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新疆生产建设兵团第二师八一中学2025-2026学年高二下学期期中考试数学试卷
一、单选题
1．等差数列中，，则（ ）
A．3 B．6
C．9 D．
2．已知函数的极值点为0，则（ ）
A．0 B． C． D．
3．函数的导函数的部分图象如图所示，则的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
4．的展开式中，常数项为（ ）
A． B． C．16 D．240
5．某地区有3个学生社会实践服务点A，B，C．4名学生需在寒假完成社会实践，每个服务点至少有一名学生，则不同的社会实践安排共有（ ）
A．72种 B．36种 C．24种 D．64种
6．某演讲比赛结束后，2名男同学、3名女同学和2位老师站成一排拍照留念，则2位老师相邻，且3名女同学不相邻的站法有（ ）
A．264种 B．288种 C．312种 D．336种
7．若数列的前项和，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．若函数在区间单调递增，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．下列有关数列的说法正确的是（ ）
A．数列与数列是同一个数列
B．数列的通项公式为，则120是该数列的第11项
C．在数列中，第8个数是
D．数列3，5，9，17，33，…的一个通项公式为
10．的展开式中，下列结论正确的是（ ）
A．展开式共7项 B．所有项的系数之和为2187
C．项系数为280 D．所有项的二项式系数之和为128
11．已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．e是函数定义域内的极小值点.
B．的单调减区间是.
C．若方程（）有两个不同的实根，则.
D．在定义域内无最小值，无最大值.
三、填空题
12．等差数列首项为1，公差是3，则第5项等于_____________．
13．函数的图象在点（1，）处的切线方程为_________．
14．已知，则______．
四、解答题
15．某职业学校外贸专业高二（1）班、（2）班、（3）班分别有7，9，10人参加技能兴趣选拔赛．
(1)如果选一人当组长，那么有多少种不同的选法？
(2)如果老师任组长，每班选一名副组长，那么有多少种不同的选法？
(3)如果推选两名学生参赛，要求这两人来自不同的班级，那么有多少种不同的选法？
16．在正项等比数列中，，．
(1)求的通项公式；
(2)若，证明是等差数列，并求的前项和．
17．已知函数在处取得极值．
(1)求函数的单调区间；
(2)求函数在区间的最大值与最小值．
18．已知数列为等差数列，，，数列的前项和为，且满足．
(1)求和的通项公式；
(2)若，求数列的前项和为．
19．已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)当时，恒成立，求的取值范围．
参考答案
1．B
【详解】因为等差数列中，，所以由等差中项的性质得.
故选：B.
2．C
【详解】，
因为，所以．
当时，由得，由得，
由得，
所以的极小值点为0，故．
3．B
【详解】设的零点分别为，其中，
当时，，当时，，
故在和上单调递增，在上单调递减，
只有选项B符合条件.
故选：B.
4．D
【详解】由展开式的通项得，
令，得，常数项为.
5．B
【详解】先从4名学生中选出2人组成一个小组，有种方法；
再将这个两人小组与其余2名学生安排到3个不同的服务点，有种方法，
根据分步乘法计数原理，共有种不同的安排.
故选：B
6．B
【详解】将2名老师作为一个元素和2名男男同学共3个元素全排列，共有种方法，
再让3名女同学插空，有种方法，所以满足条件的站法有种.
7．D
【详解】当，则，
而，显然不满足上式，所以.
故选：D
8．D
【详解】若函数在区间单调递增，
则在上恒成立，即在上恒成立；
又函数在上递减，所以恒成立，则
故的取值范围是.
故选：D.
9．CD
【详解】A：由为递增数列，而为递减数列，显然不是同一数列，错；
B：令，则，显然11不是方程的解，错；
C：由数列可改写为，
即数列通项为，所以第8个数是，对；
D：数列3，5，9，17，33，…可改写为，
所以一个通项公式为，对.
故选：CD
10．BCD
【详解】选项A：因为，所以展开式共有8项，故A错误；
选项B：令，则所有项的系数和为，故B正确；
选项C：展开式的项为，故C正确；
选项D：所有项的二项式系数和为，故D正确.
故选：BCD
11．ACD
【详解】对于A，定义域为，，令可得，
当时，，为减函数；当时，，为增函数；
所以是函数的极小值点，A正确；
对于B，由A可知当时，，为减函数，所以的单调减区间是和，B不正确；
对于C，由前面分析，的单调减区间是和，增区间为，极小值为e，
当时，，当时，，当时，，
简图如下，由图可知，方程（）有两个不同的实根，则，C正确；
对于D，由选项C可知，在定义域内无最小值，也无最大值，D正确
12．
【详解】设首项为1，公差是3的等差数列为，
则，
故.
故答案为：
13．
【详解】由题意得，，，，则所求的切线方程为，
即．
故答案为：.
14．
【详解】，
设，则，
解得，
设，则，
解得，
则.
15．(1)
(2)
(3)
【详解】（1）分三类：
选出的是高二（1）班的学生，有7种选法；
选出的是高二（2）班的学生，有9种选法；
选出的是高二（3）班的学生，有10种选法．
由分类加法计数原理，得不同的选法种数为．
（2）每班选一名副组长为一步，所以共有三步．
由分步乘法计数原理，得不同的选法种数为．
（3）分三类：高二（1）班和高二（2）班，
高二（1）班和高二（3）班，
高二（2）班和高二（3）班．
每类又分两步，故不同的选法种数为．
16．(1)；
(2)证明见解析，.
【详解】（1）设等比数列的公比为，则，，
由可得，整理化简得，
解得或（舍去），故.
（2）由（1）可知，，则．
因为，所以是以为首项，为公差的等差数列，
故．
17．(1)单调递增区间为和，单调递减区间为
(2)最大值为2，最小值为
【详解】（1）由，得
由题意得，即，解得，
故，定义域为，
，
令得或，令得，
故在上单调递增，在上单调递减，
易知为极小值点，符合题意，
所以单调递增区间为，，单调递减区间为；
（2）由（1）知，在，上单调递增，在上单调递减，
1
+ 0 - 0 +
单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
所以，．
又，，
故在区间上的最大值为2，最小值为．
18．(1)，
(2)
【详解】（1）设等差数列的公差为，则
解得，，所以．
由已知，①
当时，，得，
当，时，，②
①-②得，，即，又，
所以数列是以1为首项，3为公比的等比数列．
所以．
（2）数列．
则
所以
故
所以．
19．(1)当时，的增区间为，无减区间；当时，函数的减区间为，增区间为
(2)
【详解】（1）因为，其中，
①当时，恒成立，的增区间为，无减区间；
②当时，令，得，由可得，
由可得，
此时，函数的减区间为，增区间为；
综上所述：当时，的增区间为，无减区间；当时，函数的减区间为，增区间为．
（2）当时，恒成立，即恒成立，
令，则，其中，恒成立，
所以由可得，由可得，
故函数的减区间为，增区间为，
所以，即，故的取值范围是．

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