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高一数学试卷
一、单选题
1．若（为虚数单位），则（ ）
A． B． C． D．
2．设为两个非零向量，则“”是“存在正数，使得”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
3．下列说法正确的是（ ）
A．正三棱锥就是正四面体
B．有两个面平行，其他各个面都是平行四边形的多面体是棱柱
C．圆锥的轴截面是圆锥所有过顶点的截面中面积最大的
D．七面体可以有10个顶点，5条侧棱
4．已知圆柱的上，下底面的中心分别为，过直线的平面截该圆柱所得的截面是面积为16的正方形，则该圆柱的体积为（　　）
A． B． C． D．
5．在中，角所对的边分别为，已知，且，则的形状为（ ）
A．钝角三角形 B．等腰直角三角形 C．直角三角形 D．等边三角形
6．欧拉公式（是自然对数的底数，是虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉提出的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关系.根据此公式，化简的结果为（ ）
A． B． C． D．
7．已知为的垂心，若，则（ ）
A． B． C． D．
8．“阿基米德多面体”也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美.如图，某广场的一张石凳就是一个阿基米德多面体，它是由正方体截去八个一样的四面体得到的十四面体，且它所有的棱长都为2.则下列结论中，错误的是（ ）
A．该石凳的表面积为
B．该石凳的体积为
C．有内切球，且内切球的体积为
D．有外接球，且外接球的表面积为
二、多选题
9．下列结论正确的是（ ）
A．若，则实数的取值范围是
B．若复数满足，则复数在复平面内对应的点所构成的图形的面积为
C．复数在复平面内对应的点不可能在第二象限
D．设均为复数则
10．在中，角所对的边分别为.若，则（ ）
A．时，外接圆周长为
B．时，的面积为
C．时，一定大于
D．时，有两解
11．如图是底面半径为3的圆锥，将其放倒在一平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点滚动，当这个圆锥在平面内转回原位置时，圆锥本身恰好滚动了3周，则（ ）
A．圆锥的侧面积为
B．圆锥的体积为
C．若一蚂蚁从点出发沿圆锥的侧面爬行一周回到点，则爬行的最短距离为
D．圆锥的外接球与内切球半径比值为
三、填空题
12．边长为1的正六边形的直观图的面积是__________.
13．已知平面向量，满足，，则向量在向量上的投影向量为__________.
14．已知向量，函数，若函数在内有两个不同的零点，则实数的取值范围为__________.
四、解答题
15．已知复数满足.
(1)求；
(2)若是实系数一元二次方程的一个根，求方程的另一个根和的值.
16．在平面直角坐标系中，，设.
(1)若，求的值；
(2)若与的夹角是钝角，求的取值范围.
17．如图，某铁质零件由一个正三棱台和一个正三棱柱组成，已知正三棱柱的底面边长与高均为1cm，正三棱台的下底面边长为2cm，且正三棱台的高为1cm，现有一盒这种零件共重（不包含盒子的质量），取铁的密度为．

(1)试问该盒中有多少个这样的零件？
(2)如果要给这盒零件的每个零件表面涂上一种特殊的材料，试问共需涂多少的材料？
18．在锐角中，角的对边分别为.
(1)求角；
(2)若边中线长为，求的面积；
(3)当时，的面积为，周长为，求的取值范围.
19．如图所示，设是平面内相交成的两条射线，分别为同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系.在仿射坐标系中，若，则记.
(1)仿射坐标系中，为非零向量，，以下两个结论①若，则；②若，则是否一定成立？（请说明理由）
(2)在仿射坐标系中，若，且与的夹角为，求的值；
(3)如图所示，在仿射坐标系中，分别在轴，轴正半轴上，，点分别为中点，求的最小值.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A B D D D D B C BD AC
题号 11
答案 ACD
1．A
根据复数的除法运算法则求解.
【详解】因为，所以.
2．B
【详解】为两个非零向量，，设两向量的夹角为.
充分性：，，即，解得；
不一定存在正数，使得成立，即充分性不成立.
必要性：存在正数，使得成立，；
，即必要性成立.
“”是“存在正数，使得”的必要而不充分条件.
3．D
根据空间几何体的结构特征，即可求解ABD,根据过圆锥顶点的截面图形特征和截面图的面积公式即可判断C.
【详解】对于A,如果正三棱锥侧棱与底面边长不相等，就不是正四面体，故A错误；
对于B, 如图所示，上下底面平行，各个面都是平行四边形，此几何体不是棱柱，故B错误；

对于C, 过圆锥顶点的截面为等腰三角形，且两腰长为母线长，
设该等腰三角形顶角为，则截面三角形面积为，
显然当，面积最大，故当圆锥的轴截面三角形顶角大于时，
圆锥的轴截面面积不一定是最大的，故C错误；
对于D, 正五棱柱有七个面，10个顶点，五条侧棱，D正确.
4．D
设圆柱的底面半径为，母线长为，根据题意求出，进而利用圆柱的体积公式即可求解.
【详解】设圆柱的底面半径为，母线长为，由题意得：，
因为过直线的平面截该圆柱所得的截面是面积为16的正方形，
所以，即，所以，
所以该圆柱的体积为，
故选：D.
5．D
由可得，由可得，确定是等边三角形.
【详解】由得，
所以，又，所以.
由，根据正弦定理可得，
又，，
所以，又，所以，
由正弦定理可得.因为，所以是等边三角形.
故选：D.
6．D
【详解】依题意，
7．B
由垂心的性质得到向量的数量积，解方程组求得，最后求.
【详解】因为是的垂心，所以，
因为，
所以，
，即，即，
，
，
，
所以，
.
8．C
由题目要求，还原正方体，在正方体中观察各选项中需要用到或者求解的线段、三角形和四边形，分别求出十四面体的表面积、体积，以及是否存在内切球及外接球.
【详解】A选项，该石凳由6个正方形和8个正三角形围成，它的表面积为，A正确；
B选项，如图，
该石凳由一个棱长为的正方体截去8个全等的正三棱锥，其体积为
，B正确；
C选项，该多面体由6个正方形和8个正三角形围成，到这6个正方形距离相等的点为原正方体的中心，
设该点为，到这6个正方形距离为，
设到8个正三角形的距离为，则，解得，
所以该多面体不存在内切球，C错误；
D选项，该多面体存在外接球，其球心为原正方体的中心，它到每个点的距离为原正方体面对角线的一半，即2，
所以球表面积为，D正确.
9．BD
由复数的概念计算判断A；由复数的几何意义计算判断B；由复数在复平面内点坐标的特点列不等式计算判断C；设，由共轭复数及复数的乘法计算判断D.
【详解】对于A，若，
则，解得，故A错误；
对于B，由复数模的几何意义可知，若复数满足，
则复数对应复平面上以原点为圆心，内半径为 2，外半径为 3 的圆环，
所以面积为，故B正确；
对于C，若复数在复平面内对应的点在第二象限，
则，解得，
所以当时，复数在复平面内对应的点在第二象限，故C错误；
对于D，设，
则，
所以，
所以，故D正确.
10．AC
根据正余弦定理逐个分析求解即可.
【详解】选项A，由正弦定理（为外接圆半径），代入，
，外接圆周长，A正确；
选项B，由余弦定理，代入得，
判别式，方程无解，三角形不存在，B错误；
选项C，代入到余弦定理得，
解得或，均满足.由正弦定理，得，C正确；
选项D，，，大边对大角，仅存在一个解；
或由余弦定理得，仅一个正根，三角形只有一解，D错误.
11．ACD
根据圆锥的性质可求解母线长，进而根据体积公式以及侧面积公式即可求解AB，根据展开图，即可求解C，利用勾股定理即可求解球半径.
【详解】设圆锥的母线长为，底面半径为，则以为圆心，为半径的圆的面积为，圆锥的侧面积，因为圆锥在平面内转到原位置时，圆锥本身滚动了3周，
所以圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为，解得，所以圆锥的母线长为9；圆锥的侧面积，故A正确；
圆锥的高，则圆锥的体积，故B错误，
如图为圆锥沿的侧面展开图，连接，
设，则，故，
则为等腰三角形，所以蚂蚁爬行的最短距离为，故C正确.
设外接球半径，则有，解得；
设内切球半径r，则有，解得；所以
12．
【详解】由于
边长为1的正六边形的面积为，
故其直观图的面积为.
13．
两边平方后求出，再利用投影向量的公式求解.
【详解】，
其中，所以，解得，
则在上的投影向量为.
14．
函数在内有两个不同的零点，等价于其对应的方程在给定区间内有两个不等实根，进而转化为两个函数在给定区间内有两个交点的问题，数形结合，即可求出参数的值.
【详解】
，因为函数在内有两个零点，
所以在内有两个实根，得，
即，
即函数在上的图象与直线有两个交点，
当时，，画出在上的图象如下，
结合函数图象可知，函数在区间上的图象与直线
有两个交点时，所以，即的取值范围是.
15．(1)
(2)，.
【详解】（1）设，
因为，则，
故.得，故；
（2）因为是实系数一元二次方程的一个根，
若，则也为实系数一元二次方程的一个根，
故，解得，故.
16．(1)
(2).
（1）求出的坐标，再根据两向量的数量积为，计算即得答案；
（2）由两向量夹角为钝角，可得两向量数量积小于0，且它们不能共线，列出不等式组求解即得的取值范围.
【详解】（1）由题意得，，
则，
又，所以，解得；
（2），
由与的夹角是钝角，可知且与不共线，
由得，解得；
又由与共线可得，得，
故的取值范围为.
17．(1)100个
(2)
（1）求出正三棱柱和正三棱台的体积，得到零件的质量和盒中零件数；
（2）作出辅助线，求出零件的表面积，得到答案.
【详解】（1）设等边三角形的边长为，则由三角形面积公式可得该三角形面积为，
故正三棱柱的体积，
正三棱台的体积，
所以该零件的质量为，
所以该盒中共有零件个．
（2）如图，设D，分别为三棱台所在棱的中点，O，分别为三棱台上、下底面的中心，
连接，OD，，．

因为，所以，
同理可得，
所以，
所以三棱台的侧面积为，
所以一个零件的表面积为．
因为，
所以共需涂的材料．
18．(1)
(2)
(3)
（1）根据给定条件，将正切化成正余弦，再逆用和角正弦公式求解.
（2）利用向量数量积的运算律及余弦定理求出，进而求出三角形面积.
（3）利用正弦定理及三角形面积公式，结合和差角的正弦化简，再利用余弦函数性质求出值域即可.
【详解】（1）在锐角中，由，得，
即，
由，得，，所以.
（2）由是边上的中线，得，
则，而，
于是，由余弦定理得，
又，则，联立解得，经验证为锐角三角形，
所以的面积为.
（3）由正弦定理得，则，
而，令，则，由锐角，得，
因此
，由，得，，
所以的取值范围是.
19．(1)①成立，②不成立，理由见解析
(2)
(3).
（1）根据向量坐标运算法则以及仿射坐标系定义利用共线定理和数量积坐标运算，即可判断①成立，②不成立；
（2）由仿射坐标系中向量坐标表示以及数量积的运算律计算可得结果；
（3）设，以为基底将表示出来，得出数量积的表达式，再由正弦定理以及辅助角公式计算即可得出最大值.
【详解】（1）①成立，②不成立.理由如下：
若，则存在非零实数满足，因此，即，所以①成立，
若，可得，
则，因此不成立，即②不成立；
（2）在仿射坐标系中，由，
可得，且，
所以，
，可得，
，
因为向量与的夹角为，可得，
解得；
（3）在仿射坐标系中，分别在轴，轴正半轴上，
设，其中，所以，
因为，点为中点，可得
又因为分别为中点，可得，
所以，
可得，
因为，所以，即，即，
又由向量，且，
所以，
因为，可得，
代入得，
又因为，
当且仅当时，即时，等号成立，
所以的最小值为.

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