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2025—2026学年八年级数学下学期单元测试卷
第5章 特殊平行四边形 单元测试·培优卷
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（每题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1． 矩形内部对角线存在固定的数量关系，任意一个标准矩形，其两条对角线之间的关系是（ ）
A．互相垂直且不等 B．长度相等且互相平分
C．互相垂直且相等 D．互不相交且平行
2．如图，四边形和是两个不全等的正方形，连接交于，如果面积为，则面积为（ ）．
A． B． C． D．
3．如图，一个木制的活动衣帽架由3个全等的菱形构成．已知菱形的边长为，当挂钩B、D之间的距离是时，则挂钩A、C之间的距离是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在中，对角线，相交于点，且，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，有大小不同的2个正方形A和B，当B的对角线交点与A的一个顶点重合时，重叠部分的面积是A的，那么当A的对角线交点与B的一个顶点重合时，重叠部分的面积是B的（ ）
A． B． C． D．
6．如图，点，，，分别是四边形的各边中点，顺次连接、、、，当（ ）时，四边形是菱形．
A． B．
C． D．且
7．如图，菱形中对角线相交于点，且，若，，则的长是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，点是矩形的对角线上一点，过作，分别交于点，连接，若，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．10 B．12 C．18 D．24
9．如图，在四边形中，，，，．点从点出发，以的速度沿向终点运动，同时点从点出发，以的速度沿向终点运动．当四边形为平行四边形时，运动时间为（ ）
A．4s B．3s C．2s D．1s
10．如图，将矩形放在平面直角坐标系中，轴，，，若点，则B点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每小题 3 分，共 18 分）
11．如图，将长方形纸片，沿折痕折叠，分别落在对应位置处，交于点E，若，则为 ________ ．
12．如图，在中，对角线，相交于点．在不添加辅助线的前提下，增加一个条件，使得是矩形．这个条件可以是_____．
13．如图，在正方形中，是边上一动点（不与、重合），对角线、相交于点，过点分别作、的垂线，分别交、于点、，交、于点、.给出以下结论：①；②；③；④；⑤当是的中点时，．上述结论中，正确结论的序号有_____．
14．如图，在矩形中，，点P从点A向点D以的速度运动，点Q以的速度从点C出发，在B，C两点之间做往返运动，两点同时出发，点P到达点D时，两点同时停止运动，这段时间内，若以P，Q，C，D四点为顶点的四边形是矩形，那么运动时间为________．
15．如图，木匠师傅在设计窗格时，先做出平行四边形木框，固定边在窗棱上，再连接各边中点E、F、G、H构造出四边形窗花．请问，在向左推动木框的过程中（各点始终在同一平面内），四边形的面积___________（填“先变大后变小”或“始终不变”或“先变小后变大”）．
16．如图，在矩形中，连接，分别以点为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，作直线分别交于点，连接若，则的大小为_____．
三、解答题（第 17，18，19，20，21 ，22题每题 10分，第 23题每题 12 分，共 72 分）
17．如图，点E是平行四边形对角线AC上的一点，对角线交于点O，点F在的延长线上，且，与相交于点G．
(1)求证：；
(2)连接，若，，求证：四边形是矩形．
18．如图，菱形的对角线，相交于点O，于点E，F是的中点，于点G．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，，求菱形的面积．
19．如图，在中，点为线段的中点，延长交的延长线于点，连接．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)连接．若，求的长．
20．如图，有一架秋千，当它静止在的位置时，踏板离地的垂直高度为，将秋千往前推送（即水平距离），到达的位置，此时，秋千的踏板离地的垂直高度为，秋千的绳索始终保持拉直的状态．
(1)求秋千的长度．
(2)如果想要踏板离地的垂直高度为时，求需要将秋千往前推送多少？
21．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，，，AC平分．
(1)求证：四边形ABCD是菱形．
(2)过点C作交AB的延长线于点E，连接OE交BC于点F，若，求的度数．
22．【问题情境】如图，在矩形中，．
(1)【初步尝试】如图1，点P为边上一点，若点A关于直线的对称点正好是对角线的中点，则___________；
(2)【深入探究】如图2，点Q为边上一点，且，连接，若，；
①求n的值；
②将沿翻折，点C的对应点为点E，与交于点G，过点E作于H，求线段的长；
(3)【拓展延伸】如图3，若，，点P、Q分别是边上的动点，点M是矩形内一动点，且，，N为上一点，，连接，求的最小值．
23．四边形为正方形，为线段上一点，连接，过点作，交射线于点，以，为邻边作矩形，连接．
(1)如图①，求证：矩形是正方形；
(2)若，，求的长度；
(3)当线段与正方形的某条边的夹角是时，求的度数．
24．综合与实践
【模型建立】如图1，在正方形中，E，F分别是边上的点，且 ，探究图中线段之间的数量关系．
小明的探究思路如下：延长到点 G，使，连接，先证明，再证明，则之间的数量关系为 ．
【类比探究】如图2，在四边形中， 与 互补，E，F分别是边上的点， 且 那么线段之间具有怎样的数量关系？判断并说明理由．
【拓展应用】如图3，在 中，，D，E在上， 若 那么线段围成的三角形的面积为 ．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C D A B C B D B A
1．B
解：矩形的两条对角线长度相等且互相平分，对应选项B正确．
2．C
连接、，由正方形的性质可得，，则，，结合等量代换可得．
解：如图，连接、，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴．
3．D
解：连接，交于O，由题意，点E在上，
由已知，cm，则cm，
∴cm，
∵四边形为菱形，边长为13cm，
∴cm
∴cm
4．A
本题考查了矩形的判定与性质，平行四边形的性质，掌握对角线相等的平行四边形是矩形，矩形的内角为直角是解题的关键．
根据平行四边形对角线相等的性质判定为矩形，利用矩形的角为直角，结合已知角度计算的度数．
解：∵在中，对角线，
∴四边形是矩形，
．
，
．
故选：A．
5．B
本题考查了全等三角形的判定和性质，涉及到正方形性质的应用，正确认识图形是解题的关键．
根据题意，结合图形，先得到图1中，结合已知条件，得到，结合图2，得到结果．
解∶如图，设正方形的面积为，正方形的面积为，图1中阴影部分面积为，图2中阴影部分面积为，
∵图1中，，，，
∴（），
∴，
∵，
∴，
∴，
同理，图2中，，
∴，
即当的对角线交点与的一个顶点重合时，重叠部分的面积是的，
故选∶．
6．C
利用三角形中位线定理，将四边形的边长与原四边形的对角线和的长度建立联系，再根据邻边相等的平行四边形是菱形即可解答．
解：如图，连接，，
点，，，分别是四边形的各边中点，
，，
，
同理可得，，
四边形是平行四边形，
当时，平行四边形是菱形，
，即，
故选：．
7．B
由菱形的性质得到，，，由勾股定理得到，利用即可得到的长．
解：∵四边形是菱形，
∴，，，
∴，
∴，
∵，
∴．
8．D
过点作构造矩形，利用矩形对角线平分所在矩形面积的性质，证明两个阴影三角形面积相等，算出单个阴影三角形面积进而求得阴影总面积．
解：如图，过点作，交于点，交于点，
则四边形、四边形、四边形、四边形为矩形，，
，，，，，
，
，
，，
，
．
9．B
本题考查了平行四边形的判定与性质、动点问题的分析知识点，掌握平行四边形对边相等的性质以及根据动点位置表示线段长度的方法是解题的关键．
先判断点的位置：当四边形为平行四边形时，点必须在上，利用平行四边形对边相等的性质，列方程求解运动时间．
解：由题意可知，当四边形为平行四边形时，点在上．
设运动时间为，则，．
根据题意，得，解得．
故选：B．
10．A
延长交y轴于点E，则轴．即有，则A点的横坐标为3；根据轴，可得A点的纵坐标与D点的纵坐标相同，进一步问题得解．
解：延长交y轴于点E，则轴．

∵，，
∴，
∴A点的横坐标为3；
∵轴，，
∴A点的纵坐标与D点的纵坐标相同，为3，
∴B点的坐标为．
11．
本题考查了矩形的性质、折叠的性质、平行线的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
作，根据平行线的性质解题即可．
解：如图，作，
∵，
∴，
由折叠得，，
∴，
∴．
故答案为：．
12．（答案不唯一）
解： 四边形 是平行四边形，
若添加条件，
根据对角线相等的平行四边形是矩形，
四边形 是矩形．
故答案为 （答案不唯一）．
13．①②④
根据正方形的性质证明全等，可判断①结论；根据正方形的性质证明边形是矩形，可判断②结论；连接交于点，若，则是等边三角形，，可判断③结论；过点作交于点，分别证明四边形是平行四边形，四边形是正方形，可判断④结论；同④理可证，四边形、是正方形，可判断⑤结论．
解：四边形是正方形，
，
，
，
又，
，①结论正确；
四边形是正方形，
，
，
四边形是矩形，
，
，②结论正确；
如图，连接交于点，
四边形是矩形，
，
若，则，
是等边三角形，
，
，
是边上一动点（不与、重合），
不确定，③结论错误；
如图，过点作交于点，
，，，
，
四边形是平行四边形，
，
由①可知，，
，
，
垂直平分，
，
，，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
又，
四边形是正方形，
，
，④结论正确；
设正方形的边长为，则，
是的中点，
，
同④理可证，四边形、是正方形，
，
，
，，
，⑤结论错误，
故答案为：①②④．
本题考查了正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，垂直平分线的判定和性质等知识，掌握相关知识点是解题关键．
14．或；
本题考查了矩形的判定，根据四边形是矩形得到，，根据运动表示出、，结合矩形的判定得到当时以P，Q，C，D四点为顶点的四边形是矩形列式求解即可得到答案；
解：∵四边形是矩形，
∴，，
∵，点P从点A向点D以的速度运动，点Q以的速度从点C出发，在B，C两点之间做往返运动，
∴，或，
∵以P，Q，C，D四点为顶点的四边形是矩形，
∴，
∴或，
解得：或，
故答案为：或．
15．先变大后变小
连接，证明四边形的面积是平行四边形的面积的一半，再根据平行四边形的面积的变化情况：先变大后变小，而得出四边形的面积也是先变大后变小．
解：连接，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵分别是的中点，
∴,
又，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
同理可得：，
∴，
∴,
在变化过程中，不变，边上的高由短变长再变短，
∴平行四边形的面积先变大再变小，
∴平行四边形的面积先变大再变小．
16．/66度
设与交于点，由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线，结合矩形的性质可得出四边形为菱形，再进一步可得答案．
解：设与交于点，
由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线，
，，，．
四边形为矩形，
，
，，
，
，
，
四边形为菱形，
∴，，
∵，
∴，
∴．
17．(1)见解析
(2)见解析
（1）连接，交于点，证出是的中位线，得，即；
（2）先证明，即可由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，再证明对角线，由对角线相等的平行四边形是矩形即可证明．
（1）证明：连接，交于点，如图所示：
四边形是平行四边形，
，
，
是的中位线，
∴，
即；
（2）证明：如图，
由（1）知是的中位线，
∴
∵
∴，
由（1）知，即，
∴四边形是平行四边形，
∵平行四边形，
∴
∵，
∴
∵
∴
∴，
∴四边形是矩形．
18．(1)见解析
(2)
（1）由菱形的性质得出是的中位线，进而得出四边形是平行四边形，再由垂直可得四边形是矩形；
（2）由已知条件得出，再由菱形的性质得出、、、的面积相等，从而得出菱形的面积．
（1）证明：四边形是菱形，
，
是的中点，
，
，，
，，
四边形是平行四边形，
又，
四边形是矩形；
（2）解：由（1）可知，四边形是矩形，是的中位线，
，，
，
，
四边形是菱形，
，，，
，
，
菱形的面积为．
19．(1)见解析
(2)
（1）根据平行四边形的性质证明，证明四边形是平行四边形，再根据得到结论即可；
（2）过点作于点，由矩形的性质得到，证明为的中位线，求出，再根据勾股定理进行计算即可．
（1）证明：为的中点，
，
四边形是平行四边形，
，
又，
，
四边形是平行四边形，
，
，
平行四边形是矩形；
（2）解：如图，过点作于点，
四边形是矩形，
，
，
，
，
为的中位线，
，
四边形是平行四边形，
，
，
在中，由勾股定理得：，
即的长为．
20．(1)
(2)
（1）由题意得，四边形是矩形，，则可求出的长，进而求出的长，设，则，再利用勾股定理求解即可；
（2）当时， ，，利用勾股定理求出此时的长即可得到答案．
（1）解：由题意得，四边形是矩形，，
∴，
∴，
设，则
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴，
答：秋千的长度为；
（2）解：当时， ，
∴，
在中，由勾股定理得，
答：需要将秋千往前推送．
21．(1)见解析；
(2)．
（1）由，平分，得，，结合，得，又，四边形ABCD是平行四边形，又，即可求证，
（2）由ABCD是菱形，得，，，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半，得，，，，，
本题考查了，平行四边形的性质，菱形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，直角三角形斜边中线等于斜边一半，解题的关键是：熟练掌握相关性质定理．
（1）解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
又，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又，
∴四边形ABCD是菱形，
（2）解：由（1）可知四边形ABCD是菱形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
22．(1)
(2)①；②
(3)
（1）连接，先根据矩形的性质和对称性质可得，进而可得是等边三角形，则，利用三角形的内角和定理可求解；
（2）①利用矩形的性质和勾股定理求解即可；
②根据矩形性质和折叠性质推导出，则，设，在中，由勾股定理可求得，，进而利用三角形的面积公式求解即可；
（3）过M作于S，于K，连接，先证明四边形是正方形得到，，，点B与点D关于对称，再证明四边形是正方形得到M在上运动，连接，，由对称性质得到，当D、M、N共线时，取等号，的最小值为的长，在中，利用勾股定理求解即可求解．
（1）解：如图1，连接，
∵四边形是矩形，
∴，
∵点A关于直线的对称点正好是对角线的中点，
∴，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴；
（2）解：①∵四边形是矩形，，
∴，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
解得；
②∵四边形是矩形，
∴，，，
∴
由折叠性质得，，，
∴，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理得，
解得，则，，
∵
∴，即
∴；
（3）解：过M作于S，于K，连接，则，
当时，，
则四边形是正方形，
∴，，，点B与点D关于对称，
∴四边形是矩形，
∴，又，
∴，又，，
∴，
∴，
∴四边形是正方形，
∴，
∴M在上运动，
连接，，
∵点B与点D关于对称，
∴，
∴，当D、M、N共线时，取等号，
∴的最小值为的长，
在中，，，
∴，
∴的最小值为．
本题考查矩形的性质、正方形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、对称性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、最短距离问题等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．
23．(1)见解析
(2)
(3)的度数为或
本题主要考查了正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质．
（1）作于点，于点，证明，得到，即可证明矩形是正方形；
（2）先计算正方形对角线长度，根据可得，结合矩形是正方形可得，点与点重合，此时是等腰直角三角形，从而求出的长度；
（3）分类讨论线段与正方形的边的夹角：①当与的夹角为时，点在边上，；②当与的夹角为时，点在的延长线上，．
（1）证明：如图，作于点，于点，
四边形是正方形，
，
，，，
，
，
在和中，
，
，
矩形是正方形；
（2）解：如下图，在中，，
，
，
，
四边形是正方形，
，
，
点与点重合，此时是等腰直角三角形，如下图，
，
即，
解得；
（3）①当与的夹角为时，点在边上，，
则，
在四边形中，由四边形内角和定理，
得，
②当与的夹角为时，点在的延长线上，，如下图所示，
，，
，
综上所述，的度数为或．
24．【模型建立】；【类比探究】，理由见解析；【拓展应用】2
【模型建立】沿着小明的思路，先证，再证，即可得出结论；
【类比探究】延长至点M，使得，连接，先证，再证，即可得出结论；
【拓展应用】将绕点A逆时针旋转得到，连接，则，得，因此，可证得，从而得到，得围成的三角形面积，即可求解．
解：【模型建立】如图1，延长到点 G，使，连接，
∵四边形是正方形，
∴，
∴．
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
在和中，
，
∴．
∴，
∵，
；
故答案为：；
【类比探究】；理由如下：
延长至点M，使得，连接，如图2，
∵与互补，
∴．
∵，
，
在和中，
，
∴，
，
∵，
∴，
∴，
，
∴，
，
在和中，
，
∴，
，
∵，
；
【拓展应用】将绕点A逆时针旋转得到，连接，如图3，
∴，
∴．
∵，
∴，
∵，
，
∴，
，
∵，
∴围成的三角形面积为的面积．
，
故答案为：2．
本题考查了全等三角形的判定与性质、旋转的性质、正方形的性质以及四边形和三角形面积等知识，解题的关键是添加辅助线，构造全等三角形解决问题．(共5张PPT)
浙教版2024 八年级下册
第5章 特殊平行四边形
单元测试·培优卷 试卷分析
三、知识点分布
一、单选题
1 0.95 矩形性质理解
2 0.5 利用平行线间距离解决问题；根据正方形的性质求角度；根据正方形的性质求面积；同位角相等两直线平行
3 0.65 根据菱形的性质与判定求线段长；用勾股定理解三角形
4 0.65 证明四边形是矩形；根据矩形的性质与判定求角度
5 0.65 求正方形重叠部分面积
6 0.65 与三角形中位线有关的证明；添一个条件使四边形是菱形；中点四边形
7 0.7 与三角形的高有关的计算问题；用勾股定理解三角形；利用菱形的性质求线段长
8 0.65 根据矩形的性质与判定求面积
9 0.65 利用平行四边形的性质求解；（特殊）平行四边形的动点问题
10 0.74 写出直角坐标系中点的坐标； 求矩形在坐标系中的坐标
三、知识点分布
二、填空题
11 0.85 根据平行线的性质求角的度数；矩形与折叠问题
12 0.85 添一条件使四边形是矩形
13 0.65 全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质和判定；根据正方形的性质与判定证明
14 0.65 （特殊）平行四边形的动点问题；根据矩形的性质与判定求线段长
15 0.65 中点四边形；利用平行四边形的性质求解
16 0.65 利用矩形的性质求角度；线段垂直平分线的性质；根据菱形的性质与判定求角度
三、知识点分布
三、解答题
17 0.65 与三角形中位线有关的证明；证明四边形是矩形；利用平行四边形性质和判定证明
18 0.65 证明四边形是矩形；利用菱形的性质求面积
19 0.65 证明四边形是矩形；利用平行四边形的性质求解；用勾股定理解三角形；利用平行四边形性质和判定证明
20 0.7 根据矩形的性质与判定求线段长；用勾股定理解三角形
21 0.65 斜边的中线等于斜边的一半；证明四边形是菱形；根据菱形的性质与判定求角度；等腰三角形的性质和判定；三角形的外角的定义及性质；利用平行四边形的性质证明
22 0.65 全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）；根据成轴对称图形的特征进行求解；根据矩形的性质求线段长；矩形与折叠问题；等腰三角形的性质和判定；根据正方形的性质与判定求线段长；等边三角形的判定和性质；最短路径问题；用勾股定理解三角形
23 0.44 用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS）；根据正方形的性质求线段长；等腰三角形的性质和判定；用勾股定理解三角形
24 0.65 全等的性质和SSS综合（SSS）；根据旋转的性质求解；全等的性质和SAS综合（SAS）；根据正方形的性质证明

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