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甘肃省兰州市八校2025-2026学年高一下学期期中考试
数学试卷
一、单选题
1．下列调查中最适合采用全面调查（普查）的是（ ）
A．了解兰州白兰瓜的甜度情况
B．了解某品牌新能源汽车电池的续航能力
C．了解兰州市中学生收看9月3日阅兵直播情况
D．对我国首艘电磁弹射航空母舰福建舰各零部件质量情况的调查
2．已知，，若，则实数的值为（ ）
A． B． C．2 D．4
3．已知某区中小学学生人数如图所示，为了解学生参加社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法来进行调查．若高中需抽取20名学生，则小学与初中共需抽取的人数为
A．30 B．40 C．70 D．90
4．已知角，且，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知，是方程的两根，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在平行四边形中，点满足，点为的中点，则（ ）

A． B． C． D．
7．在中，内角，，的对边分别为，，，且，，则角（ ）
A． B． C． D．
8．若M为所在平面内一点，且满足，则为（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形
二、多选题
9．有一组样本数据，由这组数据得到新样本数据，其中为非零常数，则两组样本数据的样本（ ）
A．平均数相同 B．中位数相同
C．标准差相同 D．极差相同
10．已知向量，，下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．与向量平行的单位向量仅有 D．向量与向量的夹角为
11．已知函数（），则下列说法正确的是（ ）
A．函数的图象关于轴对称
B．函数的最小正周期为
C．点为函数图象的一个对称中心
D．函数的最大值为1
三、填空题
12．数据的平均数是7，则这组数据的第百分位数为______．
13．的值为______．
14．已知，向量在向量上的投影向量为，则与夹角的余弦值为______.
四、解答题
15．某校100名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如下：
(1)求频率分布直方图中a的值；
(2)分别求出成绩落在与中的学生人数；
(3)估计这次考试的众数、平均数及78分以上的人数．
16．已知向量满足，，且与的夹角为．
(1)若，求实数的值；
(2)求与的夹角的大小．
17．已知在中，点是边上靠近点的四等分点，点在边上，且，设与相交于点．记，．

(1)请用，表示向量；
(2)若，设，的夹角为，若，求证：．
18．已知的内角所对的边分别为，，，且．
(1)求角的大小；
(2)若的面积为，中线，求．
19．已知向量，．
(1)当时，求的值；
(2)求在的最小值及相应的取值，并求出函数在的单调递增区间．
参考答案
1．D
解析：切开白兰瓜具有破坏性，故A不符合题意；
测试续航能力通常需要将电池完全放电，具有破坏性，故B不符合题意；
兰州市中学生人数众多，全面调查工作量巨大，故C不符合题意；
航空母舰中的每个零件的质量都至关重要，因此需要对其进行全面检查，故D符合题意.
2．A
解析：因为，所以，则，解得.
故选：A
3．C
解析：由题意可得，抽样比为：
则小学和初中共抽取：人
本题正确选项：
4．B
解析：由，即，
又由，可得，
则，可得，
，可得，
联立方程组，可得.
故选：B.
5．C
解析：由题意，，
则，且一正一负，
因，则，故.
故选：C.
6．B
解析：因为，所以.
因为点为的中点，所以，
所以.
故选：B.
7．D
解析：已知，
又因为，所以，
又由余弦定理，
又因为，
所以，
故选：D.
8．A
解析：由，得
所以，即，
两边平方并化简得，则，即，故，
所以是直角三角形.
故选：A
9．CD
解析：对于A，原样本数据的平均数，新样本数据的平均数（），所以A错误；
对于B,不妨设原样本数据,中位数为或,则新样本数据,中位数为或,B错误;
对于C，原样本数据的方差，新样本数据的方差为,所以,C正确；
对于D，不妨设样本数据中，分别为最小值和最大值，极差为，则新样本数据，，…，中，分别为最小值和最大值，极差为，所以D正确.
故选：CD.
10．ABD
解析：对于A，，，所以，故A正确；
对于B，，所以，故B正确；
对于C，，则有、，
即与向量平行的单位向量有、，故C错误；
对于D，，所以向量与向量的夹角为，故D正确．
故选：ABD
11．BD
解析：由题意可得：，
对于选项A：因为不为最值，
所以函数的图象不关于轴对称，故A错误；
对于选项B：函数的最小正周期为，故B正确；
对于选项C：因为，
所以点不为函数图象的一个对称中心，故C错误；
对于选项D：当，即时，
函数取到最大值为1，故D正确；
故选：BD.
12．
解析：因为数据的平均数是7，
所以，解得，
因为，
所以这组数据的第百分位数为第位数，即.
故答案为：.
13．/
解析：
14．
解析：设与的夹角为，则向量在向量上的投影向量为，
所以，所以.
15．(1)
(2)，
(3)众数：75 分；平均数：76.5 分；人
解析：（1）由题意得，解得.
（2）设为成绩落在上的概率，为成绩落在的人数，
由题意得，
设为成绩落在上的概率，为成绩落在的人数，
.
（3）由题意得众数为75分；
由（1）得成绩落在的频率为0.1，落在的频率为0.15，
落在的频率为0.35，落在的频率为0.3，落在的频率为0.1，
则平均数为，
设为78分以上的频率，为78分以上的人数，
则
，
故78分以上的人数为47人.
16．(1)
(2)
解析：（1）由题意可得，
因为，所以，
即，
解得．
（2）设与的夹角为，由（1）可知，，
由题意可得，
由，得，
所以，所以.
17．(1)
(2)证明见解析
解析：（1），由题意得，
所以．
（2）由题意，．
∵，，∴．
∴，
∴．
18．(1)
(2)
解析：（1）在中，，则，
因为，
则，
由正弦定理得：，
所以，
所以，
又，得，所以，即，
由，解得.
（2）因为的面积为，
所以，
由（1）知，故，
因为为中线，即为中点，
则，又，
则，所以，
解得，
由余弦定理得，
所以.
19．(1)
(2)时，；当时，函数单调递增
解析：（1）解：由向量，，
因为，可得，所以，
则.
（2）解：由函数，
因为，所以，所以，
所以，所以当，即时，，
令，可得，
因为，当时，函数单调递增，
所以函数的单调递增区间为.

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