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河南省平顶山市鲁山县第九教研区2026届九年级下学期中考第一次调研考试数学试卷
一、单选题
1．的绝对值是( )
A． B． C． D．
2．人体内一种细胞的直径约为1.56微米，相当于0.00000156米，数字0.00000156用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
3．在数据收集、整理、描述的过程中，下列说法错误的是（　　）
A．为了解1000只灯泡的使用寿命，从中抽取50只进行检测，此次抽样的样本容量是50
B．了解某校一个班级学生的身高情况，适合全面调查
C．了解商场的平均日营业额，选在周末进行调查，这种调查不具有代表性
D．甲、乙二人10次测试的平均分都是96分，且方差，，则发挥稳定的是甲
4．计算 的结果是（　　）
A．0 B．1 C．－1 D．x
5．如图，在中，，为边上的中线，，若，则的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．对于反比例函数，下列结论正确的是（ ）
A．点在该函数的图象上
B．该函数的图象分别位于第二、第四象限
C．当时，随的增大而增大
D．当时，随的增大而减小
7．一个由若干个大小相同的小正方体搭成的几何体，它的主视图和俯视图如图所示，那么组成该几何体所需小正方体的个数最少是（ ）
A．7 B．8 C．6 D．5
8．如图，菱形的边长为2，，边在数轴上，将绕点A顺时针旋转，点C落在数轴上的点E处，若点E表示的数是3，则点A表示的数是（ ）
A．1 B． C．0 D．
9．如图，将一枚飞镖任意投掷到正方形镖盘内，若飞锤落在镖盘内各点的机会相等，则飞镖落在阴影区域的概率为（ ）
A． B． C． D．
10．如图（1），在中，，点从点出发，沿三角形的边以的速度逆时针运动一周，图（2）是点运动时，线段的长度随运动时间变化的关系图象，则图（2）中点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．某工程队要修路，计划平均每天修，则计划完成此项工程的时间为________天．
12．如图，已知直线，直线，与直线，，分别交于点，，，，，，若，，，则的值是__________．

13．已知抛物线与轴有且只有一个交点，则的值为___．
14．如图，正八边形的边长为4，以顶点A为圆心，的长为半径画圆，则阴影部分的面积为__________（结果保留）．

15．矩形纸片中，，，点在边所在的直线上，且，将矩形纸片折叠，使点与点重合，折痕与，分别交于点，，则线段的长度为______．
三、解答题
16．（1）
（2）化简：．
17．为了解学生的安全知识掌握情况，某校举办了安全知识竞赛．现从七、八年级的学生中各随机抽取名学生的竞赛成绩（百分制）进行收集、整理、描述、分析．所有学生的成绩均高于分（成绩得分用表示，共分成四组：．；．；．；．），下面给出了部分信息：
七年级名学生的竞赛成绩为：
66，67，68，68，75，83，84，86，86，86，
86，87，87，89，95，95，96，98，98，100.
八年级名学生的竞赛成绩在组的数据是：81，82，84，87，88，89．
七、八年级所抽学生的竞赛成绩统计表
年级 七年级 八年级
平均数
中位数
众数
根据以上信息，解答下列问题：
(1)上述图表中______，______，______；
(2)根据以上数据分析，你认为该校七、八年级中哪个年级学生的安全知识竞赛成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）；
(3)该校七年级有名学生，八年级有名学生参加了此次安全知识竞赛，估计该校七、八年级参加此次安全知识竞赛成绩优秀的学生人数是多少？
18．如图，点在反比例函数的图象上，过点A作轴于点B，的面积为3．
(1)求k的值；
(2)请用无刻度的直尺和圆规作出的平分线；（要求：不写作法，保留作图痕迹，使用铅笔作图）
(3)设（2）中的角平分线与x轴相交于点C，延长到D，使，连接并延长交y轴于点E．求证：．
19．【阅读与思考】平移是初中几何变换之一，它可以将线段和角平移到一个新的位置，从而把分散的条件集中到一起，使问题得以解决．
【问题情景】如图1，在正方形中中，E、F、G分别是、、上的点，于点O，求证：．
小明尝试平移线段到，构造≌，使问题得到解决．
(1)【阅读理解】按照小明的思路，证明≌的依据是_______；
(2)【尝试应用】
如图2，在5×6的正方形网格中，点A、B、C、D为格点，交于点M．则的度数为_________；
(3)如图3，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都相等，A、B、C、D都在格点处，与相交于点P，求的值．
20．学校综合实践小组测量博学楼的高度．如图，点，，，，在同一平面内，点，，在同一水平线上，一组成员从19米高的厚德楼顶部测得博学楼的顶部的俯角为，另一组成员沿方向从厚德楼底部点向博学楼走15米到达点，在点测得博学楼顶部的仰角为，求博学楼的高度．（参考数据：，，，，，）
21．某中学为加强新时代中学生劳动教育，开辟了劳动教育实践基地．在基地建设过程中，需要采购煎蛋器和三明治机．经过调查，购买2台煎蛋器和1台三明治机需240元，购买1台煎蛋器和3台三明治机需395元．
(1)求煎蛋器和三明治机每台价格各是多少元；
(2)学校准备采购这两种机器共50台，其中要求三明治机的台数不少于煎蛋器台数的一半，请你给出最节省费用的购买方案．
22．5月中旬，樱桃相继成熟，果农们迎来了繁忙的采摘销售季．为了解樱桃的收益情况，从第1天销售开始，小明对自己家的两处樱桃园连续15天的销售情况进行了统计与分析：
A樱桃园 第天的单价、销售量与的关系如下表： 项目单价/（元/盒）销售量/盒第1天5020第2天4830第3天460第4天4450………第天
第天的单价与近似地满足一次函数关系，已知每天的固定成本为745元. B樱桃园 第天的利润（元）与的关系可以近似地用二次函数刻画，其图象如图.
(1)A樱桃园第天的单价是_____元/盒．（用含的代数式表示）
(2)求A樱桃园第天的利润（元）与的函数关系式．（利润=单价×销售量-固定成本）
(3)求第几天两处樱桃园的利润之和（即）最大，最大是多少元？
23．综合与实践
问题情境：
如图①，点为正方形内一点，，将绕点按顺时针方向旋转，得到（点的对应点为点），延长交于点，连接．
猜想证明：
（1）试判断四边形的形状，并说明理由；
（2）如图②，若，请猜想线段与的数量关系并加以证明；
解决问题：
（3）如图①，若，，请直接写出的长．
参考答案及解析
1．B
解析：解：的绝对值是．
2．C
解析：解：数字0.00000156用科学记数法表示为，
故选：C．
3．D
解析：解：A、为了解1000只灯泡的使用寿命，从中抽取50只进行检测，此次抽样的样本容量是50，说法正确，本选项不符合题意；
B、了解某校一个班级学生的身高情况，适合全面调查，说法正确，本选项不符合题意；
C、了解商场的平均日营业额，选在周末进行调查，这种调查不具有代表性，说法正确，本选项不符合题意；
D、甲、乙二人10次测试的平均分都是96分，且方差，，则发挥稳定的是乙，故原说法错误，符合题意；
故选：D．
4．C
解析：解：
=
=
=-1．
故选：C
5．B
解析：解：∵在中，，为边上的中线，
∴
∵，
∴
∴是的中位线，
∴
6．D
解析：、当时，，所以点在它的图象上，故选项不符合题意；
、由可知，它的图象在第一、三象限，故选项不符合题意；
、当时，随的增大而减小，故选项不符合题意；
、当时，随的增大而减小，故符合题意；
故选：D．
7．A
解析：解：根据俯视图可知，这个几何体的底层最少有个小正方体，
第二层最少有2个小正方体，
因此组成这个几何体的小正方体最少有个．
如图：（其中一种情形）
故选：A．
8．D
解析：解：作于点，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∵点E表示的数是3，
∴点A表示的数是，
故选：D．
9．C
解析：解：如图：连接，，设，则圆的直径为，
∵四边形是正方形，
∴，
∴小正方形的面积为：，
则飞镖落在阴影区域的概率为：．
故选：C．
10．D
解析：解：由函数图象可得：t=8（s）时，P点到达B点，即AB=8（cm），t=18（s）时，P点到达C点，即BC=18-8=10（cm），
在Rt△ABC中，由勾股定理可得AC=（cm），
当t=13（s）时，PB=13-8=5（cm），即P点到达BC中点，
如图1，过点P作PH⊥AB于H，连接AP，
则，
∴PH是△BCA的中位线，
∴PH=CA=3（cm），HA=HB=4（cm），
在Rt△PHA中，由勾股定理得PA=（cm），
∴P点坐标为（13，5），
故选：D．
11．
解析：∵工程队要修路，计划平均每天修，
∴划完成此项工程的时间为：天，
故答案为：．
12．6
解析：解：∵直线，
∴，
即，
∴．
故答案为：．
13．
解析：解：∵抛物线与轴有且只有一个交点，
∴方程有唯一解，
∴，
解得：，
故答案为：．
14．
解析：解：由题意，，
∴，
故答案为：．
15．或
解析：解：∵折叠，
∴，
∵四边形是矩形，
∴
∴，
又
∴
∴，
当点在点的右侧时，如图所示，设交于点，

∵，，，
∴中，，
则，
∵，
∴
∴，
当点在点的左侧时，如图所示，设交于点，
∵，，，
∴中，

则，
∵，
∴
∴，
综上所述，的长为：或，
故答案为：或．
16．（1）
（2）
解析：解：（1）
；
（2）
．
17．(1)，，；
(2)八年级学生竞赛成绩较好，理由见解析；
(3)该校七、八年级参加此次安全知识竞赛成绩优秀的学生人数是人．
解析：（1）根据七年级学生竞赛成绩可知：出现次数最多，则众数为，
八年级竞赛成绩中组：（人），
组：（人），
组：人，所占百分比为
组：（人）所占百分比为，则，
∴八年级的中位数为第个同学竞赛成绩的平均数，
即组第个同学竞赛成绩的平均数，
故答案为：，，；
（2）八年级学生竞赛成绩较好，理由：
七、八年级的平均分均为分，八年级的中位数高于七年级的中位数，整体上看八年级学生竞赛成绩较好；
（3）（人），
答：该校七、八年级参加此次安全知识竞赛成绩优秀的学生人数是人．
18．(1)
(2)画图见解析
(3)证明见解析
解析：（1）解：设点的坐标为，则，，
∴，
∴，
∵点在反比例函数的图象上，
∴；
（2）如图，射线即为的角平分线；
（3）如图，设与相交于点，
由（2）知，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵轴，
∴，
∴，
即．
19．(1)
(2)
(3)
解析：（1）∵四边形是正方形，
∴，，
∴．
∵，且，
∴，
∴，
∴．
∵，，
∴≌．
故答案为：；
（2）将平移至，
设正方形的边长为1，根据勾股定理可知，，，
∴，且，
∴是直角三角形，且，
∴．
∵，
∴．
故答案为：；
（3）将平移至，
设正方形的边长为1，根据勾股定理，得，，，
∴，，，
∴是直角三角形，且，
则．
∵，
∴，
∴．
20．博学楼的高度为9米
解析：解：过点作于点，由题意得，，，，，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
在中，∵，
∴，
∴设，
则，，
在中，∵，
∴，
解得：，
∴，
答：博学楼的高度为9米．
21．(1)煎蛋器单价为65元/台，三明治机单价为110元/台；
(2)购买方案为：购买煎蛋器33台，三明治机17台．
解析：（1）解：设煎蛋器每台x元，三明治机每台y元．
由题意得：，
解得：，
答：煎蛋器单价为65元/台，三明治机单价为110元/台；
（2）解：设煎蛋器采购a台，则三明治机采购台，
由题意得：，
解得：，
∵a只能取正整数，
∴a的最大值为33，
设总的购买费用为元，
∴
，
∵，
∴当时，费用最低，
此时的购买方案为：购买煎蛋器33台，三明治机17台；
答：购买方案为：购买煎蛋器33台，三明治机17台．
22．(1)；
(2)；
(3)第10天两处樱桃园的利润之和（即）最大，最大是4800元．
解析：（1）解：设第x天的单价，
由题意得，
解得，
；
（2）解：由题意，得；
（3）解：把，代入中，得
解得
关于的函数关系式为．
，，
．
，且（为正整数），
当时，有最大值，最大值为4800．
第10天两处樱桃园的利润之和（即）最大，最大是4800元．
23．（1）四边形是正方形，理由详见解析；（2），证明详见解析；（3）．
解析：解：（1）四边形是正方形
理由：由旋转可知：，，
又，
四边形是矩形．
∵．
四边形是正方形；
（2）．
证明：如图，过点作，垂足为，
则，
．
四边形是正方形，
，．
，
．
．
∵，
；
（3）如图：过E作EG⊥AD
∴GE//AB
∴∠1=∠2
设EF=x，则BE=FE＇=EF=BE＇=x，CE＇=AE=3+x
在Rt△AEB中，BE=x，AE=x+3，AB=15
∴AB2=BE2+AE2，即152=x2+（x+3）2，解得x=-12（舍），x=9
∴BE=9,AE=12
∴sin∠1= ,cos∠1=
∴sin∠2= ,cos∠2=
∴AG=7.2,GE=9.6
∴DG=15-7.2=7.8
∴DE=．

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