资源简介

创新思想—2026浙江中考数学高阶能力拓展专题
一、代数式中的创新思想
1．数学家华罗庚说：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．”由此可知方程的实数根的个数为（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
2．若一个点的坐标满足，我们将这样的点定义为“倍数点”．若关于x的二次函数（n为常数）总有两个不同的倍数点，则n的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
3．我们知道”若则“，下列生活场景可以用这个知识解释最贴切的是（　　）
A．小明买了2支钢笔花了16元，买5支同样的钢笔花了40元，计算每支钢笔的单价
B．配制一种盐水，盐和水的质量比是1：8，现在往盐水中再加入1克盐和8克水，判断新盐水的浓度是否不变
C．一辆汽车3小时行驶180千米，照这样的速度，计算行驶300千米需要的时间
D．一个长方形的长和宽的比是3：2，若长增加2厘米、宽增加3厘米，判断新长方形的长和宽的比是否不变
4．在密码学中，直接可以看到的内容为明码，对明码进行某种处理后得到的内容为密码，有一种密码，将26个汉字依次对应1，2，3，…，26这26个自然数（如下表），当明码对应的序号x为奇数时，密码对应的序号当明码对应的序号x为偶数时，密码对应的序号例如，明码为“故”，明码对应的序号6为偶数，则密码对应的序号为对应的密码就是“振”。
汉字 山 夏 亲 河 盛 故 土 国 九 心： 州 我 炎
序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
汉字 黄 爱 振 系 情 祖 牵 繁 中 荣 母 华 兴
序号 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26
根据上述规定，将明码“祖国母亲”译成密码为（　　）
A．心系华夏 B．我爱中华 C．我爱华夏 D．心系中华
5．某科技馆中“数理世界”展厅的Wi-Fi密码被设计成如图所示的数学问题．小东在参观时认真思索，输入密码后顺利地连接到网络，则“？”处的数字是　 　．
6．已知a，b为有理数，如果规定一种新运算：　 　 ．
7．若x1，x2是关于x的方程 的两个实数根，且 （k是整数)，则称方程 =0为“偶根方程”.若 是“偶根方程”，则常数m可以是　 　.（写出一个符合条件的值即可)
8．如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程的两个根是，，则方程是“邻根方程”．若关于的方程是“邻根方程”，令，则的最大值是　 　．
9．一个正整数能写成（，均为正整数），则称为“美满数”，，为的一个美满分解，并规定：．如果一个两位正整数（十位数字大于个位数字，交换其个位上的数与十位上的数得到的新数与原数是4752的一个美满分解，则的值为　 　．
10．感恩的心是一种生活态度，它能够提升我们的生活质量，让我们更加快乐和满足．如图是小双同学在学习二次函数时设计的“爱心”图案．“爱心”是在平面直角坐标系中，由二次函数的图象与其关于直线对称的图象所组成，若两图象相交于，，，四点，则四边形的面积为　 　．
11．先观察下列等式，再回答问题：
①；
②；
③．
（1）根据上而三个等式提供的信息，请你猜想______．
（2）请按照上面各等式反映的规律，试写出用n的式子表示的等式：______．
对任何实数a可表示不超过a的最大整数，如，，计算：的值
12．小吴利用一次函数和二次函数知识，设计了一个计算程序，其程序框图如图1所示，输入x的值为-1时，输出y的值为-3；输入x的值为1时，输出y的值为1；输入x的值为6时，输出y的值为3.
（1）根据题意，填空： a=　 　，b=　 　，k=　 　．
（2）小吴在平面直角坐标系中画出了函数y关于x的大致图象，如图2所示.
①若关于每一个输出的y值，可以找到两个不同的x的值与其对应，求出所有符合要求的y的值.
②若在函数图象上有P，Q两点 (P在Q的左侧).P的横坐标为t，Q的横坐标为-t+4.小吴对P，Q之间(含P，Q两点)的图象进行了研究，当此函数的最大值m与最小值n的差是一个定值时，请直接写出t的取值范围.
13．小强利用一次函数和二次函数知识，设计了一个计算程序，其程序图如图①所示，输入x的值为1时，输出y的值为1；输入x的值为时，输出y的值为1；输入x的值为时，输出y的值为2．根据以上信息解答下列问题．
（1）求k，a，b的值．
（2）图②中，根据程序图请你画出一次函数和二次函数的大致图象．
（3）当y随x的增大而减小时，求x的取值范围．
（4）当关于x的方程（，t为实数）只有一个实数解时，直接写出t的取值范围．
二、几何中的创新思想
14．小芸在班级办黑板报时遇到了一个难题，在版面设计过程中需将一个半圆面三等分，请你帮助她设计一个合理的等分方案．要求用尺规作出图形，保留作图痕迹，并简要写出作法．
15．如图1，月洞门是中国古典建筑中的一种圆形门洞，形如满月，放称“月洞门”，其形制可追翻至汉代，但真正在美学与功能上成热于宋代，北宋建筑学家李诚编撰的《营造法式》是中国古代最完整的建筑技术典籍之一，如图2是古人根据（营造法式》中的”五举法”作出的月洞门的设计图，月洞门呈弧形，用表示，点O是所在圆的圆心，AB是月洞门的横跨，CD是月洞门的拱高、现在我们也可以用尺规作图的方法作出月洞门的设计图。如图3，已知月洞门的横跨为AB，拱高的长度为a.作法如下：
①作线段AB的垂直平分线MN.垂足为D；
②在射线DM上截取DC=a
③连接AC，作线段AC的垂直平分线交CD于点O：
④以点O为圆心，OC的长为半径作.
则就是所要作的圆弧.
请你依据以上步骤，用尺规作图的方法在图3中作出月洞门的设计图（保留作图痕迹，不写作法）.
16．材料：在古罗马时代，传说在亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题．将军每天从营地甲出发，先到河边饮马，再去河岸同侧的营地乙开会，应该怎样走才能使路程最短？从此、这个被称为“将军饮马”的问题广泛流传．
（1）在解决日常生活中遇到的问题时，我们常常把问题数学化，将问题抽象归纳为一个数学模型，将军饮马问题也不例外．在这个问题中，我们把营地甲、营地乙分别抽象为点、点，把河岸抽象为直线，把距离抽象为线段的长度，这样，一个生活问题就转化为一个数学问题．现有如下四种设计方案，则所走路程最短的是___________．
A． B． C． D．
（2）如图所示，牧童在处放牛，其家在处，米，米，米，牧童从处把牛牵到河边饮水再回家，求牧童需要走的最短路程为多少米．
（3）已知，求的最小值．（可结合图形）
17．光的折射．
物理常识 光从一种介质斜射入另一种介质时，传播方向偏折的现象叫做光的折射． 当光从真空射入某种介质发生折射时，入射角α的正弦与折射角β的正弦之比（α，β均为锐角），叫作这种介质的绝对折射率，简称折射率，用符号n表示，即．
【概念理解】
（1）如图①，若入射角的度数为，折射率，求折射角β的度数．
（2）如图②，直线l是真空与某种介质的分界线，折射率，是入射光线，点A是入射点．在图②中，用直尺和圆规作出折射光线．（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）
【深入思考】
（3）如图③，直线l是真空与某种介质的分界线，折射率，直线l上有一个位置固定的遮光板，且M是的中点；在直线l下方有一个圆形区域，且与相切于点M．点光源P在直线l的上方，经过遮光板的遮挡，使得折射光线不能进入的内部．已知的半径为，．（假设入射光线在端点A，B处能够发生折射）
①点光源P到直线l的距离的最大值是_______；
②满足条件的点光源P所形成的区域面积随着折射率n的值变大而_______．（填“变大”或“变小”）
18．（1）问题再现：学习二次根式时，老师给同学们提出了一个求代数式最小值的问题，如，“求代数式的最小值”．小强同学发现可看作两直角边分别为x和2的直角三角形斜边长，可看作两直角边分别是和4的直角三角形的斜边长．于是构造出如图所示，将问题转化为求线段AB的长，进而求得的最小值是______．
（2）类比迁移：已知a，b均为正数，且．求的最小值．
（3）方法应用：已知a，b均为正数，且，，是三角形的三边长，求这个三角形的面积（用含a，b的代数式表示）．
19．问题解决策略：归纳
活动一：在城市规划中，街道的设计需要考虑到交通流量和交汇点的管理．每条街道可以看作平面上的一条直线，街道的交汇点即直线与直线的交点．通过计算交汇点数量的最大值，可以帮助优化交通网络的设计，提高交通效率．探究小组设计了一个数学活动，模拟了某个城市街道交汇点数量的最大值的问题．
【特例研究】如图1，若长方形内有2条直线，则最多可以得到1个交点．
如图2，若长方形内有3条直线，根据交点个数的不同，有如图四种情况，请在图中作出第四种情况．
【类比发现】
请类比上面的分析过程，将你得到的数据填入下表中．
长方形内直线的条数 2 3 4 5 …
最多的交点个数 1 …
【猜想分析】若该城市某片区有10条街道，假设10条街道为10条直线，则这10条直线最多有______个交汇点；
活动二：
（1）探究小组用归纳分析的方法研究课本95页的第12题，题目如下：对于，可以用10个手指直观地展示出来：如图3，将两手平伸，手心向上，从左边开始数至第3个手指，将它弯起，此时它的左边有2个手指，右边有7个手指，“27”正是“”的结果．类似地，，，，…，也可以用手指直观的展示出来．用数学语言揭示原理：从左数起，设弯下的手指为第n根手指，便可以用一个含n的等式来表示这个规律，请填写这个等式：(______)+(______)；
（2）探究小组还发现，用9根小木棒也能展示从，，，…，的乘法运算．如图4，往下移动第3根木棒，则左边的两根木棒可表示2个9，右边的6根表示6个1，则类似地，请用一个含未知数的等式来揭示原理，过程如下：设______，则表示这个规律的等式为______．
20． 《九章算术》是世界上较早给出勾股数公式的著作，掌握确定勾股数组的方法对研究直角三角形具有重要意义.若直角三角形的三边长a，b，c都是正整数，则a，b，c为一组“勾股数”.下表中的每一组数都是勾股数.
3， 4， 5 7， 24， 25 11， 60， 61 15， 112， 113 19， 180， 181
4， 3， 5 8， 15， 17 12， 35， 37 16， 63， 65 20， 21， 29
5， 12， 13 9， 12， 15 13， 84， 85 17， 144， 145 21， 28， 35
6， 8， 10 10，▲， 26 14， 48， 50 18， 80， 82 22， 120， 122
（1）请补全上表中的勾股数.
（2）根据上表中数据规律，用含字母(均为正整数)的代数式分别表示a，b，c，使该组代数式能表示上表中所有的勾股数，并证明.
（3）某校计划在一块绿地上种花，使之构成如题22图所示的图案，该图案是由四个全等的直角三角形组成.种花要求：仅在三角形边上种花，每个三角形顶点处都种一株花，各边上相邻两株花之间的距离均为1m.如果每个三角形最短边都种21株花，那么这块绿地最少需要种植多少株花
三、统计概率中的创新思想
21．如图，某学校七年级数学兴趣小组组织一次数学活动.在一座有三道环形路的数字迷宫的每个进口处都标记着一个数，要求进入者把自己当成数“1”，进入时必须乘进口处的数，并将结果带到下一个进口，依次累乘下去，通过最后一个进口时，只有乘积是5 的倍数，才可以进入迷宫中心，现让小军从最外环任一个进口进入.
（1）小军能进入迷宫中心的概率是多少 请通过画树状图进行说明.
（2）小组两名组员小张和小李商量做一个小游戏，以猜测小军进迷宫的结果定胜负.游戏规则如下：小军若能进入迷宫中心，小张和小李各得1分；小军若不能进入迷宫中心，则他在最后一个进口处所得乘积是奇数时，小张得3分，所得乘积是偶数时，小李得3分，你认为这个游戏公平吗 如果公平，请说明理由；如果不公平，请在第二道环形路进口处的两个数中改变其中一个数使游戏公平.
（3）在(2)的游戏规则下，让小军从最外环进口任意进入10次，最终小张和小李的总得分之和不超过28分，请问：小军至少几次进入迷宫中心
22．小蒙设计了一个抽奖游戏：如图，宝箱是由7×7的方格组成的，方格中随机放置着 10个奖品，每个方格中最多能放一个奖品.
（1）如果随机打开一个方格，那么获得奖品的概率是　 　.
（2）为了增加趣味性，小蒙优化了这个游戏.小雨参加游戏，第一次没有获得奖品，但是呈现出了数字2(如图).小蒙解释，这说明与这个方格相邻的8个方格(即区域A)中有2个放置了奖品.进行第二次抽奖，小雨将有两种选择：打开区域 A 中的方格或打开区域A 外的方格.为了尽可能获得奖品，你会建议小雨如何选择 为什么
23．小亮有黑、白各10张卡片，分别写有数字．把它们像扑克牌那样洗过后，数字朝下，排成四行，排列规则如下：
①从左至右按从小到大的顺序排列：
②黑、白卡片数字相同时，黑卡片放在左边．
小亮每行翻开了两张卡片，如图所示：
第一行：
第二行：
第三行：
第四行：
其余卡片上数字小亮让小明根据排列规则进行推算小明发现有的卡片上数字可以唯一确定，有的卡片上的数字并不能唯一确定．
（1）求第四行最后一张白色卡片上数字．
（2）小明对不能唯一确定的卡片上数字进行猜测，求小明一次猜对所有数字的概率．
24．如图（1），线段和相交于点C，连接．四张纸牌除正面分别写着如图（2）所示的四个不同的条件外完全相同，将四张纸牌背面朝上洗匀后放在桌面上．
（1）若小明第一次抽到纸牌③后，再从剩下的三张纸牌中随机抽取一张，则两张纸牌上的条件能证明成立的概率是_________；
（2）若从四张纸牌中随机抽出两张，求两张纸牌上的条件能证明成立的概率，先补全图（3）中的树状图，再计算．
25．为确定传染病的感染者，医学上可采用“二分检测方案”．假设待检测的总人数是（m为正整数）．将这个人的样本混合在一起做第1轮检测（检测1次），如果检测结果是阴性，可确定这些人都未感染；如果检测结果是阳性，可确定其中有感染者，测将这些人平均分成两组，每组个人的样本混合在一起做第2轮检测，每组检测1次．以此类推：每轮检测后，排除结果为阴性的组，而将每个结果为阳性的组再平均分成两组，做下轮检测，直至确定所有的感染者．
例如，当待检测的总人数为4，且标记为“”的人是唯一感染者时，“二分检测方案”可用如图表示．从图中可以看出，需要经过3轮共n次检测后，才能确定标记为“”的人是唯一感染者．
（1）n=　 　；
（2）若待检测的总人数为8，采用“二分检测方案”，经过4轮7次检测后确定了所有的感染者，写出感染者人数的所有可能值　 　．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】反比例函数的图象；二次函数y=ax²+bx+c的图象
【解析】【解答】解：由题意可知，，那么设和，
对于，那么顶点坐标为，
当时，，，那么该抛物线过，，
当时，，那么该抛物线过，
对于，时，，
时，，
时，
那么该双曲线过，，，如图所示：
从图象可知，和的交点有3个，那么方程的实数根的个数有3个．
故答案为：D．
【分析】在同一平面直角坐标系中画出与的图象，根据交点的个数得到方程的解的情况解题．
2．【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：根据“倍数点”定义，设倍数点为，代入函数，得：，
∴，
∵总有两个不同的倍数点，
∴方程有两个不同的实根，
∴，即，
∴，
故答案为：A．
【分析】根据倍数点的定义，点在二次函数上，代入得方程，再根据总有两个不同的倍数点，该方程需有两个不同的实根，即可得，即，进一步得即可得答案.
3．【答案】B
【知识点】分式基本性质的应用-判断分式值的变化
【解析】【解答】解：题中给出性质：若，则，即两个比值相等时，前项和与后项和的比值仍等于原比值，据此分析各选项：
选项A是计算单价，通过总价除以数量得到结果，没有用到上述性质，不符合题意；
选项B中，设原盐水中盐质量为，水质量为，得，新加入盐，水，得，满足，根据性质得，盐和水的比不变，因此浓度不变，完全符合题中知识，符合题意；
选项C是根据速度不变列比例求时间，没有用到上述合比性质，不符合题意；
选项D中，原长宽比，增加的长和宽的比是，不满足的前提，不符合题意．
故答案为：B.
【分析】结合各选项的实际场景，判断符合题中给出的性质的解答即可．
4．【答案】A
【知识点】有理数的除法法则；有理数的加法法则
【解析】【解答】 解：根据题意得，祖对应的序号为19，则密码对应的序号是，即为心
国对应的序号为8，则密码对应的序号是，即为系
母对应的序号为24，则密码对应的序号是，即为华
亲对应的序号为3，则密码对应的序号是，即为夏
故答案为：A
【分析】根据题意，结合有理数的加法，除法即可求出答案.
5．【答案】2024
【知识点】单项式乘单项式；单项式除以单项式
【解析】【解答】解：，
又∵
∴，
即“？”处的数字是2024，
故答案为：2024．
【分析】先根据幂的乘方和多项式除以多项式，单项式乘单项式的运算法则化简，再找出规律，写出结果即可．
6．【答案】﹣16
【知识点】求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】根据新定义的运算规则，
，
故答案为：-16.
【分析】本题是定义新运算题型，核心是先根据给定的运算规则 ，将代入规则计算即可。
7．【答案】(答案不唯一)
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：因为x1，x2是方程x2+3x-m=0的两个实数根，
所以由韦达定理可得x1+x2=-3，x1x2=-m。
由于x1+x2=-3<0，可知两根同负或一正一负且负数的绝对值较大，分两种情况讨论：
1.若两根x1，x2均为负数，则|x1|=-x1，|x2|=-x2，
所以|x1|+|x2|=-(x1+x2)=3。根据”偶根方程“定义，3=2k，但3不是2的整数倍，此情况不成立；
2.若两根一正一负且负数绝对值大，则x1+x2=x1-x2。
根据根与系数的关系，。
由定义得，两边平方得9+4m=4k2，即。
因为m为实数且方程有实数根，所以判别式△=32+4m≥0，即。
取k=2(k为整数)，代入得。
因此，常数m可以为（答案不唯一，取k=1时，k=3时等均符合条件）。
故答案为：(答案不唯一).
【分析】根据"偶根方程"的定义，方程x2+3x-m=0的两个实数根x1，x2需满足x1+x2=2k(k为整数)。利用韦达定理得到根与系数的关系，结合根的符号分类讨论，代入条件求解m即可。
8．【答案】9
【知识点】配方法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：设、是方程的两根，
解得，，
∵原方程是“邻根方程”，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴当时，有最大值，最大值为9．
故答案为：9．
【分析】本题以新定义“邻根方程”为背景，考查了一元二次方程根的判别式、求根公式以及二次函数最值的求法。解题的关键是紧扣“邻根方程”中两根之差为1的定义，利用求根公式表示出两根并作差，从而推导出a与b之间的等量关系，最后将该关系代入目标代数式，利用配方法即可求出t的最大值。
9．【答案】或．
【知识点】因式分解﹣公式法；因式分解的应用
【解析】【解答】解：设原两位正整数的十位数字为，个位数字为均为正整数），则原数为，新数为，
新数与原数是4752的一个美满分解，，
又，
将，代入，
可得：（均为正整数）
此方程有两组符合题意的解，
分别为：或
当时，，
，
当时，，
，
综上，的值为或．
故答案为：或．
【分析】本题以新定义“美满数”为背景，考查了因式分解与不定方程在数论问题中的应用。设原两位数的十位数字为 m、个位数字为 n（m > n），则原数为 10m + n，新数为 10n + m，且 a = 10m + n，b = 10n + m 是 4752 的一个美满分解，由 a2 - b2= 4752 得 99(m + n)(m - n) = 4752，即 (m + n)(m - n) = 48。解此不定方程得两组正整数解：(m， n) = (7， 1) 或 (8， 4)，分别代入得 F(4752) =或。
10．【答案】
【知识点】坐标与图形变化﹣对称；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数与一元二次方程的综合应用；两二次函数的图象共存判断；二次函数-面积问题
【解析】【解答】解：设任意点关于直线对称的点，交于，过作轴于，过作轴于，连接，，则，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
设二次函数的图象上有任意一点，则点与关于直线对称的点为，若两图象相交于，，，四点，
∴二次函数的图象与关于直线对称的图象解析式为，，
联立，两个方程相减后整理得，
∴或，
当时，联立，解得或，
∴，，
∴，
当时，联立，解得或，
∴，，
∴，
∴四边形的面积为，
故答案为：．
【分析】
本题考查二次函数的综合，轴对称的性质，先求出任意一点关于直线对称的点坐标为，得到对称后的解析式为，再解方程求出，，，四点坐标，求出和，最后根据得到四边形的面积为，代入计算即可．
11．【答案】（1）
（2），49
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解：（1）；
（2）由题干信息归纳可得：
，
∴
．
【分析】本题考查二次根式的规律探究、取整函数（高斯函数）的应用.
（1）观察已知等式，发现可拆分为，进一步化简为，依据此规律完成猜想和通式推导；
（2）先将每一项二次根式按规律拆分为，再对所有项求和，利用进行裂项相消，最后结合取整函数的定义，确定每一项的取整结果后求和．
（1）解：；
（2）由题干信息归纳可得：
，
∴
．
12．【答案】（1）；2；
（2）解：①由（1）得，
当时，，顶点坐标为；
当时，，即点坐标为；
如图，当经过点或且平行于x轴的直线，每一个输出的y值，可以找到两个不同的x的值与其对应，
∴所有符合要求的y的值为或；
②
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的性质；利用一般式求二次函数解析式；二次函数与分段函数的综合应用
【解析】【解答】解：（1）解：∵，，
∴将，和，分别代入，
得：，
解得：；
∵，
∴将，代入，
得，
解得：，
故答案为：，，；
（2）②∵，，且P在Q的左侧，
∴，解得，
解方程得或，
解方程得或，
解方程得，
解方程得，
∵，
∴，
分情况讨论，
当时，则，
∴，
由图象得，当时取得最大值，为，
当时取得最小值，为，
∴
，不是定值，不符合题意；
当时，则，
∴，
由图象得，
当时取得最大值，为，当时取得最小值，为，
∴，是定值，符合题意；
当时，则，
∴，
由图象得，当时取得最大值，为，
当时取得最小值，为，
∴，不是定值，不符合题意；
综上，．
【分析】
（1）先确定输入x值的范围，确定好之后将x，y的值代入所给的y关于x的函数解析式中解方程或方程组即可；
（2）①把问题转化为经过点或且平行于x轴的直线，据此求解即可；
②可求，分，，三种情况根据函数的增减性得到最大值和最小值解答即可．
13．【答案】（1）解：∵输入x的值为1时，输出y的值为1，且1＞0，
∴，
∴；
∵输入x的值为时，输出y的值为1；输入x的值为时，输出y的值为2，，，
∴，
∴；
（2）解：∵，，，
∴一次函数解析式为，二次函数解析式为，
令一次函数中，则，
对于二次函数：，
列表为：
x … 0 1 …
y … 5 2 1 2 5 …
函数图象如下：
（3）解：当时，的对称轴为直线，开口向上，
∴当时，y随x的增大而减小；
当时，，，
∴时，y随x的增大而减小；
综上，x的取值范围为或；
（4）解：或.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax²+bx+c的性质；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况；作图-二次函数图象
【解析】【解答】（4）解：∵关于x的方程（，t为实数）只有一个实数解，
∴抛物线与直线只有一个交点，
由（1）知，，则，
当抛物线与直线只有一个交点时，
联立得，即方程有两等根，
∴，
解得或，
当时，则，符合题意；
当时，则，不符合题意；
当直线过时，，
∵直线过定点，
∴结合（2）中图象可以发现，当抛物线与直线只有一个交点时，直线与轴交点在上方，
∴；
综上所述，当抛物线与直线只有一个交点时，或．
【分析】（1）由计算程序提供信息，先将x=1与y=1代入y=kx+2算出k的值；将x=-1、y=1与x=-2、y=2代入y=ax2+bx+2可得关于字母a、b的方程组，求解即可得到a、b的值；
（2）由（1）可知一次函数解析式为：，二次函数解析式为：，利用两点法画出一次函数y=-x+2(x＞0)的图象；然后利用列表，描点，连线即可画出二次函数的图象y=x2+2x+2（x＜0）的图象；
（3）根据（2）中函数图象找出图象从左至右依次下降部分对应的自变量的取值范围即可；
（4）方程可以看成抛物线与直线只有一个交点，联立两函数解析式可得关于字母x的一元二次方程，由方程有两相等实数根可得判别式b2-4ac=0，据此建立出关于字母t的方程，求解得出符号t的值，结合函数图象求解即可．
（1）解：∵输入x的值为1时，输出y的值为1，
∴，
∴；
∵输入x的值为时，输出y的值为1；输入x的值为时，输出y的值为2，，，
∴，
∴；
（2）解：∵，，，
∴一次函数解析式为，二次函数解析式为，
令一次函数中，则，
对于二次函数：，
列表为：
x … 0 1 …
y … 5 2 1 2 5 …
函数图象如下：
（3）解：当时，的对称轴为直线，开口向上，
∴当时，y随x的增大而减小；
当时，，，
∴时，y随x的增大而减小；
综上，x的取值范围为或；
（4）解：∵关于x的方程（，t为实数）只有一个实数解，
∴抛物线与直线只有一个交点，
由（1）知，，则，
当抛物线与直线只有一个交点时，
联立得，即方程有两等根，
∴，
解得或，
当时，则，符合题意；
当时，则，不符合题意；
当直线过时，，
∵直线过定点，
∴结合（2）中图象可以发现，当抛物线与直线只有一个交点时，直线与轴交点在上方，
∴；
综上所述，当抛物线与直线只有一个交点时，或．
14．【答案】解：作法：
(1)作AB的垂直平分线CD交AB于点O；
(2)分别以A、B为圆心，以AO(或BO)的长为半径画弧，分别交半圆于点M、N；
(3)连接OM、ON即可.
【知识点】线段垂直平分线的性质；尺规作图-垂直平分线；尺规作图-等腰（等边）三角形
【解析】【分析】应先做线段AB的垂直平分线，得到半圆的圆心；三等分平角，那么平分而成的每个角是，根据半径相等，可得到相邻两个半径的端点与圆心组成一个等边三角形.以A为圆心，半径长为半径画弧，就可得到一个另一半径的端点所在的位置，连接它与圆心，就得到一条三等分线，同法做到另一三等分线.
15．【答案】解：如图，即为所求.
【知识点】尺规作图-直线、射线、线段；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】直接根据作图步骤进行尺规作图即可.
16．【答案】（1）D
（2）解： 如图，延长至点，使得，连接，则的长度为牧童需要走的最短路程．
过点作，与的延长线交于点，
则．
在中，米，米．
（米）．
（3）解：如图，设线段，作，取，，
的值可看作的值．
当三点共线时，的值最小，
即的最小值为的长．
作于点，
∴
则，
，
的最小值为10．
【知识点】两点之间线段最短；勾股定理；轴对称的性质；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【解答】
（1）
解：选：D，
理由：如图，作点关于直线的对应点，连接交直线于点，则点就是所要求作点．在直线在任取另一点，连接，
由轴对称的性质可得：，
，，
在中，，
，
故选：D．
【分析】
（1）先利用轴对称的性质作点A关于直线L的对称点A`，则CA＝CA`，则CA+CB转化为CA`+CB，显然两点之间线段最短，即连接A`B，则线段A`B的长度即最短距离；
（2）利用将军饮马模型作点A关于直线L的对称点A`，再连接A`B，再过点A`作直线L的平行线A`P，再过点B作直线A`P的垂线交A`P于点P，再利用勾股定理求出A`B的长度即可；
（3）由于16和4分别是4和2的平方，a与br的和为定值，则可作线段DE＝8，再分别过D、E在线段两侧作DE的垂线段DA和BE，使AD＝2，BE＝4，再在DE任取一点M，则由勾股定理可得，显然当A、M、B三点共线时AM+BM最小，即AM+BM＝AB，再利用勾股定理求出AB的长即可．
（1）解：选：D，
理由：如图，作点关于直线的对应点，连接交直线于点，则点就是所要求作点．在直线在任取另一点，连接，
由轴对称的性质可得：，
，，
在中，，
，
故选：D．
（2）如图，延长至点，使得，连接，则的长度为牧童需要走的最短路程．
过点作，与的延长线交于点，
则．
在中，米，米．
（米）．
（3）如图，设线段，
作，取，，
的值可看作的值．
当三点共线时，的值最小，
即的最小值为的长．
作于点，
∴
则，
，
的最小值为10．
17．【答案】解：（1）∵，∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）过点作法线，作线段的中垂线，以为圆心，为半径画弧，交的中垂线于点，连接并延长，即可得到折射光线，如图：
由作图可知：，点到法线的距离为，
∴，满足题意；
（3）①；②变小
【知识点】切线的性质；解直角三角形；切线长定理；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】
（3）①过点，作直线的垂线，当折射光线过点且与圆相切时，点光源P到直线l的距离最大，如图：
∵入射角相等，
∴入射角，
∴，
连接，设折射光线与圆相切于点，连接，
∵为的中点，
∴，，
∵为的切点，
∴，，
∴三点共线，，
∵，
∴，
∴，
∵的半径为，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即折射角，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即：，
∴，
∴，即：点光源P到直线l的距离的最大值是；
②由①可知，满足条件的点光源P所形成的区域面积为的面积，，
∴，
∴当折射率变大，变大，的值变小，
∴的面积变小，即：满足条件的点光源P所形成的区域面积变小；
故答案为：①；②变小．
【分析】
（1）根据折射率的定义和特殊角三角函数值即可解答；
（2）结合新定义，与尺规作图作垂线，先过点作法线，作线段的中垂线，以为圆心，为半径画弧，交的中垂线于点，连接并延长，即可得到折射光线；
（3）①过点，作直线的垂线，当折射光线过点且与圆相切时，点光源P到直线l的距离最大，为的值，利用切线长定理结合新定义，进行求解即可；
②根据题意，得到满足条件的点光源P所形成的区域面积为的面积，随着入射角的增大，折射率变大，得到逐渐减小，进而面积逐渐减小即可．
18．【答案】解：（2）如图所示，，，，，
在Rt△ACD中，，
在Rt△BED中，，
∴，
∴要想的值最小，则的值最小，
∴当A、D、B三点共线时，的值最小，最小值为，
过点B作交延长线于F，
∵，，，
∴四边形BECF是矩形，
∴，，
∴，
∴，
∴的最小值为13；
（3）如图所示，，，，，
∴，，，
∴的面积即为所求，
∴
．
【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：（1）如图所示，，，，，
在Rt△ACD中，，在Rt△BED中，，
∴，
∴要想的值最小，则的值最小，
∴当A、D、B三点共线时，的值最小，最小值为，
过点B作交延长线于F，
∵，，，
∴四边形BECF是矩形，
∴，，
∴，
∴，
∴的最小值为10，
故答案为：10；
【分析】（1）如图，把看成两直角边分别为x和2的直角三角形斜边长，看成两直角边分别为8-x和4的直角三角形斜边长，构造几何图形，把代数和转化为线段和，再利用两点之间线段最短求最小值，即当A、D、B三点共线时，AD+BD的值最小，最小值为AB，从而利用勾股定理计算出线段AB的长度即可；
（2）如图，把看成直角边分别为a和2的直角三角形的斜边长，看成直角边分别为b和3的直角三角形的斜边长，构造几何图形， 把代数和转化为线段和，再利用两点之间线段最短求最小值，即当A、D、B三点共线时，AD+BD的值最小，最小值为AB，从而利用勾股定理计算出线段AB的长度即可；
（3）如图，把看成两直角边分别为a和b的直角三角形斜边长， 把看成两直角边分别为2a和b的直角三角形斜边长， 把看成两直角边分别为a和2b的直角三角形斜边长， 构造包含三边的△ADF，利用割补法，由S△ADF=S△ABF+S梯形BCDF-S△ACD，结合三角形面积公式及直角梯形面积公式，列式计算即可.
19．【答案】解：【特例研究】：根据题意得：
第四种情况如图：
【类比发现】：
2条直线最多只有1个交点，
3条直线最多有个交点，
4条直线最多有个交点，
以此类推可知，5条直线最多有个交点，
补全表格如图，
长方形内直线的条数 2 3 4 5 …
最多的交点个数 1 3 6 10 …
【猜想分析】：45.
【活动二】：（1）；.
（2）从左数起，往下移动的为第x根小棒；．
【知识点】用代数式表示几何图形的数量关系；用代数式表示图形变化规律；直线相交的交点个数问题
【解析】【解答】解：【猜想分析】：由类比发现的结论可知：n条直线最多有个交点，
∴10条直线最多有个交点，
故答案为：45.
【活动二】：（1）当弯下的手指为第n根手指，则左边还剩根手指，即十位是，
右边还剩根手指，即个位是，
∴，
故答案为：，.
（2）设从左数起，往下移动的为第x根小棒，则左边还剩木棒，右边还剩木棒，
根据规律得：
故答案为：从左数起，往下移动的为第x根小棒；．
【分析】【特例研究】根据材料，第四种情况是三条直线两两相交，有3个交点，画图即可.
【类比发现】：分别求出2条直线最多只有1个交点，3条直线最多有个交点，4条直线最多有个交点，据此得n条直线最多有n条直线最多有个交点，即可补全表格.
【猜想分析】：根据【类比发现】得n条直线最多有n条直线最多有个交点，即可得10条直线最多有个交点.
【活动二】：（1）当弯下的手指为第n根手指，则左边还剩根手指，即十位是，
右边还剩根手指，即个位是，进一步得即可得答案.
（2）设从左数起，往下移动的为第x根小棒，则左边还剩木棒，右边还剩木棒，
根据规律得：即可.
20．【答案】（1）24
（2）解：若任取两个正整数m和n(m> n)， 则 是勾股数.
∵+ n4
∴以a、b、c为三边的三角形是直角三角形(勾股定理的逆定理)
（3）解：最短边种21株， 边长20cm， 对应勾股数20， 21， 29
每三角形种花： (株)
四块绿地一共： (株)
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；勾股数；探索数与式的规律
【解析】【分析】（1）x==24
（2）通过设定m、n构造表达式，再代数运算验证勾股定理逆定理，证明其为勾股数通用形式 。
（3）先由种花株数得边长，匹配勾股数，再用 “株数 = 间隔数 + 1” 算单三角形株数（去重复顶点 ），最后乘4得总数，融合勾股数与植树问题逻辑 。
21．【答案】（1）解：画树状图如图所示.由图，可知共有12种等可能的结果，其中乘积是5的倍数的结果有4种，
∴ P(进入迷宫中心)
（2）解：不公平.
由树状图可知，P(5的倍数) P(非5 的倍数的奇数) P(非5的倍数的偶数)
∴不公平.
可将第二道环形路进口处的数4改为任意一个奇数
（3）解：设小军x 次进入迷宫中心，则2x+3(10-x)≤28，解得x≥2.
∴ 小军至少2次进入迷宫中心
【知识点】用列表法或树状图法求概率；游戏公平性
【解析】【分析】(1)首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与小军能进入迷宫中心的情况，再利用概率公式即可求得答案；
(2)利用(1)中列树状图得到的概率，进而分析得出答案.
22．【答案】（1）
（2）解：我会建议小雨打开区域 A 中的方格.
∵ P(打开区域A 中的方格获得奖品）
P(打开区域A 外的方格获得奖品)=
∴ 打开区域A 中的方格获得奖品的概率更大.
【知识点】概率的简单应用
【解析】【解答】 方格中随机放置着10个奖品，
故答案为：
【分析】(1)根据宝箱由7×7个方格组成，方格中随机放置着10个奖品，列式计算概率即可；
(2)根据方格相邻的8个方格 (即区域A)中有两个放置了奖品，计算打开区域A中的小方格获奖的概率；根据区域A中有两个放置了奖品，计算出区域A外的小方格放置了8个奖品，再计算出区域A外的小方格的总数，即可计算打开区域A外的小方格获奖的概率.比较二者概率大小，选择概率大的即可.
23．【答案】（1）解：黑卡8在左边，
白卡数字可能为8或9，
又白卡9排在第一行，
第四行最后一张白色卡片上数字只能是8；
（2）解：每行能确定的数字为：
第一行：1，5，6，7，9
第二行：，，3，4，5
第三行：0，，6，7，9
第四行：0，2，，8，8
不能确定的是黑色2，3和4，共有三种填法，是等可能性的，填对的有一种，即概率为.
【知识点】概率公式
【解析】【分析】
（1）根据规则即可求解；
（2）根据不能确定的数字求概率即可．
（1）解：黑卡8在左边，
白卡数字可能为8或9，
又白卡9排在第一行，
第四行最后一张白色卡片上数字只能是8；
（2）解：每行能确定的数字为：
第一行：1，5，6，7，9
第二行：，，3，4，5
第三行：0，，6，7，9
第四行：0，2，，8，8
不能确定的是黑色2，3和4，共有三种填法，是等可能性的，填对的有一种，即概率为，
24．【答案】（1）
（2）解：补全树状图，如图，
∵，
∴当抽中①，②，不能判断；
当抽中①，③，能判断；
当抽中①，④，能判断；
当抽中②，①，不能判断；
当抽中②，③，能判断；
当抽中②，④，能判断；
当抽中③，①，能判断；
当抽中③，②，能判断；
当抽中③，④，不能判断；
当抽中④，①，能判断；
当抽中④，②，能判断；
当抽中④，③，不能判断；
共有12个可能的结果，两张纸牌上的条件能证明成立的结果有8个，
∴摸出两张纸牌上的条件能证明成立的概率．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：（1）∵，，
∴当抽中时，由能判断，①符合题意；
当抽中时，由能判断，②符合题意；
当抽中时，由不能判断，④不符合题意；
∴共有三种等可能结果，其中能证明成立的情况有2种
能证明概率是，
故答案为：；
【分析】
（1）根据全等三角形的判定“有两个角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等”可得成立的结果数，然后用概率公式计算即可求解；
（2）补全树状图，共有12个可能的结果，根据全等三角形的判定得到能证明成立的结果数，然后用概率公式计算即可求解．
25．【答案】（1）5
（2）1、2
【知识点】推理与论证；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：（1）∵第一轮需要1次，第二轮需要2次，第三轮要2次，
∴n=1+2+2=5.
故答案为：5.
（2）根据题意画示意图如下
感染者人数的所有可能值为1或2.
故答案为：1或2
【分析】（1）由图可计算出n的值；
（2）当经过4轮共7次检测后确定了所有的感染者，需要经过3轮共n次检测后，即可得出答案。
1 / 1创新思想—2026浙江中考数学高阶能力拓展专题
一、代数式中的创新思想
1．数学家华罗庚说：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．”由此可知方程的实数根的个数为（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】D
【知识点】反比例函数的图象；二次函数y=ax²+bx+c的图象
【解析】【解答】解：由题意可知，，那么设和，
对于，那么顶点坐标为，
当时，，，那么该抛物线过，，
当时，，那么该抛物线过，
对于，时，，
时，，
时，
那么该双曲线过，，，如图所示：
从图象可知，和的交点有3个，那么方程的实数根的个数有3个．
故答案为：D．
【分析】在同一平面直角坐标系中画出与的图象，根据交点的个数得到方程的解的情况解题．
2．若一个点的坐标满足，我们将这样的点定义为“倍数点”．若关于x的二次函数（n为常数）总有两个不同的倍数点，则n的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：根据“倍数点”定义，设倍数点为，代入函数，得：，
∴，
∵总有两个不同的倍数点，
∴方程有两个不同的实根，
∴，即，
∴，
故答案为：A．
【分析】根据倍数点的定义，点在二次函数上，代入得方程，再根据总有两个不同的倍数点，该方程需有两个不同的实根，即可得，即，进一步得即可得答案.
3．我们知道”若则“，下列生活场景可以用这个知识解释最贴切的是（　　）
A．小明买了2支钢笔花了16元，买5支同样的钢笔花了40元，计算每支钢笔的单价
B．配制一种盐水，盐和水的质量比是1：8，现在往盐水中再加入1克盐和8克水，判断新盐水的浓度是否不变
C．一辆汽车3小时行驶180千米，照这样的速度，计算行驶300千米需要的时间
D．一个长方形的长和宽的比是3：2，若长增加2厘米、宽增加3厘米，判断新长方形的长和宽的比是否不变
【答案】B
【知识点】分式基本性质的应用-判断分式值的变化
【解析】【解答】解：题中给出性质：若，则，即两个比值相等时，前项和与后项和的比值仍等于原比值，据此分析各选项：
选项A是计算单价，通过总价除以数量得到结果，没有用到上述性质，不符合题意；
选项B中，设原盐水中盐质量为，水质量为，得，新加入盐，水，得，满足，根据性质得，盐和水的比不变，因此浓度不变，完全符合题中知识，符合题意；
选项C是根据速度不变列比例求时间，没有用到上述合比性质，不符合题意；
选项D中，原长宽比，增加的长和宽的比是，不满足的前提，不符合题意．
故答案为：B.
【分析】结合各选项的实际场景，判断符合题中给出的性质的解答即可．
4．在密码学中，直接可以看到的内容为明码，对明码进行某种处理后得到的内容为密码，有一种密码，将26个汉字依次对应1，2，3，…，26这26个自然数（如下表），当明码对应的序号x为奇数时，密码对应的序号当明码对应的序号x为偶数时，密码对应的序号例如，明码为“故”，明码对应的序号6为偶数，则密码对应的序号为对应的密码就是“振”。
汉字 山 夏 亲 河 盛 故 土 国 九 心： 州 我 炎
序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
汉字 黄 爱 振 系 情 祖 牵 繁 中 荣 母 华 兴
序号 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26
根据上述规定，将明码“祖国母亲”译成密码为（　　）
A．心系华夏 B．我爱中华 C．我爱华夏 D．心系中华
【答案】A
【知识点】有理数的除法法则；有理数的加法法则
【解析】【解答】 解：根据题意得，祖对应的序号为19，则密码对应的序号是，即为心
国对应的序号为8，则密码对应的序号是，即为系
母对应的序号为24，则密码对应的序号是，即为华
亲对应的序号为3，则密码对应的序号是，即为夏
故答案为：A
【分析】根据题意，结合有理数的加法，除法即可求出答案.
5．某科技馆中“数理世界”展厅的Wi-Fi密码被设计成如图所示的数学问题．小东在参观时认真思索，输入密码后顺利地连接到网络，则“？”处的数字是　 　．
【答案】2024
【知识点】单项式乘单项式；单项式除以单项式
【解析】【解答】解：，
又∵
∴，
即“？”处的数字是2024，
故答案为：2024．
【分析】先根据幂的乘方和多项式除以多项式，单项式乘单项式的运算法则化简，再找出规律，写出结果即可．
6．已知a，b为有理数，如果规定一种新运算：　 　 ．
【答案】﹣16
【知识点】求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】根据新定义的运算规则，
，
故答案为：-16.
【分析】本题是定义新运算题型，核心是先根据给定的运算规则 ，将代入规则计算即可。
7．若x1，x2是关于x的方程 的两个实数根，且 （k是整数)，则称方程 =0为“偶根方程”.若 是“偶根方程”，则常数m可以是　 　.（写出一个符合条件的值即可)
【答案】(答案不唯一)
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：因为x1，x2是方程x2+3x-m=0的两个实数根，
所以由韦达定理可得x1+x2=-3，x1x2=-m。
由于x1+x2=-3<0，可知两根同负或一正一负且负数的绝对值较大，分两种情况讨论：
1.若两根x1，x2均为负数，则|x1|=-x1，|x2|=-x2，
所以|x1|+|x2|=-(x1+x2)=3。根据”偶根方程“定义，3=2k，但3不是2的整数倍，此情况不成立；
2.若两根一正一负且负数绝对值大，则x1+x2=x1-x2。
根据根与系数的关系，。
由定义得，两边平方得9+4m=4k2，即。
因为m为实数且方程有实数根，所以判别式△=32+4m≥0，即。
取k=2(k为整数)，代入得。
因此，常数m可以为（答案不唯一，取k=1时，k=3时等均符合条件）。
故答案为：(答案不唯一).
【分析】根据"偶根方程"的定义，方程x2+3x-m=0的两个实数根x1，x2需满足x1+x2=2k(k为整数)。利用韦达定理得到根与系数的关系，结合根的符号分类讨论，代入条件求解m即可。
8．如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程的两个根是，，则方程是“邻根方程”．若关于的方程是“邻根方程”，令，则的最大值是　 　．
【答案】9
【知识点】配方法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：设、是方程的两根，
解得，，
∵原方程是“邻根方程”，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴当时，有最大值，最大值为9．
故答案为：9．
【分析】本题以新定义“邻根方程”为背景，考查了一元二次方程根的判别式、求根公式以及二次函数最值的求法。解题的关键是紧扣“邻根方程”中两根之差为1的定义，利用求根公式表示出两根并作差，从而推导出a与b之间的等量关系，最后将该关系代入目标代数式，利用配方法即可求出t的最大值。
9．一个正整数能写成（，均为正整数），则称为“美满数”，，为的一个美满分解，并规定：．如果一个两位正整数（十位数字大于个位数字，交换其个位上的数与十位上的数得到的新数与原数是4752的一个美满分解，则的值为　 　．
【答案】或．
【知识点】因式分解﹣公式法；因式分解的应用
【解析】【解答】解：设原两位正整数的十位数字为，个位数字为均为正整数），则原数为，新数为，
新数与原数是4752的一个美满分解，，
又，
将，代入，
可得：（均为正整数）
此方程有两组符合题意的解，
分别为：或
当时，，
，
当时，，
，
综上，的值为或．
故答案为：或．
【分析】本题以新定义“美满数”为背景，考查了因式分解与不定方程在数论问题中的应用。设原两位数的十位数字为 m、个位数字为 n（m > n），则原数为 10m + n，新数为 10n + m，且 a = 10m + n，b = 10n + m 是 4752 的一个美满分解，由 a2 - b2= 4752 得 99(m + n)(m - n) = 4752，即 (m + n)(m - n) = 48。解此不定方程得两组正整数解：(m， n) = (7， 1) 或 (8， 4)，分别代入得 F(4752) =或。
10．感恩的心是一种生活态度，它能够提升我们的生活质量，让我们更加快乐和满足．如图是小双同学在学习二次函数时设计的“爱心”图案．“爱心”是在平面直角坐标系中，由二次函数的图象与其关于直线对称的图象所组成，若两图象相交于，，，四点，则四边形的面积为　 　．
【答案】
【知识点】坐标与图形变化﹣对称；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数与一元二次方程的综合应用；两二次函数的图象共存判断；二次函数-面积问题
【解析】【解答】解：设任意点关于直线对称的点，交于，过作轴于，过作轴于，连接，，则，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
设二次函数的图象上有任意一点，则点与关于直线对称的点为，若两图象相交于，，，四点，
∴二次函数的图象与关于直线对称的图象解析式为，，
联立，两个方程相减后整理得，
∴或，
当时，联立，解得或，
∴，，
∴，
当时，联立，解得或，
∴，，
∴，
∴四边形的面积为，
故答案为：．
【分析】
本题考查二次函数的综合，轴对称的性质，先求出任意一点关于直线对称的点坐标为，得到对称后的解析式为，再解方程求出，，，四点坐标，求出和，最后根据得到四边形的面积为，代入计算即可．
11．先观察下列等式，再回答问题：
①；
②；
③．
（1）根据上而三个等式提供的信息，请你猜想______．
（2）请按照上面各等式反映的规律，试写出用n的式子表示的等式：______．
对任何实数a可表示不超过a的最大整数，如，，计算：的值
【答案】（1）
（2），49
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解：（1）；
（2）由题干信息归纳可得：
，
∴
．
【分析】本题考查二次根式的规律探究、取整函数（高斯函数）的应用.
（1）观察已知等式，发现可拆分为，进一步化简为，依据此规律完成猜想和通式推导；
（2）先将每一项二次根式按规律拆分为，再对所有项求和，利用进行裂项相消，最后结合取整函数的定义，确定每一项的取整结果后求和．
（1）解：；
（2）由题干信息归纳可得：
，
∴
．
12．小吴利用一次函数和二次函数知识，设计了一个计算程序，其程序框图如图1所示，输入x的值为-1时，输出y的值为-3；输入x的值为1时，输出y的值为1；输入x的值为6时，输出y的值为3.
（1）根据题意，填空： a=　 　，b=　 　，k=　 　．
（2）小吴在平面直角坐标系中画出了函数y关于x的大致图象，如图2所示.
①若关于每一个输出的y值，可以找到两个不同的x的值与其对应，求出所有符合要求的y的值.
②若在函数图象上有P，Q两点 (P在Q的左侧).P的横坐标为t，Q的横坐标为-t+4.小吴对P，Q之间(含P，Q两点)的图象进行了研究，当此函数的最大值m与最小值n的差是一个定值时，请直接写出t的取值范围.
【答案】（1）；2；
（2）解：①由（1）得，
当时，，顶点坐标为；
当时，，即点坐标为；
如图，当经过点或且平行于x轴的直线，每一个输出的y值，可以找到两个不同的x的值与其对应，
∴所有符合要求的y的值为或；
②
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的性质；利用一般式求二次函数解析式；二次函数与分段函数的综合应用
【解析】【解答】解：（1）解：∵，，
∴将，和，分别代入，
得：，
解得：；
∵，
∴将，代入，
得，
解得：，
故答案为：，，；
（2）②∵，，且P在Q的左侧，
∴，解得，
解方程得或，
解方程得或，
解方程得，
解方程得，
∵，
∴，
分情况讨论，
当时，则，
∴，
由图象得，当时取得最大值，为，
当时取得最小值，为，
∴
，不是定值，不符合题意；
当时，则，
∴，
由图象得，
当时取得最大值，为，当时取得最小值，为，
∴，是定值，符合题意；
当时，则，
∴，
由图象得，当时取得最大值，为，
当时取得最小值，为，
∴，不是定值，不符合题意；
综上，．
【分析】
（1）先确定输入x值的范围，确定好之后将x，y的值代入所给的y关于x的函数解析式中解方程或方程组即可；
（2）①把问题转化为经过点或且平行于x轴的直线，据此求解即可；
②可求，分，，三种情况根据函数的增减性得到最大值和最小值解答即可．
13．小强利用一次函数和二次函数知识，设计了一个计算程序，其程序图如图①所示，输入x的值为1时，输出y的值为1；输入x的值为时，输出y的值为1；输入x的值为时，输出y的值为2．根据以上信息解答下列问题．
（1）求k，a，b的值．
（2）图②中，根据程序图请你画出一次函数和二次函数的大致图象．
（3）当y随x的增大而减小时，求x的取值范围．
（4）当关于x的方程（，t为实数）只有一个实数解时，直接写出t的取值范围．
【答案】（1）解：∵输入x的值为1时，输出y的值为1，且1＞0，
∴，
∴；
∵输入x的值为时，输出y的值为1；输入x的值为时，输出y的值为2，，，
∴，
∴；
（2）解：∵，，，
∴一次函数解析式为，二次函数解析式为，
令一次函数中，则，
对于二次函数：，
列表为：
x … 0 1 …
y … 5 2 1 2 5 …
函数图象如下：
（3）解：当时，的对称轴为直线，开口向上，
∴当时，y随x的增大而减小；
当时，，，
∴时，y随x的增大而减小；
综上，x的取值范围为或；
（4）解：或.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax²+bx+c的性质；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况；作图-二次函数图象
【解析】【解答】（4）解：∵关于x的方程（，t为实数）只有一个实数解，
∴抛物线与直线只有一个交点，
由（1）知，，则，
当抛物线与直线只有一个交点时，
联立得，即方程有两等根，
∴，
解得或，
当时，则，符合题意；
当时，则，不符合题意；
当直线过时，，
∵直线过定点，
∴结合（2）中图象可以发现，当抛物线与直线只有一个交点时，直线与轴交点在上方，
∴；
综上所述，当抛物线与直线只有一个交点时，或．
【分析】（1）由计算程序提供信息，先将x=1与y=1代入y=kx+2算出k的值；将x=-1、y=1与x=-2、y=2代入y=ax2+bx+2可得关于字母a、b的方程组，求解即可得到a、b的值；
（2）由（1）可知一次函数解析式为：，二次函数解析式为：，利用两点法画出一次函数y=-x+2(x＞0)的图象；然后利用列表，描点，连线即可画出二次函数的图象y=x2+2x+2（x＜0）的图象；
（3）根据（2）中函数图象找出图象从左至右依次下降部分对应的自变量的取值范围即可；
（4）方程可以看成抛物线与直线只有一个交点，联立两函数解析式可得关于字母x的一元二次方程，由方程有两相等实数根可得判别式b2-4ac=0，据此建立出关于字母t的方程，求解得出符号t的值，结合函数图象求解即可．
（1）解：∵输入x的值为1时，输出y的值为1，
∴，
∴；
∵输入x的值为时，输出y的值为1；输入x的值为时，输出y的值为2，，，
∴，
∴；
（2）解：∵，，，
∴一次函数解析式为，二次函数解析式为，
令一次函数中，则，
对于二次函数：，
列表为：
x … 0 1 …
y … 5 2 1 2 5 …
函数图象如下：
（3）解：当时，的对称轴为直线，开口向上，
∴当时，y随x的增大而减小；
当时，，，
∴时，y随x的增大而减小；
综上，x的取值范围为或；
（4）解：∵关于x的方程（，t为实数）只有一个实数解，
∴抛物线与直线只有一个交点，
由（1）知，，则，
当抛物线与直线只有一个交点时，
联立得，即方程有两等根，
∴，
解得或，
当时，则，符合题意；
当时，则，不符合题意；
当直线过时，，
∵直线过定点，
∴结合（2）中图象可以发现，当抛物线与直线只有一个交点时，直线与轴交点在上方，
∴；
综上所述，当抛物线与直线只有一个交点时，或．
二、几何中的创新思想
14．小芸在班级办黑板报时遇到了一个难题，在版面设计过程中需将一个半圆面三等分，请你帮助她设计一个合理的等分方案．要求用尺规作出图形，保留作图痕迹，并简要写出作法．
【答案】解：作法：
(1)作AB的垂直平分线CD交AB于点O；
(2)分别以A、B为圆心，以AO(或BO)的长为半径画弧，分别交半圆于点M、N；
(3)连接OM、ON即可.
【知识点】线段垂直平分线的性质；尺规作图-垂直平分线；尺规作图-等腰（等边）三角形
【解析】【分析】应先做线段AB的垂直平分线，得到半圆的圆心；三等分平角，那么平分而成的每个角是，根据半径相等，可得到相邻两个半径的端点与圆心组成一个等边三角形.以A为圆心，半径长为半径画弧，就可得到一个另一半径的端点所在的位置，连接它与圆心，就得到一条三等分线，同法做到另一三等分线.
15．如图1，月洞门是中国古典建筑中的一种圆形门洞，形如满月，放称“月洞门”，其形制可追翻至汉代，但真正在美学与功能上成热于宋代，北宋建筑学家李诚编撰的《营造法式》是中国古代最完整的建筑技术典籍之一，如图2是古人根据（营造法式》中的”五举法”作出的月洞门的设计图，月洞门呈弧形，用表示，点O是所在圆的圆心，AB是月洞门的横跨，CD是月洞门的拱高、现在我们也可以用尺规作图的方法作出月洞门的设计图。如图3，已知月洞门的横跨为AB，拱高的长度为a.作法如下：
①作线段AB的垂直平分线MN.垂足为D；
②在射线DM上截取DC=a
③连接AC，作线段AC的垂直平分线交CD于点O：
④以点O为圆心，OC的长为半径作.
则就是所要作的圆弧.
请你依据以上步骤，用尺规作图的方法在图3中作出月洞门的设计图（保留作图痕迹，不写作法）.
【答案】解：如图，即为所求.
【知识点】尺规作图-直线、射线、线段；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】直接根据作图步骤进行尺规作图即可.
16．材料：在古罗马时代，传说在亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题．将军每天从营地甲出发，先到河边饮马，再去河岸同侧的营地乙开会，应该怎样走才能使路程最短？从此、这个被称为“将军饮马”的问题广泛流传．
（1）在解决日常生活中遇到的问题时，我们常常把问题数学化，将问题抽象归纳为一个数学模型，将军饮马问题也不例外．在这个问题中，我们把营地甲、营地乙分别抽象为点、点，把河岸抽象为直线，把距离抽象为线段的长度，这样，一个生活问题就转化为一个数学问题．现有如下四种设计方案，则所走路程最短的是___________．
A． B． C． D．
（2）如图所示，牧童在处放牛，其家在处，米，米，米，牧童从处把牛牵到河边饮水再回家，求牧童需要走的最短路程为多少米．
（3）已知，求的最小值．（可结合图形）
【答案】（1）D
（2）解： 如图，延长至点，使得，连接，则的长度为牧童需要走的最短路程．
过点作，与的延长线交于点，
则．
在中，米，米．
（米）．
（3）解：如图，设线段，作，取，，
的值可看作的值．
当三点共线时，的值最小，
即的最小值为的长．
作于点，
∴
则，
，
的最小值为10．
【知识点】两点之间线段最短；勾股定理；轴对称的性质；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【解答】
（1）
解：选：D，
理由：如图，作点关于直线的对应点，连接交直线于点，则点就是所要求作点．在直线在任取另一点，连接，
由轴对称的性质可得：，
，，
在中，，
，
故选：D．
【分析】
（1）先利用轴对称的性质作点A关于直线L的对称点A`，则CA＝CA`，则CA+CB转化为CA`+CB，显然两点之间线段最短，即连接A`B，则线段A`B的长度即最短距离；
（2）利用将军饮马模型作点A关于直线L的对称点A`，再连接A`B，再过点A`作直线L的平行线A`P，再过点B作直线A`P的垂线交A`P于点P，再利用勾股定理求出A`B的长度即可；
（3）由于16和4分别是4和2的平方，a与br的和为定值，则可作线段DE＝8，再分别过D、E在线段两侧作DE的垂线段DA和BE，使AD＝2，BE＝4，再在DE任取一点M，则由勾股定理可得，显然当A、M、B三点共线时AM+BM最小，即AM+BM＝AB，再利用勾股定理求出AB的长即可．
（1）解：选：D，
理由：如图，作点关于直线的对应点，连接交直线于点，则点就是所要求作点．在直线在任取另一点，连接，
由轴对称的性质可得：，
，，
在中，，
，
故选：D．
（2）如图，延长至点，使得，连接，则的长度为牧童需要走的最短路程．
过点作，与的延长线交于点，
则．
在中，米，米．
（米）．
（3）如图，设线段，
作，取，，
的值可看作的值．
当三点共线时，的值最小，
即的最小值为的长．
作于点，
∴
则，
，
的最小值为10．
17．光的折射．
物理常识 光从一种介质斜射入另一种介质时，传播方向偏折的现象叫做光的折射． 当光从真空射入某种介质发生折射时，入射角α的正弦与折射角β的正弦之比（α，β均为锐角），叫作这种介质的绝对折射率，简称折射率，用符号n表示，即．
【概念理解】
（1）如图①，若入射角的度数为，折射率，求折射角β的度数．
（2）如图②，直线l是真空与某种介质的分界线，折射率，是入射光线，点A是入射点．在图②中，用直尺和圆规作出折射光线．（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）
【深入思考】
（3）如图③，直线l是真空与某种介质的分界线，折射率，直线l上有一个位置固定的遮光板，且M是的中点；在直线l下方有一个圆形区域，且与相切于点M．点光源P在直线l的上方，经过遮光板的遮挡，使得折射光线不能进入的内部．已知的半径为，．（假设入射光线在端点A，B处能够发生折射）
①点光源P到直线l的距离的最大值是_______；
②满足条件的点光源P所形成的区域面积随着折射率n的值变大而_______．（填“变大”或“变小”）
【答案】解：（1）∵，∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）过点作法线，作线段的中垂线，以为圆心，为半径画弧，交的中垂线于点，连接并延长，即可得到折射光线，如图：
由作图可知：，点到法线的距离为，
∴，满足题意；
（3）①；②变小
【知识点】切线的性质；解直角三角形；切线长定理；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】
（3）①过点，作直线的垂线，当折射光线过点且与圆相切时，点光源P到直线l的距离最大，如图：
∵入射角相等，
∴入射角，
∴，
连接，设折射光线与圆相切于点，连接，
∵为的中点，
∴，，
∵为的切点，
∴，，
∴三点共线，，
∵，
∴，
∴，
∵的半径为，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即折射角，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即：，
∴，
∴，即：点光源P到直线l的距离的最大值是；
②由①可知，满足条件的点光源P所形成的区域面积为的面积，，
∴，
∴当折射率变大，变大，的值变小，
∴的面积变小，即：满足条件的点光源P所形成的区域面积变小；
故答案为：①；②变小．
【分析】
（1）根据折射率的定义和特殊角三角函数值即可解答；
（2）结合新定义，与尺规作图作垂线，先过点作法线，作线段的中垂线，以为圆心，为半径画弧，交的中垂线于点，连接并延长，即可得到折射光线；
（3）①过点，作直线的垂线，当折射光线过点且与圆相切时，点光源P到直线l的距离最大，为的值，利用切线长定理结合新定义，进行求解即可；
②根据题意，得到满足条件的点光源P所形成的区域面积为的面积，随着入射角的增大，折射率变大，得到逐渐减小，进而面积逐渐减小即可．
18．（1）问题再现：学习二次根式时，老师给同学们提出了一个求代数式最小值的问题，如，“求代数式的最小值”．小强同学发现可看作两直角边分别为x和2的直角三角形斜边长，可看作两直角边分别是和4的直角三角形的斜边长．于是构造出如图所示，将问题转化为求线段AB的长，进而求得的最小值是______．
（2）类比迁移：已知a，b均为正数，且．求的最小值．
（3）方法应用：已知a，b均为正数，且，，是三角形的三边长，求这个三角形的面积（用含a，b的代数式表示）．
【答案】解：（2）如图所示，，，，，
在Rt△ACD中，，
在Rt△BED中，，
∴，
∴要想的值最小，则的值最小，
∴当A、D、B三点共线时，的值最小，最小值为，
过点B作交延长线于F，
∵，，，
∴四边形BECF是矩形，
∴，，
∴，
∴，
∴的最小值为13；
（3）如图所示，，，，，
∴，，，
∴的面积即为所求，
∴
．
【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：（1）如图所示，，，，，
在Rt△ACD中，，在Rt△BED中，，
∴，
∴要想的值最小，则的值最小，
∴当A、D、B三点共线时，的值最小，最小值为，
过点B作交延长线于F，
∵，，，
∴四边形BECF是矩形，
∴，，
∴，
∴，
∴的最小值为10，
故答案为：10；
【分析】（1）如图，把看成两直角边分别为x和2的直角三角形斜边长，看成两直角边分别为8-x和4的直角三角形斜边长，构造几何图形，把代数和转化为线段和，再利用两点之间线段最短求最小值，即当A、D、B三点共线时，AD+BD的值最小，最小值为AB，从而利用勾股定理计算出线段AB的长度即可；
（2）如图，把看成直角边分别为a和2的直角三角形的斜边长，看成直角边分别为b和3的直角三角形的斜边长，构造几何图形， 把代数和转化为线段和，再利用两点之间线段最短求最小值，即当A、D、B三点共线时，AD+BD的值最小，最小值为AB，从而利用勾股定理计算出线段AB的长度即可；
（3）如图，把看成两直角边分别为a和b的直角三角形斜边长， 把看成两直角边分别为2a和b的直角三角形斜边长， 把看成两直角边分别为a和2b的直角三角形斜边长， 构造包含三边的△ADF，利用割补法，由S△ADF=S△ABF+S梯形BCDF-S△ACD，结合三角形面积公式及直角梯形面积公式，列式计算即可.
19．问题解决策略：归纳
活动一：在城市规划中，街道的设计需要考虑到交通流量和交汇点的管理．每条街道可以看作平面上的一条直线，街道的交汇点即直线与直线的交点．通过计算交汇点数量的最大值，可以帮助优化交通网络的设计，提高交通效率．探究小组设计了一个数学活动，模拟了某个城市街道交汇点数量的最大值的问题．
【特例研究】如图1，若长方形内有2条直线，则最多可以得到1个交点．
如图2，若长方形内有3条直线，根据交点个数的不同，有如图四种情况，请在图中作出第四种情况．
【类比发现】
请类比上面的分析过程，将你得到的数据填入下表中．
长方形内直线的条数 2 3 4 5 …
最多的交点个数 1 …
【猜想分析】若该城市某片区有10条街道，假设10条街道为10条直线，则这10条直线最多有______个交汇点；
活动二：
（1）探究小组用归纳分析的方法研究课本95页的第12题，题目如下：对于，可以用10个手指直观地展示出来：如图3，将两手平伸，手心向上，从左边开始数至第3个手指，将它弯起，此时它的左边有2个手指，右边有7个手指，“27”正是“”的结果．类似地，，，，…，也可以用手指直观的展示出来．用数学语言揭示原理：从左数起，设弯下的手指为第n根手指，便可以用一个含n的等式来表示这个规律，请填写这个等式：(______)+(______)；
（2）探究小组还发现，用9根小木棒也能展示从，，，…，的乘法运算．如图4，往下移动第3根木棒，则左边的两根木棒可表示2个9，右边的6根表示6个1，则类似地，请用一个含未知数的等式来揭示原理，过程如下：设______，则表示这个规律的等式为______．
【答案】解：【特例研究】：根据题意得：
第四种情况如图：
【类比发现】：
2条直线最多只有1个交点，
3条直线最多有个交点，
4条直线最多有个交点，
以此类推可知，5条直线最多有个交点，
补全表格如图，
长方形内直线的条数 2 3 4 5 …
最多的交点个数 1 3 6 10 …
【猜想分析】：45.
【活动二】：（1）；.
（2）从左数起，往下移动的为第x根小棒；．
【知识点】用代数式表示几何图形的数量关系；用代数式表示图形变化规律；直线相交的交点个数问题
【解析】【解答】解：【猜想分析】：由类比发现的结论可知：n条直线最多有个交点，
∴10条直线最多有个交点，
故答案为：45.
【活动二】：（1）当弯下的手指为第n根手指，则左边还剩根手指，即十位是，
右边还剩根手指，即个位是，
∴，
故答案为：，.
（2）设从左数起，往下移动的为第x根小棒，则左边还剩木棒，右边还剩木棒，
根据规律得：
故答案为：从左数起，往下移动的为第x根小棒；．
【分析】【特例研究】根据材料，第四种情况是三条直线两两相交，有3个交点，画图即可.
【类比发现】：分别求出2条直线最多只有1个交点，3条直线最多有个交点，4条直线最多有个交点，据此得n条直线最多有n条直线最多有个交点，即可补全表格.
【猜想分析】：根据【类比发现】得n条直线最多有n条直线最多有个交点，即可得10条直线最多有个交点.
【活动二】：（1）当弯下的手指为第n根手指，则左边还剩根手指，即十位是，
右边还剩根手指，即个位是，进一步得即可得答案.
（2）设从左数起，往下移动的为第x根小棒，则左边还剩木棒，右边还剩木棒，
根据规律得：即可.
20． 《九章算术》是世界上较早给出勾股数公式的著作，掌握确定勾股数组的方法对研究直角三角形具有重要意义.若直角三角形的三边长a，b，c都是正整数，则a，b，c为一组“勾股数”.下表中的每一组数都是勾股数.
3， 4， 5 7， 24， 25 11， 60， 61 15， 112， 113 19， 180， 181
4， 3， 5 8， 15， 17 12， 35， 37 16， 63， 65 20， 21， 29
5， 12， 13 9， 12， 15 13， 84， 85 17， 144， 145 21， 28， 35
6， 8， 10 10，▲， 26 14， 48， 50 18， 80， 82 22， 120， 122
（1）请补全上表中的勾股数.
（2）根据上表中数据规律，用含字母(均为正整数)的代数式分别表示a，b，c，使该组代数式能表示上表中所有的勾股数，并证明.
（3）某校计划在一块绿地上种花，使之构成如题22图所示的图案，该图案是由四个全等的直角三角形组成.种花要求：仅在三角形边上种花，每个三角形顶点处都种一株花，各边上相邻两株花之间的距离均为1m.如果每个三角形最短边都种21株花，那么这块绿地最少需要种植多少株花
【答案】（1）24
（2）解：若任取两个正整数m和n(m> n)， 则 是勾股数.
∵+ n4
∴以a、b、c为三边的三角形是直角三角形(勾股定理的逆定理)
（3）解：最短边种21株， 边长20cm， 对应勾股数20， 21， 29
每三角形种花： (株)
四块绿地一共： (株)
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；勾股数；探索数与式的规律
【解析】【分析】（1）x==24
（2）通过设定m、n构造表达式，再代数运算验证勾股定理逆定理，证明其为勾股数通用形式 。
（3）先由种花株数得边长，匹配勾股数，再用 “株数 = 间隔数 + 1” 算单三角形株数（去重复顶点 ），最后乘4得总数，融合勾股数与植树问题逻辑 。
三、统计概率中的创新思想
21．如图，某学校七年级数学兴趣小组组织一次数学活动.在一座有三道环形路的数字迷宫的每个进口处都标记着一个数，要求进入者把自己当成数“1”，进入时必须乘进口处的数，并将结果带到下一个进口，依次累乘下去，通过最后一个进口时，只有乘积是5 的倍数，才可以进入迷宫中心，现让小军从最外环任一个进口进入.
（1）小军能进入迷宫中心的概率是多少 请通过画树状图进行说明.
（2）小组两名组员小张和小李商量做一个小游戏，以猜测小军进迷宫的结果定胜负.游戏规则如下：小军若能进入迷宫中心，小张和小李各得1分；小军若不能进入迷宫中心，则他在最后一个进口处所得乘积是奇数时，小张得3分，所得乘积是偶数时，小李得3分，你认为这个游戏公平吗 如果公平，请说明理由；如果不公平，请在第二道环形路进口处的两个数中改变其中一个数使游戏公平.
（3）在(2)的游戏规则下，让小军从最外环进口任意进入10次，最终小张和小李的总得分之和不超过28分，请问：小军至少几次进入迷宫中心
【答案】（1）解：画树状图如图所示.由图，可知共有12种等可能的结果，其中乘积是5的倍数的结果有4种，
∴ P(进入迷宫中心)
（2）解：不公平.
由树状图可知，P(5的倍数) P(非5 的倍数的奇数) P(非5的倍数的偶数)
∴不公平.
可将第二道环形路进口处的数4改为任意一个奇数
（3）解：设小军x 次进入迷宫中心，则2x+3(10-x)≤28，解得x≥2.
∴ 小军至少2次进入迷宫中心
【知识点】用列表法或树状图法求概率；游戏公平性
【解析】【分析】(1)首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与小军能进入迷宫中心的情况，再利用概率公式即可求得答案；
(2)利用(1)中列树状图得到的概率，进而分析得出答案.
22．小蒙设计了一个抽奖游戏：如图，宝箱是由7×7的方格组成的，方格中随机放置着 10个奖品，每个方格中最多能放一个奖品.
（1）如果随机打开一个方格，那么获得奖品的概率是　 　.
（2）为了增加趣味性，小蒙优化了这个游戏.小雨参加游戏，第一次没有获得奖品，但是呈现出了数字2(如图).小蒙解释，这说明与这个方格相邻的8个方格(即区域A)中有2个放置了奖品.进行第二次抽奖，小雨将有两种选择：打开区域 A 中的方格或打开区域A 外的方格.为了尽可能获得奖品，你会建议小雨如何选择 为什么
【答案】（1）
（2）解：我会建议小雨打开区域 A 中的方格.
∵ P(打开区域A 中的方格获得奖品）
P(打开区域A 外的方格获得奖品)=
∴ 打开区域A 中的方格获得奖品的概率更大.
【知识点】概率的简单应用
【解析】【解答】 方格中随机放置着10个奖品，
故答案为：
【分析】(1)根据宝箱由7×7个方格组成，方格中随机放置着10个奖品，列式计算概率即可；
(2)根据方格相邻的8个方格 (即区域A)中有两个放置了奖品，计算打开区域A中的小方格获奖的概率；根据区域A中有两个放置了奖品，计算出区域A外的小方格放置了8个奖品，再计算出区域A外的小方格的总数，即可计算打开区域A外的小方格获奖的概率.比较二者概率大小，选择概率大的即可.
23．小亮有黑、白各10张卡片，分别写有数字．把它们像扑克牌那样洗过后，数字朝下，排成四行，排列规则如下：
①从左至右按从小到大的顺序排列：
②黑、白卡片数字相同时，黑卡片放在左边．
小亮每行翻开了两张卡片，如图所示：
第一行：
第二行：
第三行：
第四行：
其余卡片上数字小亮让小明根据排列规则进行推算小明发现有的卡片上数字可以唯一确定，有的卡片上的数字并不能唯一确定．
（1）求第四行最后一张白色卡片上数字．
（2）小明对不能唯一确定的卡片上数字进行猜测，求小明一次猜对所有数字的概率．
【答案】（1）解：黑卡8在左边，
白卡数字可能为8或9，
又白卡9排在第一行，
第四行最后一张白色卡片上数字只能是8；
（2）解：每行能确定的数字为：
第一行：1，5，6，7，9
第二行：，，3，4，5
第三行：0，，6，7，9
第四行：0，2，，8，8
不能确定的是黑色2，3和4，共有三种填法，是等可能性的，填对的有一种，即概率为.
【知识点】概率公式
【解析】【分析】
（1）根据规则即可求解；
（2）根据不能确定的数字求概率即可．
（1）解：黑卡8在左边，
白卡数字可能为8或9，
又白卡9排在第一行，
第四行最后一张白色卡片上数字只能是8；
（2）解：每行能确定的数字为：
第一行：1，5，6，7，9
第二行：，，3，4，5
第三行：0，，6，7，9
第四行：0，2，，8，8
不能确定的是黑色2，3和4，共有三种填法，是等可能性的，填对的有一种，即概率为，
24．如图（1），线段和相交于点C，连接．四张纸牌除正面分别写着如图（2）所示的四个不同的条件外完全相同，将四张纸牌背面朝上洗匀后放在桌面上．
（1）若小明第一次抽到纸牌③后，再从剩下的三张纸牌中随机抽取一张，则两张纸牌上的条件能证明成立的概率是_________；
（2）若从四张纸牌中随机抽出两张，求两张纸牌上的条件能证明成立的概率，先补全图（3）中的树状图，再计算．
【答案】（1）
（2）解：补全树状图，如图，
∵，
∴当抽中①，②，不能判断；
当抽中①，③，能判断；
当抽中①，④，能判断；
当抽中②，①，不能判断；
当抽中②，③，能判断；
当抽中②，④，能判断；
当抽中③，①，能判断；
当抽中③，②，能判断；
当抽中③，④，不能判断；
当抽中④，①，能判断；
当抽中④，②，能判断；
当抽中④，③，不能判断；
共有12个可能的结果，两张纸牌上的条件能证明成立的结果有8个，
∴摸出两张纸牌上的条件能证明成立的概率．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：（1）∵，，
∴当抽中时，由能判断，①符合题意；
当抽中时，由能判断，②符合题意；
当抽中时，由不能判断，④不符合题意；
∴共有三种等可能结果，其中能证明成立的情况有2种
能证明概率是，
故答案为：；
【分析】
（1）根据全等三角形的判定“有两个角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等”可得成立的结果数，然后用概率公式计算即可求解；
（2）补全树状图，共有12个可能的结果，根据全等三角形的判定得到能证明成立的结果数，然后用概率公式计算即可求解．
25．为确定传染病的感染者，医学上可采用“二分检测方案”．假设待检测的总人数是（m为正整数）．将这个人的样本混合在一起做第1轮检测（检测1次），如果检测结果是阴性，可确定这些人都未感染；如果检测结果是阳性，可确定其中有感染者，测将这些人平均分成两组，每组个人的样本混合在一起做第2轮检测，每组检测1次．以此类推：每轮检测后，排除结果为阴性的组，而将每个结果为阳性的组再平均分成两组，做下轮检测，直至确定所有的感染者．
例如，当待检测的总人数为4，且标记为“”的人是唯一感染者时，“二分检测方案”可用如图表示．从图中可以看出，需要经过3轮共n次检测后，才能确定标记为“”的人是唯一感染者．
（1）n=　 　；
（2）若待检测的总人数为8，采用“二分检测方案”，经过4轮7次检测后确定了所有的感染者，写出感染者人数的所有可能值　 　．
【答案】（1）5
（2）1、2
【知识点】推理与论证；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：（1）∵第一轮需要1次，第二轮需要2次，第三轮要2次，
∴n=1+2+2=5.
故答案为：5.
（2）根据题意画示意图如下
感染者人数的所有可能值为1或2.
故答案为：1或2
【分析】（1）由图可计算出n的值；
（2）当经过4轮共7次检测后确定了所有的感染者，需要经过3轮共n次检测后，即可得出答案。
1 / 1

展开更多......

收起↑