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同步探究学案
课题 23.2 一次函数的图象和性质 （第3课时） 单元 第二十三章 学科 数学 年级 八年级
学习 目标 1．会用待定系数法，由两点坐标求一次函数解析式． 2．能利用一次函数性质求函数值范围．
重点 掌握待定系数法求一次函数解析式的步骤，能由两点坐标列二元一次方程组求解k，b，并写出解析式．
难点 理解待定系数法的本质，能从实际情境中抽象出分段一次函数模型，并正确确定自变量的取值范围．
探究过程
导入新课 【引入思考】 1．什么是一次函数？正比例函数与一次函数有什么关系？ 2．一次函数的图象是什么？ 3．一次函数y＝kx＋b（k，b是常数，k≠0）有什么性质？
新知探究 本节课来研究： 本节我们学习待定系数法解一次函数解析式。 例1：已知一次函数的图象过点（2，－4）与（－3，11），求这个一次函数的解析式． 分析：求一次函数y＝kx＋b的解析式，关键是求出k，b的值．从已知条件可以列出关于k，b的二元一次方程组，进而求出k，b． 因为图象过（2，－4）与（－3，11）两点，所以这两点的坐标必满足解析式． 归纳：像这样先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而得出函数解析式的方法，叫作待定系数法． 由于一次函数y＝kx＋b中有k和b两个待定系数，所以用待定系数法时需要根据两个条件列二元一次方程组（以k和b为未知数）．解方程组后就能具体写出一次函数的解析式． 归纳：用待定系数法求一次函数解析式的步骤： （1）设一次函数的解析式为 y＝kx＋b(k≠0)； （2）将已知的 x，y 的对应值（至少两组）代入所设的解析式中，得到关于系数 k，b 的方程组； （3）解方程组求得系数 k，b 的值； （4）把 k，b 的值代入所设的解析式，写出解析式． 画一次函数的图象和用待定系数法求一次函数的解析式从两方面说明： 例2：一位记者乘坐汽车赴360km外的乡村采访，全程的前一部分为高速公路，后一部分为普通公路．汽车在高速公路和普通公路上分别以某一速度匀速行驶，汽车行驶的路程y（单位：km）与时间x（单位：ｈ）之间的关系如图所示． （1）求汽车行驶的路程y关于时间x的函数解析式； （2）记者出发后多长时间到达采访地？ 分析：问题中汽车行驶的速度不是固定不变的，它与行驶的时间范围有关．当0≤x≤2时，汽车行驶的速度较快；当x＞2时，汽车行驶的速度较慢．因此，求函数解析式时应对0≤x≤2和x＞2两个时段分别讨论． 想一想：由第（2）问的解答，你能进一步确定第（1）问中函数的自变量的取值范围吗？
课堂练习 【知识技能类练习】 必做： 1．已知y是x的一次函数，下表列出了部分对应值，则m的值是（ ） x023ym9
A．4 B．5 C． D． 2．若将直线向上平移个单位，使得平移后的直线经过点，则的值为_____． 3．一次函数图象经过，两点．求这个一次函数的解析式． 选做题： 4．若一次函数（，为常数，且）的图象经过点，且随的增大而减小，则这个函数的表达式可能是（ ） A． B． C． D． 【综合拓展类练习】 5．问界M6纯电版汽车于2026年4月22日正式发售，其中续航版本的CLTC综合续航里程约为．为了保护电池性能，厂家建议：当剩余续航里程低于（对应电量约）时就需要及时充电，保障电池寿命．假设该车在以平均时速匀速行驶时，剩余续航里程y（）与行驶时间x（h）满足一次函数关系，若出发时满电续航为． (1)求y与x之间的函数解析式； (2)行驶多长时间后，剩余续航达到充电提醒标准（）
课堂小结 说一说：今天这节课，你都有哪些收获？
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．已知直线经过点，则k的值为（ ） A． B．2 C． D． 2．若一次函数的图象经过，，三点，则m的值为________． 3．一次函数的图象过，两点． (1)求函数的表达式． (2)试判断点是否在函数的图象上，并说明理由． 选做题： 4．一次函数的图象经过点，且该一次函数的图象经过第二象限．若点在该一次函数的图象上，则点的坐标不可能为（ ） A． B． C． D． 【综合拓展类作业】 5．为响应节约用水号召，西安市自来水公司执行三级阶梯水价制度，具体收费标准如下： 每月用水量（吨）收费标准（元/吨）不超过12吨3.5超过12吨但不超过20吨的部分6超过20吨的部分8.3
(1)若小滨家一个月用水量为x吨，需缴纳水费y元，求y与x的函数关系式； (2)若小滨家3月份的水费账单为131.5元，求小滨家3月份的用水量．
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分课时教学设计
第四课时《23.2 一次函数的图象和性质（第3课时）》教学设计
课型 新授课 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 本课是连接一次函数图象、性质与实际应用的关键节点，也是学生掌握“由形到数”转化方法的核心课．教材通过第1道例题系统呈现待定系数法，明确了一次函数解析式与图象上两点坐标的对应关系，为后续解决分段函数、实际应用问题提供了通用方法；第2道例题的行程问题则进一步拓展了应用场景，体现了一次函数在解决实际问题中的工具价值．本课既是对前几课时图象、性质知识的巩固与深化，也为后续学习一次函数与方程、不等式的联系及综合应用奠定了方法基础，在单元知识体系中起到承上启下的关键作用．
学习者分析 学生已掌握一次函数的图象、性质，了解二元一次方程组的解法，具备初步的数形结合意识．但学生对“待定系数法”的本质理解不足，难以建立“两点坐标”与“解析式中k，b”的直接关联，列方程组时易出错；对分段函数的建模思路不清晰，在实际情境中容易忽略自变量的取值范围．同时，学生的应用建模能力仍需强化，需要通过典型例题引导，逐步掌握“设—列—解—写”的完整步骤，提升从实际问题中抽象函数模型的能力．
教学目标 1．会用待定系数法，由两点坐标求一次函数解析式． 2．能利用一次函数性质求函数值范围．
教学重点 掌握待定系数法求一次函数解析式的步骤，能由两点坐标列二元一次方程组求解k，b，并写出解析式．
教学难点 理解待定系数法的本质，能从实际情境中抽象出分段一次函数模型，并正确确定自变量的取值范围．
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：学习目标教师活动1： 师出示学习目标： 1．会用待定系数法，由两点坐标求一次函数解析式． 2．能利用一次函数性质求函数值范围．学生活动1： 学生齐声读本课的学习目标活动意图说明： 明确本节课的学习目标，使教师的教和学生的学有效结合在一起，激发学生的学习动力，提高学生课堂参与的兴趣与积极性．环节二：新知导入教师活动2： 问题：1．什么是一次函数？正比例函数与一次函数有什么关系？ 答案：形如y＝kx＋b（k，b是常数，k≠0）的函数，叫作一次函数． 当b＝0时，y＝kx＋b即y＝kx．所以说正比例函数是一种特殊的一次函数． 2．一次函数的图象是什么？ 答案：一次函数y＝kx＋b（k≠0）的图象是一条直线，我们称它为直线y＝kx＋b． 直线 y＝kx＋b 可以由直线 y＝kx 通过平移得到． 3．一次函数y＝kx＋b（k，b是常数，k≠0）有什么性质？ 答案：当k＞0时，y随x的增大而增大； 当k＜0时，y随x的增大而减小． 导入：我们已经会画一次函数的图象，也知道它的增减性规律．那反过来，如果知道一次函数图象上的两个点，能不能确定它的解析式呢？ 今天，我们就来学习一种专门解决这类问题的方法 ——待定系数法，一起解锁 “由点求式” 的新技能．学生活动2： 学生积极回答问题活动意图说明： 通过回顾一次函数的定义、图象与性质，唤醒学生已有知识，为新知搭建认知桥梁；再以 “由点求式” 的逆向问题制造认知冲突，自然引出待定系数法的学习需求，明确本课核心任务，有效激发学生的探究兴趣与学习主动性环节三：新知讲解教师活动3： 例1：已知一次函数的图象过点（2，－4）与（－3，11），求这个一次函数的解析式． 分析：求一次函数y＝kx＋b的解析式，关键是求出k，b的值．从已知条件可以列出关于k，b的二元一次方程组，进而求出k，b． 因为图象过（2，－4）与（－3，11）两点，所以这两点的坐标必满足解析式． 解：设这个一次函数的解析式为y＝kx＋b（k≠0）．因为y＝kx＋b的图象过点（2，－4）与（－3，11），所以 ， 解这个方程组，得 ． 因此，这个一次函数的解析式为y＝－3x＋2． 归纳：像这样先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而得出函数解析式的方法，叫作待定系数法． 讲解：由于一次函数y＝kx＋b中有k和b两个待定系数，所以用待定系数法时需要根据两个条件列二元一次方程组（以k和b为未知数）．解方程组后就能具体写出一次函数的解析式． 归纳：用待定系数法求一次函数解析式的步骤： （1）设一次函数的解析式为 y＝kx＋b(k≠0)； （2）将已知的 x，y 的对应值（至少两组）代入所设的解析式中，得到关于系数 k，b 的方程组； （3）解方程组求得系数 k，b 的值； （4）把 k，b 的值代入所设的解析式，写出解析式． 讲解：画一次函数的图象和用待定系数法求一次函数的解析式从两方面说明： 例2：一位记者乘坐汽车赴360km外的乡村采访，全程的前一部分为高速公路，后一部分为普通公路．汽车在高速公路和普通公路上分别以某一速度匀速行驶，汽车行驶的路程y（单位：km）与时间x（单位：ｈ）之间的关系如图所示． （1）求汽车行驶的路程y关于时间x的函数解析式； （2）记者出发后多长时间到达采访地？ 分析：问题中汽车行驶的速度不是固定不变的，它与行驶的时间范围有关．当0≤x≤2时，汽车行驶的速度较快；当x＞2时，汽车行驶的速度较慢．因此，求函数解析式时应对0≤x≤2和x＞2两个时段分别讨论． 解：（1）当0≤x≤2时，函数图象是经过原点和点A的直线的一部分，设函数的解析式为y＝k1x．因为它的图象过点A（2，180），所以180＝2k1，解得k1＝90． 因此，当0≤x≤2时，函数的解析式为y＝90x． 当x＞2时，函数图象是经过A，B两点的直线的一部分．我们求出直线AB所对应的一次函数的解析式．设这个一次函数的解析式为y＝k2x＋b2，把点A，B的坐标分别代入y＝k2x＋b2，得 ， 解这个方程组，得 ． 因此，当x＞2时，函数的解析式为y＝60x＋60． 综上，当0≤x≤2时，y＝90x；当x＞2时，y＝60x＋60． （2）由图象可知，当y＝360时，x＞2． 由360＝60x＋60，解得x＝5． 因此，记者在出发5ｈ后到达采访地． 追问：由第（2）问的解答，你能进一步确定第（1）问中函数的自变量的取值范围吗？学生活动3： 学生独立思考后小组合作探究，班内交流后认真听老师的点评和讲解 活动意图说明： 借助第1道例题讲解待定系数法的原理与步骤，引导学生建立“两点坐标”与“一次函数解析式”的对应关系；第2道例题通过基础求解析式与分段函数应用，巩固方法并提升建模能力，落实数形结合与方程思想的渗透环节四：课堂小结教师活动4： 问题：本节课你都学习到了哪些知识？ 教师通过学生的回答，进行归纳 学生活动4： 学生积极回顾本节课学习到的知识活动意图说明： 通过学生自己回顾、总结、梳理所学的知识，将所学的知识与以前学过的知识进行紧密联系，完善认知结构和知识体系．
板书设计 课题：23.2一次函数的图象和性质（第3课时）一、待定系数法的概念 二、用待定系数法求一次函数解析式的步骤 三、在实际问题中确定一次函数解析式的两个关键教师板演区学生展示区
课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．已知y是x的一次函数，下表列出了部分对应值，则m的值是（ ） x023ym9
A．4 B．5 C． D． 答案：B 2．若将直线向上平移个单位，使得平移后的直线经过点，则的值为_____． 答案：2 3．一次函数图象经过，两点．求这个一次函数的解析式． 解：设一次函数解析式为，把，代入得， ， 解得 ∴一次函数解析式为． 选做题： 4．若一次函数（，为常数，且）的图象经过点，且随的增大而减小，则这个函数的表达式可能是（ ） A． B． C． D． 答案：D 【综合拓展类练习】 5．问界M6纯电版汽车于2026年4月22日正式发售，其中续航版本的CLTC综合续航里程约为．为了保护电池性能，厂家建议：当剩余续航里程低于（对应电量约）时就需要及时充电，保障电池寿命．假设该车在以平均时速匀速行驶时，剩余续航里程y（）与行驶时间x（h）满足一次函数关系，若出发时满电续航为． (1)求y与x之间的函数解析式； (2)行驶多长时间后，剩余续航达到充电提醒标准（） 解：（1）设函数解析式为：， 当时，，代入得， ∵汽车以平均时速匀速行驶，x小时行驶的路程为， ∴函数解析式为：； （2）令，代入解析式：， 解得：， 所以行驶小时后，剩余续航达到充电提醒标准．
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．已知直线经过点，则k的值为（ ） A． B．2 C． D． 答案：A 2．若一次函数的图象经过，，三点，则m的值为________． 答案：3 3．一次函数的图象过，两点． (1)求函数的表达式． (2)试判断点是否在函数的图象上，并说明理由． 解：（1）设函数的表达式为， 将，代入表达式， 可得：， 解得， 即； （2）在函数的图象上， 理由如下：当时，， 即点在函数图象上． 选做题： 4．一次函数的图象经过点，且该一次函数的图象经过第二象限．若点在该一次函数的图象上，则点的坐标不可能为（ ） A． B． C． D． 答案：C 【综合拓展类作业】 5．为响应节约用水号召，西安市自来水公司执行三级阶梯水价制度，具体收费标准如下： 每月用水量（吨）收费标准（元/吨）不超过12吨3.5超过12吨但不超过20吨的部分6超过20吨的部分8.3
(1)若小滨家一个月用水量为x吨，需缴纳水费y元，求y与x的函数关系式； (2)若小滨家3月份的水费账单为131.5元，求小滨家3月份的用水量． 解：（1）当时，； 当时，， 所以y与x的函数关系式为； （2）∵，且， ∴将代入，得， 解得， 所以小滨家3月份的用水量是25吨．
教学反思 本课通过两道例题的探究，学生基本掌握了待定系数法的步骤，能由两点坐标求一次函数解析式．但部分学生列方程组时易混淆坐标代入，对分段函数的建模和自变量范围的确定仍有困难．后续需增加针对性练习，强化“两点坐标满足解析式”的本质理解；同时，结合生活实例，引导学生分析情境中的分段条件，提升建模能力，深化对一次函数应用价值的认识．
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第二十三章 一次函数
23.2 一次函数的图象和性质
（第3课时）
1．会用待定系数法，由两点坐标求一次函数解析式．
2．能利用一次函数性质求函数值范围．
1．什么是一次函数？正比例函数与一次函数有什么关系？
形如y＝kx＋b（k，b是常数，k≠0）的函数，叫作一次函数．
当b＝0时，y＝kx＋b即y＝kx．所以说正比例函数是一种特殊的一次函数．
2．一次函数的图象是什么？
一次函数y＝kx＋b（k≠0）的图象是一条直线，我们称它为直线y＝kx＋b．
直线 y＝kx＋b 可以由直线 y＝kx 通过平移得到．
3．一次函数y＝kx＋b（k，b是常数，k≠0）有什么性质？
当k＞0时，y随x的增大而增大；
当k＜0时，y随x的增大而减小．
我们已经会画一次函数的图象，也知道它的增减性规律．那反过来，如果知道一次函数图象上的两个点，能不能确定它的解析式呢？
今天，我们就来学习一种专门解决这类问题的方法 ——待定系数法，一起解锁 “由点求式” 的新技能．
例1：已知一次函数的图象过点（2，－4）与（－3，11），求这个一次函数的解析式．
分析：求一次函数y＝kx＋b的解析式，关键是求出k，b的值．从已知条件可以列出关于k，b的二元一次方程组，进而求出k，b．因为图象过（2，－4）与（－3，11）两点，所以这两点的坐标必满足解析式．
例1：已知一次函数的图象过点（2，－4）与（－3，11），求这个一次函数的解析式．
解：设这个一次函数的解析式为y＝kx＋b（k≠0）．因为y＝kx＋b的图象过点（2，－4）与（－3，11），所以
，
解这个方程组，得
．
因此，这个一次函数的解析式为y＝－3x＋2．
像这样先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而得出函数解析式的方法，叫作待定系数法．
由于一次函数y＝kx＋b中有k和b两个待定系数，所以用待定系数法时需要根据两个条件列二元一次方程组（以k和b为未知数）．解方程组后就能具体写出一次函数的解析式．
用待定系数法求一次函数解析式的步骤：
（1）设一次函数的解析式为 y＝kx＋b(k≠0)；
（2）将已知的 x，y 的对应值（至少两组）代入所设的解析式中，得到关于系数 k，b 的方程组；
（3）解方程组求得系数 k，b 的值；
（4）把 k，b 的值代入所设的解析式，写出解析式．
　　画一次函数的图象和用待定系数法求一次函数的解析式从两方面说明：
函数解析式
y＝kx＋b
满足条件的两定点
(x1，y1)与(x2，y2)
一次函数的图象
直线 l
选取
解出
画出
选取
例2：一位记者乘坐汽车赴360km外的乡村采访，全程的前一部分为高速公路，后一部分为普通公路．汽车在高速公路和普通公路上分别以某一速度匀速行驶，汽车行驶的路程y（单位：km）与时间x（单位：h）之间的关系如图所示．
（1）求汽车行驶的路程y关于时间x的函数解析式；
（2）记者出发后多长时间到达采访地？
分析：问题中汽车行驶的速度不是固定不变的，它与行驶的时间范围有关．当0≤x≤2时，汽车行驶的速度较快；当x＞2时，汽车行驶的速度较慢．因此，求函数解析式时应对0≤x≤2和x＞2两个时段分别讨论．
解：（1）当0≤x≤2时，函数图象是经过原点和点A的直线的一部分，设函数的解析式为y＝k1x．因为它的图象过点A（2，180），所以180＝2k1，解得k1＝90．
因此，当0≤x≤2时，函数的解析式为y＝90x．
当x＞2时，函数图象是经过A，B两点的直线的一部分．我们求出直线AB所对应的一次函数的解析式．设这个一次函数的解析式为y＝k2x＋b2，把点A，B的坐标分别代入y＝k2x＋b2，得
，解这个方程组，得．
因此，当x＞2时，函数的解析式为y＝60x＋60．
综上，当0≤x≤2时，y＝90x；当x＞2时，y＝60x＋60．
（2）由图象可知，当y＝360时，x＞2．
由360＝60x＋60，解得x＝5．
因此，记者在出发5ｈ后到达采访地．
由第（2）问的解答，你能进一步确定第（1）问中函数的自变量的取值范围吗？
在实际问题中确定一次函数解析式的两个关键
（1）根据实际问题确定函数类型（是一次函数还是正比例函数），并设出相应的函数解析式．
（2）根据函数解析式中未知系数的个数，在实际问题中获取相等组数的自变量与函数的对应值．
【知识技能类练习】必做题：
【知识技能类练习】必做题：
【知识技能类练习】必做题：
【知识技能类练习】选做题：
【综合拓展类练习】
【综合拓展类练习】
用待定系数法求一次函数的解析式
在实际问题中确定一次函数解析式的两个关键
待定系数法的概念
用待定系数法求一次函数解析式的步骤
【知识技能类作业】必做题：
【知识技能类作业】必做题：
【知识技能类作业】必做题：
【知识技能类作业】选做题：
【综合拓展类作业】
【综合拓展类作业】

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