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（进阶篇）2025-2026学年下学期小学数学人教版五年级第八单元练习卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．有8瓶同样的钙片，其中1瓶被吃了2片。要找出这瓶比较轻的钙片，如果用天平称，下面（ ）种分法比较合理。
A． B． C．
2．有7个形状、大小完全相同的零件，其中有一个是次品（次品轻一些）。用天平称，至少称（ ）次能保证找到次品。
A．2 B．3 C．4 D．5
3．某品牌在售的散装粽子中，一个肉粽重140克，一个红枣粽重100克，奇奇购买的8个粽子里，只有一个肉粽，其余都是红枣粽。他想用天平称一称，用最少的次数保证找出这个肉粽，那么最合适的称重分组方法是（ ）。
A． B．
C． D．
4．5瓶药片中有1瓶是次品（次品轻一些），用天平称重的结果如下图，可以发现______一定不是次品。
A．①②⑤ B．③④⑤ C．③④
5．8个球编号是1~8，其中6个球一样重，另外两个球都轻1克。为了找出这两个轻球，用天平称了3次，3次情况如图所示，两个轻球编号分别是（ ）。
A．③⑦ B．④⑦ C．③⑧ D．④⑧
二、填空题
6．有9个零件，其中有1个略重一些。红红把这9个零件编上序号，3个一份，分成3份，再用天平称一称，如图所示，由此可以推断出略重的在( )堆里。（“甲”、“乙”或“丙”）
7．有8瓶水，其中7瓶质量相同，另有1瓶加了一些糖（比其他的水略重一些）。如果用天平称，至少称( )次才能保证找出这瓶糖水。
8．一批饼干有14盒，其中13盒质量相同，另外有一盒少了几块，如果用天平称，至少称( )次可以保证找出这盒饼干。
9．要在70个外观完全一样的玻璃球中，找出质量稍轻的一个次品，用天平称，至少要称( )次，才能确保找出次品。
10．洛阳一家仪器工厂借助天平检测精密零件的质量是否合格。在12个精密零件中有一个不合格零件（不合格零件略轻些）。用天平至少称( )次，就能保证找出那个不合格零件。
11．有24个外形一样的玻璃球，其中23个质量相同，有一个略轻，用天平至少称( )次才能保证找出这一个略轻的玻璃球。
12．有5瓶形状、外观相同的钙片，其中1瓶少了3片。下图是同学们用天平来称的实验情况，哪几幅图的实验表示称一次恰好找到少3片的那瓶钙片，请填上合适的序号( )。
三、判断题
13．如果10个零件中有一个次品（次品的质量轻一些），要保证找到次品，至少要称3次。( )
14．有12枚金币，其中1枚是假的（假金币重一些），如果借助天平，至少需要称3次才能保证将假金币找出来。( )
15．有9瓶药品，其中1瓶轻一些，其他的都一样重，用无砝码天平秤，至少称3次就能保证把这瓶找出来。( )
四、解答题
16．王叔叔做了8个零件，里面有1个是次品（次品轻一些）。如果用天平称，至少称2次能保证找出次品，下面是找次品的流程图。
12瓶钙片里有1瓶是次品（次品轻一些）。如果用天平称，至少称几次能保证找出次品？请仿照上面的流程图，画一画，写一写。
17．平遥牛肉是平遥县的特色名菜，中华老字号“冠云”牌平遥牛肉驰名中外。分管质检的张叔叔，发现在8袋外观相同的牛肉中有1袋质量较轻的次品。假如用天平称，至少称几次能保证找出次品？用你喜欢的方式记录找次品的过程。
18．有个制造小球的工厂，生产了6箱小球，每个箱子里有100个小球。正品小球每个重10克，次品小球每个重11克。由于每个箱子里的小球由同一车间生产，如果一个箱子里有次品，则这个箱子里的球肯定都是次品。现在假设只有一个箱子里有次品，利用有砝码的天平，如何称一次把这个箱子找出来？
19．一盒弹力球有27个，其中有一个质量稍轻（属于次品），用天平称，至少几次就一定能找到这个次品弹力球？（用自己喜欢的方式展示出思考过程和方法，并写出答案。）
20．为了加强体育训练，五（1）班新购进了11个沙包，其中有一个沙包略轻。用天平至少称几次才能保证找出这个质量较轻的沙包？请你用合适的方法描述出过程。
21．有10箱珍珠，已知其中9箱是真珍珠，每颗珍珠重10克，还有1箱内全是假珍珠，其中每颗假珍珠重9克，现在给你一架有砝码的天平，你能否只称一次找出假珍珠所在的箱子？怎么称的？
《（进阶篇）2025-2026学年下学期小学数学人教版五年级第八单元练习卷》参考答案
题号 1 2 3 4 5
答案 B A C A B
1．B
【分析】把称重物品分成尽可能平均的三组，先称其中数量相同的两组，如果天平平衡，那么比较轻的钙片在剩下一组里面，如果天平不平衡，那么比较轻的钙片在天平上翘的一组里面，依次找出比较轻的钙片所在的组，直到最后找出这瓶钙片，最后根据称重过程准确数出称重次数，据此解答。
【详解】
由上可知，这种分法比较合理。
故答案为：B
【点睛】掌握找次品问题的解题方法是解答题目的关键。
2．A
【分析】找次品的最优策略：（1）把待分物品分成3份；（2）每份数量尽量平均，如果不能平均分的，也应该使多的一份与少的一份只相差1。
【详解】将7个零件分成（2、2、3），只考虑最不利的情况，即次品在多的里面，称（2、2），平衡，次品在3个中；将3个分成（1、1、1），称（1、1），无论平衡与否，都可确定次品，共2次。
用天平称，至少称2次能保证找到次品。
故答案为：A
3．C
【分析】根据题意，题中所求的是天平找次品的最优策略。在解答时，应把待测物品尽量平均分成3份，如果不能平均分的，也应使多的与少的一份只相差1，这样可以保证找出次品的次数最少。首先，我们考虑如何将8个粽子分组以最小化称重次数。
A．8个粽子分成1个、1个、6个，6个又分成2个、2个、2个。
这种方法需要至少3次称重：首先称1个和1个，如果不平衡则找到肉粽；如果平衡，再称2个和2个，最后称剩下的2个。但这种方法不是最优的，因为一开始的分组就不平均。
B．8个粽子分成2个、2个、4个，4个又分成2个、2个。
这种方法需要至少3次称重：首先称2个和2个，如果不平衡则找到肉粽所在的组；如果平衡，再称剩下的4个中的2个和2个。但这种方法也不是最优的。
C．8个粽子分成2个、3个、3个，3个又分成1个、1个、1个。
这种方法只需要2次称重：首先称2个和3个，如果平衡，则肉粽在剩下的3个中；如果不平衡，则肉粽在较重的那一组中。然后，从较重的那一组中取出两个粽子进行称重，如果平衡，则剩下的一个就是肉粽；如果不平衡，则较重的那个就是肉粽，所以，此方法是最优的。
D．把8个粽子分成两组各4个进行称重。
如果两边平衡，说明肉粽在未称重的4个粽子里。再将这4个粽子分成1个、1个、2个，如果两个1个的粽子平衡，则肉粽在剩下的2个粽子里；如果不平衡，则较重的那个就是肉粽。
如果两边不平衡，说明肉粽在较重的4个粽子里。同样地，将这4个粽子分成1个、1个、2个，再称重判断肉粽位置。这种方法需要至少3次称重，不是最优的。
【详解】4个选项内的称重分法在分析中进行了对比，那么最合适的称重分组方法是C。
故答案为：C
4．A
【分析】由题意可知，只有1瓶是次品，次品较轻，放在天平上较轻的一端会向上翘，观察可知，③④中有一个是次品，则可知①②⑤不是次品。
【详解】据分析可知，5瓶药片中有1瓶是次品（次品轻一些），用天平称重的结果如下图，可以发现①②⑤一定不是次品。
故答案为：A
5．B
【分析】从第一次情况中可知，③和④里面有一个是轻的；如果③和④都是轻的，就不会出现第二种情况。
从第二次情况中可知，⑦和⑧里面有一个是轻的；
结合两种情况，①、②、⑤、⑥肯定是一样重的，①＋③＋⑦＝②＋④＋⑥，假设④是标准的重量，则③是轻的，这个等式就不成立；假设③是标准的重量，则④是轻的，这个等式就不成立；为了保持等式成立，则⑦是轻的。
【详解】①＋②比③＋④重，说明③和④有一瓶矿泉水是次品（不能都是次品，因为若都是次品，那么不会出现：⑤＋⑥比⑦＋⑧重）；
⑤＋⑥比⑦＋⑧重，说明：⑦和⑧有一瓶是次品（同理，不能都是次品）；
根据：①＋③＋⑦与②＋④＋⑥一样重，
④和⑦是轻球。
故答案为：B
【点睛】推理就是由一个或几个已知的判断（前提），推导出一个未知的结论的思维过程。
解答简单推理题时，认真分析题目中的数量关系，寻找解题的突破口，然后再利用等量代换、消去等方法来进行解答。
6．甲
【分析】天平左边放甲堆（1、2、3），右边放乙堆（4、5、6），哪边下沉，哪边就有略重的零件；如果天平平衡，略重的就在没称的丙堆里。
【详解】从图中可以看出，甲堆更重，说明略重的一定在甲堆里。
7．2
【分析】这是一道典型的“找次品”题，做题时关键是把要称的物品数量平均分成3份，或尽量使其均，这样才能保证称的次数最少。
【详解】把8瓶水分成3瓶，3瓶和2瓶，先在天平两端各放3瓶水，如果天平平衡说明次品在另外2瓶中，再称一次即可；如果天平不平衡，则把天平下沉的一端3瓶取出，再分成1瓶，1瓶，1瓶，再称一次，因此共用2次保证找到次品。
所以如果用天平称，至少称2次才能保证找出这瓶糖水。
【点睛】本题主要考查的是找次品，掌握找次品的方法是解题关键。
8．3/三
【分析】要达到次数最少，需要将要识别的物品的数目尽可能均匀的分成三份，然后每次称重时，需要将数目相等的两份放到天平两遍称重，不断识别，一直到找到次品为止。据此答题即可。
【详解】经分析得：
将14盒分成3份：4，5，5；第一次称重，在天平两边各放5盒，手里留4盒；
（1）如果天平平衡，则次品在手里，将手里的4盒分为1，1，2，在天平两边各放1盒，手里留2盒，
①如果天平平衡，则次品在手里2盒中；
然后再将手里的2盒分成2份1，1，天平的两边分别放1盒，称重第三次就可以鉴别出次品。
②如果天平不平衡，则次品在上升的天平托盘的1盒中。
（2）如果天平不平衡，则次品在上升的天平托盘的5盒中，将这5盒分成三份：2，2，1，在天平两边各放2盒，手里留1盒，
①如果天平平衡，则次品在手中的1盒中，
②如果天平不平衡，则次品在上升的天平托盘的2盒中，
接下来，将这2盒分成2份：1，1。天平的两边分别放1盒，称重第三次就可以鉴别出次品。
故至少称3次能就能保证可以找出这一盒。
【点睛】本题考查了找次品的问题，分3份操作找到最优方法。
9．4
【分析】要达到次数最少，需要将要识别的物品的数目尽可能均匀的分成三份，然后每次称重时，需要将数目相等的两份放到天平两边称重，不断识别，一直到找到次品为止。据此答题即可。
【详解】先把70个玻璃球分成（23，23，24）三份。第一次：称23个的两份，如果平衡，则次品在没称的那份中，如果不平衡，则次品在天平高的那端；第二次：将有次品那份中的23个（或24个）分成（7，7，9）或（8，8，8）三份，称7个或8个的两份，如果平衡，则次品在没称的那份中，如果不平衡，则次品在天平高的那端；第三次：将有次品那份中的9个（或8个）分成（3，3，3）或（3，3，2）三份，称3个的两份，如果平衡，则次品在没称的那份中，如果不平衡，则次品在天平高的那端；第四次：从有次品的那份中那2个分别放在天平两端，如果平衡，则次品是剩下没称的那个，如果不平衡，则次品是天平高的那端的那一个。这样，至少称4次才能保证找出这个次品。
【点睛】解答此题的关键是将所给物品进行合理的分组，逐次称量，即可找出次品。
10．3
【分析】把12个精密零件平均分成3份，每份4个，即（4，4，4），第一次称，天平两边各放4个，如果天平不平衡，次品就在较轻的4个中；如果天平平衡，次品在剩下的4个中；再把有次品的4个精密零件分成（1，1，2），第二次称，天平两边各放1个，如果天平不平衡，次品就是较轻的那一个；如果天平平衡，次品在剩下的2个中；考虑最不利原则，次品在数量多的里面，最后把有次品的2个精密零件分成（1，1），第三次称，天平两边各放1个，次品就是较轻的那一个。至少称3次就能保证找出那个不合格的零件。
【详解】
用天平至少称3次，就能保证找出那个不合格零件。
11．3
【分析】第一次：把24个玻璃球平均分成三份（8，8，8），每份8个，任意取两份，分别放在天平两端，若平衡，则较轻的在未取的8个中；若不平衡，较轻的在较高端；
第二次：把8个玻璃球分成三份（3，3，2），把其中3个两份放在天平两端，若天平平衡，较轻的在未取的2个中，若不平衡，较轻的在较高端；
第三次：把天平较高的3个玻璃球分成三份（1，1，1），任取两个放在天平两端，若天平平衡，未取的就较轻的，若天平不平衡，较高的记为较轻的，由此可知，至少需要3次才能保证找出这个略轻的玻璃球，据此解答。
【详解】根据分析可知，有24个外形一样的玻璃球，其中23个质量相同，有一个略轻，用天平至少称3次才能保证找出这一个略轻的玻璃球。
【点睛】本题考查找次品问题，关键是尽量将玻璃球平均分成三份。
12．②
【分析】把5瓶钙片分成2瓶，2瓶，1瓶三份，第一次：把两份2瓶的钙片分别放在天平秤两端，若天平秤平衡，则未取那瓶即是少了3片的；若不平衡，第二次：把在天平秤较高端的2瓶钙片，分别放在天平秤两端，在天平秤较高端钙片即为少3片的那瓶，据此即可解答。
【详解】根据分析得，如果只称一次恰好找到少3片的那瓶钙片，说明在第一次称重的过程中，左右两边的2瓶是平衡的，则未取的那一瓶就是少了3片的那瓶钙片，图②中的实验即可表示。
【点睛】本题主要考查学生依据天平秤平衡原理解决问题的能力。
13．√
【分析】把10个零件分成3份，即（3，3，4）﹔第一次称，天平两边各放3个，如果天平不平衡，次品就在较轻的3个中；如果天平平衡，次品在剩下的4个中；考虑最不利原则，次品在数量多的里面，把有次品的4个零件分成（1，1，2），第二次称，天平两边各放1个，如果天平不平衡，次品就是较轻的那一个；如果天平平衡，次品在剩下的2个中；最后把有次品的2个零件分成（1，1），第三次称，天平两边各放1个，次品就是较轻的那一个。所以至少称3次保证就一定能找出次品。
【详解】
根据分析得，
用天平至少称3次就能保证把这个次品找出来。
故答案为：√
【点睛】找次品的最优策略：一是把待测物品分成3份；二是要尽量平均分，不能平均分的，应该使多的一份与少的一份只相差1。这样不但能保证找出次品，而且称的次数一定最少。
14．√
【分析】可把12枚金币任意4个一组分成3组，把任意两组放在天平上称，根据平衡与否的情况，再逐步分成等份进行称重对比，找出不同情况需要的次数，取最多的次数即为所得。
【详解】可把12枚金币任意4个一组分成3组，把任意两组放在天平上称，如平衡，则把没称的一组，再分成（2，2）放在天平上称，再把重的一组分成（1，1）放在天平上称，可找出次品。需要3次。如不平衡，则把重的一组，再分成（2，2）放在天平上称，找出重的一组分成（1，1）放在天平上称，可找出次品。需要3次。
故答案为：√
15．×
【分析】把9瓶药平均分成3份，每份3瓶，即（3，3，3），第一次称，天平两边各放3瓶，如果天平不平衡，较轻的药品就在天平翘起的3瓶中；如果天平平衡，较轻的药品在剩下的3瓶中；再把有较轻药品的3瓶药分成3份，即（1，1，1），第二次称，天平两边各放1瓶，如果天平不平衡，较轻的药品就是天平翘起的那一瓶；如果天平平衡，较轻的药品是剩下的那1瓶。所以至少称2次就能保证把这瓶找出来。
【详解】
有9瓶药品，其中1瓶轻一些，其他的都一样重，用无砝码天平秤，至少称2次就能保证把这瓶找出来。
原题说法错误。
故答案为：×
16．3次；流程图见详解
【分析】根据题意，把12瓶钙片分成3份（4瓶、4瓶、4瓶），取其中两份分别放在天平两侧，若天平平衡，则质量较轻的在未取的一份中，若天平不平衡，取较轻的一份继续；第二次，取含有较轻的一份（4瓶）分成3份（1瓶、1瓶、2瓶），将1瓶的2份分别放在天平两侧，若天平平衡，则较轻的在未取的一份中，若天平不平衡，则较轻的一份就是次品；第三次，取含有较轻的一份（2瓶）分别放在天平两侧，即可找到较轻的；据此解答。
【详解】
答：如果用天平称，至少称3次能保证找出次品。
17．两次
【分析】第一次：把8袋牛肉分成三份（3，3，2），天平两端各放3份，如果平衡，次品就在剩下的2袋中，再把剩下的2袋放在天平上，一边1袋，如果不平衡，则再轻的一边，把轻的一边的3份再平均分成3份（1，1，1），天平两边各放1份，如果平衡，次品在比较轻的一端，如果不平衡，剩下的1个是次品，所以至少秤2次能保证找出次品。
【详解】结合分析可知：把8袋牛肉分成三份（3，3，2），称一次，无论次品是在3袋中还是在2袋中，只要再称一次即可找到次品。
答：至少称两次能找出次品。
18．见详解
【分析】本题的解题关键在于给每个箱子设置不同点，通过不同点来确定箱子，如（方法不唯一）：给六个箱子分别编号1、2、3、4、5、6号，从每个箱子里取出对应编号数量的小球，共取21个，给这21个小球称重，实际重量必然大于210克，根据多出的重量即可确定次品箱。
【详解】给六个箱子分别编号1、2、3、4、5、6号，从每个箱子里取出对应编号数量的小球，共取出：1＋2＋3＋4＋5＋6＝21（个）
应重：21×10＝210（克）
实际重量必定多于210克，多了几克，几号箱中就是次品（如：若5号箱重为次品，那就会多5克，实际重量为215克。）
19．3次；思考过程见详解
【分析】要达到次数最少，需要将要识别的物品的数目尽可能均匀的分成三份，然后每次称重时，需要将数目相等的两份放到天平两边称重，不断识别，一直到找到次品为止。据此答题即可。
【详解】先把27个弹力球分成（9，9，9），把任意两组的放在天平上称，如平衡，则次品在没称的一组，如不平衡，次品在天平上升的一端中；同理，再把9分成（3，3，3），找出有次品的一组；再把3分成（1，1，1），可找出次品，共需3次。
【点睛】本题考查找次品问题，明确把待测物品尽量平均分成三份是解题的关键。
20．3次，过程见详解
【分析】找次品中，可将11个沙包分为4、4、3共3份，在天平上称相同数量的，如果平衡则在3个沙包一份，再重复上述操作直到天平不平衡时，向上的一端的沙包是轻的。如果第一次称天平不平衡，则较轻的沙包在向上的一端的四个沙包中；再将它分成2、2共两份，再进行上述操作，要进行三次称量得出。
【详解】至少需要称量3次；
过程：将11个分成3份：4，4，3；第一次称重，在天平两边各放4个，手里留3个；
（1）如果天平平衡，则次品在手里，将手里的3个分为1，1，1，在天平两边各放1个，手里留1个，
a.如果天平平衡，则次品在手里；
b.如果天平不平衡，则次品在上升的天平托盘中；
（2）如果天平不平衡，则次品在上升的天平托盘的4个中，将这4个中的2个在天平两边各放1个，手里留2个，
a.如果天平不平衡，则找到次品在上升的天平托盘中；
b.如果天平平衡，则次品在手中的2个中，接下来，将这2个分别放在天平的两边就可以鉴别出次品。
故至少称3次能保证找出次品。
【点睛】本题主要考查的是找次品的方法，解题的关键是熟练掌握找次品的方法，进而得出答案。
21．能，过程见详解
【分析】把箱子按1－10的顺序编上号码，1号箱取1个珍珠，2号箱取2个珍珠，3号箱取3个个珍珠，……，10号箱取10个珍珠。1＋2＋3＋…＋10＝55个，55×10＝550（克），称出的质量比550克少几克，次品就是几号箱，据此解答。
【详解】1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10
＝（1＋10）＋（2＋9）＋（3＋8）＋（4＋7）＋（5＋6）
＝11＋11＋11＋1l＋11
＝11×5
＝55（个）
55×10＝550（克）
答：能只称一次找出假珍珠所在的箱子。
【点睛】本题考查找次品问题，明确每个珍珠的质量比正品少1克是解题的关键。
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）

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