资源简介

江苏省南通市2024-2025学年高一下学期6月期末质量监测数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知，则（　　）
A． B．1 C． D．2
2．南通轨道交通1号线从南通西站到孩儿巷共个车站，某时刻各站上车的人数统计如下：，则这组数据的第百分位数为（　　）
A．25 B．30 C．55 D．60
3．已知向量，满足，，则在上的投影向量为（　　）
A． B． C． D．
4．在中，若，则的形状是（　　）
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
5．已知，，是三个不同的平面，l是一条直线，则下列说法正确的是（　　）
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，则
D．若，，则
6．已知，则（　　）
A． B． C． D．
7．已知圆台的上、下底面半径分别为1和2，它的侧面展开图是圆心角为的扇环，则该圆台的体积为（　　）
A． B． C． D．
8．如图，用三种不同元件连接成系统，每个元件是否正常工作不受其它元件的影响．当元件都正常工作或正常工作时，系统正常工作．已知元件正常工作的概率分别为，则系统正常工作的概率为（　　）
A．0.504 B．0.846 C．0.902 D．0.956
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列等式中，正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
10．依次抛掷两枚质地均匀的骰子，记“第一次向上的点数是1”为事件，“第二次向上的点数是偶数”为事件，“两次向上的点数之和是8”为事件，则（　　）
A．与B相互独立 B．与互斥
C． D．
11．在正三棱柱中，，，M为BC的中点，点N在棱上，且，则（　　）
A．
B．平面
C．直线MN与平面所成角为
D．三棱锥的外接球表面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知一组数据2，4，，6，8的平均数为5，该数据的方差为　 　．
13．在中，，，，且，则　 　．
14．在中，，的角平分线交于，，则面积的最小值为　 　．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．已知向量，满足，，与的夹角为．
（1）求；
（2）若，求k的值．
16．为调查学生体能状况，现从某校高一年级参加体能测试的学生中随机抽取100名学生的体能测试成绩，这组数据均在区间，其频率分布直方图如图所示．
（1）求m的值；
（2）用组中值估计该校高一学生的平均体能测试成绩；
（3）现用分层抽样的方法从区间，，抽取5人，再从抽取的5人中随机抽取2人，求这2人体能测试成绩在的概率．
17．已知，．
（1）求；
（2）若，求的值．
18．一副三角板按如图所示的方式拼接，将折起，使得．
（1）证明：平面平面；
（2）求二面角的余弦值；
（3）设BD，CD的中点分别为M，N，平面AMN与平面ABC的交线为l，求直线l与BD所成角的余弦值．
19．在平面四边形ABCD中，，，，．
（1）若A，B，C，D四点共圆，求AC；
（2）若为锐角，且四边形ABCD的面积为，求；
（3）求BD的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数的模
【解析】【解答】解：由题意，得，
由复数的模长公式，
得.
故答案为：C.
【分析】利用复数的运算性质，从而得到，再利用复数的模长公式，从而求解得出复数z的模.
2．【答案】D
【知识点】用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：因为，所以这组数据的第百分位数为第个数，即为，故D正确.
故答案为：D
【分析】本题考查百分位数的计算，核心是先确定数据位置，再根据定义找到对应的数值。
3．【答案】D
【知识点】数量积表示两个向量的夹角；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：由向量的夹角公式得，
由投影向量公式得在上的投影向量为，故D正确.
故答案为：D
【分析】本题考查向量投影向量的计算，核心是利用投影向量公式求解。
4．【答案】A
【知识点】两角和与差的正弦公式；正弦定理的应用；三角形的形状判断
【解析】【解答】解：在中，因为，
所以结合正弦定理可得，
则，可得，
由两角差的正弦公式得，
因为，，所以，
可得，解得，
即的形状是等腰三角形，故A正确.
故答案为：A
【分析】本题考查利用正弦定理与三角恒等变换判断三角形形状，核心是通过边化角及两角差的正弦公式，推导出A=B，从而确定三角形为等腰三角形。
5．【答案】C
【知识点】空间中直线与平面之间的位置关系；空间中平面与平面之间的位置关系
【解析】【解答】解：A，若，，则可能会相交也可能平行，故A错误，
B，若，，则可能会相交或平行，故B错误，
C，由线面垂直的性质得若，，则，故C正确，
D，若，，则或，故D错误.
故答案为：C
【分析】A：通过举反例，判断两个平面同时垂直于第三个平面时，是否一定平行；
B：通过举反例，判断一条直线同时平行于两个平面时，这两个平面是否一定平行；
C：利用线面垂直的性质定理，判断两个平面的位置关系；
D：通过举反例，判断直线平行于一个平面，该平面又平行于另一个平面时，直线与第二个平面的位置关系。
6．【答案】B
【知识点】二倍角的余弦公式；运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】解：由题意结合诱导公式，
得，
由二倍角的余弦公式，
得.
故答案为：B.
【分析】利用诱导公式将目标式化为，再利用二倍角的余弦公式得出的值.
7．【答案】A
【知识点】台体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：由题意得，圆台的上、下底面半径分别为1和2，
因为圆台的侧面展开图是圆心角为的扇环，
所以圆台的母线长度为，
设圆台的高为，
由勾股定理，得，
由圆台的体积公式，
则该圆台的体积为.
故答案为：A.
【分析】利用圆台的性质求出母线长度，再结合勾股定理求出圆台的高，再利用圆台的体积公式得出该圆台的体积.
8．【答案】D
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】解：由题意得，，，
且系统正常工作的对立事件为系统不都正常工作且也不正常工作，
而每个元件是否正常工作不受其它元件的影响，则相互独立，
可得不都正常工作的概率为，
故系统不正常工作的概率为，
由对立事件的概率公式得系统正常工作的概率为，故D正确.
故答案为：D
【分析】本题考查独立事件的概率计算，核心是通过分析系统正常工作的对立事件，利用对立事件的概率公式求解。
9．【答案】A,C
【知识点】两角和与差的正弦公式；两角和与差的正切公式；二倍角的余弦公式
【解析】【解答】A．由两角和的正弦公式：，A正确；
B．由二倍角余弦公式：，B错误；
C．展开，由，
得，代入得原式，C正确；
D．由两角差正切公式：，D错误。
故答案为：AC。
【分析】A：直接逆用两角和正弦公式；
B：逆用二倍角余弦公式，；
C：结合两角和正切公式变形化简；
D：逆用两角差正切公式，注意特殊角正切值。
10．【答案】A,B,C
【知识点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件；古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：由题意得共有个基本事件，
第一次向上的点数是1有，共6种情况，
由古典概型概率公式得，
第二次向上的点数是偶数有
，共种情况，
由古典概型概率公式得，
两次向上的点数之和是8有，共5种情况，
由古典概型概率公式得，
而事件表示第一次向上的点数是且第二次向上的点数是偶数，
符合条件的有，共3种，则，
下面，我们开始分析各个选项，
对于A，由已知得，，
满足，则与相互独立，故A正确，
对于B，事件表示第一次向上的点数是1和两次向上的点数之和是8至少有1个发生，
符合条件的有，
，共11个，故，
满足，可得与互斥，故B正确，
对于C，由概率加法公式得
，即C正确，
对于D， 题意得共有个基本事件，
则表示第二次向上的点数是偶数且两次且向上点数之和是8，
符合条件的有，共3种，则，故D错误.
故答案为：ABC
【分析】先通过古典概型求出 、、、、，再结合独立事件、互斥事件的定义及概率加法公式逐一判断选项。
11．【答案】A,B,D
【知识点】棱柱/棱锥/棱台的侧面积、表面积及应用；球内接多面体；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角
【解析】【解答】A：因为正三棱柱，所以平面，平面，
故，又因为三角形为正三角形，M为BC的中点，故，
因为，且平面，故平面，
又因为平面，所以，故A正确；
B：如图，连接两线相交于点O，
再连接OM，因为是正三棱柱，所以四边形为长方形，
故点O为直线的中点，又因为M为BC的中点，所以OM为三角形的中位线，
故，因为平面，平面，所以平面，故选项B正确；
C：
如图，找直线的中点H，直线AC的中点G，连接，因为，
所以点N是的四等分点，故点N为的中点，又因为M为BC的中点，
故，所以直线MN与平面所成角即为直线BH与平面所成角，
因为正三棱柱，所以平面，平面，故，
又因为三角形为正三角形，G为AC的中点，故，因为，
且平面，故平面，故即为所求线面角，
设线面角为，因为，
所以，故选项C错误；
D：因为正三棱柱，所以平面，所以球心到平面的距离为，
又因为三角形的外接圆圆心为，
所以外接球半径，故，故选项D正确；
故答案为：ABD
【分析】A：先证明 平面 ，再利用线面垂直的性质证明 ；
B：连接 与 交于点 ，利用中位线定理证明 ，进而证明线面平行；
C：建立空间直角坐标系，求出直线 与平面 所成角的正弦值，判断是否为 ；
D：分析三棱锥 的外接球，求出半径并计算表面积。
12．【答案】4
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】解：一组数据2，4，，6，8的平均数为5，即，解得，
所以该组数据的方差为.
故答案为：4
【分析】本题考查平均数与方差的计算，核心是先通过平均数求出未知数据a，再代入方差公式求解。
13．【答案】
【知识点】平面向量的基本定理；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：由于，故，故，
又，
故，
故，
故，
由于，故，
故答案为：
【分析】本题考查向量的线性运算与数量积，核心是先将和用、表示，再通过数量积公式求出，进而确定的大小。
14．【答案】8
【知识点】简单的三角恒等变换；二倍角的余弦公式；正弦定理的应用
【解析】【解答】解：
设在中，角所对的边分别为.
因为，所以，
所以，
由正弦定理可得，故，
因为为的角平分线，所以.
由得，
整理得，即.
因为，所以，当且仅当时取等号，
所以，故面积的最小值为8.
故答案为：8.
【分析】本题综合考查三角恒等变换、正弦定理、三角形面积公式及基本不等式，核心是先判断为直角三角形，再通过面积关系得到a，b的关系式，最后用基本不等式求面积最小值。
15．【答案】（1）解：由可得，
故，
故
（2）解：由于，故，
即，
故，解得，
【知识点】向量的模；平面向量的数量积运算
【解析】【分析】(1) 先求的模与，再用模长公式计算；
(2) 利用垂直向量的数量积为0，结合数量积的运算律求解的值。
（1）由可得，
故，
故
（2）由于，故，
即，
故，解得，
16．【答案】（1）解：由题意，可得，
解得.
（2）解：估计该校高一学生的平均体能测试成绩为：
（3）解：因为，，的频率分别为，
所以，，，的频率之比为，
因此，从，，抽取5个人，
则需要从，，分别抽取的人数为1，3，1，
设的1个人为，的3个人为，
的1一个人为，
所以，样本空间为：，共有10个，
则2人体能测试成绩在的样本点有共有3个，
则这2人体能测试成绩在的概率为.
【知识点】众数、中位数、平均数；概率的基本性质；古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】（1）根据已知条件和频率分布直方图中各小组的频率等于各小组矩形的面积，再利用频率之和为1得出实数m的值.
（2）根据频率分布直方图求平均数公式，从而估计出该校高一学生的平均体能测试成绩.
（3）先利用频率分布直方图中各小组的频率等于各小组矩形的面积和分层抽样的方法，从而列举出样本空间和2人体能测试成绩在的样本点，再利用古典概率公式得出这2人体能测试成绩在的概率.
（1）由题意可得，解得，
（2）平均数为
（3），，的频率分别为，故之比为，因此从，，抽取5个人，则需要从，，分别抽取的人数为1，3，1，
设的1个人为，的3个人为，的1一个人为，
故样本空间为，共有10个，
则2人体能测试成绩在的样本点有共有3个，
故概率为，
17．【答案】（1）解：因为，
所以，
化简得，
因为，所以，
所以，即，故.
（2）解：由，得，且，
所以.
因为，所以，
由得，
所以，
所以.
【知识点】两角和与差的正弦公式；二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【分析】(1) 利用和差角公式化简已知等式，再结合同角三角函数关系求；
(2) 先根据求，再由(1)的结果求，进而求，最后用两角差的正弦公式求。
（1）因为，
所以，
化简得，
因为，所以，
所以，即，故.
（2）由，得，且，
所以.
因为，所以，
由得，
所以，
所以.
18．【答案】（1）证明：，又，平面，
故平面，
又平面，故平面平面；
（2）解：取中点为，过作于，连接，
由（1）知平面平面，且两平面的交线为，
由于，是的中点，
故，平面，故平面，
平面，则，
结合，平面，
故平面，平面，故，
因此为二面角的平面角，
设，则，故
（3）解：由于M，N分别为BD，CD的中点，故，
平面，平面，
故平面，
平面，且平面与平面的交线为l，故，
故与所成的角即为直线l与BD所成角的角，
由于与所成的角为
故直线l与BD所成角的余弦值为．
【知识点】异面直线所成的角；直线与平面平行的性质；直线与平面垂直的判定；二面角及二面角的平面角
【解析】【分析】(1) 由线面垂直判定定理，证明 平面 ，进而推出面面垂直；
(2) 找二面角的平面角，利用几何关系计算其余弦值；
(3) 利用线面平行的性质，确定交线 与 平行，进而求异面直线所成角的余弦值。
（1），又，平面，
故平面，
又平面，故平面平面；
（2）取中点为，过作于，连接，
由（1）知平面平面，且两平面的交线为，
由于，是的中点，
故，平面，故平面，
平面，则，
结合，平面，
故平面，平面，故，
因此为二面角的平面角，
设，则，故
（3）由于M，N分别为BD，CD的中点，故，
平面，平面，
故平面，
平面，且平面与平面的交线为l，故，
故与所成的角即为直线l与BD所成角的角，
由于与所成的角为
故直线l与BD所成角的余弦值为．
19．【答案】（1）解：在中，由正弦定理可得，
结合，，故，
由于为的内角，所以，
因此，
由于A，B，C，D四点共圆，故，
因此在中，
（2）解：由（1）知，，，，
设，，则，
则四边形的面积为，
又，
因此，
故，结合，
可得，结合为锐角，
故，因此，
故，
因此，且，，
故
（3）解：由（2）可知，
由正弦定理可得，
所以，
在中，，
结合，故，
由于，所以，
故，
因此
【知识点】简单的三角恒等变换；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】(1) 在中用正弦定理求，再结合四点共圆的性质，在中用余弦定理求；
(2) 设，，用面积公式列方程求，再计算向量点积；
(3) 结合(2)的结论，将表示为关于的函数，利用三角函数的取值范围求的取值范围。
（1）在中，由正弦定理可得，
结合，，故，
由于为的内角，所以，
因此，
由于A，B，C，D四点共圆，故，
因此在中，
（2）由（1）知，，，，
设，，则，
则四边形的面积为，
又，
因此，
故，结合，
可得，结合为锐角，
故，因此，
故，
因此，且，，
故‘
（3）由（2）可知，
由正弦定理可得，
所以，
在中，，
结合，故，
由于，所以，
故，
因此
1 / 1江苏省南通市2024-2025学年高一下学期6月期末质量监测数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知，则（　　）
A． B．1 C． D．2
【答案】C
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数的模
【解析】【解答】解：由题意，得，
由复数的模长公式，
得.
故答案为：C.
【分析】利用复数的运算性质，从而得到，再利用复数的模长公式，从而求解得出复数z的模.
2．南通轨道交通1号线从南通西站到孩儿巷共个车站，某时刻各站上车的人数统计如下：，则这组数据的第百分位数为（　　）
A．25 B．30 C．55 D．60
【答案】D
【知识点】用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：因为，所以这组数据的第百分位数为第个数，即为，故D正确.
故答案为：D
【分析】本题考查百分位数的计算，核心是先确定数据位置，再根据定义找到对应的数值。
3．已知向量，满足，，则在上的投影向量为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】数量积表示两个向量的夹角；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：由向量的夹角公式得，
由投影向量公式得在上的投影向量为，故D正确.
故答案为：D
【分析】本题考查向量投影向量的计算，核心是利用投影向量公式求解。
4．在中，若，则的形状是（　　）
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
【答案】A
【知识点】两角和与差的正弦公式；正弦定理的应用；三角形的形状判断
【解析】【解答】解：在中，因为，
所以结合正弦定理可得，
则，可得，
由两角差的正弦公式得，
因为，，所以，
可得，解得，
即的形状是等腰三角形，故A正确.
故答案为：A
【分析】本题考查利用正弦定理与三角恒等变换判断三角形形状，核心是通过边化角及两角差的正弦公式，推导出A=B，从而确定三角形为等腰三角形。
5．已知，，是三个不同的平面，l是一条直线，则下列说法正确的是（　　）
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，则
D．若，，则
【答案】C
【知识点】空间中直线与平面之间的位置关系；空间中平面与平面之间的位置关系
【解析】【解答】解：A，若，，则可能会相交也可能平行，故A错误，
B，若，，则可能会相交或平行，故B错误，
C，由线面垂直的性质得若，，则，故C正确，
D，若，，则或，故D错误.
故答案为：C
【分析】A：通过举反例，判断两个平面同时垂直于第三个平面时，是否一定平行；
B：通过举反例，判断一条直线同时平行于两个平面时，这两个平面是否一定平行；
C：利用线面垂直的性质定理，判断两个平面的位置关系；
D：通过举反例，判断直线平行于一个平面，该平面又平行于另一个平面时，直线与第二个平面的位置关系。
6．已知，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二倍角的余弦公式；运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】解：由题意结合诱导公式，
得，
由二倍角的余弦公式，
得.
故答案为：B.
【分析】利用诱导公式将目标式化为，再利用二倍角的余弦公式得出的值.
7．已知圆台的上、下底面半径分别为1和2，它的侧面展开图是圆心角为的扇环，则该圆台的体积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】台体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：由题意得，圆台的上、下底面半径分别为1和2，
因为圆台的侧面展开图是圆心角为的扇环，
所以圆台的母线长度为，
设圆台的高为，
由勾股定理，得，
由圆台的体积公式，
则该圆台的体积为.
故答案为：A.
【分析】利用圆台的性质求出母线长度，再结合勾股定理求出圆台的高，再利用圆台的体积公式得出该圆台的体积.
8．如图，用三种不同元件连接成系统，每个元件是否正常工作不受其它元件的影响．当元件都正常工作或正常工作时，系统正常工作．已知元件正常工作的概率分别为，则系统正常工作的概率为（　　）
A．0.504 B．0.846 C．0.902 D．0.956
【答案】D
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】解：由题意得，，，
且系统正常工作的对立事件为系统不都正常工作且也不正常工作，
而每个元件是否正常工作不受其它元件的影响，则相互独立，
可得不都正常工作的概率为，
故系统不正常工作的概率为，
由对立事件的概率公式得系统正常工作的概率为，故D正确.
故答案为：D
【分析】本题考查独立事件的概率计算，核心是通过分析系统正常工作的对立事件，利用对立事件的概率公式求解。
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列等式中，正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】A,C
【知识点】两角和与差的正弦公式；两角和与差的正切公式；二倍角的余弦公式
【解析】【解答】A．由两角和的正弦公式：，A正确；
B．由二倍角余弦公式：，B错误；
C．展开，由，
得，代入得原式，C正确；
D．由两角差正切公式：，D错误。
故答案为：AC。
【分析】A：直接逆用两角和正弦公式；
B：逆用二倍角余弦公式，；
C：结合两角和正切公式变形化简；
D：逆用两角差正切公式，注意特殊角正切值。
10．依次抛掷两枚质地均匀的骰子，记“第一次向上的点数是1”为事件，“第二次向上的点数是偶数”为事件，“两次向上的点数之和是8”为事件，则（　　）
A．与B相互独立 B．与互斥
C． D．
【答案】A,B,C
【知识点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件；古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：由题意得共有个基本事件，
第一次向上的点数是1有，共6种情况，
由古典概型概率公式得，
第二次向上的点数是偶数有
，共种情况，
由古典概型概率公式得，
两次向上的点数之和是8有，共5种情况，
由古典概型概率公式得，
而事件表示第一次向上的点数是且第二次向上的点数是偶数，
符合条件的有，共3种，则，
下面，我们开始分析各个选项，
对于A，由已知得，，
满足，则与相互独立，故A正确，
对于B，事件表示第一次向上的点数是1和两次向上的点数之和是8至少有1个发生，
符合条件的有，
，共11个，故，
满足，可得与互斥，故B正确，
对于C，由概率加法公式得
，即C正确，
对于D， 题意得共有个基本事件，
则表示第二次向上的点数是偶数且两次且向上点数之和是8，
符合条件的有，共3种，则，故D错误.
故答案为：ABC
【分析】先通过古典概型求出 、、、、，再结合独立事件、互斥事件的定义及概率加法公式逐一判断选项。
11．在正三棱柱中，，，M为BC的中点，点N在棱上，且，则（　　）
A．
B．平面
C．直线MN与平面所成角为
D．三棱锥的外接球表面积为
【答案】A,B,D
【知识点】棱柱/棱锥/棱台的侧面积、表面积及应用；球内接多面体；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角
【解析】【解答】A：因为正三棱柱，所以平面，平面，
故，又因为三角形为正三角形，M为BC的中点，故，
因为，且平面，故平面，
又因为平面，所以，故A正确；
B：如图，连接两线相交于点O，
再连接OM，因为是正三棱柱，所以四边形为长方形，
故点O为直线的中点，又因为M为BC的中点，所以OM为三角形的中位线，
故，因为平面，平面，所以平面，故选项B正确；
C：
如图，找直线的中点H，直线AC的中点G，连接，因为，
所以点N是的四等分点，故点N为的中点，又因为M为BC的中点，
故，所以直线MN与平面所成角即为直线BH与平面所成角，
因为正三棱柱，所以平面，平面，故，
又因为三角形为正三角形，G为AC的中点，故，因为，
且平面，故平面，故即为所求线面角，
设线面角为，因为，
所以，故选项C错误；
D：因为正三棱柱，所以平面，所以球心到平面的距离为，
又因为三角形的外接圆圆心为，
所以外接球半径，故，故选项D正确；
故答案为：ABD
【分析】A：先证明 平面 ，再利用线面垂直的性质证明 ；
B：连接 与 交于点 ，利用中位线定理证明 ，进而证明线面平行；
C：建立空间直角坐标系，求出直线 与平面 所成角的正弦值，判断是否为 ；
D：分析三棱锥 的外接球，求出半径并计算表面积。
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知一组数据2，4，，6，8的平均数为5，该数据的方差为　 　．
【答案】4
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】解：一组数据2，4，，6，8的平均数为5，即，解得，
所以该组数据的方差为.
故答案为：4
【分析】本题考查平均数与方差的计算，核心是先通过平均数求出未知数据a，再代入方差公式求解。
13．在中，，，，且，则　 　．
【答案】
【知识点】平面向量的基本定理；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：由于，故，故，
又，
故，
故，
故，
由于，故，
故答案为：
【分析】本题考查向量的线性运算与数量积，核心是先将和用、表示，再通过数量积公式求出，进而确定的大小。
14．在中，，的角平分线交于，，则面积的最小值为　 　．
【答案】8
【知识点】简单的三角恒等变换；二倍角的余弦公式；正弦定理的应用
【解析】【解答】解：
设在中，角所对的边分别为.
因为，所以，
所以，
由正弦定理可得，故，
因为为的角平分线，所以.
由得，
整理得，即.
因为，所以，当且仅当时取等号，
所以，故面积的最小值为8.
故答案为：8.
【分析】本题综合考查三角恒等变换、正弦定理、三角形面积公式及基本不等式，核心是先判断为直角三角形，再通过面积关系得到a，b的关系式，最后用基本不等式求面积最小值。
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．已知向量，满足，，与的夹角为．
（1）求；
（2）若，求k的值．
【答案】（1）解：由可得，
故，
故
（2）解：由于，故，
即，
故，解得，
【知识点】向量的模；平面向量的数量积运算
【解析】【分析】(1) 先求的模与，再用模长公式计算；
(2) 利用垂直向量的数量积为0，结合数量积的运算律求解的值。
（1）由可得，
故，
故
（2）由于，故，
即，
故，解得，
16．为调查学生体能状况，现从某校高一年级参加体能测试的学生中随机抽取100名学生的体能测试成绩，这组数据均在区间，其频率分布直方图如图所示．
（1）求m的值；
（2）用组中值估计该校高一学生的平均体能测试成绩；
（3）现用分层抽样的方法从区间，，抽取5人，再从抽取的5人中随机抽取2人，求这2人体能测试成绩在的概率．
【答案】（1）解：由题意，可得，
解得.
（2）解：估计该校高一学生的平均体能测试成绩为：
（3）解：因为，，的频率分别为，
所以，，，的频率之比为，
因此，从，，抽取5个人，
则需要从，，分别抽取的人数为1，3，1，
设的1个人为，的3个人为，
的1一个人为，
所以，样本空间为：，共有10个，
则2人体能测试成绩在的样本点有共有3个，
则这2人体能测试成绩在的概率为.
【知识点】众数、中位数、平均数；概率的基本性质；古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】（1）根据已知条件和频率分布直方图中各小组的频率等于各小组矩形的面积，再利用频率之和为1得出实数m的值.
（2）根据频率分布直方图求平均数公式，从而估计出该校高一学生的平均体能测试成绩.
（3）先利用频率分布直方图中各小组的频率等于各小组矩形的面积和分层抽样的方法，从而列举出样本空间和2人体能测试成绩在的样本点，再利用古典概率公式得出这2人体能测试成绩在的概率.
（1）由题意可得，解得，
（2）平均数为
（3），，的频率分别为，故之比为，因此从，，抽取5个人，则需要从，，分别抽取的人数为1，3，1，
设的1个人为，的3个人为，的1一个人为，
故样本空间为，共有10个，
则2人体能测试成绩在的样本点有共有3个，
故概率为，
17．已知，．
（1）求；
（2）若，求的值．
【答案】（1）解：因为，
所以，
化简得，
因为，所以，
所以，即，故.
（2）解：由，得，且，
所以.
因为，所以，
由得，
所以，
所以.
【知识点】两角和与差的正弦公式；二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【分析】(1) 利用和差角公式化简已知等式，再结合同角三角函数关系求；
(2) 先根据求，再由(1)的结果求，进而求，最后用两角差的正弦公式求。
（1）因为，
所以，
化简得，
因为，所以，
所以，即，故.
（2）由，得，且，
所以.
因为，所以，
由得，
所以，
所以.
18．一副三角板按如图所示的方式拼接，将折起，使得．
（1）证明：平面平面；
（2）求二面角的余弦值；
（3）设BD，CD的中点分别为M，N，平面AMN与平面ABC的交线为l，求直线l与BD所成角的余弦值．
【答案】（1）证明：，又，平面，
故平面，
又平面，故平面平面；
（2）解：取中点为，过作于，连接，
由（1）知平面平面，且两平面的交线为，
由于，是的中点，
故，平面，故平面，
平面，则，
结合，平面，
故平面，平面，故，
因此为二面角的平面角，
设，则，故
（3）解：由于M，N分别为BD，CD的中点，故，
平面，平面，
故平面，
平面，且平面与平面的交线为l，故，
故与所成的角即为直线l与BD所成角的角，
由于与所成的角为
故直线l与BD所成角的余弦值为．
【知识点】异面直线所成的角；直线与平面平行的性质；直线与平面垂直的判定；二面角及二面角的平面角
【解析】【分析】(1) 由线面垂直判定定理，证明 平面 ，进而推出面面垂直；
(2) 找二面角的平面角，利用几何关系计算其余弦值；
(3) 利用线面平行的性质，确定交线 与 平行，进而求异面直线所成角的余弦值。
（1），又，平面，
故平面，
又平面，故平面平面；
（2）取中点为，过作于，连接，
由（1）知平面平面，且两平面的交线为，
由于，是的中点，
故，平面，故平面，
平面，则，
结合，平面，
故平面，平面，故，
因此为二面角的平面角，
设，则，故
（3）由于M，N分别为BD，CD的中点，故，
平面，平面，
故平面，
平面，且平面与平面的交线为l，故，
故与所成的角即为直线l与BD所成角的角，
由于与所成的角为
故直线l与BD所成角的余弦值为．
19．在平面四边形ABCD中，，，，．
（1）若A，B，C，D四点共圆，求AC；
（2）若为锐角，且四边形ABCD的面积为，求；
（3）求BD的取值范围．
【答案】（1）解：在中，由正弦定理可得，
结合，，故，
由于为的内角，所以，
因此，
由于A，B，C，D四点共圆，故，
因此在中，
（2）解：由（1）知，，，，
设，，则，
则四边形的面积为，
又，
因此，
故，结合，
可得，结合为锐角，
故，因此，
故，
因此，且，，
故
（3）解：由（2）可知，
由正弦定理可得，
所以，
在中，，
结合，故，
由于，所以，
故，
因此
【知识点】简单的三角恒等变换；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】(1) 在中用正弦定理求，再结合四点共圆的性质，在中用余弦定理求；
(2) 设，，用面积公式列方程求，再计算向量点积；
(3) 结合(2)的结论，将表示为关于的函数，利用三角函数的取值范围求的取值范围。
（1）在中，由正弦定理可得，
结合，，故，
由于为的内角，所以，
因此，
由于A，B，C，D四点共圆，故，
因此在中，
（2）由（1）知，，，，
设，，则，
则四边形的面积为，
又，
因此，
故，结合，
可得，结合为锐角，
故，因此，
故，
因此，且，，
故‘
（3）由（2）可知，
由正弦定理可得，
所以，
在中，，
结合，故，
由于，所以，
故，
因此
1 / 1

展开更多......

收起↑