边形相邻两边距离相等．
24．(1)四边形是菱形，理由见解析
(2)
（1）根据菱形的性质得到，，证明，先证明四边形是平行四边形，再根据即可证明四边形是菱形；
（2）设，则，先证明菱形是正方形，求出，即可得到答案．
（1）解：由菱形可得，，
，
，
，
．
同理可得，
四边形是平行四边形．
又，
∴四边形是菱形．
（2）解：设，则，
，
又菱形中，，，
则，
，
．
∴菱形是正方形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，是等边三角形，
，
，
过点作于点M，
，
，
，
．
，
四边形的面积为．(共5张PPT)
浙教版2024 八年级下册
第5章 特殊平行四边形
单元测试·基础卷 试卷分析
三、知识点分布
一、单选题
1 0.95 矩形性质理解；利用菱形的性质求线段长
2 0.85 证明四边形是矩形
3 0.85 根据矩形的性质求线段长；用勾股定理解三角形
4 0.65 矩形与折叠问题；根据旋转的性质求解；根据正方形的性质与判定证明；用勾股定理解三角形
5 0.62 全等的性质和SAS综合（SAS）；根据正方形的性质求线段长；四边形中的线段最值问题；用勾股定理解三角形
6 0.65 根据正方形的性质求角度；等腰三角形的性质和判定；三角形内角和定理的应用；等边三角形的性质
7 0.65 根据菱形的性质与判定求面积；根据等角对等边证明边相等；用勾股定理解三角形；利用平行四边形的判定与性质求解
8 0.65 根据菱形的性质与判定求线段长；作线段(尺规作图)；用勾股定理解三角形
9 0.65 斜边的中线等于斜边的一半；利用菱形的性质证明；等边对等角
10 0.65 根据平行线的性质求角的度数；根据矩形的性质与判定求角度；根据矩形的性质与判定求线段长；角平分线的有关计算
三、知识点分布
二、填空题
11 0.85 与三角形中位线有关的求解问题；根据矩形的性质求线段长
12 0.65 全等三角形综合问题；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质和判定；根据正方形的性质与判定证明
13 0.65 根据旋转的性质求解；根据正方形的性质与判定求面积；用勾股定理解三角形
14 0.65 斜边的中线等于斜边的一半；根据矩形的性质与判定求线段长；二次根式的应用；根据正方形的性质证明
15 0.65 添一条件使四边形是矩形；添一个条件使四边形是菱形；中点四边形
16 0.65 利用菱形的性质求面积；用勾股定理解三角形
三、知识点分布
三、解答题
17 0.65 全等的性质和SAS综合（SAS）；根据正方形的性质与判定求线段长；用勾股定理解三角形
18 0.62 全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）；证明四边形是菱形；根据正方形的性质与判定证明；利用平行四边形性质和判定证明
19 0.65 用勾股定理解三角形；利用菱形的性质求线段长
20 0.65 实数的混合运算；利用菱形的性质求线段长；利用菱形的性质求面积；证明四边形是菱形；根据菱形的性质与判定求线段长；用勾股定理解三角形；利用平行四边形性质和判定证明
21 0.69 根据矩形的性质求线段长；证明四边形是矩形；用勾股定理解三角形
22 0.65 斜边的中线等于斜边的一半；根据矩形的性质与判定求线段长；利用二次根式的性质化简；等边三角形的判定和性质
23 0.65 角平分线的性质定理；根据矩形的性质与判定求线段长；等腰三角形的性质和判定；（特殊）平行四边形的动点问题
24 0.51 全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）；证明四边形是菱形；二次根式的乘除混合运算；根据正方形的性质与判定求面积；等边三角形的判定和性质；用勾股定理解三角形；利用平行四边形性质和判定证明

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