资源简介

几何动点（构造相似与三角形、四边形、圆中的动点）—2026浙江中考数学高阶能力拓展专题
一、三角形中的几何动点
1．如图1， △ABC中， ∠A=30°，点P从A点出发沿折线A—C—B运动，点Q从点A 出发沿线段AB运动，P，Q两点同时出发，当某一点运动到B时，另一点同时停止运动，已知点 P的速度为2cm/s，点Q的速度为1cm/s，设P 点运动时间为x(s)， △APQ的面积为y(cm2)．如图2是y关于x的函数图象，下列选项正确的是(　　)
A．m=4 B．BC=12
C．y的最大值为2.75 D．点(5， )在该函数图象上
2．如图1，点O为△ABC的重心，当动点P从点A 出发沿△ABC的边逆时针运动一周，设点P的运动路程为x，OP2为y，y关于x函数的部分图象如图2所示，则下列说法中正确的是(　　)
A．n=3 B．m=50
C． D．△ABC的面积为30
3． 如图1， 在 Rt△ABC中， D是斜边AC中点.点E在边AB上， 从点A 出发， 运动到点B时停止， 设AE为x， DE2为y.如图2， y关于x的函数图象与y轴交于点P(0， m)，且经过最低点N(n-4， 9)和M(n， m)两点.下列选项正确的是(　　)
A．∠A=30° B．m=25 C．n=6 D．BC=3
4．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，E为边BC上一动点，作DE⊥BC，交AB于点D，连接CD.记CE=x，△DEC的面积为y，若y关于x的函数图象如图2所示，则下列说法错误的是（　　）
A．当时，CD的长最小 B．△DEC的面积最大为
C．BC=3 D．∠B=60°
5． 如图， 在△ABC中， BC=4cm， AC=3cm， D是BC的中点， 动点E从点A 出发， 在AC边上以1cm/s的速度向点C运动，运动到 C点停止.若以 C，D、E为顶点的三角形与△ABC相似，则点E 的运动时间为　 　秒.
6．如图，在平面直角坐标系xOy中，A（5，0），B（0，7），动点P，Q分别按照A-O-B和B-O-A的路线同时开始运动，到各自的终点时停止.直线l经过原点O，且l∥AB，过P，Q分别作l的垂线段，垂足分别为E，F.若点P的速度为每秒2个单位长度，点Q的速度为每秒4个单位长度，运动时间为t秒，当△OPE与△OQF全等时，t的值为　 　 .
二、几何动点构造相似
7．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，过点的抛物线的对称轴与直线交于点．
（1）求点的坐标；
（2）已知轴上一动点，连接，若与相似，求出点的坐标．
8．如图，抛物线经过点、、，点是抛物线在轴上方图象上一点，动直线分别交轴、轴于点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）当以为顶点的三角形面积为6时，求出点的坐标；
（3）当，点在抛物线上运动时，是否存在点，使得以为直角顶点的与相似，若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由．
9．如图，抛物线与轴交于和两点，与轴交于点，点是抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式和顶点的坐标；
（2）点在轴上，直线将的面积分成两部分，请求出点的坐标；
（3）如图，作轴于点，点是上方的抛物线上一点，是上一点，是否存在点使得与相似？若存在，请直接写出坐标；若不存在，请说明理由．
10．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过原点和点．经过点的直线与该二次函数图象交于点，与轴交于点．
（1）求二次函数的解析式及点的坐标；
（2）点是二次函数图象上的一个动点，当点在直线上方时，过点作轴于点，与直线交于点，设点的横坐标为．
①为何值时线段的长度最大，并求出最大值；
②是否存在点，使得与相似．若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由．
11．如图，抛物线经过点，，交轴于点，点是直线上方抛物线上一点，其横坐标为，连接交直线于点．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）在抛物线上是否存在点，使，若存在，求出值；若不存在，请说明理由．
（3）点是抛物线上的点，当的值最大时，是否存在点使得是直角三角形，若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由．
12．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点是抛物线上一动点（不与点重合），过点作轴于点，交直线于点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若，求点的坐标；
（3）若点在直线下方的抛物线上运动，是否存在点，使以点，，为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
三、四边形中的几何动点
13．如图，是正方形ABCD的边CD上一动点（不与C，D重合），连结AE，以AE为边作正方形AEFG，点是AF的中点，连结CM．给出下列结论：①；②点B，M，D三点共线，则下列判断正确的是（　　）
A．①，②都对 B．①，②都错 C．①对，②错 D．①错，②对
14．如图，在四边形ABCD中，AD=CD=2，AB=4，∠D=∠BAD=90°，点E从D点向C点运动，连结AE，过点E作EF⊥AE交BC于点F，连结AF，设点E运动的路程为x，△AEF的面积为y，则能反映y与x之间函数关系的图象是（　　）
A． B．
C． D．
15．如图1，在矩形ABCD中，点P从点A出发沿边AD→DC匀速运动，运动到点C时停止.过点P作对角线AC的垂线，交矩形ABCD的边于点Q.设点P运动的路程为x，AQ的长为y，其中y关于x的函数图象如图2所示，则下列选项错误的是（　　）
A．AB=4 B．
C． D．点（6，5）在该函数图象上
16．如图，在四边形ABCD中， 点 H，F分别在边 AD，BC上移动(不与端点重合)，连接FH，则下列为定值的是(　　)
A．∠EFG的大小 B．四边形EFGH的周长
C．线段FH的长 D．四边形EFGH的面积
17．如图，在正方形ABCD中，AB=4，动点M，N分别从点A，B同时出发，沿射线AB，射线BC的方向匀速运动，且速度的大小相等，连接DM，MN，ND.设点M运动的路程为x（0≤x≤4），△DMN的面积为S，下列图象中能反映S与x之间函数关系的是（　　）
A． B．
C． D．
18．如图，正方形ABCD中，AD=4，E是AB上一点，且EB=1，F是BC上一动点，若将△EBF沿EF对折后，点B落在点P处，则点P到点D的最短距离为　 　 .
19．如图， 在长方形电子屏ABCD中， AB=8m， AD=5m. 一条公益广告画面的动态效果设计如下：动点 P 从点A 出发沿边AB，BC 以2m/s的速度向点C 运动，随着DP 的移动，画面逐渐展开.
（1）写出展开的画面面积S(单位：m2)关于点 P的运动时间t(单位：s)的函数表达式；
（2）当展开的画面面积达到电子屏面积的 时开始播放广告语，播放时间持续3. s，求播放结束时展开的画面面积.
20．如图，已知正方形是上的两个动点，交于点．
（1）求证：；
（2）若四边形的面积为，求的长；
（3）求的最小值．
四、圆中几何动点
21． 如图，在等腰中，，点P在以斜边AB为直径的半圆上，M为PC的中点. 当点P沿半圆从点A运动至点B时，AM的最小值是（　　）
A． B． C． D．
22．如图，AB为的直径，为弧AC上一动点，连结BD，CD，作交BD于，连结OE.
①当D为弧AC的中点时，　 　；
②当在弧AC上运动时，OE的最小值为　 　.
23．如图1，AB为⊙O的直径，⊙O的周长为4厘米.动点P从点A出发，在圆周上按顺时针方向作匀速运动，速度为1厘米/秒，点P 出发1秒后，动点Q也从A 点出发，以x厘米/秒的速度在圆周上按顺时针方向作匀速运动，设动点 P 运动t(秒)时，点P，Q与点A 之间较短的弧长分别为y1，y2.y1，y2与t的函数图象如图2所示.
（1）求x的值.
（2）当2≤t≤4时，求y1关于t的一次函数表达式.
（3）若点C为图2中两个函数图象的交点，求点C的坐标，并求出此时点P，点Q之间的劣弧长.
24．如图，在中，，，以点C为圆心，为半径作圆.点D为边AB上的动点，DP，DQ分别切圆C于点P，点Q，连接PQ，分别交AC和BC于点E，F，取PQ的中点M.
（1）当时，求劣弧PQ的度数；
（2）当时，求AD的长；
（3）连接CM，BM.
①证明：.
②在点D的运动过程中，BM是否存在最小值？若存在，直接写出BM的值；若不存在，请说明理由.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】含30°角的直角三角形；动点问题的函数图象；三角形-动点问题；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：当点P在线段上时，则，，过点P作于点D，如图所示：
∵，
∴，
∴，
由图象可知：当时，则有，解得：（负根舍去），故A错误；
当时，，说明此时点P与点B重合，
∴，故B错误；
当点P在线段上时，分别过点C、P作，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴当时，面积最大，最大值为，故C错误；
∴，
∴当时，，故D正确．
【分析】由题意可分当点P在线段上或点P在线段上两种情况，过点P作高，根据正弦的定义求出高的长，利用三角形的面积公式求出y与x的函数关系式，然后逐项判断解答即可．
2．【答案】C
【知识点】二次函数-动态几何问题；三角形-动点问题；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：∵函数图象过点(0，25)，此时点P与点A重合，
当 时，OP最短，此时 最小，如图：
∵函数最低点为(4， n)，
∴AP=4，
∴OP=3，
故A选项错误，不符合题意；
∵函数图象过点(10，m)，此时点P与点B重合，
故B选项错误，不符合题意；
延长CO交AB于点M，作CN⊥AB于点N，
∴OP∥CN，
∴△MOP∽△MCN，
∴CN=9，
∵AB=10，点M是AB的中点，
∴AM=BM=5，
∵AP=4，
∴MP=AM-AP=1，
∴MN=3，
∴BN=BM+MN=8，
故C选项正确，符合题意；
故D选项错误，不符合题意.
故选： C.
【分析】根据函数图象中的关键点判断出n，m的值，进而延长CO交AB于点M，作 于点N，构造 分别求得CN，BN的长度即可求得BC的长度，即可求出 的面积.
3．【答案】B
【知识点】勾股定理；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；二次函数-动态几何问题；三角形-动点问题；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：∵函数图象过点和，
∴这两点纵坐标相等，
∴二次函数图象的对称轴为，
∵二次函数图象的最低点为，
∴，
解得；故选C错误；
∴二次函数图象的最低点为，此时，，则，
∵是的中点，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
∴是的中位线，
∴，故选项D错误；
当时，，，
∴，
当时，点与点重合，
∴，
∴，
∴，故选B正确，
∴，
∵是的中点，
∴，
∴在中，，即，故选项A错误．
故答案为： .
【分析】根据函数图象可得对称轴为，根据最低点坐标得到n的方程，求出可判断C；由函数图象的最低点为，求出，得到是的中位线，求出BC的长判断D；根据勾股定理求出m和AC的值，再根据正弦的定义求出∠A≠30°，判断A、B解答即可．
4．【答案】A
【知识点】二次函数的最值；动点问题的函数图象；三角形-动点问题；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：由图2可知，函数图象过点和，
当时，，即点与点重合，
，
故C选项说法正确，不符合题意；
由图象对称性可知，对称轴为直线，
当时，取得最大值，
设，
将点代入得：，
解得，
，
当时，，
故B选项说法正确，不符合题意；
，
，
在中，，
，
，
故D选项说法正确，不符合题意；
在中，，
，抛物线开口向上，
当时，最小，
即最小，
，
当时，的长不是最小，
故A选项说法错误，符合题意．
故答案为：A.
【分析】根据抛物线的对称性的到当时，，得到BC长判断C选项；根据交点式求出二次函数的解析式，配方为顶点式得到最大值判断B选项；根据三角形面积公式表示DE长，再根据正切的定义求出的度数判断D选项；根据长度关于的函数关系式，利用二次函数的最值得到的最小值判断A选项解答即可．
5．【答案】或
【知识点】三角形-动点问题；相似三角形的性质-对应边；分类讨论
【解析】【解答】解：设点的运动时间为秒，
由题意可得，，
∵是的中点，
∴，
当时，
，
∴，解得，
当时，
，
∴，解得，
综上可知，点的运动时间为或，
故答案为：或.
【分析】分两种情况利用相似三角形的性质进行解答即可．
6．【答案】1或2
【知识点】点的坐标；一元一次方程的实际应用-几何问题；三角形-动点问题；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：∵，，
∴，，
由题意，和是两直角三角形的斜边，
当与全等时，，
①当点P在上，点Q在上时，
根据题意可得，时，，，
∴，，
∴，
解得；
②当点P，Q都在上时，点P，Q重合时，两三角形重合时，
P点行程为，Q点行程为，
∴，
解得；
③当点P在上，点Q在上且点Q与点A重合时，
，
∴．
解得（舍去）；
综上所述，当与全等时，满足题意的t的值为1或2．
故答案为：1或2．
【分析】分为①当点P在上，点Q在上；②当点P，Q都在上；点P在上，点Q在上三种情况，表示出，的长，列一元一次方程解答．
7．【答案】（1）解：将点 代入直线 中，则 ，
解得： ，
抛物线 的对称轴为直线 ，
将 代入直线 中，
则 ，
点 的坐标为
（2）解：根据题意得： ，，
如图，当 时，
此时，，
由（1）知，，
；
如图，当时，
此时，，
，
设，
令中，则，
，
，，
，，，，
，
解得：或（舍去），
点的坐标为，
综上，点的坐标为或。
令中，则，
，
，，
，，，，
，
解得：或（舍去），
点的坐标为，
综上，点的坐标为或。
【知识点】二次函数y=ax²的性质；坐标系中的两点距离公式；一次函数图象上点的坐标特征；二次函数-相似三角形的存在性问题
【解析】【分析】(1)先将点A(-2，0)代入直线y=kx+1中，求出，再求出抛物线的对称轴为x=2，将x=2代入直线中，即可求出点B的坐标；
(2)根据题意得： 若 与 相似，分 和 两种情况讨论即可.
8．【答案】（1）解：把、、代入解析式得：
，解得，
∴ 抛物线的解析式为：y=-x2+x+4；
（2）解：设直线AC的解析式为y=kx+d，
∴，解得，
∴y=-x+1，
设 过点P作 轴， 交AC于H， 如图1，
则
3，
，
解得：
∴ P点的坐标为(0，4)或(2，2)；
（3）解：∵直线 分别交x轴、y轴于点D、E.
∴D(2t，0)， E(0，t)， 且
即
∴直线DF的解析式为
联立得 解得：，，
， ，
，
同理可得： 在 中，
，
当 时， 如图2， 则
即
解得： 或
经检验， 或 均是原方程的解，
当 时，则
即
解得：
经检验， 是原方程的解，
综上所述，抛物线上存在点Q，使得以D为直角顶点的 与 相似，t的值为 或
【知识点】利用一般式求二次函数解析式；二次函数-线段周长问题；二次函数-相似三角形的存在性问题
【解析】【分析】(1)运用待定系数法即可求得答案；
(2)利用待定系数法可得直线AC的解析式为
设 过点P作 轴， 交AC于H， 则再运用三角形面积公式建立方程求解即可得出答案；
(3)先证得 得出 运用待定系数法可得直线DF的解析式为 联立方程组求得点Q的坐标，再根据相似三角形性质建立方程求解即可得出答案.
9．【答案】（1）解：把点和点的坐标代入，
得：，
解得：，
抛物线的解析式是；
∵，
抛物线的顶点的坐标为
（2）解：如图所示，设点、是线段的三等分点，过点作，，
∴，
，
∵B点坐标为
∴，
，
点、的横坐标分别是、，
设直线的解析式是，
把点和点的坐标代入，
得：，
解得：，
直线的解析式是，
当时，，
当时，，
点的坐标是，点的坐标是，
点和点在直线上，
直线与轴的交点坐标是，
即点的坐标是；
设直线的解析式是，
把点和点的坐标代入，
得：，
解得：，
直线的解析式是，
当时，，
解得：，
直线与轴的交点坐标是，
即点的坐标是，
综上所述，点的坐标是或
（3）存在，
点的坐标为或.
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-面积问题；二次函数-相似三角形的存在性问题
【解析】【解答】解：（3）存在，点的坐标为或，
设点的坐标是，
如下图所示，作，延长交于点，过点作，
点的坐标是，点的坐标是，
，，，
，
，，
，
，
，
，
点的坐标是，
，
，
在和中，，
，
，
点的坐标是，
即点的坐标是，
设直线的解析式是，
把点，的坐标代入，
可得：，
解得：，
直线的解析式是，
把点的坐标代入，
可得：，
整理得：，
解得：，(与点重合，舍去)，
当时，，
则，
点的坐标是；
如下图所示，作，作，
则，
当时，，
点的坐标是，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
解得：，
点的横坐标是，
把代入，
得：，
点的坐标是，
综上所述，点的坐标或．
【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式是，把二次函数的解析式整理成顶点式，得出顶点的坐标为，即可得出答案；
（2）作点、三等分线段，根据平行线分线段成比例定理可知点、的横坐标是、，用待定系数法求出直线的解析式，根据解析式可得点、的坐标，用待定系数法求出、的解析式，根据解析式求出点的坐标，即可得出答案；
（3）设点的坐标是，作，延长交于点，过点作，利用相似三角形的性质可知，点的坐标是，点的坐标是，利用待定系数法求出的解析式，根据点在直线上，即可求出点的坐标；作，作，可证，利用勾股定理求出的长度，根据全等三角形的性质可知的长度，利用相似三角形的性质求出点的坐标，即可得出答案．
（1）解：把点和点的坐标代入，
可得：，
解得：，
抛物线的解析式是；
把二次函数的解析整理，可得：，
抛物线的顶点的坐标为；
（2）解：如下图所示，点、是线段的三等分点，
过点作，，
则，
，
，
，
点、的横坐标分别是、，
设直线的解析式是，
把点和点的坐标代入，
可得：，
解得：，
直线的解析式是，
当时，可得：，
当时，可得：，
点的坐标是，点的坐标是，
点和点在直线上，
直线与轴的交点坐标是，
即点的坐标是，
设直线的解析式是，
把点和点的坐标代入，
可得：，
解得：，
直线的解析式是，
当时，可得：，
解得：，
直线与轴的交点坐标是，
即点的坐标是，
综上所述，点的坐标是或；
（3）解：点的坐标或，
设点的坐标是，
如下图所示，作，延长交于点，过点作，
点的坐标是，点的坐标是，
，，，
，
，，
，
，
，
，
点的坐标是，
，
，
在和中，，
，
，
点的坐标是，
即点的坐标是，
设直线的解析式是，
把点，的坐标代入，
可得：，
解得：，
直线的解析式是，
把点的坐标代入，
可得：，
整理得：，
解得：，(与点重合，舍去)，
当时，，
则，
点的坐标是；
如下图所示，作，作，
则，
当时，，
点的坐标是，
，
在和中，，
，
，
，
，
，
，
解得：，
点的横坐标是，
把代入，
可得：，
点的坐标是，
综上所述，点的坐标或．
10．【答案】（1）解：把，，代入，
得，
解得，
∴二次函数的解析式为，
设直线解析式为，
则，
解得，
∴直线解析式为，
当时，，
∴；
（2）解：①设，则，
∴
，
∴当时，有最大值为；
②∵，，
∴，
又，
∴，
又轴，
∴轴，
∴，
当时，如图，
∴，
∴轴，
∴P的纵坐标为3，
把代入，得，
解得，，
∴，
∴，
∴P的坐标为；
当时，如图，过B作于F，
则，，
又，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得，（舍去），
∴，
∴P的坐标为
综上，当P的坐标为或时，与相似．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数-线段周长问题；二次函数-相似三角形的存在性问题
【解析】【分析】（1）哟提议可得抛物线y=ax2+bx+c经过点（0，0）、（4，0）及（1，3），从而利用待定系数法可求出抛物线的解析式；利用待定系数法求出直线AB解析式，然后令直线AB解析式中的x=0算出对应的函数y的值，即可求出C的坐标；
（2）①根据点的坐标与图形性质设P（m，-m2+4m）(1＜m＜4)，则点D（m，-m+4），根据平面内两点间的距离公式表示出PD，然后根据二次函数的性质求解即可；
②先利用等边对等角，平行线的判定与性质等求出∠A=PDB=∠ACO=45°，当△PBD∽△OAC时，易得BP∥x轴，根据点的坐标与图形性质得P点的纵坐标为3，将y=3代入抛物线的解析式算出对应的自变量x的值，即可求出点P的坐标；当△PBD∽△AOC时，过点B作BF⊥PD于点F，由等腰直角三角形的性质可得BP=BD，PF=DF=BF，据此建立方程求解得出m的值，即可求出点P的坐标，综上可得答案.
（1）解：把，，代入，
得，
解得，
∴二次函数的解析式为，
设直线解析式为，
则，
解得，
∴直线解析式为，
当时，，
∴；
（2）解：①设，则，
∴
，
∴当时，有最大值为；
②∵，，
∴，
又，
∴，
又轴，
∴轴，
∴，
当时，如图，
∴，
∴轴，
∴P的纵坐标为3，
把代入，得，
解得，，
∴，
∴，
∴P的坐标为；
当时，如图，过B作于F，
则，，
又，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得，（舍去），
∴，
∴P的坐标为
综上，当P的坐标为或时，与相似．
11．【答案】（1）解：将点，代入得，
，
解得，
该抛物线的函数表达式为：；
（2）解：存在点使，理由如下：
假设存在点使，设，
，
当时，，
，
在中，
，
解得，（不合题意舍去），
则坐标为，
，，
，
，
存在点使；

（3）解：如图作轴交于点，作轴交的延长线于点，
，
，
，
，
，
，
的值最大时即有最大值，
当时，最大，点的坐标为，
设，，，
当是直角三角形时，有以下三类情况，
①时，
，
解得，（不合题意舍去），
；
②，，
，
解得，（不合题意舍去），
；
③，，
，
解得，（不合题意舍去），
，；
综上所述，点坐标为，，，．

【知识点】二次函数的最值；勾股定理；二次函数-特殊三角形存在性问题；二次函数-相似三角形的存在性问题
【解析】【分析】
（1）用待定系数法将已知点代入解析式中求解即可；
（2）根据相似三角形可得出，设，最后再根据勾股定理列方程求解即可；
（3）通过作辅助线，如图所示可证明，则有，得出的值最大时即有最大值，再利用二次函数性质求出最值；然后再根据是直角三角形分三种情况，最后根据勾股定理分别列方程解答即可．
（1）解：将点，代入得，
，
解得，
该抛物线的函数表达式为：；
（2）解：存在点使，理由如下：
假设存在点使，设，
，
当时，，
，
在中，
，
解得，（不合题意舍去），
则坐标为，
，，
，
，
存在点使；
（3）解：如图作轴交于点，作轴交的延长线于点，
，
，
，
，
，
，
的值最大时即有最大值，
当时，最大，点的坐标为，
设，，，
当是直角三角形时，有以下三类情况，
①时，
，
解得，（不合题意舍去），
；
②，，
，
解得，（不合题意舍去），
；
③，，
，
解得，（不合题意舍去），
，；
综上所述，点坐标为，，，．
12．【答案】（1）解：∵点，点在抛物线上，
则，
∴，
∴该抛物线解析式为.

（2）解：当时，，
∴点C的坐标为，
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
∵轴，抛物线解析式为且M在抛物线上，
∴设，
则，，
∴，，
∵，
∴，
∴或，
∴，（舍去），，（舍去），
∴或.
（3）解：存在符合条件的点，理由如下：
∵轴，抛物线解析式为且M在抛物线上，
∴设，且，
则，，
∴，，，
∵|3-n|=|n-3|，
∴，
∵，
∴，
∵∽，，
∴或，
当时，则，且，
∴，
∴，
∴（舍去）或，
∴；
当时，过点作轴于点，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴（舍去）或，
∴，
∴当以，，为顶点的三角形与相似时，点的坐标为或．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；相似三角形的性质-对应角；二次函数-线段周长问题；二次函数-相似三角形的存在性问题
【解析】【分析】（1）将点，点代入抛物线解析式，求出a、b的值，进而得出答案；
（2）先求出点C的坐标，再用待定系数法求出直线的解析式为，根据已知条件设，则，，则，，列出方程，求解即可；
（3）根据已知条件设，且，则，，再求出，再分为当时及当时进行求解即可．
（1）解：把，代入抛物线解析式，
得：，
解得：，
∴该抛物线解析式为；
（2）解：令，得，
∴，
设直线的解析式为，
∴，解得，
∴直线的解析式为，
∵轴，
∴设，则，，
∴，，
∵，
∴，
∴或，
解得，（舍去），，（舍去），
∴或；
（3）解：存在符合条件的点，理由如下：
∵轴，
∴设，且，
则，，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∵和相似，且，
∴或，
当时，则，且，
∴，即：，
解得（舍去）或，
∴；
当时，过点作轴于点，
∴，
∴，
∵，，
∴，
解得（舍去）或，
∴；
综上，当以，，为顶点的三角形与相似时，点的坐标为或．
13．【答案】A
【知识点】正方形的性质；四边形-动点问题；瓜豆原理模型-点在直线上
【解析】【解答】解：
方法一：E在DC上运动，则E的轨迹为线段DC(不含两端)，而AEFG始终为正方形
根据瓜豆原理可知，M的轨迹也为不含两端的线段
当E在D时，此时M为AC中点；
当E在C时，如图
此时M与B点重合
∴M点的轨迹为线段BD（不含两端）
∴B，M，D三点共线；
同理，根据瓜豆原理可得F点的轨迹为CF'(不含两端)
∵B为AF'中点
∴∠BCF'=45°
又∵∠ACB=45°
∴∠ACF'=90°
∵M为AF中点
根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
∴2CM=AF
而AF=AE
∴2CM=AE
故 ①，②都对；
故选A.
方法二：
如图：连接AC并取中点H，连接MH，FC，DH，过F作FP⊥DC延长线于P
易证△ADE≌△EPF
∴DE=FP，AD=EP
∵AD=DC
∴EP=DC
∴DE=CP
∴CP=FP
∵∠P=90°
∴△FPC为Rt△
∴∠FCP=45°=∠HDC
∴HD∥FC
∵M，H分别为AF，AC的中点
∴MH∥FC
∴M，H，D三点共线
又∵H为AC中点，H为正方形对角线交点
∴B，H，D三点共线
∴B，M，D三点共线
∵AD=DC，H为AC中点
∴DH⊥AC
∵DH∥CF
∴∠ACF=90°
∵M为AF中点
∴AF=2CM
∵AF=AE
∴2CM=AE
故 ①，②都对
故答案为：A.
【分析】可利用瓜豆原理，判断M与BD共线；连接AC，CF，判断△ACF为直角三角形，从而2CM=AF，而AF=，进而得到①正确.
14．【答案】C
【知识点】等腰直角三角形；动点问题的函数图象；四边形-动点问题；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：过点作于，过点作，交延长线于，延长，交于，
∵，
∴四边形是矩形，
∵，，
∴四边形是正方形，，，
∴是等腰直角三角形，，
∴，
∴，
设，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，则，
∴，
解得：，
∴，
∴，
∵的面积为，
∴，
∵，，
∴与之间函数关系的图象是开口向上的抛物线，且最大值为，与轴交点坐标为，
∴C选项符合题意．
故答案为：C.
【分析】过点作于，过点作，交延长线于，延长，交于，即可得到四边形是正方形，是等腰直角三角形，设，得到，根据两角对应相等得到，利用相似三角形的对应边成比例求出，即可得到，，再根据三角形的面积公式求出，得到二次函数的图象解答即可．
15．【答案】D
【知识点】动点问题的函数图象；四边形-动点问题；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：由图2得，当点 Q 运动到点 B 处时，AQ为4，即AB为4，故选项A正确；
如图，当点 P 运动到点 D 处时，路程AP为8，即AD为8，
BC∥AD，
即
故选项B正确；
当点 P 运动到点C处时，点 Q 与点C 重合，
此时 故选项C正确；
当路程AP=6时，如图，过点P作 于点H，
由 得 即
∴点(6，5)不在该函数图象上，故选项D错误.故选 D.
故答案为：D.
【分析】根据点的运动过程，利用函数图象得到AB长判断A选项；根据平行得到△ADC∽△DCQ，根据对应边成比例求出CQ长，再根据勾股定理求出m的值判断B选项；当点 P 运动到点C处时，点 Q 与点C 重合，根据勾股定理求出n的值判断C选项；当AP=6时，过点P作 于点H，得到根据对应边成比例求出QH长，再根据勾股定理求出AQ长判断D选项解答即可.
16．【答案】D
【知识点】三角形的面积；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；几何图形的面积计算-割补法；四边形-动点问题
【解析】【解答】解：如图所示，设梯形的高为h，连接，过点H作，过点F作，
∵，
∴，
∴四边形的面积．
∴四边形的面积为定值.
故答案为：D .
【分析】设梯形的高为h，连接，过点H作，过点F作，即可得到，然后利用四边形的面积解答.
17．【答案】A
【知识点】动点问题的函数图象；四边形-动点问题
【解析】【解答】解：由题意知AM=BN=x，则，
整理得 （0≤x≤4） ，S是关于x的二次函数，开口向上，且对称轴为直线x=，即当x=2时，S取最大值，只有A选项符合.
故答案为：A.
【分析】直接求出△DMN的面积表达式，为二次函数关系且开口向上，即可判断结果.
18．【答案】4
【知识点】勾股定理；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）；四边形-动点问题
【解析】【解答】解：如图，连接PD，DE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝90°，
∵AB＝AD＝4，BE＝1，
∴AE＝3，
∴DE＝＝＝5，
由折叠得：EB＝EP＝1，
∵EP＋DP≥ED，
∴当E、P、D共线时，DP最小，
∴DP＝DE EP＝5 1＝4；
∴点P到点D的最短距离为4，
故答案为：4．
【分析】先根据勾股定理计算ED的长，当E、P、D共线时，DP最小，即最短距离是此时PD的长．
19．【答案】（1）解：设时间为t，则由题意知点P的路径长为2t，
当点P在AB上时，即0当点P在BC上时，即4故.
（2）解：令s=时，得t=2，
t'=2+3=5，令t=5，S=28.
【知识点】动点问题的函数图象；四边形-动点问题
【解析】【分析】(1)分点A在AB和BC上，分别求出画面的面积，即可；
(2)求出矩形ABCD的面积，令S=10，可得时间t=2，令t=5，可得面积.
20．【答案】（1）证明：如图
四边形是正方形，
，
，
，
，
，
，
（2）解：，
，
，
即，
设，其中，
则，
∴，
解得或（舍），
∵，
∴，
∴，即，
（3）解：由（1）得，
∴，
设，
则，，
∴，，
设，则，其中，
，即，
，解得，
，
的最小值为，
的最小值为
【知识点】二次函数的最值；正方形的性质；三角形全等的判定-ASA；四边形-动点问题；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】本题以正方形中的动点问题为背景，综合考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、二次函数最值以及一元二次方程根的判别式等知识。
（1）证明CE = DF，关键是通过CEDF和正方形性质得到 1 = 3，结合CD = DA， A = CDE = 90°，用ASA证得，从而对应边相等。
（2）求CE的长。先由全等得面积相等，推出。设DG = a，CG = b，根据直角三角形面积和勾股定理得方程组ab = 4，，解得a = 4，b = 2（或互换，由a < b确定）。再证，利用相似比，代入数据求出。
（3）求的最小值。由全等设AF = DE = x，则AE = 6 - x，分别用x表示EF2和DF2。令k =，整理成关于x的一元二次方程(k-2)x2+ 12x + 36k - 36 = 0，由x为实数得判别式0，解出k，即k的最小值为，开方后得的最小值为。注意开方结果的化简技巧。
（1）证明：四边形是正方形，
，
，
，
，
，
，
；
（2）解：，
，
，
即，
设，其中，则，
∴，
解得或（舍），
∵，
∴，
∴，即，
；
（3）解：由（1）得，
∴，
设，则，，
∴，，
设，则，其中，
，即，
，解得，
，
的最小值为，
的最小值为．
21．【答案】A
【知识点】圆-动点问题；圆与三角形的综合
【解析】【解答】解：取AB的中点N，连接CN，PN，MN，再取CN的中点P，连接MP，
∵点P为CN中点，点M为CP中点，
∴MP＝PN．
∵AC＝BC＝，且∠ACB＝90°，
∴AB＝4，
∴CN＝AN＝BN＝PN＝2，
∴MP＝1，
∴点M在以点P为圆形，半径长为1的圆上．
连接AP，当点M在AP与⊙P的交点处时，AM取得最小值．
在Rt△APN中，AP＝，
∴AM的最小值为．
故答案为：A．
【分析】取AB的中点N，连接CN，PN，MN，再取CN的中点P，连接MP，先证出点M在以点P为圆形，半径长为1的圆上，连接AP，当点M在AP与⊙P的交点处时，AM取得最小值．再利用勾股定理求出AM的长即可.
22．【答案】 ；
【知识点】两点之间线段最短；勾股定理；圆的综合题；相似三角形的判定与性质；三角形的中位线定理；圆-动点问题；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：①连接AD，OD，如图所示：
∵点D为弧AC中点，
∴，
∴∠AOD=∠COD，AD=CD.
∵OA=OC，
∴OD⊥AC，AF=CF.
∵AB=10，BC=6，AB是直径，
∴∠ACB=90°，AC=8.
∴，AF=CF=4.
∵OA=OD=5，
∴DF=2.
∴.
∴.
∵CE⊥CD，
∴∠ACB=∠DCE=90°，
又∵∠CAB=∠CDE，
∴△CAB∽△CDE.
∴，即，
∴.
∴.
故答案为：.
②过点B作BF⊥AB交AC的延长线于点F，取BF重点H，作以H为圆心，BF为直径的圆，连接EF，EH，OH，如图：
则点E在位于△ANC内的弧上运动.
∵∠ABF=90°，BC⊥AF，
∴BC2=AC·CF.
∴.
∴.
∴.
∴.
∴.
故OE的最小值为.
【分析】（1）连接AD，OD，OC，利用弧，弦，圆心角的关系和“三线合一”性质可得OD⊥AC，AF=CF.求得AC长，可得AF长；利用中位线性质得OF长，从而可得DF；利用勾股定理求出AD和CD长，从而可得BD长；证明△CAB∽△CDE.利用相似三角形性质可求得DE长，BD-DE即可得到BE.
（2）判断点E在圆周上运动，过点B作BF⊥AB交AC的延长线于点F，取BF重点H，作以H为圆心，BF为直径的圆，连接EF，EH，OH.利用直角三角形相似的性质得BC2=AC·CF和BF2=AF·CF，从而可求得CF和BF的长，于是根据中位线性质得OH长，利用“两点之间线段最短”即可得到OE的最小值.
23．【答案】（1）根据函数图象可知，动点圆周上运动一周所用的时间为秒，
所以．
（2）解：设当2≤x≤4时， y1关于t的一次函数表达式为
∵图象经过(2， 2)和(4， 0)，
解得：
∴y1关于t的一次函数表达式为
（3）设当时，关于的一次函数表达式为．
因为函数图象经过和（，可得
，解得，
所以关于的一次函数表达式为．
根据题意，可得
，解得，
所以点C的坐标为．
．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；两一次函数图象相交或平行问题；弧长的计算；动点问题的函数图象；圆-动点问题
【解析】【分析】
（1）根据函数图象可知动点圆周上运动一周所用的时间为秒，根据路程÷时间爱你=速度计算即可；
（2）利用待定系数法求一次函数的解析式即可；
（3）根据待定系数法求出关于的一次函数解析式，联立两解析式，求出交点坐标，然后求出弧长解答即可．
24．【答案】（1）解：如图，连接CP、CQ.
∵DP、DQ分别切圆C于点P、点Q，
∴∠CPD=∠CQD=90°，
∵∠PDQ=60°，
∴∠PCQ=360°-∠PDQ-∠CPD-∠CQD=120°，
∴劣弧PQ为120°；
（2）解：连接CD，过点D作DG⊥BC于点G，如图所示：
∵DP、DQ分别切圆C于点P、点Q，
∴DP=DQ，
∵CP=CQ，
∴C，D在线段PQ的垂直平分线上，
∴CD⊥PQ，
∵CE=CF，
∴CD平分∠ECF，
∵DG⊥BC，∠A=90°，
∴AD=AG，
∵AB=3，AC=5，
，
，
，
，即，
解得：；
（3）解：①连接CD，CP，CQ，如图所示：
根据解析（2）可知：CD垂直平分PQ，
点M为PQ的中点，
点M在CD上，
，
，
，
，
，
；
②BM的最小值为4.
【知识点】切线的性质；圆-动点问题；相似三角形的性质-对应角；多边形的内角和公式；等积变换
【解析】【解答】解：（3）②BM的最小值为4，理由如下：
由①可得，C、D、M三点共线，且，
∴，
.∵，
∴，
∴，
∴，
根据①可得：，
∴，
∴，
∴，
∵，
解得：，
∴ CE为定值，
∵，
∴ 点M在以CE为直径的圆上运动，
取CE的中点H，当B、M、H三点共线时，BM最短，
∵，
∴
BM＝BH-MH=4，
即BM的最小值为4.
【分析】（1）根据切线的性质以及四边形的内角和360°，即可求出劣弧PQ的度数；
（2）根据切线的性质得出DP=DQ，根据垂直平分线特点得出CE=CF、CD平分∠ECF，从而推出AD=AG，然后利用勾股定理求出BC的长度，最后利用等面积公式即可求出AD的长；
（3）①证明出，即可得出，变形即可得出证明结果；
②同样利用相似三角形，得出，并结合①的结论可以求出CE的长度，此时即有当B、M、H三点共线时，BM最短，求出AH的长度，利用勾股定理即可求出BH的长度，BM的长度即可求出。
1 / 1几何动点（构造相似与三角形、四边形、圆中的动点）—2026浙江中考数学高阶能力拓展专题
一、三角形中的几何动点
1．如图1， △ABC中， ∠A=30°，点P从A点出发沿折线A—C—B运动，点Q从点A 出发沿线段AB运动，P，Q两点同时出发，当某一点运动到B时，另一点同时停止运动，已知点 P的速度为2cm/s，点Q的速度为1cm/s，设P 点运动时间为x(s)， △APQ的面积为y(cm2)．如图2是y关于x的函数图象，下列选项正确的是(　　)
A．m=4 B．BC=12
C．y的最大值为2.75 D．点(5， )在该函数图象上
【答案】D
【知识点】含30°角的直角三角形；动点问题的函数图象；三角形-动点问题；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：当点P在线段上时，则，，过点P作于点D，如图所示：
∵，
∴，
∴，
由图象可知：当时，则有，解得：（负根舍去），故A错误；
当时，，说明此时点P与点B重合，
∴，故B错误；
当点P在线段上时，分别过点C、P作，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴当时，面积最大，最大值为，故C错误；
∴，
∴当时，，故D正确．
【分析】由题意可分当点P在线段上或点P在线段上两种情况，过点P作高，根据正弦的定义求出高的长，利用三角形的面积公式求出y与x的函数关系式，然后逐项判断解答即可．
2．如图1，点O为△ABC的重心，当动点P从点A 出发沿△ABC的边逆时针运动一周，设点P的运动路程为x，OP2为y，y关于x函数的部分图象如图2所示，则下列说法中正确的是(　　)
A．n=3 B．m=50
C． D．△ABC的面积为30
【答案】C
【知识点】二次函数-动态几何问题；三角形-动点问题；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：∵函数图象过点(0，25)，此时点P与点A重合，
当 时，OP最短，此时 最小，如图：
∵函数最低点为(4， n)，
∴AP=4，
∴OP=3，
故A选项错误，不符合题意；
∵函数图象过点(10，m)，此时点P与点B重合，
故B选项错误，不符合题意；
延长CO交AB于点M，作CN⊥AB于点N，
∴OP∥CN，
∴△MOP∽△MCN，
∴CN=9，
∵AB=10，点M是AB的中点，
∴AM=BM=5，
∵AP=4，
∴MP=AM-AP=1，
∴MN=3，
∴BN=BM+MN=8，
故C选项正确，符合题意；
故D选项错误，不符合题意.
故选： C.
【分析】根据函数图象中的关键点判断出n，m的值，进而延长CO交AB于点M，作 于点N，构造 分别求得CN，BN的长度即可求得BC的长度，即可求出 的面积.
3． 如图1， 在 Rt△ABC中， D是斜边AC中点.点E在边AB上， 从点A 出发， 运动到点B时停止， 设AE为x， DE2为y.如图2， y关于x的函数图象与y轴交于点P(0， m)，且经过最低点N(n-4， 9)和M(n， m)两点.下列选项正确的是(　　)
A．∠A=30° B．m=25 C．n=6 D．BC=3
【答案】B
【知识点】勾股定理；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；二次函数-动态几何问题；三角形-动点问题；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：∵函数图象过点和，
∴这两点纵坐标相等，
∴二次函数图象的对称轴为，
∵二次函数图象的最低点为，
∴，
解得；故选C错误；
∴二次函数图象的最低点为，此时，，则，
∵是的中点，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
∴是的中位线，
∴，故选项D错误；
当时，，，
∴，
当时，点与点重合，
∴，
∴，
∴，故选B正确，
∴，
∵是的中点，
∴，
∴在中，，即，故选项A错误．
故答案为： .
【分析】根据函数图象可得对称轴为，根据最低点坐标得到n的方程，求出可判断C；由函数图象的最低点为，求出，得到是的中位线，求出BC的长判断D；根据勾股定理求出m和AC的值，再根据正弦的定义求出∠A≠30°，判断A、B解答即可．
4．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，E为边BC上一动点，作DE⊥BC，交AB于点D，连接CD.记CE=x，△DEC的面积为y，若y关于x的函数图象如图2所示，则下列说法错误的是（　　）
A．当时，CD的长最小 B．△DEC的面积最大为
C．BC=3 D．∠B=60°
【答案】A
【知识点】二次函数的最值；动点问题的函数图象；三角形-动点问题；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：由图2可知，函数图象过点和，
当时，，即点与点重合，
，
故C选项说法正确，不符合题意；
由图象对称性可知，对称轴为直线，
当时，取得最大值，
设，
将点代入得：，
解得，
，
当时，，
故B选项说法正确，不符合题意；
，
，
在中，，
，
，
故D选项说法正确，不符合题意；
在中，，
，抛物线开口向上，
当时，最小，
即最小，
，
当时，的长不是最小，
故A选项说法错误，符合题意．
故答案为：A.
【分析】根据抛物线的对称性的到当时，，得到BC长判断C选项；根据交点式求出二次函数的解析式，配方为顶点式得到最大值判断B选项；根据三角形面积公式表示DE长，再根据正切的定义求出的度数判断D选项；根据长度关于的函数关系式，利用二次函数的最值得到的最小值判断A选项解答即可．
5． 如图， 在△ABC中， BC=4cm， AC=3cm， D是BC的中点， 动点E从点A 出发， 在AC边上以1cm/s的速度向点C运动，运动到 C点停止.若以 C，D、E为顶点的三角形与△ABC相似，则点E 的运动时间为　 　秒.
【答案】或
【知识点】三角形-动点问题；相似三角形的性质-对应边；分类讨论
【解析】【解答】解：设点的运动时间为秒，
由题意可得，，
∵是的中点，
∴，
当时，
，
∴，解得，
当时，
，
∴，解得，
综上可知，点的运动时间为或，
故答案为：或.
【分析】分两种情况利用相似三角形的性质进行解答即可．
6．如图，在平面直角坐标系xOy中，A（5，0），B（0，7），动点P，Q分别按照A-O-B和B-O-A的路线同时开始运动，到各自的终点时停止.直线l经过原点O，且l∥AB，过P，Q分别作l的垂线段，垂足分别为E，F.若点P的速度为每秒2个单位长度，点Q的速度为每秒4个单位长度，运动时间为t秒，当△OPE与△OQF全等时，t的值为　 　 .
【答案】1或2
【知识点】点的坐标；一元一次方程的实际应用-几何问题；三角形-动点问题；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：∵，，
∴，，
由题意，和是两直角三角形的斜边，
当与全等时，，
①当点P在上，点Q在上时，
根据题意可得，时，，，
∴，，
∴，
解得；
②当点P，Q都在上时，点P，Q重合时，两三角形重合时，
P点行程为，Q点行程为，
∴，
解得；
③当点P在上，点Q在上且点Q与点A重合时，
，
∴．
解得（舍去）；
综上所述，当与全等时，满足题意的t的值为1或2．
故答案为：1或2．
【分析】分为①当点P在上，点Q在上；②当点P，Q都在上；点P在上，点Q在上三种情况，表示出，的长，列一元一次方程解答．
二、几何动点构造相似
7．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，过点的抛物线的对称轴与直线交于点．
（1）求点的坐标；
（2）已知轴上一动点，连接，若与相似，求出点的坐标．
【答案】（1）解：将点 代入直线 中，则 ，
解得： ，
抛物线 的对称轴为直线 ，
将 代入直线 中，
则 ，
点 的坐标为
（2）解：根据题意得： ，，
如图，当 时，
此时，，
由（1）知，，
；
如图，当时，
此时，，
，
设，
令中，则，
，
，，
，，，，
，
解得：或（舍去），
点的坐标为，
综上，点的坐标为或。
令中，则，
，
，，
，，，，
，
解得：或（舍去），
点的坐标为，
综上，点的坐标为或。
【知识点】二次函数y=ax²的性质；坐标系中的两点距离公式；一次函数图象上点的坐标特征；二次函数-相似三角形的存在性问题
【解析】【分析】(1)先将点A(-2，0)代入直线y=kx+1中，求出，再求出抛物线的对称轴为x=2，将x=2代入直线中，即可求出点B的坐标；
(2)根据题意得： 若 与 相似，分 和 两种情况讨论即可.
8．如图，抛物线经过点、、，点是抛物线在轴上方图象上一点，动直线分别交轴、轴于点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）当以为顶点的三角形面积为6时，求出点的坐标；
（3）当，点在抛物线上运动时，是否存在点，使得以为直角顶点的与相似，若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：把、、代入解析式得：
，解得，
∴ 抛物线的解析式为：y=-x2+x+4；
（2）解：设直线AC的解析式为y=kx+d，
∴，解得，
∴y=-x+1，
设 过点P作 轴， 交AC于H， 如图1，
则
3，
，
解得：
∴ P点的坐标为(0，4)或(2，2)；
（3）解：∵直线 分别交x轴、y轴于点D、E.
∴D(2t，0)， E(0，t)， 且
即
∴直线DF的解析式为
联立得 解得：，，
， ，
，
同理可得： 在 中，
，
当 时， 如图2， 则
即
解得： 或
经检验， 或 均是原方程的解，
当 时，则
即
解得：
经检验， 是原方程的解，
综上所述，抛物线上存在点Q，使得以D为直角顶点的 与 相似，t的值为 或
【知识点】利用一般式求二次函数解析式；二次函数-线段周长问题；二次函数-相似三角形的存在性问题
【解析】【分析】(1)运用待定系数法即可求得答案；
(2)利用待定系数法可得直线AC的解析式为
设 过点P作 轴， 交AC于H， 则再运用三角形面积公式建立方程求解即可得出答案；
(3)先证得 得出 运用待定系数法可得直线DF的解析式为 联立方程组求得点Q的坐标，再根据相似三角形性质建立方程求解即可得出答案.
9．如图，抛物线与轴交于和两点，与轴交于点，点是抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式和顶点的坐标；
（2）点在轴上，直线将的面积分成两部分，请求出点的坐标；
（3）如图，作轴于点，点是上方的抛物线上一点，是上一点，是否存在点使得与相似？若存在，请直接写出坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：把点和点的坐标代入，
得：，
解得：，
抛物线的解析式是；
∵，
抛物线的顶点的坐标为
（2）解：如图所示，设点、是线段的三等分点，过点作，，
∴，
，
∵B点坐标为
∴，
，
点、的横坐标分别是、，
设直线的解析式是，
把点和点的坐标代入，
得：，
解得：，
直线的解析式是，
当时，，
当时，，
点的坐标是，点的坐标是，
点和点在直线上，
直线与轴的交点坐标是，
即点的坐标是；
设直线的解析式是，
把点和点的坐标代入，
得：，
解得：，
直线的解析式是，
当时，，
解得：，
直线与轴的交点坐标是，
即点的坐标是，
综上所述，点的坐标是或
（3）存在，
点的坐标为或.
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-面积问题；二次函数-相似三角形的存在性问题
【解析】【解答】解：（3）存在，点的坐标为或，
设点的坐标是，
如下图所示，作，延长交于点，过点作，
点的坐标是，点的坐标是，
，，，
，
，，
，
，
，
，
点的坐标是，
，
，
在和中，，
，
，
点的坐标是，
即点的坐标是，
设直线的解析式是，
把点，的坐标代入，
可得：，
解得：，
直线的解析式是，
把点的坐标代入，
可得：，
整理得：，
解得：，(与点重合，舍去)，
当时，，
则，
点的坐标是；
如下图所示，作，作，
则，
当时，，
点的坐标是，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
解得：，
点的横坐标是，
把代入，
得：，
点的坐标是，
综上所述，点的坐标或．
【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式是，把二次函数的解析式整理成顶点式，得出顶点的坐标为，即可得出答案；
（2）作点、三等分线段，根据平行线分线段成比例定理可知点、的横坐标是、，用待定系数法求出直线的解析式，根据解析式可得点、的坐标，用待定系数法求出、的解析式，根据解析式求出点的坐标，即可得出答案；
（3）设点的坐标是，作，延长交于点，过点作，利用相似三角形的性质可知，点的坐标是，点的坐标是，利用待定系数法求出的解析式，根据点在直线上，即可求出点的坐标；作，作，可证，利用勾股定理求出的长度，根据全等三角形的性质可知的长度，利用相似三角形的性质求出点的坐标，即可得出答案．
（1）解：把点和点的坐标代入，
可得：，
解得：，
抛物线的解析式是；
把二次函数的解析整理，可得：，
抛物线的顶点的坐标为；
（2）解：如下图所示，点、是线段的三等分点，
过点作，，
则，
，
，
，
点、的横坐标分别是、，
设直线的解析式是，
把点和点的坐标代入，
可得：，
解得：，
直线的解析式是，
当时，可得：，
当时，可得：，
点的坐标是，点的坐标是，
点和点在直线上，
直线与轴的交点坐标是，
即点的坐标是，
设直线的解析式是，
把点和点的坐标代入，
可得：，
解得：，
直线的解析式是，
当时，可得：，
解得：，
直线与轴的交点坐标是，
即点的坐标是，
综上所述，点的坐标是或；
（3）解：点的坐标或，
设点的坐标是，
如下图所示，作，延长交于点，过点作，
点的坐标是，点的坐标是，
，，，
，
，，
，
，
，
，
点的坐标是，
，
，
在和中，，
，
，
点的坐标是，
即点的坐标是，
设直线的解析式是，
把点，的坐标代入，
可得：，
解得：，
直线的解析式是，
把点的坐标代入，
可得：，
整理得：，
解得：，(与点重合，舍去)，
当时，，
则，
点的坐标是；
如下图所示，作，作，
则，
当时，，
点的坐标是，
，
在和中，，
，
，
，
，
，
，
解得：，
点的横坐标是，
把代入，
可得：，
点的坐标是，
综上所述，点的坐标或．
10．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过原点和点．经过点的直线与该二次函数图象交于点，与轴交于点．
（1）求二次函数的解析式及点的坐标；
（2）点是二次函数图象上的一个动点，当点在直线上方时，过点作轴于点，与直线交于点，设点的横坐标为．
①为何值时线段的长度最大，并求出最大值；
②是否存在点，使得与相似．若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：把，，代入，
得，
解得，
∴二次函数的解析式为，
设直线解析式为，
则，
解得，
∴直线解析式为，
当时，，
∴；
（2）解：①设，则，
∴
，
∴当时，有最大值为；
②∵，，
∴，
又，
∴，
又轴，
∴轴，
∴，
当时，如图，
∴，
∴轴，
∴P的纵坐标为3，
把代入，得，
解得，，
∴，
∴，
∴P的坐标为；
当时，如图，过B作于F，
则，，
又，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得，（舍去），
∴，
∴P的坐标为
综上，当P的坐标为或时，与相似．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数-线段周长问题；二次函数-相似三角形的存在性问题
【解析】【分析】（1）哟提议可得抛物线y=ax2+bx+c经过点（0，0）、（4，0）及（1，3），从而利用待定系数法可求出抛物线的解析式；利用待定系数法求出直线AB解析式，然后令直线AB解析式中的x=0算出对应的函数y的值，即可求出C的坐标；
（2）①根据点的坐标与图形性质设P（m，-m2+4m）(1＜m＜4)，则点D（m，-m+4），根据平面内两点间的距离公式表示出PD，然后根据二次函数的性质求解即可；
②先利用等边对等角，平行线的判定与性质等求出∠A=PDB=∠ACO=45°，当△PBD∽△OAC时，易得BP∥x轴，根据点的坐标与图形性质得P点的纵坐标为3，将y=3代入抛物线的解析式算出对应的自变量x的值，即可求出点P的坐标；当△PBD∽△AOC时，过点B作BF⊥PD于点F，由等腰直角三角形的性质可得BP=BD，PF=DF=BF，据此建立方程求解得出m的值，即可求出点P的坐标，综上可得答案.
（1）解：把，，代入，
得，
解得，
∴二次函数的解析式为，
设直线解析式为，
则，
解得，
∴直线解析式为，
当时，，
∴；
（2）解：①设，则，
∴
，
∴当时，有最大值为；
②∵，，
∴，
又，
∴，
又轴，
∴轴，
∴，
当时，如图，
∴，
∴轴，
∴P的纵坐标为3，
把代入，得，
解得，，
∴，
∴，
∴P的坐标为；
当时，如图，过B作于F，
则，，
又，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得，（舍去），
∴，
∴P的坐标为
综上，当P的坐标为或时，与相似．
11．如图，抛物线经过点，，交轴于点，点是直线上方抛物线上一点，其横坐标为，连接交直线于点．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）在抛物线上是否存在点，使，若存在，求出值；若不存在，请说明理由．
（3）点是抛物线上的点，当的值最大时，是否存在点使得是直角三角形，若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：将点，代入得，
，
解得，
该抛物线的函数表达式为：；
（2）解：存在点使，理由如下：
假设存在点使，设，
，
当时，，
，
在中，
，
解得，（不合题意舍去），
则坐标为，
，，
，
，
存在点使；

（3）解：如图作轴交于点，作轴交的延长线于点，
，
，
，
，
，
，
的值最大时即有最大值，
当时，最大，点的坐标为，
设，，，
当是直角三角形时，有以下三类情况，
①时，
，
解得，（不合题意舍去），
；
②，，
，
解得，（不合题意舍去），
；
③，，
，
解得，（不合题意舍去），
，；
综上所述，点坐标为，，，．

【知识点】二次函数的最值；勾股定理；二次函数-特殊三角形存在性问题；二次函数-相似三角形的存在性问题
【解析】【分析】
（1）用待定系数法将已知点代入解析式中求解即可；
（2）根据相似三角形可得出，设，最后再根据勾股定理列方程求解即可；
（3）通过作辅助线，如图所示可证明，则有，得出的值最大时即有最大值，再利用二次函数性质求出最值；然后再根据是直角三角形分三种情况，最后根据勾股定理分别列方程解答即可．
（1）解：将点，代入得，
，
解得，
该抛物线的函数表达式为：；
（2）解：存在点使，理由如下：
假设存在点使，设，
，
当时，，
，
在中，
，
解得，（不合题意舍去），
则坐标为，
，，
，
，
存在点使；
（3）解：如图作轴交于点，作轴交的延长线于点，
，
，
，
，
，
，
的值最大时即有最大值，
当时，最大，点的坐标为，
设，，，
当是直角三角形时，有以下三类情况，
①时，
，
解得，（不合题意舍去），
；
②，，
，
解得，（不合题意舍去），
；
③，，
，
解得，（不合题意舍去），
，；
综上所述，点坐标为，，，．
12．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点是抛物线上一动点（不与点重合），过点作轴于点，交直线于点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若，求点的坐标；
（3）若点在直线下方的抛物线上运动，是否存在点，使以点，，为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：∵点，点在抛物线上，
则，
∴，
∴该抛物线解析式为.

（2）解：当时，，
∴点C的坐标为，
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
∵轴，抛物线解析式为且M在抛物线上，
∴设，
则，，
∴，，
∵，
∴，
∴或，
∴，（舍去），，（舍去），
∴或.
（3）解：存在符合条件的点，理由如下：
∵轴，抛物线解析式为且M在抛物线上，
∴设，且，
则，，
∴，，，
∵|3-n|=|n-3|，
∴，
∵，
∴，
∵∽，，
∴或，
当时，则，且，
∴，
∴，
∴（舍去）或，
∴；
当时，过点作轴于点，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴（舍去）或，
∴，
∴当以，，为顶点的三角形与相似时，点的坐标为或．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；相似三角形的性质-对应角；二次函数-线段周长问题；二次函数-相似三角形的存在性问题
【解析】【分析】（1）将点，点代入抛物线解析式，求出a、b的值，进而得出答案；
（2）先求出点C的坐标，再用待定系数法求出直线的解析式为，根据已知条件设，则，，则，，列出方程，求解即可；
（3）根据已知条件设，且，则，，再求出，再分为当时及当时进行求解即可．
（1）解：把，代入抛物线解析式，
得：，
解得：，
∴该抛物线解析式为；
（2）解：令，得，
∴，
设直线的解析式为，
∴，解得，
∴直线的解析式为，
∵轴，
∴设，则，，
∴，，
∵，
∴，
∴或，
解得，（舍去），，（舍去），
∴或；
（3）解：存在符合条件的点，理由如下：
∵轴，
∴设，且，
则，，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∵和相似，且，
∴或，
当时，则，且，
∴，即：，
解得（舍去）或，
∴；
当时，过点作轴于点，
∴，
∴，
∵，，
∴，
解得（舍去）或，
∴；
综上，当以，，为顶点的三角形与相似时，点的坐标为或．
三、四边形中的几何动点
13．如图，是正方形ABCD的边CD上一动点（不与C，D重合），连结AE，以AE为边作正方形AEFG，点是AF的中点，连结CM．给出下列结论：①；②点B，M，D三点共线，则下列判断正确的是（　　）
A．①，②都对 B．①，②都错 C．①对，②错 D．①错，②对
【答案】A
【知识点】正方形的性质；四边形-动点问题；瓜豆原理模型-点在直线上
【解析】【解答】解：
方法一：E在DC上运动，则E的轨迹为线段DC(不含两端)，而AEFG始终为正方形
根据瓜豆原理可知，M的轨迹也为不含两端的线段
当E在D时，此时M为AC中点；
当E在C时，如图
此时M与B点重合
∴M点的轨迹为线段BD（不含两端）
∴B，M，D三点共线；
同理，根据瓜豆原理可得F点的轨迹为CF'(不含两端)
∵B为AF'中点
∴∠BCF'=45°
又∵∠ACB=45°
∴∠ACF'=90°
∵M为AF中点
根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
∴2CM=AF
而AF=AE
∴2CM=AE
故 ①，②都对；
故选A.
方法二：
如图：连接AC并取中点H，连接MH，FC，DH，过F作FP⊥DC延长线于P
易证△ADE≌△EPF
∴DE=FP，AD=EP
∵AD=DC
∴EP=DC
∴DE=CP
∴CP=FP
∵∠P=90°
∴△FPC为Rt△
∴∠FCP=45°=∠HDC
∴HD∥FC
∵M，H分别为AF，AC的中点
∴MH∥FC
∴M，H，D三点共线
又∵H为AC中点，H为正方形对角线交点
∴B，H，D三点共线
∴B，M，D三点共线
∵AD=DC，H为AC中点
∴DH⊥AC
∵DH∥CF
∴∠ACF=90°
∵M为AF中点
∴AF=2CM
∵AF=AE
∴2CM=AE
故 ①，②都对
故答案为：A.
【分析】可利用瓜豆原理，判断M与BD共线；连接AC，CF，判断△ACF为直角三角形，从而2CM=AF，而AF=，进而得到①正确.
14．如图，在四边形ABCD中，AD=CD=2，AB=4，∠D=∠BAD=90°，点E从D点向C点运动，连结AE，过点E作EF⊥AE交BC于点F，连结AF，设点E运动的路程为x，△AEF的面积为y，则能反映y与x之间函数关系的图象是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】等腰直角三角形；动点问题的函数图象；四边形-动点问题；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：过点作于，过点作，交延长线于，延长，交于，
∵，
∴四边形是矩形，
∵，，
∴四边形是正方形，，，
∴是等腰直角三角形，，
∴，
∴，
设，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，则，
∴，
解得：，
∴，
∴，
∵的面积为，
∴，
∵，，
∴与之间函数关系的图象是开口向上的抛物线，且最大值为，与轴交点坐标为，
∴C选项符合题意．
故答案为：C.
【分析】过点作于，过点作，交延长线于，延长，交于，即可得到四边形是正方形，是等腰直角三角形，设，得到，根据两角对应相等得到，利用相似三角形的对应边成比例求出，即可得到，，再根据三角形的面积公式求出，得到二次函数的图象解答即可．
15．如图1，在矩形ABCD中，点P从点A出发沿边AD→DC匀速运动，运动到点C时停止.过点P作对角线AC的垂线，交矩形ABCD的边于点Q.设点P运动的路程为x，AQ的长为y，其中y关于x的函数图象如图2所示，则下列选项错误的是（　　）
A．AB=4 B．
C． D．点（6，5）在该函数图象上
【答案】D
【知识点】动点问题的函数图象；四边形-动点问题；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：由图2得，当点 Q 运动到点 B 处时，AQ为4，即AB为4，故选项A正确；
如图，当点 P 运动到点 D 处时，路程AP为8，即AD为8，
BC∥AD，
即
故选项B正确；
当点 P 运动到点C处时，点 Q 与点C 重合，
此时 故选项C正确；
当路程AP=6时，如图，过点P作 于点H，
由 得 即
∴点(6，5)不在该函数图象上，故选项D错误.故选 D.
故答案为：D.
【分析】根据点的运动过程，利用函数图象得到AB长判断A选项；根据平行得到△ADC∽△DCQ，根据对应边成比例求出CQ长，再根据勾股定理求出m的值判断B选项；当点 P 运动到点C处时，点 Q 与点C 重合，根据勾股定理求出n的值判断C选项；当AP=6时，过点P作 于点H，得到根据对应边成比例求出QH长，再根据勾股定理求出AQ长判断D选项解答即可.
16．如图，在四边形ABCD中， 点 H，F分别在边 AD，BC上移动(不与端点重合)，连接FH，则下列为定值的是(　　)
A．∠EFG的大小 B．四边形EFGH的周长
C．线段FH的长 D．四边形EFGH的面积
【答案】D
【知识点】三角形的面积；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；几何图形的面积计算-割补法；四边形-动点问题
【解析】【解答】解：如图所示，设梯形的高为h，连接，过点H作，过点F作，
∵，
∴，
∴四边形的面积．
∴四边形的面积为定值.
故答案为：D .
【分析】设梯形的高为h，连接，过点H作，过点F作，即可得到，然后利用四边形的面积解答.
17．如图，在正方形ABCD中，AB=4，动点M，N分别从点A，B同时出发，沿射线AB，射线BC的方向匀速运动，且速度的大小相等，连接DM，MN，ND.设点M运动的路程为x（0≤x≤4），△DMN的面积为S，下列图象中能反映S与x之间函数关系的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】动点问题的函数图象；四边形-动点问题
【解析】【解答】解：由题意知AM=BN=x，则，
整理得 （0≤x≤4） ，S是关于x的二次函数，开口向上，且对称轴为直线x=，即当x=2时，S取最大值，只有A选项符合.
故答案为：A.
【分析】直接求出△DMN的面积表达式，为二次函数关系且开口向上，即可判断结果.
18．如图，正方形ABCD中，AD=4，E是AB上一点，且EB=1，F是BC上一动点，若将△EBF沿EF对折后，点B落在点P处，则点P到点D的最短距离为　 　 .
【答案】4
【知识点】勾股定理；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）；四边形-动点问题
【解析】【解答】解：如图，连接PD，DE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝90°，
∵AB＝AD＝4，BE＝1，
∴AE＝3，
∴DE＝＝＝5，
由折叠得：EB＝EP＝1，
∵EP＋DP≥ED，
∴当E、P、D共线时，DP最小，
∴DP＝DE EP＝5 1＝4；
∴点P到点D的最短距离为4，
故答案为：4．
【分析】先根据勾股定理计算ED的长，当E、P、D共线时，DP最小，即最短距离是此时PD的长．
19．如图， 在长方形电子屏ABCD中， AB=8m， AD=5m. 一条公益广告画面的动态效果设计如下：动点 P 从点A 出发沿边AB，BC 以2m/s的速度向点C 运动，随着DP 的移动，画面逐渐展开.
（1）写出展开的画面面积S(单位：m2)关于点 P的运动时间t(单位：s)的函数表达式；
（2）当展开的画面面积达到电子屏面积的 时开始播放广告语，播放时间持续3. s，求播放结束时展开的画面面积.
【答案】（1）解：设时间为t，则由题意知点P的路径长为2t，
当点P在AB上时，即0当点P在BC上时，即4故.
（2）解：令s=时，得t=2，
t'=2+3=5，令t=5，S=28.
【知识点】动点问题的函数图象；四边形-动点问题
【解析】【分析】(1)分点A在AB和BC上，分别求出画面的面积，即可；
(2)求出矩形ABCD的面积，令S=10，可得时间t=2，令t=5，可得面积.
20．如图，已知正方形是上的两个动点，交于点．
（1）求证：；
（2）若四边形的面积为，求的长；
（3）求的最小值．
【答案】（1）证明：如图
四边形是正方形，
，
，
，
，
，
，
（2）解：，
，
，
即，
设，其中，
则，
∴，
解得或（舍），
∵，
∴，
∴，即，
（3）解：由（1）得，
∴，
设，
则，，
∴，，
设，则，其中，
，即，
，解得，
，
的最小值为，
的最小值为
【知识点】二次函数的最值；正方形的性质；三角形全等的判定-ASA；四边形-动点问题；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】本题以正方形中的动点问题为背景，综合考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、二次函数最值以及一元二次方程根的判别式等知识。
（1）证明CE = DF，关键是通过CEDF和正方形性质得到 1 = 3，结合CD = DA， A = CDE = 90°，用ASA证得，从而对应边相等。
（2）求CE的长。先由全等得面积相等，推出。设DG = a，CG = b，根据直角三角形面积和勾股定理得方程组ab = 4，，解得a = 4，b = 2（或互换，由a < b确定）。再证，利用相似比，代入数据求出。
（3）求的最小值。由全等设AF = DE = x，则AE = 6 - x，分别用x表示EF2和DF2。令k =，整理成关于x的一元二次方程(k-2)x2+ 12x + 36k - 36 = 0，由x为实数得判别式0，解出k，即k的最小值为，开方后得的最小值为。注意开方结果的化简技巧。
（1）证明：四边形是正方形，
，
，
，
，
，
，
；
（2）解：，
，
，
即，
设，其中，则，
∴，
解得或（舍），
∵，
∴，
∴，即，
；
（3）解：由（1）得，
∴，
设，则，，
∴，，
设，则，其中，
，即，
，解得，
，
的最小值为，
的最小值为．
四、圆中几何动点
21． 如图，在等腰中，，点P在以斜边AB为直径的半圆上，M为PC的中点. 当点P沿半圆从点A运动至点B时，AM的最小值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】圆-动点问题；圆与三角形的综合
【解析】【解答】解：取AB的中点N，连接CN，PN，MN，再取CN的中点P，连接MP，
∵点P为CN中点，点M为CP中点，
∴MP＝PN．
∵AC＝BC＝，且∠ACB＝90°，
∴AB＝4，
∴CN＝AN＝BN＝PN＝2，
∴MP＝1，
∴点M在以点P为圆形，半径长为1的圆上．
连接AP，当点M在AP与⊙P的交点处时，AM取得最小值．
在Rt△APN中，AP＝，
∴AM的最小值为．
故答案为：A．
【分析】取AB的中点N，连接CN，PN，MN，再取CN的中点P，连接MP，先证出点M在以点P为圆形，半径长为1的圆上，连接AP，当点M在AP与⊙P的交点处时，AM取得最小值．再利用勾股定理求出AM的长即可.
22．如图，AB为的直径，为弧AC上一动点，连结BD，CD，作交BD于，连结OE.
①当D为弧AC的中点时，　 　；
②当在弧AC上运动时，OE的最小值为　 　.
【答案】 ；
【知识点】两点之间线段最短；勾股定理；圆的综合题；相似三角形的判定与性质；三角形的中位线定理；圆-动点问题；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：①连接AD，OD，如图所示：
∵点D为弧AC中点，
∴，
∴∠AOD=∠COD，AD=CD.
∵OA=OC，
∴OD⊥AC，AF=CF.
∵AB=10，BC=6，AB是直径，
∴∠ACB=90°，AC=8.
∴，AF=CF=4.
∵OA=OD=5，
∴DF=2.
∴.
∴.
∵CE⊥CD，
∴∠ACB=∠DCE=90°，
又∵∠CAB=∠CDE，
∴△CAB∽△CDE.
∴，即，
∴.
∴.
故答案为：.
②过点B作BF⊥AB交AC的延长线于点F，取BF重点H，作以H为圆心，BF为直径的圆，连接EF，EH，OH，如图：
则点E在位于△ANC内的弧上运动.
∵∠ABF=90°，BC⊥AF，
∴BC2=AC·CF.
∴.
∴.
∴.
∴.
∴.
故OE的最小值为.
【分析】（1）连接AD，OD，OC，利用弧，弦，圆心角的关系和“三线合一”性质可得OD⊥AC，AF=CF.求得AC长，可得AF长；利用中位线性质得OF长，从而可得DF；利用勾股定理求出AD和CD长，从而可得BD长；证明△CAB∽△CDE.利用相似三角形性质可求得DE长，BD-DE即可得到BE.
（2）判断点E在圆周上运动，过点B作BF⊥AB交AC的延长线于点F，取BF重点H，作以H为圆心，BF为直径的圆，连接EF，EH，OH.利用直角三角形相似的性质得BC2=AC·CF和BF2=AF·CF，从而可求得CF和BF的长，于是根据中位线性质得OH长，利用“两点之间线段最短”即可得到OE的最小值.
23．如图1，AB为⊙O的直径，⊙O的周长为4厘米.动点P从点A出发，在圆周上按顺时针方向作匀速运动，速度为1厘米/秒，点P 出发1秒后，动点Q也从A 点出发，以x厘米/秒的速度在圆周上按顺时针方向作匀速运动，设动点 P 运动t(秒)时，点P，Q与点A 之间较短的弧长分别为y1，y2.y1，y2与t的函数图象如图2所示.
（1）求x的值.
（2）当2≤t≤4时，求y1关于t的一次函数表达式.
（3）若点C为图2中两个函数图象的交点，求点C的坐标，并求出此时点P，点Q之间的劣弧长.
【答案】（1）根据函数图象可知，动点圆周上运动一周所用的时间为秒，
所以．
（2）解：设当2≤x≤4时， y1关于t的一次函数表达式为
∵图象经过(2， 2)和(4， 0)，
解得：
∴y1关于t的一次函数表达式为
（3）设当时，关于的一次函数表达式为．
因为函数图象经过和（，可得
，解得，
所以关于的一次函数表达式为．
根据题意，可得
，解得，
所以点C的坐标为．
．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；两一次函数图象相交或平行问题；弧长的计算；动点问题的函数图象；圆-动点问题
【解析】【分析】
（1）根据函数图象可知动点圆周上运动一周所用的时间为秒，根据路程÷时间爱你=速度计算即可；
（2）利用待定系数法求一次函数的解析式即可；
（3）根据待定系数法求出关于的一次函数解析式，联立两解析式，求出交点坐标，然后求出弧长解答即可．
24．如图，在中，，，以点C为圆心，为半径作圆.点D为边AB上的动点，DP，DQ分别切圆C于点P，点Q，连接PQ，分别交AC和BC于点E，F，取PQ的中点M.
（1）当时，求劣弧PQ的度数；
（2）当时，求AD的长；
（3）连接CM，BM.
①证明：.
②在点D的运动过程中，BM是否存在最小值？若存在，直接写出BM的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：如图，连接CP、CQ.
∵DP、DQ分别切圆C于点P、点Q，
∴∠CPD=∠CQD=90°，
∵∠PDQ=60°，
∴∠PCQ=360°-∠PDQ-∠CPD-∠CQD=120°，
∴劣弧PQ为120°；
（2）解：连接CD，过点D作DG⊥BC于点G，如图所示：
∵DP、DQ分别切圆C于点P、点Q，
∴DP=DQ，
∵CP=CQ，
∴C，D在线段PQ的垂直平分线上，
∴CD⊥PQ，
∵CE=CF，
∴CD平分∠ECF，
∵DG⊥BC，∠A=90°，
∴AD=AG，
∵AB=3，AC=5，
，
，
，
，即，
解得：；
（3）解：①连接CD，CP，CQ，如图所示：
根据解析（2）可知：CD垂直平分PQ，
点M为PQ的中点，
点M在CD上，
，
，
，
，
，
；
②BM的最小值为4.
【知识点】切线的性质；圆-动点问题；相似三角形的性质-对应角；多边形的内角和公式；等积变换
【解析】【解答】解：（3）②BM的最小值为4，理由如下：
由①可得，C、D、M三点共线，且，
∴，
.∵，
∴，
∴，
∴，
根据①可得：，
∴，
∴，
∴，
∵，
解得：，
∴ CE为定值，
∵，
∴ 点M在以CE为直径的圆上运动，
取CE的中点H，当B、M、H三点共线时，BM最短，
∵，
∴
BM＝BH-MH=4，
即BM的最小值为4.
【分析】（1）根据切线的性质以及四边形的内角和360°，即可求出劣弧PQ的度数；
（2）根据切线的性质得出DP=DQ，根据垂直平分线特点得出CE=CF、CD平分∠ECF，从而推出AD=AG，然后利用勾股定理求出BC的长度，最后利用等面积公式即可求出AD的长；
（3）①证明出，即可得出，变形即可得出证明结果；
②同样利用相似三角形，得出，并结合①的结论可以求出CE的长度，此时即有当B、M、H三点共线时，BM最短，求出AH的长度，利用勾股定理即可求出BH的长度，BM的长度即可求出。
1 / 1

展开更多......

收起↑