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数学文化—2026浙江中考数学高阶能力拓展专题
一、古代诗中的数学
1．中国古代《孙子算经》中有一道问题：今有四人共车，一车空；两人共车，八人步，问人与车各几何？这道题的意思是：今有若干人乘车．若每4人共乘一车，最终剩余1辆车，若每2人共乘一车、最终剩余8个人无车可乘，问有多少人，多少辆车？设有个人，则可列方程（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】一元一次方程的实际应用-古代数学问题；列一元一次方程；古代诗中的数学
【解析】【解答】解：设有个人，
∵每4人乘一车，恰好剩余1辆车无人坐，
∴总车数为，
∵每2人共乘一车，最终剩余8个人无车可乘，
∴总车数为，
∴有．
故答案为：A．
【分析】设有个人，根据每4人乘一车，最终剩余1辆车可得总车数为辆，根据每2人共乘一车，最终剩余8个人无车可乘可得总车数为辆，根据车辆总数不变可列关于x的方程，解方程即可求解．
2．《九章算术》中有这样一个题：“今有醇酒一斗，直钱五十；行酒一斗，直钱一十.今将钱三十，得酒二斗.问醇、行酒各得几何？其译文是：今有醇酒（优质酒）1斗，价值50钱；行酒（劣质酒）1斗，价值10钱；现有30钱，买得2斗酒.问醇酒、行酒各能买得多少？设醇酒为x斗，行酒为y斗，则可列二元一次方程组为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题；古代诗中的数学
【解析】【解答】解： 设醇酒为x斗，行酒为y斗，
根据题意可列方程组为： ，
故答案为：A.
【分析】根据“ 醇酒（优质酒）1斗，价值50钱；行酒（劣质酒）1斗，价值10钱 ”和“ 现有30钱，买得2斗酒 ”列出方程组即可.
3．《算法统宗》是中国古代数学名著，内有“以碗知僧”的题目为：巍巍古寺在山中，不知寺内几多僧．三百六十四只碗，恰合用尽不差争．三人共食一碗饭，四人共进一碗羹．请问先生能算者，都来寺内几多僧？大意是说：山上有一座古寺叫都来寺，在这座寺庙里，3个和尚合吃一碗饭，4个和尚合分一碗汤，一共用了364只碗．请问都来寺里有多少个和尚？若设有x个和尚，则可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】列一元一次方程；古代诗中的数学
【解析】【解答】解：根据题意，得，
故答案为：C．
【分析】设有个和尚，根据“3个和尚合吃一碗饭，4个和尚合分一碗汤，一共用了364只碗”，据此可得到关于的一元一次方程.
4．元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载了这样一道题：良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里．若驽马先行一十二日，问良马几日追及之？根据题意，若设良马x天可追上驽马，则下述所列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】一元一次方程的实际应用-古代数学问题；古代诗中的数学
【解析】【解答】解：设良马x天可以追上驽马，
依题意，得：．
故答案为：C．
【分析】设良马x天可以追上驽马，根据路程=速度×时间，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．
5．《诗经 大雅 抑》中写道：白圭之玷，尚可磨也；斯言之玷，不可为也．意思是白圭有了斑点，还可以磨掉；但人说错了话，就难以补救了．相传古时候有个乡绅摆宴席请客，他看到还有几个人没来，就自言自语：“怎么该来的还不来呢？”，客人们听了，心想难道我们是不该来的，于是有一半客人走了；他一看十分着急，又说了一句：“不该走的倒走了！”剩下的人一听，心想那就是说我们该走啊！于是剩下的客人又走了四分之三，他更着急地一拍大腿，连说：“我说的不是他们”，最后剩下的3人心想，不是他们那不就是我们呗，也都起身告辞走了．根据这个故事的叙述，你知道最开始来了　 　位客人吗？
【答案】24
【知识点】一元一次方程的实际应用-古代数学问题；古代诗中的数学
【解析】【解答】解：设开始来了位客人，
根据题意，得：，
解这个方程得：，
故答案为：24．
【分析】设开始来了位客人，则第一批走掉的客人数为，第二批走掉的客人数为，根据剩下的客人数等于原来的客人数减去两批走掉的客人数，列出关于字母x的方程，求解即可得出答案.
6．《冷庐杂识》有云：“近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余．”七巧板作为中国古老的益智玩具之一，已有千年的历史，素有“来自中国的拼图”“东方魔板”之称，是世界公认的中国优秀智力玩具代表作．如图，小明拼凑出爱心形状，若爱心的面积为48，那么七巧板中正方形的面积为　 　．
【答案】6
【知识点】七巧板与拼图制作；一元一次方程的实际应用-几何问题；古代诗中的数学
【解析】【解答】解：设的面积为，结合七巧板的性质可知各个图形的面积情况，如图所示：
根据题意可得，4x+4x+2x+2x+2x+x+x=48，
解得：，
则正方形的面积为2x=，
故答案为：6．
【分析】 设的面积为，根据爱心形状的面积之和为，列出方程求解即可解决问题．
7．幻方是古老的数字问题，在我国古代的《大戴礼记》《洛书》等书籍中均有所记载，在如图所示特殊的“十字幻方”中，横纵两个大长方形内五个数字之和都等于20，则 xy的值为(　　)
A．9 B．12 C．15 D．16
【答案】B
【知识点】一元一次方程的实际应用-数字、日历、年龄问题；幻方、幻圆数学问题
【解析】【解答】解：根据题意，得，
∴，
∴．
故答案为：B .
【分析】根据题意列出等式，即可得到，然后再根据完全平方公式的变形解答即可．
8．幻方最早起源于中国，在《自然科学大事年表》中，对幻方做了特别的述说：“公元前一世纪，《大戴礼》记载，中国古代有象征吉祥的河图、洛书、纵横图，即为九宫算，被认为是现代组合数学最古老的发现”．请将，，，0，1，2，3，4分别填入如图所示的幻方中，要求同一横行、同一竖行以及同一条斜对角线上的3个数相加都得0．则的值为　 　．
　 　
4 0 　
　
【答案】
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题；求代数式的值-直接代入求值；幻方、幻圆数学问题
【解析】【解答】解：如图，
4 0
由题意知，，，，，，
解得，，，，，，
∴，
故答案为：．
【分析】根据题意建立方程，解方程可得x，y值，再代入代数式即可求出答案.
9．《张丘建算经》由北魏数学家张丘建所著，其中有这样一个问题：“今有客不知其数．两人共盘，少两盘；三人共盘，长三盘．问客及盘各几何？”意思为：“现有若干名客人．若2个人共用1个盘子，则少2个盘子；若3个人共用1个盘子，则多出来3个盘子．问客人和盘子各有多少？”请你解答这个问题．
【答案】解： 设共有x位客人．
依题意，得，解得，
所以．
答：客人共有30位，盘子共有13个．
【知识点】一元一次方程的实际应用-古代数学问题；古代诗中的数学
【解析】【分析】设共有x位客人，由“若2个人共用1个盘子，则少2个盘子”可将盘子的总数可表示为“”，由“ 若3个人共用1个盘子，则多出来3个盘子 ”可将盘子的总数可表示为“”，根据盘子的总数不变，列出方程，求解得出x的值，进而再求出客人总数即可.
二、几何中的地域文化
10．作为中国非物质文化遗产之一的紫砂壶，成型工艺特别，造型样式丰富，色泽古朴典雅.如图是一把做工精湛的紫砂壶，其俯视图的大致形状是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：根据图形可得紫砂壶的俯视图为
故答案为：A.
【分析】利用三视图的定义并结合几何体分析求解即可.
11．“抖空竹”是一项历史悠久的民俗体育活动，它凭借其独特魅力，成为我国传统文化宝库中一颗璀璨的明珠.图1表示欢欢同学抖空竹的某一瞬间，欢欢同学将其抽象成如图2所示的数学问题：在同一平面内，AB∥CD，若∠D=75°，∠E=28°，则∠B=　 　°.
【答案】103
【知识点】平行线的性质；三角形外角的概念及性质
【解析】【解答】解：如图，设CD与BE相交于点F，
∵∠D＝75°，∠E＝28°，∠CFE是△DEF的外角，
∴∠CFE＝∠D＋∠E＝75°＋28°＝103°，
∵AB∥CD，
∴∠B＝∠CFE＝103°．
故答案为：103．
【分析】由三角形的外角性质得到∠CFE＝103°，再根据平行线的性质即可求解．
12．如图1，西沙河属马刨泉河支流，发源于房山区城关街道迎风坡村，流域面积11平方公里，为估算西沙河某段的宽度，如图2，在河岸边选定一个目标点A，在对岸取点B，C，D．使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上，若测得BE=2m，EC=1m，CD=3m，则河的宽度AB等于　 　m.
【答案】6
【知识点】相似三角形的实际应用
【解析】【解答】如图2，∵AB⊥BC，CD⊥BC，
∴∠ABE=∠DCE=90°，
又∵∠AEB=∠DEC，
∴△ABE∽△DCE，
∴，即：，解得：AB=6（m）.
故答案为6.
【分析】根据两角对应相等得到△ABE∽△DCE，根据对应边成比例解答即可.
13．窗棂是中国传统文化的一种元素，山西省晋中市常家庄园窗棂常见的几何形式有万字纹、冰裂纹、回纹、步步锦等．图①中的窗棂是冰裂纹窗棂，冰裂，有冰雪消融，万物复苏的意思，用在门窗上，就有了美好、如意即将到来的寓意．图②是这种窗棂中的部分图案，若，则　 　．
【答案】336
【知识点】多边形的外角和公式
【解析】【解答】解：如图
∵，
∴，
∵，，，
∴．
故答案为：336．
【分析】如图，先由多边形外角和可得，再由邻补角的概念求出即可．
14．车田江特大桥（如实物图所示）位于娄底市新化县车田江风景区，桥体外侧呈“拱架”的构造，地方文化特色十分浓郁，与车田江自然美景融合，更是相得益彰．容融为了知道大桥的长度和桥墩的高度，进行了如下测量．
测量过程1：容融用一无人机在大桥上方点E处分别测得大桥两端A、B的俯角为和，已知点E到大桥的距离为170米，
测量过程2：若大桥的形状是轴对称图形，容融在桥墩底部C处测得拱架最高点D处的仰角为，在桥墩上方A处测得拱架最高点D处的仰角为．（结果精确到0.1米，，，）
（1）求大桥的长度；
（2）求大桥桥墩的高度．
【答案】（1）解：作于点，如图，
由题意得米，，，
∴在中，，
∴，
在中，，
∴，
∴米；
答：大桥的长度约为米；
（2）解：作于点，交于点，如图，
由题意得，，，，
在中，，
∴，
在中，，
∴，
∴米；
答：大桥桥墩的高度约为米．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】
（1）作于点可构造和，再分别解直角三角形分别求得和的长，再利用线段的和差关系即可；
（2）作于点，交于点，可构造矩形ACHG和和，再解直角三角形分别求得DH和DG的长，再利用线段的和差关系求出GH，再利用矩形的性质求出AC即可．
（1）解：作于点，如图，
由题意得米，，，
∴在中，，
∴，
在中，，
∴，
∴米；
答：大桥的长度约为米；
（2）解：作于点，交于点，如图，
由题意得，，，，
在中，，
∴，
在中，，
∴，
∴米；
答：大桥桥墩的高度约为米．
15．如图1，“燕尾洲”是金华江、东阳江和武义江三江交汇之处，孕育了一代又一代金华人。如图 2，现测得三江交汇处夹角，为了点亮金华，现在处各安装一盏可旋转的探照灯，分别从 MA、NB、PC 开始按顺时针方向旋转，现测得，灯 M 的旋转速度为每秒，灯 N 的旋转速度为每秒，灯 P 的旋转速度为每秒，且满足．
（1）求的值；
（2）求灯开始旋转几秒时，灯光第一次与平行？
（3）设三盏灯同时从起始点开始旋转，在三盏灯各旋转到之前，求当其中两盏灯的光线平行时，灯的旋转时间；
【答案】（1）解：∵，
∴，
解得；
（2）解：∵MA旋转后与OC平行，
∴OA的旋转角为140°，
这时t=；
（3）解：设旋转后的灯光为MA'，NB'，PC'，
当MA'∥NB'时，如图，∠A'MN=∠B'NM，
则180-8t+30=180-5t-30，解得t=20；
当NB'∥PC'时，∠B'NP=∠C'PN，
则180-5t+40=180-2t-40，解得t=；
综上所述，t的值为20或.
【知识点】旋转的性质；偶次方的非负性；绝对值的非负性；一元一次方程的实际应用-几何问题；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】（1）根据绝对值和偶次方的非负性，得到关于a，b的二元一次安方程组，求出a，b的值即可；
（2）根据平行得到OA的旋转角为140°，然后根据旋转速度求出时间即可；
（3）设设旋转后的灯光为MA'，NB'，PC'，分为MA'∥NB'，NB'∥PC'两种情况，根据内错角相等列方程求出时间t的值解答即可.
三、数与式的地域文化
16．2025年，“浙BA”火出圈，从城市到乡村，从球场到街巷，席卷了整个之江大地。“浙把浙江各地的文化元素都串联了起来，让其成为外界了解“诗画江南、活力浙江”的鲜活窗口。一张小小的门票，撬动文旅消费走向更广阔的市场，小李买4张A款门票和1张B款门票共计花了110元，小张买5张A款门票和6张B款门票共计花了280元。
（1）请你求出两款门票的价格；
（2）某校计划组织校篮球队去观摩学习，准备花费 360 元购买两款门票（两款门票均购买），且门票总数不少于15张，请你列出该校所有可能的购票方案。
【答案】（1）解：设A门票每张x元，B门票每张y元。
由题意得
解得
答：A门票每张20元，B门票每张30元。
（2）设购买A门票a张，B门票b张。由题意得，
。
都是正整数，
∴ 取
∴该校所有可能的购票方案如下：①购买A门票15张，B门票2张；
②购买A门票12张，B门票4张；
③购买A门票9张，B门票6张；
④购买A门票6张，B门票8张（总数少于15，舍去）；
⑤购买A门票3张，B门票10张（总数少于15，舍去）。
【知识点】二元一次方程的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设门票每张元，门票每张元，根据“小李买4张A款门票和1张B款门票共计花了110元，小张买5张A款门票和6张B款门票共计花了280元”列方程组，求出x和y的值解答即可；
（2）设购买门票张，门票张，根据“花费360元购买A，B两款门票”列二元一次方程，求出a，b的正整数解，进而得到方案解答即可.
17．龙港市体育中心以"千帆竞渡"为造型，集多功能场馆集群与闽海景观于一体，创新可开启屋盖设计，集成智慧管理系统，是新南首个可承办国际赛事的演水体育地标.体育中心总体占地近似为一个正方形，主要由田径体商场、室外活动场所和室内配套场所三部分组成.田径体育场建在边长a的正方形中，室外活动场所建在边长b的正方形中，阴影部分建室内配套场所.
（1）求室内配套场所(阴影部分)的面积；(用含a，b的代数式表示，并化简)
（2）若a=210米，b=115米，那么室内配套场所面积为多少平方米
【答案】（1）解：
答：阴影部分面积为平方米；
（2）解：当，时，（平方米）
答：阴影部分面积为48300平方米．
【知识点】求代数式值的实际应用；整式加、减混合运算的实际应用
【解析】【分析】（1）根据阴影部分面积等于总面积减去室外活动场所与田径体育场面积，列代数式计算即可；
（2）将，代入（1）中化简后的代数式解答即可．
18．宁波杨梅季，本地慈溪杨梅在宁波人的心中是一种家乡的味道.今年是杨梅大年，某杨梅种植大户为了能让居民品尝到物美价廉的杨梅，对1000斤的杨梅进行打包方式优惠出售，打包方式及售价如下：圆篮每篮8斤，售价160元；方篮每篮18斤，售价270元.假如用这两种打包方式恰好全部装完这1000斤杨梅.
（1）若销售a篮圆篮和a篮方篮共收入8600元，求a的值；
（2）若这批杨梅全部售完，销售总收入为16760元，请问圆篮共包装了多少篮，方篮共包装了多少篮
（3）若杨梅大户留下b(b>0)篮圆篮送人，其余的杨梅全部售出，销售总收入同样为16760元求b的值.
【答案】（1）解：由题意，得 160a+270a=8600，
解得： a=20，
答： a的值为20.
（2）解：设圆篮共包装了x篮，则方篮共包装y篮，由题意，得
解得：
答：圆篮共包装了44篮，则方篮共包装36 篮.
（3）解：设此时出售了m篮圆篮，n篮方篮杨梅，
则
解这个关于m和n的方程组，
可得：
∵n为正整数，
且b应为9的倍数，
解得：
又∵b>0，
∴b的值为9或18.
答： b的值为9或18.
【知识点】一元一次方程的实际应用-销售问题；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据收入共8600元，可得出一元一次方程，解出即可；
（2）设圆篮共包装了x篮，则方篮共包装y 篮，根据“ 圆篮每篮8斤，售价160元；方篮每篮18斤，售价270元， 销售总收入为16760元 ”可得出方程组，解出即可；
（3）设此时出售了m篮圆篮，n篮方篮杨梅，根据等量关系可得出关于m和n的方程组，根据n为正整数，可以求出b的大致范围以及b为9的倍数，从而得到b的值.
19．城市吉祥物是城市形象的重要视觉符号，承载着城市的文化内涵、价值理念和人文情怀，是一座城市的形象图腾．为宣传东营城市文化，展示东营城市风采，东营市文化局和旅游局对接多家专业设计公司，最终确定“河东东”“海营营”为东营市城市吉祥物．一时间“河东东”“海营营”套装的销售日益火爆，据调查某特许零售店“河东东”“海营营”套装每盒进价7元，售价12元．
（1）商店老板计划首月销售320盒，经过首月试销售，老板发现单盒“河东东”“海营营”套装售价每增长2元，月销量就将减少10盒．若老板希望“河东东”“海营营”套装月销量不低于300盒，则每盒售价最高为多少元？
（2）实际销售时，售价比（1）中的最高售价减少了元，月销量比（1）中最低销量300盒增加了盒，于是月销售利润达到了2100元，求的值；
（3）在（1）的条件下，当每盒售价为多少元时，月销售利润最大？最大利润为多少？
【答案】（1）解：设每盒“河东东”“海营营”套装的售价为x元，则月销量为盒，
依题意得：，解得：，
答：每盒售价最高为16元；
（2）解： 依题意得：，
解得：，（不合题意，舍去）；
答：a的值为2；
（3）解：设月销售利润为y元，
根据题意得：，
∴对称轴为，
∵，，
∴当时，y有最大值，最大值为2700，
∴当每盒售价为16元时，月销售利润最大，最大利润为2700元．
【知识点】一元一次不等式的应用；一元二次方程的实际应用-销售问题；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设每盒“河东东”“海营营”套装的售价为x元，根据“月销量不低于300盒”列不等式求出x的驱逐范围即可；
（2）利用“月销售利润每盒的销售利润月销售量”列出关于a的一元二次方程，解方程求出a的值解答即可；
（3）设月销售利润为y元，根据“月利润每盒的利润销售量”列二次函数解析式，根据二次函数的增减性求出最值解答即可．
20．汕头，作为著名的美食之都，其手打牛肉丸、沙茶酱等特产闻名全国．为庆祝汕汕高铁开通，某知名老字号食品厂计划生产一批“高铁开通纪念版”特产礼盒．
（1）该食品厂原计划用一批新设备生产盒纪念礼盒．由于设备调试顺利，实际每天的生产效率比原计划提高了，结果提前2天完成了全部生产任务．求原计划每天生产多少盒礼盒？
（2）礼盒上市后，为吸引乘坐高铁来的游客，店铺推出一种优惠方案：一次性购买礼盒超过盒时，超出的部分每盒享受8折优惠．已知每盒礼盒的原价为元．若某旅行团购买了一批礼盒，支付的总金额为元．请计算该旅行团一共购买了多少盒礼盒？
【答案】（1）解：设原计划每天生产盒礼盒，则实际每天生产盒礼盒．
根据题意，原计划生产天数与实际生产天数的差为2天，
根据题意，得：，
解得；
经检验，是原方程的解，且符合题意；
答：原计划每天生产盒礼盒.
（2）解：先判断购买数量是否超过盒：
若购买盒，总价为元，，故购买数量超过盒．
设该旅行团一共购买了盒礼盒，则前盒按原价，超出的盒按8折(每盒元)．
根据题意，得：，
解得.
答：该旅行团一共购买了盒礼盒．
【知识点】一元一次方程的实际应用-计费问题；分式方程的实际应用-工程问题
【解析】【分析】（1）设原计划每天生产盒礼盒，则实际每天生产盒礼盒，利用“原计划生产天数与实际生产天数的差为2天”列出方程求解即可；
（2）设该旅行团一共购买了盒礼盒，则前盒按原价，超出的盒按8折(每盒元)，再利用“ 某旅行团购买了一批礼盒，支付的总金额为元 ”列出方程求解即可.
（1）解：设原计划每天生产盒礼盒，则实际每天生产盒礼盒．
根据题意，原计划生产天数与实际生产天数的差为2天，
根据题意，得：，解得；
经检验，是原方程的解，且符合题意；
答：原计划每天生产盒礼盒.
（2）解：先判断购买数量是否超过盒：
若购买盒，总价为元，，故购买数量超过盒．
设该旅行团一共购买了盒礼盒，则前盒按原价，超出的盒按8折(每盒元)．
根据题意，得：，
解得.
答：该旅行团一共购买了盒礼盒．
四、函数的地域文化
21．北仑港某一天潮汐高度（简称潮高）随时间变化如图所示．
请观察图象，解答下列各题：
（1）潮高是时间的函数吗？为什么？
（2）求当时的函数值，并说明函数值的实际意义．
（3）一天内，有几次潮高为？
【答案】（1）解：在0≤t≤24的范围内，任意取一个t的值t0时，过点（t0，0）作t轴的垂线，垂线和图象有唯一的公共点A（t0，y0），也就是说，对于时间t的每一个确定的值，潮高y都有唯一确定的值与之对应，所以潮高y（cm）是时间t（h）的函数．
（2）解：过点（10，0）作t轴的垂线，交图象于点B（10，280）．所以当t=10时，函数值为y=280（cm），它的实际意义是10：00时的潮高为280cm．
（3）解：过点（0，200）作垂直于y轴的直线，交图象于C，D，E三点，所以一天内有3次潮高为200cm．
【知识点】通过函数图象获取信息；用图象表示变量间的关系
【解析】【分析】（1）根据函数的定义判断即可；
（2）根据函数图象得到点B的函数值，并根据实际意义解答即可；
（3）观察过y=200与y轴的垂线和图象的交点个数解答即可．
22．近年来，水口县致力打造特色乡村旅游，发展以“农家乐”、“高端民宿”为代表的旅游度假区．为迎接旅游旺季的到来，某民宿准备重新调整房间价格，已知该民宿有20个房间，当每个房间定价1200元时，所有房间全部住满，当每个房间每天的定价每增加100元时，就会有一个房间无人入住，如果游客居住房间，民宿需要每天对每个房间每天支出200元的各种费用，设每个房间定价增加元（x为整数）．
（1）直接写出每天游客居住的房间数量为y与x的函数关系式．
（2）当定价为多少元时，民宿每天获得的利润可以达到22400元．
（3）求当每个房间定价为多少元时民宿每天获得的利润最大，最大利润是多少？
【答案】（1）解：根据题意，可得：y=20-=20-x，
∴ 每天游客居住的房间数量为y与x的函数关系式为：.
（2）解：根据题意可列方程，得：（1200+100x-200）（20-x）=22400，
整理，得：（1000+100x）（20-x）=22400，
解得：x=4或x=6，
当x=4时，1200+100x=1200+100×4=1600（元），
当x=6时，1200+100x=1200+100×6=1800（元），
∴当定价为1600元或1800元，民宿每天获得的利润可以达到22400元.
（3）解：设民宿利润为w，则w=（1200+100x-200）（20-x）=（1000+100x）（20-x）=-100（x-5）2+22500，
∵-100＜0，
∴根据二次函数的性质可知，当x=5时，w有最大值，最大值为22500元，
∴当x=5时，1200+100x=1200+100×5=1700元，
答：当定价为1700元时，利润最大，最大利润为22500元.
【知识点】列一次函数关系式；一元二次方程的实际应用-销售问题；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据现有房间数量=原有房间数量-无人居住房间数量，结合“ 当每个房间每天的定价每增加100元时，就会有一个房间无人入住 ”，列出函数关系式即可求解；
（2）根据利润=（房间定价-支出）×房间个数列出方程，求解即可得出答案；
（3）民宿利润为w，根据利润=（房间定价-支出）×房间个数列出二次函数关系式，根据二次函数的性质即可得出答案.
（1）解：根据题意得，每天游客居住的房间数量为y与x的函数关系式为；
（2）解：根据题意得，
解得：，
当时，每个房间的定价为（元），
当时，每个房间的定价为（元），
答：定价为1600元或1800元．
（3）解：设利润为，则根据题意得，
∵，
∴有最大值，即当时，的最大值为22500元，
即当定价为元时，利润最大，最大利润为22500元．
23．年舟山群岛马拉松，吸引了来自个国家和地区的约名运动员参与，以“向海风许愿，在山海相见”为主题，展现了舟山“海上花园城”的独特魅力，促进了国际间的体育和文化交流．甲、乙两名业余选手参加了本次比赛，两人同时到达第一个补给点，乙在第一个补给点停留了一段时间．从第一个补给点到终点过程中，甲、乙两名选手距离第一个补给点的路程s（）与时间t（）之间的关系如图所示．根据图象回答下列问题：
（1）直接写出乙在第一个补给点停留的时间与图中m的值．
（2）在这段过程中，甲、乙两人的速度分别是多少？
（3）乙经过第一个补给点后多长时间，甲乙两名选手相距？
【答案】（1），
（2）由（1）得，∵直线过点， ，
∴，
∴甲的速度为，乙的速度为
（3）由（2）可得，直线的解析式为：，
直线的解析式为：，
当时，，解得；
当时，，解得；
当时，，解得；
当时，，解得．
综上所述，乙经过第一个补给点后或或或，甲乙两名选手相距
【知识点】通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：(1)由图象可知，乙在第一个补给点停留的时间为，
由直线可得，，
当时，；
【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，行程问题，关键是理解一次函数图象在行程问题中的意义(路程与时间的关系)，掌握速度的计算方法，以及根据路程差建立方程．
（1）通过观察图象直接得到乙的停留时间和m的值；
（2）根据速度计算公式(速度=路程÷时间)分别求出甲，乙的速度；
（3）根据（2）中的数据和待定系数法可求出和的解析式，根据路程差是3km分情况讨论，建立方程求解即可．
（1）解：由图象可知，乙在第一个补给点停留的时间为，
由直线可得，，
当时，；
（2）由（1）得，
∵直线过点， ，
∴，
∴甲的速度为，乙的速度为；
（3）由（2）可得，直线的解析式为：，
直线的解析式为：，
当时，，解得；
当时，，解得；
当时，，解得；
当时，，解得．
综上所述，乙经过第一个补给点后或或或，甲乙两名选手相距．
24．中国瓷器是世界最早且最精美的陶瓷品类之一，亦是中华传统文化的重要标志．某数学兴趣小组以“玩转数学”活动为契机，开展跨学科项目式学习，特制定以下探究方案．
【设计方案求倾斜状态下杯里水面的宽度及最大深度】
问题情境 图1是一个竖直放置在水平桌面上的瓷杯，图2是其截面图，瓷杯高度GF=11cm，杯口宽CD=10cm，CD∥MN，杯体DEC近似看成抛物线状（杯体厚度不计），当杯中盛满水时的最大深度GE=10cm．
⑴任务一 如图2，以杯底AB的中点F为原点O，以MN所在直线为x轴，AB的中垂线FG为y轴，建立平面直角坐标系．求杯体DEC的抛物线解析式．
⑵任务二 如图3，把瓷杯绕点B缓缓倾斜，倒出杯中的部分水，当水面CH与杯口的夹角为45°时停止倾斜（水面CH与y轴相交于点S，与杯体相交于点H）．①求此时杯里水面的宽度CH；②求此时杯里水的最大深度．
【答案】解：（1）∵CD=10cm，GF=11cm，
∴C（5，11），
∵GE=10cm，
∴，
∴E（0，1），
设抛物线的解析式为，
把C（5，11）代入得：，
解得，
∴杯体DEC的抛物线解析式为．
（2）①∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
设直线CH的解析式为，
把，C（5，11）代入得，
，
解得，
∴直线CH的解析式为，
联立方程组，
解得，，
∴，
∴，
∴杯里水面的宽度CH为．
②将直线CH：向下平移得到直线l：，当直线l与抛物线只有一个交点时，两平行线间的距离即为杯里水的最大深度，设直线l与y轴交于点P，过点S作SK⊥l于K，
联立，
得：，
∵只有一个交点，
∴，
解得，
∴直线l的解析式为，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵在中，，
∴，
∴，
∴杯里水的最大深度为．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；勾股定理；二次函数的其他应用；坐标系中的两点距离公式
【解析】【分析】任务一：根据条件写出E、C的坐标，再利用待定系数法求解即可；
任务二：①通过等腰三角形的性质可求出点S的坐标，再利用待定系数法求出直线CH的解析式，通过直线和抛物线的解析式求得交点H的坐标，最后利用勾股定理求两点间距离即可求解；
②将直线CH向下平移得到直线l，当直线l与抛物线只有一个交点时，两平行线间的距离即为杯里水的最大深度，设直线l与y轴交于点P，过点S作SK⊥l于K，联立直线l与抛物线的解析式，根据直线与抛物线只有一个交点求出m，可得直线l的解析式，进而求出点P的坐标，SP的长，再求出SK即可得结论．
1 / 1数学文化—2026浙江中考数学高阶能力拓展专题
一、古代诗中的数学
1．中国古代《孙子算经》中有一道问题：今有四人共车，一车空；两人共车，八人步，问人与车各几何？这道题的意思是：今有若干人乘车．若每4人共乘一车，最终剩余1辆车，若每2人共乘一车、最终剩余8个人无车可乘，问有多少人，多少辆车？设有个人，则可列方程（　　）
A． B． C． D．
2．《九章算术》中有这样一个题：“今有醇酒一斗，直钱五十；行酒一斗，直钱一十.今将钱三十，得酒二斗.问醇、行酒各得几何？其译文是：今有醇酒（优质酒）1斗，价值50钱；行酒（劣质酒）1斗，价值10钱；现有30钱，买得2斗酒.问醇酒、行酒各能买得多少？设醇酒为x斗，行酒为y斗，则可列二元一次方程组为（　　）
A． B．
C． D．
3．《算法统宗》是中国古代数学名著，内有“以碗知僧”的题目为：巍巍古寺在山中，不知寺内几多僧．三百六十四只碗，恰合用尽不差争．三人共食一碗饭，四人共进一碗羹．请问先生能算者，都来寺内几多僧？大意是说：山上有一座古寺叫都来寺，在这座寺庙里，3个和尚合吃一碗饭，4个和尚合分一碗汤，一共用了364只碗．请问都来寺里有多少个和尚？若设有x个和尚，则可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
4．元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载了这样一道题：良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里．若驽马先行一十二日，问良马几日追及之？根据题意，若设良马x天可追上驽马，则下述所列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
5．《诗经 大雅 抑》中写道：白圭之玷，尚可磨也；斯言之玷，不可为也．意思是白圭有了斑点，还可以磨掉；但人说错了话，就难以补救了．相传古时候有个乡绅摆宴席请客，他看到还有几个人没来，就自言自语：“怎么该来的还不来呢？”，客人们听了，心想难道我们是不该来的，于是有一半客人走了；他一看十分着急，又说了一句：“不该走的倒走了！”剩下的人一听，心想那就是说我们该走啊！于是剩下的客人又走了四分之三，他更着急地一拍大腿，连说：“我说的不是他们”，最后剩下的3人心想，不是他们那不就是我们呗，也都起身告辞走了．根据这个故事的叙述，你知道最开始来了　 　位客人吗？
6．《冷庐杂识》有云：“近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余．”七巧板作为中国古老的益智玩具之一，已有千年的历史，素有“来自中国的拼图”“东方魔板”之称，是世界公认的中国优秀智力玩具代表作．如图，小明拼凑出爱心形状，若爱心的面积为48，那么七巧板中正方形的面积为　 　．
7．幻方是古老的数字问题，在我国古代的《大戴礼记》《洛书》等书籍中均有所记载，在如图所示特殊的“十字幻方”中，横纵两个大长方形内五个数字之和都等于20，则 xy的值为(　　)
A．9 B．12 C．15 D．16
8．幻方最早起源于中国，在《自然科学大事年表》中，对幻方做了特别的述说：“公元前一世纪，《大戴礼》记载，中国古代有象征吉祥的河图、洛书、纵横图，即为九宫算，被认为是现代组合数学最古老的发现”．请将，，，0，1，2，3，4分别填入如图所示的幻方中，要求同一横行、同一竖行以及同一条斜对角线上的3个数相加都得0．则的值为　 　．
　 　
4 0 　
　
9．《张丘建算经》由北魏数学家张丘建所著，其中有这样一个问题：“今有客不知其数．两人共盘，少两盘；三人共盘，长三盘．问客及盘各几何？”意思为：“现有若干名客人．若2个人共用1个盘子，则少2个盘子；若3个人共用1个盘子，则多出来3个盘子．问客人和盘子各有多少？”请你解答这个问题．
二、几何中的地域文化
10．作为中国非物质文化遗产之一的紫砂壶，成型工艺特别，造型样式丰富，色泽古朴典雅.如图是一把做工精湛的紫砂壶，其俯视图的大致形状是（　　）
A． B． C． D．
11．“抖空竹”是一项历史悠久的民俗体育活动，它凭借其独特魅力，成为我国传统文化宝库中一颗璀璨的明珠.图1表示欢欢同学抖空竹的某一瞬间，欢欢同学将其抽象成如图2所示的数学问题：在同一平面内，AB∥CD，若∠D=75°，∠E=28°，则∠B=　 　°.
12．如图1，西沙河属马刨泉河支流，发源于房山区城关街道迎风坡村，流域面积11平方公里，为估算西沙河某段的宽度，如图2，在河岸边选定一个目标点A，在对岸取点B，C，D．使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上，若测得BE=2m，EC=1m，CD=3m，则河的宽度AB等于　 　m.
13．窗棂是中国传统文化的一种元素，山西省晋中市常家庄园窗棂常见的几何形式有万字纹、冰裂纹、回纹、步步锦等．图①中的窗棂是冰裂纹窗棂，冰裂，有冰雪消融，万物复苏的意思，用在门窗上，就有了美好、如意即将到来的寓意．图②是这种窗棂中的部分图案，若，则　 　．
14．车田江特大桥（如实物图所示）位于娄底市新化县车田江风景区，桥体外侧呈“拱架”的构造，地方文化特色十分浓郁，与车田江自然美景融合，更是相得益彰．容融为了知道大桥的长度和桥墩的高度，进行了如下测量．
测量过程1：容融用一无人机在大桥上方点E处分别测得大桥两端A、B的俯角为和，已知点E到大桥的距离为170米，
测量过程2：若大桥的形状是轴对称图形，容融在桥墩底部C处测得拱架最高点D处的仰角为，在桥墩上方A处测得拱架最高点D处的仰角为．（结果精确到0.1米，，，）
（1）求大桥的长度；
（2）求大桥桥墩的高度．
15．如图1，“燕尾洲”是金华江、东阳江和武义江三江交汇之处，孕育了一代又一代金华人。如图 2，现测得三江交汇处夹角，为了点亮金华，现在处各安装一盏可旋转的探照灯，分别从 MA、NB、PC 开始按顺时针方向旋转，现测得，灯 M 的旋转速度为每秒，灯 N 的旋转速度为每秒，灯 P 的旋转速度为每秒，且满足．
（1）求的值；
（2）求灯开始旋转几秒时，灯光第一次与平行？
（3）设三盏灯同时从起始点开始旋转，在三盏灯各旋转到之前，求当其中两盏灯的光线平行时，灯的旋转时间；
三、数与式的地域文化
16．2025年，“浙BA”火出圈，从城市到乡村，从球场到街巷，席卷了整个之江大地。“浙把浙江各地的文化元素都串联了起来，让其成为外界了解“诗画江南、活力浙江”的鲜活窗口。一张小小的门票，撬动文旅消费走向更广阔的市场，小李买4张A款门票和1张B款门票共计花了110元，小张买5张A款门票和6张B款门票共计花了280元。
（1）请你求出两款门票的价格；
（2）某校计划组织校篮球队去观摩学习，准备花费 360 元购买两款门票（两款门票均购买），且门票总数不少于15张，请你列出该校所有可能的购票方案。
17．龙港市体育中心以"千帆竞渡"为造型，集多功能场馆集群与闽海景观于一体，创新可开启屋盖设计，集成智慧管理系统，是新南首个可承办国际赛事的演水体育地标.体育中心总体占地近似为一个正方形，主要由田径体商场、室外活动场所和室内配套场所三部分组成.田径体育场建在边长a的正方形中，室外活动场所建在边长b的正方形中，阴影部分建室内配套场所.
（1）求室内配套场所(阴影部分)的面积；(用含a，b的代数式表示，并化简)
（2）若a=210米，b=115米，那么室内配套场所面积为多少平方米
18．宁波杨梅季，本地慈溪杨梅在宁波人的心中是一种家乡的味道.今年是杨梅大年，某杨梅种植大户为了能让居民品尝到物美价廉的杨梅，对1000斤的杨梅进行打包方式优惠出售，打包方式及售价如下：圆篮每篮8斤，售价160元；方篮每篮18斤，售价270元.假如用这两种打包方式恰好全部装完这1000斤杨梅.
（1）若销售a篮圆篮和a篮方篮共收入8600元，求a的值；
（2）若这批杨梅全部售完，销售总收入为16760元，请问圆篮共包装了多少篮，方篮共包装了多少篮
（3）若杨梅大户留下b(b>0)篮圆篮送人，其余的杨梅全部售出，销售总收入同样为16760元求b的值.
19．城市吉祥物是城市形象的重要视觉符号，承载着城市的文化内涵、价值理念和人文情怀，是一座城市的形象图腾．为宣传东营城市文化，展示东营城市风采，东营市文化局和旅游局对接多家专业设计公司，最终确定“河东东”“海营营”为东营市城市吉祥物．一时间“河东东”“海营营”套装的销售日益火爆，据调查某特许零售店“河东东”“海营营”套装每盒进价7元，售价12元．
（1）商店老板计划首月销售320盒，经过首月试销售，老板发现单盒“河东东”“海营营”套装售价每增长2元，月销量就将减少10盒．若老板希望“河东东”“海营营”套装月销量不低于300盒，则每盒售价最高为多少元？
（2）实际销售时，售价比（1）中的最高售价减少了元，月销量比（1）中最低销量300盒增加了盒，于是月销售利润达到了2100元，求的值；
（3）在（1）的条件下，当每盒售价为多少元时，月销售利润最大？最大利润为多少？
20．汕头，作为著名的美食之都，其手打牛肉丸、沙茶酱等特产闻名全国．为庆祝汕汕高铁开通，某知名老字号食品厂计划生产一批“高铁开通纪念版”特产礼盒．
（1）该食品厂原计划用一批新设备生产盒纪念礼盒．由于设备调试顺利，实际每天的生产效率比原计划提高了，结果提前2天完成了全部生产任务．求原计划每天生产多少盒礼盒？
（2）礼盒上市后，为吸引乘坐高铁来的游客，店铺推出一种优惠方案：一次性购买礼盒超过盒时，超出的部分每盒享受8折优惠．已知每盒礼盒的原价为元．若某旅行团购买了一批礼盒，支付的总金额为元．请计算该旅行团一共购买了多少盒礼盒？
四、函数的地域文化
21．北仑港某一天潮汐高度（简称潮高）随时间变化如图所示．
请观察图象，解答下列各题：
（1）潮高是时间的函数吗？为什么？
（2）求当时的函数值，并说明函数值的实际意义．
（3）一天内，有几次潮高为？
22．近年来，水口县致力打造特色乡村旅游，发展以“农家乐”、“高端民宿”为代表的旅游度假区．为迎接旅游旺季的到来，某民宿准备重新调整房间价格，已知该民宿有20个房间，当每个房间定价1200元时，所有房间全部住满，当每个房间每天的定价每增加100元时，就会有一个房间无人入住，如果游客居住房间，民宿需要每天对每个房间每天支出200元的各种费用，设每个房间定价增加元（x为整数）．
（1）直接写出每天游客居住的房间数量为y与x的函数关系式．
（2）当定价为多少元时，民宿每天获得的利润可以达到22400元．
（3）求当每个房间定价为多少元时民宿每天获得的利润最大，最大利润是多少？
23．年舟山群岛马拉松，吸引了来自个国家和地区的约名运动员参与，以“向海风许愿，在山海相见”为主题，展现了舟山“海上花园城”的独特魅力，促进了国际间的体育和文化交流．甲、乙两名业余选手参加了本次比赛，两人同时到达第一个补给点，乙在第一个补给点停留了一段时间．从第一个补给点到终点过程中，甲、乙两名选手距离第一个补给点的路程s（）与时间t（）之间的关系如图所示．根据图象回答下列问题：
（1）直接写出乙在第一个补给点停留的时间与图中m的值．
（2）在这段过程中，甲、乙两人的速度分别是多少？
（3）乙经过第一个补给点后多长时间，甲乙两名选手相距？
24．中国瓷器是世界最早且最精美的陶瓷品类之一，亦是中华传统文化的重要标志．某数学兴趣小组以“玩转数学”活动为契机，开展跨学科项目式学习，特制定以下探究方案．
【设计方案求倾斜状态下杯里水面的宽度及最大深度】
问题情境 图1是一个竖直放置在水平桌面上的瓷杯，图2是其截面图，瓷杯高度GF=11cm，杯口宽CD=10cm，CD∥MN，杯体DEC近似看成抛物线状（杯体厚度不计），当杯中盛满水时的最大深度GE=10cm．
⑴任务一 如图2，以杯底AB的中点F为原点O，以MN所在直线为x轴，AB的中垂线FG为y轴，建立平面直角坐标系．求杯体DEC的抛物线解析式．
⑵任务二 如图3，把瓷杯绕点B缓缓倾斜，倒出杯中的部分水，当水面CH与杯口的夹角为45°时停止倾斜（水面CH与y轴相交于点S，与杯体相交于点H）．①求此时杯里水面的宽度CH；②求此时杯里水的最大深度．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】一元一次方程的实际应用-古代数学问题；列一元一次方程；古代诗中的数学
【解析】【解答】解：设有个人，
∵每4人乘一车，恰好剩余1辆车无人坐，
∴总车数为，
∵每2人共乘一车，最终剩余8个人无车可乘，
∴总车数为，
∴有．
故答案为：A．
【分析】设有个人，根据每4人乘一车，最终剩余1辆车可得总车数为辆，根据每2人共乘一车，最终剩余8个人无车可乘可得总车数为辆，根据车辆总数不变可列关于x的方程，解方程即可求解．
2．【答案】A
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题；古代诗中的数学
【解析】【解答】解： 设醇酒为x斗，行酒为y斗，
根据题意可列方程组为： ，
故答案为：A.
【分析】根据“ 醇酒（优质酒）1斗，价值50钱；行酒（劣质酒）1斗，价值10钱 ”和“ 现有30钱，买得2斗酒 ”列出方程组即可.
3．【答案】C
【知识点】列一元一次方程；古代诗中的数学
【解析】【解答】解：根据题意，得，
故答案为：C．
【分析】设有个和尚，根据“3个和尚合吃一碗饭，4个和尚合分一碗汤，一共用了364只碗”，据此可得到关于的一元一次方程.
4．【答案】C
【知识点】一元一次方程的实际应用-古代数学问题；古代诗中的数学
【解析】【解答】解：设良马x天可以追上驽马，
依题意，得：．
故答案为：C．
【分析】设良马x天可以追上驽马，根据路程=速度×时间，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．
5．【答案】24
【知识点】一元一次方程的实际应用-古代数学问题；古代诗中的数学
【解析】【解答】解：设开始来了位客人，
根据题意，得：，
解这个方程得：，
故答案为：24．
【分析】设开始来了位客人，则第一批走掉的客人数为，第二批走掉的客人数为，根据剩下的客人数等于原来的客人数减去两批走掉的客人数，列出关于字母x的方程，求解即可得出答案.
6．【答案】6
【知识点】七巧板与拼图制作；一元一次方程的实际应用-几何问题；古代诗中的数学
【解析】【解答】解：设的面积为，结合七巧板的性质可知各个图形的面积情况，如图所示：
根据题意可得，4x+4x+2x+2x+2x+x+x=48，
解得：，
则正方形的面积为2x=，
故答案为：6．
【分析】 设的面积为，根据爱心形状的面积之和为，列出方程求解即可解决问题．
7．【答案】B
【知识点】一元一次方程的实际应用-数字、日历、年龄问题；幻方、幻圆数学问题
【解析】【解答】解：根据题意，得，
∴，
∴．
故答案为：B .
【分析】根据题意列出等式，即可得到，然后再根据完全平方公式的变形解答即可．
8．【答案】
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题；求代数式的值-直接代入求值；幻方、幻圆数学问题
【解析】【解答】解：如图，
4 0
由题意知，，，，，，
解得，，，，，，
∴，
故答案为：．
【分析】根据题意建立方程，解方程可得x，y值，再代入代数式即可求出答案.
9．【答案】解： 设共有x位客人．
依题意，得，解得，
所以．
答：客人共有30位，盘子共有13个．
【知识点】一元一次方程的实际应用-古代数学问题；古代诗中的数学
【解析】【分析】设共有x位客人，由“若2个人共用1个盘子，则少2个盘子”可将盘子的总数可表示为“”，由“ 若3个人共用1个盘子，则多出来3个盘子 ”可将盘子的总数可表示为“”，根据盘子的总数不变，列出方程，求解得出x的值，进而再求出客人总数即可.
10．【答案】A
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：根据图形可得紫砂壶的俯视图为
故答案为：A.
【分析】利用三视图的定义并结合几何体分析求解即可.
11．【答案】103
【知识点】平行线的性质；三角形外角的概念及性质
【解析】【解答】解：如图，设CD与BE相交于点F，
∵∠D＝75°，∠E＝28°，∠CFE是△DEF的外角，
∴∠CFE＝∠D＋∠E＝75°＋28°＝103°，
∵AB∥CD，
∴∠B＝∠CFE＝103°．
故答案为：103．
【分析】由三角形的外角性质得到∠CFE＝103°，再根据平行线的性质即可求解．
12．【答案】6
【知识点】相似三角形的实际应用
【解析】【解答】如图2，∵AB⊥BC，CD⊥BC，
∴∠ABE=∠DCE=90°，
又∵∠AEB=∠DEC，
∴△ABE∽△DCE，
∴，即：，解得：AB=6（m）.
故答案为6.
【分析】根据两角对应相等得到△ABE∽△DCE，根据对应边成比例解答即可.
13．【答案】336
【知识点】多边形的外角和公式
【解析】【解答】解：如图
∵，
∴，
∵，，，
∴．
故答案为：336．
【分析】如图，先由多边形外角和可得，再由邻补角的概念求出即可．
14．【答案】（1）解：作于点，如图，
由题意得米，，，
∴在中，，
∴，
在中，，
∴，
∴米；
答：大桥的长度约为米；
（2）解：作于点，交于点，如图，
由题意得，，，，
在中，，
∴，
在中，，
∴，
∴米；
答：大桥桥墩的高度约为米．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】
（1）作于点可构造和，再分别解直角三角形分别求得和的长，再利用线段的和差关系即可；
（2）作于点，交于点，可构造矩形ACHG和和，再解直角三角形分别求得DH和DG的长，再利用线段的和差关系求出GH，再利用矩形的性质求出AC即可．
（1）解：作于点，如图，
由题意得米，，，
∴在中，，
∴，
在中，，
∴，
∴米；
答：大桥的长度约为米；
（2）解：作于点，交于点，如图，
由题意得，，，，
在中，，
∴，
在中，，
∴，
∴米；
答：大桥桥墩的高度约为米．
15．【答案】（1）解：∵，
∴，
解得；
（2）解：∵MA旋转后与OC平行，
∴OA的旋转角为140°，
这时t=；
（3）解：设旋转后的灯光为MA'，NB'，PC'，
当MA'∥NB'时，如图，∠A'MN=∠B'NM，
则180-8t+30=180-5t-30，解得t=20；
当NB'∥PC'时，∠B'NP=∠C'PN，
则180-5t+40=180-2t-40，解得t=；
综上所述，t的值为20或.
【知识点】旋转的性质；偶次方的非负性；绝对值的非负性；一元一次方程的实际应用-几何问题；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】（1）根据绝对值和偶次方的非负性，得到关于a，b的二元一次安方程组，求出a，b的值即可；
（2）根据平行得到OA的旋转角为140°，然后根据旋转速度求出时间即可；
（3）设设旋转后的灯光为MA'，NB'，PC'，分为MA'∥NB'，NB'∥PC'两种情况，根据内错角相等列方程求出时间t的值解答即可.
16．【答案】（1）解：设A门票每张x元，B门票每张y元。
由题意得
解得
答：A门票每张20元，B门票每张30元。
（2）设购买A门票a张，B门票b张。由题意得，
。
都是正整数，
∴ 取
∴该校所有可能的购票方案如下：①购买A门票15张，B门票2张；
②购买A门票12张，B门票4张；
③购买A门票9张，B门票6张；
④购买A门票6张，B门票8张（总数少于15，舍去）；
⑤购买A门票3张，B门票10张（总数少于15，舍去）。
【知识点】二元一次方程的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设门票每张元，门票每张元，根据“小李买4张A款门票和1张B款门票共计花了110元，小张买5张A款门票和6张B款门票共计花了280元”列方程组，求出x和y的值解答即可；
（2）设购买门票张，门票张，根据“花费360元购买A，B两款门票”列二元一次方程，求出a，b的正整数解，进而得到方案解答即可.
17．【答案】（1）解：
答：阴影部分面积为平方米；
（2）解：当，时，（平方米）
答：阴影部分面积为48300平方米．
【知识点】求代数式值的实际应用；整式加、减混合运算的实际应用
【解析】【分析】（1）根据阴影部分面积等于总面积减去室外活动场所与田径体育场面积，列代数式计算即可；
（2）将，代入（1）中化简后的代数式解答即可．
18．【答案】（1）解：由题意，得 160a+270a=8600，
解得： a=20，
答： a的值为20.
（2）解：设圆篮共包装了x篮，则方篮共包装y篮，由题意，得
解得：
答：圆篮共包装了44篮，则方篮共包装36 篮.
（3）解：设此时出售了m篮圆篮，n篮方篮杨梅，
则
解这个关于m和n的方程组，
可得：
∵n为正整数，
且b应为9的倍数，
解得：
又∵b>0，
∴b的值为9或18.
答： b的值为9或18.
【知识点】一元一次方程的实际应用-销售问题；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据收入共8600元，可得出一元一次方程，解出即可；
（2）设圆篮共包装了x篮，则方篮共包装y 篮，根据“ 圆篮每篮8斤，售价160元；方篮每篮18斤，售价270元， 销售总收入为16760元 ”可得出方程组，解出即可；
（3）设此时出售了m篮圆篮，n篮方篮杨梅，根据等量关系可得出关于m和n的方程组，根据n为正整数，可以求出b的大致范围以及b为9的倍数，从而得到b的值.
19．【答案】（1）解：设每盒“河东东”“海营营”套装的售价为x元，则月销量为盒，
依题意得：，解得：，
答：每盒售价最高为16元；
（2）解： 依题意得：，
解得：，（不合题意，舍去）；
答：a的值为2；
（3）解：设月销售利润为y元，
根据题意得：，
∴对称轴为，
∵，，
∴当时，y有最大值，最大值为2700，
∴当每盒售价为16元时，月销售利润最大，最大利润为2700元．
【知识点】一元一次不等式的应用；一元二次方程的实际应用-销售问题；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设每盒“河东东”“海营营”套装的售价为x元，根据“月销量不低于300盒”列不等式求出x的驱逐范围即可；
（2）利用“月销售利润每盒的销售利润月销售量”列出关于a的一元二次方程，解方程求出a的值解答即可；
（3）设月销售利润为y元，根据“月利润每盒的利润销售量”列二次函数解析式，根据二次函数的增减性求出最值解答即可．
20．【答案】（1）解：设原计划每天生产盒礼盒，则实际每天生产盒礼盒．
根据题意，原计划生产天数与实际生产天数的差为2天，
根据题意，得：，
解得；
经检验，是原方程的解，且符合题意；
答：原计划每天生产盒礼盒.
（2）解：先判断购买数量是否超过盒：
若购买盒，总价为元，，故购买数量超过盒．
设该旅行团一共购买了盒礼盒，则前盒按原价，超出的盒按8折(每盒元)．
根据题意，得：，
解得.
答：该旅行团一共购买了盒礼盒．
【知识点】一元一次方程的实际应用-计费问题；分式方程的实际应用-工程问题
【解析】【分析】（1）设原计划每天生产盒礼盒，则实际每天生产盒礼盒，利用“原计划生产天数与实际生产天数的差为2天”列出方程求解即可；
（2）设该旅行团一共购买了盒礼盒，则前盒按原价，超出的盒按8折(每盒元)，再利用“ 某旅行团购买了一批礼盒，支付的总金额为元 ”列出方程求解即可.
（1）解：设原计划每天生产盒礼盒，则实际每天生产盒礼盒．
根据题意，原计划生产天数与实际生产天数的差为2天，
根据题意，得：，解得；
经检验，是原方程的解，且符合题意；
答：原计划每天生产盒礼盒.
（2）解：先判断购买数量是否超过盒：
若购买盒，总价为元，，故购买数量超过盒．
设该旅行团一共购买了盒礼盒，则前盒按原价，超出的盒按8折(每盒元)．
根据题意，得：，
解得.
答：该旅行团一共购买了盒礼盒．
21．【答案】（1）解：在0≤t≤24的范围内，任意取一个t的值t0时，过点（t0，0）作t轴的垂线，垂线和图象有唯一的公共点A（t0，y0），也就是说，对于时间t的每一个确定的值，潮高y都有唯一确定的值与之对应，所以潮高y（cm）是时间t（h）的函数．
（2）解：过点（10，0）作t轴的垂线，交图象于点B（10，280）．所以当t=10时，函数值为y=280（cm），它的实际意义是10：00时的潮高为280cm．
（3）解：过点（0，200）作垂直于y轴的直线，交图象于C，D，E三点，所以一天内有3次潮高为200cm．
【知识点】通过函数图象获取信息；用图象表示变量间的关系
【解析】【分析】（1）根据函数的定义判断即可；
（2）根据函数图象得到点B的函数值，并根据实际意义解答即可；
（3）观察过y=200与y轴的垂线和图象的交点个数解答即可．
22．【答案】（1）解：根据题意，可得：y=20-=20-x，
∴ 每天游客居住的房间数量为y与x的函数关系式为：.
（2）解：根据题意可列方程，得：（1200+100x-200）（20-x）=22400，
整理，得：（1000+100x）（20-x）=22400，
解得：x=4或x=6，
当x=4时，1200+100x=1200+100×4=1600（元），
当x=6时，1200+100x=1200+100×6=1800（元），
∴当定价为1600元或1800元，民宿每天获得的利润可以达到22400元.
（3）解：设民宿利润为w，则w=（1200+100x-200）（20-x）=（1000+100x）（20-x）=-100（x-5）2+22500，
∵-100＜0，
∴根据二次函数的性质可知，当x=5时，w有最大值，最大值为22500元，
∴当x=5时，1200+100x=1200+100×5=1700元，
答：当定价为1700元时，利润最大，最大利润为22500元.
【知识点】列一次函数关系式；一元二次方程的实际应用-销售问题；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据现有房间数量=原有房间数量-无人居住房间数量，结合“ 当每个房间每天的定价每增加100元时，就会有一个房间无人入住 ”，列出函数关系式即可求解；
（2）根据利润=（房间定价-支出）×房间个数列出方程，求解即可得出答案；
（3）民宿利润为w，根据利润=（房间定价-支出）×房间个数列出二次函数关系式，根据二次函数的性质即可得出答案.
（1）解：根据题意得，每天游客居住的房间数量为y与x的函数关系式为；
（2）解：根据题意得，
解得：，
当时，每个房间的定价为（元），
当时，每个房间的定价为（元），
答：定价为1600元或1800元．
（3）解：设利润为，则根据题意得，
∵，
∴有最大值，即当时，的最大值为22500元，
即当定价为元时，利润最大，最大利润为22500元．
23．【答案】（1），
（2）由（1）得，∵直线过点， ，
∴，
∴甲的速度为，乙的速度为
（3）由（2）可得，直线的解析式为：，
直线的解析式为：，
当时，，解得；
当时，，解得；
当时，，解得；
当时，，解得．
综上所述，乙经过第一个补给点后或或或，甲乙两名选手相距
【知识点】通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：(1)由图象可知，乙在第一个补给点停留的时间为，
由直线可得，，
当时，；
【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，行程问题，关键是理解一次函数图象在行程问题中的意义(路程与时间的关系)，掌握速度的计算方法，以及根据路程差建立方程．
（1）通过观察图象直接得到乙的停留时间和m的值；
（2）根据速度计算公式(速度=路程÷时间)分别求出甲，乙的速度；
（3）根据（2）中的数据和待定系数法可求出和的解析式，根据路程差是3km分情况讨论，建立方程求解即可．
（1）解：由图象可知，乙在第一个补给点停留的时间为，
由直线可得，，
当时，；
（2）由（1）得，
∵直线过点， ，
∴，
∴甲的速度为，乙的速度为；
（3）由（2）可得，直线的解析式为：，
直线的解析式为：，
当时，，解得；
当时，，解得；
当时，，解得；
当时，，解得．
综上所述，乙经过第一个补给点后或或或，甲乙两名选手相距．
24．【答案】解：（1）∵CD=10cm，GF=11cm，
∴C（5，11），
∵GE=10cm，
∴，
∴E（0，1），
设抛物线的解析式为，
把C（5，11）代入得：，
解得，
∴杯体DEC的抛物线解析式为．
（2）①∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
设直线CH的解析式为，
把，C（5，11）代入得，
，
解得，
∴直线CH的解析式为，
联立方程组，
解得，，
∴，
∴，
∴杯里水面的宽度CH为．
②将直线CH：向下平移得到直线l：，当直线l与抛物线只有一个交点时，两平行线间的距离即为杯里水的最大深度，设直线l与y轴交于点P，过点S作SK⊥l于K，
联立，
得：，
∵只有一个交点，
∴，
解得，
∴直线l的解析式为，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵在中，，
∴，
∴，
∴杯里水的最大深度为．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；勾股定理；二次函数的其他应用；坐标系中的两点距离公式
【解析】【分析】任务一：根据条件写出E、C的坐标，再利用待定系数法求解即可；
任务二：①通过等腰三角形的性质可求出点S的坐标，再利用待定系数法求出直线CH的解析式，通过直线和抛物线的解析式求得交点H的坐标，最后利用勾股定理求两点间距离即可求解；
②将直线CH向下平移得到直线l，当直线l与抛物线只有一个交点时，两平行线间的距离即为杯里水的最大深度，设直线l与y轴交于点P，过点S作SK⊥l于K，联立直线l与抛物线的解析式，根据直线与抛物线只有一个交点求出m，可得直线l的解析式，进而求出点P的坐标，SP的长，再求出SK即可得结论．
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