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2025年新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市九年级5月学业数学测评卷
一、单选题
1．2025的相反数是（　　）
A． B． C． D．
2．如图，在中，，，．则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．若，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．不能确定
6．为了大力宣传节约用电，某小区随机抽查了10户家庭的月用电量情况、统计如表、关于这10户家庭的月用电量说法正确的是（ ）
月用电量（度） 25 30 40 50 60
户数 1 2 4 2 1
A．平均数是 B．众数是4
C．中位数是40 D．这10户家庭月用电量共400度
7．玉佩，是我国古人身上常佩戴的一种饰品，如图1所示，古语有“君子无故，玉不去身”，到现在人们也仍将谦谦君子喻为“温润如玉”．如图2，现有一块直径为的圆形玉料，要用其刻出一个圆周角为的扇形玉佩，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
8．端午节期间，某商家推出“优惠酬宾”活动，决定每袋粽子降价2元销售．细心的小夏发现，降价后用240元可以比降价前多购买10袋，求：每袋粽子的原价是多少元？设每袋粽子的原价是元，所得方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9．如图，经过圆心是的一条弦，是的切线．再从条件①，条件②，条件③中选择一个作为已知，使得．
条件①：平分；
条件②：；
条件③：．
则所有可以添加的条件序号是（ ）
A．① B．①② C．②③ D．①③
二、填空题
10．使代数式有意义的x的取值范围是_______．
11．年月，中国科学院物理研究所团队首次实现大面积二维金属材料的普适性制备．其中，铅（）二维金属厚度约为米．将数据用科学记数法表示为______．
12．如图，将直角三角形纸片折叠，使直角顶点落在斜边上的点处，已知，，则________．
13．如图，某中学建立了一个长方形菜园，作为劳动实践基地，旨在培养学生的劳动意识、劳动技能和实践能力．已知菜园的一面靠墙，墙长为，另外三边用长为的栅栏围成．若要使菜园的面积达到，则的长为______．
14．如图，在平面直角坐标系中，点，均在函数的图象上，轴于点，交线段于点．若点为线段的中点，的面积为，则的值为______．
15．如图，矩形中，，，为的中点，为上一动点，为中点，连接，则的最小值是________．
三、解答题
16．（）计算：；
（）某班去看演出，甲种票每张元，乙种票每张元．如果名学生每人购买一张票，恰好用去元，甲、乙两种票各买了多少张？
17．（1）化简求值：，其中；
（2）如图，在中，．
①用直尺和圆规作的平分线交于点（保留作图痕迹，不要求写作法）；
②在①中作出的平分线后，求的度数．
18．如图所示，点在四边形的边上，连接，并延长交的延长线于点，已知，．
(1)求证：；
(2)若，求证：四边形为平行四边形．
19．“在迎新年，庆元旦活动中 ”，某校团委组织新团员开展了主题为 “青年大学习，青春勇担当 ”的知识竞赛活动，将成绩分为 A，B，C，D四个等级，并绘制成如下两幅不完整的统计图．
请根据图中信息，解答下列问题：
(1)参加本次知识竞赛活动的新团员共有 人；扇形统计图中“A ”所对应的扇形圆心角度数为 ；
(2)将条形统计图补充完整；
(3)将本次知识竞赛成绩获得 A 等级的团员依次用，……表示，该校团委 决定从这些 A 等级的团员中，随机选取两名团员在校团课中进行“勇担使命，争做 有为青年 ”的发言，请用画树状图或列表的方法求恰好抽到团员 和 的概率．
20．年4月日是第个世界读书日．某学校为了解决师生在校园内露天阅读、交流讨论时遮阳避雨的需求，学校在图书馆外的休闲阅读区安装了一组可调节角度的遮阳篷．如图是遮阳篷的截面示意图，遮阳篷一端固定在图书馆二楼窗台下方（记为点），另一端斜向下延伸至点．已知遮阳篷的长度为米，与水平面的夹角为．
(1)求点到墙面的距离；
(2)当太阳光线与水平线的夹角为时，量得为米，求遮阳篷靠墙端离地高的长．（参考数据：，，）
21．已知抛物线的对称轴为直线．

(1)求抛物线的顶点坐标；（用含a的代数式表示）
(2)若点，在抛物线上，试比较与的大小；
(3)若，与其对应的函数的最大值为，求b的值．
22．如图1，是的直径，点D为下方上一点，点C为弧的中点，连结，，．
(1)求证：平分．
(2)如图2，延长，相交于点E．
①求证：．
②若，，求的半径．
23．新定义：平行四边形一组邻边的中点与不在这组邻边上的顶点顺次连接而成的三角形如果是直角三角形，则称这个三角形为平行四边形的“中直三角形”，并且把该平行四边形的长边与短边之比成为该平行四边形的“度量值”
(1)如图1，已知矩形，为其“中直三角形”，其中，求：矩形的“度量值”；
(2)如图2，为的“中直三角形”，其中，，求：的“度量值”；
(3)在中，，，请直接写出以为中直三角形的平行四边形的“度量值”．
参考答案
1．A
解：的相反数为，
故选：A．
2．C
解：∵在中，，，
∴,
∵，
∴．
故选：C．
3．B
【详解】A、与不是同类项，不能合并，所以选项A错误，不符合题意；
B、，所以选项B正确，符合题意；
C、，所以选项C错误，不符合题意；
D、，所以选项D错误，不符合题意．
故选：B．
4．D
解：、∵，
∴，该选项结论错误，不合题意；
、∵，
∴，该选项结论错误，不合题意；
、∵，
∴，
∴，
即，该选项结论错误，不合题意；
、∵，
∴，
即，该选项结论正确，符合题意；
故选：．
5．A
解：，
方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
6．C
解：A、平均数为；该选项错误，不符合题意；
B、用电量40度的户数最多，故众数为40，该选项错误，不符合题意；
C、排序后第5个和第6个数据均为40，故中位数为40，该选项正确，符合题意；
D、这10户家庭月用电量共度；该选项错误，不符合题意；
故选C
7．C
解：∵，
∴为的直径，即，
∴，
∴，
故选：C．
8．C
解：由题意可得，
，
故选：C．
9．D
解：连接，令交于点E，
∵经过圆心是的一条弦，，
∴，
则，
若选条件①，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
故①符合题意；
若选条件②，
∵，
∴，
∵是的切线，
∴，
∵，
则，得 ，
设，则，，，，
则，
∴，即，
故②不符合题意；
若选条件③，
∵，即，，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
故③符合题意；
综上，所有可以添加的条件序号是①③，
故选：D．
10．
解：代数式有意义，
故答案为：
11．
解：，
故答案为：．
12．1
解：根据折叠可得，
，
，
，
，
，
，
故答案为：1．
13．/10米
解：设的长应是，则的长为，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，，
当时，，不符合题意，舍去；
当时，，符合题意；
故答案为：．
14．
解：如图，作轴，垂足为，连接，
点、在反比例函数图象上，
∴，
∴，
∵点为线段的中点，的面积为，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，
即，
解得，
∴，
∴．
故答案为：．
15．
解：如图，取中点，连接并延长，交于，
∴是的中位线，
∴且 ，
∴点的运动轨迹是线段，
如图，连接，，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形，
∵，
∴四边形是正方形，
∴，
∴，
∴的最小值为，
由勾股定理得，，
故答案是：．
16．（）；（）甲乙两种票各买了张、张
解：（）原式
；
（）设甲乙两种票各买了张、张，
由题意得，，
解得，
答：甲乙两种票各买了张、张．
17．（1）；；（2）①见解析；②
解：（1）
，
把代入得：原式；
（2）①解：射线即为的角平分线；
②在中，，，
，
是的平分线，
，
是的外角，
．
18．(1)见解析
(2)见解析
【详解】（1）证明：∵与是对顶角，
∴，
在与中，
，
∴
（2）证明：由（1）知，
∴，
∴，
∵点在的延长线上，
∴，
又∵，
∴四边形为平行四边形．
19．(1)，
(2)见解析
(3)
（1）解：人，
圆心角的度数为，
故答案为：，；
（2）解： A 等级的团员数为人，
补全条形统计图为：
（3）解：将A等级的4名学生用. 表示，列表为：
由上表可以得出共有种情况，其中抽到 和 的有种结果，
∴恰好抽到学生 和 的概率为．
20．(1)点到墙面的距离为米
(2)遮阳篷靠墙端离地高的长米
（1）解：过点作，垂足为，
遮阳篷的长度为米，与水平面的夹角为．
（米）．
点到墙面的距离为米．
（2）解：过点作，垂足为，
由题意可得四边形为矩形，
，米，
米，
米，
在中，，
米，
米，
在中，
米，
米．
遮阳篷靠墙端离地高的长米．
21．(1)
(2)①当时，；②当时，
(3)
（1）解：∵抛物线的对称轴为，即
∴
∴，
∴抛物线的顶点坐标为
（2）解：①当时.抛物线开口向上，抛物线上距其对称轴越远的点，纵坐标越大.
∵抛物线的对称轴为直线.
由，知：
②当时.抛物线开口向下，抛物线上距其对称轴越远的点，纵坐标越小.
∵抛物线的对称轴为直线.
由，知：
（3）解：①当时.在抛物线对称轴的左侧，随增大而减小.
∵在对称轴的左侧
∴当时，有最大值为：
∵，
∴，
∴，
解得：，
∴，不符合要求，舍去
②当时.在抛物线对称轴的左侧，随增大而增大.
∵在对称轴的左侧
∴当时，有最大值为：
解得：.
综上，.
22．(1)证明见解析
(2)5
【详解】（1）证明∵点C为弧的中点，
∴，
∴，，
∴平分；
（2）①证明：∵是的直径，
∴，
∴，
∵，
∴
②如图2，连接，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
设的半径为r，
则，
∵，
∴，
∵，
∴，
整理得，
解得，（不符合题意，舍去），
∴的半径为5．
23．(1)
(2)
(3)或或
（1）解：∵为矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
由题意知，，
∴，
解得，，
∴矩形ABCD的“度量值”为，
（2）解：如图1，作于G，作的延长线于点H，
同理，，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，，
∴，
由勾股定理可得，，
∴，，
∴，整理得，，
解得，或（舍去）；
∴；
∴的“度量值”为；
（3）解：由题意知，分C点与邻边上的顶点重合，B点与邻边上的顶点重合，A点与邻边上的顶点重合，三种情况求解；
当点与邻边上的顶点重合时，如图2，作以为中直三角形的平行四边形，作的延长线于点H，作于G，
∴，，
∴，
∴，
设，则，
同理，，
∴，即，
解得，，
∴，，
∵，
∴，
解得，，
∴，
由勾股定理得，，
∴；
当点与邻边上的顶点重合，如图3，作以为中直三角形的平行四边形，作的延长线于点H，作于G，
同理，，，
设，则，
同理，，
∴，即，
解得，，
∴，，
∵，
∴，
解得，，
∴，
由勾股定理得，，
∴；
当点与邻边上的顶点重合，如图4，作以为中直三角形的平行四边形，作于Q，作于H，作的延长线于点G，则四边形是矩形，
∵，
∴，
∴，
设，则，，
同理，，
∴，即，
解得，，
∴，，，
∵，
∴，
解得，
∴，
由勾股定理得，，
∴；
综上所述：的值为或或．

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