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几何动点（数轴、几何动点函数图象、函数图象动点）—2026浙江中考数学高阶能力拓展专题
一、数轴上的动点问题
1．点A从数轴的原点出发，沿数轴先向左(负方向)移动3个单位长度，再向右移动1个单位长度，用算式表示上述过程与结果，正确的是（　　）
A．-3+1=4 B．-3-1=-2 C．-3+1=-2 D．-3-1=-4
【答案】C
【知识点】数轴的点常规运动模型
【解析】【解答】解：由题意得：0-3+1=-2.
故答案为：C.
【分析】根据向右为正方向，向左为负方向，应用“左减右加”的法则，列出算式，再计算即可.
2．如图，通过画边长为1的正方形，就能准确的把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，如此继续，则的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】实数在数轴上的表示；探索数与式的规律；不等式的性质；数轴的动点变速问题；数轴的图形运动问题
【解析】【解答】解：∵，∴，
∴，则表示的数为，
∵，
∴，
表示的数为，
，则表示的数为，
∵，
∴，
同理可得，
……，
以此类推，可知，
∴，
故答案为：D．
【分析】本题主要考查实数运算的规律探索以及数轴的应用。解题时需先计算得出、和的具体数值，通过分析这些计算结果找出其中隐含的规律。熟练掌握实数的运算法则是解答此类问题的关键所在。
3．如图所示，圆的周长为 8个单位长度，在圆周的八等分点处依次标上字母a，a，b，b，c，c，d，d.先让圆周上字母a所对应的点与数轴上的数字 2所对应的点重合，再让圆沿着数轴向左不滑动地滚动，则数轴上的数字-2025所对应的点与圆周上重合的点所对应的字母为 （　　）
A．a B．b C．c D．d
【答案】B
【知识点】探索数与式的规律；数轴上两点之间的距离；带余除法；数轴的图形运动问题
【解析】【解答】解：∵2-（-2025）=2027，2027÷8=253......3，
∴ 数轴上的数字-2025所对应的点与圆周上重合的点所对应的字母为 ：b。
故答案为：B。
【分析】首先计算得出2与-2025之间的距离为2027，进而根据圆的周长为 8个单位长度，通过计算得出2027÷8=253......3，即可得出答案。
4． 一只小虫在数轴上从原点出发，第1次向正方向爬行1个单位后，第2次向负方向爬行2个单位，第3次又向正方向爬行3个单位……按上述规律，它第2025次爬到数轴上的点所对应的数是　 　。
【答案】1013
【知识点】探索数与式的规律；数轴的动点变速问题
【解析】【解答】解：根据题意得：
1-2+3-4+5-6+···+2023-2024+2025=1013
∴它第2025次爬到的点表示的数为1013.
故答案为：1013.
【分析】依据规律计算即可.
5．如图，A点的初始位置位于数轴上的原点，现对A点做如下移动：第1次从原点向右移动1个单位长度至B点，第2次从B点向左移动4个单位长度至C点，第3次从C点向右移动7个单位长度至D点，第4次从D点向左移动10个单位长度至E点；…以此类推，移动6次后该点对应的数为　 　，这样移动2025次后该点到原点的距离为　 　．
【答案】；
【知识点】探索数与式的规律；数轴上两点之间的距离；数轴的动点变速问题
【解析】【解答】解：根据题意，得：移动1次后该点对应的数是1；
移动2次后该点对应的数是；
移动3次后该点对应的数是；
移动4次后该点对应的数是；
移动5次后该点对应的数是；
移动6次后该点对应的数是；
......
∴移动次后该点对应的数是（n为自然数），
当时，有，
∴移动2025次后该点对应的数是3037，
∴该点到原点的距离为3037，
故答案为：，3037．
【分析】先根据题意求出前6次移动后该点对应的数，从而得到移动次后该点对应的数，进而根据所得规律进行求解.
6．如图，已知数轴上有点A、B、C、D，A点对应的数是，D点对应的数是 13，，．动点M从点A出发以3单位/秒的速度向右运动，在从点B运动到点C期间速度变为原来的，之后恢复原来的速度．点M开始运动的同时点N从D点出发，以2单位/秒的速度向左运动，在从点C运动到点B期间速度变为原来的，之后恢复原来的速度．设点M的运动时间为秒，则　 　秒时，．
【答案】解：由题意知，，，∵，即，解得，∴，∴B点对应的数是，C点对应的数是4，由题意知，从运动到需秒，从运动到需秒；从运动到需秒，从运动到需秒；∴①当时，，，令，即，解得，（不合题意，舍去）；②当时，，，令，即，解得，（不合题意，舍去）；③当时，，，令，即，解得，（符合题意）；④当时，，，令，即，解得，（符合题意）；⑤当时，，，令，即，解得，（不符合题意，舍去）；综上所述，当，秒时，，故答案为：6，．
【知识点】一元一次方程的实际应用-行程问题；数轴上两点之间的距离；数轴的动点变速问题
【解析】【分析】已知BD和AC的关系，分别通过线段的等量关系来表示BD和AC，即，，再由，即，可得，，即B点对应的数是，C点对应的数是4，再算出从运动到所需时间，从运动到所需时间；从运动到所需时间，从运动到所需时间；再根据各个时间段分5种情况来讨论．
二、几何动点的函数图像
7．如图1，在矩形ABCD中，点E为BC的中点，点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿折线AB-BE 向终点 E匀速运动。设点 P 的运动时间为t秒，EP的长为y，y随t的变化图象如图2所示，则矩形ABCD的面积为（　　)
图1 图2
A． B．32 C． D．30
【答案】D
【知识点】勾股定理；矩形的性质；动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：由图象可得AE＝，
AB＋BE＝8，
设AB＝x，则BE＝8 x，
在Rt△ABE中，AE2＝AB2＋BE2，
∴34＝x2＋（8 x）2，
∴x＝3或5，
当x＝3时，即AB＝3，则BE＝8 3＝5，
∴BC＝10，
∴矩形ABCD的面积为3×10＝30，
当x＝5时，即AB＝5，则BE＝8 5＝3，
∴BC＝6，
∴矩形ABCD的面积为5×6＝30，
综上所述：矩形ABCD的面积为30．
故答案为：D．
【分析】由已知可得AE＝，AB＋BE＝8，设AB＝x，则BE＝8 x，根据勾股定理可得x，进而得出答案．
8．如图1， △ABC中， ∠A=30°，点P从A点出发沿折线A—C—B运动，点Q从点A 出发沿线段AB运动，P，Q两点同时出发，当某一点运动到B时，另一点同时停止运动，已知点 P的速度为2cm/s，点Q的速度为1cm/s，设P 点运动时间为x(s)， △APQ的面积为y(cm2)．如图2是y关于x的函数图象，下列选项正确的是(　　)
A．m=4 B．BC=12
C．y的最大值为2.75 D．点(5， )在该函数图象上
【答案】D
【知识点】含30°角的直角三角形；动点问题的函数图象；三角形-动点问题；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：当点P在线段上时，则，，过点P作于点D，如图所示：
∵，
∴，
∴，
由图象可知：当时，则有，解得：（负根舍去），故A错误；
当时，，说明此时点P与点B重合，
∴，故B错误；
当点P在线段上时，分别过点C、P作，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴当时，面积最大，最大值为，故C错误；
∴，
∴当时，，故D正确．
【分析】由题意可分当点P在线段上或点P在线段上两种情况，过点P作高，根据正弦的定义求出高的长，利用三角形的面积公式求出y与x的函数关系式，然后逐项判断解答即可．
9．如图1，E为矩形ABCD的边AD上一点，点P从点B出发沿折线B-E-D运动到点D停止，点Q从点B 出发沿BC运动到点C停止，它们的运动速度都是1cm/s.现P，Q两点同时出发，设运动时间为x(s)，△BPQ的面积为y(cm2)，若y与x的对应关系如图2所示，则矩形ABCD的面积是(　　)
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形的面积；勾股定理；动点问题的函数图象；四边形-动点问题
【解析】【解答】解： 从函数的图象和运动的过程可以得出：当点 P 运动到点 E 时，x=10，y=30.
过点E作EH⊥BC.
由三角形面积公式，得
解得EH=AB=6，
由图2可知当.x=14时，点 P 与点D 重合，
12(cm)，
∴矩形的面积为
故答案为：C .
【分析】结合函数图象可得点 P 运动到点 E 时，x=10，y=30，过点E作EH⊥BC，根据三角形的面积公式求出EH=6，然后根据勾股定理求出AE长，即可得到AD长，根据举行的面积公式计算即可.
10．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，E为边BC上一动点，作DE⊥BC，交AB于点D，连接CD.记CE=x，△DEC的面积为y，若y关于x的函数图象如图2所示，则下列说法错误的是（　　）
A．当时，CD的长最小 B．△DEC的面积最大为
C．BC=3 D．∠B=60°
【答案】A
【知识点】二次函数的最值；动点问题的函数图象；三角形-动点问题；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：由图2可知，函数图象过点和，
当时，，即点与点重合，
，
故C选项说法正确，不符合题意；
由图象对称性可知，对称轴为直线，
当时，取得最大值，
设，
将点代入得：，
解得，
，
当时，，
故B选项说法正确，不符合题意；
，
，
在中，，
，
，
故D选项说法正确，不符合题意；
在中，，
，抛物线开口向上，
当时，最小，
即最小，
，
当时，的长不是最小，
故A选项说法错误，符合题意．
故答案为：A.
【分析】根据抛物线的对称性的到当时，，得到BC长判断C选项；根据交点式求出二次函数的解析式，配方为顶点式得到最大值判断B选项；根据三角形面积公式表示DE长，再根据正切的定义求出的度数判断D选项；根据长度关于的函数关系式，利用二次函数的最值得到的最小值判断A选项解答即可．
11．如图①，有一水平放置的正方形EFGH，点D为FG的中点，等腰△ABC满足顶点A，B在同一水平线上且CA＝CB，点B与HE的中点重合．等腰△ABC以每秒1个单位长度的速度水平向右匀速运动，当点B运动到点D时停止．在这个运动过程中，等腰△ABC与正方形EFGH重叠部分的面积y与运动时间t（s）之间的对应关系如图②所示，下列说法错误的是（　　）
A．AB＝4 B．∠ACB＝90°
C．当0≤t≤2时，y D．△EFD的周长为9+5
【答案】D
【知识点】勾股定理；正方形的性质；等腰直角三角形；动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：由△ABC的运动可知，等腰△ABC与正方形EFGH重叠部分的图形一开始是直角三角形，当过了顶角顶点之后，则重叠部分的图形为四边形，当等腰△ABC整体全部运动到正方形内部时，则重叠部分的图形为△ABC，此时面积不变，
记HE中点为I，
由函数图象可得，当t=2时，y=2，此时点C落在HE上，如图：
则BI=2×1=2，
由题意得AB⊥HE，
∵CA=CB
∴AB=2BI=4
∴
∴CI=2=BI，
∴此时△CIB为等腰直角三角形，
∴∠B=45°，
∵CA=CB，
∴∠A=∠B=45°，
∴∠ACB=90°，
故A、B正确，不符合题意；
∴当0≤t≤2时，重叠部分记为△IJB，
由题意得：BI=t×1=t，
∵∠B=45°，AB⊥HE，
∴△IJB为等腰直角三角形，
∴IJ=IB=t
∴，
故C正确，不符合题意；
由函数图象可得，当t=6时运动停止，那么△ABC的顶点B从点I运动到点D用时6s，如图：
∴DI=EF=6
∵四边形HEFG是正方形，
∴EF=GF=6，∠F=90°
由题意得：D为BC的中点，
∴DF=3，
∴，
∴△EFD的周长为，故D错误，符合题意，
故答案为：D.
【分析】由△ABC的运动可知，等腰△ABC与正方形EFGH重叠部分的图形一开始是直角三角形，当过了顶角顶点之后，则重叠部分的图形为四边形，当等腰△ABC整体全部运动到正方形内部时，则重叠部分的图形为△ABC，此时面积不变，然后分析每一种情况下的重叠部分的图形，结合函数图象作答即可.
12． 如图①，一动点P从Rt△ABC中的A 点出发，在三角形的内部运动（含边上)，沿直线运动至 P1点，再从 P1点沿直线运动至P2点，设点 P运动的路程为x， 如图②，是点 P运动时y随x变化关系图象，若 则△BP1P2的面积为（　　)
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理；动点问题的函数图象；三角形-动点问题
【解析】【解答】解：由题意可得，当x=0时
∴
∴
由题意可得AP1=1
由图①可得，当点P从P1运动到P2的过程中y=1，PB=PC，此时1≤x≤2，不变
∴此时P1P2垂直平分BC，垂足为点P2，如图
∴P1P2=1
此时
∴△BP1P2的面积为
故答案为：D
【分析】由图象可得，根据勾股定理可得BC，由题意可得AP1=1，由图①可得，当点P从P1运动到P2的过程中y=1，PB=PC，此时1≤x≤2，不变，此时P1P2垂直平分BC，垂足为点P2，P1P2=1，再根据勾股定理可得P1B，P2B，再根据三角形面积即可求出答案.
13．如图，动点P从点A出发，沿着边长为4cm的正方形ABCD的边，按照路线A→B→C以1cm/s匀速运动至点C停止，动点Q从点A出发，且与P的运动速度相同，沿着正方形ABCD的边，按照路线A→D→C匀速运动至点C停止，连接AP、AQ、PQ，设△APQ的面积为y（cm2），时间为x（s），下列图象能大致反映y与x的函数关系的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】三角形的面积；几何图形的面积计算-割补法；通过函数图象获取信息；动点问题的函数图象；二次函数与分段函数的综合应用
【解析】【解答】解：当4
∵点P，点Q的速度均为1cm/s，时间为x(s)，
AB+BP =x(cm)，AD+DQ = x(cm)，
∵正方形ABCD边长为4cm，
∴AB=AD=BC=DC=4(cm)，
∴BP =(x -4)cm，DQ =(x -4)cm，
∴PC=BC-BP=4-(x-4)=(8-x)cm
，CQ=DC-DQ=4-(x-4) = (8-x)cm
∵正方形ABCD，
∴∠B=∠C=∠D=90°，
∴，，
.'.y = S△APQ = S正方形ABCD -S△CPQ -S△ADQ- S△ABP=4x4-(8-x)2-(2x-8)-(2x- 8)=
即当4；
当0≤≤4时，如图1，点P在AB上运动，点Q在AD上运动，
∵点P，点Q的速度均为1cm/s，时间为x(s)，
∴AP =x(cm)，AQ =x(cm)，
∵正方形ABCD，
∴∠A=90°，
∴y= S△APQ=（cm2）
即当0 ≤x≤ 4时，y =x2(cm2)；
综上，y=
由此可知，当0≤x≤4时，函数图象为开口向上，过点(0，0)，(4，8)的二次函数的一部分；当4
故答案为：D.
【分析】当4△APQ = S正方形ABCD -S△CPQ -S△ADQ- S△ABP=4x4-(8-x)2-(2x-8)-(2x- 8)=；当0≤≤4时，如图1，点P在AB上运动，点Q在AD上运动，点P，点Q的速度均为1cm/s，时间为x(s)，利用三角形面积计算公式可得出y=，综上，y=，然后逐项进行判断，即可得出答案。
14．如图1，在矩形ABCD中，AB=6cm，点E，F同时从点D出发，点E以2cm/s的速度沿D→A→B匀速运动，点F沿D→B匀速运动，当点E运动到终点B时，两点同时停止运动.当点F出发t秒时，△DEF的面积为ycm2.已知y与t的函数关系的图象如图2（曲线OH和GH均为抛物线的一部分），则下列选项中说法错误的是（　　）
A．BD=10cm
B．曲线GH的函数表达式为
C．点F的运动速度为1cm/s
D．若秒，则△BEF∽△BCD
【答案】D
【知识点】矩形的性质；相似三角形的判定；动点问题的函数图象；二次函数的其他应用
【解析】【解答】解：A、点E的速度为2cm/s，从D→A→B运动，AB=6cm，因此E从D到A的时间为t=4s（对应图2中H点横坐标为4），说明AD=2×4=8cm．矩形ABCD中，AB=6cm，AD=8cm，则对角线，A正确；
B、t=4s时，E到达A点，E继续向B运动，AE=2(t-4)，EB=6-2(t-4)=14-2t．
F运动的距离DF=tcm，FB=10-t，F到AB的距离为（由相似三角形比例）．
△DEF的面积.设E到BD的距离为hE，则，结合E在AB段的位置，最终可得： ，B正确；
C、点F沿D→B匀速运动，当t=4s时，△DEF的面积cm2．此时E在A点，DE=AD=8cm，设F到AD的距离为h，则，解得cm．
由相似三角形，，即，解得DF=4cm，因此F的速度为cm/s，C正确；
D、时，E在AD段（t≤4），cm，cm，cm．
F运动的距离cm，cm．
若△BEF～△BCD，则需满足，即，计算得，故不相似，D错误．
故答案为：D.
【分析】先通过点E在t=4s时到达A点，求出矩形的边长AD=8cm，进而得到对角线BD=10cm；再根据t=4s时的面积求出点F的速度为1cm/s；接着根据点E在AB段的运动情况，推导出曲线GH的函数表达式；最后验证时△BEF与△BCD的相似性，得出D错误．
15．如图1，在中，D是边的中点．点E在斜边上，从点A出发，运动到点C时停止，设为，为．如图2，关于的函数图象与轴交于点，且经过和最高点两点．下列选项正确的是（　　）
A． B．
C． D．y的最小值为64
【答案】B
【知识点】动点问题的函数图象；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系；等腰三角形的性质-三线合一；数形结合
【解析】【解答】解：由图2可知，当时，，即，
∴，
∵D是边的中点，
∴；
∵，
即，，，
此时，，
如图，过点作交于点，则有为等腰三角形，
∴，；
由图2知，点为最高点，
∵当点和点重合时，最大，
∴，，
∴，
∴，
整理得，
解得或（负值舍去），故选项C错误；
∴，，
∴，，故选项B正确；
∴，故选项A错误；
由上图可知，当，即点和点重合时，有最小值，即最小，
此时，
∴，
∴的最小值为，故选项D错误．
故答案为：B ．
【分析】由于图象经过点P(0，100) ，可知当x=0时，点A与点E重合，此时AE=0，DE=AD，则y=DE2=100，故AD=10，结合中点定义得AB=20；由图象经过点N(n-9，100)，得当x=n-9时，AE=n-9，y=DE2=100，故DE=10，故△ADE是等腰三角形；过点D作DF⊥AC于点F，由等腰三角形的三线合一得出AF=，在Rt△ADF中，由余弦函数定义求出；由图象最高点M(n，m)，由于当E与点C重合时，DE最大，故AE=AC=n，y=DC2=m，在Rt△ABC中，由余弦函数定义得，则可列出方程 ，求解得出符合题意的n为25，可判断C选项；则AC=25，在Rt△ABC中，利用勾股定理算出BC，由∠A的余弦函数值及特殊锐角三角函数值可判断A选项；在Rt△BDC中，由勾股定理算出DC2得出m的值，可判断B选项；根据垂线段最短得出当DE⊥AC，即点E与点F重合时，DE最小，即y=DE2最小，此时AF=，进而在Rt△ADF中，利用勾股定理算出DF2即可判断D选项.
16．如图，平面直角坐标系中，直线AB：y=﹣x+b交y轴于点A，交x轴于点B，S△AOB=8．
（1）求点B的坐标和直线AB的函数表达式；
（2）直线a垂直平分OB交AB于点D，交x轴于点E，点P是直线a上一动点，且在点D的上方，设点P的纵坐标为m．
①用含m的代数式表示△ABP的面积；
②当S△ABP=6时，求点P的坐标；
③在②的条件下，在坐标轴上，是否存在一点Q，使得△ABQ与△ABP面积相等？若存在，直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】解：（1）∵直线AB：y=﹣x+b交y轴于点A，交x轴于点B，∴点A的坐标为（0，b），点B的坐标为（b，0）．∵S△AOB=b2=8，∴b=±4．∵点A在y轴正半轴上，∴b=4，∴点B的坐标为（4，0），直线AB的函数表达式为y=﹣x+4；（2）①∵直线a垂直平分OB，OB=4，∴OE=BE=2，当x=2时，y=﹣x+4=2，∴点D的坐标为（2，2），∵点P的坐标为（2，m）（m＞2），∴PD=m﹣2，∴S△ABP=S△APD+S△BPD，=DP OE+DP BE，=×2（m﹣2）+×2（m﹣2）=2m﹣4；②∵S△ABP=6，∴2m﹣4=6，∴m=5，∴点P的坐标为（2，5）；③点Q的坐标为（1，0）或（7，0）或（0，1）或（0，7）．
（1）解：∵直线AB：y=﹣x+b交y轴于点A，交x轴于点B，
∴点A的坐标为（0，b），点B的坐标为（b，0）．
∵S△AOB=b2=8，
∴b=±4．
∵点A在y轴正半轴上，
∴b=4，
∴点B的坐标为（4，0），直线AB的函数表达式为y=﹣x+4；
（2）解：①∵直线a垂直平分OB，OB=4，
∴OE=BE=2，
当x=2时，y=﹣x+4=2，
∴点D的坐标为（2，2），
∵点P的坐标为（2，m）（m＞2），
∴PD=m﹣2，
∴S△ABP=S△APD+S△BPD，
=DP OE+DP BE，
=×2（m﹣2）+×2（m﹣2）=2m﹣4；
②∵S△ABP=6，
∴2m﹣4=6，
∴m=5，
∴点P的坐标为（2，5）；
③点Q的坐标为（1，0）或（7，0）或（0，1）或（0，7）．
【知识点】点的坐标；三角形的面积；一次函数的性质；一次函数中的动态几何问题；一次函数中的面积问题
【解析】【解答】解：（2）③假设存在．
当点Q在x轴上时，设其坐标为（x，0），
∵S△ABQ=AO BQ=×4×|x﹣4|=6，
∴x1=1，x2=7，
∴点Q的坐标为（1，0）或（7，0）；
当点Q在y轴上时，设其坐标为（0，y），
∵S△ABQ=BO AQ=×4×|y﹣4|=6，
∴y1=1，y2=7，
∴点Q的坐标为（0，1）或（0，7）．
综上所述：假设成立，即在坐标轴上，存在一点Q，使得△ABQ与△ABP面积相等，且点Q的坐标为（1，0）或（7，0）或（0，1）或（0，7）．
【分析】(1)本题考察一次函数的图象与性质以及三角形面积的计算，通过面积求b值。直线AB的解析式为，交y轴于，交x轴于；是直角三角形，直角边AO和BO的长度均为，面积；解得，因为A在y轴正半轴，所以，因此点B的坐标为，直线AB的解析式为。
(2)①本题考察三角形面积的表达式推导，结合垂直平分线的性质找关键点坐标。OB=4，直线a垂直平分OB，所以，E点坐标为；将代入直线AB的解析式，得，所以D点坐标为；点P在直线a上，横坐标为2，纵坐标为m（），因此；的面积可拆分为和的面积之和，两个三角形的底均为DP，高均为2（AE和BE的水平距离），所以面积。
②本题考察代数式求值，将面积值代入表达式求m。已知，代入，解方程得；点P的横坐标为2，因此点P的坐标为。
③本题考察三角形面积相等的条件，分点Q在x轴和y轴两种情况求解。当Q在x轴上时，设，的面积 ，解得，或7，所以Q点坐标为或；当Q在y轴上时，设，的面积，解得，或7，所以Q点坐标为或，综上存在Q点，坐标为、、、。
三、函数图像上的动点问题
17．如图，点P是双曲线上的一个动点，过点P作轴于点A，当点P从左向右移动时，的面积（　　）
A．逐渐增大 B．逐渐减小
C．先增大后减小 D．保持不变
【答案】D
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数的一点一垂线型
【解析】【解答】解：∵ 点P是双曲线上的一个动点，过点P作轴于点A ，
∴S△AOP=×8=4，
故当点P从左向右移动时，△OPA的面积保持不变始终为4.
故答案为：D．
【分析】根据反比例函数k的几何意义“过反比例函数(k≠0)图象上任意一点向坐标轴引垂线，则这条垂线、纵坐标及这点与坐标原点连线所围成的三角形的面积始终为”求解即可.
18．如图，点C是反比例函数的图象上的一个动点，且CA⊥x轴于点A，AB∥OC交y轴于点B.则四边形ABOC的面积是（　　）
A．12 B．9 C．6 D．3
【答案】C
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；平行四边形的判定与性质；反比例函数的一点一垂线型
【解析】【解答】解：∵点C是反比例函数（）的图象上的一个动点，且轴于点A，
∴，，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∴四边形的面积.
故答案为：C.
【分析】根据值的几何意义，得到，然后得到四边形为平行四边形，根据平行四边形的面积公式计算解答即可.
19．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A是直线y=2上的动点，连接OA，以OA为边在OA的右侧作矩形OACB，边CB所在直线交x轴于点E。设点B的坐标为（m，n)，若矩形OACB的面积始终为8，则下列说法不正确的是（　　)
A．当点A在y轴上时，点 C的坐标为（4， 2)
B．mn=4
C．OE的长始终为4
D．n的取值范围为-2≤n≤2
【答案】B
【知识点】矩形的性质；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数中的动态几何问题
【解析】【解答】解：由题意，当点A在y轴上时，如图，
∵点A是直线y＝2上的动点，
∴OA＝2，
又∵矩形的面积为8，
∴OA AC＝8，
∴AC＝4，
∴C（4，2），
故选项A正确，不合题意；
设AC与y轴交于点F，分别过B作BG⊥y轴于G，作BH⊥x轴于H，
∵矩形OACB的面积为8，
∴S△BOF＝4．
∴S△BOG≤4．
又∵S△BOH＝S△BOG＝mn，
∴mn≤4．
∴mn≤8，故B错误，符合题意．
直线CB的斜率kCB＝．
又∵xA＝ ，
∴kCB＝．
直线CB的方程为y n＝ (x m)．
点E是该直线与x轴的交点，令y＝0： n＝(xE m)，
n2＝m（xE m），
xE m＝，
xE＝m＋＝．
将m2＋n2＝4，
m代入上式：xE＝＝4，
OE的长度即为|xE|，所以OF的长始终为4．
∴选项C是正确的．
关系式m2＋n2＝4m，可以写成m2 4m＋n2＝0．这是一个关于m的一元二次方程．
为了使m有实数解，判别式Δ必须大于等于0．
Δ＝（ 4）2 4n2≥0
16 4n2≥0
4n2≤16
n2≤4
解得 2≤n≤2．
∴选项D是正确的．
∴不正确的说法是B．
故答案为：B．
【分析】先通过动点A在直线y＝2上运动且矩形面积恒定这一条件，再结合几何变换或相似三角形性质，推导出点B的轨迹是一个圆（m 2）2＋n2＝4，再利用直接斜率的定义及计算方法以及直线与坐标轴的关系计算并逐一判定选项的正确与错误即可．
20．如图，过y轴正半轴上的任意一点P作x轴的平行线，分别与反比例函数和的图象交于点A和点B.若点C是x轴上任意一点，连接AC， BC，则△ABC的面积为　 　.
【答案】3
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数的两曲一平行型
【解析】【解答】解：连接OA，OB.
∵ABx轴，
∴，
∵点A，点B分别在反比例函数和的图象上，
∴.
∴.
故填：3.
【分析】连接OA，OB，由平行线间的距离相等，可得，根据反比例函数系数k的几何意义可求得，从而求出.
21．如图1所示，直线与轴、轴分别交于两点，与反比例函数的图象交于两点，且．
（1）求反比例函数的解析式．
（2）连接，，求的面积．
（3）如图2所示，若，分别是轴、轴上的动点（点在点右侧，点在点上方），并且，过的直线交反比例函数的图象于两点，点是线段的中点，连接．问：在的运动过程中，的大小是否发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，请求出的度数．
【答案】（1）解：作于，由题意得，，
∴，．
∵，
∴．
在中，，，
∴，
，
∴．
把代入，得，
∴反比例函数的解析式为．
（2）解：作于，联立，解得，，
故点的坐标为，
∴，
∴
（3）解：的大小不变，，理由如下：
∵
∴，设直线的方程为
设．
联立，
得，
则，
∵是的中点，
∴的横坐标为．
∵点在直线上，
∴，
如图，作于，则，
∴，
∴．
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；求特殊角的三角函数值；反比例函数的两点和原点型
【解析】【分析】（1）如图，过点D作x轴的垂线段DG，先由直线上点的坐标特征可得A、B两点坐标，解直角三角形可得、，再利用线段的和差关系求出OG即可；
（2）过点C作x轴的垂线段CH，再联立直线AB与双曲线解析式可得点C坐标，再利用割补法求出的面积即可；
（3）由于可求得，则由已知可证EF平行AB，则设直线EF的解析式，再联立直线EF与双曲线解析式，由根与系数关系结合中点坐标公式可得点P的横坐标，再由直线上点的坐标特征可得点P的纵坐标，此时再过点P作x轴的垂线段并解直角三角形可得．
（1）解：作于，由题意得，，
∴，．
∵，
∴．
在中，，，
∴，
，
∴．
把代入，得，
∴反比例函数的解析式为．
（2）解：作于，联立，
解得，，
故点的坐标为，
∴，
∴
（3）解：的大小不变，，理由如下：
∵
∴，设直线的方程为
设．
联立，
得，
则，
∵是的中点，
∴的横坐标为．
∵点在直线上，
∴，
如图，作于，则，
∴，
∴．
22．如图在平面直角坐标系中，抛物线 与 x轴交于点 A （-4， 0)和点 B （点 A在点 B的左侧)，与 y轴交于点 C，经过点 A的直线与抛物线交于点 D （-1，3)，与 y轴交于点 E.
（1）求抛物线的表达式和顶点 P的坐标；
（2）点 F是 x轴下方抛物线上的一个动点，使△ADF的面积为 求点 F的坐标；
（3）设直线 l是抛物线的对称轴，点 G是直线 l上的动点，当|GA-GD|最大时，此时点 G的坐标为　 　.
【答案】（1）解：∵抛物线y＝ax2＋bx＋2（a≠0）过D（ 1，3），A（ 4，0），
∴，
解得：a=，b=，
∴y＝x2x＋2，
∴y＝x2x＋2＝(x＋)2＋，
∴顶点P的坐标为(，)．
（2）解：如图，过点F作FG∥AD交x轴于G，连接DG，
S△ADF＝S△ADG，
∵△ADF的面积为，
∴AG×3＝，
解得：AG＝9，
∵A（ 4，0），
∴G（5，0），
设直线AD的表达式为y＝k1x＋b1，
将点D（ 1，3），A（ 4，0）代入得：
，
解得：，
∴求直线AD的表达式为y＝x＋4，
∵FG∥AD，
∴设直线FG的表达式为y＝x＋m，
∴5＋m＝0，解得m＝ 5，
∴直线FG的表达式为y＝x 5，
联立y＝x 5与抛物线y＝x2x＋2得：
，
解得：或，
∴点F的坐标为（ 7， 12）或（2， 3）.
（3）
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-动态几何问题；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；二次函数-面积问题
【解析】【解答】解：（3）∵抛物线解析式是：y＝x2x＋2＝(x＋)2＋，
∴对称轴是直线x＝，
∴点D关于直线l的对称点是D'（ 2，3），则GD＝GD'，
则|GA GD|＝|GA GD'|≤AD'，
当且仅当点A、D'、G三点共线时，取最大值，此时点G在点G'位置，
设直线AD'的表达式为y＝k2x＋b2，
将点A（ 4，0），D'（ 2，3）代入得：
，
解得：，
∴直线AD'的表达式为y＝x＋6，
当x＝时，y＝x＋6＝，
∴当|GA GD|最大时，此时点 G 的坐标为( ，)．
故答案为：( ，)．
【分析】（1）先利用待定系数法求出抛物线解析式，再化为顶点式即可得顶点P的坐标；
（2）过点F作FG∥AD交x轴于G，连接DG，则S△ADF＝S△ADG，根据△ADF的面积为求出AG，则G（5，0），可得直线FG的表达式为y＝x 5，联立抛物线y＝x2x＋2即可求解；
（3）求得对称轴是直线x＝，点D关于直线l的对称点是D'（ 2，3），则|GA GD|＝|GA GD'|≤AD'，当且仅当点A、D'、G三点共线时，取最大值，此时点G在点G'位置，待定系数法求出直线AD'的表达式，在代入x＝，求出点G'的纵坐标即可得解．
23．如图1，若二次函数y＝ax2﹣2x+c（a≠0）的图象与x轴交于点A和点B（3，0），与y轴交于点C（0，﹣3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，连接BC，点P为直线BC下方抛物线上的动点，求△PBC面积的最大值及此时点P的坐标；
（3）如图3，将抛物线y＝ax2﹣2x+c（a≠0）先向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到新的抛物线y'，在y'的对称轴上有一点D，坐标平面内有一点E，使得以点B，C，D，E为顶点的四边形是矩形，求点E的坐标．
【答案】（1）解：二次函数y＝ax2﹣2x+c（a≠0）的图象与x轴交于点A和点B（3，0），与y轴交于点C（0，﹣3）．将点B，点C的坐标分别代入得：
，
解得：，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）解：设直线BC的解析式为y＝kx+b，将点B（3，0），点C（0，﹣3）分别代入得：
，
解得：，
∴直线BC的解析式为y＝x﹣3，
点P为直线BC下方抛物线上的点，如图2，
设P（a，a2﹣2a﹣3），
∴M（a，a﹣3），
∴，
当时，，
∴，
∴△PBC面积的最大值为，
∴；
（3）解：由题意可得：y'＝（x﹣1）2﹣2（x﹣1）﹣3﹣1＝x2﹣4x﹣1＝（x﹣2）2﹣5，
y'的对称轴为x＝2．
∵B（3，0），C（0，﹣3），
∴OC＝OB＝3，∠BCO＝∠CBO＝45°，
当BC为矩形一边时，且点D在x轴的下方，如图3，过D作DF⊥y轴于点F，
∵D在y'的对称轴上，
∴FD＝2，
∵∠BCD＝90°，∠BCO＝45°，
∴∠DCF＝45°，
∴CF＝FD＝2，OF＝3+2＝5，即点D（2，﹣5），
∴点C向右平移2个单位、向下平移2个单位可得到点D，则点B向右平移2个单位、向下平移2个单位可得到点E（5，﹣2）；
当BC为矩形一边时，且点D在x轴的上方，y'的对称轴为x＝2与x轴交于点F，如图4，
∵D在y'的对称轴上，
∴FO＝2，
∴BF＝3﹣2＝1，
∵∠CBO＝45°，即∠DBO＝45°，
FD＝1，即点D（2，1），
∴点B向左平移1个单位、向上平移1个单位可得到点D，则点C向左平移1个单位、向上平移1个单位可得到点E（﹣1，﹣2）；
当BC为矩形对角线时，如图5，设D（2，d），E（m，n），BC的中点F的坐标为，
依意得：，
解得：，
又∵DE＝BC，
∴（2﹣1）2+（d﹣n）2＝32+32，
解得：，
联立得：，
解得：，
∴点E的坐标为或．
综上所述，点E的坐标为（5，﹣2）或（﹣1，﹣2）或或．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数图象的平移变换；二次函数-面积问题；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【分析】(1)利用待定系数法，将点B(3，0)、C(0，-3)代入二次函数解析式，求解a、c，得到抛物线解析式；
(2)先求直线BC的解析式，设抛物线上点P的坐标，作PM⊥x轴交BC于M，用P、M的纵坐标差表示PM，将△PBC的面积表示为关于P横坐标的二次函数，求最大值及对应P的坐标；
(3)先根据平移规律得到新抛物线y的解析式及对称轴，设对称轴上点D的坐标，分BC为矩形的边、对角线两种情况，利用矩形的性质（勾股定理、中点坐标公式）求解点B的坐标。
1 / 1几何动点（数轴、几何动点函数图象、函数图象动点）—2026浙江中考数学高阶能力拓展专题
一、数轴上的动点问题
1．点A从数轴的原点出发，沿数轴先向左(负方向)移动3个单位长度，再向右移动1个单位长度，用算式表示上述过程与结果，正确的是（　　）
A．-3+1=4 B．-3-1=-2 C．-3+1=-2 D．-3-1=-4
2．如图，通过画边长为1的正方形，就能准确的把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，如此继续，则的长为（　　）
A． B． C． D．
3．如图所示，圆的周长为 8个单位长度，在圆周的八等分点处依次标上字母a，a，b，b，c，c，d，d.先让圆周上字母a所对应的点与数轴上的数字 2所对应的点重合，再让圆沿着数轴向左不滑动地滚动，则数轴上的数字-2025所对应的点与圆周上重合的点所对应的字母为 （　　）
A．a B．b C．c D．d
4． 一只小虫在数轴上从原点出发，第1次向正方向爬行1个单位后，第2次向负方向爬行2个单位，第3次又向正方向爬行3个单位……按上述规律，它第2025次爬到数轴上的点所对应的数是　 　。
5．如图，A点的初始位置位于数轴上的原点，现对A点做如下移动：第1次从原点向右移动1个单位长度至B点，第2次从B点向左移动4个单位长度至C点，第3次从C点向右移动7个单位长度至D点，第4次从D点向左移动10个单位长度至E点；…以此类推，移动6次后该点对应的数为　 　，这样移动2025次后该点到原点的距离为　 　．
6．如图，已知数轴上有点A、B、C、D，A点对应的数是，D点对应的数是 13，，．动点M从点A出发以3单位/秒的速度向右运动，在从点B运动到点C期间速度变为原来的，之后恢复原来的速度．点M开始运动的同时点N从D点出发，以2单位/秒的速度向左运动，在从点C运动到点B期间速度变为原来的，之后恢复原来的速度．设点M的运动时间为秒，则　 　秒时，．
二、几何动点的函数图像
7．如图1，在矩形ABCD中，点E为BC的中点，点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿折线AB-BE 向终点 E匀速运动。设点 P 的运动时间为t秒，EP的长为y，y随t的变化图象如图2所示，则矩形ABCD的面积为（　　)
图1 图2
A． B．32 C． D．30
8．如图1， △ABC中， ∠A=30°，点P从A点出发沿折线A—C—B运动，点Q从点A 出发沿线段AB运动，P，Q两点同时出发，当某一点运动到B时，另一点同时停止运动，已知点 P的速度为2cm/s，点Q的速度为1cm/s，设P 点运动时间为x(s)， △APQ的面积为y(cm2)．如图2是y关于x的函数图象，下列选项正确的是(　　)
A．m=4 B．BC=12
C．y的最大值为2.75 D．点(5， )在该函数图象上
9．如图1，E为矩形ABCD的边AD上一点，点P从点B出发沿折线B-E-D运动到点D停止，点Q从点B 出发沿BC运动到点C停止，它们的运动速度都是1cm/s.现P，Q两点同时出发，设运动时间为x(s)，△BPQ的面积为y(cm2)，若y与x的对应关系如图2所示，则矩形ABCD的面积是(　　)
A． B． C． D．
10．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，E为边BC上一动点，作DE⊥BC，交AB于点D，连接CD.记CE=x，△DEC的面积为y，若y关于x的函数图象如图2所示，则下列说法错误的是（　　）
A．当时，CD的长最小 B．△DEC的面积最大为
C．BC=3 D．∠B=60°
11．如图①，有一水平放置的正方形EFGH，点D为FG的中点，等腰△ABC满足顶点A，B在同一水平线上且CA＝CB，点B与HE的中点重合．等腰△ABC以每秒1个单位长度的速度水平向右匀速运动，当点B运动到点D时停止．在这个运动过程中，等腰△ABC与正方形EFGH重叠部分的面积y与运动时间t（s）之间的对应关系如图②所示，下列说法错误的是（　　）
A．AB＝4 B．∠ACB＝90°
C．当0≤t≤2时，y D．△EFD的周长为9+5
12． 如图①，一动点P从Rt△ABC中的A 点出发，在三角形的内部运动（含边上)，沿直线运动至 P1点，再从 P1点沿直线运动至P2点，设点 P运动的路程为x， 如图②，是点 P运动时y随x变化关系图象，若 则△BP1P2的面积为（　　)
A． B． C． D．
13．如图，动点P从点A出发，沿着边长为4cm的正方形ABCD的边，按照路线A→B→C以1cm/s匀速运动至点C停止，动点Q从点A出发，且与P的运动速度相同，沿着正方形ABCD的边，按照路线A→D→C匀速运动至点C停止，连接AP、AQ、PQ，设△APQ的面积为y（cm2），时间为x（s），下列图象能大致反映y与x的函数关系的是（　　）
A． B．
C． D．
14．如图1，在矩形ABCD中，AB=6cm，点E，F同时从点D出发，点E以2cm/s的速度沿D→A→B匀速运动，点F沿D→B匀速运动，当点E运动到终点B时，两点同时停止运动.当点F出发t秒时，△DEF的面积为ycm2.已知y与t的函数关系的图象如图2（曲线OH和GH均为抛物线的一部分），则下列选项中说法错误的是（　　）
A．BD=10cm
B．曲线GH的函数表达式为
C．点F的运动速度为1cm/s
D．若秒，则△BEF∽△BCD
15．如图1，在中，D是边的中点．点E在斜边上，从点A出发，运动到点C时停止，设为，为．如图2，关于的函数图象与轴交于点，且经过和最高点两点．下列选项正确的是（　　）
A． B．
C． D．y的最小值为64
16．如图，平面直角坐标系中，直线AB：y=﹣x+b交y轴于点A，交x轴于点B，S△AOB=8．
（1）求点B的坐标和直线AB的函数表达式；
（2）直线a垂直平分OB交AB于点D，交x轴于点E，点P是直线a上一动点，且在点D的上方，设点P的纵坐标为m．
①用含m的代数式表示△ABP的面积；
②当S△ABP=6时，求点P的坐标；
③在②的条件下，在坐标轴上，是否存在一点Q，使得△ABQ与△ABP面积相等？若存在，直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．
三、函数图像上的动点问题
17．如图，点P是双曲线上的一个动点，过点P作轴于点A，当点P从左向右移动时，的面积（　　）
A．逐渐增大 B．逐渐减小
C．先增大后减小 D．保持不变
18．如图，点C是反比例函数的图象上的一个动点，且CA⊥x轴于点A，AB∥OC交y轴于点B.则四边形ABOC的面积是（　　）
A．12 B．9 C．6 D．3
19．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A是直线y=2上的动点，连接OA，以OA为边在OA的右侧作矩形OACB，边CB所在直线交x轴于点E。设点B的坐标为（m，n)，若矩形OACB的面积始终为8，则下列说法不正确的是（　　)
A．当点A在y轴上时，点 C的坐标为（4， 2)
B．mn=4
C．OE的长始终为4
D．n的取值范围为-2≤n≤2
20．如图，过y轴正半轴上的任意一点P作x轴的平行线，分别与反比例函数和的图象交于点A和点B.若点C是x轴上任意一点，连接AC， BC，则△ABC的面积为　 　.
21．如图1所示，直线与轴、轴分别交于两点，与反比例函数的图象交于两点，且．
（1）求反比例函数的解析式．
（2）连接，，求的面积．
（3）如图2所示，若，分别是轴、轴上的动点（点在点右侧，点在点上方），并且，过的直线交反比例函数的图象于两点，点是线段的中点，连接．问：在的运动过程中，的大小是否发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，请求出的度数．
22．如图在平面直角坐标系中，抛物线 与 x轴交于点 A （-4， 0)和点 B （点 A在点 B的左侧)，与 y轴交于点 C，经过点 A的直线与抛物线交于点 D （-1，3)，与 y轴交于点 E.
（1）求抛物线的表达式和顶点 P的坐标；
（2）点 F是 x轴下方抛物线上的一个动点，使△ADF的面积为 求点 F的坐标；
（3）设直线 l是抛物线的对称轴，点 G是直线 l上的动点，当|GA-GD|最大时，此时点 G的坐标为　 　.
23．如图1，若二次函数y＝ax2﹣2x+c（a≠0）的图象与x轴交于点A和点B（3，0），与y轴交于点C（0，﹣3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，连接BC，点P为直线BC下方抛物线上的动点，求△PBC面积的最大值及此时点P的坐标；
（3）如图3，将抛物线y＝ax2﹣2x+c（a≠0）先向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到新的抛物线y'，在y'的对称轴上有一点D，坐标平面内有一点E，使得以点B，C，D，E为顶点的四边形是矩形，求点E的坐标．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】数轴的点常规运动模型
【解析】【解答】解：由题意得：0-3+1=-2.
故答案为：C.
【分析】根据向右为正方向，向左为负方向，应用“左减右加”的法则，列出算式，再计算即可.
2．【答案】D
【知识点】实数在数轴上的表示；探索数与式的规律；不等式的性质；数轴的动点变速问题；数轴的图形运动问题
【解析】【解答】解：∵，∴，
∴，则表示的数为，
∵，
∴，
表示的数为，
，则表示的数为，
∵，
∴，
同理可得，
……，
以此类推，可知，
∴，
故答案为：D．
【分析】本题主要考查实数运算的规律探索以及数轴的应用。解题时需先计算得出、和的具体数值，通过分析这些计算结果找出其中隐含的规律。熟练掌握实数的运算法则是解答此类问题的关键所在。
3．【答案】B
【知识点】探索数与式的规律；数轴上两点之间的距离；带余除法；数轴的图形运动问题
【解析】【解答】解：∵2-（-2025）=2027，2027÷8=253......3，
∴ 数轴上的数字-2025所对应的点与圆周上重合的点所对应的字母为 ：b。
故答案为：B。
【分析】首先计算得出2与-2025之间的距离为2027，进而根据圆的周长为 8个单位长度，通过计算得出2027÷8=253......3，即可得出答案。
4．【答案】1013
【知识点】探索数与式的规律；数轴的动点变速问题
【解析】【解答】解：根据题意得：
1-2+3-4+5-6+···+2023-2024+2025=1013
∴它第2025次爬到的点表示的数为1013.
故答案为：1013.
【分析】依据规律计算即可.
5．【答案】；
【知识点】探索数与式的规律；数轴上两点之间的距离；数轴的动点变速问题
【解析】【解答】解：根据题意，得：移动1次后该点对应的数是1；
移动2次后该点对应的数是；
移动3次后该点对应的数是；
移动4次后该点对应的数是；
移动5次后该点对应的数是；
移动6次后该点对应的数是；
......
∴移动次后该点对应的数是（n为自然数），
当时，有，
∴移动2025次后该点对应的数是3037，
∴该点到原点的距离为3037，
故答案为：，3037．
【分析】先根据题意求出前6次移动后该点对应的数，从而得到移动次后该点对应的数，进而根据所得规律进行求解.
6．【答案】解：由题意知，，，∵，即，解得，∴，∴B点对应的数是，C点对应的数是4，由题意知，从运动到需秒，从运动到需秒；从运动到需秒，从运动到需秒；∴①当时，，，令，即，解得，（不合题意，舍去）；②当时，，，令，即，解得，（不合题意，舍去）；③当时，，，令，即，解得，（符合题意）；④当时，，，令，即，解得，（符合题意）；⑤当时，，，令，即，解得，（不符合题意，舍去）；综上所述，当，秒时，，故答案为：6，．
【知识点】一元一次方程的实际应用-行程问题；数轴上两点之间的距离；数轴的动点变速问题
【解析】【分析】已知BD和AC的关系，分别通过线段的等量关系来表示BD和AC，即，，再由，即，可得，，即B点对应的数是，C点对应的数是4，再算出从运动到所需时间，从运动到所需时间；从运动到所需时间，从运动到所需时间；再根据各个时间段分5种情况来讨论．
7．【答案】D
【知识点】勾股定理；矩形的性质；动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：由图象可得AE＝，
AB＋BE＝8，
设AB＝x，则BE＝8 x，
在Rt△ABE中，AE2＝AB2＋BE2，
∴34＝x2＋（8 x）2，
∴x＝3或5，
当x＝3时，即AB＝3，则BE＝8 3＝5，
∴BC＝10，
∴矩形ABCD的面积为3×10＝30，
当x＝5时，即AB＝5，则BE＝8 5＝3，
∴BC＝6，
∴矩形ABCD的面积为5×6＝30，
综上所述：矩形ABCD的面积为30．
故答案为：D．
【分析】由已知可得AE＝，AB＋BE＝8，设AB＝x，则BE＝8 x，根据勾股定理可得x，进而得出答案．
8．【答案】D
【知识点】含30°角的直角三角形；动点问题的函数图象；三角形-动点问题；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：当点P在线段上时，则，，过点P作于点D，如图所示：
∵，
∴，
∴，
由图象可知：当时，则有，解得：（负根舍去），故A错误；
当时，，说明此时点P与点B重合，
∴，故B错误；
当点P在线段上时，分别过点C、P作，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴当时，面积最大，最大值为，故C错误；
∴，
∴当时，，故D正确．
【分析】由题意可分当点P在线段上或点P在线段上两种情况，过点P作高，根据正弦的定义求出高的长，利用三角形的面积公式求出y与x的函数关系式，然后逐项判断解答即可．
9．【答案】C
【知识点】三角形的面积；勾股定理；动点问题的函数图象；四边形-动点问题
【解析】【解答】解： 从函数的图象和运动的过程可以得出：当点 P 运动到点 E 时，x=10，y=30.
过点E作EH⊥BC.
由三角形面积公式，得
解得EH=AB=6，
由图2可知当.x=14时，点 P 与点D 重合，
12(cm)，
∴矩形的面积为
故答案为：C .
【分析】结合函数图象可得点 P 运动到点 E 时，x=10，y=30，过点E作EH⊥BC，根据三角形的面积公式求出EH=6，然后根据勾股定理求出AE长，即可得到AD长，根据举行的面积公式计算即可.
10．【答案】A
【知识点】二次函数的最值；动点问题的函数图象；三角形-动点问题；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：由图2可知，函数图象过点和，
当时，，即点与点重合，
，
故C选项说法正确，不符合题意；
由图象对称性可知，对称轴为直线，
当时，取得最大值，
设，
将点代入得：，
解得，
，
当时，，
故B选项说法正确，不符合题意；
，
，
在中，，
，
，
故D选项说法正确，不符合题意；
在中，，
，抛物线开口向上，
当时，最小，
即最小，
，
当时，的长不是最小，
故A选项说法错误，符合题意．
故答案为：A.
【分析】根据抛物线的对称性的到当时，，得到BC长判断C选项；根据交点式求出二次函数的解析式，配方为顶点式得到最大值判断B选项；根据三角形面积公式表示DE长，再根据正切的定义求出的度数判断D选项；根据长度关于的函数关系式，利用二次函数的最值得到的最小值判断A选项解答即可．
11．【答案】D
【知识点】勾股定理；正方形的性质；等腰直角三角形；动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：由△ABC的运动可知，等腰△ABC与正方形EFGH重叠部分的图形一开始是直角三角形，当过了顶角顶点之后，则重叠部分的图形为四边形，当等腰△ABC整体全部运动到正方形内部时，则重叠部分的图形为△ABC，此时面积不变，
记HE中点为I，
由函数图象可得，当t=2时，y=2，此时点C落在HE上，如图：
则BI=2×1=2，
由题意得AB⊥HE，
∵CA=CB
∴AB=2BI=4
∴
∴CI=2=BI，
∴此时△CIB为等腰直角三角形，
∴∠B=45°，
∵CA=CB，
∴∠A=∠B=45°，
∴∠ACB=90°，
故A、B正确，不符合题意；
∴当0≤t≤2时，重叠部分记为△IJB，
由题意得：BI=t×1=t，
∵∠B=45°，AB⊥HE，
∴△IJB为等腰直角三角形，
∴IJ=IB=t
∴，
故C正确，不符合题意；
由函数图象可得，当t=6时运动停止，那么△ABC的顶点B从点I运动到点D用时6s，如图：
∴DI=EF=6
∵四边形HEFG是正方形，
∴EF=GF=6，∠F=90°
由题意得：D为BC的中点，
∴DF=3，
∴，
∴△EFD的周长为，故D错误，符合题意，
故答案为：D.
【分析】由△ABC的运动可知，等腰△ABC与正方形EFGH重叠部分的图形一开始是直角三角形，当过了顶角顶点之后，则重叠部分的图形为四边形，当等腰△ABC整体全部运动到正方形内部时，则重叠部分的图形为△ABC，此时面积不变，然后分析每一种情况下的重叠部分的图形，结合函数图象作答即可.
12．【答案】D
【知识点】勾股定理；动点问题的函数图象；三角形-动点问题
【解析】【解答】解：由题意可得，当x=0时
∴
∴
由题意可得AP1=1
由图①可得，当点P从P1运动到P2的过程中y=1，PB=PC，此时1≤x≤2，不变
∴此时P1P2垂直平分BC，垂足为点P2，如图
∴P1P2=1
此时
∴△BP1P2的面积为
故答案为：D
【分析】由图象可得，根据勾股定理可得BC，由题意可得AP1=1，由图①可得，当点P从P1运动到P2的过程中y=1，PB=PC，此时1≤x≤2，不变，此时P1P2垂直平分BC，垂足为点P2，P1P2=1，再根据勾股定理可得P1B，P2B，再根据三角形面积即可求出答案.
13．【答案】D
【知识点】三角形的面积；几何图形的面积计算-割补法；通过函数图象获取信息；动点问题的函数图象；二次函数与分段函数的综合应用
【解析】【解答】解：当4
∵点P，点Q的速度均为1cm/s，时间为x(s)，
AB+BP =x(cm)，AD+DQ = x(cm)，
∵正方形ABCD边长为4cm，
∴AB=AD=BC=DC=4(cm)，
∴BP =(x -4)cm，DQ =(x -4)cm，
∴PC=BC-BP=4-(x-4)=(8-x)cm
，CQ=DC-DQ=4-(x-4) = (8-x)cm
∵正方形ABCD，
∴∠B=∠C=∠D=90°，
∴，，
.'.y = S△APQ = S正方形ABCD -S△CPQ -S△ADQ- S△ABP=4x4-(8-x)2-(2x-8)-(2x- 8)=
即当4；
当0≤≤4时，如图1，点P在AB上运动，点Q在AD上运动，
∵点P，点Q的速度均为1cm/s，时间为x(s)，
∴AP =x(cm)，AQ =x(cm)，
∵正方形ABCD，
∴∠A=90°，
∴y= S△APQ=（cm2）
即当0 ≤x≤ 4时，y =x2(cm2)；
综上，y=
由此可知，当0≤x≤4时，函数图象为开口向上，过点(0，0)，(4，8)的二次函数的一部分；当4
故答案为：D.
【分析】当4△APQ = S正方形ABCD -S△CPQ -S△ADQ- S△ABP=4x4-(8-x)2-(2x-8)-(2x- 8)=；当0≤≤4时，如图1，点P在AB上运动，点Q在AD上运动，点P，点Q的速度均为1cm/s，时间为x(s)，利用三角形面积计算公式可得出y=，综上，y=，然后逐项进行判断，即可得出答案。
14．【答案】D
【知识点】矩形的性质；相似三角形的判定；动点问题的函数图象；二次函数的其他应用
【解析】【解答】解：A、点E的速度为2cm/s，从D→A→B运动，AB=6cm，因此E从D到A的时间为t=4s（对应图2中H点横坐标为4），说明AD=2×4=8cm．矩形ABCD中，AB=6cm，AD=8cm，则对角线，A正确；
B、t=4s时，E到达A点，E继续向B运动，AE=2(t-4)，EB=6-2(t-4)=14-2t．
F运动的距离DF=tcm，FB=10-t，F到AB的距离为（由相似三角形比例）．
△DEF的面积.设E到BD的距离为hE，则，结合E在AB段的位置，最终可得： ，B正确；
C、点F沿D→B匀速运动，当t=4s时，△DEF的面积cm2．此时E在A点，DE=AD=8cm，设F到AD的距离为h，则，解得cm．
由相似三角形，，即，解得DF=4cm，因此F的速度为cm/s，C正确；
D、时，E在AD段（t≤4），cm，cm，cm．
F运动的距离cm，cm．
若△BEF～△BCD，则需满足，即，计算得，故不相似，D错误．
故答案为：D.
【分析】先通过点E在t=4s时到达A点，求出矩形的边长AD=8cm，进而得到对角线BD=10cm；再根据t=4s时的面积求出点F的速度为1cm/s；接着根据点E在AB段的运动情况，推导出曲线GH的函数表达式；最后验证时△BEF与△BCD的相似性，得出D错误．
15．【答案】B
【知识点】动点问题的函数图象；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系；等腰三角形的性质-三线合一；数形结合
【解析】【解答】解：由图2可知，当时，，即，
∴，
∵D是边的中点，
∴；
∵，
即，，，
此时，，
如图，过点作交于点，则有为等腰三角形，
∴，；
由图2知，点为最高点，
∵当点和点重合时，最大，
∴，，
∴，
∴，
整理得，
解得或（负值舍去），故选项C错误；
∴，，
∴，，故选项B正确；
∴，故选项A错误；
由上图可知，当，即点和点重合时，有最小值，即最小，
此时，
∴，
∴的最小值为，故选项D错误．
故答案为：B ．
【分析】由于图象经过点P(0，100) ，可知当x=0时，点A与点E重合，此时AE=0，DE=AD，则y=DE2=100，故AD=10，结合中点定义得AB=20；由图象经过点N(n-9，100)，得当x=n-9时，AE=n-9，y=DE2=100，故DE=10，故△ADE是等腰三角形；过点D作DF⊥AC于点F，由等腰三角形的三线合一得出AF=，在Rt△ADF中，由余弦函数定义求出；由图象最高点M(n，m)，由于当E与点C重合时，DE最大，故AE=AC=n，y=DC2=m，在Rt△ABC中，由余弦函数定义得，则可列出方程 ，求解得出符合题意的n为25，可判断C选项；则AC=25，在Rt△ABC中，利用勾股定理算出BC，由∠A的余弦函数值及特殊锐角三角函数值可判断A选项；在Rt△BDC中，由勾股定理算出DC2得出m的值，可判断B选项；根据垂线段最短得出当DE⊥AC，即点E与点F重合时，DE最小，即y=DE2最小，此时AF=，进而在Rt△ADF中，利用勾股定理算出DF2即可判断D选项.
16．【答案】解：（1）∵直线AB：y=﹣x+b交y轴于点A，交x轴于点B，∴点A的坐标为（0，b），点B的坐标为（b，0）．∵S△AOB=b2=8，∴b=±4．∵点A在y轴正半轴上，∴b=4，∴点B的坐标为（4，0），直线AB的函数表达式为y=﹣x+4；（2）①∵直线a垂直平分OB，OB=4，∴OE=BE=2，当x=2时，y=﹣x+4=2，∴点D的坐标为（2，2），∵点P的坐标为（2，m）（m＞2），∴PD=m﹣2，∴S△ABP=S△APD+S△BPD，=DP OE+DP BE，=×2（m﹣2）+×2（m﹣2）=2m﹣4；②∵S△ABP=6，∴2m﹣4=6，∴m=5，∴点P的坐标为（2，5）；③点Q的坐标为（1，0）或（7，0）或（0，1）或（0，7）．
（1）解：∵直线AB：y=﹣x+b交y轴于点A，交x轴于点B，
∴点A的坐标为（0，b），点B的坐标为（b，0）．
∵S△AOB=b2=8，
∴b=±4．
∵点A在y轴正半轴上，
∴b=4，
∴点B的坐标为（4，0），直线AB的函数表达式为y=﹣x+4；
（2）解：①∵直线a垂直平分OB，OB=4，
∴OE=BE=2，
当x=2时，y=﹣x+4=2，
∴点D的坐标为（2，2），
∵点P的坐标为（2，m）（m＞2），
∴PD=m﹣2，
∴S△ABP=S△APD+S△BPD，
=DP OE+DP BE，
=×2（m﹣2）+×2（m﹣2）=2m﹣4；
②∵S△ABP=6，
∴2m﹣4=6，
∴m=5，
∴点P的坐标为（2，5）；
③点Q的坐标为（1，0）或（7，0）或（0，1）或（0，7）．
【知识点】点的坐标；三角形的面积；一次函数的性质；一次函数中的动态几何问题；一次函数中的面积问题
【解析】【解答】解：（2）③假设存在．
当点Q在x轴上时，设其坐标为（x，0），
∵S△ABQ=AO BQ=×4×|x﹣4|=6，
∴x1=1，x2=7，
∴点Q的坐标为（1，0）或（7，0）；
当点Q在y轴上时，设其坐标为（0，y），
∵S△ABQ=BO AQ=×4×|y﹣4|=6，
∴y1=1，y2=7，
∴点Q的坐标为（0，1）或（0，7）．
综上所述：假设成立，即在坐标轴上，存在一点Q，使得△ABQ与△ABP面积相等，且点Q的坐标为（1，0）或（7，0）或（0，1）或（0，7）．
【分析】(1)本题考察一次函数的图象与性质以及三角形面积的计算，通过面积求b值。直线AB的解析式为，交y轴于，交x轴于；是直角三角形，直角边AO和BO的长度均为，面积；解得，因为A在y轴正半轴，所以，因此点B的坐标为，直线AB的解析式为。
(2)①本题考察三角形面积的表达式推导，结合垂直平分线的性质找关键点坐标。OB=4，直线a垂直平分OB，所以，E点坐标为；将代入直线AB的解析式，得，所以D点坐标为；点P在直线a上，横坐标为2，纵坐标为m（），因此；的面积可拆分为和的面积之和，两个三角形的底均为DP，高均为2（AE和BE的水平距离），所以面积。
②本题考察代数式求值，将面积值代入表达式求m。已知，代入，解方程得；点P的横坐标为2，因此点P的坐标为。
③本题考察三角形面积相等的条件，分点Q在x轴和y轴两种情况求解。当Q在x轴上时，设，的面积 ，解得，或7，所以Q点坐标为或；当Q在y轴上时，设，的面积，解得，或7，所以Q点坐标为或，综上存在Q点，坐标为、、、。
17．【答案】D
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数的一点一垂线型
【解析】【解答】解：∵ 点P是双曲线上的一个动点，过点P作轴于点A ，
∴S△AOP=×8=4，
故当点P从左向右移动时，△OPA的面积保持不变始终为4.
故答案为：D．
【分析】根据反比例函数k的几何意义“过反比例函数(k≠0)图象上任意一点向坐标轴引垂线，则这条垂线、纵坐标及这点与坐标原点连线所围成的三角形的面积始终为”求解即可.
18．【答案】C
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；平行四边形的判定与性质；反比例函数的一点一垂线型
【解析】【解答】解：∵点C是反比例函数（）的图象上的一个动点，且轴于点A，
∴，，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∴四边形的面积.
故答案为：C.
【分析】根据值的几何意义，得到，然后得到四边形为平行四边形，根据平行四边形的面积公式计算解答即可.
19．【答案】B
【知识点】矩形的性质；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数中的动态几何问题
【解析】【解答】解：由题意，当点A在y轴上时，如图，
∵点A是直线y＝2上的动点，
∴OA＝2，
又∵矩形的面积为8，
∴OA AC＝8，
∴AC＝4，
∴C（4，2），
故选项A正确，不合题意；
设AC与y轴交于点F，分别过B作BG⊥y轴于G，作BH⊥x轴于H，
∵矩形OACB的面积为8，
∴S△BOF＝4．
∴S△BOG≤4．
又∵S△BOH＝S△BOG＝mn，
∴mn≤4．
∴mn≤8，故B错误，符合题意．
直线CB的斜率kCB＝．
又∵xA＝ ，
∴kCB＝．
直线CB的方程为y n＝ (x m)．
点E是该直线与x轴的交点，令y＝0： n＝(xE m)，
n2＝m（xE m），
xE m＝，
xE＝m＋＝．
将m2＋n2＝4，
m代入上式：xE＝＝4，
OE的长度即为|xE|，所以OF的长始终为4．
∴选项C是正确的．
关系式m2＋n2＝4m，可以写成m2 4m＋n2＝0．这是一个关于m的一元二次方程．
为了使m有实数解，判别式Δ必须大于等于0．
Δ＝（ 4）2 4n2≥0
16 4n2≥0
4n2≤16
n2≤4
解得 2≤n≤2．
∴选项D是正确的．
∴不正确的说法是B．
故答案为：B．
【分析】先通过动点A在直线y＝2上运动且矩形面积恒定这一条件，再结合几何变换或相似三角形性质，推导出点B的轨迹是一个圆（m 2）2＋n2＝4，再利用直接斜率的定义及计算方法以及直线与坐标轴的关系计算并逐一判定选项的正确与错误即可．
20．【答案】3
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数的两曲一平行型
【解析】【解答】解：连接OA，OB.
∵ABx轴，
∴，
∵点A，点B分别在反比例函数和的图象上，
∴.
∴.
故填：3.
【分析】连接OA，OB，由平行线间的距离相等，可得，根据反比例函数系数k的几何意义可求得，从而求出.
21．【答案】（1）解：作于，由题意得，，
∴，．
∵，
∴．
在中，，，
∴，
，
∴．
把代入，得，
∴反比例函数的解析式为．
（2）解：作于，联立，解得，，
故点的坐标为，
∴，
∴
（3）解：的大小不变，，理由如下：
∵
∴，设直线的方程为
设．
联立，
得，
则，
∵是的中点，
∴的横坐标为．
∵点在直线上，
∴，
如图，作于，则，
∴，
∴．
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；求特殊角的三角函数值；反比例函数的两点和原点型
【解析】【分析】（1）如图，过点D作x轴的垂线段DG，先由直线上点的坐标特征可得A、B两点坐标，解直角三角形可得、，再利用线段的和差关系求出OG即可；
（2）过点C作x轴的垂线段CH，再联立直线AB与双曲线解析式可得点C坐标，再利用割补法求出的面积即可；
（3）由于可求得，则由已知可证EF平行AB，则设直线EF的解析式，再联立直线EF与双曲线解析式，由根与系数关系结合中点坐标公式可得点P的横坐标，再由直线上点的坐标特征可得点P的纵坐标，此时再过点P作x轴的垂线段并解直角三角形可得．
（1）解：作于，由题意得，，
∴，．
∵，
∴．
在中，，，
∴，
，
∴．
把代入，得，
∴反比例函数的解析式为．
（2）解：作于，联立，
解得，，
故点的坐标为，
∴，
∴
（3）解：的大小不变，，理由如下：
∵
∴，设直线的方程为
设．
联立，
得，
则，
∵是的中点，
∴的横坐标为．
∵点在直线上，
∴，
如图，作于，则，
∴，
∴．
22．【答案】（1）解：∵抛物线y＝ax2＋bx＋2（a≠0）过D（ 1，3），A（ 4，0），
∴，
解得：a=，b=，
∴y＝x2x＋2，
∴y＝x2x＋2＝(x＋)2＋，
∴顶点P的坐标为(，)．
（2）解：如图，过点F作FG∥AD交x轴于G，连接DG，
S△ADF＝S△ADG，
∵△ADF的面积为，
∴AG×3＝，
解得：AG＝9，
∵A（ 4，0），
∴G（5，0），
设直线AD的表达式为y＝k1x＋b1，
将点D（ 1，3），A（ 4，0）代入得：
，
解得：，
∴求直线AD的表达式为y＝x＋4，
∵FG∥AD，
∴设直线FG的表达式为y＝x＋m，
∴5＋m＝0，解得m＝ 5，
∴直线FG的表达式为y＝x 5，
联立y＝x 5与抛物线y＝x2x＋2得：
，
解得：或，
∴点F的坐标为（ 7， 12）或（2， 3）.
（3）
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-动态几何问题；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；二次函数-面积问题
【解析】【解答】解：（3）∵抛物线解析式是：y＝x2x＋2＝(x＋)2＋，
∴对称轴是直线x＝，
∴点D关于直线l的对称点是D'（ 2，3），则GD＝GD'，
则|GA GD|＝|GA GD'|≤AD'，
当且仅当点A、D'、G三点共线时，取最大值，此时点G在点G'位置，
设直线AD'的表达式为y＝k2x＋b2，
将点A（ 4，0），D'（ 2，3）代入得：
，
解得：，
∴直线AD'的表达式为y＝x＋6，
当x＝时，y＝x＋6＝，
∴当|GA GD|最大时，此时点 G 的坐标为( ，)．
故答案为：( ，)．
【分析】（1）先利用待定系数法求出抛物线解析式，再化为顶点式即可得顶点P的坐标；
（2）过点F作FG∥AD交x轴于G，连接DG，则S△ADF＝S△ADG，根据△ADF的面积为求出AG，则G（5，0），可得直线FG的表达式为y＝x 5，联立抛物线y＝x2x＋2即可求解；
（3）求得对称轴是直线x＝，点D关于直线l的对称点是D'（ 2，3），则|GA GD|＝|GA GD'|≤AD'，当且仅当点A、D'、G三点共线时，取最大值，此时点G在点G'位置，待定系数法求出直线AD'的表达式，在代入x＝，求出点G'的纵坐标即可得解．
23．【答案】（1）解：二次函数y＝ax2﹣2x+c（a≠0）的图象与x轴交于点A和点B（3，0），与y轴交于点C（0，﹣3）．将点B，点C的坐标分别代入得：
，
解得：，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）解：设直线BC的解析式为y＝kx+b，将点B（3，0），点C（0，﹣3）分别代入得：
，
解得：，
∴直线BC的解析式为y＝x﹣3，
点P为直线BC下方抛物线上的点，如图2，
设P（a，a2﹣2a﹣3），
∴M（a，a﹣3），
∴，
当时，，
∴，
∴△PBC面积的最大值为，
∴；
（3）解：由题意可得：y'＝（x﹣1）2﹣2（x﹣1）﹣3﹣1＝x2﹣4x﹣1＝（x﹣2）2﹣5，
y'的对称轴为x＝2．
∵B（3，0），C（0，﹣3），
∴OC＝OB＝3，∠BCO＝∠CBO＝45°，
当BC为矩形一边时，且点D在x轴的下方，如图3，过D作DF⊥y轴于点F，
∵D在y'的对称轴上，
∴FD＝2，
∵∠BCD＝90°，∠BCO＝45°，
∴∠DCF＝45°，
∴CF＝FD＝2，OF＝3+2＝5，即点D（2，﹣5），
∴点C向右平移2个单位、向下平移2个单位可得到点D，则点B向右平移2个单位、向下平移2个单位可得到点E（5，﹣2）；
当BC为矩形一边时，且点D在x轴的上方，y'的对称轴为x＝2与x轴交于点F，如图4，
∵D在y'的对称轴上，
∴FO＝2，
∴BF＝3﹣2＝1，
∵∠CBO＝45°，即∠DBO＝45°，
FD＝1，即点D（2，1），
∴点B向左平移1个单位、向上平移1个单位可得到点D，则点C向左平移1个单位、向上平移1个单位可得到点E（﹣1，﹣2）；
当BC为矩形对角线时，如图5，设D（2，d），E（m，n），BC的中点F的坐标为，
依意得：，
解得：，
又∵DE＝BC，
∴（2﹣1）2+（d﹣n）2＝32+32，
解得：，
联立得：，
解得：，
∴点E的坐标为或．
综上所述，点E的坐标为（5，﹣2）或（﹣1，﹣2）或或．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数图象的平移变换；二次函数-面积问题；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【分析】(1)利用待定系数法，将点B(3，0)、C(0，-3)代入二次函数解析式，求解a、c，得到抛物线解析式；
(2)先求直线BC的解析式，设抛物线上点P的坐标，作PM⊥x轴交BC于M，用P、M的纵坐标差表示PM，将△PBC的面积表示为关于P横坐标的二次函数，求最大值及对应P的坐标；
(3)先根据平移规律得到新抛物线y的解析式及对称轴，设对称轴上点D的坐标，分BC为矩形的边、对角线两种情况，利用矩形的性质（勾股定理、中点坐标公式）求解点B的坐标。
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