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福建省永春第一中学2025-2026学年下学期高二年级期中考试数学科试卷
一、单选题
1．若函数的导函数为，且，则（ ）
A．0 B．2 C．4 D．1
2．某非遗手工作坊中有剪纸艺人3人，刺绣艺人4人，木雕艺人6人，每人均只会一种技艺类别，现从中选取2人担任联合展示嘉宾，且这2人掌握的技艺类别不同，则不同的选法种数为（ ）
A．27 B．54 C．60 D．78
3．设随机变量的分布列为，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知数列满足，，，则（ ）
A． B． C． D．
5．在二项式的展开式中，下列说法正确的是（ ）
A．第项的二项式系数最大
B．各项的系数和为
C．奇数项二项式系数和为
D．常数项为
6．下列说法错误的是（ ）
A．若随机变量，则
B．若，，，则事件与事件独立
C．若随机变量的方差，则
D．若随机变量服从正态分布，若，则
7．如图，在杨辉三角中，斜线l的上方从1按箭头所示方向可以构成一个“锯齿形”数列：1，3，3，4，6，5，10，…，将该数列中的奇数项依次取出组成一个新的数列，则（ ）
A． B． C． D．
8．若直线既是曲线的切线，也是曲线的切线，则使得的最大整数的值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．下列求导运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．已知m，且，则下列结论正确的是（ ）
A． B．若，则
C． D．
11．甲，乙，丙，丁，戊五人并排站成一排，下列说法正确的是（ ）
A．如果甲，乙必须相邻且乙在甲的右边，那么不同的排法有24种
B．最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有42种
C．甲乙不相邻的排法种数为82种
D．甲乙丙按从左到右的顺序排列的排法有20种
三、填空题
12．已知离散型随机变量的分布列服从两点分布，且，则______．
13．若，则_________．
14．若实数满足，则的最小值为__________.
四、解答题
15．已知函数，且的图象过点.
(1)求函数的解析式；
(2)过原点作曲线的两条切线，切点分别为，.求的面积.
16．已知等差数列和正项等比数列满足，，．
(1)求和的通项公式；
(2)若数列满足，求数列的前项和．
17．在马年春节联欢晚会上，多款人形机器人惊艳亮相，其精彩的表演赢得了观众的一致好评.某款人形机器人在排练时，导演对机器人下达了7个动作指令，机器人成功完成了其中5个.现从这7个指令中随机抽取4个进行回放分析，以表示抽取的指令中成功完成的个数.
(1)求的分布列和数学期望；
(2)另一款机器人，若对机器人下达的动作指令表述清晰，则机器人成功完成指令的概率为0.9；若对机器人下达的动作指令表述模糊，则成功完成指令的概率为0.5.设下达的动作指令表述模糊的概率为，若该机器人成功完成指令的概率为0.8，求的值；
18．某零部件代加工基地为某科技公司生产了一批精密零件，其质量指标（单位：μm）服从正态分布，已知当时，．规定质量指标在内的零件为优质品，且每个零件的检测结果相互独立．
(1)现从该批零件中随机抽取2个，求这2个零件中恰好有1个为优质品的概率；
(2)从该批零件中随机抽取6个进行检测，记这6个零件中有个优质品的概率最大，当这6个零件中恰好有个优质品时把这6个零件视为一个样本，从这6个零件中不放回地任取3个进行二次检测，记取出的3个零件中优质品的个数为，求的分布列与期望；
19．已知函数（）
(1)若，求函数的极值点；
(2)若在其定义域内单调递增，求实数的取值范围；
(3)若，且设，有两个零点，，其中，求的取值范围.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A B B C D C D A BC ABC
题号 11
答案 ABD
1．A
【详解】由，得到，
又因为，所以 ，
解得
2．B
【详解】2人掌握的技艺类别不同的选法共有种.
3．B
由随机变量的分布列的性质得到答案.
【详解】由题意知，解得.
故选：B.
4．C
方法一：分析可知数列是首项为，公差为1的等差数列，结合等差数列运算求解；方法二：根据递推公式求，发现规律，结合选项可得结果.
【详解】方法一：由题意可得：，则，
可得，即，
可知数列是首项为，公差为1的等差数列，
则，即，所以；
方法二：因为，，
可得，，，
据此可以发现规律，所以．
故选：C．
5．D
对A和C，根据条件，利用二项式系数的性质，即可求解；对B，令，代入求出各项系数和，即可求解；对D，利用展开式的通项公式，即可求解.
【详解】对于A，因为，所以第项的二项式系数最大，故A错误，
对于B，令，代入，得到，所以各项的系数和为，故B错误，
对于C，因为，则奇数项二项式系数和为，故C错误，
对于D，因为展开式的通项公式为，
令，得到，所以展开式的常数项为，故D正确.
6．C
【详解】对A：随机变量，则，故A正确；
对B：，所以，即事件与事件独立，故B正确；
对C：随机变量的方差，则，故C错误；
对D：随机变量服从正态分布，，
则，故D正确．
7．D
根据题意数列中…，观察数列特点可知，利用累加法求得，再由裂项求和计算可得出结果.
【详解】根据题意数列中…，
观察数列特点可知，
则，
显然满足上式，则，
，
.
故选：D.
8．A
设直线与曲线切于点，根据条件，利用导数的几何意义，可得使成立，即成立，构造函数，求出的最小值，即可求解.
【详解】设直线与曲线切于点，
又，由导数的几何意义知曲线在点处的切线方程为，
即，则，
设直线与曲线切于点，
又，由导数的几何意义知曲线在点处的切线方程为，
即，所以，且，
由，得到，代入，得到，
由，得到，即，
令，则，当时，，当时，，
所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，
则，所以，则使得的最大整数的值为.
9．BC
利用求导公式，导数的四则运算法则以及复合函数的求导法则对选项逐一检验即得.
【详解】对于A，因是常数，故，故A错误；
对于B，，故B正确；
对于C，，故C正确；
对于D，因，故D错误.
故选：BC.
10．ABC
对于A：根据阶乘的定义分析判断；对于B：根据组合数公式列式求解；对于C：根据组合数公式分析证明；对于D：举反例说明即可.
【详解】因为m，且，
对于选项A：由排列与组合的含义可以推出，故A正确；
对于选项B：因为，
整理得，解得或（舍去），故B正确；
对于选项C：因为
，
即，故C正确；
对于选项D：例如，则，
可知，故D错误；
故选：ABC.
11．ABD
对于A，根据甲，乙必须相邻且乙在甲的右边，利用捆绑法求解判断；对于B，分最左端排甲，和最左端排乙两类求解判断；对于C，根据甲乙不相邻，利用插空法求解判断；对于D，根据甲乙丙从左到右的顺序排列，通过除序法求解判断.
【详解】对于A，如果甲，乙必须相邻且乙在甲的右边，那么不同的排法有种，A正确；
对于B，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，若最左端排甲，有种排法；若最左端排乙，有种排法，合计不同的排法共有42种，B正确；
对于C，甲乙不相邻的排法种数有种，C不正确；
对于D，甲乙丙按从左到右的顺序排列的排法有种，D正确.
故选：ABD
12．
利用两点分布的概率和性质结合给定条件求解即可.
【详解】因为的分布列服从两点分布，所以，
因为，
所以．
故答案为：.
13．
根据二项展开式的通项公式和组合数的性质可求解.
【详解】因为二项式展开式的通项为且，
且，
则.
14．/1.5
通过对等式进行变形构造辅助函数，结合导数与单调性及最值的关系求解即可.
【详解】令，则等式变为，即.
设函数，则在上单调递增，
此时等式可写为，又，
所以，即.
所以.
令，则.
令，则，
所以单调递增，即单调递增.
令，则，则，当时，，
所以是的唯一解，
所以在上单调递减，在上单调递增，
故在时取得最小值，此时.
因为的最小值为.
故答案为：.
15．(1)
(2)
（1）将所给点代入函数解析式，解得的值即可；
（2）先求出时，过原点的曲线的切线方程，再根据是偶函数，由对称性求得另一条切线；求得切点坐标，根据形状利用面积公式求解即可.
【详解】（1）由已知得，即，
又，所以.故.
（2）当时，.
不妨设切点.所以.
故切线的方程为.
因为过原点，故，解得.
所以切线的方程为.
又为偶函数，其图象关于轴对称，
故切线的方程为.
所以切线的方程为.
可知，，由对称性可知，
为等腰三角形，其面积为
16．(1)；，
(2)
（1）根据等差数列和等比数列的性质求出，再列方程组求解；
（2）利用分组求和以及等差、等比求和公式计算.
【详解】（1）设的公差为，数列的公比为，
由，得，
因为，，所以，，得，，
故，；
（2）由（1）可知，，
则
17．(1)分布列为：
2 3 4
(2)
（1）由题设随机变量服从超几何分布，并求出对应概率，即可得分布列，再应用分布列或超几何分布的期望求法求期望；
（2）应用全概率公式求概率即可；
【详解】（1）由题意知随机变量服从超几何分布，其中，，，
且的所有可能取值为2，3，4，，，，
故的分布列为：
2 3 4
法一：所以的数学期望.
法二：根据超几何分布的期望公式知.
（2）记“下达的动作指令表述清晰”为事件，
记“下达的动作指令表述模糊”为事件，
记“机器人成功完成指令”为事件.
由已知得，，，，.
因为，
所以.
18．(1)
(2)
1 2 3
【详解】（1）因为，所以，，
所以从该批零件中随机抽取1个为优质品的概率，
所以从该批零件中随机抽取个，
恰好有个为优质品的概率为.
（2）设随机抽取的个零件中，优质品的个数为.
由题意得，，
所以，
因为，
当时，，
当时，，
所以.
由题意可得的所有可能取值为1，2，3，
，，，
所以的分布列为
1 2 3
.
19．(1)极大值点为，极小值点为.
(2)
(3)
【详解】（1）当时，，定义域为，
，
，得，
当时，，在上单调递减；
当或时，，在和上单调递增.
因此，极大值点为，极小值点为.
（2）函数的定义域为.
对求导得.
因为在其定义域内单调递增，所以在上恒成立，
即在上恒成立.
移项可得在上恒成立.
根据基本不等式（，，当且仅当时等号成立），
对于2，其中，，则，
当且仅当，即时等号成立.
所以，即实数m的取值范围是.
（3）由（2）知，因为有两个零点，，
所以，是方程的两个不相等的正实数根.
根据韦达定理，对于一元二次方程（），
两根，有，，
则在方程中，，.
因为，所以，且.
已知，即，解不等式，
两边同时除以，得，移项得，即，
因为，所以该不等式恒成立.
解不等式，两边同时乘以（）得，
因式分解得，解得，结合，可得.
设，，
，所以在上单调递减.
则，，
，
所以，即的取值范围是.

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