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湖北楚天协作体2025-2026学年高一下学期4月期中考试数学试题
一、单选题
1．在复平面内，对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．已知向量，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．已知，那么（ ）
A． B． C． D．
4．在平行四边形ABCD中，是BC上的点，且交BD于，则（ ）
A． B． C． D．
5．为了得到函数的图像，可以将函数的图象上（ ）
A．每个点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再向左平移个单位
B．每个点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再向右平移个单位
C．每个点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，再向右平移个单位
D．每个点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，再向左平移个单位
6．在中，向量与满足，且，则为（ ）
A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰非等边三角形
7．如图，在中，M，N分别是AB，AC的中点，D，E是线段BC上两个动点，且，则的最小值为（ ）
A．3 B． C．4 D．
8．已知函数在上存在最值，且是单调递增区间的子集，则满足条件的正整数的取值为（ ）
A．3 B．4 C．3或4 D．4或5
二、多选题
9．已知向量，则（ ）
A．若，则
B．若，则
C．的最小值为
D．若向量与向量的夹角为锐角，则的取值范围是
10．函数部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．函数的零点为
C．若实数满足，则
D．若在区间上的值域为，则实数的取值范围为
11．已知三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，则下列选项正确的是（ ）
A．的大小是
B．的取值范围是
C．若是BC边上的一点，且，则的面积的最大值为
D．若三角形ABC是锐角三角形，AE平分交BC于点，则的取值范围是
三、填空题
12．已知向量，满足，则在上的投影向量的坐标为______．
13．已知函数的部分图象如图所示，若存在，满足，则__________.
14．在中，在边所在直线上，且满足，，则______.
四、解答题
15．如图，、分别是的边、上的点，且，，交于.
(1)若，求的值；
(2)若，求的大小.
16．如图，某公园新建摩天轮，其半径为50m，圆心距地面的高度为60m，摩天轮开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，每15min转一圈，摩天轮上的点的起始位置在最低点处.
(1)已知在时刻（单位：）时点距离地面的高度（其中，，求函数解析式及当点旋转到距离地面的高度为85m时需要的最短时间；
(2)当点距离地面及以上时，可以看到公园的全貌，若游客可以在上面游玩，则游客在游玩过程中共有多少时间可以看到公园的全貌？
17．在中，角，，的对边分别为，，，且.
(1)求的值；
(2)若，当的周长最小时，求的值.
18．已知向量，函数.
(1)求的最小正周期；
(2)设函数满足.当时，函数与的图象有两个交点，求的取值范围；
(3)当时，求函数的最大值.
19．如图，设，且，当时，定义平面坐标系为的斜坐标系.在的斜坐标系中，任意一点的斜坐标这样定义：设分别为，正方向同向的单位向量，若向量，记向量在的斜坐标系中.
(1)若向量，求；
(2)已知向量，证明：；
(3)若向量的斜坐标分别为和，，设函数，，求不等式的解集.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B A C A B D C A ABD ACD
题号 11
答案 ABD
1．B
根据复数的运算法则，化简得到，结合复数的几何意义，即可求解.
【详解】由复数，可得复数在复平面对应的点为位于第二象限.
2．A
【详解】由，得，解得或，
则“”是“”的充分不必要条件.
3．C
借助辅助角公式可得，再利用诱导公式整体代换计算即可得.
【详解】，则，
则.
4．A
根据三角形相似计算出与的关系，再利用和表示出向量即可.
【详解】在平行四边形中有，
因为，所以，
所以.
5．B
【详解】将函数的图象上每个点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，可以得到，
再向右平移个单位，得到.
6．D
由方向向量和向量垂直可得的角平分线与边垂直，再根据数量积定义和三角形内角和定理判断三角形形状即可.
【详解】、分别是、方向的单位向量，
两个单位向量的和方向为的角平分线方向，
由条件，可知的角平分线与边垂直，
因此，为等腰三角形.
由向量数量积的定义，可得：
是三角形内角，即，因此.
结合得，可得，
三个内角不全相等，故是等腰非等边三角形.
7．C
根据平面向量共线定理可设，知；根据分别为的中点，可得到，由此求得；根据，利用基本不等式可求得最小值.
【详解】四点共线，可设，其中，，
分别是的中点，，，
，
，，，
是线段上两个动点，，，
，
当且仅当，结合，，即时取等号，
的最小值为.
8．A
根据辅助角公式化简，确定的范围，由函数的单调区间求正整数的取值.
【详解】由辅助角公式，其中， 知，
由于，所以，则，
由于有单调递增区间，所以，解得，；
当时，，由，得，不符合正整数要求，舍去；
当时，，，得，符合正整数要求时，
，代入，又，得，在处取最大值；
故的值只能取3.
9．ABD
选项A，结合向量坐标运算和向量相等求解；选项B，利用垂直向量的数量积和向量坐标运算列方程求解；选项C，将转化为关于的二次函数形式，再利用二次函数求最值；选项D，结合向量坐标运算计算与的坐标，再分别根据数量积大于0、不共线的条件列不等式，求解的取值范围.
【详解】选项A，计算，因此，A正确；
选项B，，
因为，所以，B正确；
选项C，由，
可得，
这是开口向上的二次函数，时，取得最小值为，
因此的最小值为，C错误；
选项D，，，由夹角为锐角可得：
若，反向共线，不满足夹角为锐角（不影响范围），
所以范围是，D正确.
10．ACD
根据图象求出函数的解析式，结合三角函数的性质，逐次判断选项即可得出结论.
【详解】由函数的图象可知，，，则，，
由，解得，
因为，所以，，所以A正确.
对于B，令，解得，故B错误.
对于C，若实数满足，则分别取得最大值和最小值，
必为半周期的整数倍，所以，C正确.
对于D，，则，值域为，
所以，解得，即实数的取值范围为，故D正确.
11．ABD
利用正弦定理角化边，再利用余弦定理求出判断A；利用和差角的正弦公式化简，结合正弦函数性质判断B；利用数量积的运算律及基本不等式求出最大值，进而求出三角形的面积最大值判断C；利用三角形面积公式及差角的正弦公式变形，再利用正切函数的性质求出范围判断D.
【详解】在中，由及正弦定理，
得，整理得，
对于A，由余弦定理得，而，则，A正确；
对于B，由选项A，得，令，则，
，由，得，
因此，，B正确；
对于C，由，得，即，
两边平方得，则，即，
当且仅当时取等号，的面积，C错误；
对于D，由选项A及为锐角三角形，得，则，
由是内角的平分线，得
，D正确.
12．
本题可先根据向量垂直的性质求出的值，再根据投影向量的计算公式求出在上的投影向量的坐标.
【详解】已知，则.
因为，根据向量垂直的性质可知，即.
将代入上式可得，即，解得.
根据投影向量的计算公式，向量在向量上的投影向量为.
将，，代入可得：
.
故答案为：.
13．
本题主要考查正弦型函数的综合应用，先根据图像确定，的值，从而得出函数的表达式.
由正弦函数的对称性，将表示成的式子，再结合诱导公式，最后求出的值.
【详解】解：由图可知，则，又，所以，
所以，又，则，
因此，，又，
所以，当时，，此时；
当时，，，
又由图可知当时，，而，
，
所以函数.
当，则，
所以，由正弦函数的对称性，，可得，
且.
所以，
设，则，即，
所以.
14．
利用正弦，余弦定理及二倍角公式化简整理，最后解直角三角形即可．
【详解】
如图，由余弦定理得，
所以，因为，所以，
在中，由正弦定理得，得，则，，
在中，由余弦定理得，
因此得，所以，，
所以，
在中，，
所以．
15．(1)
(2)
（1）借助平面向量线性运算可用、表示、，再利用平面向量共线定理，可设，，则可借助与、及与、表示出，再利用平面向量基本定理即可得解；
（2）借助平面向量夹角公式及模长与数量积关系计算即可得.
【详解】（1）由，，
则，
，
设，，
则，
，
故，解得，即，
由，即，，故；
（2）由（1）知，，
故
，
故.
16．(1)；
(2)
（1）利用摩天轮半径可得、利用圆心距地面的高度可得，利用该函数周期可得，利用起始位置可得，即可得函数解析式；令，解出即可得需要的最短时间；
（2）由题意可令，解出即可得一个周期内可以看到公园的全貌的时间，即可得解.
【详解】（1）由题意可得，，周期，则，解得，
由摩天轮上的点的起始位置在最低点处，则，
即有，则，又，故，
故；
令，则，
则或，
解得或，
故所需最短时间为；
（2）令，即，
则，
解得，
则一个周期内有可以看到公园的全貌，
则当游客在上面游玩时，共有可以看到公园的全貌.
17．(1)
(2)
（1）借助正弦定理将边化为角后，利用两角和的正弦公式及辅助角公式计算即可得解；
（2）借助余弦定理可用表示出、，从而可用表示出的周长，再借助基本不等式计算即可得解.
【详解】（1）由正弦定理可得，
又，
则，
即，又，故，
则，故，
即，又，故，即；
（2）由余弦定理可得，
由，故，整理得，
故
，
当且仅当，即时，等号成立，
故当的周长最小时，的值为.
18．(1)
(2)
(3)
（1）利用诱导公式、二倍角和辅助角公式可化简，根据正弦型函数最小正周期求法可求得周期，利用正弦函数性质求解值域即可.
（2）将问题转化为与恰有两个交点的问题，结合正弦型函数图象可求得结果即可.
（3）运用二倍角公式将转化为，再令，再利用二次函数的知识求解.
【详解】（1），
，
，
的最小正周期．
（2）因为，
所以与的图象关于直线对称，
；
当时，，
则当，即时，单调递增；
当，即时，单调递减；
而，，，
可得在的大致图象，如下图所示，
而有两个零点等价于与有两个交点，
由上图可知.
（3）
，
令，得： ，
，，，
等价于求，的最大值，
的对称轴为，下面对进行分类讨论，
当，即时，在上单调递减，，
，即时，在上单调递增，在上单调递减，
，
当，即时，在上单调递增，
，
19．(1)
(2)证明见解析
(3)
【详解】（1）由，则，
则
；
（2）由，则，，
则
，即得证；
（3）由向量的斜坐标分别为和，，
结合（2）中所得，有，
，
，
故
，
由，
令，则，
故，
令，整理得，
解得或，又，故，
即，即，
即有，
解得，
即不等式的解集为.

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