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最值问题（绝对值与线段最值）—2026浙江中考数学高阶能力拓展专题
一、绝对值相关最值问题
1． 数轴上两点之间的距离可以由两点所表示的数来刻画，如数轴上 A、B 两点分别表示 -3 和 5，则 A、B 两点之间的距离为 . 在求 的最小值时，先把式子化为 ，然后借助于数轴分析即可得到最小值为 5. 按照这样的方法，式子 的最大值为　 　．
2．我们知道，|3-1|可理解为3与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理|a+5|也可理解为a与-5两数在数轴上所对应的两点之间的距离.请完成：
⑴若|x-2|=3，则x=　 　；
⑵|x+1|+|x+a|+|x-2|的最小值是5，则a=　 　.
3．已知a，b，c为3个自然数，满足a+2b+3c=2021，其中a≤b≤c，则|a-b|+|b-c|+|c-a|的最大值是　 　.
4．若，，，，互不相等的正偶数，满足，则的最小值为　 　.
5．对于平面直角坐标系中的任意两点，，我们把叫做，两点间的直角距离，记作．
（1）已知，求．
（2）已知点O为坐标原点，动点满足，请写出y与x之间的关系式．
（3）设点是一定点，点是直线上的动点，我们把的最小值叫做点到直线的直角距离．试求点到直线的直角距离．
6．阅读材料：数轴是沟通数与形的重要桥梁，利用数轴可以直观地理解很多代数问题．对于数轴上的两点A，B，我们把A，B两点所表示的数之差的绝对值，叫做A，B两点之间的距离，记作．例如，数轴上表示2和5的两点之间的距离为；数轴上表示和的两点之间的距离为．
完成下列各题∶
（1）数轴上表示3和的两点之间的距离为： ；
（2）①若，则 ；
②若数轴上点M表示的数为x，点N表示的数为，点P表示的数为5，且，则 ；
（3）的最小值为 ．
二、几何单条线段相关最值问题
7．“山高水阔知何处？巧构全等觅飞痕”如图所示，两条互相垂直的数轴相交于，点在右侧个单位长度处，点是下方轴上一动点，连接，过点作，若，点在左侧轴上个单位长度处，连接，的最小值为　 　个单位长度．
8．如图，点是正方形ABCD边BC上一动点，（点E不与点B、C重合），连接DE，过点作交CD于，垂足为，连接PC，已知正方形的边长为2，则PC的最小值为　 　．
9．如图所示，在扇形OAB中，，半径，点位于的处且靠近点的位置.点C、D分别在线段OA、OB上，为CD的中点，连接EF.在CD滑动过程中（CD长度始终保持不变），当EF取最小值时，BD的长为　 　.
10．如图，在边长为4的正方形中，E、F分别是上的动点，M、N分别是的中点，则长的最大值是　 　．
11． 在△ABC中，∠B=105°，∠BCA=45°，BC=1，点 D在边AB上运动(不与A重合)，以AD为边向△ABC外作正△ADE，如图，过点D作射线垂直于线段 DE，F为射线上一动点，取EF中点G，连结CG，则CG的最小值为 　 　.
12．如图，在中，，将绕顶点顺时针旋转，旋转角为，得到．设中点为，中点为，，连接，当　 　时，长度最大，最大值为　 　．
13．已知在Rt△ABC中，∠A=90°，∠ACB=30°，点F是边AC上一动点，以CF为斜边向下作Rt△CDF，使∠D=90°，∠FCD=∠ABF.
（1）如图1，设∠ABF的度数为α，
①用含α的代数式表示∠BFD；
②当α为何值时，△ABF≌△DCF；
（2）设AB=1，
①如图2，延长FD交 BC于G，若FD=DG，求AF长；
②如图3，连结BD，在点 F从点A运动到点C的过程中，求BD的最小值.
14．如图1，在直角坐标系xOy中，点M的坐标为(3，0)，以M为圆心MO为半径的半圆交x轴于点A，在半圆弧上取点C，连接OC，AC，已知点B在y轴的正半轴上．
（1）求证：∠BOC＝∠OAC．
（2）如图2，AC上取点D使得OC＝AD，连接OD．
①若点C的横坐标为2，求CD的长．
②求OD的最小值．
三、几何多条线段相关最值问题
15．如图，E，F是正方形ABCD的边AB的三等分点，P是对角线AC上的动点，当PE+PF取得最小值时，的值是（　　）
A． B． C． D．
16．如图，矩形中，，点在边上且，点为直线上一动点，连接，将沿着折痕折叠，得到，动点在边上，连接，则最小值是（　　）
A． B． C． D．
17．A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥，使从到的路径最短的是（假定河的两岸是平行线，桥与河岸垂直）（　　）
A． B．
C． D．
18．如图，、是的两条直径，且，，P为直径上一动点．若的直径，则周长的最小值是（　　）
A．3 B．4 C． D．
19．如图，在边长为5的菱形ABCD中，BD＝8，将△ABD沿射线BD的方向平移得到△A’B’D’，分别连结A’C，A’D，B’C，则A’C＋B’C的最小值为（　　）
A．6 B． C．10 D．
20．如图，在菱形中，对角线交于点O，，，点E、F分别在、上，且，，点P是上任意一点，则的最大值为　 　．
21．如图，在边长为1的正方形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，EB=3AE.有一只蚂蚁从E点出发，经过F，G，H，最后回到E点，则蚂蚁所走的最少路程是　 　.
22．如图，是的直径，点，在上，点是的中点，点是直径上的一个动点，连接，，，若，，则的最小值为　 　．
23．如图，在边长为4的正方形中，点为的中点，将沿翻折得，点落在四边形内．点为线段上的动点，过点作交于点，则的最小值为　 　．
24． 如图，矩形 ABCD的边 AB=4， AD=3， M为 BC的中点， P是矩形内部一动点，且满足∠APD=90°， N为边 CD上的一个动点，连接 PN， MN，则PN+MN的最小值为　 　.
25．如图，直线l同侧有两点A，B，在直线l上找一点P，使得的值最小．若点A到直线l的距离是4，点B到直线l的距离是2，A，B在直线l上的正投影间距为5，则的最小值为　 　．
26．如图，是线段上一点，和是位于直线同侧的两个等边三角形，点分别是的中点．若，则下列结论正确的有　 　．（填序号）
①的最小值为；②的最小值为；③周长的最小值为6；④四边形面积的最小值为．
答案解析部分
1．【答案】3
【知识点】绝对值的概念与意义；两个绝对值的差的最值
【解析】【解答】解：|x-2|-|x+1|表示的是数轴上表示数x的点分别到表示数2、-1的点的距离之差，画出数轴如图所示，
可知当x≤-1时，这个距离之差取得最大值，即|x-2|-|x+1|取得最大值，
最大值为2-(-1)=2+1=3.
故答案为：3.
【分析】画出数轴并根据绝对值的几何意义分析即可求解.
2．【答案】5或-1；3或-4
【知识点】解含绝对值符号的一元一次方程；多个绝对值的和的最值
【解析】【解答】解：（1）根据题意知： |x-2|=3 表示数轴上到2距离为3的数，
∴2+3=5，2-3=-1，
∴x的值为5或-1，
故答案为：5或-1.
（2）根据题意知：2-5=-3，-1+5=4，
∴-a的值为-3或4，
∴a的值为3或-4，
故答案为：3或-4.
【分析】（1）根据题意知到2距离为3的数可能在2的左边，也可能再2的右边，分类作答确定x的值即可.
（2）根据题意知a可能在2的右边或在-1的左边，分类计算确定a的值即可.
3．【答案】1346
【知识点】绝对值的概念与意义；多个绝对值的和的最值
【解析】【解答】解：∵a≤b≤c，
∴|a-b|+|b-c|+|c-a|=b-a+c-b+1=2c-2a
∵a，b，c为3个自然数，
∴2c-2a要想取最大值，a应该取最小值0，
代入得，2b+3c=2021
当b=1时，c最大，最大值为673，
2c-2a=673×2-0=1346
故答案为：1346.
【分析】先化简绝对值，再根据其结果取最大值的特点，结合a、b、c是自然数得出a应该取最小值0，根据a+2b+3c=2021的条件分析求得b值，则得c的最大值，从而求得结果.
4．【答案】18
【知识点】绝对值的概念与意义；多个绝对值的和的最值
【解析】【解答】解：.
∵，，，，互不相等的正偶数，
∴、、、、也必然为5个互不相等的偶数，若有负数，也是有偶数个负数.
∴、、、、只能是-6，-2，2，4，6，
即，，，，只能是2014，2016，2018，2022，2026
易知当时， 取最小值，此时.
故答案为：18
【分析】解答的关键在于先分解得到，然后根据条件判断出、、、、五个数为互不相等的偶数，也就得出了这五个数为-6，-2，2，4，6，最后根据绝对值的在数轴上的含义得出 的最小值.
5．【答案】（1）解：∵，
；
（2）解：∵，，，
∴，
；
（3）解：∵点在直线上，
∴，
∵，
，
又可取一切实数，表示数轴上实数所对应的点到数1和所对应的点的距离之和，其最小值为6，
到直线的直角距离为6．
【知识点】一次函数的实际应用-几何问题；数轴上两点之间的距离；绝对值的概念与意义；两个绝对值的和的最值
【解析】【分析】（1）理解题中两点的直角距离公式，则，求解即可；
（2）根据两点的直角距离公式可得，化简即可；
（3）设，根据两点的直角距离公式可得，再根据绝对值的几何意义求解即可．
（1）解：∵，
；
（2）解：∵，，，
∴，
；
（3）解：∵点在直线上，
∴，
∵，
，
又可取一切实数，表示数轴上实数所对应的点到数1和所对应的点的距离之和，其最小值为6，
到直线的直角距离为6．
6．【答案】（1）7
（2）① 8或；②或6.5
（3）45
【知识点】解含绝对值符号的一元一次方程；数轴上两点之间的距离；绝对值的概念与意义；多个绝对值的和的最值
【解析】【解答】解：（1）；
故答案为：7；
（2）①由题意，或；
故答案为： 8或；
②，
∴，
当点在点的左侧时，，解得；
当点在点的右侧时，，解得；
故答案为：或6.5；
（3）由题意可得：表示数到的距离，到的距离的2倍，到4的距离的3倍，到7的距离的4倍，到10的距离的5倍的和，
故当时，此时的和最小为
．
【分析】（1）根据两点间的距离公式进行求解即可；
（2）①根据两点间的距离公式，进行求解即可；
②分点在点的左侧和点在点的右侧，两种情况进行讨论即可；
（3）根据绝对值的意义，可得15个距离的和，再进行计算求解即可．
（1）解：；
故答案为：7；
（2）①由题意，或；
故答案为： 8或；
②，
∴，
当点在点的左侧时，，解得；
当点在点的右侧时，，解得；
故答案为：或6.5；
（3）表示数到的距离，到的距离的2倍，到4的距离的3倍，到7的距离的4倍，到10的距离的5倍的和，
故当时，此时的和最小为
．
7．【答案】6
【知识点】坐标与图形性质；三角形全等的判定-AAS；线段最值问题
【解析】【解答】解：如图，过点作轴于点，
由题意可得：，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴点在平行于轴且与轴距离为的直线上运动，当垂直于这条直线时，最短，此时，
故答案为：．
【分析】
本题考查了全等三角形的判定与性质，通过全等三角形确定点的运动轨迹，再利用垂线段最短的性质求最短距离是解决本题的关键.先过点作轴，证明，得出，从而确定点在平行于轴且与轴距离为的直线上运动，根据垂线段最短，当垂直于这条直线时，最短，其长度为6.
8．【答案】
【知识点】线段最值问题
【解析】【解答】解：∠APD=90°，AD=2，故点P在以AD为直径的圆上运动，圆心为M，半径DM=1，
当C、P、M共线时，PC取最小值，
CM=，PCmin=-1
故答案为：.
【分析】由题意知点P的轨迹，当C、P、M共线时，可取最小值.
9．【答案】2
【知识点】等边三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；线段最值问题
【解析】【解答】解：如图，连接OE、OF，
∵ 点位于的处且靠近点的位置
∴∠AOF=30°
∴∠BOF=60°
∵点E为CD中点，且△COD是直角三角形
∴OE=CD=2
又∵OF=4，且OF≤OE+EF
∴当O、E、F三点共线时，EF有最小值
∴∠EOD=∠FOD=60°，OE=DE=2
∴△ODE是等边三角形
∴OD=2
且OB=4
∴BD=2
故答案为：2.
【分析】连接OE、OF，根据 点位于的处且靠近点的位置 可得∠BOF=60°，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OE=2，可得当O、E、F三点共线时，EF有最小值，可判断△ODE是等边三角形，即可得BD的长度.
10．【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；三角形的中位线定理；线段最值问题
【解析】【解答】解：连接，如图所示：
∵M、N分别是的中点
∴
∵E是上的动点，
∴
∵
∴
∴
∴长的最大值是：．
故答案为：．
【分析】连接，根据M、N分别是BC、EF的中点，可得，且即可求解．
11．【答案】
【知识点】三角形的面积；三角形内角和定理；等边三角形的性质；线段最值问题
【解析】【解答】解：取DE的中点I，连接AI并延长交CB延长线于点H，作BM⊥AC于点M，
∵∠BCA=45°
∴CM=BM=
∵∠CAB=180°-∠BCA-∠ABC
∴∠CAB=180°-105°-45°=30°
∴AB=2BM=，AM=
∴AC=AM+CM=+
∵△ADE为等边三角形，I为DE的中点
∴AI⊥DE，AI平分∠DAE
∴∠DAH=30°
∴∠H=180°-∠BCA-∠CAH=180°-45°-30°-30°=75°
∵∠ABH=180°-∠ABC=180°-105°=75°
∴∠ABH=∠AHB
∴AH=AB=
点G在AH上运动，当CG⊥AH时，CG取最小值，
作HN⊥AC于点N，HN=
∵，即有
∴CG=，即CG的最小值为.
故答案为： .
【分析】取DE的中点I，连接AI并延长交CB延长线于点H，作BM⊥AC于点M，∠GAB=30°知点G在AH上运动，当CG⊥AH时取最小值，求出相应的线段长，根据等面积法知其最小值.
12．【答案】120；3
【知识点】含30°角的直角三角形；旋转的性质；直角三角形斜边上的中线；线段最值问题
【解析】【解答】解：∵，，
∴AB=4，∠A=60°，
由旋转得=∠A=60°，=AB=4，
∵中点为，
∴=2，
∴△是等边三角形，
∴∠=60°，
如图，连接CP，当旋转到点E、C、P三点共线时，EP最长，此时，
∵点E是AC的中点，，
∴CE=1，
∴EP=CE+PC=3，
故答案为： 120，3.
【分析】本题考查了直角三角形的性质，等边三角形的判定及性质，旋转的性质；解题的关键在于明确旋转得到EP的最大值，当点E、C、P三点共线时，即CE+PC，据此来求出旋转角以及EP的长.
13．【答案】（1）解：①∵∠A=90°，
∴∠AFB=90°-∠ABF=90°-α
∴∠CFD=90°-α
∵∠BFD=180°-∠AFB-∠CFD
∴∠BFD=180°-(90°-α)-(90°-α)=2α；
②∵△ABF≌△DCF
∴BF=FC
∴∠FBC=∠BCF=30°
∵∠ABF=∠ABC-∠FBC
∴∠ABF=60°-30°=30°
（2）解：①在AB上取点H，使HF=HB，
∵FD=DG，CD⊥GF
∴∠DCF=∠DCG=∠ACB=15°
∴∠ABF=15°
∵HF=HB
∴∠HBF=∠HFB=15°
∴∠AHF=∠HBF+∠HFB=15°+15°=30°
设AF=m，则HF=2m，HB=2m，AH=m，
于是2m+m=1，解得m=；
②取点B关于AC的对称点B'，连接CB'、FB'
∵BB'=BC，∠ABC=60°
∴△BBC为等边三角形
∴CB'=CB=BB'=2，∠CBB'=60°
∵∠ABF=∠ABF=α=∠FCD
∴∠CBF=60°-α，∠B'CD=30°+α
∴∠CDB'=180°-∠CBF-B'CD=90°
即D、F、B'共线
∴点D在以B'C为直径的圆上运动，圆心为B'C的中点M，
当B、D、M三点共线时，BD取最小值，
BM=，DM=1，故BDmin=

【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质；直角三角形的性质；线段最值问题；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】(1)①由直角三角形的性质知AFB=∠CFD=90°-α，即可得BFD的度数；
②当 △ABF≌△DCF时，BF=FC，可得∠FBC=30°，即得∠ABF=30°；
(2)①由等腰三角形的性质知∠DCF=∠DCG=15°，即知∠ABF=15°，在AB上取点H，使HB=HF，利用特殊角可得AF的长；
②取点B关于AC的对称点B'，连接CB'、FB'，由角度关系知D、F、B'共线，知点D的轨迹，知当B、D、M共线时BD取最小值，求出BD的最不值即可.
14．【答案】（1）证明：∵OA是直径
∴∠OCA =90゜
∴∠COA+∠OAC＝90゜
∵∠BOC+∠AOC＝90゜
∴∠BOC=∠OAC
（2）解：①作CE⊥y轴于点E
则∠OEC=90゜
∵∠OCA =90゜
∴∠OEC=∠OCA
∵∠BOC=∠OAC
∴△OEC∽△ACO
∴
∵点C的横坐标为2，圆心M的坐标为（3，0）
∴CE=2，OA=6
∴OC=AD=2
∴
∴
②在y轴上取点F，使得OF=OA=6
∵ ∠BOC=∠OAC，OC=AD
∴△COF≌△DAO
∴CF=OD
连结FM，则
当点F、C、M三点共线时，FM取得最小值，此时FC也取得最小值
∵MC=3
∴
∴OD的最小值为．
【知识点】圆周角定理；三角形全等的判定-SAS；线段最值问题；相似三角形的判定-AA；函数几何问题中的最值
【解析】【分析】(1)由OA是直径得∠OCA =90゜，再利用同角余角相等即可证明；
(2)①作CE⊥y轴于点E，证出△OEC∽△ACO，得，代入求出OC=2，再由勾股定理求出，得到；②在y轴上取点F，使得OF=OA=6，证出△COF≌△DAO，得CF=OD，再利用圆外一定点与圆上一动点的距离最小值是点到圆心距离减半径即可求出.
15．【答案】D
【知识点】正方形的性质；轴对称的应用-最短距离问题；将军饮马模型-一线两点（一动两定）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：作点F关于AC的对称点F'，连接EF'交AC于点P'，过点F'作AD的垂线，交AC于点K，
由题意得：此时F'落在AD上，且根据对称的性质，当P点与P'重合时PE+PF取得最小值，
设正方形ABCD的边长为a，则，
∵四边形ABCD是正方形
∴∠F'AK=45°，∠P'AE=45°，
∵F'K⊥AF'
∴∠F'AK=∠F'KA=45°
∴
∵∠F'P'K=∠EP'A
∴△F'KP'~△EAP'，
∴
∴
∴
∴
∴当PE+PF取得最小值时，的值为
故答案为：D.
【分析】作点F关于AC的对称点F'，连接EF'交AC于点P'，此时PE+PF取得最小值，过点F'作AD的垂线，交AC于点K，根据题意可知点F'落在AD上，设正方形的边长为a，求得AK的边长，证明△AEP'∽△KF'P'，可得，即可解答.
16．【答案】A
【知识点】勾股定理；矩形的性质；轴对称的应用-最短距离问题；翻折变换（折叠问题）；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【解答】解：∵，
∴点在以点为圆心、为半径的圆上，
如图，作关于的对称线段，点关于的对称点为，以点为圆心、为半径画圆，连接交于点，交于点，
则，
∴，
由两点之间线段最短，可知此时的值最小，最小值为的长，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
即最小值是，
故答案为：．
【分析】作关于的对称线段，点关于的对称点为，以点为圆心、为半径画圆，连接交于点，交于点，即可得到，由两点之间线段最短得到此时的值最小为的长，根据勾股定理计算即可．
17．【答案】D
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题；将军饮马模型-两线两点（两动两定）
【解析】【解答】解：根据垂线段最短，得出是河的宽时，最短，即直线（或直线，只要最短即可，
即过作河岸的垂线，垂足为，在直线上取点，使等于河宽．
连接交河的边岸于，作垂直于河岸交边的岸于点，所得即为所求．
故选：D．
【分析】过作河的垂线，且截取，连接即可得出，作出、、即可，则点M，N即为所作．
18．【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；圆周角定理；轴对称的应用-最短距离问题；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：如图，
连接、，交于P，
∵、是的两条直径，且，
∴与互相垂直平分，
∴，
∴周长的最小值，
∵ ，
，
∵是的直径，
，
∵，
，，
∴周长的最小值．
故答案为：Ｄ.
【分析】连接、，交于P，根据垂径定理即推论得与互相垂直平分，即可得相等，即可得周长的最小值等于加，根据等于得，进一步推理得，，代入即可得周长的最小值.
19．【答案】B
【知识点】菱形的性质；轴对称的应用-最短距离问题；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，边长为5，BD=8，
∴AC⊥BD，
设AC与BD相交于点O，
∴，
根据勾股定理得：，
∴AC=6
由平移得△ABD≌△A'B'D'，
∴A'B'//AB，A'B'//AB=5，AA'//BD，
∴A'D=B'C，
作点C关于直线BD的对称点E，则E在AC的延长线上，且CE=AC=6，连接A'E，
∴AE=AC+CE=12，
∵点C与点E关于直线BD对称，
∴B'C=B'E，
∴A'C+B'C=A'C+B'E≥A'E(当且仅当A'，B'，E三点共线时取等号)，
在Rt△A'CE中，A'C⊥CE，A'C=5，CE=6，
根据勾股定理.
故答案为：B.
【分析】通过萎形的性质求出相关线段长度，利用平移得到线段关系，再通过作对称点将A'C+B'C转化为一条线段，根据两点之间线段最短求出最小值.
20．【答案】
【知识点】菱形的性质；轴对称的应用-最短距离问题；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的判定-SAS；相似三角形的性质-对应角
【解析】【解答】解：如图，作点F关于对角线所在直线的对称点，
连接、，
∵，
∴当点P、E、在一条直线上时，取到最大值，最大值即为的长度，
∵四边形为菱形，，，
∴AO=AC=8，AC⊥BD，
∴在中，，
由对称性可得，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴在中，由勾股定理得，，
∴的最大值为4．
故答案为：．
【分析】如图，作点F关于对角线AC所在直线的对称点F'，连接PF'、EF'，结合，可得当点P、E、F'在一条直线上时，取到最大值，最大值即为EF'的长度；由菱形的对角线互相垂直平分得出AO=AC=8，AC⊥BD，在Rt△AOB中，利用勾股定理算出OB，由轴对称性质得出OF'=OF=1，由线段和差算出BF'，由两边成比例且夹角相等的两个三角形相似得△BF'E∽△BAO，由相似三角形对应角相等得出， 然后在Rt△BEF'中，利用勾股定理算出EF'，从而可得答案.
21．【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；轴对称的应用-最短距离问题；将军饮马模型-两线一点（两动一定）
【解析】【解答】解：如图所示，分别作点E关于直线的对称点，作点关于直线CD的对称点，连接交于点，连接交AD于点，连接交于点，连接，
则，
∵，
当E、F、G、H分别在点时，路程最小为．
故答案为：.
【分析】 分别作点E关于直线的对称点，作点关于直线CD的对称点，连接交于点，连接交AD于点，连接交于点，连接 ，即可得到点E1，H'，G'，E3共线时，蚂蚁所走路程最小，根据勾股定理解答即可．
22．【答案】
【知识点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；轴对称的应用-最短距离问题；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：作点D关于的对称点为点E，连接交于点G，连接，，，，
∴，，
∴，当点P与点G重合时，此时有最小值，最小值为，
∵，
∴，
∵点D是弧的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∵，
∴，
∴，
∴的最小值为，
故填：．
【分析】作点D关于的对称点为点E，连接交于点G，连接，，，，根据轴对称的性质得出，，从而可得，此时有最小值即为，证出是等腰直角三角形，利用勾股定理求出CE的长，即可得出答案．
23．【答案】
【知识点】菱形的判定与性质；轴对称的性质；轴对称的应用-最短距离问题；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：由折叠的性质知是的平分线，
∴点P关于CE的对称点在CD上，
∴作点P关于的对称点，过点M作于F，交于点G，
∵，
∴的最小值为的长，
连接，
∵ 正方形的边长为4，
∴，
∵ 点为的中点，
∴DE=2，
又∵∠CDE=90°，
∴，
∵，
∴
由折叠的性质知为线段的垂直平分线，
∴∠DOE=90°，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵为线段的垂直平分线，
∴，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴四边形为菱形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的最小值为．
故答案为：．
【分析】作点P关于的对称点，过点M作于F，交于点G，由作图可得的最小值为的长，再说明四边形为菱形，再根据平行线可得，进而求出FG的长度，最后利用线段的和差即可得出答案.
24．【答案】3. 5
【知识点】两点之间线段最短；勾股定理；矩形的性质；轴对称的应用-最短距离问题；定点定长辅助圆模型
【解析】【解答】解：解：设AD的中点为点O，则以O为圆心，AD为半径作圆，点P就在这个圆上，作点M关于直线DC的对称点M'，连接OM'交圆O于点P’，交CD于N’，连接OP，M'N，如图：
∴MN = M'N，OP=OP'=r，OA=OD=AD，CM =CM'.
∴PN +MN = PN + M'N，
∵P是矩形内部一动点，N为边CD上的一个动点，两点之间线段最短，
.'.(PN + MN)min = P'N'+ M'N’=P'M'=OM' -OP'，
∵四边形ABCD为矩形，AD=3，AB=4，
∴AD=BC=3，AB=CD=4，∠BCD=90°，AD//BC，
∴OD//MC，
∵AD=3，
∴.圆O的半径r =0D=AD=x3=1.5，
∴OP =OP'=r=1.5，
∵M为BC的中点，AD=BC，
∴CM=CM'=BC=AD=OD=1.5
∴MM'=CM+CM' = 1.5+1.5=3，
∵∠BCD=90°，CM=OD，OD//MC，
∴四边形OMCD为矩形，
∴ ∠OMM’= 90°，OM=CD=4，
在Rt△OMM'中，
∴OM'=
∴(PN + MN)min = OM'-OP'=5-1.5 =3.5，
故答案为：3.5.
【分析】作点M关于直线DC的对称点M'，连接OM'交圆O于点P’，交CD于N’，连接OP，M'N，如图：根据对称的性质，可得出PN +MN = PN + M'N，进而根据两点点之间线段最短。可得出(PN + MN)min = P'N'+ M'N’=P'M'=OM' -OP'，进而根据矩形的性质及勾股定理可得出OM'和OP'的长度，进一步即可得出答案。
25．【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；轴对称的应用-最短距离问题；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【解答】解：由题意，得，，，，，
作A关于l的对称点，连接，，，过作于E，
则过点C，，四边形是矩形，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴当、P、B三点共线时，取最小值，最小值为，
即的最小值为．
故答案为：．
【分析】作A关于l的对称点，连接，，，过作于E，根据轴对称的性质得到，，即可得到PA+PB的最小值为A'B的长，证明四边形是矩形，得出，，在中，根据勾股定理求出的值即可解答．
26．【答案】②③④
【知识点】两点之间线段最短；等边三角形的性质；平行四边形的判定与性质；轴对称的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：①如图，延长交于M，过P作直线，
和是等边三角形，
，
，
四边形是平行四边形，
为中点，
为中点，
在线段上运动，
在直线l上运动，
由知等边三角形的高为，
到直线l的距离，P到直线的距离都为，
作A关于直线l的对称点，连接，当P运动到与直线l的交点，即共线时，最小，
此时最小值，故①错误；
②，
，
当共线时，最小，最小值为的长度，
为的中点，
，
为等边三角形的高，
的最小值为，故②正确；
过D作于K，过C作于T，如图，
和是等边三角形，
，
，
，即，
，
周长的最小值为6，故③正确；
④设，则，
，，，，
，
当时，四边形面积的最小值为，故④正确．
故答案为：②③④。
【分析】①延长交于M，过P作直线，根据和是等边三角形，根据平行四边形的判定定理，易证四边形是平行四边形，根据P为中点，知P为中点，易得P在直线l上运动，作A关于直线l的对称点，连接，当P运动到与直线l的交点，即共线时，最小，再根据勾股定理求出的值；②根据，易得共线时，最小，最小值为MF，根据等边三角形的性质和勾股定理，代入数据，即可求出MF的值；③过D作于K，过C作于T，根据题意，可知和是等边三角形，得，有，根据三角形CDE的周长公式，即可求出周长的最小值；④设，则， 进而求出AK、BT、DE和CT的值，最后再根据三角形的面积公式和梯形的面积公式，分别求出三角形ADK、BCT和梯形DKCT的面积，用m表示，再配方，当m=1，将m代入即可求出四边形ABCD面积的最小值。
1 / 1最值问题（绝对值与线段最值）—2026浙江中考数学高阶能力拓展专题
一、绝对值相关最值问题
1． 数轴上两点之间的距离可以由两点所表示的数来刻画，如数轴上 A、B 两点分别表示 -3 和 5，则 A、B 两点之间的距离为 . 在求 的最小值时，先把式子化为 ，然后借助于数轴分析即可得到最小值为 5. 按照这样的方法，式子 的最大值为　 　．
【答案】3
【知识点】绝对值的概念与意义；两个绝对值的差的最值
【解析】【解答】解：|x-2|-|x+1|表示的是数轴上表示数x的点分别到表示数2、-1的点的距离之差，画出数轴如图所示，
可知当x≤-1时，这个距离之差取得最大值，即|x-2|-|x+1|取得最大值，
最大值为2-(-1)=2+1=3.
故答案为：3.
【分析】画出数轴并根据绝对值的几何意义分析即可求解.
2．我们知道，|3-1|可理解为3与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理|a+5|也可理解为a与-5两数在数轴上所对应的两点之间的距离.请完成：
⑴若|x-2|=3，则x=　 　；
⑵|x+1|+|x+a|+|x-2|的最小值是5，则a=　 　.
【答案】5或-1；3或-4
【知识点】解含绝对值符号的一元一次方程；多个绝对值的和的最值
【解析】【解答】解：（1）根据题意知： |x-2|=3 表示数轴上到2距离为3的数，
∴2+3=5，2-3=-1，
∴x的值为5或-1，
故答案为：5或-1.
（2）根据题意知：2-5=-3，-1+5=4，
∴-a的值为-3或4，
∴a的值为3或-4，
故答案为：3或-4.
【分析】（1）根据题意知到2距离为3的数可能在2的左边，也可能再2的右边，分类作答确定x的值即可.
（2）根据题意知a可能在2的右边或在-1的左边，分类计算确定a的值即可.
3．已知a，b，c为3个自然数，满足a+2b+3c=2021，其中a≤b≤c，则|a-b|+|b-c|+|c-a|的最大值是　 　.
【答案】1346
【知识点】绝对值的概念与意义；多个绝对值的和的最值
【解析】【解答】解：∵a≤b≤c，
∴|a-b|+|b-c|+|c-a|=b-a+c-b+1=2c-2a
∵a，b，c为3个自然数，
∴2c-2a要想取最大值，a应该取最小值0，
代入得，2b+3c=2021
当b=1时，c最大，最大值为673，
2c-2a=673×2-0=1346
故答案为：1346.
【分析】先化简绝对值，再根据其结果取最大值的特点，结合a、b、c是自然数得出a应该取最小值0，根据a+2b+3c=2021的条件分析求得b值，则得c的最大值，从而求得结果.
4．若，，，，互不相等的正偶数，满足，则的最小值为　 　.
【答案】18
【知识点】绝对值的概念与意义；多个绝对值的和的最值
【解析】【解答】解：.
∵，，，，互不相等的正偶数，
∴、、、、也必然为5个互不相等的偶数，若有负数，也是有偶数个负数.
∴、、、、只能是-6，-2，2，4，6，
即，，，，只能是2014，2016，2018，2022，2026
易知当时， 取最小值，此时.
故答案为：18
【分析】解答的关键在于先分解得到，然后根据条件判断出、、、、五个数为互不相等的偶数，也就得出了这五个数为-6，-2，2，4，6，最后根据绝对值的在数轴上的含义得出 的最小值.
5．对于平面直角坐标系中的任意两点，，我们把叫做，两点间的直角距离，记作．
（1）已知，求．
（2）已知点O为坐标原点，动点满足，请写出y与x之间的关系式．
（3）设点是一定点，点是直线上的动点，我们把的最小值叫做点到直线的直角距离．试求点到直线的直角距离．
【答案】（1）解：∵，
；
（2）解：∵，，，
∴，
；
（3）解：∵点在直线上，
∴，
∵，
，
又可取一切实数，表示数轴上实数所对应的点到数1和所对应的点的距离之和，其最小值为6，
到直线的直角距离为6．
【知识点】一次函数的实际应用-几何问题；数轴上两点之间的距离；绝对值的概念与意义；两个绝对值的和的最值
【解析】【分析】（1）理解题中两点的直角距离公式，则，求解即可；
（2）根据两点的直角距离公式可得，化简即可；
（3）设，根据两点的直角距离公式可得，再根据绝对值的几何意义求解即可．
（1）解：∵，
；
（2）解：∵，，，
∴，
；
（3）解：∵点在直线上，
∴，
∵，
，
又可取一切实数，表示数轴上实数所对应的点到数1和所对应的点的距离之和，其最小值为6，
到直线的直角距离为6．
6．阅读材料：数轴是沟通数与形的重要桥梁，利用数轴可以直观地理解很多代数问题．对于数轴上的两点A，B，我们把A，B两点所表示的数之差的绝对值，叫做A，B两点之间的距离，记作．例如，数轴上表示2和5的两点之间的距离为；数轴上表示和的两点之间的距离为．
完成下列各题∶
（1）数轴上表示3和的两点之间的距离为： ；
（2）①若，则 ；
②若数轴上点M表示的数为x，点N表示的数为，点P表示的数为5，且，则 ；
（3）的最小值为 ．
【答案】（1）7
（2）① 8或；②或6.5
（3）45
【知识点】解含绝对值符号的一元一次方程；数轴上两点之间的距离；绝对值的概念与意义；多个绝对值的和的最值
【解析】【解答】解：（1）；
故答案为：7；
（2）①由题意，或；
故答案为： 8或；
②，
∴，
当点在点的左侧时，，解得；
当点在点的右侧时，，解得；
故答案为：或6.5；
（3）由题意可得：表示数到的距离，到的距离的2倍，到4的距离的3倍，到7的距离的4倍，到10的距离的5倍的和，
故当时，此时的和最小为
．
【分析】（1）根据两点间的距离公式进行求解即可；
（2）①根据两点间的距离公式，进行求解即可；
②分点在点的左侧和点在点的右侧，两种情况进行讨论即可；
（3）根据绝对值的意义，可得15个距离的和，再进行计算求解即可．
（1）解：；
故答案为：7；
（2）①由题意，或；
故答案为： 8或；
②，
∴，
当点在点的左侧时，，解得；
当点在点的右侧时，，解得；
故答案为：或6.5；
（3）表示数到的距离，到的距离的2倍，到4的距离的3倍，到7的距离的4倍，到10的距离的5倍的和，
故当时，此时的和最小为
．
二、几何单条线段相关最值问题
7．“山高水阔知何处？巧构全等觅飞痕”如图所示，两条互相垂直的数轴相交于，点在右侧个单位长度处，点是下方轴上一动点，连接，过点作，若，点在左侧轴上个单位长度处，连接，的最小值为　 　个单位长度．
【答案】6
【知识点】坐标与图形性质；三角形全等的判定-AAS；线段最值问题
【解析】【解答】解：如图，过点作轴于点，
由题意可得：，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴点在平行于轴且与轴距离为的直线上运动，当垂直于这条直线时，最短，此时，
故答案为：．
【分析】
本题考查了全等三角形的判定与性质，通过全等三角形确定点的运动轨迹，再利用垂线段最短的性质求最短距离是解决本题的关键.先过点作轴，证明，得出，从而确定点在平行于轴且与轴距离为的直线上运动，根据垂线段最短，当垂直于这条直线时，最短，其长度为6.
8．如图，点是正方形ABCD边BC上一动点，（点E不与点B、C重合），连接DE，过点作交CD于，垂足为，连接PC，已知正方形的边长为2，则PC的最小值为　 　．
【答案】
【知识点】线段最值问题
【解析】【解答】解：∠APD=90°，AD=2，故点P在以AD为直径的圆上运动，圆心为M，半径DM=1，
当C、P、M共线时，PC取最小值，
CM=，PCmin=-1
故答案为：.
【分析】由题意知点P的轨迹，当C、P、M共线时，可取最小值.
9．如图所示，在扇形OAB中，，半径，点位于的处且靠近点的位置.点C、D分别在线段OA、OB上，为CD的中点，连接EF.在CD滑动过程中（CD长度始终保持不变），当EF取最小值时，BD的长为　 　.
【答案】2
【知识点】等边三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；线段最值问题
【解析】【解答】解：如图，连接OE、OF，
∵ 点位于的处且靠近点的位置
∴∠AOF=30°
∴∠BOF=60°
∵点E为CD中点，且△COD是直角三角形
∴OE=CD=2
又∵OF=4，且OF≤OE+EF
∴当O、E、F三点共线时，EF有最小值
∴∠EOD=∠FOD=60°，OE=DE=2
∴△ODE是等边三角形
∴OD=2
且OB=4
∴BD=2
故答案为：2.
【分析】连接OE、OF，根据 点位于的处且靠近点的位置 可得∠BOF=60°，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OE=2，可得当O、E、F三点共线时，EF有最小值，可判断△ODE是等边三角形，即可得BD的长度.
10．如图，在边长为4的正方形中，E、F分别是上的动点，M、N分别是的中点，则长的最大值是　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；三角形的中位线定理；线段最值问题
【解析】【解答】解：连接，如图所示：
∵M、N分别是的中点
∴
∵E是上的动点，
∴
∵
∴
∴
∴长的最大值是：．
故答案为：．
【分析】连接，根据M、N分别是BC、EF的中点，可得，且即可求解．
11． 在△ABC中，∠B=105°，∠BCA=45°，BC=1，点 D在边AB上运动(不与A重合)，以AD为边向△ABC外作正△ADE，如图，过点D作射线垂直于线段 DE，F为射线上一动点，取EF中点G，连结CG，则CG的最小值为 　 　.
【答案】
【知识点】三角形的面积；三角形内角和定理；等边三角形的性质；线段最值问题
【解析】【解答】解：取DE的中点I，连接AI并延长交CB延长线于点H，作BM⊥AC于点M，
∵∠BCA=45°
∴CM=BM=
∵∠CAB=180°-∠BCA-∠ABC
∴∠CAB=180°-105°-45°=30°
∴AB=2BM=，AM=
∴AC=AM+CM=+
∵△ADE为等边三角形，I为DE的中点
∴AI⊥DE，AI平分∠DAE
∴∠DAH=30°
∴∠H=180°-∠BCA-∠CAH=180°-45°-30°-30°=75°
∵∠ABH=180°-∠ABC=180°-105°=75°
∴∠ABH=∠AHB
∴AH=AB=
点G在AH上运动，当CG⊥AH时，CG取最小值，
作HN⊥AC于点N，HN=
∵，即有
∴CG=，即CG的最小值为.
故答案为： .
【分析】取DE的中点I，连接AI并延长交CB延长线于点H，作BM⊥AC于点M，∠GAB=30°知点G在AH上运动，当CG⊥AH时取最小值，求出相应的线段长，根据等面积法知其最小值.
12．如图，在中，，将绕顶点顺时针旋转，旋转角为，得到．设中点为，中点为，，连接，当　 　时，长度最大，最大值为　 　．
【答案】120；3
【知识点】含30°角的直角三角形；旋转的性质；直角三角形斜边上的中线；线段最值问题
【解析】【解答】解：∵，，
∴AB=4，∠A=60°，
由旋转得=∠A=60°，=AB=4，
∵中点为，
∴=2，
∴△是等边三角形，
∴∠=60°，
如图，连接CP，当旋转到点E、C、P三点共线时，EP最长，此时，
∵点E是AC的中点，，
∴CE=1，
∴EP=CE+PC=3，
故答案为： 120，3.
【分析】本题考查了直角三角形的性质，等边三角形的判定及性质，旋转的性质；解题的关键在于明确旋转得到EP的最大值，当点E、C、P三点共线时，即CE+PC，据此来求出旋转角以及EP的长.
13．已知在Rt△ABC中，∠A=90°，∠ACB=30°，点F是边AC上一动点，以CF为斜边向下作Rt△CDF，使∠D=90°，∠FCD=∠ABF.
（1）如图1，设∠ABF的度数为α，
①用含α的代数式表示∠BFD；
②当α为何值时，△ABF≌△DCF；
（2）设AB=1，
①如图2，延长FD交 BC于G，若FD=DG，求AF长；
②如图3，连结BD，在点 F从点A运动到点C的过程中，求BD的最小值.
【答案】（1）解：①∵∠A=90°，
∴∠AFB=90°-∠ABF=90°-α
∴∠CFD=90°-α
∵∠BFD=180°-∠AFB-∠CFD
∴∠BFD=180°-(90°-α)-(90°-α)=2α；
②∵△ABF≌△DCF
∴BF=FC
∴∠FBC=∠BCF=30°
∵∠ABF=∠ABC-∠FBC
∴∠ABF=60°-30°=30°
（2）解：①在AB上取点H，使HF=HB，
∵FD=DG，CD⊥GF
∴∠DCF=∠DCG=∠ACB=15°
∴∠ABF=15°
∵HF=HB
∴∠HBF=∠HFB=15°
∴∠AHF=∠HBF+∠HFB=15°+15°=30°
设AF=m，则HF=2m，HB=2m，AH=m，
于是2m+m=1，解得m=；
②取点B关于AC的对称点B'，连接CB'、FB'
∵BB'=BC，∠ABC=60°
∴△BBC为等边三角形
∴CB'=CB=BB'=2，∠CBB'=60°
∵∠ABF=∠ABF=α=∠FCD
∴∠CBF=60°-α，∠B'CD=30°+α
∴∠CDB'=180°-∠CBF-B'CD=90°
即D、F、B'共线
∴点D在以B'C为直径的圆上运动，圆心为B'C的中点M，
当B、D、M三点共线时，BD取最小值，
BM=，DM=1，故BDmin=

【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质；直角三角形的性质；线段最值问题；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】(1)①由直角三角形的性质知AFB=∠CFD=90°-α，即可得BFD的度数；
②当 △ABF≌△DCF时，BF=FC，可得∠FBC=30°，即得∠ABF=30°；
(2)①由等腰三角形的性质知∠DCF=∠DCG=15°，即知∠ABF=15°，在AB上取点H，使HB=HF，利用特殊角可得AF的长；
②取点B关于AC的对称点B'，连接CB'、FB'，由角度关系知D、F、B'共线，知点D的轨迹，知当B、D、M共线时BD取最小值，求出BD的最不值即可.
14．如图1，在直角坐标系xOy中，点M的坐标为(3，0)，以M为圆心MO为半径的半圆交x轴于点A，在半圆弧上取点C，连接OC，AC，已知点B在y轴的正半轴上．
（1）求证：∠BOC＝∠OAC．
（2）如图2，AC上取点D使得OC＝AD，连接OD．
①若点C的横坐标为2，求CD的长．
②求OD的最小值．
【答案】（1）证明：∵OA是直径
∴∠OCA =90゜
∴∠COA+∠OAC＝90゜
∵∠BOC+∠AOC＝90゜
∴∠BOC=∠OAC
（2）解：①作CE⊥y轴于点E
则∠OEC=90゜
∵∠OCA =90゜
∴∠OEC=∠OCA
∵∠BOC=∠OAC
∴△OEC∽△ACO
∴
∵点C的横坐标为2，圆心M的坐标为（3，0）
∴CE=2，OA=6
∴OC=AD=2
∴
∴
②在y轴上取点F，使得OF=OA=6
∵ ∠BOC=∠OAC，OC=AD
∴△COF≌△DAO
∴CF=OD
连结FM，则
当点F、C、M三点共线时，FM取得最小值，此时FC也取得最小值
∵MC=3
∴
∴OD的最小值为．
【知识点】圆周角定理；三角形全等的判定-SAS；线段最值问题；相似三角形的判定-AA；函数几何问题中的最值
【解析】【分析】(1)由OA是直径得∠OCA =90゜，再利用同角余角相等即可证明；
(2)①作CE⊥y轴于点E，证出△OEC∽△ACO，得，代入求出OC=2，再由勾股定理求出，得到；②在y轴上取点F，使得OF=OA=6，证出△COF≌△DAO，得CF=OD，再利用圆外一定点与圆上一动点的距离最小值是点到圆心距离减半径即可求出.
三、几何多条线段相关最值问题
15．如图，E，F是正方形ABCD的边AB的三等分点，P是对角线AC上的动点，当PE+PF取得最小值时，的值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】正方形的性质；轴对称的应用-最短距离问题；将军饮马模型-一线两点（一动两定）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：作点F关于AC的对称点F'，连接EF'交AC于点P'，过点F'作AD的垂线，交AC于点K，
由题意得：此时F'落在AD上，且根据对称的性质，当P点与P'重合时PE+PF取得最小值，
设正方形ABCD的边长为a，则，
∵四边形ABCD是正方形
∴∠F'AK=45°，∠P'AE=45°，
∵F'K⊥AF'
∴∠F'AK=∠F'KA=45°
∴
∵∠F'P'K=∠EP'A
∴△F'KP'~△EAP'，
∴
∴
∴
∴
∴当PE+PF取得最小值时，的值为
故答案为：D.
【分析】作点F关于AC的对称点F'，连接EF'交AC于点P'，此时PE+PF取得最小值，过点F'作AD的垂线，交AC于点K，根据题意可知点F'落在AD上，设正方形的边长为a，求得AK的边长，证明△AEP'∽△KF'P'，可得，即可解答.
16．如图，矩形中，，点在边上且，点为直线上一动点，连接，将沿着折痕折叠，得到，动点在边上，连接，则最小值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理；矩形的性质；轴对称的应用-最短距离问题；翻折变换（折叠问题）；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【解答】解：∵，
∴点在以点为圆心、为半径的圆上，
如图，作关于的对称线段，点关于的对称点为，以点为圆心、为半径画圆，连接交于点，交于点，
则，
∴，
由两点之间线段最短，可知此时的值最小，最小值为的长，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
即最小值是，
故答案为：．
【分析】作关于的对称线段，点关于的对称点为，以点为圆心、为半径画圆，连接交于点，交于点，即可得到，由两点之间线段最短得到此时的值最小为的长，根据勾股定理计算即可．
17．A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥，使从到的路径最短的是（假定河的两岸是平行线，桥与河岸垂直）（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题；将军饮马模型-两线两点（两动两定）
【解析】【解答】解：根据垂线段最短，得出是河的宽时，最短，即直线（或直线，只要最短即可，
即过作河岸的垂线，垂足为，在直线上取点，使等于河宽．
连接交河的边岸于，作垂直于河岸交边的岸于点，所得即为所求．
故选：D．
【分析】过作河的垂线，且截取，连接即可得出，作出、、即可，则点M，N即为所作．
18．如图，、是的两条直径，且，，P为直径上一动点．若的直径，则周长的最小值是（　　）
A．3 B．4 C． D．
【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；圆周角定理；轴对称的应用-最短距离问题；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：如图，
连接、，交于P，
∵、是的两条直径，且，
∴与互相垂直平分，
∴，
∴周长的最小值，
∵ ，
，
∵是的直径，
，
∵，
，，
∴周长的最小值．
故答案为：Ｄ.
【分析】连接、，交于P，根据垂径定理即推论得与互相垂直平分，即可得相等，即可得周长的最小值等于加，根据等于得，进一步推理得，，代入即可得周长的最小值.
19．如图，在边长为5的菱形ABCD中，BD＝8，将△ABD沿射线BD的方向平移得到△A’B’D’，分别连结A’C，A’D，B’C，则A’C＋B’C的最小值为（　　）
A．6 B． C．10 D．
【答案】B
【知识点】菱形的性质；轴对称的应用-最短距离问题；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，边长为5，BD=8，
∴AC⊥BD，
设AC与BD相交于点O，
∴，
根据勾股定理得：，
∴AC=6
由平移得△ABD≌△A'B'D'，
∴A'B'//AB，A'B'//AB=5，AA'//BD，
∴A'D=B'C，
作点C关于直线BD的对称点E，则E在AC的延长线上，且CE=AC=6，连接A'E，
∴AE=AC+CE=12，
∵点C与点E关于直线BD对称，
∴B'C=B'E，
∴A'C+B'C=A'C+B'E≥A'E(当且仅当A'，B'，E三点共线时取等号)，
在Rt△A'CE中，A'C⊥CE，A'C=5，CE=6，
根据勾股定理.
故答案为：B.
【分析】通过萎形的性质求出相关线段长度，利用平移得到线段关系，再通过作对称点将A'C+B'C转化为一条线段，根据两点之间线段最短求出最小值.
20．如图，在菱形中，对角线交于点O，，，点E、F分别在、上，且，，点P是上任意一点，则的最大值为　 　．
【答案】
【知识点】菱形的性质；轴对称的应用-最短距离问题；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的判定-SAS；相似三角形的性质-对应角
【解析】【解答】解：如图，作点F关于对角线所在直线的对称点，
连接、，
∵，
∴当点P、E、在一条直线上时，取到最大值，最大值即为的长度，
∵四边形为菱形，，，
∴AO=AC=8，AC⊥BD，
∴在中，，
由对称性可得，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴在中，由勾股定理得，，
∴的最大值为4．
故答案为：．
【分析】如图，作点F关于对角线AC所在直线的对称点F'，连接PF'、EF'，结合，可得当点P、E、F'在一条直线上时，取到最大值，最大值即为EF'的长度；由菱形的对角线互相垂直平分得出AO=AC=8，AC⊥BD，在Rt△AOB中，利用勾股定理算出OB，由轴对称性质得出OF'=OF=1，由线段和差算出BF'，由两边成比例且夹角相等的两个三角形相似得△BF'E∽△BAO，由相似三角形对应角相等得出， 然后在Rt△BEF'中，利用勾股定理算出EF'，从而可得答案.
21．如图，在边长为1的正方形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，EB=3AE.有一只蚂蚁从E点出发，经过F，G，H，最后回到E点，则蚂蚁所走的最少路程是　 　.
【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；轴对称的应用-最短距离问题；将军饮马模型-两线一点（两动一定）
【解析】【解答】解：如图所示，分别作点E关于直线的对称点，作点关于直线CD的对称点，连接交于点，连接交AD于点，连接交于点，连接，
则，
∵，
当E、F、G、H分别在点时，路程最小为．
故答案为：.
【分析】 分别作点E关于直线的对称点，作点关于直线CD的对称点，连接交于点，连接交AD于点，连接交于点，连接 ，即可得到点E1，H'，G'，E3共线时，蚂蚁所走路程最小，根据勾股定理解答即可．
22．如图，是的直径，点，在上，点是的中点，点是直径上的一个动点，连接，，，若，，则的最小值为　 　．
【答案】
【知识点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；轴对称的应用-最短距离问题；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：作点D关于的对称点为点E，连接交于点G，连接，，，，
∴，，
∴，当点P与点G重合时，此时有最小值，最小值为，
∵，
∴，
∵点D是弧的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∵，
∴，
∴，
∴的最小值为，
故填：．
【分析】作点D关于的对称点为点E，连接交于点G，连接，，，，根据轴对称的性质得出，，从而可得，此时有最小值即为，证出是等腰直角三角形，利用勾股定理求出CE的长，即可得出答案．
23．如图，在边长为4的正方形中，点为的中点，将沿翻折得，点落在四边形内．点为线段上的动点，过点作交于点，则的最小值为　 　．
【答案】
【知识点】菱形的判定与性质；轴对称的性质；轴对称的应用-最短距离问题；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：由折叠的性质知是的平分线，
∴点P关于CE的对称点在CD上，
∴作点P关于的对称点，过点M作于F，交于点G，
∵，
∴的最小值为的长，
连接，
∵ 正方形的边长为4，
∴，
∵ 点为的中点，
∴DE=2，
又∵∠CDE=90°，
∴，
∵，
∴
由折叠的性质知为线段的垂直平分线，
∴∠DOE=90°，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵为线段的垂直平分线，
∴，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴四边形为菱形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的最小值为．
故答案为：．
【分析】作点P关于的对称点，过点M作于F，交于点G，由作图可得的最小值为的长，再说明四边形为菱形，再根据平行线可得，进而求出FG的长度，最后利用线段的和差即可得出答案.
24． 如图，矩形 ABCD的边 AB=4， AD=3， M为 BC的中点， P是矩形内部一动点，且满足∠APD=90°， N为边 CD上的一个动点，连接 PN， MN，则PN+MN的最小值为　 　.
【答案】3. 5
【知识点】两点之间线段最短；勾股定理；矩形的性质；轴对称的应用-最短距离问题；定点定长辅助圆模型
【解析】【解答】解：解：设AD的中点为点O，则以O为圆心，AD为半径作圆，点P就在这个圆上，作点M关于直线DC的对称点M'，连接OM'交圆O于点P’，交CD于N’，连接OP，M'N，如图：
∴MN = M'N，OP=OP'=r，OA=OD=AD，CM =CM'.
∴PN +MN = PN + M'N，
∵P是矩形内部一动点，N为边CD上的一个动点，两点之间线段最短，
.'.(PN + MN)min = P'N'+ M'N’=P'M'=OM' -OP'，
∵四边形ABCD为矩形，AD=3，AB=4，
∴AD=BC=3，AB=CD=4，∠BCD=90°，AD//BC，
∴OD//MC，
∵AD=3，
∴.圆O的半径r =0D=AD=x3=1.5，
∴OP =OP'=r=1.5，
∵M为BC的中点，AD=BC，
∴CM=CM'=BC=AD=OD=1.5
∴MM'=CM+CM' = 1.5+1.5=3，
∵∠BCD=90°，CM=OD，OD//MC，
∴四边形OMCD为矩形，
∴ ∠OMM’= 90°，OM=CD=4，
在Rt△OMM'中，
∴OM'=
∴(PN + MN)min = OM'-OP'=5-1.5 =3.5，
故答案为：3.5.
【分析】作点M关于直线DC的对称点M'，连接OM'交圆O于点P’，交CD于N’，连接OP，M'N，如图：根据对称的性质，可得出PN +MN = PN + M'N，进而根据两点点之间线段最短。可得出(PN + MN)min = P'N'+ M'N’=P'M'=OM' -OP'，进而根据矩形的性质及勾股定理可得出OM'和OP'的长度，进一步即可得出答案。
25．如图，直线l同侧有两点A，B，在直线l上找一点P，使得的值最小．若点A到直线l的距离是4，点B到直线l的距离是2，A，B在直线l上的正投影间距为5，则的最小值为　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；轴对称的应用-最短距离问题；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【解答】解：由题意，得，，，，，
作A关于l的对称点，连接，，，过作于E，
则过点C，，四边形是矩形，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴当、P、B三点共线时，取最小值，最小值为，
即的最小值为．
故答案为：．
【分析】作A关于l的对称点，连接，，，过作于E，根据轴对称的性质得到，，即可得到PA+PB的最小值为A'B的长，证明四边形是矩形，得出，，在中，根据勾股定理求出的值即可解答．
26．如图，是线段上一点，和是位于直线同侧的两个等边三角形，点分别是的中点．若，则下列结论正确的有　 　．（填序号）
①的最小值为；②的最小值为；③周长的最小值为6；④四边形面积的最小值为．
【答案】②③④
【知识点】两点之间线段最短；等边三角形的性质；平行四边形的判定与性质；轴对称的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：①如图，延长交于M，过P作直线，
和是等边三角形，
，
，
四边形是平行四边形，
为中点，
为中点，
在线段上运动，
在直线l上运动，
由知等边三角形的高为，
到直线l的距离，P到直线的距离都为，
作A关于直线l的对称点，连接，当P运动到与直线l的交点，即共线时，最小，
此时最小值，故①错误；
②，
，
当共线时，最小，最小值为的长度，
为的中点，
，
为等边三角形的高，
的最小值为，故②正确；
过D作于K，过C作于T，如图，
和是等边三角形，
，
，
，即，
，
周长的最小值为6，故③正确；
④设，则，
，，，，
，
当时，四边形面积的最小值为，故④正确．
故答案为：②③④。
【分析】①延长交于M，过P作直线，根据和是等边三角形，根据平行四边形的判定定理，易证四边形是平行四边形，根据P为中点，知P为中点，易得P在直线l上运动，作A关于直线l的对称点，连接，当P运动到与直线l的交点，即共线时，最小，再根据勾股定理求出的值；②根据，易得共线时，最小，最小值为MF，根据等边三角形的性质和勾股定理，代入数据，即可求出MF的值；③过D作于K，过C作于T，根据题意，可知和是等边三角形，得，有，根据三角形CDE的周长公式，即可求出周长的最小值；④设，则， 进而求出AK、BT、DE和CT的值，最后再根据三角形的面积公式和梯形的面积公式，分别求出三角形ADK、BCT和梯形DKCT的面积，用m表示，再配方，当m=1，将m代入即可求出四边形ABCD面积的最小值。
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