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几何动点（动点构造角、特殊三角形、特殊四边形）—2026浙江中考数学高阶能力拓展专题
一、几何动点构造角
1． 如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，，将线段绕点O按顺时针方向旋转90°，使点A落在边上的点E处，抛物线过A，E，B三点．
（1）填空：　 　；　 　．
（2）若点M是抛物线对称轴上的一动点，当的周长最小时：
①求点M的坐标；
②求外接圆圆心F的坐标．
（3）在（2）的条件下，点P是轴上一动点，当时，求点P的坐标．
2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，点，在此抛物线上，其横坐标分别为，，连接，．
（1）求此抛物线的解析式．
（2）当点与此抛物线的顶点重合时，求的值．
（3）当的边与轴平行时，求点与点的纵坐标的差．
3．如图，平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴相交于点、点，与轴相交于点，连接、．
（1）求：，的值；
（2）当时，函数的最小值是2，求出的值；
（3）在抛物线上是否存在点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
4．综合与实践：
如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，连结，点在抛物线上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）小明探究点位置时发现：如图1，点在第一象限内的抛物线上，连结，，面积存在最大值，请帮助小明求出面积的最大值；
（3）小明进一步探究点位置时发现：点在抛物线上移动，连结，存在，请帮助小明求出时点的坐标．
5．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线 与x轴交于A，B(4，0)两点，与y轴的正半轴交于点 C(0，4).
（1）求抛物线对应的函数解析式.
（2）如图1，P是抛物线上在第一象限的一点，连接BC，PB，PC，过点 P 作 PD⊥x轴于点D，交BC于点K.记△PBC，△BDK的面积分别为S1，S2，求 的最大值.
（3）如图2，连接AC，E(-1，2)为线段AC 的中点，过点 E 作 EF⊥AC，交x轴于点 F，连接CF.抛物线上是否存在点 Q，使∠QFE=2∠OCA 若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.
6．如图，抛物线经过、两点，为抛物线上第一象限内的一个动点．
（1）求抛物线所对应的函数表达式；
（2）当的面积最大时，求点的坐标；
（3）过点作，垂足为点，是否存在点，使，若存在，求点的横坐标；若不存在，请说明理由．
7．如图1，抛物线经过点，对称轴为直线，与轴交于两点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）若点是抛物线上的两个点，．若，求的值；
（3）如图2，已知直线与直线交于点，与，轴分别相交于点，试探究在第二象限内的抛物线上是否存在一点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
二、几何动点构造特殊三角形
8．已知点A是直线上一动点，以点A为顶点的抛物线交y轴于点B，作点B关于x轴的对称点C，连接AB、AC．若△ABC是直角三角形，则点A的坐标为　 　．
9．如图，抛物线与x轴交于点A，B（点B在A的右侧），与y轴交于点C，其中，点P在第一象限的抛物线上，若是以为底的等腰直角三角形，则m的值为　 　.
10．如图，直线l过x轴上一点A(2，0)，且与抛物线相交于B，C两点，B点坐标为(1，1).
（1） 求直线l和抛物线的函数解析式．
（2） 在x轴上是否存在一点p，使△POD为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3） 若抛物线上有一点D(在第一象限内)使得：，求D点坐标．
11． 如图，直线与x轴、y轴分别交于B、C两点，抛物线经过B、C两点，与x轴另一交点为A，顶点为D.
（1） 求抛物线的解析式.
（2） 如果一个圆经过点O、点B、点C三点，并交于抛物线AC段于点B，求的度数.
（3） 在抛物线的对称轴上是否存在点P，使为等腰三角形，如果存在，求出点P的坐标，如果不存在，请说明理由.
12．已知抛物线的图象经过原点和点，顶点为B，且顶点B的纵坐标为2．
（1）求抛物线的对称轴；
（2）求证：是以点B为直角顶点的等腰直角三角形；
（3）设点P是抛物线上一点（P不与点O，A，B重合），点Q在x轴上．是否存在正三角形？若存在，请求出满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
13．如图，抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），点的坐标为，与轴交于点，直线与轴交于点．动点在抛物线上运动，过点作轴，垂足为点，交直线于点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）当点在线段上时，的面积是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由；
（3）点在运动过程中，能否使以为顶点的三角形是以为腰的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标．
14．如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，连接．若点在线段上运动（点不与点重合），过点作轴的垂线，交抛物线于点，交轴于点．设点的横坐标为．
（1）求拋物线的函数表达式．
（2）若，求的值．
（3）在点的运动过程中，是否存在使得为等腰直角三角形？若存在，请直接写出的值；若不存在请说明理由．
三、几何动点构造特殊四边形
15． 抛物线与轴交于点，两点，与轴交于点，点是抛物线上的一个动点.
（1）求抛物线的函数解析式和直线的解析式；
（2）如图，点在线段上方的抛物线上运动（不与重合），过点作，垂足为，交于点. 若点的横坐标为，请用的式子表示，并求的最大值；
（3）如图，点是抛物线的对称轴上的一个动点，抛物线上存在一点，使得以点为顶点的四边形是平行四边形，请求出所有符合条件的点的坐标.
16．如图1，若二次函数y＝ax2﹣2x+c（a≠0）的图象与x轴交于点A和点B（3，0），与y轴交于点C（0，﹣3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，连接BC，点P为直线BC下方抛物线上的动点，求△PBC面积的最大值及此时点P的坐标；
（3）如图3，将抛物线y＝ax2﹣2x+c（a≠0）先向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到新的抛物线y'，在y'的对称轴上有一点D，坐标平面内有一点E，使得以点B，C，D，E为顶点的四边形是矩形，求点E的坐标．
17．如图，已知抛物线：与y轴相交于点C（0，1），对称轴为直线x=2．坐标原点为O点，抛物线的对称轴交x轴于A点．
（1）抛物线的关系表达式；
（2）若点P为抛物线上的一动点，连接PO交线段AC于点B，当PB=2BO时，求点P的坐标；
（3）将抛物线向左平移2个单位长度得到抛物线，与相交于点E，点F为抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点H，使以点C，E，F，H为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点H的坐标：若不存在，请说明理由．
18．如图，已知二次函数. 的图象经过三点A (-1， 0)， B(3， 0)， C (0， - 3)， 它的顶点为 M，且正比例函数.y=kx的图象与二次函数的图象相交于D、E两点.
（1）求该二次函数的表达式和顶点 M的坐标；
（2）若点E的坐标是((2，-3)，且二次函数的值小于正比例函数的值时，试根据函数图象求出符合条件的自变量x的取值范围；
（3）试探究：点P是x轴上一动点，以BP 为边作正方形BPQN，除点B 外还有一个顶点在抛物线上，求出满足条件的点 N的坐标.
19．如图，已知抛物线与轴相交于点，将抛物线绕着点旋转得到新的抛物线，抛物线与轴相交于点．
（1）求点的坐标及抛物线的顶点坐标；
（2）在抛物线上取一点，连接，且满足．
①当时，求点的坐标；
②定义：我们把一条对角线与一条边相等的平行四边形称为关于此对角线的对等平行四边形．现过点，，作平行四边形，当平行四边形是关于对角线的对等平行四边形时，求此时的值．
20．如图所示，在平面直角坐标系中，直线交坐标轴于B、C两点，抛物线经过B、C两点，且交x轴于另一点．点D为抛物线在第一象限内的一点，过点D作，交于点P，交x轴于点Q．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设点P的横坐标为m，在点D的移动过程中，存在，求出m值；
（3）在抛物线上取点E，在平面直角坐标系内取点F，问是否存在以C、B、E、F为顶点且以为边的矩形？如果存在，请求出点F的坐标；如果不存在，请说明理由．
21．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点A（3，0）、B（0，-3），点P是直线AB上的动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M，设点P的横坐标为t.
（1）分别求出直线AB和这条抛物线的解析式.
（2）若点P在第四象限，连接AM、BM，当线段PM最长时，求的面积.
（3）是否存在这样的点P，使得以点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形 若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由.
22．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点．与y轴交于点C．且点A的坐标为，点C的坐标为．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）如图甲，若点P是第一象限内抛物线上的一动点．当点P到直线的距离最大时，求点P的坐标；
（3）图乙中，若点M是抛物线上一点，点N是抛物线对称轴上一点，是否存在点M使得以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
23．如图，抛物线 与x轴交于点A和点B (3，0)，与y轴交于点C(0，3)，点D是抛物线的顶点，过点D作x轴的垂线，垂足为E，连接DB.
（1）求此抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）点M是抛物线上的动点，设点M的横坐标为m.
①当∠MBA=∠BDE时，求点M的坐标；
②过点M作MN∥x轴，与抛物线交于点N， P为x轴上一点，连接PM， PN，将 沿着MN翻折，得 ，若四边形MPNQ恰好为正方形，直接写出m的值.
24．如图1，若二次函数的图象与轴交于点和点，与轴交于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，连接，点为直线下方抛物线上的动点，求面积的最大值及此时点的坐标；
（3）如图3，将抛物线先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到新的抛物线，在的对称轴上有一点，坐标平面内有一点，使得以点，，，为顶点的四边形是矩形，求点的坐标．
答案解析部分
1．【答案】（1）1；-4
（2）解：①由 (1) 得抛物线解析式为 ，
抛物线对称轴为直线 ，
如图所示， 连接 A E 交对称轴于点 ， 设抛物线对称轴与 轴交于 ，
，
关于直线 对称，
，
的周长 ，
都是定点， 即 B E 是定值，
当 A 、 M 、 E 三点共线时， 最小， 即此时 的周长最小，
，
时直角三角形， 即 ，
外接圆圆心 即为 B E 的中点，
外接圆圆心 的坐标为 .
（3）解： 由 (2) 得 ，
点 在 轴上，
即
或）
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；轴对称的应用-最短距离问题；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-角度的存在性问题
【解析】【解答】(1) 当 时，
∴A(0，3)，
由旋转的性质可得
∴ E(3，0)；
∵四边形AOCB是矩形，
∴B(4，3)，
把E(3，0)， B(4，3)代入到抛物线解析式中得： ，
解得
故答案为：1，
【分析】(1)先利用二次函数解析式求出点A的坐标，进而求出E、B的坐标，再利用待定系数法求解即可；(2)①先求出抛物线对称轴为直线x =2，如图所示，连接AM，设抛物线对称轴与x轴交于T，再由A、B关于直线x = 2对称， 得到AM = BM， 进一步推出当A、M、E三点共线时，BM+EM最小，即此△MBE的周长最小，先求出∠AEO=45°， 进而证明∠TME =45°=∠TEM， 得到MT=OE-OT =1， 则M(2，1)； ②利用勾股定理和勾股定理的逆定理证明△BME时直角三角形，即∠BME= 90°， 则△MBE外接圆圆心F即为BE的中点，据此求解即可；(3)先由 (2) 得. 再证明△BME∽△PCB， 求出CP=6， 由此即可得到答案.
2．【答案】（1）解：∵抛物线经过点，
∴将代入得，，
∴；
（2），
顶点坐标为，
点Q与此抛物线的顶点重合，点Q的横坐标为，
解得：
（3）①轴时，点A，Q关于对称轴对称，
，
解得，，
则，，
，，
点P与点Q的纵坐标的差为；
②当轴时，则A，P关于直线对称，
则，，
则，，
，；
点P与点Q的纵坐标的差为；
综上所述，点P与点Q的纵坐标的差为1或8．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数-角度的存在性问题
【解析】【分析】（1）将已知点坐标代入抛物线解析式，用待定系数法求出未知系数，确定抛物线表达式；（2）先将抛物线化为顶点式得到顶点坐标，再结合点 Q 的坐标特征建立方程求解 m 的值；
（3）分 AQ 平行于 x 轴、AP 平行于 x 轴两种情况，利用抛物线的对称性求出点 P、Q 的坐标，再计算两点纵坐标的差。
3．【答案】（1）解：由题意得：，
则，则，
抛物线的解析式为：，
则；
（2）解：
在范围内，当时函数有最小值2
，解得（舍去）
答：；
（3）解：存在点，理由如下：∵，，
∴，
，
①当点在左侧时，如图，在轴上取点，延长交抛物线于点，
在和中，
，，，
，
，
，
设直线的解析式为，
由点、的坐标得，直线的解析式为，
联立上式和抛物线的表达式得：，
则（舍去）或，故点；
②当点在右侧时，如上图，作关于的对称，交二次函数于点，
则，，，
，
，
四边形是正方形，
，
令中，，则，
解得或，
，，
，，
，
，
，
在点抛物线上，即点满足条件，
故存在满足条件的点有两个，分别为：或．
【知识点】坐标与图形性质；二次函数的最值；旋转全等模型；二次函数-角度的存在性问题
【解析】【分析】
（1）由题意得可设抛物线的解析式为交点式，再利用待定系数法求解即可；
（2）由抛物线解析式可得其对称轴为直线，因为抛物线开口向下，则抛物线上的点距离对称轴越远对应的函数值越小，即当时，函数取得最小值2，由抛物线上点的坐标特征可列关于t的方程并求解即可；
（3）由于抛物线交y轴于，则，所以，此时可在y轴正半轴上截取OM=OA，则由旋转全等模型可得，则，则，再利用待定系数法求出直线BM的解析式，再联立直线与抛物线的解析式并解方程可得点P1的坐标，此时点P位于直线BC的左侧；再以BC为对角线、OB为边作正方形COBN交抛物线于点P2，可由抛物线上点的坐标特征可得点P2的坐标，则可计算得P2N＝MO，则利用正方形的性质可证，即可得，则，故满足条件的点P的两个．
（1）解：由题意得：，
则，则，
抛物线的解析式为：，
则；
（2）解：当时，，
解得，，
点，
当时，，
点．
由抛物线的表达式知，其对称轴为直线，
当时，函数的最小值是2，即时，函数取得最小值，
则，则（舍去），
∴的值为；
（3）解：存在点，理由如下：
∵，，
∴，
，
①当点在左侧时，如图，在轴上取点，延长交抛物线于点，
在和中，
，，，
，
，
，
设直线的解析式为，
由点、的坐标得，直线的解析式为，
联立上式和抛物线的表达式得：，
则（舍去）或，故点；
②当点在右侧时，如上图，作关于的对称，交二次函数于点，
则，，，
，
，
四边形是正方形，
，
令中，，则，
解得或，
，，
，，
，
，
，
在点抛物线上，即点满足条件，
故存在满足条件的点有两个，分别为：或．
4．【答案】（1）∵抛物线与轴交于点和点，∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）如图1，
过点作轴交线段于点，垂足为点，∵抛物线与轴交于点，
当时，，
∴，
设直线的表达式为，过点，，
∴，
解得：，
∴直线的表达式为，
设点，则点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴当时，的面积有最大值，面积的最大值为；
（3）如图2，当点在直线的上方的抛物线上时，∵，
∴，
∴点，的纵坐标相等，即点的纵坐标为，
当时，则，
解得，，，
∴，
如图3，当点在直线的下方的抛物线上时，
设交轴于点，
∵，
∴，
设，
∴，
在中，，
∴，
解得：，
∴，
∴，
设直线的解析式为，过点，，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为，
联立，
解得：， ，
∴，
综上所述，点D的坐标为或．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-面积问题；二次函数-角度的存在性问题
【解析】【分析】(1)利用待定系数法将和点代入解析式求解得到结果；
（2）根据题意，得到，进而求出直线的方程，接着假设点和点以及，结合三角形面积公式进行化简，结合二次函数最值进行计算即可得到结果；
（3）根据题意，分两种情况进行求解；当点在直线的上方的抛物线上时，利用代入方程求解；当点在直线的下方的抛物线上时，利用中，求出的成，接着求出直线的解析式，进而联立方程进而求出D的坐标.
（1）解：∵抛物线与轴交于点和点，
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）如图1，过点作轴交线段于点，垂足为点，
∵抛物线与轴交于点，
当时，，
∴，
设直线的表达式为，过点，，
∴，
解得：，
∴直线的表达式为，
设点，则点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴当时，的面积有最大值，面积的最大值为；
（3）如图2，当点在直线的上方的抛物线上时，
∵，
∴，
∴点，的纵坐标相等，即点的纵坐标为，
当时，则，
解得，，，
∴，
如图3，当点在直线的下方的抛物线上时，
设交轴于点，
∵，
∴，
设，
∴，
在中，，
∴，
解得：，
∴，
∴，
设直线的解析式为，过点，，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为，
联立，
解得：， ，
∴，
综上所述，点D的坐标为或．
5．【答案】（1）解：把点B(4， 0)， C(0， 4)代入
得 解得
∴抛物线对应的函数解析式为
（2）解：设直线BC对应的函数解析式为y = kx+m(k≠0)，
把点B(4， 0)， C(0， 4)代入，得 解得
∴直线BC对应的函数解析式为y=-x+4.
设 则K(n， - n+4)， D(n， 0)，
∴当 时， 取得最大值，最大值为
（3）解：存在.
令 解得
∴A(-2， 0)，
∵E为AC的中点，且EF⊥AC，
∴∠AFE =∠CFE.
设OF =a，则CF =AF =a+2.
在Rt△COF中，由勾股定理，得( 解得a=3，
∴F(3， 0)， CF =5.
∵EF⊥AC， ∠AOC =90°，
∴∠AFE =∠OCA =90°-∠CAF，
∴∠AFE =∠OCA =∠CFE.
如图1，当点Q在第三象限时，取点E关于x轴的对称点E1，连接FE1，交抛物线于点Q，则∠QFE =2∠EFA =2∠OCA， E1(-1， - 2).
设直线FE1对应的函数解析式为
则 解得
∴直线FE1对应的函数解析式为
联立 得
解得 (舍去)，
当 时，
∴点 Q 的坐标为
如图2，当点Q在第一象限时，取E关于CF的对称点E2，连接 交CF于点G，连接 交抛物线于点Q， 则∠QFE=2∠CFE=2∠OCA， EG⊥CF.
过点G作GH⊥x轴于点 H，则
设直线FE2对应的函数解析式为
贝 解得
∴直线FE2对应的函数解析式为
联立 得
解得 (舍去)，
当 时，
∴点Q的坐标为
综上，点Q的坐标为 或
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；解直角三角形—边角关系；利用一般式求二次函数解析式；二次函数-面积问题；二次函数-角度的存在性问题
【解析】【分析】(1)由待定系数法求出函数解析式即可；
(2)求出BC的解析式，设 则，K(m，-m+4)，D(m，0)， 将 转化为二次函数求最值即可；
(3)得到FE垂直平分AC，设OF=a，勾股定理求出F点坐标，三线合一结合同角的余角相等，推出 分别作点E关于x轴和直线CF的对称点 直线F 与抛物线的交点即为所求，进行求解即可.
6．【答案】（1）解：设抛物线的表达式为：，
即，
则，
解得：，
则抛物线的解析式为；
（2）解：如图所示，过作轴，垂足为，与交于点，
在中，当时，，
，
设直线的解析式为，
将，代入解析式得，
解得：，
直线的解析式为，
，
∴，
∴，
∴
，
当的面积最时，，此时，点；
（3）解：存在，理由：
当时，取点，连接．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
设直线的解析式为，
∵点，，
，
解得：，
∴直线的解析式为，
∴设直线的解析式为．
将代入直线的解析式得，
直线的解析式为，
联立直线及抛物线的解析式成方程组得：，
解得：（舍去）或，
即点．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；二次函数-面积问题；二次函数-角度的存在性问题
【解析】【分析】（1）已知抛物线经过点A，B，利用待定系数法求解解析式即可；
（2）首先令x=0，求出点C的坐标，进而求出直线BC的函数表达式，再设点D的横坐标为x，利用“铅垂高”法表示的面积，最后将面积表示为关于x的二次函数，利用二次函数的性质求最大值，进而求出点D坐标；
（3）利用轴对称性质构造2，结合平行线的判定与性质，将角度关系转化为解析式关系，联立方程组求解即可.
7．【答案】（1）解：抛物线经过点，
，即．
对称轴为直线，
，即．
抛物线的表达式为；
（2）解：点是抛物线上的两个点，
，
，
，
．
，
，解得或，
的值为或；
（3）解：如图，在轴上取一点F，作直线CF交抛物线于点G，使，再过点M作x轴的垂线段MN．
令，则
令，则
设直线的表达式为
解得
直线AC的解析式是
是直线 与直线AC的交点
解得
设直线CF的表达式为，
解得
直线CF的表达式为，
解得
点在第二象限，
点的坐标为．
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的对称性及应用；二次函数-角度的存在性问题
【解析】【分析】（1）先由抛物线上点的坐标特征可得c=-4，再由抛物线的对称性可得b=-1即可；
（2）由抛物线上点的坐标特征结合整式的混合运算可化简为，即可得关于x1的一元二次方程并求解即可；
（3）在轴上取一点F，作直线CF交抛物线于点，使，此时由直线及抛物线上点的坐标特征可分别得出点B、C、D的坐标，则OA＝OC＝OD，即，再过点M作x轴的垂线段MN，则由平行线的性质可得，由于，则必然有，再解直角三角形可得，此时由待定系数法可得直线的表达式，由于点M是直线DE与AC的交点，则联立两直线解析式可得点M的坐标，即MN、ON、DN可得，则，即点F坐标可得，再利用待定系数法求出直线CF的解析式，同理由于点G是直线CF与抛物线的交点，再联立直线与抛物线的解析式可得点G的坐标，由于已知点G在第二象限，再对点G的坐标进行取舍即可．
（1）解：抛物线经过点，
，即．
对称轴为直线，
，即．
抛物线的表达式为；
（2）解：点是抛物线上的两个点，
，
，
，
．
，
，解得或，
的值为或；
（3）解：如图，在轴上取一点，作直线交抛物线于点，使．
直线与轴分别相交于点，
时，，
．
设直线的表达式为，
且经过两点，
则
直线表达式为．
，
．
，
，
即，
，
，即，
解得．
设直线的表达式为，
且经过两点，
则
解得
直线的表达式为，
与抛物线
联立方程得
解得
点在第二象限，
点的坐标为．
8．【答案】或或
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；直角三角形斜边上的中线；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】【解答】解：由题意得：A(m，h)，且，
上式中令x=0，得，
∴．
∵点A在直线上，
∴，
即，，
∵点B、点C关于x轴的对称，
则．
①当∠BAC=90°，则OA是Rt△ABC的斜边BC上的中线，
∴OA=OB，
∵，，
则，
由于m≠0，
解得：或，
所以点A的坐标为或；
②当∠ACB=90°时，如图，则AC⊥BC，此时点A、C的纵坐标相同，
即，
∴，m=0（舍去），
所以点A的坐标为；
综上所述，点A的坐标为或或．
【分析】
本题综合考查二次函数的性质、直角三角形的判定与性质以及坐标对称，需要结合相关知识点分情况讨论，同时运用坐标对称和二次函数的顶点式，准确表示各点坐标并建立方程.具体的分两种情况：第一种若∠BAC=90°，则OA=OB，从而得到关于m的方程，解方程即可；第二种若∠ACB=90°，则点A、C的纵坐标相同，可得关于m的方程，解方程即可．
9．【答案】
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；三角形全等的判定-AAS；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】【解答】解：过点P作轴于点E，如图所示：
令，则有，解得：，
令时，则，
∴，
∴，
∵是以为底的等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵点P在第一象限的抛物线上，
∴，
∴，
解得：（不符合题意，舍去），
故答案为．
【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质、全等三角形的性质与判定及等腰直角三角形的性质，先求出抛物线与x轴，y轴的交点坐标；得，构造垂直辅助线，然后利用AAS证明三角形全等（），利用全等三角形转化点的坐标，则，代入解析式建立方程求解即可.
10．【答案】（1）解：设直线AB的解析式为y= kx +b，
把A(2，0)，B(1，1)代入得
解得
所以直线AB的解析式为y=-x+2；
把B(1，1)代入y =ax2得a=1
所以抛物线解析式为у＝x2
（2）∵B(1，1)
∴OB==
①当OB=OP=时，P(-.0)或(.，0)
②当OP=PB时，点P是线段OC的垂直平分线与X轴的交点，
设P(p，0)
∴p2=(p-1) 2+12
解得：p=1
P(1，0)
③当OB=PB=2时，
(p-1)2+12=()2；
解得：p=0(舍去)或p=2
∴P(2，0)；
综上所述，符合条件的点P的坐标为：P(-，0)或(，0)或P(1，0)或 P(2，0).
（3）联立，
解得：，
，
.
设，
，
.
解得：或（舍去）
.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；利用一般式求二次函数解析式；二次函数-面积问题；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出直线和抛物线解析式即可；
（2）先根据两点间距离公式求出OB长，然后分为，，三种情况，设P(p，0)，根据两点间距离公式列方程求出p的值解答即可；
（3）设，根据割补法求出△COB的面积，即可得到△AOD的面积，再根据三角形的面积公式求出t的值解答即可．
11．【答案】（1）解：（1）对一次函数，令，y=3，得C点坐标，令，可得B点坐标，
将点B，C代入抛物线得，
，解得；
抛物线解析式
（2）解：，，
等腰直角三角形，
.
根据圆周角定理可得；
（3）解：存在，P可以为；；；；
理由如下：如图，
由（1）可知抛物线，
抛物线对称轴，顶点（1，4），
设P点坐标为（1，m），
，，，
①当时，，解得；
②当时，，解得，；（舍去，点P与点D重合）
③当时，，解得，；
综上所述，当点P（1，2）、（1，3）、、时，为等腰三角形
【知识点】圆周角定理；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】【分析】(1)由y=-x+3可得B、C的坐标，将坐标代入抛物线，求出b、c的值，即得解析式；
(2)由OB=OC知∠OCB=45°，由圆周角定理得∠OEB的度数；
(3)设点P(1，m)分别求出PC2、PD2和CD2的长度，分类讨论当PC=PD，PC=CD和PD=CD时，即可得m的所有值.
12．【答案】（1）解：∵的图象经过点，
∴抛物线的对称轴为直线；
（2）解：由（1）可计算得二次函数图象的顶点坐标为，可画图象如图．
，
，
又∵，
，
，
∴是等腰直角三角形．
（3）解：存在，理由如下：
∵点在抛物线上，且抛物线经过与三点，设，
将代入，可解得．
，
要使是正三角形，
设点为，过点作轴，交轴于点，
分三种情况：
当时，，
，
，
∴，
解得（与点重合，舍去），（不符合题意舍去）．
当时，则有：，
，
解得，
根据正三角形对称性，点在轴上，
∴点坐标为．
当时，则有：，
，
解得，
，
∴点的坐标为．
综上所述，点的坐标为：或．
【知识点】等边三角形的性质；勾股定理的逆定理；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】【分析】（1）由于O、A两点纵坐标相同，故O、A两点关于抛物线的对称轴直线对称，从而利用中点坐标公式即可求解；
（2）由（1）可计算得二次函数图象的顶点坐标为，可画出图象，根据两点间的距离公式求出OB、OA、AB，可得BO=AB再根据勾股定理的逆定理证明△ABO为直角三角形即可；
（3）先利用待定系数法求出该抛物线的解析式（用顶点式）；要使是正三角形，根据点的坐标与图性性质，可设点为，过点作轴，交轴于点，分三种情况：当时， 当时， 当时，分别求解即可．
（1）解：∵的图象经过点，
∴抛物线的对称轴为直线；
（2）解：由（1）可计算得二次函数图象的顶点坐标为，可画图象如图．
，
，
又∵，
，
，
∴是等腰直角三角形．
（3）解：∵点在抛物线上，且抛物线经过与三点，设，
将代入，可解得．
，
要使是正三角形，
设点为，过点作轴，交轴于点，
分三种情况：
当时，，
，
，
∴，
解得（与点重合，舍去），（不符合题意舍去）．
当时，则有：，
，
解得，
根据正三角形对称性，点在轴上，
∴点坐标为．
当时，则有：，
，
解得，
，
∴点的坐标为．
综上所述，点的坐标为：或．
13．【答案】（1）解：∵抛物线过点和，
∴，
解得，
∴抛物线的表达式为；
（2）解：对于直线，令，则，
∴，
设，且，
∴，，
∴，
∴，
∵，对称轴为直线，
∴时，的值随的增大而增大，
∴当，有最大值，最大值为；
（3）解：不存在，理由如下：
∵轴，
∴当是以为腰的等腰直角三角形时，则有，
∴M点纵坐标为，
∴，
解得或，
当时，则点M和点C重合，不能构成三角形，不符合题意，舍去，
∴点的坐标为，点的坐标为，
此时，，，
，则不是以为腰的等腰直角三角形，
∴不存在这样的点，使以为顶点的三角形是以为腰的等腰直角三角形．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-面积问题；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）令直线y=2x-3中的y=0算出对应的函数值可得点的（，0)；设，且，根据点的坐标与图形性质得，，根据两点间的距离公式表示出MN，利用三角形的面积公式列出关于的二次函数，利用二次函数的性质求解即可；
（3）当△CMN是以NM为腰的等腰直角三角形时，则有CM⊥MN，根据点的坐标与图形性质得出点M的纵坐标为-3，然后将y=-3代入（1）所求的抛物线解析式算出对应的自变量x的值，判断得出点M的及点N的坐标，由两点间的距离公式算出CM、MN，就会发现MN≠CM，从而可得结论.
（1）解：∵抛物线过点和，
∴，
解得，
∴抛物线的表达式为；
（2）解：对于直线，
令，则，
∴，
设，且，
∴，，
∴，
∴，
∵，对称轴为直线，
∴时，的值随的增大而增大，
∴当，有最大值，最大值为；
（3）解：∵轴，
∴当是以为腰的等腰直角三角形时，则有，
∴M点纵坐标为，
∴，
解得或，
当时，则点M和点C重合，不能构成三角形，不符合题意，舍去，
当时，则点M和点C重合，不能构成三角形，不符合题意，舍去，
点的坐标为，点的坐标为，
此时，，，
，则不是以为腰的等腰直角三角形，
∴不存在这样的点，使以为顶点的三角形是以为腰的等腰直角三角形．
14．【答案】（1）解：∵抛物线与轴交于两点，
∴设
代入，得
解得：
∴抛物线解的函数表达式为；
（2）解：设直线的解析式为，
把，代入解析式得，
，
解得，
∴直线的解析式为；
∵点P的横坐标为m，
∴点P的坐标为
∴，，
∴；，
∵，
∴，
整理得，，
解得，或（不合题意，舍去）
∴；

（3）或
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；等腰直角三角形；二次函数-线段周长问题；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】【解答】
（3）
解：由②知，，，
∵，
∴，
又轴，
∴
∴，
若是等腰直角三角形，则有：
①当时，连接，如图，
∴，
∵
∴
∴轴，
∴
∴，
解得，或（不合题意，舍去）
②当时，如图，连接则作于点K，
则且轴，
∴
∵
∴
∴，
∵
∴
解得，或（不符合题意，舍去），
综上，当或时，为等腰直角三角形
【分析】
（1）已知抛物线与x轴的两个交点A、B，可设交点式y=a(x+2)(x-6)，再代入点C求解即可；
（2）先求出直线BC的解析式，用含m的代数式表示点P、E、F的坐标，进而表示出线段PF和PE的长度，根据PF=3PE列方程求解即可；
（3）先证明是等腰直角三角形，得，再分和两种情况列出关于的方程，求出方程的解即可．
（1）解：∵抛物线与轴交于两点，
∴设
代入，得
解得：
∴抛物线解的函数表达式为；
（2）解：设直线的解析式为，
把，代入解析式得，
，
解得，
∴直线的解析式为；
∵点P的横坐标为m，
∴点P的坐标为
∴，，
∴；，
∵，
∴，
整理得，，
解得，或（不合题意，舍去）
∴；
（3）解：由②知，，，
∵，
∴，
又轴，
∴
∴，
若是等腰直角三角形，则有：
①当时，连接，如图，
∴，
∵
∴
∴轴，
∴
∴，
解得，或（不合题意，舍去）
②当时，如图，连接则作于点K，
则且轴，
∴
∵
∴
∴，
∵
∴
解得，或（不符合题意，舍去），
综上，当或时，为等腰直角三角形
15．【答案】（1）解：∵抛物线 与x轴交于点A(-3，0)，B两点，与 y轴交于点C(0，3)，代 入得：
解得：
设直线AC的解析式为y=kx+b，将A(-3，0)，C(0，3)， 代入得：
解得
∴直线AC的解析式为y=x+3
（2）解：设 则E(x，x+3)，
∵a=-1<0，开口向下，PE存在最大值，最大值为
（3）解：①当AC为平行四边形的边时，则有. 且MN=AC，如图3，过点N作对称轴的垂线，垂足为G，设AC交对称轴于点H，
则∠AHG=∠ACO=∠NMG，
在△NMG和△ACO中，
∴△NMG≌△ACO(AAS)，
∴NG=AO=3，
∴点N到对称轴的距离为3，
又·.
∴抛物线对称轴为直线x =-1，
设点N(x，y)， 则NG= |x+1|= 3，
解得： x=2或x =-4，
当x =2时，代入 得：y=-5
当x =-4时， 代入
∴点N坐标为(2，-5)或(-4，-5)；
∴M(-1，-8)；
②当AC为平行四边形的对角线时，如图4，设AC的中点为T，
∵点M在对称轴上，
∴点M的横坐标为-1，
设点N的横坐标为x，根据中点公式得：x+(-1)
此时y=3，
综上所述，点M的坐标为(-1，-8)或(-1，0)
【知识点】三角形全等的判定-AAS；利用一般式求二次函数解析式；二次函数-线段周长问题；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【分析】(1)待定系数法求解析式即可；由(1)知： -2x+3，令x=0，求出y的值，得到点C的坐标，利用待定系数法求出直线AC的解析式；
(2)设 则E(m，m+3)，表示出PE，结合二次函数的性质可得PE的最大值；
(3)①当AC为平行四边形的边时，则有 且NM=AC，过点N作对称轴的垂线，垂足为G，设AC交对称轴于点H，证得 得到PG=AO=3，由抛物线的表达式可得对称轴， 设点P(x，y)， 则 ，求出x的值，据此可得点N的坐标，继而得到点M坐标；②当AC为平行四边形的对角线时，设AC的中点为T，易得点T的坐标，由点M在对称轴上，可得点M的横坐标为-1，设点N的横坐标为x，由中点坐标公式可得x的值，据此可得点M的坐标.
16．【答案】（1）解：二次函数y＝ax2﹣2x+c（a≠0）的图象与x轴交于点A和点B（3，0），与y轴交于点C（0，﹣3）．将点B，点C的坐标分别代入得：
，
解得：，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）解：设直线BC的解析式为y＝kx+b，将点B（3，0），点C（0，﹣3）分别代入得：
，
解得：，
∴直线BC的解析式为y＝x﹣3，
点P为直线BC下方抛物线上的点，如图2，
设P（a，a2﹣2a﹣3），
∴M（a，a﹣3），
∴，
当时，，
∴，
∴△PBC面积的最大值为，
∴；
（3）解：由题意可得：y'＝（x﹣1）2﹣2（x﹣1）﹣3﹣1＝x2﹣4x﹣1＝（x﹣2）2﹣5，
y'的对称轴为x＝2．
∵B（3，0），C（0，﹣3），
∴OC＝OB＝3，∠BCO＝∠CBO＝45°，
当BC为矩形一边时，且点D在x轴的下方，如图3，过D作DF⊥y轴于点F，
∵D在y'的对称轴上，
∴FD＝2，
∵∠BCD＝90°，∠BCO＝45°，
∴∠DCF＝45°，
∴CF＝FD＝2，OF＝3+2＝5，即点D（2，﹣5），
∴点C向右平移2个单位、向下平移2个单位可得到点D，则点B向右平移2个单位、向下平移2个单位可得到点E（5，﹣2）；
当BC为矩形一边时，且点D在x轴的上方，y'的对称轴为x＝2与x轴交于点F，如图4，
∵D在y'的对称轴上，
∴FO＝2，
∴BF＝3﹣2＝1，
∵∠CBO＝45°，即∠DBO＝45°，
FD＝1，即点D（2，1），
∴点B向左平移1个单位、向上平移1个单位可得到点D，则点C向左平移1个单位、向上平移1个单位可得到点E（﹣1，﹣2）；
当BC为矩形对角线时，如图5，设D（2，d），E（m，n），BC的中点F的坐标为，
依意得：，
解得：，
又∵DE＝BC，
∴（2﹣1）2+（d﹣n）2＝32+32，
解得：，
联立得：，
解得：，
∴点E的坐标为或．
综上所述，点E的坐标为（5，﹣2）或（﹣1，﹣2）或或．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数图象的平移变换；二次函数-面积问题；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【分析】(1)利用待定系数法，将点B(3，0)、C(0，-3)代入二次函数解析式，求解a、c，得到抛物线解析式；
(2)先求直线BC的解析式，设抛物线上点P的坐标，作PM⊥x轴交BC于M，用P、M的纵坐标差表示PM，将△PBC的面积表示为关于P横坐标的二次函数，求最大值及对应P的坐标；
(3)先根据平移规律得到新抛物线y的解析式及对称轴，设对称轴上点D的坐标，分BC为矩形的边、对角线两种情况，利用矩形的性质（勾股定理、中点坐标公式）求解点B的坐标。
17．【答案】（1）解：∵抛物线：与y轴相交于点，
∴；
∵抛物线扔对称轴为直线．
∴，
∴
∴抛物线的解析式为：；
（2）解：∵抛物线的对称轴交x轴于A点，
∴A（2，0）
设直线AC的解析式为，
把A（2，0），C（0，1）代入得，
，
解得，，
∴直线AC的解析式为，
∵PB=2BO，
∴PO=3BO，
设，过点B作BE⊥x轴于点E，过点P作BF⊥x轴于点F则OF=m，PF=m2+4m+1，
∴BE∥PF，
∴△OBE∽△OPF，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得，，
当时，；
当时，；
∴点P的坐标为，；
（3）（-1，3）或（1，-2）或或
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；菱形的性质；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数-特殊四边形存在性问题；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：（3）∵
向左平移两个单位后抛物线的解析式为，
联立，
解得，
∴E（1，4），
∵抛物线的对称轴为直线
∴可设F（2，t），H（a，b），
①CF，EF为邻边，CE，EP为对角线时；
；EF2=(2 1)2+(t 4)2=t2 8t+17
又CF2=EF2，
∴t2 2t+5=t 8t+17
解得，t=2
∴F（2，2），
又CE的中点坐标为即
∴，
∴a= 1，b=3，
∴H（-1，3）；
②CE，CF为邻边，EF，CP为对角线时，
EC2=(1 0)2+(4 1)2=10，CF2=(2 0)2+(t 1)2=t2 2t+5，
又CE2=CF2
∴t2 2t+5=10，
解得，
当时，
EF的中点坐标为，
∴，，
∴，，
∴；
当时，
EF的中点坐标为，
∴，，
∴，，
∴；
③CE，EF为邻边，CF，EP为对角线
EC2=(1 0)2+(4 1)2=10，CF2=(2 1)2+(t 4)2=t2 8t+17
又EC2=EF2，
∴t2 8t+17=10，
解得，t=1，t=7（C、E、F三点共线，不符合题意舍去），
∵F（2，1），
∴CF的中点坐标为（1，1），
∴
解得，a=1，b=-2，
∴H（1，-2），
综上，点H的坐标为（-1，3）或（1，-2）或或．
【分析】（1）由对称轴公式求出，由点代入可求出，得到二次函数的解析式即可；
（2）运用待定系数法求出直线的解析式，设，过点作轴于点，过点作轴于点得根据平行得到利用对应边成比例求出，然后求出点P的坐标即可；
（3）联立直线与抛物线的解析式求出点E坐标，设，分为邻边，为对角线；为邻边，为对角线；为邻边，为对角线三种情况，根据邻边相等求出的值，再利用中点坐标公式求出的值解答即可.
18．【答案】（1）解：∵二次函数y=ax2+bx+c的图象经过三点A(-1，0)，B(3，0)，C(0，-3)
∴设二次函数的解析式为y=a(x+1)(x-3)，
把C(0，-3)代入得：-3=a(0+1)×(0-3)
解得a=1
∴二次函数的解析式为y=(x+1)(x-3)=x2-2x-3=(x-1)2-4，
∴顶点M的坐标是(1，-4)，
答：该二次函数的解析式是y=x2-2x-3，顶点M的坐标是(1，-4).
（2）解：把(2，-3)代入y=kx得：2k=-3，解得，
∴正比例函数的解析式为，
联立，解得或
∵E(2，-3)
∴抛物线与正比例函数的另一个交点坐标为，
由图可知：当时，二次函数的值小于正比例函数的值，
答：根据函数图象求出符合条件的自变量x的取值范围是.
（3）解：设正方形BPON边长为a，
∴BP=PQ=QN=BN=a，∠PBN=90°
∵点P是x轴上一动点，B(3，0)，
∴BN和PQ都垂直x轴，
∴N(3，a)或N(3，-a)不可能在抛物线上，P(3-a，0)或P(3+a，0)，
当P在抛物线上时，则只能是点P与A(-1，0)重合，此时a=AB=4，N(3，4)或N(3，-4)；
当Q在抛物线上时，
若Q在B(3，0)的左上方时，P(3-a，0)，Q(3-a，a)，N(3，a).
把Q(3-a，a)代入y=x2-2x-3得a=(3-a)2-2(3-a)-3，
解得a1=5，a2=0(舍去)
此时a=5，N(3，5)；
若Q在B(3，0)的左下方时，P(3-a，0)，Q(3-a，-a)，N(3，-a)，
把Q(3-a，-a)代入y=x2-2x-3得-a=(3-a)2-2(3-a)-3，
解得a1=3，a2=0(舍去)
此时a=3，N(3，-3)；
若Q在B(3，0)的右上方时，P(3+a，0)，Q(3+a，a)，N(3，a)，
把Q(3+a，a)代入y=x2-2x-3得
a=(3+a)2-2(3+a)-3，解得a1=-3，a2=0(都不符合题意，舍去)；
若Q在B(3，0)的右下方时，P(3+a，0)，Q(3+a，-a)，N(3，-a)，
把Q(3+a，-a)代入y=x2-2x-3得
-a=(3+a)2-2(3+a)-3，解得a1=-5，a2=0(都不符合题意，舍去)；
综上所述，N(3，4)或(3，-4)或(3，5)或(3，-3).
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；利用交点式求二次函数解析式；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【分析】(1)设二次函数的解析式为y=a(x+1)(x-3)，把C(0，-3)代入即可求出a=1，即得到二次函数的解析式，把它化成顶点式即可求出顶点坐标；
(2)把(2，-3)代入y=kx即可求出正比例函数的解析式，解由二次函数的解析式和正比例函数的解析式组成的方程组即可求出交点D的坐标，根据图象即可求出答案；
(3)设正方形BPQN边长为m，则
BP=PQ=QN=BN=m，∠PBN=90°，得到BN和PQ都垂直x轴，N(3，a)或N(3，-a)不可能在抛物线上，P(3-a，0)或P(3+a，0)，然后根据P、Q的位置确定Q点坐标，代入解析式计算即可.
19．【答案】（1）解：∵令，得，∴，
∵，
∴抛物线的顶点坐标为
（2）解：①∵，∴，
∴或，
当为时，如图，
设新的抛物线的解析式为，
抛物线绕着点旋转得到新的抛物线，两抛物线开口方向相反，形状相同，
则，
∵点绕点旋转得，新的抛物线的对称轴与抛物线的对称轴关于轴对称，
∴，
解得：，
∴新的抛物线的解析式为，
∵如图，过点作轴于点，
∵，
∴，
∴设，
设直线解析式为，
将代入，得，
解得：，
∴直线解析式为，
联立，
解得：，，
∴；
当为时，如图，
同理可得新的抛物线的解析式为，
如图，过点作轴于点，
同理可得直线解析式为，
联立，
解得：，，
∴，
综上所述，或；
②由旋转知和关于点对称，新的抛物线的对称轴与抛物线的对称轴直线关于轴对称，，，
∴，新的抛物线的对称轴为直线，两抛物线开口方向相反，形状相同，
同①方法可得新的抛物线的解析式为，
设交轴于点，
∵，
∴，且点在轴负半轴，
∴，
设直线解析式为，
将，代入，
得，
解得：，
∴直线解析式为，
联立，
解得：，，
∴，
∵平行四边形是关于对角线的对等平行四边形，
当时，
得，
解得：；
当时，
得，
解得：或（大于，舍）；
综上所述，或
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；二次函数图象的对称变换；二次函数-线段周长问题；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【分析】（1）令可求出点A的坐标，将函数解析式转化为顶点式可求出抛物线L的顶点坐标.
（2）①由，可求出点H的坐标，分两种情况：①当为时，先利用旋转得出新的抛物线的解析式和点的坐标；过点作轴于点，利用可表示出点C的坐标，利用待定系数法求出直线BC的函数解析式，将抛物线和直线BC的函数解析式联立方程组，解方程组可求出点C的坐标；当为时，同理可得新的抛物线的解析式及直线BC的函数解析式，同理可求出点C的坐标；综上所述可得到符合题意的点C的坐标；②由旋转知和关于点对称，新的抛物线的对称轴与抛物线的对称轴直线关于轴对称，，，可得，新的抛物线的对称轴为直线，两抛物线开口方向相反，形状相同，求出新的抛物线的解析式，再利用结合点的坐标求出直线解析式，联立新的抛物线的解析式和抛物线解析式可求出点坐标，由平行四边形是关于对角线的对等平行四边形，分两种情况讨论：当时；当时，分别可得到关于m的方程，分别解方程求出符合题意的m的值.
（1）解：∵令，得，
∴，
∵，
∴抛物线的顶点坐标为；
（2）解：∵，
∴，
∴或，
当为时，如图，
设新的抛物线的解析式为，
抛物线绕着点旋转得到新的抛物线，两抛物线开口方向相反，形状相同，
则，
∵点绕点旋转得，新的抛物线的对称轴与抛物线的对称轴关于轴对称，
∴，
解得：，
∴新的抛物线的解析式为，
∵如图，过点作轴于点，
∵，
∴，
∴设，
设直线解析式为，
将代入，得，
解得：，
∴直线解析式为，
联立，
解得：，，
∴；
当为时，如图，
同理可得新的抛物线的解析式为，
如图，过点作轴于点，
同理可得直线解析式为，
联立，
解得：，，
∴，
综上所述，或；
由旋转知和关于点对称，新的抛物线的对称轴与抛物线的对称轴直线关于轴对称，，，
∴，新的抛物线的对称轴为直线，两抛物线开口方向相反，形状相同，
同方法可得新的抛物线的解析式为，
设交轴于点，
∵，
∴，且点在轴负半轴，
∴，
设直线解析式为，
将，代入，
得，
解得：，
∴直线解析式为，
联立，
解得：，，
∴，
∵平行四边形是关于对角线的对等平行四边形，
当时，
得，
解得：；
当时，
得，
解得：或（大于，舍）；
综上所述，或．
20．【答案】（1）解：一次函数，
当时，，即，
当时，，解得，即，
把，代入得，
解得，
则抛物线的解析式为
（2）解：，，
，
，
，
，
，
点的纵坐标与点的纵坐标相同，即为3，
当时，，解得或（舍去），
则．
（3）解：存在，求解如下：
设点的坐标为，
①当四边形是矩形时，则，
∵直线的解析式为，
∴设直线的解析式为，
把点代入得，
直线的解析式为，
联立，解得或（即为点，舍去），
，
四边形是矩形，且，，，
，解得，
则此时点的坐标为；
②当四边形是矩形时，则，
设直线的解析式为，
将点代入得：，解得，
则直线的解析式为，
联立，解得或（即为点，舍去），
，
四边形是矩形，且，，，
，解得，
则此时点的坐标为，
综上，存在以、、、为顶点且以为边的矩形，此时点的坐标为或．
【知识点】利用一般式求二次函数解析式；二次函数-角度的存在性问题；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【分析】(1)求出一次函数y=-x+3与坐标轴的交点B、C的坐标，将点代入得关于a、b的方程，求解方程可得a、b的值，即可得抛物线的解析式；
(2)由得DCO=90，D、C纵坐标都为3，令y=3可得x的值，即知m的值；
(3)设点F(s，t)，分类讨论BCEF为矩形和BCFE为矩形时的情形，利用矩形对角线互相平分，邻边垂直的性质求出s、t的值，即得点F的坐标.
21．【答案】（1）解：把A（3，0）B（0，-3）代入得
解得
所以抛物线的解析式是
设直线AB的解析式是y=kx+b，
把A（3，0）B（0，-3）代入y=kx+b，得
解得
所以直线AB的解析式是y=x-3
（2）设点P的坐标是（t，t-3），则M（t，t2-2t-3），
因为p在第四象限，
所以
当时，二次函数的最大值，即PM最长值为
则
（3）存在，理由如下：
∵PM∥OB，
∴当PM=OB时，点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形，
①当P在第四象限：PM=OB=3，PM最长时只有所以不可能有PM=3.
②当P在第一象限：PM=OB=3，（t2-2t-3）-（t-3）=3，
解得（舍去），
所以P点的横坐标是
③当P在第三象限：PM=OB=3，t2-3t=3，
解得（舍去），
所以P点的横坐标是
综上所述，P点的横坐标是或
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征；利用一般式求二次函数解析式；二次函数-面积问题；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）设点P的坐标是（t，t﹣3），则M（t，t2﹣2t﹣3），则PM=﹣t2+3t，然后根据二次函数的最值公式求出当t=时，PM长最大为，然后利用分割法求出△ABM的面积即可；
（3）根据平行四边形的判定得到当PM=OB，然后讨论：当P在第四象限：PM=OB=3，PM最长时只有，所以不可能；当P在第一象限：PM=OB=3，；当P在第三象限：PM=OB=3，分别列方程求出t的值解答即可．
22．【答案】（1）解：将A的坐标，点C的坐标代入得：
，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：过P作轴于D，交于Q，过P作于H，如图所示：
在中，令得：，
解得：或，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵轴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴当最大时，最大，
设直线解析式为，将代入得，
解得：，
∴直线解析式为，
设，则，
∴，
∵，
∴当时，最大为，
∴时，最大，即点P到直线的距离最大，此时；
（3）或或
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数-线段周长问题；二次函数-特殊四边形存在性问题；坐标系中的中点公式
【解析】【解答】解：（3）存在，理由如下：
抛物线对称轴为直线，
设，，而，，
①以、为对角线，则、的中点重合，如图：
∴，
解得：，
∴；
②以、为对角线，则、的中点重合，如图所示：
∴，
解得，
∴；
③以、为对角线，则、中点重合，如图所示：
，
解得，
∴；
综上所述，M的坐标为：或或。
【分析】（1）把点 A、C 的坐标代入抛物线解析式，通过解方程组求出系数，从而得到抛物线的解析式。
（2）先求出点 B 坐标和直线 BC 的解析式，再将点 P 到直线 BC 的距离转化为线段 PQ 的长度，通过求二次函数的最大值，确定点 P 的坐标。
（3）设出点 M、N 的坐标，分三种情况讨论平行四边形的对角线，利用对角线中点重合的性质列方程求解，得到所有符合条件的点 M 坐标 。
（1）解：将A的坐标，点C的坐标代入得：
，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：过P作轴于D，交于Q，过P作于H，如图所示：
在中，令得：，
解得：或，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵轴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴当最大时，最大，
设直线解析式为，将代入得，
解得：，
∴直线解析式为，
设，则，
∴，
∵，
∴当时，最大为，
∴时，最大，即点P到直线的距离最大，此时；
（3）解：存在，理由如下：
抛物线对称轴为直线，
设，，而，，
①以、为对角线，则、的中点重合，如图：
∴，
解得：，
∴；
②以、为对角线，则、的中点重合，如图所示：
∴，
解得，
∴；
③以、为对角线，则、中点重合，如图所示：
，
解得，
∴；
综上所述，M的坐标为：或或．
23．【答案】（1）解：把点B (3， 0) ， C (0， 3)代入
得到
解得
∴抛物线的解析式为
∴顶点D坐标(1， 4)；
（2）解： ①作MG⊥x轴于G，连接BM.则∠MGB=90°，设 ，
∵DE⊥x轴， D (1， 4) ，
∴∠DEB=90°， DE=4， OE=1，
∵B (3， 0) ，
∴BE=2，
∵∠MBA=∠BDE，
当点M在x轴上方时，
解得 或3(舍弃)，
当点M在x轴下方时，
解得 或m=3(舍弃) ，
∴点
综上所述，满足条件的点M坐标 或
②或
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；解直角三角形—边角关系；二次函数的对称性及应用；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【解答】解：(2)②如图中， ∵MN∥x轴，
∴点M、N关于抛物线的对称轴对称，
∵四边形MPNQ是正方形，
∴点P是抛物线的对称轴与x轴的交点，即OP=1，
易证GM=GP，即|
当 时，解得
当 时，解得
∴满足条件的m的值为 或
故答案为： 或
【分析】(1)利用待定系数法即可解决问题；
(2)①根据，，由∠MBA=∠BDE，构建方程即可解决问题；
②因为点M、N关于抛物线的对称轴对称，四边形MPNQ是正方形，推出点P是抛物线的对称轴与x轴的交点，即OP=1，易证GM=GP，即|-m2+2m+3|=|1-m|，解方程即可解决问题.
24．【答案】（1）解：二次函数的图象与轴交于点和点，与轴交于点．
将点，点的坐标分别代入得：，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：设直线的解析式为，将点，点分别代入得：，
解得：，
∴直线的解析式为，
点为直线下方抛物线上的点，如图，
设，
∴，
∴，
当时，，
∴，
∴面积的最大值为，
∴；
（3）解：
对称轴为直线
设
∵，，
如图所示，当BD为对角线时，
如图所示，当BC为对角线时，
或
如图所示，当BE为对角线时，
综上所述，点的坐标为或或或．
【知识点】二次函数的最值；矩形的判定与性质；二次函数图象的平移变换；二次函数-面积问题；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【分析】（1）由抛物线上点的坐标特征把和代入函数解析式并求解关于a、c的二元一次方程组即可；
（2）先利用待定系数法求出直线的解析式，再利用抛物线上点的坐标特征可设点的P的坐标为，再过点P作y轴的平行线交直线BC于点M，则由直线上点的坐标特征可得，则PM可用含a的代数式表示，再利用铅直法可得的面积是关于a的二次函数且二次项系数为负，再利用二次函数的性质求出其最大值同时可得点P的坐标；
（3）先利用二次函数图象的平移规律得平移后的抛物线的解析式，则可得新抛物线的对称轴，再分别设出点D、E的坐标，由于矩形的对角线互相平分且相等，再进行分类讨论，即BC为对角线、或BD为对角线、或BE为对角线，再分别利用中点公式和两点距离公式联立方程或方程组并求解即可．
（1）解：二次函数的图象与轴交于点和点，与轴交于点．将点，点的坐标分别代入得：
，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：设直线的解析式为，将点，点分别代入得：
，
解得：，
∴直线的解析式为，
点为直线下方抛物线上的点，如图，
设，
∴，
∴，
当时，，
∴，
∴面积的最大值为，
∴；
（3）解：由题意可得：，
的对称轴为．
∵，，
∴，，
当为矩形一边时，且点在轴的下方，如图，过作轴于点，
∵在的对称轴上，
∴，
∵，，
∴，
∴，，即点，
∴点向右平移个单位、向下平移个单位可得到点，则点向右平移个单位、向下平移个单位可得到点；
当为矩形一边时，且点在轴的上方，'的对称轴为与轴交于点，如图，
∵在的对称轴上，
∴，
∴，
∵，即，
，即点，
∴点向左平移个单位、向上平移个单位可得到点，则点向左平移个单位、向上平移个单位可得到点；
当为矩形对角线时，如图，设，，的中点的坐标为，
依题意得：，
解得：，
又∵，
∴，
解得：，
联立得：，
解得：，
∴点的坐标为或．
综上所述，点的坐标为或或或．
1 / 1几何动点（动点构造角、特殊三角形、特殊四边形）—2026浙江中考数学高阶能力拓展专题
一、几何动点构造角
1． 如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，，将线段绕点O按顺时针方向旋转90°，使点A落在边上的点E处，抛物线过A，E，B三点．
（1）填空：　 　；　 　．
（2）若点M是抛物线对称轴上的一动点，当的周长最小时：
①求点M的坐标；
②求外接圆圆心F的坐标．
（3）在（2）的条件下，点P是轴上一动点，当时，求点P的坐标．
【答案】（1）1；-4
（2）解：①由 (1) 得抛物线解析式为 ，
抛物线对称轴为直线 ，
如图所示， 连接 A E 交对称轴于点 ， 设抛物线对称轴与 轴交于 ，
，
关于直线 对称，
，
的周长 ，
都是定点， 即 B E 是定值，
当 A 、 M 、 E 三点共线时， 最小， 即此时 的周长最小，
，
时直角三角形， 即 ，
外接圆圆心 即为 B E 的中点，
外接圆圆心 的坐标为 .
（3）解： 由 (2) 得 ，
点 在 轴上，
即
或）
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；轴对称的应用-最短距离问题；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-角度的存在性问题
【解析】【解答】(1) 当 时，
∴A(0，3)，
由旋转的性质可得
∴ E(3，0)；
∵四边形AOCB是矩形，
∴B(4，3)，
把E(3，0)， B(4，3)代入到抛物线解析式中得： ，
解得
故答案为：1，
【分析】(1)先利用二次函数解析式求出点A的坐标，进而求出E、B的坐标，再利用待定系数法求解即可；(2)①先求出抛物线对称轴为直线x =2，如图所示，连接AM，设抛物线对称轴与x轴交于T，再由A、B关于直线x = 2对称， 得到AM = BM， 进一步推出当A、M、E三点共线时，BM+EM最小，即此△MBE的周长最小，先求出∠AEO=45°， 进而证明∠TME =45°=∠TEM， 得到MT=OE-OT =1， 则M(2，1)； ②利用勾股定理和勾股定理的逆定理证明△BME时直角三角形，即∠BME= 90°， 则△MBE外接圆圆心F即为BE的中点，据此求解即可；(3)先由 (2) 得. 再证明△BME∽△PCB， 求出CP=6， 由此即可得到答案.
2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，点，在此抛物线上，其横坐标分别为，，连接，．
（1）求此抛物线的解析式．
（2）当点与此抛物线的顶点重合时，求的值．
（3）当的边与轴平行时，求点与点的纵坐标的差．
【答案】（1）解：∵抛物线经过点，
∴将代入得，，
∴；
（2），
顶点坐标为，
点Q与此抛物线的顶点重合，点Q的横坐标为，
解得：
（3）①轴时，点A，Q关于对称轴对称，
，
解得，，
则，，
，，
点P与点Q的纵坐标的差为；
②当轴时，则A，P关于直线对称，
则，，
则，，
，；
点P与点Q的纵坐标的差为；
综上所述，点P与点Q的纵坐标的差为1或8．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数-角度的存在性问题
【解析】【分析】（1）将已知点坐标代入抛物线解析式，用待定系数法求出未知系数，确定抛物线表达式；（2）先将抛物线化为顶点式得到顶点坐标，再结合点 Q 的坐标特征建立方程求解 m 的值；
（3）分 AQ 平行于 x 轴、AP 平行于 x 轴两种情况，利用抛物线的对称性求出点 P、Q 的坐标，再计算两点纵坐标的差。
3．如图，平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴相交于点、点，与轴相交于点，连接、．
（1）求：，的值；
（2）当时，函数的最小值是2，求出的值；
（3）在抛物线上是否存在点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：由题意得：，
则，则，
抛物线的解析式为：，
则；
（2）解：
在范围内，当时函数有最小值2
，解得（舍去）
答：；
（3）解：存在点，理由如下：∵，，
∴，
，
①当点在左侧时，如图，在轴上取点，延长交抛物线于点，
在和中，
，，，
，
，
，
设直线的解析式为，
由点、的坐标得，直线的解析式为，
联立上式和抛物线的表达式得：，
则（舍去）或，故点；
②当点在右侧时，如上图，作关于的对称，交二次函数于点，
则，，，
，
，
四边形是正方形，
，
令中，，则，
解得或，
，，
，，
，
，
，
在点抛物线上，即点满足条件，
故存在满足条件的点有两个，分别为：或．
【知识点】坐标与图形性质；二次函数的最值；旋转全等模型；二次函数-角度的存在性问题
【解析】【分析】
（1）由题意得可设抛物线的解析式为交点式，再利用待定系数法求解即可；
（2）由抛物线解析式可得其对称轴为直线，因为抛物线开口向下，则抛物线上的点距离对称轴越远对应的函数值越小，即当时，函数取得最小值2，由抛物线上点的坐标特征可列关于t的方程并求解即可；
（3）由于抛物线交y轴于，则，所以，此时可在y轴正半轴上截取OM=OA，则由旋转全等模型可得，则，则，再利用待定系数法求出直线BM的解析式，再联立直线与抛物线的解析式并解方程可得点P1的坐标，此时点P位于直线BC的左侧；再以BC为对角线、OB为边作正方形COBN交抛物线于点P2，可由抛物线上点的坐标特征可得点P2的坐标，则可计算得P2N＝MO，则利用正方形的性质可证，即可得，则，故满足条件的点P的两个．
（1）解：由题意得：，
则，则，
抛物线的解析式为：，
则；
（2）解：当时，，
解得，，
点，
当时，，
点．
由抛物线的表达式知，其对称轴为直线，
当时，函数的最小值是2，即时，函数取得最小值，
则，则（舍去），
∴的值为；
（3）解：存在点，理由如下：
∵，，
∴，
，
①当点在左侧时，如图，在轴上取点，延长交抛物线于点，
在和中，
，，，
，
，
，
设直线的解析式为，
由点、的坐标得，直线的解析式为，
联立上式和抛物线的表达式得：，
则（舍去）或，故点；
②当点在右侧时，如上图，作关于的对称，交二次函数于点，
则，，，
，
，
四边形是正方形，
，
令中，，则，
解得或，
，，
，，
，
，
，
在点抛物线上，即点满足条件，
故存在满足条件的点有两个，分别为：或．
4．综合与实践：
如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，连结，点在抛物线上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）小明探究点位置时发现：如图1，点在第一象限内的抛物线上，连结，，面积存在最大值，请帮助小明求出面积的最大值；
（3）小明进一步探究点位置时发现：点在抛物线上移动，连结，存在，请帮助小明求出时点的坐标．
【答案】（1）∵抛物线与轴交于点和点，∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）如图1，
过点作轴交线段于点，垂足为点，∵抛物线与轴交于点，
当时，，
∴，
设直线的表达式为，过点，，
∴，
解得：，
∴直线的表达式为，
设点，则点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴当时，的面积有最大值，面积的最大值为；
（3）如图2，当点在直线的上方的抛物线上时，∵，
∴，
∴点，的纵坐标相等，即点的纵坐标为，
当时，则，
解得，，，
∴，
如图3，当点在直线的下方的抛物线上时，
设交轴于点，
∵，
∴，
设，
∴，
在中，，
∴，
解得：，
∴，
∴，
设直线的解析式为，过点，，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为，
联立，
解得：， ，
∴，
综上所述，点D的坐标为或．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-面积问题；二次函数-角度的存在性问题
【解析】【分析】(1)利用待定系数法将和点代入解析式求解得到结果；
（2）根据题意，得到，进而求出直线的方程，接着假设点和点以及，结合三角形面积公式进行化简，结合二次函数最值进行计算即可得到结果；
（3）根据题意，分两种情况进行求解；当点在直线的上方的抛物线上时，利用代入方程求解；当点在直线的下方的抛物线上时，利用中，求出的成，接着求出直线的解析式，进而联立方程进而求出D的坐标.
（1）解：∵抛物线与轴交于点和点，
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）如图1，过点作轴交线段于点，垂足为点，
∵抛物线与轴交于点，
当时，，
∴，
设直线的表达式为，过点，，
∴，
解得：，
∴直线的表达式为，
设点，则点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴当时，的面积有最大值，面积的最大值为；
（3）如图2，当点在直线的上方的抛物线上时，
∵，
∴，
∴点，的纵坐标相等，即点的纵坐标为，
当时，则，
解得，，，
∴，
如图3，当点在直线的下方的抛物线上时，
设交轴于点，
∵，
∴，
设，
∴，
在中，，
∴，
解得：，
∴，
∴，
设直线的解析式为，过点，，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为，
联立，
解得：， ，
∴，
综上所述，点D的坐标为或．
5．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线 与x轴交于A，B(4，0)两点，与y轴的正半轴交于点 C(0，4).
（1）求抛物线对应的函数解析式.
（2）如图1，P是抛物线上在第一象限的一点，连接BC，PB，PC，过点 P 作 PD⊥x轴于点D，交BC于点K.记△PBC，△BDK的面积分别为S1，S2，求 的最大值.
（3）如图2，连接AC，E(-1，2)为线段AC 的中点，过点 E 作 EF⊥AC，交x轴于点 F，连接CF.抛物线上是否存在点 Q，使∠QFE=2∠OCA 若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：把点B(4， 0)， C(0， 4)代入
得 解得
∴抛物线对应的函数解析式为
（2）解：设直线BC对应的函数解析式为y = kx+m(k≠0)，
把点B(4， 0)， C(0， 4)代入，得 解得
∴直线BC对应的函数解析式为y=-x+4.
设 则K(n， - n+4)， D(n， 0)，
∴当 时， 取得最大值，最大值为
（3）解：存在.
令 解得
∴A(-2， 0)，
∵E为AC的中点，且EF⊥AC，
∴∠AFE =∠CFE.
设OF =a，则CF =AF =a+2.
在Rt△COF中，由勾股定理，得( 解得a=3，
∴F(3， 0)， CF =5.
∵EF⊥AC， ∠AOC =90°，
∴∠AFE =∠OCA =90°-∠CAF，
∴∠AFE =∠OCA =∠CFE.
如图1，当点Q在第三象限时，取点E关于x轴的对称点E1，连接FE1，交抛物线于点Q，则∠QFE =2∠EFA =2∠OCA， E1(-1， - 2).
设直线FE1对应的函数解析式为
则 解得
∴直线FE1对应的函数解析式为
联立 得
解得 (舍去)，
当 时，
∴点 Q 的坐标为
如图2，当点Q在第一象限时，取E关于CF的对称点E2，连接 交CF于点G，连接 交抛物线于点Q， 则∠QFE=2∠CFE=2∠OCA， EG⊥CF.
过点G作GH⊥x轴于点 H，则
设直线FE2对应的函数解析式为
贝 解得
∴直线FE2对应的函数解析式为
联立 得
解得 (舍去)，
当 时，
∴点Q的坐标为
综上，点Q的坐标为 或
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；解直角三角形—边角关系；利用一般式求二次函数解析式；二次函数-面积问题；二次函数-角度的存在性问题
【解析】【分析】(1)由待定系数法求出函数解析式即可；
(2)求出BC的解析式，设 则，K(m，-m+4)，D(m，0)， 将 转化为二次函数求最值即可；
(3)得到FE垂直平分AC，设OF=a，勾股定理求出F点坐标，三线合一结合同角的余角相等，推出 分别作点E关于x轴和直线CF的对称点 直线F 与抛物线的交点即为所求，进行求解即可.
6．如图，抛物线经过、两点，为抛物线上第一象限内的一个动点．
（1）求抛物线所对应的函数表达式；
（2）当的面积最大时，求点的坐标；
（3）过点作，垂足为点，是否存在点，使，若存在，求点的横坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：设抛物线的表达式为：，
即，
则，
解得：，
则抛物线的解析式为；
（2）解：如图所示，过作轴，垂足为，与交于点，
在中，当时，，
，
设直线的解析式为，
将，代入解析式得，
解得：，
直线的解析式为，
，
∴，
∴，
∴
，
当的面积最时，，此时，点；
（3）解：存在，理由：
当时，取点，连接．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
设直线的解析式为，
∵点，，
，
解得：，
∴直线的解析式为，
∴设直线的解析式为．
将代入直线的解析式得，
直线的解析式为，
联立直线及抛物线的解析式成方程组得：，
解得：（舍去）或，
即点．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；二次函数-面积问题；二次函数-角度的存在性问题
【解析】【分析】（1）已知抛物线经过点A，B，利用待定系数法求解解析式即可；
（2）首先令x=0，求出点C的坐标，进而求出直线BC的函数表达式，再设点D的横坐标为x，利用“铅垂高”法表示的面积，最后将面积表示为关于x的二次函数，利用二次函数的性质求最大值，进而求出点D坐标；
（3）利用轴对称性质构造2，结合平行线的判定与性质，将角度关系转化为解析式关系，联立方程组求解即可.
7．如图1，抛物线经过点，对称轴为直线，与轴交于两点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）若点是抛物线上的两个点，．若，求的值；
（3）如图2，已知直线与直线交于点，与，轴分别相交于点，试探究在第二象限内的抛物线上是否存在一点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：抛物线经过点，
，即．
对称轴为直线，
，即．
抛物线的表达式为；
（2）解：点是抛物线上的两个点，
，
，
，
．
，
，解得或，
的值为或；
（3）解：如图，在轴上取一点F，作直线CF交抛物线于点G，使，再过点M作x轴的垂线段MN．
令，则
令，则
设直线的表达式为
解得
直线AC的解析式是
是直线 与直线AC的交点
解得
设直线CF的表达式为，
解得
直线CF的表达式为，
解得
点在第二象限，
点的坐标为．
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的对称性及应用；二次函数-角度的存在性问题
【解析】【分析】（1）先由抛物线上点的坐标特征可得c=-4，再由抛物线的对称性可得b=-1即可；
（2）由抛物线上点的坐标特征结合整式的混合运算可化简为，即可得关于x1的一元二次方程并求解即可；
（3）在轴上取一点F，作直线CF交抛物线于点，使，此时由直线及抛物线上点的坐标特征可分别得出点B、C、D的坐标，则OA＝OC＝OD，即，再过点M作x轴的垂线段MN，则由平行线的性质可得，由于，则必然有，再解直角三角形可得，此时由待定系数法可得直线的表达式，由于点M是直线DE与AC的交点，则联立两直线解析式可得点M的坐标，即MN、ON、DN可得，则，即点F坐标可得，再利用待定系数法求出直线CF的解析式，同理由于点G是直线CF与抛物线的交点，再联立直线与抛物线的解析式可得点G的坐标，由于已知点G在第二象限，再对点G的坐标进行取舍即可．
（1）解：抛物线经过点，
，即．
对称轴为直线，
，即．
抛物线的表达式为；
（2）解：点是抛物线上的两个点，
，
，
，
．
，
，解得或，
的值为或；
（3）解：如图，在轴上取一点，作直线交抛物线于点，使．
直线与轴分别相交于点，
时，，
．
设直线的表达式为，
且经过两点，
则
直线表达式为．
，
．
，
，
即，
，
，即，
解得．
设直线的表达式为，
且经过两点，
则
解得
直线的表达式为，
与抛物线
联立方程得
解得
点在第二象限，
点的坐标为．
二、几何动点构造特殊三角形
8．已知点A是直线上一动点，以点A为顶点的抛物线交y轴于点B，作点B关于x轴的对称点C，连接AB、AC．若△ABC是直角三角形，则点A的坐标为　 　．
【答案】或或
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；直角三角形斜边上的中线；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】【解答】解：由题意得：A(m，h)，且，
上式中令x=0，得，
∴．
∵点A在直线上，
∴，
即，，
∵点B、点C关于x轴的对称，
则．
①当∠BAC=90°，则OA是Rt△ABC的斜边BC上的中线，
∴OA=OB，
∵，，
则，
由于m≠0，
解得：或，
所以点A的坐标为或；
②当∠ACB=90°时，如图，则AC⊥BC，此时点A、C的纵坐标相同，
即，
∴，m=0（舍去），
所以点A的坐标为；
综上所述，点A的坐标为或或．
【分析】
本题综合考查二次函数的性质、直角三角形的判定与性质以及坐标对称，需要结合相关知识点分情况讨论，同时运用坐标对称和二次函数的顶点式，准确表示各点坐标并建立方程.具体的分两种情况：第一种若∠BAC=90°，则OA=OB，从而得到关于m的方程，解方程即可；第二种若∠ACB=90°，则点A、C的纵坐标相同，可得关于m的方程，解方程即可．
9．如图，抛物线与x轴交于点A，B（点B在A的右侧），与y轴交于点C，其中，点P在第一象限的抛物线上，若是以为底的等腰直角三角形，则m的值为　 　.
【答案】
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；三角形全等的判定-AAS；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】【解答】解：过点P作轴于点E，如图所示：
令，则有，解得：，
令时，则，
∴，
∴，
∵是以为底的等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵点P在第一象限的抛物线上，
∴，
∴，
解得：（不符合题意，舍去），
故答案为．
【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质、全等三角形的性质与判定及等腰直角三角形的性质，先求出抛物线与x轴，y轴的交点坐标；得，构造垂直辅助线，然后利用AAS证明三角形全等（），利用全等三角形转化点的坐标，则，代入解析式建立方程求解即可.
10．如图，直线l过x轴上一点A(2，0)，且与抛物线相交于B，C两点，B点坐标为(1，1).
（1） 求直线l和抛物线的函数解析式．
（2） 在x轴上是否存在一点p，使△POD为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3） 若抛物线上有一点D(在第一象限内)使得：，求D点坐标．
【答案】（1）解：设直线AB的解析式为y= kx +b，
把A(2，0)，B(1，1)代入得
解得
所以直线AB的解析式为y=-x+2；
把B(1，1)代入y =ax2得a=1
所以抛物线解析式为у＝x2
（2）∵B(1，1)
∴OB==
①当OB=OP=时，P(-.0)或(.，0)
②当OP=PB时，点P是线段OC的垂直平分线与X轴的交点，
设P(p，0)
∴p2=(p-1) 2+12
解得：p=1
P(1，0)
③当OB=PB=2时，
(p-1)2+12=()2；
解得：p=0(舍去)或p=2
∴P(2，0)；
综上所述，符合条件的点P的坐标为：P(-，0)或(，0)或P(1，0)或 P(2，0).
（3）联立，
解得：，
，
.
设，
，
.
解得：或（舍去）
.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；利用一般式求二次函数解析式；二次函数-面积问题；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出直线和抛物线解析式即可；
（2）先根据两点间距离公式求出OB长，然后分为，，三种情况，设P(p，0)，根据两点间距离公式列方程求出p的值解答即可；
（3）设，根据割补法求出△COB的面积，即可得到△AOD的面积，再根据三角形的面积公式求出t的值解答即可．
11． 如图，直线与x轴、y轴分别交于B、C两点，抛物线经过B、C两点，与x轴另一交点为A，顶点为D.
（1） 求抛物线的解析式.
（2） 如果一个圆经过点O、点B、点C三点，并交于抛物线AC段于点B，求的度数.
（3） 在抛物线的对称轴上是否存在点P，使为等腰三角形，如果存在，求出点P的坐标，如果不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：（1）对一次函数，令，y=3，得C点坐标，令，可得B点坐标，
将点B，C代入抛物线得，
，解得；
抛物线解析式
（2）解：，，
等腰直角三角形，
.
根据圆周角定理可得；
（3）解：存在，P可以为；；；；
理由如下：如图，
由（1）可知抛物线，
抛物线对称轴，顶点（1，4），
设P点坐标为（1，m），
，，，
①当时，，解得；
②当时，，解得，；（舍去，点P与点D重合）
③当时，，解得，；
综上所述，当点P（1，2）、（1，3）、、时，为等腰三角形
【知识点】圆周角定理；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】【分析】(1)由y=-x+3可得B、C的坐标，将坐标代入抛物线，求出b、c的值，即得解析式；
(2)由OB=OC知∠OCB=45°，由圆周角定理得∠OEB的度数；
(3)设点P(1，m)分别求出PC2、PD2和CD2的长度，分类讨论当PC=PD，PC=CD和PD=CD时，即可得m的所有值.
12．已知抛物线的图象经过原点和点，顶点为B，且顶点B的纵坐标为2．
（1）求抛物线的对称轴；
（2）求证：是以点B为直角顶点的等腰直角三角形；
（3）设点P是抛物线上一点（P不与点O，A，B重合），点Q在x轴上．是否存在正三角形？若存在，请求出满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：∵的图象经过点，
∴抛物线的对称轴为直线；
（2）解：由（1）可计算得二次函数图象的顶点坐标为，可画图象如图．
，
，
又∵，
，
，
∴是等腰直角三角形．
（3）解：存在，理由如下：
∵点在抛物线上，且抛物线经过与三点，设，
将代入，可解得．
，
要使是正三角形，
设点为，过点作轴，交轴于点，
分三种情况：
当时，，
，
，
∴，
解得（与点重合，舍去），（不符合题意舍去）．
当时，则有：，
，
解得，
根据正三角形对称性，点在轴上，
∴点坐标为．
当时，则有：，
，
解得，
，
∴点的坐标为．
综上所述，点的坐标为：或．
【知识点】等边三角形的性质；勾股定理的逆定理；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】【分析】（1）由于O、A两点纵坐标相同，故O、A两点关于抛物线的对称轴直线对称，从而利用中点坐标公式即可求解；
（2）由（1）可计算得二次函数图象的顶点坐标为，可画出图象，根据两点间的距离公式求出OB、OA、AB，可得BO=AB再根据勾股定理的逆定理证明△ABO为直角三角形即可；
（3）先利用待定系数法求出该抛物线的解析式（用顶点式）；要使是正三角形，根据点的坐标与图性性质，可设点为，过点作轴，交轴于点，分三种情况：当时， 当时， 当时，分别求解即可．
（1）解：∵的图象经过点，
∴抛物线的对称轴为直线；
（2）解：由（1）可计算得二次函数图象的顶点坐标为，可画图象如图．
，
，
又∵，
，
，
∴是等腰直角三角形．
（3）解：∵点在抛物线上，且抛物线经过与三点，设，
将代入，可解得．
，
要使是正三角形，
设点为，过点作轴，交轴于点，
分三种情况：
当时，，
，
，
∴，
解得（与点重合，舍去），（不符合题意舍去）．
当时，则有：，
，
解得，
根据正三角形对称性，点在轴上，
∴点坐标为．
当时，则有：，
，
解得，
，
∴点的坐标为．
综上所述，点的坐标为：或．
13．如图，抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），点的坐标为，与轴交于点，直线与轴交于点．动点在抛物线上运动，过点作轴，垂足为点，交直线于点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）当点在线段上时，的面积是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由；
（3）点在运动过程中，能否使以为顶点的三角形是以为腰的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标．
【答案】（1）解：∵抛物线过点和，
∴，
解得，
∴抛物线的表达式为；
（2）解：对于直线，令，则，
∴，
设，且，
∴，，
∴，
∴，
∵，对称轴为直线，
∴时，的值随的增大而增大，
∴当，有最大值，最大值为；
（3）解：不存在，理由如下：
∵轴，
∴当是以为腰的等腰直角三角形时，则有，
∴M点纵坐标为，
∴，
解得或，
当时，则点M和点C重合，不能构成三角形，不符合题意，舍去，
∴点的坐标为，点的坐标为，
此时，，，
，则不是以为腰的等腰直角三角形，
∴不存在这样的点，使以为顶点的三角形是以为腰的等腰直角三角形．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-面积问题；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）令直线y=2x-3中的y=0算出对应的函数值可得点的（，0)；设，且，根据点的坐标与图形性质得，，根据两点间的距离公式表示出MN，利用三角形的面积公式列出关于的二次函数，利用二次函数的性质求解即可；
（3）当△CMN是以NM为腰的等腰直角三角形时，则有CM⊥MN，根据点的坐标与图形性质得出点M的纵坐标为-3，然后将y=-3代入（1）所求的抛物线解析式算出对应的自变量x的值，判断得出点M的及点N的坐标，由两点间的距离公式算出CM、MN，就会发现MN≠CM，从而可得结论.
（1）解：∵抛物线过点和，
∴，
解得，
∴抛物线的表达式为；
（2）解：对于直线，
令，则，
∴，
设，且，
∴，，
∴，
∴，
∵，对称轴为直线，
∴时，的值随的增大而增大，
∴当，有最大值，最大值为；
（3）解：∵轴，
∴当是以为腰的等腰直角三角形时，则有，
∴M点纵坐标为，
∴，
解得或，
当时，则点M和点C重合，不能构成三角形，不符合题意，舍去，
当时，则点M和点C重合，不能构成三角形，不符合题意，舍去，
点的坐标为，点的坐标为，
此时，，，
，则不是以为腰的等腰直角三角形，
∴不存在这样的点，使以为顶点的三角形是以为腰的等腰直角三角形．
14．如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，连接．若点在线段上运动（点不与点重合），过点作轴的垂线，交抛物线于点，交轴于点．设点的横坐标为．
（1）求拋物线的函数表达式．
（2）若，求的值．
（3）在点的运动过程中，是否存在使得为等腰直角三角形？若存在，请直接写出的值；若不存在请说明理由．
【答案】（1）解：∵抛物线与轴交于两点，
∴设
代入，得
解得：
∴抛物线解的函数表达式为；
（2）解：设直线的解析式为，
把，代入解析式得，
，
解得，
∴直线的解析式为；
∵点P的横坐标为m，
∴点P的坐标为
∴，，
∴；，
∵，
∴，
整理得，，
解得，或（不合题意，舍去）
∴；

（3）或
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；等腰直角三角形；二次函数-线段周长问题；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】【解答】
（3）
解：由②知，，，
∵，
∴，
又轴，
∴
∴，
若是等腰直角三角形，则有：
①当时，连接，如图，
∴，
∵
∴
∴轴，
∴
∴，
解得，或（不合题意，舍去）
②当时，如图，连接则作于点K，
则且轴，
∴
∵
∴
∴，
∵
∴
解得，或（不符合题意，舍去），
综上，当或时，为等腰直角三角形
【分析】
（1）已知抛物线与x轴的两个交点A、B，可设交点式y=a(x+2)(x-6)，再代入点C求解即可；
（2）先求出直线BC的解析式，用含m的代数式表示点P、E、F的坐标，进而表示出线段PF和PE的长度，根据PF=3PE列方程求解即可；
（3）先证明是等腰直角三角形，得，再分和两种情况列出关于的方程，求出方程的解即可．
（1）解：∵抛物线与轴交于两点，
∴设
代入，得
解得：
∴抛物线解的函数表达式为；
（2）解：设直线的解析式为，
把，代入解析式得，
，
解得，
∴直线的解析式为；
∵点P的横坐标为m，
∴点P的坐标为
∴，，
∴；，
∵，
∴，
整理得，，
解得，或（不合题意，舍去）
∴；
（3）解：由②知，，，
∵，
∴，
又轴，
∴
∴，
若是等腰直角三角形，则有：
①当时，连接，如图，
∴，
∵
∴
∴轴，
∴
∴，
解得，或（不合题意，舍去）
②当时，如图，连接则作于点K，
则且轴，
∴
∵
∴
∴，
∵
∴
解得，或（不符合题意，舍去），
综上，当或时，为等腰直角三角形
三、几何动点构造特殊四边形
15． 抛物线与轴交于点，两点，与轴交于点，点是抛物线上的一个动点.
（1）求抛物线的函数解析式和直线的解析式；
（2）如图，点在线段上方的抛物线上运动（不与重合），过点作，垂足为，交于点. 若点的横坐标为，请用的式子表示，并求的最大值；
（3）如图，点是抛物线的对称轴上的一个动点，抛物线上存在一点，使得以点为顶点的四边形是平行四边形，请求出所有符合条件的点的坐标.
【答案】（1）解：∵抛物线 与x轴交于点A(-3，0)，B两点，与 y轴交于点C(0，3)，代 入得：
解得：
设直线AC的解析式为y=kx+b，将A(-3，0)，C(0，3)， 代入得：
解得
∴直线AC的解析式为y=x+3
（2）解：设 则E(x，x+3)，
∵a=-1<0，开口向下，PE存在最大值，最大值为
（3）解：①当AC为平行四边形的边时，则有. 且MN=AC，如图3，过点N作对称轴的垂线，垂足为G，设AC交对称轴于点H，
则∠AHG=∠ACO=∠NMG，
在△NMG和△ACO中，
∴△NMG≌△ACO(AAS)，
∴NG=AO=3，
∴点N到对称轴的距离为3，
又·.
∴抛物线对称轴为直线x =-1，
设点N(x，y)， 则NG= |x+1|= 3，
解得： x=2或x =-4，
当x =2时，代入 得：y=-5
当x =-4时， 代入
∴点N坐标为(2，-5)或(-4，-5)；
∴M(-1，-8)；
②当AC为平行四边形的对角线时，如图4，设AC的中点为T，
∵点M在对称轴上，
∴点M的横坐标为-1，
设点N的横坐标为x，根据中点公式得：x+(-1)
此时y=3，
综上所述，点M的坐标为(-1，-8)或(-1，0)
【知识点】三角形全等的判定-AAS；利用一般式求二次函数解析式；二次函数-线段周长问题；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【分析】(1)待定系数法求解析式即可；由(1)知： -2x+3，令x=0，求出y的值，得到点C的坐标，利用待定系数法求出直线AC的解析式；
(2)设 则E(m，m+3)，表示出PE，结合二次函数的性质可得PE的最大值；
(3)①当AC为平行四边形的边时，则有 且NM=AC，过点N作对称轴的垂线，垂足为G，设AC交对称轴于点H，证得 得到PG=AO=3，由抛物线的表达式可得对称轴， 设点P(x，y)， 则 ，求出x的值，据此可得点N的坐标，继而得到点M坐标；②当AC为平行四边形的对角线时，设AC的中点为T，易得点T的坐标，由点M在对称轴上，可得点M的横坐标为-1，设点N的横坐标为x，由中点坐标公式可得x的值，据此可得点M的坐标.
16．如图1，若二次函数y＝ax2﹣2x+c（a≠0）的图象与x轴交于点A和点B（3，0），与y轴交于点C（0，﹣3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，连接BC，点P为直线BC下方抛物线上的动点，求△PBC面积的最大值及此时点P的坐标；
（3）如图3，将抛物线y＝ax2﹣2x+c（a≠0）先向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到新的抛物线y'，在y'的对称轴上有一点D，坐标平面内有一点E，使得以点B，C，D，E为顶点的四边形是矩形，求点E的坐标．
【答案】（1）解：二次函数y＝ax2﹣2x+c（a≠0）的图象与x轴交于点A和点B（3，0），与y轴交于点C（0，﹣3）．将点B，点C的坐标分别代入得：
，
解得：，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）解：设直线BC的解析式为y＝kx+b，将点B（3，0），点C（0，﹣3）分别代入得：
，
解得：，
∴直线BC的解析式为y＝x﹣3，
点P为直线BC下方抛物线上的点，如图2，
设P（a，a2﹣2a﹣3），
∴M（a，a﹣3），
∴，
当时，，
∴，
∴△PBC面积的最大值为，
∴；
（3）解：由题意可得：y'＝（x﹣1）2﹣2（x﹣1）﹣3﹣1＝x2﹣4x﹣1＝（x﹣2）2﹣5，
y'的对称轴为x＝2．
∵B（3，0），C（0，﹣3），
∴OC＝OB＝3，∠BCO＝∠CBO＝45°，
当BC为矩形一边时，且点D在x轴的下方，如图3，过D作DF⊥y轴于点F，
∵D在y'的对称轴上，
∴FD＝2，
∵∠BCD＝90°，∠BCO＝45°，
∴∠DCF＝45°，
∴CF＝FD＝2，OF＝3+2＝5，即点D（2，﹣5），
∴点C向右平移2个单位、向下平移2个单位可得到点D，则点B向右平移2个单位、向下平移2个单位可得到点E（5，﹣2）；
当BC为矩形一边时，且点D在x轴的上方，y'的对称轴为x＝2与x轴交于点F，如图4，
∵D在y'的对称轴上，
∴FO＝2，
∴BF＝3﹣2＝1，
∵∠CBO＝45°，即∠DBO＝45°，
FD＝1，即点D（2，1），
∴点B向左平移1个单位、向上平移1个单位可得到点D，则点C向左平移1个单位、向上平移1个单位可得到点E（﹣1，﹣2）；
当BC为矩形对角线时，如图5，设D（2，d），E（m，n），BC的中点F的坐标为，
依意得：，
解得：，
又∵DE＝BC，
∴（2﹣1）2+（d﹣n）2＝32+32，
解得：，
联立得：，
解得：，
∴点E的坐标为或．
综上所述，点E的坐标为（5，﹣2）或（﹣1，﹣2）或或．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数图象的平移变换；二次函数-面积问题；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【分析】(1)利用待定系数法，将点B(3，0)、C(0，-3)代入二次函数解析式，求解a、c，得到抛物线解析式；
(2)先求直线BC的解析式，设抛物线上点P的坐标，作PM⊥x轴交BC于M，用P、M的纵坐标差表示PM，将△PBC的面积表示为关于P横坐标的二次函数，求最大值及对应P的坐标；
(3)先根据平移规律得到新抛物线y的解析式及对称轴，设对称轴上点D的坐标，分BC为矩形的边、对角线两种情况，利用矩形的性质（勾股定理、中点坐标公式）求解点B的坐标。
17．如图，已知抛物线：与y轴相交于点C（0，1），对称轴为直线x=2．坐标原点为O点，抛物线的对称轴交x轴于A点．
（1）抛物线的关系表达式；
（2）若点P为抛物线上的一动点，连接PO交线段AC于点B，当PB=2BO时，求点P的坐标；
（3）将抛物线向左平移2个单位长度得到抛物线，与相交于点E，点F为抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点H，使以点C，E，F，H为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点H的坐标：若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：∵抛物线：与y轴相交于点，
∴；
∵抛物线扔对称轴为直线．
∴，
∴
∴抛物线的解析式为：；
（2）解：∵抛物线的对称轴交x轴于A点，
∴A（2，0）
设直线AC的解析式为，
把A（2，0），C（0，1）代入得，
，
解得，，
∴直线AC的解析式为，
∵PB=2BO，
∴PO=3BO，
设，过点B作BE⊥x轴于点E，过点P作BF⊥x轴于点F则OF=m，PF=m2+4m+1，
∴BE∥PF，
∴△OBE∽△OPF，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得，，
当时，；
当时，；
∴点P的坐标为，；
（3）（-1，3）或（1，-2）或或
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；菱形的性质；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数-特殊四边形存在性问题；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：（3）∵
向左平移两个单位后抛物线的解析式为，
联立，
解得，
∴E（1，4），
∵抛物线的对称轴为直线
∴可设F（2，t），H（a，b），
①CF，EF为邻边，CE，EP为对角线时；
；EF2=(2 1)2+(t 4)2=t2 8t+17
又CF2=EF2，
∴t2 2t+5=t 8t+17
解得，t=2
∴F（2，2），
又CE的中点坐标为即
∴，
∴a= 1，b=3，
∴H（-1，3）；
②CE，CF为邻边，EF，CP为对角线时，
EC2=(1 0)2+(4 1)2=10，CF2=(2 0)2+(t 1)2=t2 2t+5，
又CE2=CF2
∴t2 2t+5=10，
解得，
当时，
EF的中点坐标为，
∴，，
∴，，
∴；
当时，
EF的中点坐标为，
∴，，
∴，，
∴；
③CE，EF为邻边，CF，EP为对角线
EC2=(1 0)2+(4 1)2=10，CF2=(2 1)2+(t 4)2=t2 8t+17
又EC2=EF2，
∴t2 8t+17=10，
解得，t=1，t=7（C、E、F三点共线，不符合题意舍去），
∵F（2，1），
∴CF的中点坐标为（1，1），
∴
解得，a=1，b=-2，
∴H（1，-2），
综上，点H的坐标为（-1，3）或（1，-2）或或．
【分析】（1）由对称轴公式求出，由点代入可求出，得到二次函数的解析式即可；
（2）运用待定系数法求出直线的解析式，设，过点作轴于点，过点作轴于点得根据平行得到利用对应边成比例求出，然后求出点P的坐标即可；
（3）联立直线与抛物线的解析式求出点E坐标，设，分为邻边，为对角线；为邻边，为对角线；为邻边，为对角线三种情况，根据邻边相等求出的值，再利用中点坐标公式求出的值解答即可.
18．如图，已知二次函数. 的图象经过三点A (-1， 0)， B(3， 0)， C (0， - 3)， 它的顶点为 M，且正比例函数.y=kx的图象与二次函数的图象相交于D、E两点.
（1）求该二次函数的表达式和顶点 M的坐标；
（2）若点E的坐标是((2，-3)，且二次函数的值小于正比例函数的值时，试根据函数图象求出符合条件的自变量x的取值范围；
（3）试探究：点P是x轴上一动点，以BP 为边作正方形BPQN，除点B 外还有一个顶点在抛物线上，求出满足条件的点 N的坐标.
【答案】（1）解：∵二次函数y=ax2+bx+c的图象经过三点A(-1，0)，B(3，0)，C(0，-3)
∴设二次函数的解析式为y=a(x+1)(x-3)，
把C(0，-3)代入得：-3=a(0+1)×(0-3)
解得a=1
∴二次函数的解析式为y=(x+1)(x-3)=x2-2x-3=(x-1)2-4，
∴顶点M的坐标是(1，-4)，
答：该二次函数的解析式是y=x2-2x-3，顶点M的坐标是(1，-4).
（2）解：把(2，-3)代入y=kx得：2k=-3，解得，
∴正比例函数的解析式为，
联立，解得或
∵E(2，-3)
∴抛物线与正比例函数的另一个交点坐标为，
由图可知：当时，二次函数的值小于正比例函数的值，
答：根据函数图象求出符合条件的自变量x的取值范围是.
（3）解：设正方形BPON边长为a，
∴BP=PQ=QN=BN=a，∠PBN=90°
∵点P是x轴上一动点，B(3，0)，
∴BN和PQ都垂直x轴，
∴N(3，a)或N(3，-a)不可能在抛物线上，P(3-a，0)或P(3+a，0)，
当P在抛物线上时，则只能是点P与A(-1，0)重合，此时a=AB=4，N(3，4)或N(3，-4)；
当Q在抛物线上时，
若Q在B(3，0)的左上方时，P(3-a，0)，Q(3-a，a)，N(3，a).
把Q(3-a，a)代入y=x2-2x-3得a=(3-a)2-2(3-a)-3，
解得a1=5，a2=0(舍去)
此时a=5，N(3，5)；
若Q在B(3，0)的左下方时，P(3-a，0)，Q(3-a，-a)，N(3，-a)，
把Q(3-a，-a)代入y=x2-2x-3得-a=(3-a)2-2(3-a)-3，
解得a1=3，a2=0(舍去)
此时a=3，N(3，-3)；
若Q在B(3，0)的右上方时，P(3+a，0)，Q(3+a，a)，N(3，a)，
把Q(3+a，a)代入y=x2-2x-3得
a=(3+a)2-2(3+a)-3，解得a1=-3，a2=0(都不符合题意，舍去)；
若Q在B(3，0)的右下方时，P(3+a，0)，Q(3+a，-a)，N(3，-a)，
把Q(3+a，-a)代入y=x2-2x-3得
-a=(3+a)2-2(3+a)-3，解得a1=-5，a2=0(都不符合题意，舍去)；
综上所述，N(3，4)或(3，-4)或(3，5)或(3，-3).
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；利用交点式求二次函数解析式；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【分析】(1)设二次函数的解析式为y=a(x+1)(x-3)，把C(0，-3)代入即可求出a=1，即得到二次函数的解析式，把它化成顶点式即可求出顶点坐标；
(2)把(2，-3)代入y=kx即可求出正比例函数的解析式，解由二次函数的解析式和正比例函数的解析式组成的方程组即可求出交点D的坐标，根据图象即可求出答案；
(3)设正方形BPQN边长为m，则
BP=PQ=QN=BN=m，∠PBN=90°，得到BN和PQ都垂直x轴，N(3，a)或N(3，-a)不可能在抛物线上，P(3-a，0)或P(3+a，0)，然后根据P、Q的位置确定Q点坐标，代入解析式计算即可.
19．如图，已知抛物线与轴相交于点，将抛物线绕着点旋转得到新的抛物线，抛物线与轴相交于点．
（1）求点的坐标及抛物线的顶点坐标；
（2）在抛物线上取一点，连接，且满足．
①当时，求点的坐标；
②定义：我们把一条对角线与一条边相等的平行四边形称为关于此对角线的对等平行四边形．现过点，，作平行四边形，当平行四边形是关于对角线的对等平行四边形时，求此时的值．
【答案】（1）解：∵令，得，∴，
∵，
∴抛物线的顶点坐标为
（2）解：①∵，∴，
∴或，
当为时，如图，
设新的抛物线的解析式为，
抛物线绕着点旋转得到新的抛物线，两抛物线开口方向相反，形状相同，
则，
∵点绕点旋转得，新的抛物线的对称轴与抛物线的对称轴关于轴对称，
∴，
解得：，
∴新的抛物线的解析式为，
∵如图，过点作轴于点，
∵，
∴，
∴设，
设直线解析式为，
将代入，得，
解得：，
∴直线解析式为，
联立，
解得：，，
∴；
当为时，如图，
同理可得新的抛物线的解析式为，
如图，过点作轴于点，
同理可得直线解析式为，
联立，
解得：，，
∴，
综上所述，或；
②由旋转知和关于点对称，新的抛物线的对称轴与抛物线的对称轴直线关于轴对称，，，
∴，新的抛物线的对称轴为直线，两抛物线开口方向相反，形状相同，
同①方法可得新的抛物线的解析式为，
设交轴于点，
∵，
∴，且点在轴负半轴，
∴，
设直线解析式为，
将，代入，
得，
解得：，
∴直线解析式为，
联立，
解得：，，
∴，
∵平行四边形是关于对角线的对等平行四边形，
当时，
得，
解得：；
当时，
得，
解得：或（大于，舍）；
综上所述，或
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；二次函数图象的对称变换；二次函数-线段周长问题；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【分析】（1）令可求出点A的坐标，将函数解析式转化为顶点式可求出抛物线L的顶点坐标.
（2）①由，可求出点H的坐标，分两种情况：①当为时，先利用旋转得出新的抛物线的解析式和点的坐标；过点作轴于点，利用可表示出点C的坐标，利用待定系数法求出直线BC的函数解析式，将抛物线和直线BC的函数解析式联立方程组，解方程组可求出点C的坐标；当为时，同理可得新的抛物线的解析式及直线BC的函数解析式，同理可求出点C的坐标；综上所述可得到符合题意的点C的坐标；②由旋转知和关于点对称，新的抛物线的对称轴与抛物线的对称轴直线关于轴对称，，，可得，新的抛物线的对称轴为直线，两抛物线开口方向相反，形状相同，求出新的抛物线的解析式，再利用结合点的坐标求出直线解析式，联立新的抛物线的解析式和抛物线解析式可求出点坐标，由平行四边形是关于对角线的对等平行四边形，分两种情况讨论：当时；当时，分别可得到关于m的方程，分别解方程求出符合题意的m的值.
（1）解：∵令，得，
∴，
∵，
∴抛物线的顶点坐标为；
（2）解：∵，
∴，
∴或，
当为时，如图，
设新的抛物线的解析式为，
抛物线绕着点旋转得到新的抛物线，两抛物线开口方向相反，形状相同，
则，
∵点绕点旋转得，新的抛物线的对称轴与抛物线的对称轴关于轴对称，
∴，
解得：，
∴新的抛物线的解析式为，
∵如图，过点作轴于点，
∵，
∴，
∴设，
设直线解析式为，
将代入，得，
解得：，
∴直线解析式为，
联立，
解得：，，
∴；
当为时，如图，
同理可得新的抛物线的解析式为，
如图，过点作轴于点，
同理可得直线解析式为，
联立，
解得：，，
∴，
综上所述，或；
由旋转知和关于点对称，新的抛物线的对称轴与抛物线的对称轴直线关于轴对称，，，
∴，新的抛物线的对称轴为直线，两抛物线开口方向相反，形状相同，
同方法可得新的抛物线的解析式为，
设交轴于点，
∵，
∴，且点在轴负半轴，
∴，
设直线解析式为，
将，代入，
得，
解得：，
∴直线解析式为，
联立，
解得：，，
∴，
∵平行四边形是关于对角线的对等平行四边形，
当时，
得，
解得：；
当时，
得，
解得：或（大于，舍）；
综上所述，或．
20．如图所示，在平面直角坐标系中，直线交坐标轴于B、C两点，抛物线经过B、C两点，且交x轴于另一点．点D为抛物线在第一象限内的一点，过点D作，交于点P，交x轴于点Q．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设点P的横坐标为m，在点D的移动过程中，存在，求出m值；
（3）在抛物线上取点E，在平面直角坐标系内取点F，问是否存在以C、B、E、F为顶点且以为边的矩形？如果存在，请求出点F的坐标；如果不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：一次函数，
当时，，即，
当时，，解得，即，
把，代入得，
解得，
则抛物线的解析式为
（2）解：，，
，
，
，
，
，
点的纵坐标与点的纵坐标相同，即为3，
当时，，解得或（舍去），
则．
（3）解：存在，求解如下：
设点的坐标为，
①当四边形是矩形时，则，
∵直线的解析式为，
∴设直线的解析式为，
把点代入得，
直线的解析式为，
联立，解得或（即为点，舍去），
，
四边形是矩形，且，，，
，解得，
则此时点的坐标为；
②当四边形是矩形时，则，
设直线的解析式为，
将点代入得：，解得，
则直线的解析式为，
联立，解得或（即为点，舍去），
，
四边形是矩形，且，，，
，解得，
则此时点的坐标为，
综上，存在以、、、为顶点且以为边的矩形，此时点的坐标为或．
【知识点】利用一般式求二次函数解析式；二次函数-角度的存在性问题；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【分析】(1)求出一次函数y=-x+3与坐标轴的交点B、C的坐标，将点代入得关于a、b的方程，求解方程可得a、b的值，即可得抛物线的解析式；
(2)由得DCO=90，D、C纵坐标都为3，令y=3可得x的值，即知m的值；
(3)设点F(s，t)，分类讨论BCEF为矩形和BCFE为矩形时的情形，利用矩形对角线互相平分，邻边垂直的性质求出s、t的值，即得点F的坐标.
21．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点A（3，0）、B（0，-3），点P是直线AB上的动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M，设点P的横坐标为t.
（1）分别求出直线AB和这条抛物线的解析式.
（2）若点P在第四象限，连接AM、BM，当线段PM最长时，求的面积.
（3）是否存在这样的点P，使得以点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形 若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：把A（3，0）B（0，-3）代入得
解得
所以抛物线的解析式是
设直线AB的解析式是y=kx+b，
把A（3，0）B（0，-3）代入y=kx+b，得
解得
所以直线AB的解析式是y=x-3
（2）设点P的坐标是（t，t-3），则M（t，t2-2t-3），
因为p在第四象限，
所以
当时，二次函数的最大值，即PM最长值为
则
（3）存在，理由如下：
∵PM∥OB，
∴当PM=OB时，点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形，
①当P在第四象限：PM=OB=3，PM最长时只有所以不可能有PM=3.
②当P在第一象限：PM=OB=3，（t2-2t-3）-（t-3）=3，
解得（舍去），
所以P点的横坐标是
③当P在第三象限：PM=OB=3，t2-3t=3，
解得（舍去），
所以P点的横坐标是
综上所述，P点的横坐标是或
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征；利用一般式求二次函数解析式；二次函数-面积问题；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）设点P的坐标是（t，t﹣3），则M（t，t2﹣2t﹣3），则PM=﹣t2+3t，然后根据二次函数的最值公式求出当t=时，PM长最大为，然后利用分割法求出△ABM的面积即可；
（3）根据平行四边形的判定得到当PM=OB，然后讨论：当P在第四象限：PM=OB=3，PM最长时只有，所以不可能；当P在第一象限：PM=OB=3，；当P在第三象限：PM=OB=3，分别列方程求出t的值解答即可．
22．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点．与y轴交于点C．且点A的坐标为，点C的坐标为．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）如图甲，若点P是第一象限内抛物线上的一动点．当点P到直线的距离最大时，求点P的坐标；
（3）图乙中，若点M是抛物线上一点，点N是抛物线对称轴上一点，是否存在点M使得以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：将A的坐标，点C的坐标代入得：
，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：过P作轴于D，交于Q，过P作于H，如图所示：
在中，令得：，
解得：或，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵轴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴当最大时，最大，
设直线解析式为，将代入得，
解得：，
∴直线解析式为，
设，则，
∴，
∵，
∴当时，最大为，
∴时，最大，即点P到直线的距离最大，此时；
（3）或或
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数-线段周长问题；二次函数-特殊四边形存在性问题；坐标系中的中点公式
【解析】【解答】解：（3）存在，理由如下：
抛物线对称轴为直线，
设，，而，，
①以、为对角线，则、的中点重合，如图：
∴，
解得：，
∴；
②以、为对角线，则、的中点重合，如图所示：
∴，
解得，
∴；
③以、为对角线，则、中点重合，如图所示：
，
解得，
∴；
综上所述，M的坐标为：或或。
【分析】（1）把点 A、C 的坐标代入抛物线解析式，通过解方程组求出系数，从而得到抛物线的解析式。
（2）先求出点 B 坐标和直线 BC 的解析式，再将点 P 到直线 BC 的距离转化为线段 PQ 的长度，通过求二次函数的最大值，确定点 P 的坐标。
（3）设出点 M、N 的坐标，分三种情况讨论平行四边形的对角线，利用对角线中点重合的性质列方程求解，得到所有符合条件的点 M 坐标 。
（1）解：将A的坐标，点C的坐标代入得：
，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：过P作轴于D，交于Q，过P作于H，如图所示：
在中，令得：，
解得：或，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵轴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴当最大时，最大，
设直线解析式为，将代入得，
解得：，
∴直线解析式为，
设，则，
∴，
∵，
∴当时，最大为，
∴时，最大，即点P到直线的距离最大，此时；
（3）解：存在，理由如下：
抛物线对称轴为直线，
设，，而，，
①以、为对角线，则、的中点重合，如图：
∴，
解得：，
∴；
②以、为对角线，则、的中点重合，如图所示：
∴，
解得，
∴；
③以、为对角线，则、中点重合，如图所示：
，
解得，
∴；
综上所述，M的坐标为：或或．
23．如图，抛物线 与x轴交于点A和点B (3，0)，与y轴交于点C(0，3)，点D是抛物线的顶点，过点D作x轴的垂线，垂足为E，连接DB.
（1）求此抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）点M是抛物线上的动点，设点M的横坐标为m.
①当∠MBA=∠BDE时，求点M的坐标；
②过点M作MN∥x轴，与抛物线交于点N， P为x轴上一点，连接PM， PN，将 沿着MN翻折，得 ，若四边形MPNQ恰好为正方形，直接写出m的值.
【答案】（1）解：把点B (3， 0) ， C (0， 3)代入
得到
解得
∴抛物线的解析式为
∴顶点D坐标(1， 4)；
（2）解： ①作MG⊥x轴于G，连接BM.则∠MGB=90°，设 ，
∵DE⊥x轴， D (1， 4) ，
∴∠DEB=90°， DE=4， OE=1，
∵B (3， 0) ，
∴BE=2，
∵∠MBA=∠BDE，
当点M在x轴上方时，
解得 或3(舍弃)，
当点M在x轴下方时，
解得 或m=3(舍弃) ，
∴点
综上所述，满足条件的点M坐标 或
②或
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；解直角三角形—边角关系；二次函数的对称性及应用；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【解答】解：(2)②如图中， ∵MN∥x轴，
∴点M、N关于抛物线的对称轴对称，
∵四边形MPNQ是正方形，
∴点P是抛物线的对称轴与x轴的交点，即OP=1，
易证GM=GP，即|
当 时，解得
当 时，解得
∴满足条件的m的值为 或
故答案为： 或
【分析】(1)利用待定系数法即可解决问题；
(2)①根据，，由∠MBA=∠BDE，构建方程即可解决问题；
②因为点M、N关于抛物线的对称轴对称，四边形MPNQ是正方形，推出点P是抛物线的对称轴与x轴的交点，即OP=1，易证GM=GP，即|-m2+2m+3|=|1-m|，解方程即可解决问题.
24．如图1，若二次函数的图象与轴交于点和点，与轴交于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，连接，点为直线下方抛物线上的动点，求面积的最大值及此时点的坐标；
（3）如图3，将抛物线先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到新的抛物线，在的对称轴上有一点，坐标平面内有一点，使得以点，，，为顶点的四边形是矩形，求点的坐标．
【答案】（1）解：二次函数的图象与轴交于点和点，与轴交于点．
将点，点的坐标分别代入得：，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：设直线的解析式为，将点，点分别代入得：，
解得：，
∴直线的解析式为，
点为直线下方抛物线上的点，如图，
设，
∴，
∴，
当时，，
∴，
∴面积的最大值为，
∴；
（3）解：
对称轴为直线
设
∵，，
如图所示，当BD为对角线时，
如图所示，当BC为对角线时，
或
如图所示，当BE为对角线时，
综上所述，点的坐标为或或或．
【知识点】二次函数的最值；矩形的判定与性质；二次函数图象的平移变换；二次函数-面积问题；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【分析】（1）由抛物线上点的坐标特征把和代入函数解析式并求解关于a、c的二元一次方程组即可；
（2）先利用待定系数法求出直线的解析式，再利用抛物线上点的坐标特征可设点的P的坐标为，再过点P作y轴的平行线交直线BC于点M，则由直线上点的坐标特征可得，则PM可用含a的代数式表示，再利用铅直法可得的面积是关于a的二次函数且二次项系数为负，再利用二次函数的性质求出其最大值同时可得点P的坐标；
（3）先利用二次函数图象的平移规律得平移后的抛物线的解析式，则可得新抛物线的对称轴，再分别设出点D、E的坐标，由于矩形的对角线互相平分且相等，再进行分类讨论，即BC为对角线、或BD为对角线、或BE为对角线，再分别利用中点公式和两点距离公式联立方程或方程组并求解即可．
（1）解：二次函数的图象与轴交于点和点，与轴交于点．将点，点的坐标分别代入得：
，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：设直线的解析式为，将点，点分别代入得：
，
解得：，
∴直线的解析式为，
点为直线下方抛物线上的点，如图，
设，
∴，
∴，
当时，，
∴，
∴面积的最大值为，
∴；
（3）解：由题意可得：，
的对称轴为．
∵，，
∴，，
当为矩形一边时，且点在轴的下方，如图，过作轴于点，
∵在的对称轴上，
∴，
∵，，
∴，
∴，，即点，
∴点向右平移个单位、向下平移个单位可得到点，则点向右平移个单位、向下平移个单位可得到点；
当为矩形一边时，且点在轴的上方，'的对称轴为与轴交于点，如图，
∵在的对称轴上，
∴，
∴，
∵，即，
，即点，
∴点向左平移个单位、向上平移个单位可得到点，则点向左平移个单位、向上平移个单位可得到点；
当为矩形对角线时，如图，设，，的中点的坐标为，
依题意得：，
解得：，
又∵，
∴，
解得：，
联立得：，
解得：，
∴点的坐标为或．
综上所述，点的坐标为或或或．
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