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最值问题（运动路径与函数）—2026浙江中考数学高阶能力拓展专题
一、运动路径最值问题
1．如图是一个台阶示意图，每一层台阶的高都是，宽都是，一只蚂蚁沿台阶从点A出发到点B，其爬行的最短线路的长度是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】两点之间线段最短；勾股定理的实际应用-最短路径问题
2．如图，这是一个供滑板爱好者使用的U型池的示意图，该U型池可以看成是长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是直径为米的半圆，其边缘米，点E在上，米，一滑板爱好者从A点滑到E点，则他滑行的最短距离为（　　）
A．18米 B．20米 C．22米 D．24米
【答案】B
【知识点】两点之间线段最短；勾股定理的实际应用-最短路径问题
【解析】【解答】解：如图是其侧面展开图：
（米），（米），（米），
在中，，
∴，
解得（负值舍去），
故他滑行的最短距离约为（米）．
故答案为：B．
【分析】由示意图可知型池的侧面展开图是一个长方形，长方形的宽等于半径为的半圆的弧长，长方形的长为，， 在中 ，再根据勾股定理解得AE=20，滑行的最短距离为20米。
3．如图，圆柱形容器的底面周长是，高是，在外侧地面S处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口内侧距开口处的点F处有一苍蝇，急于捕捉苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路线长度是（　　）．
A．18 B．20 C．22 D．24
【答案】B
【知识点】两点之间线段最短；勾股定理的实际应用-最短路径问题；求算术平方根
【解析】【解答】解：如图，设点D为圆柱形容器上口上的一点，作点F关于点D的对称点，连接，，
根据轴对称可知，，
∴，
∵两点之间线段最短，
∴当S、E、在同一直线上时，蜘蛛所走的路程最小，
即为蜘蛛所走最短路径，
由题意得：，，，
∴，
∴．
故答案为：B．
【分析】设点D为圆柱形容器上口上的一点，作点F关于点D的对称点，连接，，根据轴对称可知，，则，当S、E、在同一直线上时，蜘蛛所走的路程最小，根据边之间的关系可得SA，再根据勾股定理即可求出答案.
4．如图，一只蚂蚁从长、宽都是3cm，高是8cm的长方体纸盒的A点沿纸盒面爬到B点，那么它所行的最短路线的长是(　　)
A．(3+8)cm B．10cm C．14cm D．无法确定
【答案】B
【知识点】几何体的展开图；两点之间线段最短；勾股定理的实际应用-最短路径问题
【解析】【解答】如图(1)所示：
如图(2)所示：
由于
所以最短路径为10.
故答案为：B.
【分析】根据不同的展开方式，根据勾股定理分别求得AB的长，并比较大小，即可得出答案。
5．如图，长方体的长为，宽为，高为，点离点为，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点去吃一滴蜜糖，需要爬行的最短距离是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】两点之间线段最短；勾股定理的实际应用-最短路径问题；分类讨论
【解析】【解答】解：把上面展开到左侧面上，连接，如图1，
；
把上面展开到正面上，连接，如图2，
；
把侧面展开到正面上，连接，如图3，
．
∵．
∴一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离为．
故答案为：D．
【分析】由题意可分三种情况讨论：①把上面展开到左侧面上，连接，如图1；②把上面展开到正面上，连接，如图2；③把侧面展开到正面上，连接，如图3，然后用勾股定理分别计算各情况下的，再比较大小即可求解．
6．如图，已知圆柱底面的周长为，圆柱的高为，在圆柱的侧面上，过点和点嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】两点之间线段最短；勾股定理；勾股定理的实际应用-最短路径问题
【解析】【解答】解：如图，
把圆柱的侧面展开，得到矩形，则这圈金属丝的周长最小为的长度.
圆柱底面的周长为，圆柱高为，
，，
，
，
这圈金属丝的周长最小为，
故答案为：A.
【分析】把圆柱的侧面展开，得到矩形，则这圈金属丝的周长最小为的长度，根据圆柱底面的周长为，圆柱高为，根据勾股定理即可得，进一步得这圈金属丝的周长最小值.
7． 如图，桌上有一个圆柱形无盖玻璃杯，高6厘米，底面周长为 16厘米，在杯口内壁离杯口1.5厘米的A处有一滴蜜糖，在玻璃杯的外壁与A相对的点 P 处有一只小虫，小虫离杯底的距离为1.5厘米，则小虫爬到蜜糖 A 处的最短路程是(　　)
A．厘米 B．10厘米 C．8厘米 D．8厘米
【答案】B
【知识点】两点之间线段最短；勾股定理的实际应用-最短路径问题；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，最短距离为PA'的长度，将圆柱展开，
由题意可知PE=8cm，
∴
最短路程为PA'=10cm.
故选：B．
【分析】将图形展开，根据“两点之间线段最短”得到最短距离为PA'的长度 ，利用勾股定理进行计算即可.
二、函数中最值问题
8．抛物线当-1≤x≤2时，y的最大值与最小值的差为7，则a的值为（　　）
A．1 B． C．或 D．或
【答案】D
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的性质；分类讨论
【解析】【解答】解：若，
∵，
∴抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为，
∴y的最小值为，
∵，，，
∴当时，y取得最大值，最大值为，
∵y的最大值与最小值的差为7，
∴，
解得；
若，
∵，
∴抛物线开口向下，对称轴为，顶点坐标为，
∴y的最大值为，
∵，，，
∴当时，y取得最小值，最小值为，
∵y的最大值与最小值的差为7，
∴，
解得；
综上，a的值为或．
故答案为：D.
【分析】分和两种情况讨论，得到抛物线的对称轴为直线x=1，根据抛物线的增减性求出y的最大值与最小值，根据题意列方程解答即可．
9．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，P为抛物线上一点，其横坐标为，C为抛物线对称轴上一动点，连接，，当取得最小值时，的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次函数的最值；轴对称的应用-最短距离问题；求正切值
【解析】【解答】解：已知抛物线，P横坐标为
当时，则有
由可知：对称轴为直线
当时，则有
解得：
连接PB，PC，如图所示：
由轴对称可知：
所以
当P、B、C三点共线时，取得最小值
设直线PB的解析式为，则有
，解得：
故解析式为
当时，则有
所以，即
又
所以
故选：A．
【分析】本题聚焦二次函数，轴对称性质与三角函数的综合运用，熟练掌握三角函数，二次函数的图象与性质，轴对称的性质及一次函数的图象与性质是解题的关键，解题思路分三步
定位关键点：先利用二次函数解析式，求出P点坐标，抛物线与x轴交点A，B坐标及对称轴，这是后续分析的基石.转化最值问题：借助抛物线对称轴的轴对称性，将AC转化为BC，把PC+AC的最小值转化为PC+BC的最小值，再依据两点之间线段最短，确定P，B，C共线时，PC+AC取得最小值.计算三角函数值：求出C点坐标后，构造含的直角三角形，通过直角边的长度比，结合正切函数定义算出.
10．如图，点A（a，1）、B（﹣1，b）都在双曲线y＝﹣上，点P、Q分别是x轴、y轴上的动点，当四边形PABQ的周长取最小值时，PQ所在直线的解析式是（　　）
A．y＝x B．y＝x+1 C．y＝x+2 D．y＝x+3
【答案】C
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征；轴对称的应用-最短距离问题；反比例函数图象上点的坐标特征；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【解答】解：分别把点A（a，1）、B（﹣1，b）代入双曲线y=﹣得a=﹣3，b=3，
则点A的坐标为（﹣3，1）、B点坐标为（﹣1，3），
作A点关于x轴的对称点C，B点关于y轴的对称点D，
所以C点坐标为（﹣3，﹣1），D点坐标为（1，3），
连结CD分别交x轴、y轴于P点、Q点，此时四边形PABQ的周长最小，
设直线CD的解析式为y=kx+b，
把C（﹣3，﹣1），D（1，3）分别代入得，
解得，
所以直线CD的解析式为y=x+2．
故选C．
【分析】先求出点A、B的坐标，再作A点关于x轴的对称点C，B点关于y轴的对称点D，即可得到点C、D的坐标，CD分别交x轴、y轴于P点、Q点，根据两点之间线段最短即可得到四边形PABQ的周长最小，运用待定系数法求出PQ的解析式即可．
11．某校物理兴趣小组举办“水火箭”发射距离比赛，如图是甲组的水火箭实物图.王老师用频闪照相机记录并测量甲组的水火箭的飞行水平距离 x米和飞行高度y米的数据，记录数据如下表：
照相机频闪时间t/s 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 ……
水平距离 x/米 0 5 10 15 20 25 30 ……
飞行高度 y/米 0 4.5 8 10.5 12 12.5 12 ……
（1）根据表格中的数据描点，连线，发现y与x近似地满足二次函数关系，请写出y与x之间的函数表达式；
（2）根据表格数据，可知水平距离x与时间t满足关系式 x=10t.根据比赛规定，在水平距离相同的情况下，飞行高度不低于8米的持续时间越长成绩越好.求甲组水火箭飞行高度不低于8米的持续时间；
（3）乙组的水火箭与甲组的水火箭同时从同一高度发射，已知乙组水火箭的飞行高度y(米)与水平距离x(米)满足函数关系 当水平距离为多少米时，两组水火箭的高度差最大 最大高度差是多少
【答案】（1）解：设
将 (0，0)、(10，8)、(20，12) 代入， 得
（2）解：令
∴x1=10，x2=40
将 x1=10， x2=40 代入得 x=10t，
得 t1=1， t2=4
∴持续时间 4-1=3 秒
（3）解：设高度差为 h
∴当水平距离为20米时，最大高度差为4米
【知识点】二次函数的最值；二次函数的实际应用-抛球问题；利用一般式求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求二次函数的解析式即可；
（2）令，则有，求出x的值，然后代入x=10t，得到时间t的值，求差解答即可；
（3）设高度差为h，得到h关于x的二次函数，配方得到顶点式，即可求出对大值解答即可．
12． 已知抛物线 的对称轴是直线.x=-1.
（1）求b的值.
（2）若点M (x，y)是抛物线上的动点.
① 当 时，求 y的取值范围.
② 当 时，x的最大值与最小值的差为4，求x的取值范围.
【答案】（1）解：∵抛物线的对称轴是直线，
∴，得.
（2）解：①由题意知，抛物线的开口向上，
，则顶点坐标为(-1，-4)，
又因为-2≤-1≤3，所以当x=-1时， y取到最小值为-4，
当x=-2时， y=-3；
当x=3时， y=12，
所以y的取值范围是-4≤y≤12.
②如图1，由抛物线开口向上可知，当y=p+3时，x分别取到最大值与最小值，
由对称性可知，此时对应的两个点关于对称轴对称.
设x的最大值为x1，最小值为x2，则有：
又有 可得
此时 ，即p+3=0，得p=-3，
由方程 解得x3=0， x4=-2.
由图2得x的取值范围为-3≤x≤-2或0≤x≤1.
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【分析】（1）由抛物线对称轴公式求出b的值即可；
（2）①将解析式化为顶点式得到顶点坐标，然后根据二次函数的增减性求出y的取值范围即可；
②由抛物线开口向上且对称轴为，当时取到最大值与最小值，根据抛物线的对称性得，再根据求出，，即可求出的值，再求时对应的值，借助图象得到x的取值范围即可．
13．已知抛物线经过点A（1，0），B（-1，8）.
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）若点C（-3，y1），D（m，y）在该抛物线上，且y1>y2，求m的取值范围；
（3）将此抛物线向左平移n（n>0）个单位，设平移后抛物线与y轴的交点为E（0，e），若e的最大值和最小值分别为e1，e2，且（求n的值.
【答案】（1）解：∵抛物线经过点，，
∴，
解得，
∴该抛物线的函数表达式为；

（2）解：先将抛物线解析式化为顶点式：，
抛物线开口向上，对称轴为，
点到对称轴的距离为，
点到对称轴的距离为，
因为，
所以，即：，
解得；
（3）解：抛物线向左平移n个单位后，解析式为：，
当时，与y轴交点E的纵坐标：，
这是一个关于n的二次函数，开口向上，对称轴为，
当时，e取最小值，
题目中，则，
令，即，
解得：，
因为，所以．

【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；二次函数与一元二次方程的综合应用；利用一般式求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出一次函数的解析式即可；
（2）配方得到顶点式，即可得到对称轴为直线x=2，然后根据离对称轴远的点的函数值大得到，求出m的取值范围解答即可；
（3）得到平移后的解析式，进而得到与y轴交点的纵坐标，根据二次函数的最值可得最小值为-1，然后求出最大值为5，令e=5，解方程组求出n的值解答即可．
14．已知二次函数的图象经过点（4，0）和（1，3），点P（x1，y），Q（x2，y1）是该二次函数图象上的两个动点，满足且
（1）求该二次函数的表达式；
（2）求x1+x2的值；
（3）已知一条平行于y轴的直线过点P交OQ于点M，一条平行于x轴的直线过点A（0，t）交函数图象于B，C两点，且BC=3PM，求BC的最大值及此时对应的t值。
【答案】（1）解：把（4，0）和（1，3）代入得解得
∴该二次函数的表达式为
（2）∵点P（x1，y1），Q（x2，y2）在该二次函数的图象上，
化简得x1+x2=4。
（3）设x1=m，则
∵x1+x2=4，∴x2=4-m，
∴OQ所在直线解析式为y=mx，M点的纵坐标是m2。
∴当m=1时，BC取最大值6。
根据抛物线的对称性且BC∥x轴，∴B，C两点的横坐标为-1和5。
将x=-1代入得y=-5，
∴t=-5。
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象上点的坐标特征；利用一般式求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出二次函数的解析式即可；
（2）把点P，Q的坐标代入解析式得到，，然后代入等式化简即可；
（3）设，则，即可得到，，求出直线的解析式，即可求出，进而得到，即时，有最大值为6，根据对称性求出点B的横坐标，代入解析式求出点B的纵坐标即可．
15．设二次函数
（1）若该函数的对称轴为直线x =2.求该函数的顶点坐标；
（2）判断该函数是否存在最大值11，若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由；
（3）已知点P(8，1-3a)， M(m，y1)和N(n，y2)在函数图象上，当2≤n≤5时，都有 求m 的取值范围.
【答案】（1）解：二次函数的对称轴为直线，
，
解得：，
，
该函数的顶点坐标为；
（2）解：，
若该函数存在最大值11，
则，整理得，
，
解得：，，
即该函数存在最大值11，此时的值为或；
（3）解：点在函数图象上，
，
解得：，
，
函数图象开口向下，对称轴为直线，
，且，
和在函数图象上，且当时，都有，
或．
【知识点】公式法解一元二次方程；二次函数的最值；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【分析】
（1）根据抛物线对称轴求出的值，得到抛物线的解析式，然后化为顶点式，即可得到顶点坐标即可；
（2）把解析式化为顶点式，即可得到该函数有最大值，利用公式法求出x的值解答即可；
（3）将点代入函数解析式求出a的值，即可得到函数图象开口向下，对称轴为直线，然后根据离对称轴远的点的函数值大解答即可．
16．已知二次函数，m为实数．
（1）若，求该函数图象的对称轴．
（2）当时，函数y的最大值与最小值之差为8，求m的值．
（3）若点，，且，，试比较与大小．
【答案】（1）解：当时，二次函数的解析式为，
故此时二次函数的对称轴为直线
（2）解：∵，
∴二次函数的对称轴为直线，且二次函数的开口向上，
∵，
∴，
∴，
∴，
故在上，随着的增大而增大，
故当时，取得最小值为，
当时，取得最大值为，
∵函数y的最大值与最小值之差为8，
∴，
解得：（不符合题意舍去），；
故m的值为
（3）解：由（2）可得二次函数对称轴为直线，且二次函数的开口向上，
∵点，，且，，
∴、两点的中点坐标的横坐标为：，
当，即时，、两点关于对称轴对称，此时，
当，即时，点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，此时，
当，即时，点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离，此时，
综上所述，当时，；当时，；当时，
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【分析】本题以二次函数为背景，综合考查了二次函数的对称轴、开口方向、在给定区间上的最值问题、以及利用中点坐标与对称轴的位置关系比较函数值大小，涉及分类讨论思想。
（1）将m=1代入解析式化简为y=x2-4x+3，利用对称轴公式x=求得对称轴为直线x=2。
（2）先将解析式化为一般式y=x2-(2m+2)x+m2+2m，对称轴为x=m+1，开口向上。由自变量范围m+2 x 3得m1，此时对称轴x=m+1 m+2，因此在区间上函数随x增大而增大。最小值在x=m+2处，值为0；最大值在x=3处，值为m2-4m+3。由最大值与最小值之差为8得方程m2-4m+3-0=8，解得m=5（舍去，不满足m 1）或m=-1，故m=-1。
（3）由中点坐标公式得A、B两点横坐标的中点为2m-3，对称轴为x=m+1。开口向上时，离对称轴越远的点函数值越大。比较中点与对称轴的位置：若中点等于对称轴（2m-3=m+1即m=4），则两点关于对称轴对称，；若中点小于对称轴（m<4），则点A到对称轴的距离大于点B，故；若中点大于对称轴（m>4），则点A到对称轴的距离小于点B，故。注意由可确定A在左、B在右，从而正确判断距离大小。
（1）解：当时，二次函数的解析式为，
故此时二次函数的对称轴为直线；
（2）解：∵，
∴二次函数的对称轴为直线，且二次函数的开口向上，
∵，
∴，
∴，
∴，
故在上，随着的增大而增大，
故当时，取得最小值为，
当时，取得最大值为，
∵函数y的最大值与最小值之差为8，
∴，
解得：（不符合题意舍去），；
故m的值为；
（3）解：由（2）可得二次函数对称轴为直线，且二次函数的开口向上，
∵点，，且，，
∴、两点的中点坐标的横坐标为：，
当，即时，、两点关于对称轴对称，此时，
当，即时，点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，此时，
当，即时，点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离，此时，
综上所述，当时，；当时，；当时，．
17．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点．
（1）抛物线经过的定点的坐标为　 　
（2）当点A（3，0）在这个函数图象时，
①求抛物线的函数关系式；
②抛物线上有一点P，连结AP、BP，若△ABP的面积为1时，求点P的坐标；
③当m≤x≤m+2时，函数的最小值是4，求m的值．
【答案】（1）（0，3），（4，3）
（2）解：①将点A（3，0）代入
可得9a-12a+3=0，
解得a=1，
②令y=0，
则
解得x=1或x=3，
∴A（3，0），B（1，0），
∴AB=2，
设
解得或或t=2，
或或（2，-1）；
③
∴抛物线的对称轴为直线x=2，
当m+2≤2即m≤0时，x=m+2时，y有最大值
∵函数的最小值是4，
解得或（舍去）；
当m≥2时，x=m，y有最小值
∵函数的最小值是4，
解得或（舍去），
当m≤2≤m+1时，即1≤m≤2，
当x=2时，y有最小值-1，
∵函数的最小值是4，
∴此情况不存在，
综上所述：m的值为或
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征；利用一般式求二次函数解析式；二次函数-面积问题
【解析】【解答】（1）解：，
当时，解得或，
∴抛物线经过定点，，
故答案为：，；
【分析】（1）把原式化为，根据不含项的系数为0得到，求出顶点的坐标即可；
（2）①将点代入解析式求出a的值解答即可；
②令y=0，求出抛物线与x轴的交点A、B的坐标，设，根据三角形的面积公式列式求出t的值解答即可；
③得到抛物线的对称轴为直线x=1，分为或m≤2≤m+1两种情况，根据二次函数的增减性得到最小值，列方程求出m的值即可．
18．已知二次函数（c为常数）。
（1）求该二次函数图象的对称轴。
（2）过点（0，4）且与x轴平行的直线交二次函数的图象于点A，B，AB>2。
①求c的取值范围；
②若AB=4，且当t≤x≤t+2时，二次函数的最小值为2，求t的值。
【答案】（1）解：∵，
∴对称轴为直线
（2）解：①如图1，当AB=2时，
二次函数的图象经过点（0，4），由此可得c=4，
所以要使得AB>2，只需满足c>4。
②如图2，由AB=4，且二次函数图象的对称轴为直线x=1，得点（-1，4）在二次函数的图象上，
所以解得c=7。
所以
（Ⅰ）当t<0时，|1-t|>|t+2-1|，
所以当x=t时，二次函数的最小值为2，
所以解得（舍去）或
（Ⅱ）当t≥0时，|1-t|≤|t+2-1|，
所以当x=t+2时，二次函数的最小值为2，
所以解得或（舍去）。
所以t的值为1-或-1+.
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质；利用一般式求二次函数解析式；分类讨论
【解析】【分析】（1）直接根据对称轴公式计算即可；
（2）①根据求出的值，然后得到c的取值范围；
②根据对称轴和AB的值得到点在二次函数的图象上，代入求出c的值，然后分和两种情况，根据二次函数的增减性得到最小值，列方程求出t的值解答即可.
19．某品牌头盔4月份销量是150个，6月份销量是216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同.
（1）求该品牌头盔销售量的月增长率；
（2）此种头盔的进价为30元/个，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少5个，为使月销售达到最大利润，则该头盔的实际售价应定为多少元/个
【答案】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x，4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同.
由题意，得：
解得： x=0.2=20%或x=-2.2 (舍去)；
答：该品牌头盔销售量的月增长率为20%；
（2）解：设该品牌头盔的实际售价应定为m元/个，利润为w.
则
∵-5<0.
∴当m=95时，月销售利润最大；
故：为使月销售利润最大，该品牌头盔的实际售价应定为95元/个.
【知识点】二次函数的最值；一元二次方程的实际应用-百分率问题；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同.即可得出方程解方程并取适合题意的值即可；
（2）设该品牌头盔的实际售价应定为m元/个，利润为w，根据利润=（售价-进价）×销量，即可得出，进一步转化成二次函数的顶点式，根据二次函数的最值，即可解答。
20．材料一：某种旅游纪念品的进价为每件15元，销售单价不低于20元.
材料二：当销售单价定为20元时，每天可以销售100件，市场调查反映，销售单价每提高1元，日销量将会减少10件.
材料三：物价部门规定销售单价不能超过28元，且为正整数.商店按规定适当涨价销售.
（1）任务一：建立函数模型
设该纪念品的销售单价为x（单位：元），日销量为y（单位：件），日销售利润为W（单位：元），分别写出y与x，W与x的函数解析式，并写出x的取值范围；
（2）任务二：设计销售方案
若日销售利润为540元，销售单价应定为多少元？
（3）销售单价定为多少元时，销售该纪念品所获日销售利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）解：由材料二可得，当销售单价为元时，每天可以销售件，销售单价每提高元，日销量减少件，
日销量，
由材料一可得，销售单价不低于元，
由材料三可得，销售单价不能超过元，且为正整数．
的取值范围为，且为正整数．
日销售利润，
关于的函数解析式为（，且为正整数），关于的函数解析式为（，且为正整数）；
（2）解：由题意得，当时，即，
整理得，即，
解得，，
，
销售单价应定为元或元，
答：销售单价应定为元或元；
（3）解：，
且为正整数，
当或时，最大，
当时，（元），
当时，（元），
最大利润为元，
答：销售单价定为元或元时，销售该纪念品所获日销售利润最大，最大利润是元．
【知识点】二次函数的最值；二次函数的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据“销售单价为元时，每天可以销售件，销售单价每提高元，日销量减少件”列出关于的函数解析式，根据单利润×销售量=总利润列出W关于x的函数解析式；
（2）令，解一元二次方程求出x的值解答即可；
（3）配方得到顶点式，然后根据二次函数的性质求出最大值解答即可．
21．研究背景：某校数学兴趣小组到蔬菜基地了解某种有机蔬菜的销售情况，并利用所学的数学知识对基地的蔬菜销售提出合理化建议．
材料一：某种蔬菜的种植成本为每千克10元，经过市场调查发现，该蔬菜的日销售量y（千克）与销售单价x（元）是一次函数关系；
材料二：该种蔬菜销售单价为12元时，日销售量为1800千克；销售单价为15元时，日销售量为1500千克．
（1）任务一：建立函数模型
求y与x的函数表达式及自变量的取值范围；
（2）任务二：设计销售方案
设该种蔬菜的日销售利润为w（元），市场监督管理部门规定，除去每日其他正常开支总计1000元外，该蔬菜销售单价不得超过每千克18元，请求出最大日销售利润．
【答案】（1）解：设y与x的函数表达式为，
将点代入，
可得，
解得，
∴y与x的函数表达式为，
∵销售单价不低于成本价，
∴，
又∵，
∴，
∴自变量的取值范围为；
（2）解：根据题意，可得
，
∵，
∴该函数图象开口向下，且对称轴为，
又∵该蔬菜销售单价不得超过每千克18元，
∴当时，日销售利润取最大值，
此时（元），
答：最大日销售利润为8600元．
【知识点】函数自变量的取值范围；二次函数的最值；二次函数的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】
（1）利用待定系数法求一次函数的解析式，根据题意得到x的取值范围即可；
（2））利用单利润×销售量=总利润得到w关于x的函数关系式，化为顶点式可得，根据二次函数的增减性得到最值解答即可．
22．某连锁超市销售一种进价为40元/千克的水果，销售时该水果销售单价不低于进价且不高于 70元，经过市场调研发现，日销量y(千克)与售价x(元)满足如图所示的一次函数关系.
（1）根据上述信息，直接写出y与x之间的函数关系式(不需要写出x的范围)；
（2）超市要想获得每天1600元的销售利润，售价应定为多少元
（3）当销售单价为多少元时，每天获利最大 最大利润是多少元
【答案】（1）解：y与x之间的函数关系式 为：y=-4x+360；
（2）解：根据题意，的：（x-40）（-4x+360）=1600，
解方程，可得：x1=50，x2=80，
因为 该水果销售单价不低于进价且不高于 70元，
所以x=50，
答： 超市要想获得每天1600元的销售利润，售价应定为50元。
（3）解：设获得利润为w元，根据题意，得：
w=（x-40）（-4x+360）=-4（x-65）2+2500，
因为二次项系数-4小于0，所以该函数图象开口向下，在顶点处取最大值，
又因为65大于40小于70，符合 水果销售单价不低于进价且不高于 70元，
所以当x=65时，w有最大值，最大值为2500元。
答：当销售单价为65元时，每天获利最大，最大利润是2500元。
【知识点】二次函数的最值；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：（1）设 y与x之间的函数关系式 为y=kx+b，根据直线经过点（50，160）和点（60，120），可得：
，解得：，
所以y与x之间的函数关系式 为：y=-4x+360；
【分析】（1）利用待定系数法即可得出y与x之间的函数关系式 为：y=-4x+360；
（2）根据（售价-进价）销量=利润，即可得出方程（x-40）（-4x+360）=1600，解方程求解，取符合题意的值即可；
（3）设获得利润为w元，根据（售价-进价）销量=利润，即可得出函数关系式为w=（x-40）（-4x+360）=-4（x-65）2+2500，进而根据函数最大值即可得出答案。
23．已知抛物线（t为常数）.
（1）求该抛物线的对称轴.
（2）若抛物线与y轴交于点（0，-16）.
①求t的值.
②设t-5≤m≤t≤n，抛物线的一段夹在两条均与x轴平行的直线l1，l2之间.若直线l1，l2之间的距离为d（d为常数）时，n-m的最大值为6，求d的值.
【答案】（1）因为（t为常数）
所以对称轴为：直线x=2.
（2）①把（0，-16）代入得，
解得：t=2或8.
②由①得：t=2或8，
顶点为（2，-18），
当t=2时，-3≤m≤2≤n，
因为抛物线的一段夹在两条均与x轴平行的直线l1，l2之间，且m≤2≤n，
所以下方的平行线不能在顶点（2，-18）上方，
因为直线l1，l2之间的距离为d（d为常数）时，n-m的最大值为6，
所以下方的直线l1经过顶点（2，-18），此时l2与抛物线两交点的横坐标分别为m和n，所以m=-1，n=5，两交点为（-1，-13.5），（5，-13.5），此时，l2与直线y=-13.5，所以d=-13.5-（-18）=4.5；
当t=8时，3≤m≤8≤n，
因为抛物线的一段夹在两条均与x轴平行的直线l1，l2之间，且3≤m≤n，
所以下方的平行线在顶点（2，-18）上方，
因为直线l1，l2之间的距离为d（d为常数）时，n-m的最大值为6，
所以直线l1，l2与对称轴右侧的抛物线交点横坐标分别为m，n且要尽可能靠近对称轴，
所以m=3，n=9，即：直线l1，l2与对称轴右侧的抛物线交点分别为（3，-17.5），（9，6.5），所以d=6.5-（-17.5）=24.
综上所述，d=4.5或24.
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；分类讨论
【解析】【分析】（1）先把抛物线解析式化为顶点式，即可得到抛物线的对称轴解答；
（2）①直接将代入抛物线解析式，得到关于t的方程解答即可；
②分和8两种情况，根据二次函数的性质得到最大值和最小值，然后根据n-m的 的最大值为6列方程求出d的值解答即可．
24．如图，二次函数的图象与x轴交于两点，与y轴交于点C，作直线为二次函数图象上两点．
（1）求二次函数的解析式；
（2）试判断是否存在实数使得．若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
（3）已知P是线段BC上方抛物线上一点，过点P作轴于点H，与线段交于点求的最大值．
【答案】（1）解：∵二次函数的图象与x轴交于两点，
∴，
解得，
∴二次函数的解析式为
（2）解：不存在实数m使得，理由如下：
为二次函数图象上两点，
，
．
．
配方，得．
∴当时，有最大值为．
，
∴不存在实数m使得
（3）解：作轴于点，则，
∵对于二次函数，
∴令，则，
点C的坐标为，
设直线对应函数的解析式为，
由题意，得，
解得，
直线对应函数的解析式为；
∵，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
设点P的坐标为，则点D的坐标为，
∴，，
∴
，
∵，
∴当时，的最大值为．
【知识点】二次函数的最值；等腰直角三角形；二次函数图象上点的坐标特征；一次函数图象上点的坐标特征；利用一般式求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求二次函数的解析式即可；
（2）把、两点坐标代入得到函数值、，进而得出的函数解析式，再通过配方为顶点式，得到最大值解答即可；
（3）利用待定系数法求出直线的函数解析式，作轴于点，则，根据等腰直角三角形得到，设点P的坐标为，用点D的坐标为，则含的函数解析式表示出，根据二次函数的额顶点式的到最值解答即可．
25．如图1，反比例函数的图象经过点，射线与反比例函数的图象交于另一点，射线与y轴交于点C，，轴于点D．
（1）填空：
①k的值为__________．
②_________；直线的函数解析式为__________．
（2）如图2，M是线段上方反比例函数图象上一动点，过点M作直线轴，与交于点N，连接．求面积的最大值．
【答案】（1）①；
②；
（2）解：设，则，
则，
∴，
∵，，
∴当时，的面积有最大值，最大值为．
【知识点】二次函数的最值；等腰三角形的判定与性质；解直角三角形；反比例函数-动态几何问题
【解析】【解答】（1）①解：∵反比例函数的图象经过点，
，
．
故答案为：．
②∵，所以反比例函数解析式为，
∵点在反比例函数的图象上，
，
，
过作于，
则．
，
又，
，
，
，
，
，
设直线的解析式为，
∴，解得，
∴直线的解析式为．
故答案为：；．
【分析】（1）根据待定系数法即可求出反比例函数的解析式；
②根据反比例函数图象上的点结合题意得到点B的坐标，过作于，进而即可得到、间的长度关系，再根据角的运算结合题意等量代换得到，从而根据正切函数的定义结合特殊角的三角函数值得到的值，进而根据得到点的坐标再运用待定系数法即可求出一次函数的解析式；
（2）设，则，
则，进而根据三角形的面积几何二次函数的最值即可求解。
（1）①解：∵反比例函数的图象经过点，
，
．
故答案为：．
②解：∵，所以反比例函数解析式为，
∵点在反比例函数的图象上，
，
，
过作于，
则．
，
又，
，
，
，
，
，
设直线的解析式为，
∴，解得，
∴直线的解析式为．
故答案为：；．
（2）解：设，
则，
则，
∴，
∵，，
∴当时，的面积有最大值，最大值为．
1 / 1最值问题（运动路径与函数）—2026浙江中考数学高阶能力拓展专题
一、运动路径最值问题
1．如图是一个台阶示意图，每一层台阶的高都是，宽都是，一只蚂蚁沿台阶从点A出发到点B，其爬行的最短线路的长度是（　　）
A． B． C． D．
2．如图，这是一个供滑板爱好者使用的U型池的示意图，该U型池可以看成是长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是直径为米的半圆，其边缘米，点E在上，米，一滑板爱好者从A点滑到E点，则他滑行的最短距离为（　　）
A．18米 B．20米 C．22米 D．24米
3．如图，圆柱形容器的底面周长是，高是，在外侧地面S处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口内侧距开口处的点F处有一苍蝇，急于捕捉苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路线长度是（　　）．
A．18 B．20 C．22 D．24
4．如图，一只蚂蚁从长、宽都是3cm，高是8cm的长方体纸盒的A点沿纸盒面爬到B点，那么它所行的最短路线的长是(　　)
A．(3+8)cm B．10cm C．14cm D．无法确定
5．如图，长方体的长为，宽为，高为，点离点为，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点去吃一滴蜜糖，需要爬行的最短距离是（　　）
A． B． C． D．
6．如图，已知圆柱底面的周长为，圆柱的高为，在圆柱的侧面上，过点和点嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为（　　）
A． B． C． D．
7． 如图，桌上有一个圆柱形无盖玻璃杯，高6厘米，底面周长为 16厘米，在杯口内壁离杯口1.5厘米的A处有一滴蜜糖，在玻璃杯的外壁与A相对的点 P 处有一只小虫，小虫离杯底的距离为1.5厘米，则小虫爬到蜜糖 A 处的最短路程是(　　)
A．厘米 B．10厘米 C．8厘米 D．8厘米
二、函数中最值问题
8．抛物线当-1≤x≤2时，y的最大值与最小值的差为7，则a的值为（　　）
A．1 B． C．或 D．或
9．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，P为抛物线上一点，其横坐标为，C为抛物线对称轴上一动点，连接，，当取得最小值时，的值为（　　）
A． B． C． D．
10．如图，点A（a，1）、B（﹣1，b）都在双曲线y＝﹣上，点P、Q分别是x轴、y轴上的动点，当四边形PABQ的周长取最小值时，PQ所在直线的解析式是（　　）
A．y＝x B．y＝x+1 C．y＝x+2 D．y＝x+3
11．某校物理兴趣小组举办“水火箭”发射距离比赛，如图是甲组的水火箭实物图.王老师用频闪照相机记录并测量甲组的水火箭的飞行水平距离 x米和飞行高度y米的数据，记录数据如下表：
照相机频闪时间t/s 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 ……
水平距离 x/米 0 5 10 15 20 25 30 ……
飞行高度 y/米 0 4.5 8 10.5 12 12.5 12 ……
（1）根据表格中的数据描点，连线，发现y与x近似地满足二次函数关系，请写出y与x之间的函数表达式；
（2）根据表格数据，可知水平距离x与时间t满足关系式 x=10t.根据比赛规定，在水平距离相同的情况下，飞行高度不低于8米的持续时间越长成绩越好.求甲组水火箭飞行高度不低于8米的持续时间；
（3）乙组的水火箭与甲组的水火箭同时从同一高度发射，已知乙组水火箭的飞行高度y(米)与水平距离x(米)满足函数关系 当水平距离为多少米时，两组水火箭的高度差最大 最大高度差是多少
12． 已知抛物线 的对称轴是直线.x=-1.
（1）求b的值.
（2）若点M (x，y)是抛物线上的动点.
① 当 时，求 y的取值范围.
② 当 时，x的最大值与最小值的差为4，求x的取值范围.
13．已知抛物线经过点A（1，0），B（-1，8）.
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）若点C（-3，y1），D（m，y）在该抛物线上，且y1>y2，求m的取值范围；
（3）将此抛物线向左平移n（n>0）个单位，设平移后抛物线与y轴的交点为E（0，e），若e的最大值和最小值分别为e1，e2，且（求n的值.
14．已知二次函数的图象经过点（4，0）和（1，3），点P（x1，y），Q（x2，y1）是该二次函数图象上的两个动点，满足且
（1）求该二次函数的表达式；
（2）求x1+x2的值；
（3）已知一条平行于y轴的直线过点P交OQ于点M，一条平行于x轴的直线过点A（0，t）交函数图象于B，C两点，且BC=3PM，求BC的最大值及此时对应的t值。
15．设二次函数
（1）若该函数的对称轴为直线x =2.求该函数的顶点坐标；
（2）判断该函数是否存在最大值11，若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由；
（3）已知点P(8，1-3a)， M(m，y1)和N(n，y2)在函数图象上，当2≤n≤5时，都有 求m 的取值范围.
16．已知二次函数，m为实数．
（1）若，求该函数图象的对称轴．
（2）当时，函数y的最大值与最小值之差为8，求m的值．
（3）若点，，且，，试比较与大小．
17．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点．
（1）抛物线经过的定点的坐标为　 　
（2）当点A（3，0）在这个函数图象时，
①求抛物线的函数关系式；
②抛物线上有一点P，连结AP、BP，若△ABP的面积为1时，求点P的坐标；
③当m≤x≤m+2时，函数的最小值是4，求m的值．
18．已知二次函数（c为常数）。
（1）求该二次函数图象的对称轴。
（2）过点（0，4）且与x轴平行的直线交二次函数的图象于点A，B，AB>2。
①求c的取值范围；
②若AB=4，且当t≤x≤t+2时，二次函数的最小值为2，求t的值。
19．某品牌头盔4月份销量是150个，6月份销量是216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同.
（1）求该品牌头盔销售量的月增长率；
（2）此种头盔的进价为30元/个，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少5个，为使月销售达到最大利润，则该头盔的实际售价应定为多少元/个
20．材料一：某种旅游纪念品的进价为每件15元，销售单价不低于20元.
材料二：当销售单价定为20元时，每天可以销售100件，市场调查反映，销售单价每提高1元，日销量将会减少10件.
材料三：物价部门规定销售单价不能超过28元，且为正整数.商店按规定适当涨价销售.
（1）任务一：建立函数模型
设该纪念品的销售单价为x（单位：元），日销量为y（单位：件），日销售利润为W（单位：元），分别写出y与x，W与x的函数解析式，并写出x的取值范围；
（2）任务二：设计销售方案
若日销售利润为540元，销售单价应定为多少元？
（3）销售单价定为多少元时，销售该纪念品所获日销售利润最大？最大利润是多少？
21．研究背景：某校数学兴趣小组到蔬菜基地了解某种有机蔬菜的销售情况，并利用所学的数学知识对基地的蔬菜销售提出合理化建议．
材料一：某种蔬菜的种植成本为每千克10元，经过市场调查发现，该蔬菜的日销售量y（千克）与销售单价x（元）是一次函数关系；
材料二：该种蔬菜销售单价为12元时，日销售量为1800千克；销售单价为15元时，日销售量为1500千克．
（1）任务一：建立函数模型
求y与x的函数表达式及自变量的取值范围；
（2）任务二：设计销售方案
设该种蔬菜的日销售利润为w（元），市场监督管理部门规定，除去每日其他正常开支总计1000元外，该蔬菜销售单价不得超过每千克18元，请求出最大日销售利润．
22．某连锁超市销售一种进价为40元/千克的水果，销售时该水果销售单价不低于进价且不高于 70元，经过市场调研发现，日销量y(千克)与售价x(元)满足如图所示的一次函数关系.
（1）根据上述信息，直接写出y与x之间的函数关系式(不需要写出x的范围)；
（2）超市要想获得每天1600元的销售利润，售价应定为多少元
（3）当销售单价为多少元时，每天获利最大 最大利润是多少元
23．已知抛物线（t为常数）.
（1）求该抛物线的对称轴.
（2）若抛物线与y轴交于点（0，-16）.
①求t的值.
②设t-5≤m≤t≤n，抛物线的一段夹在两条均与x轴平行的直线l1，l2之间.若直线l1，l2之间的距离为d（d为常数）时，n-m的最大值为6，求d的值.
24．如图，二次函数的图象与x轴交于两点，与y轴交于点C，作直线为二次函数图象上两点．
（1）求二次函数的解析式；
（2）试判断是否存在实数使得．若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
（3）已知P是线段BC上方抛物线上一点，过点P作轴于点H，与线段交于点求的最大值．
25．如图1，反比例函数的图象经过点，射线与反比例函数的图象交于另一点，射线与y轴交于点C，，轴于点D．
（1）填空：
①k的值为__________．
②_________；直线的函数解析式为__________．
（2）如图2，M是线段上方反比例函数图象上一动点，过点M作直线轴，与交于点N，连接．求面积的最大值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】两点之间线段最短；勾股定理的实际应用-最短路径问题
2．【答案】B
【知识点】两点之间线段最短；勾股定理的实际应用-最短路径问题
【解析】【解答】解：如图是其侧面展开图：
（米），（米），（米），
在中，，
∴，
解得（负值舍去），
故他滑行的最短距离约为（米）．
故答案为：B．
【分析】由示意图可知型池的侧面展开图是一个长方形，长方形的宽等于半径为的半圆的弧长，长方形的长为，， 在中 ，再根据勾股定理解得AE=20，滑行的最短距离为20米。
3．【答案】B
【知识点】两点之间线段最短；勾股定理的实际应用-最短路径问题；求算术平方根
【解析】【解答】解：如图，设点D为圆柱形容器上口上的一点，作点F关于点D的对称点，连接，，
根据轴对称可知，，
∴，
∵两点之间线段最短，
∴当S、E、在同一直线上时，蜘蛛所走的路程最小，
即为蜘蛛所走最短路径，
由题意得：，，，
∴，
∴．
故答案为：B．
【分析】设点D为圆柱形容器上口上的一点，作点F关于点D的对称点，连接，，根据轴对称可知，，则，当S、E、在同一直线上时，蜘蛛所走的路程最小，根据边之间的关系可得SA，再根据勾股定理即可求出答案.
4．【答案】B
【知识点】几何体的展开图；两点之间线段最短；勾股定理的实际应用-最短路径问题
【解析】【解答】如图(1)所示：
如图(2)所示：
由于
所以最短路径为10.
故答案为：B.
【分析】根据不同的展开方式，根据勾股定理分别求得AB的长，并比较大小，即可得出答案。
5．【答案】D
【知识点】两点之间线段最短；勾股定理的实际应用-最短路径问题；分类讨论
【解析】【解答】解：把上面展开到左侧面上，连接，如图1，
；
把上面展开到正面上，连接，如图2，
；
把侧面展开到正面上，连接，如图3，
．
∵．
∴一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离为．
故答案为：D．
【分析】由题意可分三种情况讨论：①把上面展开到左侧面上，连接，如图1；②把上面展开到正面上，连接，如图2；③把侧面展开到正面上，连接，如图3，然后用勾股定理分别计算各情况下的，再比较大小即可求解．
6．【答案】A
【知识点】两点之间线段最短；勾股定理；勾股定理的实际应用-最短路径问题
【解析】【解答】解：如图，
把圆柱的侧面展开，得到矩形，则这圈金属丝的周长最小为的长度.
圆柱底面的周长为，圆柱高为，
，，
，
，
这圈金属丝的周长最小为，
故答案为：A.
【分析】把圆柱的侧面展开，得到矩形，则这圈金属丝的周长最小为的长度，根据圆柱底面的周长为，圆柱高为，根据勾股定理即可得，进一步得这圈金属丝的周长最小值.
7．【答案】B
【知识点】两点之间线段最短；勾股定理的实际应用-最短路径问题；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，最短距离为PA'的长度，将圆柱展开，
由题意可知PE=8cm，
∴
最短路程为PA'=10cm.
故选：B．
【分析】将图形展开，根据“两点之间线段最短”得到最短距离为PA'的长度 ，利用勾股定理进行计算即可.
8．【答案】D
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的性质；分类讨论
【解析】【解答】解：若，
∵，
∴抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为，
∴y的最小值为，
∵，，，
∴当时，y取得最大值，最大值为，
∵y的最大值与最小值的差为7，
∴，
解得；
若，
∵，
∴抛物线开口向下，对称轴为，顶点坐标为，
∴y的最大值为，
∵，，，
∴当时，y取得最小值，最小值为，
∵y的最大值与最小值的差为7，
∴，
解得；
综上，a的值为或．
故答案为：D.
【分析】分和两种情况讨论，得到抛物线的对称轴为直线x=1，根据抛物线的增减性求出y的最大值与最小值，根据题意列方程解答即可．
9．【答案】A
【知识点】二次函数的最值；轴对称的应用-最短距离问题；求正切值
【解析】【解答】解：已知抛物线，P横坐标为
当时，则有
由可知：对称轴为直线
当时，则有
解得：
连接PB，PC，如图所示：
由轴对称可知：
所以
当P、B、C三点共线时，取得最小值
设直线PB的解析式为，则有
，解得：
故解析式为
当时，则有
所以，即
又
所以
故选：A．
【分析】本题聚焦二次函数，轴对称性质与三角函数的综合运用，熟练掌握三角函数，二次函数的图象与性质，轴对称的性质及一次函数的图象与性质是解题的关键，解题思路分三步
定位关键点：先利用二次函数解析式，求出P点坐标，抛物线与x轴交点A，B坐标及对称轴，这是后续分析的基石.转化最值问题：借助抛物线对称轴的轴对称性，将AC转化为BC，把PC+AC的最小值转化为PC+BC的最小值，再依据两点之间线段最短，确定P，B，C共线时，PC+AC取得最小值.计算三角函数值：求出C点坐标后，构造含的直角三角形，通过直角边的长度比，结合正切函数定义算出.
10．【答案】C
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征；轴对称的应用-最短距离问题；反比例函数图象上点的坐标特征；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【解答】解：分别把点A（a，1）、B（﹣1，b）代入双曲线y=﹣得a=﹣3，b=3，
则点A的坐标为（﹣3，1）、B点坐标为（﹣1，3），
作A点关于x轴的对称点C，B点关于y轴的对称点D，
所以C点坐标为（﹣3，﹣1），D点坐标为（1，3），
连结CD分别交x轴、y轴于P点、Q点，此时四边形PABQ的周长最小，
设直线CD的解析式为y=kx+b，
把C（﹣3，﹣1），D（1，3）分别代入得，
解得，
所以直线CD的解析式为y=x+2．
故选C．
【分析】先求出点A、B的坐标，再作A点关于x轴的对称点C，B点关于y轴的对称点D，即可得到点C、D的坐标，CD分别交x轴、y轴于P点、Q点，根据两点之间线段最短即可得到四边形PABQ的周长最小，运用待定系数法求出PQ的解析式即可．
11．【答案】（1）解：设
将 (0，0)、(10，8)、(20，12) 代入， 得
（2）解：令
∴x1=10，x2=40
将 x1=10， x2=40 代入得 x=10t，
得 t1=1， t2=4
∴持续时间 4-1=3 秒
（3）解：设高度差为 h
∴当水平距离为20米时，最大高度差为4米
【知识点】二次函数的最值；二次函数的实际应用-抛球问题；利用一般式求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求二次函数的解析式即可；
（2）令，则有，求出x的值，然后代入x=10t，得到时间t的值，求差解答即可；
（3）设高度差为h，得到h关于x的二次函数，配方得到顶点式，即可求出对大值解答即可．
12．【答案】（1）解：∵抛物线的对称轴是直线，
∴，得.
（2）解：①由题意知，抛物线的开口向上，
，则顶点坐标为(-1，-4)，
又因为-2≤-1≤3，所以当x=-1时， y取到最小值为-4，
当x=-2时， y=-3；
当x=3时， y=12，
所以y的取值范围是-4≤y≤12.
②如图1，由抛物线开口向上可知，当y=p+3时，x分别取到最大值与最小值，
由对称性可知，此时对应的两个点关于对称轴对称.
设x的最大值为x1，最小值为x2，则有：
又有 可得
此时 ，即p+3=0，得p=-3，
由方程 解得x3=0， x4=-2.
由图2得x的取值范围为-3≤x≤-2或0≤x≤1.
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【分析】（1）由抛物线对称轴公式求出b的值即可；
（2）①将解析式化为顶点式得到顶点坐标，然后根据二次函数的增减性求出y的取值范围即可；
②由抛物线开口向上且对称轴为，当时取到最大值与最小值，根据抛物线的对称性得，再根据求出，，即可求出的值，再求时对应的值，借助图象得到x的取值范围即可．
13．【答案】（1）解：∵抛物线经过点，，
∴，
解得，
∴该抛物线的函数表达式为；

（2）解：先将抛物线解析式化为顶点式：，
抛物线开口向上，对称轴为，
点到对称轴的距离为，
点到对称轴的距离为，
因为，
所以，即：，
解得；
（3）解：抛物线向左平移n个单位后，解析式为：，
当时，与y轴交点E的纵坐标：，
这是一个关于n的二次函数，开口向上，对称轴为，
当时，e取最小值，
题目中，则，
令，即，
解得：，
因为，所以．

【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；二次函数与一元二次方程的综合应用；利用一般式求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出一次函数的解析式即可；
（2）配方得到顶点式，即可得到对称轴为直线x=2，然后根据离对称轴远的点的函数值大得到，求出m的取值范围解答即可；
（3）得到平移后的解析式，进而得到与y轴交点的纵坐标，根据二次函数的最值可得最小值为-1，然后求出最大值为5，令e=5，解方程组求出n的值解答即可．
14．【答案】（1）解：把（4，0）和（1，3）代入得解得
∴该二次函数的表达式为
（2）∵点P（x1，y1），Q（x2，y2）在该二次函数的图象上，
化简得x1+x2=4。
（3）设x1=m，则
∵x1+x2=4，∴x2=4-m，
∴OQ所在直线解析式为y=mx，M点的纵坐标是m2。
∴当m=1时，BC取最大值6。
根据抛物线的对称性且BC∥x轴，∴B，C两点的横坐标为-1和5。
将x=-1代入得y=-5，
∴t=-5。
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象上点的坐标特征；利用一般式求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出二次函数的解析式即可；
（2）把点P，Q的坐标代入解析式得到，，然后代入等式化简即可；
（3）设，则，即可得到，，求出直线的解析式，即可求出，进而得到，即时，有最大值为6，根据对称性求出点B的横坐标，代入解析式求出点B的纵坐标即可．
15．【答案】（1）解：二次函数的对称轴为直线，
，
解得：，
，
该函数的顶点坐标为；
（2）解：，
若该函数存在最大值11，
则，整理得，
，
解得：，，
即该函数存在最大值11，此时的值为或；
（3）解：点在函数图象上，
，
解得：，
，
函数图象开口向下，对称轴为直线，
，且，
和在函数图象上，且当时，都有，
或．
【知识点】公式法解一元二次方程；二次函数的最值；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【分析】
（1）根据抛物线对称轴求出的值，得到抛物线的解析式，然后化为顶点式，即可得到顶点坐标即可；
（2）把解析式化为顶点式，即可得到该函数有最大值，利用公式法求出x的值解答即可；
（3）将点代入函数解析式求出a的值，即可得到函数图象开口向下，对称轴为直线，然后根据离对称轴远的点的函数值大解答即可．
16．【答案】（1）解：当时，二次函数的解析式为，
故此时二次函数的对称轴为直线
（2）解：∵，
∴二次函数的对称轴为直线，且二次函数的开口向上，
∵，
∴，
∴，
∴，
故在上，随着的增大而增大，
故当时，取得最小值为，
当时，取得最大值为，
∵函数y的最大值与最小值之差为8，
∴，
解得：（不符合题意舍去），；
故m的值为
（3）解：由（2）可得二次函数对称轴为直线，且二次函数的开口向上，
∵点，，且，，
∴、两点的中点坐标的横坐标为：，
当，即时，、两点关于对称轴对称，此时，
当，即时，点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，此时，
当，即时，点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离，此时，
综上所述，当时，；当时，；当时，
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【分析】本题以二次函数为背景，综合考查了二次函数的对称轴、开口方向、在给定区间上的最值问题、以及利用中点坐标与对称轴的位置关系比较函数值大小，涉及分类讨论思想。
（1）将m=1代入解析式化简为y=x2-4x+3，利用对称轴公式x=求得对称轴为直线x=2。
（2）先将解析式化为一般式y=x2-(2m+2)x+m2+2m，对称轴为x=m+1，开口向上。由自变量范围m+2 x 3得m1，此时对称轴x=m+1 m+2，因此在区间上函数随x增大而增大。最小值在x=m+2处，值为0；最大值在x=3处，值为m2-4m+3。由最大值与最小值之差为8得方程m2-4m+3-0=8，解得m=5（舍去，不满足m 1）或m=-1，故m=-1。
（3）由中点坐标公式得A、B两点横坐标的中点为2m-3，对称轴为x=m+1。开口向上时，离对称轴越远的点函数值越大。比较中点与对称轴的位置：若中点等于对称轴（2m-3=m+1即m=4），则两点关于对称轴对称，；若中点小于对称轴（m<4），则点A到对称轴的距离大于点B，故；若中点大于对称轴（m>4），则点A到对称轴的距离小于点B，故。注意由可确定A在左、B在右，从而正确判断距离大小。
（1）解：当时，二次函数的解析式为，
故此时二次函数的对称轴为直线；
（2）解：∵，
∴二次函数的对称轴为直线，且二次函数的开口向上，
∵，
∴，
∴，
∴，
故在上，随着的增大而增大，
故当时，取得最小值为，
当时，取得最大值为，
∵函数y的最大值与最小值之差为8，
∴，
解得：（不符合题意舍去），；
故m的值为；
（3）解：由（2）可得二次函数对称轴为直线，且二次函数的开口向上，
∵点，，且，，
∴、两点的中点坐标的横坐标为：，
当，即时，、两点关于对称轴对称，此时，
当，即时，点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，此时，
当，即时，点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离，此时，
综上所述，当时，；当时，；当时，．
17．【答案】（1）（0，3），（4，3）
（2）解：①将点A（3，0）代入
可得9a-12a+3=0，
解得a=1，
②令y=0，
则
解得x=1或x=3，
∴A（3，0），B（1，0），
∴AB=2，
设
解得或或t=2，
或或（2，-1）；
③
∴抛物线的对称轴为直线x=2，
当m+2≤2即m≤0时，x=m+2时，y有最大值
∵函数的最小值是4，
解得或（舍去）；
当m≥2时，x=m，y有最小值
∵函数的最小值是4，
解得或（舍去），
当m≤2≤m+1时，即1≤m≤2，
当x=2时，y有最小值-1，
∵函数的最小值是4，
∴此情况不存在，
综上所述：m的值为或
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征；利用一般式求二次函数解析式；二次函数-面积问题
【解析】【解答】（1）解：，
当时，解得或，
∴抛物线经过定点，，
故答案为：，；
【分析】（1）把原式化为，根据不含项的系数为0得到，求出顶点的坐标即可；
（2）①将点代入解析式求出a的值解答即可；
②令y=0，求出抛物线与x轴的交点A、B的坐标，设，根据三角形的面积公式列式求出t的值解答即可；
③得到抛物线的对称轴为直线x=1，分为或m≤2≤m+1两种情况，根据二次函数的增减性得到最小值，列方程求出m的值即可．
18．【答案】（1）解：∵，
∴对称轴为直线
（2）解：①如图1，当AB=2时，
二次函数的图象经过点（0，4），由此可得c=4，
所以要使得AB>2，只需满足c>4。
②如图2，由AB=4，且二次函数图象的对称轴为直线x=1，得点（-1，4）在二次函数的图象上，
所以解得c=7。
所以
（Ⅰ）当t<0时，|1-t|>|t+2-1|，
所以当x=t时，二次函数的最小值为2，
所以解得（舍去）或
（Ⅱ）当t≥0时，|1-t|≤|t+2-1|，
所以当x=t+2时，二次函数的最小值为2，
所以解得或（舍去）。
所以t的值为1-或-1+.
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质；利用一般式求二次函数解析式；分类讨论
【解析】【分析】（1）直接根据对称轴公式计算即可；
（2）①根据求出的值，然后得到c的取值范围；
②根据对称轴和AB的值得到点在二次函数的图象上，代入求出c的值，然后分和两种情况，根据二次函数的增减性得到最小值，列方程求出t的值解答即可.
19．【答案】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x，4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同.
由题意，得：
解得： x=0.2=20%或x=-2.2 (舍去)；
答：该品牌头盔销售量的月增长率为20%；
（2）解：设该品牌头盔的实际售价应定为m元/个，利润为w.
则
∵-5<0.
∴当m=95时，月销售利润最大；
故：为使月销售利润最大，该品牌头盔的实际售价应定为95元/个.
【知识点】二次函数的最值；一元二次方程的实际应用-百分率问题；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同.即可得出方程解方程并取适合题意的值即可；
（2）设该品牌头盔的实际售价应定为m元/个，利润为w，根据利润=（售价-进价）×销量，即可得出，进一步转化成二次函数的顶点式，根据二次函数的最值，即可解答。
20．【答案】（1）解：由材料二可得，当销售单价为元时，每天可以销售件，销售单价每提高元，日销量减少件，
日销量，
由材料一可得，销售单价不低于元，
由材料三可得，销售单价不能超过元，且为正整数．
的取值范围为，且为正整数．
日销售利润，
关于的函数解析式为（，且为正整数），关于的函数解析式为（，且为正整数）；
（2）解：由题意得，当时，即，
整理得，即，
解得，，
，
销售单价应定为元或元，
答：销售单价应定为元或元；
（3）解：，
且为正整数，
当或时，最大，
当时，（元），
当时，（元），
最大利润为元，
答：销售单价定为元或元时，销售该纪念品所获日销售利润最大，最大利润是元．
【知识点】二次函数的最值；二次函数的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据“销售单价为元时，每天可以销售件，销售单价每提高元，日销量减少件”列出关于的函数解析式，根据单利润×销售量=总利润列出W关于x的函数解析式；
（2）令，解一元二次方程求出x的值解答即可；
（3）配方得到顶点式，然后根据二次函数的性质求出最大值解答即可．
21．【答案】（1）解：设y与x的函数表达式为，
将点代入，
可得，
解得，
∴y与x的函数表达式为，
∵销售单价不低于成本价，
∴，
又∵，
∴，
∴自变量的取值范围为；
（2）解：根据题意，可得
，
∵，
∴该函数图象开口向下，且对称轴为，
又∵该蔬菜销售单价不得超过每千克18元，
∴当时，日销售利润取最大值，
此时（元），
答：最大日销售利润为8600元．
【知识点】函数自变量的取值范围；二次函数的最值；二次函数的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】
（1）利用待定系数法求一次函数的解析式，根据题意得到x的取值范围即可；
（2））利用单利润×销售量=总利润得到w关于x的函数关系式，化为顶点式可得，根据二次函数的增减性得到最值解答即可．
22．【答案】（1）解：y与x之间的函数关系式 为：y=-4x+360；
（2）解：根据题意，的：（x-40）（-4x+360）=1600，
解方程，可得：x1=50，x2=80，
因为 该水果销售单价不低于进价且不高于 70元，
所以x=50，
答： 超市要想获得每天1600元的销售利润，售价应定为50元。
（3）解：设获得利润为w元，根据题意，得：
w=（x-40）（-4x+360）=-4（x-65）2+2500，
因为二次项系数-4小于0，所以该函数图象开口向下，在顶点处取最大值，
又因为65大于40小于70，符合 水果销售单价不低于进价且不高于 70元，
所以当x=65时，w有最大值，最大值为2500元。
答：当销售单价为65元时，每天获利最大，最大利润是2500元。
【知识点】二次函数的最值；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：（1）设 y与x之间的函数关系式 为y=kx+b，根据直线经过点（50，160）和点（60，120），可得：
，解得：，
所以y与x之间的函数关系式 为：y=-4x+360；
【分析】（1）利用待定系数法即可得出y与x之间的函数关系式 为：y=-4x+360；
（2）根据（售价-进价）销量=利润，即可得出方程（x-40）（-4x+360）=1600，解方程求解，取符合题意的值即可；
（3）设获得利润为w元，根据（售价-进价）销量=利润，即可得出函数关系式为w=（x-40）（-4x+360）=-4（x-65）2+2500，进而根据函数最大值即可得出答案。
23．【答案】（1）因为（t为常数）
所以对称轴为：直线x=2.
（2）①把（0，-16）代入得，
解得：t=2或8.
②由①得：t=2或8，
顶点为（2，-18），
当t=2时，-3≤m≤2≤n，
因为抛物线的一段夹在两条均与x轴平行的直线l1，l2之间，且m≤2≤n，
所以下方的平行线不能在顶点（2，-18）上方，
因为直线l1，l2之间的距离为d（d为常数）时，n-m的最大值为6，
所以下方的直线l1经过顶点（2，-18），此时l2与抛物线两交点的横坐标分别为m和n，所以m=-1，n=5，两交点为（-1，-13.5），（5，-13.5），此时，l2与直线y=-13.5，所以d=-13.5-（-18）=4.5；
当t=8时，3≤m≤8≤n，
因为抛物线的一段夹在两条均与x轴平行的直线l1，l2之间，且3≤m≤n，
所以下方的平行线在顶点（2，-18）上方，
因为直线l1，l2之间的距离为d（d为常数）时，n-m的最大值为6，
所以直线l1，l2与对称轴右侧的抛物线交点横坐标分别为m，n且要尽可能靠近对称轴，
所以m=3，n=9，即：直线l1，l2与对称轴右侧的抛物线交点分别为（3，-17.5），（9，6.5），所以d=6.5-（-17.5）=24.
综上所述，d=4.5或24.
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；分类讨论
【解析】【分析】（1）先把抛物线解析式化为顶点式，即可得到抛物线的对称轴解答；
（2）①直接将代入抛物线解析式，得到关于t的方程解答即可；
②分和8两种情况，根据二次函数的性质得到最大值和最小值，然后根据n-m的 的最大值为6列方程求出d的值解答即可．
24．【答案】（1）解：∵二次函数的图象与x轴交于两点，
∴，
解得，
∴二次函数的解析式为
（2）解：不存在实数m使得，理由如下：
为二次函数图象上两点，
，
．
．
配方，得．
∴当时，有最大值为．
，
∴不存在实数m使得
（3）解：作轴于点，则，
∵对于二次函数，
∴令，则，
点C的坐标为，
设直线对应函数的解析式为，
由题意，得，
解得，
直线对应函数的解析式为；
∵，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
设点P的坐标为，则点D的坐标为，
∴，，
∴
，
∵，
∴当时，的最大值为．
【知识点】二次函数的最值；等腰直角三角形；二次函数图象上点的坐标特征；一次函数图象上点的坐标特征；利用一般式求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求二次函数的解析式即可；
（2）把、两点坐标代入得到函数值、，进而得出的函数解析式，再通过配方为顶点式，得到最大值解答即可；
（3）利用待定系数法求出直线的函数解析式，作轴于点，则，根据等腰直角三角形得到，设点P的坐标为，用点D的坐标为，则含的函数解析式表示出，根据二次函数的额顶点式的到最值解答即可．
25．【答案】（1）①；
②；
（2）解：设，则，
则，
∴，
∵，，
∴当时，的面积有最大值，最大值为．
【知识点】二次函数的最值；等腰三角形的判定与性质；解直角三角形；反比例函数-动态几何问题
【解析】【解答】（1）①解：∵反比例函数的图象经过点，
，
．
故答案为：．
②∵，所以反比例函数解析式为，
∵点在反比例函数的图象上，
，
，
过作于，
则．
，
又，
，
，
，
，
，
设直线的解析式为，
∴，解得，
∴直线的解析式为．
故答案为：；．
【分析】（1）根据待定系数法即可求出反比例函数的解析式；
②根据反比例函数图象上的点结合题意得到点B的坐标，过作于，进而即可得到、间的长度关系，再根据角的运算结合题意等量代换得到，从而根据正切函数的定义结合特殊角的三角函数值得到的值，进而根据得到点的坐标再运用待定系数法即可求出一次函数的解析式；
（2）设，则，
则，进而根据三角形的面积几何二次函数的最值即可求解。
（1）①解：∵反比例函数的图象经过点，
，
．
故答案为：．
②解：∵，所以反比例函数解析式为，
∵点在反比例函数的图象上，
，
，
过作于，
则．
，
又，
，
，
，
，
，
设直线的解析式为，
∴，解得，
∴直线的解析式为．
故答案为：；．
（2）解：设，
则，
则，
∴，
∵，，
∴当时，的面积有最大值，最大值为．
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