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浙教版2024 八年级下册
八年级数学下册5月学情自测卷02
（浙教版2024，测试范围：第4-5章）试卷分析
三、知识点分布
一、单选题
1 0.95 轴对称图形的识别；中心对称图形的识别
2 0.65 全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）；根据正方形的性质证明
3 0.65 根据菱形的性质与判定求线段长；根据菱形的性质与判定求面积；用勾股定理解三角形
4 0.65 折叠问题；利用菱形的性质证明；三角形三边关系的应用；用勾股定理解三角形
5 0.75 与三角形中位线有关的求解问题；根据矩形的性质求线段长
6 0.64 与三角形中位线有关的求解问题；斜边的中线等于斜边的一半
7 0.65 判断能否构成平行四边形
8 0.65 角平分线的有关计算；等腰三角形的性质和判定；利用平行四边形的性质求解
9 0.7 根据平行线的性质求角的度数；多边形内角和问题
10 0.65 坐标与旋转规律问题；用勾股定理解三角形
三、知识点分布
二、填空题
11 0.84 添一个条件成为平行四边形
12 0.53 点坐标规律探索；根据正方形的性质求线段长；求一次函数自变量或函数值
13 0.57 与三角形中位线有关的求解问题；利用菱形的性质求线段长；用勾股定理解三角形
14 0.74 矩形与折叠问题；用勾股定理解三角形
15 0.65 与三角形中位线有关的求解问题；等腰三角形的性质和判定；用勾股定理解三角形
16 0.65 根据正方形的性质与判定求线段长；根据矩形的性质求线段长；用勾股定理解三角形；利用平行四边形性质和判定证明
三、知识点分布
三、解答题
17 0.85 用SAS证明三角形全等（SAS）；利用平行四边形的性质证明
18 0.65 根据矩形的性质求面积；利用矩形的性质证明；利用菱形的性质求面积；证明四边形是菱形
19 0.73 三角形中位线的实际应用；根据矩形的性质求线段长；证明四边形是矩形；用勾股定理解三角形
20 0.65 全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）；证明四边形是矩形；等腰三角形的性质和判定；利用平行四边形的性质证明；利用平行四边形的判定与性质求解
21 0.51 等边对等角；根据正方形的性质证明；三角形内角和定理的应用；全等三角形的性质；用勾股定理解三角形
22 0.65 全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）；利用勾股定理的逆定理求解；利用平行四边形的性质求解；利用平行四边形性质和判定证明
23 0.5 与三角形中位线有关的证明；斜边的中线等于斜边的一半；全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）；利用平行四边形的性质证明
24 0.46 全等的性质和SAS综合（SAS）；利用矩形的性质证明；证明四边形是矩形；根据正方形的性质证明；利用平行四边形的性质证明；用勾股定理解三角形八年级数学下册5月学情自测卷02
（浙教版2024，测试范围：第4-5章）
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（每题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，正方形中，E为对角线上一点，连接AE并延长交于H，过E作交于F，若，则=（ ）
A．α B．2α C． D．
3．如图，以的顶点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，，分别以点，为圆心，的长为半径画弧，两弧在内部交于点，连接，，，，若，，则四边形的面积是（ ）
A．160 B．120 C．96 D．48
4．如图，菱形的边，高，是边上一动点，将四边形沿直线折叠，点的对应点为，当的长度最小时，的长为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，矩形的对角线相交于点，点分别是 的中点，若，则的长是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在中，点D，E分别是边，的中点，连结，点F在上，连接，，若，，，则的长为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
7．已知四边形的对角线，相交于点．下列条件：①，；②，；③，；④，；⑤，．其中，能判定四边形是平行四边形的是（ ）
A．①③④ B．①③⑤ C．①②③⑤ D．①③④⑤
8．如图，在中，是的平分线，交于点，且的周长是，则等于（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
9．如图，，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在平面直角坐标系中，将绕点A顺时针旋转到的位置，点B、O分别落在点、处，点在x轴上，再将绕点顺时针旋转到的位置，点在x轴上，将绕点顺时针旋转到的位置，点在x轴上，依次进行下去…若点，，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每小题 3 分，共 18 分）
11．如图，在四边形中，，若添加一个条件，使得四边形为平行四边形，这个条件可以是______．
12．将正方形，，按如图所示的方式放置，点，，，…与点，，，…分别在直线与x轴上，则点的纵坐标是______．
13．如图，在菱形中，，对角线，点为边上一动点（不与点重合），平分交于点，过点作于点，连接，点为的中点，连接，则的最小值为___________．
14．如图，在矩形中，，，将矩形沿对角线折叠，则重叠部分的面积为________．
15．如图在中，，，分别为，的中点，平分，交于点．若，，则的长为______．
16．如图，在矩形中，，延长到，点是边上一点，过点作，与的平分线分别交于点，点．当点是中点时，则四边形的面积为____________．
三、解答题（第 17，18，19，20，21 ，22题每题 10分，第 23题每题 12 分，共 72 分）
17．如图，在中，、分别是边和上的点，且．求证：．
18．已知：如图，在矩形中，对角线与相交于点，过点作的平行线，过点作的平行线，两线相交于点．
(1)判断四边形的形状，并说明理由；
(2)若，，求四边形的面积．
19．如图，在平行四边形中，O是对角线的中点，过点O作，垂足为E，且．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，，求的长及四边形的面积．
20．如图，在中，四个角的平分线分别相交于点、、、．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)连接，若，，求的长．
21．如图1，点E是正方形内的一点，已知．
(1)若，，求的度数；
(2)如图2，连接，探究和的数量关系；
(3)如图3，若正方形的边长为2，点E在正方形对角线上运动，线段是否存在最小值，如果存在，请求出的最小值；如果不存在，请说明理由．
22．如图，四边形是平行四边形，E是边的中点，，与的延长线交于点F，的延长线交于点G，连接，若．
(1)求线段的长；
(2)试判断直线与的位置关系，并说明理由．
23．我们在学习平行四边形时，利用倍长中线的方法研究了三角形的中位线，请据此思考下面的问题：如图1，在平行四边形中，点E是边的中点，点F是边上一点，且．
(1)求证：；
(2)如图2，若点F是边的中点，点G为边的中点，连接，求证：；
(3)如图3，若点F是边的中点，连接，求证：．
24．在平行四边形中，已知．
(1)如图1，求证：平行四边形为矩形．
(2)如图2，点E在上，点F在上，连接交于点G，若，请直接写出度数 ．
(3)如图3，在（2）的条件下，作的外角平分线，点N为射线上一点，连接，若，，求线段的长．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C C D C C B C D D
1．C
如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．
解：A．该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C．该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意；
D．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意．
2．C
过点作于点，射线交于点，由正方形的性质得，又证四边形是矩形，得，再证，得，进一步可得答案.
解：过点作于点，射线交于点，
∵四边形是正方形，
∴
∵，
∴四边形是矩形，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴.
3．C
本题考查了菱形的判定和性质掌握知识点是解题的关键．
先证明四边形是菱形，可求，利用出勾股定理即可求出，则可得，再根据菱形的面积公式，即可解答．
解：设与相交于点D，如图：
由题意，有
，
∴四边形是菱形，
∴，，
∴，
∴
∴．
故选C．
4．D
本题考查了菱形的性质、勾股定理、翻折变换的性质等知识，利用折叠性质结合三角形三边不等关系确定取最小值的位置，再结合角度关系推导边长是解题的关键．
由菱形的边得，，由高得，进而得，求得，则，由折叠得，由，可知当点落在上时，取得最小值，此时，则，得即可判断．
解：如图1，
∵菱形的边，
∴，，
∵高，即，
∴，
∴，，
∴，
∵将四边形沿直线折叠，点的对应点为，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴当点落在上时，取得最小值，最小值为，
如图2，
点在上，则，
∴，
∴．
故选：D．
5．C
利用三角形中位线的性质求出，再根据矩形的性质即可求解．
解：∵点分别是的中点，
∴是的中位线，
∴，
∵四边形是矩形，
∴．
6．C
根据直角三角形斜边上的中线的性质求出，进而求出，再根据三角形中位线定理解答即可．
解：∵，
∴，
∵是边的中点，，
∴，
∴，
∵点D，E分别是边，的中点，
∴是中位线，
∴．
7．B
根据平行四边形的判定定理逐个分析判断即可求解．
解：①，，符合“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”的判定定理，故①可判定四边形是平行四边形；
②，，四边形可能为等腰梯形，无法判定是平行四边形，故②不能判定四边形是平行四边形；
③ ，， 符合“两组对角分别相等的四边形是平行四边形”的判定定理，故③可判定四边形是平行四边形；
④仅，，无法证明对边平行或相等，也无法证明对角线互相平分，故④不能判定四边形是平行四边形；
⑤因为，所以，又因为，，所以 ，得，符合“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”的判定定理，故 ⑤可判定四边形是平行四边形；
综上，可判定的条件是①③⑤．
8．C
根据平行四边形对边平行及角平分线定义，证得，从而得出，利用周长公式求出的长，进而求出．
解：四边形是平行四边形，
，，，
，
平分，
，
，
，
平行四边形的周长是，
，
，
，
．
9．D
根据平行线的性质可得，再根据多边形内角和定理即可求解．
解：∵，
∴，
∵五边形中，，，
∴．
10．D
利用勾股定理求出，然后分别求出，，…，找到横坐标的规律，进而求解即可．
解：∵，，
，，
，
∴，即
同理可得，，…
∴序号为奇数时，
∴点的坐标为，即．
11．（答案不唯一）
给出一组对边相等，那么只需要这一组对边平行或者另一组对边相等即可，当然也可以添加条件证明这一组对边平行或者证明另一组对边相等．
解：∵，
当添加时，则四边形为平行四边形；
或添加时，四边形为平行四边形．
12．
根据题意写出前几个点的坐标，总结规律，代入计算即可．
解：在中，当时，，
∴，
∵四边形为正方形，
∴，
在中，当时，，
∴，
∵四边形为正方形，
∴，
同理可得，，，，．．．．．．，，（为正整数），
∴点的纵坐标为．
13．
连接交于点O，延长交于点N，连接，根据菱形的性质以及勾股定理可得，证明，可得，从而得到为的中位线，进而得到当最小时，最小，当时，最小，此时点N与点O重合，即可求解．
解：如图，连接交于点O，延长交于点N，连接，
∵四边形是菱形，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵平分，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵点为的中点，
∴为的中位线，
∴，
∴当最小时，最小，
当时，最小，此时点N与点O重合，
即的最小值为15，
∴的最小为．
14．10
设，证明，得到，，利用勾股定理求出长，根据即可求解．
解：设
依题意可知，，，
在中，
即
解得
．
15．4
根据三角形中位线定理，得到，求得，利用勾股定理求得的值，即可求得答案．
解：∵，分别为，的中点，
∴，，．
∴．
∵平分，
∴．
∴．
∴．
在中，．
∴．
16．15
先结合矩形的性质得，，，运用勾股定理算出，再根据与的平分线分别交于点，点，得，，则都是等腰直角三角形，故，又因为点是中点，证明四边形是平行四边形，然后证明四边形是正方形，再把数值代入四边形的面积为进行计算，即可作答．
解：∵四边形是矩形，
∴，，，
则，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵与的平分线分别交于点，点．
∴，，
∵，
∴都是等腰直角三角形，
∴，
∴，，
∵点是中点，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形，
∵，
∴，
∴四边形是正方形，
∴，
∴四边形的面积为，
故答案为：15．
本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，正方形的判定，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
17．见解析
根据平行四边形对角相等，对边相等，利用“”即可证明全等．
解：，
，，
又，
18．(1)四边形是菱形，理由见解析；
(2)
（1）先根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”判定四边形为平行四边形，再利用矩形对角线相等且互相平分的性质得到，结合“一组邻边相等的平行四边形是菱形”完成判定；
（2）先计算矩形的面积，再利用矩形对角线分矩形为四个面积相等的三角形得到的面积，最后根据菱形的面积是面积的2倍，求出四边形的面积．
（1）解：四边形是菱形，
理由：∵，，
∴四边形是平行四边形．
∵四边形是矩形，
∴，且，，
∴．
∴平行四边形是菱形．
（2）解：∵四边形是矩形，，，
∴，
∴．
∵四边形的形状是菱形，
∴根据对称性，，
∴．
即四边形的面积为．
19．(1)见解析
(2)，四边形的面积为
（1）运用三角形中位线性质证明，，根据，可得，由四边形是平行四边形，得四边形是矩形．
（2）由三角形中位线性质证明，由，，求出，再用矩形面积公式求四边形的面积．
（1）证明：∵O是对角线的中点，，
∴是的中位线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴四边形是矩形；
（2）解：∵是的中位线，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴四边形面积为．
20．(1)见解析
(2)
本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的性质、角平分线的定义、平行线的性质、勾股定理等知识；熟练掌握矩形的判定与性质是关键．
（1）由平行四边形的性质和角平分线定义求出，则，同理，则，再由矩形的判定即可得出结论；
（2）延长，交于，依据平行四边形的性质，即可得到，进而得出的长．再判定四边形是平行四边形，即可得到．
（1）证明：四边形是平行四边形，
，
，
，分别平分与，
，，
，
，
同理：，
，
四边形是矩形．
（2）解：如图所示，延长，交于，
∵，平分，
，
，
又，
．
平分，平分，
，
又，
，
．
四边形是平行四边形，
，，
又平分，平分，
，
又，
，
，
四边形是平行四边形，
．
21．(1)
(2)EF=CE，见解析
(3)存在，线段EF的最小值为2
（1）根据全等三角形的性质得到，由三角形内角和定理求出的度数，根据正方形的性质得到，利用求解即可；
（2）根据全等三角形的性质得到、，进而求出，利用勾股定理求出与的数量关系；
（3）根据正方形的性质得到，，当时，最小，即最小，根据直角三角形的性质求出，进而得到，利用勾股定理求出长，从而求出长．
（1）解：，
，
，
四边形是正方形，
，
；
（2）解：，理由如下：
，
、，
，
，
，
，
在中，由勾股定理得：；
（3）解：四边形是正方形，
，
由（2）可知，，
要使最小，则需最小，
如图，当时，最小，即最小，
在中，、，
，
，
，
，
，
解得：，
．
本题考查全等三角形的性质、三角形内角和定理、正方形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理，熟练掌握相关性质定理是解题的关键．
22．(1)
(2)．理由见解析
（1）根据平行四边形的性质得到的长，再由线段中点的定义可得答案；
（2）可证明四边形是平行四边形，得到．证明，得到，则可证明得到，则．
（1）解：∵四边形是平行四边形，
，
∵E是边的中点，
．
（2）解：．理由如下：
∵四边形是平行四边形，
∴，，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
；
，
，
∵E是边的中点，
∴，
，
．
在中，，，
，
，
．
23．(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
（1）延长，交的延长线于点P，由平行四边形的性质证明，可得，，再证明 ，即可证明结论；
（2）连接并延长交的延长线于点Q．易证是的中位线．得到．证明，得到．再根据，即可证明；
（3）连接并延长交的延长线于点Q．由（1）得，，根据等边对等角结合平行线的性质易证，即是直角三角形，同理（2）得 ，证明点C是的中点，利用直角三角形的性质即可证明．
（1）证明：延长，交的延长线于点P．
∵四边形是平行四边形，
∴．
∴．
∵点E是边的中点，
∴．
在和中，，
∴，
∴，．
∵，
∴．
∴ ．
∴，
∴．
（2）证明：连接并延长交的延长线于点Q．
∵点F是边的中点，点G是边的中点，
∴是的中位线．
∴．
∵四边形是平行四边形，
∴．
∴．
∵点F是边的中点，
∴．
在和中，
∴
∴．
∵点E是边的中点，
∴．
∴ ．
（3）证明：连接并延长交的延长线于点Q．
由（1）得，．
∵，
∴．
∴．
∴ ．
∵，
∴ ．
∴，即是直角三角形，
由（2）得 ，
∴，即点C是的中点，
∴．
24．(1)证明见解析
(2)
(3)
（1）要证明平行四边形为矩形，即要证明有一个内角是即可，利用已知和平行四边形对角相等即可得证；
（2）由已知条件可证明，得出，再由，得出，即；
（3）过点N作直线交延长线于点，交延长线于点，由正方形的性质可得四边形是矩形，进而得出，，由平分，可得，可设，，，由可得，由可得，由这两个式子可得，最后由即可得出结果．
（1）证明：∵四边形为平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴平行四边形为矩形．
（2）解：∵平行四边形为矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
（3）解：如图所示，过点N作直线交延长线于点，交延长线于点，
∵平行四边形为矩形，，
∴四边形是正方形，
∴，，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵平分，
∴，
∴是等腰直角三角形，即，
由（2）得：，
设，，，
∴，，，，
在中，，即，
在中，，即，
∵，
∴，展开整理得：，
∴，即，
∵，
∴，
∵，
∴在中，，即，
整理得：，
∴，
∴在中，．

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