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锐角三角函数解答训练卷
解直角三角形问题
1．如图，△ABC中，AD⊥BC，垂足是D，若BC=14，AD=12，tan∠BAD=，求sinC的值．
2．如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，AC＝，求AB的长．
3．如图，在△ABC中，CD是边AB上的中线，∠B是锐角，sinB＝，tanA＝，AC＝，
（1）求∠B的度数和AB的长．
（2）求tan∠CDB的值．
二．坡度坡角问题
4．如图是某货站传送货物的平面示意图，为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角，使其由45°改为30°．已知原传送带AB长为4m．
（1）求新传送带AC的长度；
（2）如果需要在货物着地点C的左侧留出5m的通道，试判断距离B点4m的货物MNQP是否需要挪走，并说明理由．
5．中国的“春节”，已列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录．春节涵盖了中华民族丰富多彩的非遗活动，如贴春联、逛庙会、剪纸、打铁花…今年春节期间，小明和小亮相约来到非遗广场，一起感受浓浓的中国节．他们在广场的地面A点处看到远处有一个古塔，用测倾器测得塔顶C的仰角为45°，然后沿着坡度为5：12的斜坡前进39米到达观景台D，用测倾器测得塔顶C的仰角为60°，已知古塔与地面互相垂直，测倾器的高度为1米，求古塔CH高度大约为多少米？（结果保留整数，米）
6．如图1，水坝的横截面是梯形ABCD，∠ABC＝37°，坝顶DC＝3m，背水坡AD的坡度i（即tan∠DAB）为1：0.5，坝底AB＝14m．
（1）求坝高；
（2）如图2，为了提高堤坝的防洪抗洪能力，防汛指挥部决定在背水坡将坝顶和坝底同时拓宽加固，使得AE＝2DF，EF⊥BF，求DF的长．（参考数据：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈）
三．仰角俯角问题
7．如图所示，某数学活动小组选定测量小河对岸大树BC的高度，他们在斜坡上D处测得大树顶端B的仰角是30°，朝大树方向下坡走6米到达坡底A处，在A处测得大树顶端B的仰角是48°，若坡角∠FAE＝30°，求大树的高度（结果保留整数，参考数据：sin48°≈0.74，cos48°≈0.67，tan48°≈1.11，≈1.73）
8．一架无人机在一条笔直的公路上方飞行，A处为一辆行驶中的小汽车，BC为公路上的一座桥梁，当无人机飞行到D处时，测得A处的俯角（∠PDA）为α，C处的俯角（∠QDC）为β＝30°，其中P，D，Q在一条直线上，且PQ∥AC，此时，小明在桥梁的入口B处测得无人机D的仰角为45°．已知桥梁BC的总长度为100m．
（1）求此时无人机所在位置D离地面AC的距离（结果保留根号）；
（2）A处的小汽车到桥梁入口B的距离AB的长（结果保留根号）．
参考数据：．
9．如图，学校教学楼上悬挂一块长为3m的标语牌，即CD＝3m．数学活动课上，小明和小红要测量标语牌的底部点D到地面的距离．测角仪支架高AE＝BF＝1.2m，小明在E处测得标语牌底部点D的仰角为31°，小红在F处测得标语牌顶部点C的仰角为45°，AB＝5m，依据他们测量的数据能否求出标语牌底部点D到地面的距离DH的长？若能，请计算；若不能，请说明理由（图中点A，B，C，D，E，F，H在同一平面内）
（参考数据：tan31°≈0.60，sin31°≈0.52，cos31°≈0.86）
四．方向角问题
10．如图，一艘渔船位于小岛B的北偏东30°方向，距离小岛40nmile的点A处，它沿着点A的南偏东15°的方向航行．
（1）渔船航行多远距离小岛B最近（结果保留根号）？
（2）渔船到达距离小岛B最近点后，按原航向继续航行20nmile到点C处时突然发生事故，渔船马上向小岛B上的救援队求救，问救援队从B处出发沿着哪个方向航行到达事故地点航程最短，最短航程是多少（结果保留根号）？
11．如图，某海警基地位于A处，在A的正北方向有一小岛B．在A的北偏东30°方向20每里处有一海上补给中心C，且C在B的东南方向，点D是AC中点．
（参考数据：，，）
（1）求A与B相距多少海里？（结果精确到1海里）
（2）监测发现，在点B处有一可疑船只，它正沿正西方向匀速直线航行．此时在点D处的一艘海警船立即出发，先匀速直线航行到达点C进行补给（补给时间忽略不计），再以原速沿北偏西方向匀速直线航行，两船相遇于E处，已知海警船的速度是可疑船只的3倍，那么相遇时海警船航行了多少海里？（结果精确到1海里）
12．如图，A，B，C，D是某科技公司的四个试验基地，且A，B，C，D在同一平面内，B位于A的正东方向60km处，D位于A的南偏东30°方向40km米处，C位于B的正南方向，D位于C的南偏西60°方向．（参考数据：）
（1）求B和C两试验基地之间的距离；（结果保留整数）
（2）现甲从A基地出发沿AD前往D地办公，乙从B基地出发沿BA方向前往A基地，两人同时出发，乙的速度是甲速度的2倍．当两人的距离是甲到A基地距离的倍时，甲距离A基地多少千米？（结果保留整数）
五．实际应用问题
13．小华同学将笔记本电脑水平放置在桌子上，当显示屏的边缘线OB与底板的边缘线OA所在水平线的夹角为120°时，感觉最舒适（如图①）．侧面示意图为图②；使用时为了散热，他在底板下面垫入散热架，如图③，点B、O、C在同一直线上，OA＝OB＝24cm，BC⊥AC，∠OAC＝30°．
（1）求OC的长；
（2）如图④，垫入散热架后，要使显示屏的边缘线OB'与水平线的夹角仍保持120°，求点B′到AC的距离．（结果保留根号）
14．脱贫攻坚工作让老百姓过上了幸福的生活．如图①是政府给贫困户新建的房屋，如图②是房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高AB所在的直线，为了测量房屋的高度，在地面上C点测得屋顶A的仰角为35°，此时地面上C点、屋檐上E点、屋顶上A点三点恰好共线，继续向房屋方向走8m到达点D时，又测得屋檐E点的仰角为60°，房屋的顶层横梁EF＝12m，EF∥CB，AB交EF于点G（点C，D，B在同一水平线上）．（参考数据：sin35°≈0.6，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7，≈1.7）
（1）求屋顶到横梁的距离AG；
（2）求房屋的高AB（结果精确到1m）．
15．拉杆箱是外出旅行常用工具．某种拉杆箱示意图如图所示（滚轮忽略不计），箱体截面是矩形BCDE，BC的长度为60cm，两节可调节的拉杆长度相等，且与BC在同一条直线上．如图1，当拉杆伸出一节（AB）时，AC与地面夹角∠ACG＝53°；如图2，当拉杆伸出两节（AM、MB）时，AC与地面夹角∠ACG＝37°，两种情况下拉杆把手A点距离地面高度相同．求每节拉杆的长度．
（参考数据：sin53°≈ ，sin37°≈ ，tan53°≈，tan37°）
答案
1．解：∵在直角△ABD中，tan∠BAD==，
∴BD=AD tan∠BAD=12×=9，
∴CD=BC﹣BD=14﹣9=5，
∴AC===13，
∴sinC==．
2．解：过C作CD⊥AB于D，
∴∠ADC＝∠BDC＝90°，
∵∠B＝45°，
∴∠BCD＝∠B＝45°，
∴CD＝BD，
∵∠A＝30°，AC＝2，
∴CD＝，
∴BD＝CD＝，
由勾股定理得：AD＝＝3，
∴AB＝AD+BD＝3+，
答：AB的长是3+．
3．解：（1）作CE⊥AB于E，设CE＝x，
在Rt△ACE中，∵tanA＝＝，
∴AE＝2x，
∴AC＝＝x，
∴x＝，解得x＝1，
∴CE＝1，AE＝2，
在Rt△BCE中，∵sinB＝，
∴∠B＝45°，
∴△BCE为等腰直角三角形，
∴BE＝CE＝1，
∴AB＝AE+BE＝3，
答：∠B的度数为45°，AB的值为3；
（2）∵CD为中线，
∴BD＝AB＝1.5，
∴DE＝BD﹣BE＝1.5﹣1＝0.5，
∴tan∠CDE＝＝＝2，
即tan∠CDB的值为2．
4．解：（1）在Rt△ABD中，∠ABD＝45°，
∴AD＝AB＝4（m），
在Rt△ACD中，∠ACD＝30°，
∴AC＝2AD＝8（m），
答：新传送带AC的长度为8m；
（2）在Rt△ACD中，∠ACD＝30°，
∴CD＝AC cos∠ACD＝4（m），
在Rt△ABD中，∠ABD＝45°，
∴BD＝AD＝4（m），
∴BC＝CD﹣BD＝（4﹣4）m，
∴PC＝BP﹣BC＝4﹣（4﹣4）＝4（m），
∵4＜5，
∴货物MNQP需要挪走．
5．解：作EG⊥CH于点G，作BF⊥CH于点F，作DK⊥AH于点K，交BF于O，
可知四边形ABOK是矩形，四边形EGFO是矩形，四边形ABFH是矩形，
∴EO＝FG，AH＝BF，AB＝OK＝1米，BO＝AK，
∵沿着坡度为5：12的斜坡前进39米到达观景台D，
∴AD＝39米，，
设DK＝5a米，则AK＝12a米，
∵DK2+AK2＝AE2，
∴（5a）2+（12a）2＝392，
解得：a＝3（负值舍去），
∴DK＝15米，BO＝AK＝36米，
∴EO＝FG＝15+1﹣1＝15（米），
设EG＝HK＝x米，
∴AH＝BF＝（36+x）米，
由题意可知∠CBF＝45°，∠CEG＝60°，
∴，CF＝BF＝（36+x）米，
即米，CG＝CF﹣GF＝36+x﹣15＝（21+x）米，
即21+x＝1.7x
解得：x＝30，
∴CH＝36+30+1＝67（米）．
6．解：（1）作DM⊥AB于M，CN⊥AN于N．
由题意：tan∠DAB＝＝2，设AM＝x，则DM＝2x，
∵四边形DMNC是矩形，
∴DM＝CN＝2x，
在Rt△NBC中，tan37°＝＝＝，
∴BN＝x，
∵x+3+x＝14，
∴x＝3，
∴DM＝6，
答：坝高为6m．
（2）作FH⊥AB于H．设DF＝y，则AE＝2y，EH＝3+2y﹣y＝3+y，BH＝14+2y﹣（3+y）＝11+y，
由△EFH∽△FBH，可得＝，
即＝，
解得y＝﹣7+2或﹣7﹣2（舍弃），
∴DF＝2﹣7，
答：DF的长为（2﹣7）m．
7．解：如图，过点D作DG⊥BC于G，DH⊥CE于H，
则四边形DHCG为矩形．
故DG＝CH，CG＝DH，DG∥HC，
∴∠DAH＝∠FAE＝30°，
在直角三角形AHD中，
∵∠DAH＝30°，AD＝6米，
∴DH＝3（米），AH＝3（米），
∴CG＝3（米），
设BC为x米，
在直角三角形ABC中，AC＝＝，
∴DG＝3+，BG＝x﹣3，
在直角三角形BDG中，∵BG＝DG tan30°，
∴x﹣3＝（3+）
解得：x≈13，
∴大树的高度大约为13米．
8．解：（1）过点D作DH⊥AB，垂足为H，
由题意得：PQ∥AC，
∴∠QDC＝∠DCA＝30°，
设BH＝x米，
∵BC＝100米，
∴CH＝BH+BC＝（x+100）米，
在Rt△CDH中，DH＝CH tan30＝（x+100）米，
在Rt△DBH中，∠DBA＝45°，
∴DH＝BH tan45°＝x（米），
∴x＝（x+100），
解得x＝（300+300），
∴DH＝BH＝（300+300）米，
∴此时无人机所在位置D离地面AC的距离为（300+300）米；
（2）由题意得：PQ∥AC，
∴∠PDA＝∠DAC＝α，
在Rt△ADH中，DH＝（300+300）米，
∴AH＝＝＝（225+225）（米），
∵BH＝（300+300）米，
∴AB＝AH+BH＝（525+525）（米），
∴A处的小汽车到桥梁入口B的距离AB的长为（525+525）米．
9．解：能，
理由如下：延长EF交CH于N，
则∠CNF＝90°，
∵∠CFN＝45°，
∴CN＝NF，
设DN＝xm，则NF＝CN＝（x+3）m，
∴EN＝5+（x+3）＝x+8，
在Rt△DEN中，tan∠DEN＝，
则DN＝EN tan∠DEN，
∴x≈0.6（x+8），
解得，x＝12，
则DH＝DN+NH＝12+1.2＝13.2（m），
答：点D到地面的距离DH的长约为13.2m．
10．解：（1）由题意得：∠ACB＝20°+40°＝60°；
（2）由题意得，∠CAB＝65°﹣20°＝45°，∠ACB＝40°+20°＝60°，AB＝30km，
过B作BE⊥AC于E，如图所示：
∴∠AEB＝∠CEB＝90°，
在Rt△ABE中，∵∠ABE＝45°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∵AB＝30 ，
∴AE＝BE＝AB＝30，
在Rt△CBE中，∵∠ACB＝60°，tan∠ACB＝，
∴CE＝＝＝10，
∴AC＝AE+CE＝（30+10 ）km，
∴A，C两港之间的距离为（30+10 ）km．
11．解：（1）在A的正北方向有一小岛B．在A的北偏东30°方向20每里处有一海上补给中心C，且C在B的东南方向，点D是AC中点．则：
如图，过点C作CH⊥AB，
根据题意可得AC＝20，∠BAC＝30°，∠ABC＝45°，
则，
∴海里，
∴（海里）．
（2）如图，过点C作CG⊥EB交EB的延长线于点G，
根据题意∠EBA＝∠GBH＝90°，
∴四边形BHCG是矩形，
又BH＝CH，
∴四边形BHCG是正方形，
∴BG＝CG＝10海里，
设可疑船只航行了x海里，则海警船航行了3x海里，
∵点D是AC中点，
∴DC＝10海里，
∴BE＝x，DC+CE＝3x，
在Rt△CGE中，EG2+CG2＝CE2，
即（x+10）2+102＝（3x﹣10）2，
解得：（负值舍去），
∴，
即相遇时海警船航行了33海里．
12．解：（1）如图，作DE⊥AB于E，作CF⊥DE于F．
由题意得∠HAB＝∠B＝90°，∠HAD＝30°，∠DCP＝60°，
∴∠DAE＝∠HAB﹣∠HAD＝60°，
∴在Rt△ADE中，，
，
∴BE＝AB﹣AE＝60﹣20＝40km．
∵DE⊥AB，CF⊥DE，∠B＝90°，
∴四边形BEFC为矩形，∠CFD＝90°，
∴CF＝BE＝40km，∠FCP＝90°，
∴∠DCF＝∠PCF﹣∠PCD＝30°，
∴在Rt△DCF中，，
∴，
∴，
即B和C两试验基地之间的距离约为12km；
（2）现甲从A基地出发沿AD前往D地办公，乙从B基地出发沿BA方向前往A基地，两人同时出发，乙的速度是甲速度的2倍．当两人的距离是甲到A基地距离的倍时，则：
如图，当两人的距离是甲到A基地距离的倍时，甲运动到点M处，乙运动到点N处，
作MQ⊥AB于点Q，连接MN，则，∠MAQ＝90°﹣30°＝60°，
设AM＝xkm，则MN＝2xkm，
MN＝2 km．
∴BN＝2AM＝2xkm，
∴AN＝AB﹣BN＝（60﹣2x）km．
AQ＝AM cos∠MAQ＝xkm；
MQ＝AM sin∠MAQ＝ km．
∴．
在Rt△MNQ中，根据勾股定理得：QN2+MQ2＝MN2，
即，
整理得x2+60x﹣720＝0，
解得，（负值，舍去）．
答：当两人的距离是甲到A基地距离的倍时，甲距离A基地10km．
13．解：（1）如图③，在Rt△AOC中，OA＝24，∠OAC＝30°．
∴OC＝OA＝×24＝12（cm）；
（2）如图④，过点B′作B′D⊥AC，垂足为D，过点O作OE⊥B′D，垂足为E，
由题意得，OA＝OB′＝24（cm），
当显示屏的边缘线OB'与水平线的夹角仍保持120°，可得，∠AOB′＝150°
∴∠B′OE＝60°，
∵∠ACO＝∠B′EO＝90°，
∴在Rt△B′OE中，B′E＝OB′×sin60°＝12（cm），
又∵OC＝DE＝12（cm），
∴B′D＝B′E+DE＝12+12（cm），
即：点B′到AC的距离为（12+12）cm．
14．解：（1）∵房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高AB所在的直线，EF∥BC，
∴AG⊥EF，EG＝EF，∠AEG＝∠ACB＝35°，
在Rt△AGE中，∠AGE＝90°，∠AEG＝35°，
∵tan∠AEG＝tan35°＝，EG＝6，
∴AG＝6×0.7＝4.2（米）；
答：屋顶到横梁的距离AG约为4.2米；
（2）过E作EH⊥CB于H，
设EH＝x，
在Rt△EDH中，∠EHD＝90°，∠EDH＝60°，
∵tan∠EDH＝，
∴DH＝，
在Rt△ECH中，∠EHC＝90°，∠ECH＝35°，
∵tan∠ECH＝，
∴CH＝，
∵CH﹣DH＝CD＝8，
∴﹣＝8，
解得：x≈9.52，
∴AB＝AG+BG＝13.72≈14（米），
答：房屋的高AB约为14米．
15．解：如图1，作AF⊥CG，垂足为F，设AB＝xcm，则AC＝60+x，
∵sin53°== ，
∴AF＝（60+x） sin53°，
如图2，作AH⊥CG，垂足为H，则AC＝60+2x，
∴AH＝（60+2x） sin37°，
∵AF＝AH，
∴（60+x） sin53°＝（60+2x） sin37°，
∴ = ，
解得：x＝30．
答：每节拉杆的长度为30cm．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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