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几何轨迹—2026浙江中考数学高阶能力拓展专题
一、尺规作图
1．如图，△ABC 是等腰直角三角形，AD 是斜边 BC上的中线，过点A作射线AE∥BC.
（1）尺规作图：在射线AE上找一点 F，连结CF，使得CF=BC(不写作法，保留作图痕迹).
（2） 根据(1) 的作法， 若AD=1， 求AF的长.
【答案】（1）解：图1即为所作图形.
（2）解：如图2，作CH⊥AF于点 H.
∵△ABC 是等腰直角三角形， AD是中线， AD=1，
∴∠ACB=45°， AD⊥BC， BC=2AD=2.
∵AE∥BC，
∴CH=AD=1.
∵∠FAC=∠ACB=45°，
∴AH=CH=1.
∴AF=FH+AH=.
【知识点】勾股定理；等腰直角三角形；尺规作图-直线、射线、线段
【解析】【分析】（1）以点C为圆心，长为半径画弧交与点F，连接，则CF即为所求．
（2）作于点H．根据等腰直角三角形的性质得出， ，．即可得到是等腰直角三角形，求出，再在Rt△CHF中根据勾股定理求出，最后根据线段的和差解答即可．
2．如图，AB是圆的一条弦(不是直径).仅用无刻度的直尺和圆规按下列要求作图，并保留作图痕迹，不写作法.
（1）作圆心O和 的中点 M.
（2）连结OM，交AB于点 N，若AB=4， ON=3，求⊙O的半径.
【答案】（1）解：如图，点和点即为所求，
（2）解：如图，连接，
由（1）可知，点是的中点，
∴，
∴，
在中，．
【知识点】勾股定理；确定圆的条件；垂径定理的推论
【解析】【分析】（1）在圆弧上再取一点，连接，作弦AB，AC的垂直平分线交于点O，点O即为圆心，的垂直平分线与的交点即为中点；
（2）连接，根据垂径定理的逆定理可得，，然后在Rt△AON中根据勾股定理求出圆的半径即可．
3．在等腰中，，点是的中点，要求用尺规作图的方法在上找一点，连结，使得．现有甲、乙、丙三位同学的做法如下：
（1）①做法正确的同学有___________；
②请选择你认为正确的一种做法给出证明；
（2）用尺规作图的方法画出一种不同于以上三位同学的画法．
【答案】（1）①甲、丙；
②甲的做法证明如下：
方法一：由图可知平分，
，
，
，
又点为的中点，
；
方法二：由图可知平分，
，
为边上的中线，即点为的中点，
又点为的中点，
是的中位线，
，
；
丙的做法证明如下：
方法一：连结由图可知，
点在的垂直平分线上，
，
点在的垂直平分线上，
是的垂直平分线，
，
又点为的中点，
；
方法二：连结由图可知，
点在的垂直平分线上，
，
点在的垂直平分线上，
是的垂直平分线，即点为的中点，
又点为的中点，
是的中位线，
，
．
（2）解：如图，以点D为圆心为直径画圆，交于点E，
则．
其他做法酌情给分
【知识点】等腰三角形的性质；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】
解：（1）①做法正确的同学有甲、丙；
【分析】
本题是尺规作图与几何证明的综合题，融合了等腰三角形的性质、直接三角形斜边中线定理、三角形中位线定理等多个核心知识点.
（1）需结合作图痕迹，分析甲乙丙三位同学的做法是否符合的要求，再选择正确做法，利用等腰三角形性质、直角三角形斜边中线定理或中位线定理完成证明；
（2）需根据几何原理，设计不同于三位同学的尺规作图方案，解题的关键是熟练掌握相关几何定理，能将作图痕迹与几何性质对应起来.
（1）解：①做法正确的同学有甲、丙；
②甲的做法证明如下：
方法一：由图可知平分，
，
，
，
又点为的中点，
；
方法二：由图可知平分，
，
为边上的中线，即点为的中点，
又点为的中点，
是的中位线，
，
；
丙的做法证明如下：
方法一：连结由图可知，
点在的垂直平分线上，
，
点在的垂直平分线上，
是的垂直平分线，
，
又点为的中点，
；
方法二：连结由图可知，
点在的垂直平分线上，
，
点在的垂直平分线上，
是的垂直平分线，即点为的中点，
又点为的中点，
是的中位线，
，
．
（2）解：如图，以点D为圆心为直径画圆，交于点E，
则．
其他做法酌情给分
4．如图，是矩形的对角线．
（1）用圆规和无刻度的直尺作的垂直平分线，分别交，于点，；
（2）在（1）条件下，若，求的长．
【答案】（1）解：即为所求.
（2）解：∵四边形ABCD为矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵垂直平分，
∴，∠AOF=90°，
∴，
∴．
【知识点】矩形的性质；解直角三角形；尺规作图-垂直平分线；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）分别以为圆心，大于的长为半径画弧，连接两弧交点形成的直线，即为所求；
（2）根据勾股定理先求出的长，再根据余弦值求出的长，进而得出答案．
（1）解：如图，即为所求；
（2）∵矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵垂直平分，
∴，
∴，
∴．
5．如图，点P是平分线上的一点，点M是射线上的一点（异于点B），连结MP，
在射线B上用尺规作图的方法找一点N，使．下面有两种作图方法．
方法1：以B为圆心，为半径作弧，交射线与N，连结，则．
方法2：以P为圆心，为半径作弧，交射线与N，连结，则．
（1）请选择你认为正确的方法作出图形，并证明；
（2）直接写出当的大小满足什么条件时，两种方法都正确．
【答案】（1）解：方法一正确，画图如图所示
证明：∵平分，
∴，
在和中
∵，
∴.
（2）或
【知识点】三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】（2）解：当或时，两种方法都正确，理由如下：
当时，
则，
∴的长即为点P到的距离；
按照方法2作图，的长即为点P到的距离，，
射线上有且只有一个点N符合，则；
当时，，
此时按照方法2作图，，
射线上有且只有一个点N符合，
则．
【分析】（1）方法一正确，根据即可证明全等；
（2）当以P为圆心，为半径作弧，与射线的交点N只有一个，即当或时，两种方法都正确.
（1）解：方法一正确，
画图如图所示
证明：由作图可得，
∵平分，
∴，
在和中
，
∴；
（2）解：当或时，两种方法都正确．
理由：当时，
，的长即为点P到的距离，
按照方法2作图，的长即为点P到的距离，，
射线上有且只有一个点N符合，则；
当时，，
此时按照方法2作图，，
射线上有且只有一个点N符合，
则．
6．“连弧纹镜”为战国至两汉时期备受推崇的铜镜设计，通常由六到十二个连续的等弧连成一圈，构成了别具一格的装饰图案．图1为徐州博物馆藏“八连弧纹镜”，纹饰中有八个连续的等弧连成一圈．图2为另一件连弧纹镜（残件）的示意图．
（1）若将图2中的连弧纹镜补全，则该铜镜应为“　 　 连弧纹镜”；
（2）请用无刻度的直尺与圆规，补全图2中所有残缺的弧，使其“破镜重圆”．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】（1）七
（2）解：如图
【知识点】垂径定理；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：（1）将图2中的连弧纹镜补全，则该铜镜应为“七连弧纹镜”
故答案为：七.
【分析】（1）利用圆心角、弧、弦之间的关系，连接一段等弧的两个端点构成弦，再在圆上截取相同长度的弦即可.
（2）利用垂径定理，先确定出两个同心圆的圆心，再依次找出等弧的圆心即可.
7．某公园有一座古塔（如图 1)，数学兴趣小组借助皮尺和测角仪测量该古塔的高度.图 2是该小组根据测量方案绘制的部分几何图形.
步骤一：在点 A 处，测得塔尖 C的仰角为37°；
步骤二：从点 A 出发，向前走 15m到达点 B 处.此时在 B处测得塔尖 C的仰角为45°.点 D是塔尖 C在地平线AB上的正投影.
（1）尺规作图：作出表示古塔高度的线段CD，并说明作图原理；（保留作图痕迹，不要求写作法)
（2）根据测量数据，计算古塔的高度.（参考数据：
【答案】（1）解：如图所示：
线段CD即为所求
（2）解：设古塔的高度CD= xm（x>0)，
∵CD⊥AB，
∴∠CDA=90°.
由题意可知， ∠CBD=45°， ∠CAD=37°， AB=15m，
∴∠CBD=∠BCD=45°，
∴CD=BD= xm， AD=AB+BD=（15+x)m，
∴在Rt△ACD中，
解得，x=45，（经检验，x=45是分式方程的解，且符合题意)，即CD=45m.
答：古塔的高度为45m.
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题；尺规作图-垂线
【解析】【解答】解：（1）作图原理：
如图，连接CE， CF， NE， NF，
由作图可知， CE=CF， NE=NF，
∴CN垂直平分EF，
即CD⊥AB，满足正投影的定义.
【分析】（1）根据经过直线外一点作已知直线的垂线的作法即可完成作图；
（2）通过解直角三角形ACD，即可求得古塔的高度CD的值。
二、网格作图
8．如图，边长为1的小正方形组成的网格中，已知点A，B在网格的格点上。
（1）在图1中，画一个以AB为边，顶点都在格点上，面积为6的平行四边形ABCD：
（2）在图2中，画一个以AB为对角线，顶点都在格点上，面积为6的平行四边形AEBF。
【答案】（1）
（2）
【知识点】平行四边形的性质；平行四边形的面积
【解析】【分析】（1）作底边为2，高为3，且为边的平行四边形；
（2）作一个底边为2，高为3，且为对角线的平行四边形．
9．如图，平行四边形ABCD的顶点均在格点上，找到格点P，使BP平分∠ABC.画法1：在AD边上找到格点P，使AP=AB.
画法2：在BC边上找到格点E，使BE=AB，连结AE，找到格点P.
（1）请根据上述画法分别在图1和图2中标出格点P，连结BP.
图1
（2）从两种画法中选择一种证明BP平分∠ABC.
图2
【答案】（1）解：如图1，点P即为所求作；如图2所示，点P即为所求作；
（2）解：①如图1，
由题意可知，
∴∠ABP=∠APB，
∵AD//BC，
∴∠APB=∠CBP，
∴∠ABP=∠CBP，
则点P即为所求；
②如图2，
由题意可知，
点P为AE的中点，
由三线合一定理可得BP平分∠ABC，
则点P即为所求.
【知识点】平行四边形的性质；角平分线的概念；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】(1)如图1中，在AD上取点P，使得AB=AP，连接BP，点P即为所求.如图2中，作等腰△ABE，
AB=AE，取AE的中点P，作射线BP，点P即为所求；
(2)①由画图可知，推出∠ABP=∠APB，再根据AD//BC，证明∠APB=∠PBC，可得∠ABP=∠PBC，则点P即为所求；
②由画图可知，AB=BE，点P为AE的中点，由三线合一定理可得BP平分∠ABC，则点P即为所求.
10．图1、图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个小等边三角形的顶点称为格点，分别按要求在网格内画出格点图形（顶点均在格点上）．
（1）在图1中作一个以为腰的等腰．
（2）在图2中以为边画一个平行四边形．
【答案】（1）解：如图，△ABC就是所求的三角形；
（2）解：如图，四边形ABCD就是所求的平行四边形.
【知识点】等腰三角形的判定；平行四边形的判定
【解析】【分析】（1）开放性命题，答案不唯一；利用网格纸的特点、全等三角形的对应边相等及等腰三角形定义作图即可；
（2） 开放性命题，答案不唯一；利用网格纸的特点，平行四边形的判定定理（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）作图即可.
（1）解：如图所示，等腰即为所求；
（2）解：如图所示，平行四边形即为所求；
11．图①、图②均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．△ABC内接于⊙O，且点A，B，C，O均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图．
（1）在图①中找一个格点D（点D不与点C重合）；画出∠ADB，使∠ADB＝∠ACB．
（2）在图②中找一个格点E，画出∠AEC，使∠AEC+∠ABC＝180°．
【答案】（1）解：如图①中，点D即为所求（答案不唯一）；
（2）解：如图②中，点E即为所求（答案不唯一）．
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【分析】（1）取优弧AC上的格点D，然后连接DA，DB，根据同弧所对的圆周角相等即可解答；
（2）取优弧AC上的格点，连接EA，EC，根据圆内接四边形的内角互补即可得到点E即为所作.
12．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（﹣2，2），B（﹣4，0），C（﹣4，﹣4），以原点O为位似中心，在y轴的右侧，画出△ABC的位似图形△A'B'C'，使它与△ABC的相似比为1：2．
（1）请画出△A'B'C'；
（2）若点M（a，b）为AC边上一点，则点M的对应点M'的坐标是　 　 ；
（3）△A'B'C'的面积为　 　 ．
【答案】（1）解：如图，△A'B'C'即为所求；
（2）
（3）1
【知识点】三角形的面积；作图﹣相似变换；位似变换；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：（2）∵点M（a，b）为AC边上一点，△A'B'C'与△ABC的相似比为1：2．
∴点M'的坐标为，
故答案为：；
（3）△A'B'C'的面积为，
故答案为：1．
【分析】（1）根据位似的性质作图即可；
（2）由位似变换可得，点M的横纵坐标分别除以 2，即可得点M'的横纵坐标；
（3）利用长方形的面积减去两个直角三角形的面积即可得到△A'B'C'的面积．
三、直尺作图
13．只用无刻度的直尺作图（保留作图痕迹，不要求写作法）．
（1）如图1，已知．点E在OB边上，其中四边形是平行四边形，请你在图中画出的平分线．
（2）如图2．已知E是菱形中边上的中点，请作出边上的中点F．
【答案】（1）解：如图1，连接AB、EF交于点C，过O、C作射线OD，OD即为所求；
（2）解：如图2，连接AC， BD， AC与BD交于点G，连接DE，DE与AC交于点O，连接BO并延长交AD于F， F即为所求；
【知识点】平行四边形的性质；菱形的性质；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】(1)由等腰三角形三线合一，可知 的角平分线过线段AB的中点，由平行四边形的性质可知，AB的中点即为平行四边形对角线的交点，过O与AB的中点的射线即为所求，作图即可；
(2)由菱形的性质，三角形的三条中线交于一点即重心，作 的中线DE，AG，交点为重心O，连接BO并延长交AD于F，F即为所求.
14．如图，在上有，，三点，，不使用圆规，只用无刻度的直尺作出符合下列要求的角，保留作图痕迹．
（1）请在图中作一个的圆周角，记为．
（2）请在图中作一个的圆心角，记为．
【答案】（1）解：如图，在劣弧上任取一点，连接，，则即为所求作；
（2）答：如图，连接BO交延长交 于点F，则即为所求作.

【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质；邻补角
【解析】【分析】
（1）圆内接四边形对角互补；
（2）由圆周角定理得，再利用邻补角的概念延长BO交圆O于点F，则即为所求作．
（1）解：如图，在劣弧上任取一点，连接，，
即为所求作；
（2）解：延长交于点，
即为所求作．
15．如图，在平行四边形中，点E、F分别在边上，且，连结，请仅用无刻度的直尺画出线段的中点O，并说明这样画的理由．
【答案】解：如图：连结交与点O，点O即为所求．
理由：连结．
四边形为平行四边形，
∴．
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴点O是线段的中点
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】连结AC交EF与点O，点O即为所求；连接AF、CE，由平行四边形的对边平行得出AE∥CF，从而由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形AECF是平行四边形，进而根据平行四边形的对角线互相平分可得结论.
16．作图题：上有三个点，，，，请只用无刻度的直尺作出符合要求的角，并写出符合要求的角．
（1）在图1中作一个的角；
（2）在图2中作一个的角；
（3）在图3中作一个的角．
【答案】（1）∠AOC
（2）∠D
（3）∠CAE
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：(1)连接OA，OC，
根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得：∠AOC=2∠ABC=100°，
∴∠AOC即为所求；
故答案为：∠AOC.
(2)在上任取一点D，
∴∠D即为所求；
故答案为：∠D.
(3)如图，
延长AO交⊙O于点E，连接CE，
∴∠ACE=90°，∠E=∠B=50°，
∴∠CAE=40°，
∴∠CAE即为所求.
故答案为：∠CAE.
【分析】(1)连接OA，OC，同弧所对的圆周角是圆心角的一半即可；
(2)在上任取一点D，由圆内接四边形性质可得∠D=130°；
(3)延长AO交⊙O于点E，连接CE，AC，再根据直角三角形性质即可.
17．如图，是一正六边形，请你仅用无刻度的直尺，分别按照下列要求作图（保留作图痕迹）．
（1）在图1中，作一个以为对角线的平行四边形；
（2）在图2中，作出中边上的中线．
【答案】（1）解：如图所示，连接交于O，则四边形即为所求；
可证明都是等边三角形，则，则四边形为菱形，即四边形为平行四边形；
（2）解：如图所示，连接交于H，连接交于G，连接并延长交于M，则即为所求；
可得点O和点H分别时的中点，由三角形三条中线交于一点可得即为所求．
【知识点】等边三角形的判定与性质；多边形内角与外角；平行四边形的判定；菱形的判定与性质；三角形的中线
【解析】【分析】（1）根据题意，连接交于O，则四边形即为所求；
（2）根据题意，连接交于H，连接交于G，连接并延长交于M，则即为所求．
（1）解：如图所示，连接交于O，则四边形即为所求；
可证明都是等边三角形，则，则四边形为菱形，即四边形为平行四边形；
（2）解：如图所示，连接交于H，连接交于G，连接并延长交于M，则即为所求；
可得点O和点H分别时的中点，由三角形三条中线交于一点可得即为所求．
18．数学课上，老师提出：仅用用无刻度的直尺作图.
（1） 如图， 点A、B、C在⊙O上，
①在图①中，画一个与∠B互补的圆周角；
②在图②中，画一个与∠B互余的圆周角.
（2） 在图③中， △ABC是⊙O的内接三角形， OD⊥BC于点 D. 画出 的平分线.
【答案】（1）解：①在劣弧上任取一点D，连接DA、DC，∠ADC与∠B互补；
②连接AO并延长交 ⊙O 于点E，连接EC，∠EAC+∠E=90°，∠E=∠B，得∠EAC+∠B=90°，∠EAC即为所求；
（2）解：延长OD交 ⊙O 于点F，连接AF即为∠BAC的平分线；
【知识点】尺规作图-作角的平分线；尺规作图-角的和差
【解析】【分析】(1)①根据圆内接四边形对角互补，在劣弧的任意找一点即满足题意；
②连接AO构造直径，同时构造与∠E互余的角度，∠B=∠E，即知∠EAC即为所求；
(2)延长OD知点F为弧的中点，连接AF即为∠BAC的平分线.
四、几何轨迹
19．2024年“嫦娥号”飞船从月球返回地球时，卫星遥感记录了整个返回过程，那么卫星返回时留下的轨迹体现的数学原理是（　　）
A．线动成面 B．面动成体 C．点动成线 D．以上都不对
【答案】C
【知识点】点、线、面、体及之间的联系
【解析】【解答】解：卫星返回时留下的轨迹体现的数学原理是点动成线，
故答案为：C．
【分析】将“嫦娥号”飞船看着一个点，根据点动成线，可得答案.
20．综合性学习小组设计了四种车轮，车轮中心的初始位置在同一高度，现将每种车轮在水平面上进行无滑动滚动，若某个车轮中心的运动轨迹如图所示，请利用刻度尺、量角器等合适的工具作出判断，该轨迹对应的车轮是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】生活中的旋转现象
21．在平面直角坐标系中，若点绕原点O顺时针旋转得到点．则点A运动到的轨迹的长度为　 　．
【答案】
【知识点】点的坐标；弧长的计算；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵点绕原点O顺时针旋转得到点，
∴点A运动到的轨迹的长度为，
故答案为：．
【分析】先根据点A的坐标得到，再根据旋转结合弧长公式即可求解。
22．如图，在正方形ABCD中，E是正方形内部一动点，∠AEB=90°，请画出点E的运动轨迹.
【思路引导】定弦为 ▲ ，定角为 ▲ ，画出点 E 的运动轨迹.
【答案】解：AB， ∠AEB.
取AB 中点 O，点E 的运动轨迹如解图所示(不与点A，B重合).
【知识点】定角定弦辅助圆模型；圆周角定理的推论
【解析】【解答】【思路引导】解：∵∠AEB=90°，
∴点E在以AB为直径的圆上，
故答案为：AB；∠AEB；
【分析】根据90°的圆周角所对的弦为直径解答即可.
23．如图，小球起始时位于 （3，0）处，沿所示的方向击球，小球运动的轨迹如图所示，用坐标描述这个运动，找出小球运动的轨迹上几个关于直线 l 对称的点.如果小球起始时位于（1，0）处，仍按原来方向击球，请你画出这时小球运动的轨迹.
【答案】解：小球的运动轨迹是(3，0)→(0，3)→(1，4)→(5，0)→33 →(3，0)→…，其中关于直线l对称的点有（　　）与(7，4)，(0，3)与(8，3)，(3，0)与(5，0).若小球起始时位于(1，0)处，则小球运动的轨迹如图所示.
【知识点】作图﹣轴对称；作图-画给定对称轴的对称图形
【解析】【分析】 首先需明确直线l的方程，通常对称轴可能是x=4（根据原轨迹的对称点推测），然后分析轨迹的对称性。对于第二个问题，需考虑起始点变化后轨迹的对称性是否保持，并推导新的轨迹点。
24．如图，在矩形ABCD中，E是边AB的中点，F是边AD上一动点，将 沿EF所在直线折叠得到 请你在图中画出点.A'的运动轨迹.
【思路引导】定点(圆心)是 ▲ ，定长(半径)是 ▲ ，点F从A运动到D的过程中，A'的起点位置是 ▲ ，当F在 ▲ 位置时，A'到达终点，画出点A'的运动轨迹.A'
【答案】解：点 E，AE(或A'E)，点A，点 D.
如解图，点A'的运动轨迹为AA".
【知识点】翻折变换（折叠问题）；定点定长辅助圆模型
【解析】【解答】【思路引导】解：∵沿EF所在直线折叠得到
∴EA'=EA，
∴点A'在以点E为圆心，EA长为半径的圆上， 点F从A运动到D的过程中，A'的起点位置是点A，当F在点D位置时，A'到达终点，
故答案为：点 E，AE，点A，点 D.
【分析】根据翻折可得EA=EA'，然后根据到定点的距离等于定长的点在圆上解答即可.
1 / 1几何轨迹—2026浙江中考数学高阶能力拓展专题
一、尺规作图
1．如图，△ABC 是等腰直角三角形，AD 是斜边 BC上的中线，过点A作射线AE∥BC.
（1）尺规作图：在射线AE上找一点 F，连结CF，使得CF=BC(不写作法，保留作图痕迹).
（2） 根据(1) 的作法， 若AD=1， 求AF的长.
2．如图，AB是圆的一条弦(不是直径).仅用无刻度的直尺和圆规按下列要求作图，并保留作图痕迹，不写作法.
（1）作圆心O和 的中点 M.
（2）连结OM，交AB于点 N，若AB=4， ON=3，求⊙O的半径.
3．在等腰中，，点是的中点，要求用尺规作图的方法在上找一点，连结，使得．现有甲、乙、丙三位同学的做法如下：
（1）①做法正确的同学有___________；
②请选择你认为正确的一种做法给出证明；
（2）用尺规作图的方法画出一种不同于以上三位同学的画法．
4．如图，是矩形的对角线．
（1）用圆规和无刻度的直尺作的垂直平分线，分别交，于点，；
（2）在（1）条件下，若，求的长．
5．如图，点P是平分线上的一点，点M是射线上的一点（异于点B），连结MP，
在射线B上用尺规作图的方法找一点N，使．下面有两种作图方法．
方法1：以B为圆心，为半径作弧，交射线与N，连结，则．
方法2：以P为圆心，为半径作弧，交射线与N，连结，则．
（1）请选择你认为正确的方法作出图形，并证明；
（2）直接写出当的大小满足什么条件时，两种方法都正确．
6．“连弧纹镜”为战国至两汉时期备受推崇的铜镜设计，通常由六到十二个连续的等弧连成一圈，构成了别具一格的装饰图案．图1为徐州博物馆藏“八连弧纹镜”，纹饰中有八个连续的等弧连成一圈．图2为另一件连弧纹镜（残件）的示意图．
（1）若将图2中的连弧纹镜补全，则该铜镜应为“　 　 连弧纹镜”；
（2）请用无刻度的直尺与圆规，补全图2中所有残缺的弧，使其“破镜重圆”．（保留作图痕迹，不写作法）
7．某公园有一座古塔（如图 1)，数学兴趣小组借助皮尺和测角仪测量该古塔的高度.图 2是该小组根据测量方案绘制的部分几何图形.
步骤一：在点 A 处，测得塔尖 C的仰角为37°；
步骤二：从点 A 出发，向前走 15m到达点 B 处.此时在 B处测得塔尖 C的仰角为45°.点 D是塔尖 C在地平线AB上的正投影.
（1）尺规作图：作出表示古塔高度的线段CD，并说明作图原理；（保留作图痕迹，不要求写作法)
（2）根据测量数据，计算古塔的高度.（参考数据：
二、网格作图
8．如图，边长为1的小正方形组成的网格中，已知点A，B在网格的格点上。
（1）在图1中，画一个以AB为边，顶点都在格点上，面积为6的平行四边形ABCD：
（2）在图2中，画一个以AB为对角线，顶点都在格点上，面积为6的平行四边形AEBF。
9．如图，平行四边形ABCD的顶点均在格点上，找到格点P，使BP平分∠ABC.画法1：在AD边上找到格点P，使AP=AB.
画法2：在BC边上找到格点E，使BE=AB，连结AE，找到格点P.
（1）请根据上述画法分别在图1和图2中标出格点P，连结BP.
图1
（2）从两种画法中选择一种证明BP平分∠ABC.
图2
10．图1、图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个小等边三角形的顶点称为格点，分别按要求在网格内画出格点图形（顶点均在格点上）．
（1）在图1中作一个以为腰的等腰．
（2）在图2中以为边画一个平行四边形．
11．图①、图②均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．△ABC内接于⊙O，且点A，B，C，O均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图．
（1）在图①中找一个格点D（点D不与点C重合）；画出∠ADB，使∠ADB＝∠ACB．
（2）在图②中找一个格点E，画出∠AEC，使∠AEC+∠ABC＝180°．
12．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（﹣2，2），B（﹣4，0），C（﹣4，﹣4），以原点O为位似中心，在y轴的右侧，画出△ABC的位似图形△A'B'C'，使它与△ABC的相似比为1：2．
（1）请画出△A'B'C'；
（2）若点M（a，b）为AC边上一点，则点M的对应点M'的坐标是　 　 ；
（3）△A'B'C'的面积为　 　 ．
三、直尺作图
13．只用无刻度的直尺作图（保留作图痕迹，不要求写作法）．
（1）如图1，已知．点E在OB边上，其中四边形是平行四边形，请你在图中画出的平分线．
（2）如图2．已知E是菱形中边上的中点，请作出边上的中点F．
14．如图，在上有，，三点，，不使用圆规，只用无刻度的直尺作出符合下列要求的角，保留作图痕迹．
（1）请在图中作一个的圆周角，记为．
（2）请在图中作一个的圆心角，记为．
15．如图，在平行四边形中，点E、F分别在边上，且，连结，请仅用无刻度的直尺画出线段的中点O，并说明这样画的理由．
16．作图题：上有三个点，，，，请只用无刻度的直尺作出符合要求的角，并写出符合要求的角．
（1）在图1中作一个的角；
（2）在图2中作一个的角；
（3）在图3中作一个的角．
17．如图，是一正六边形，请你仅用无刻度的直尺，分别按照下列要求作图（保留作图痕迹）．
（1）在图1中，作一个以为对角线的平行四边形；
（2）在图2中，作出中边上的中线．
18．数学课上，老师提出：仅用用无刻度的直尺作图.
（1） 如图， 点A、B、C在⊙O上，
①在图①中，画一个与∠B互补的圆周角；
②在图②中，画一个与∠B互余的圆周角.
（2） 在图③中， △ABC是⊙O的内接三角形， OD⊥BC于点 D. 画出 的平分线.
四、几何轨迹
19．2024年“嫦娥号”飞船从月球返回地球时，卫星遥感记录了整个返回过程，那么卫星返回时留下的轨迹体现的数学原理是（　　）
A．线动成面 B．面动成体 C．点动成线 D．以上都不对
20．综合性学习小组设计了四种车轮，车轮中心的初始位置在同一高度，现将每种车轮在水平面上进行无滑动滚动，若某个车轮中心的运动轨迹如图所示，请利用刻度尺、量角器等合适的工具作出判断，该轨迹对应的车轮是（　　）
A． B．
C． D．
21．在平面直角坐标系中，若点绕原点O顺时针旋转得到点．则点A运动到的轨迹的长度为　 　．
22．如图，在正方形ABCD中，E是正方形内部一动点，∠AEB=90°，请画出点E的运动轨迹.
【思路引导】定弦为 ▲ ，定角为 ▲ ，画出点 E 的运动轨迹.
23．如图，小球起始时位于 （3，0）处，沿所示的方向击球，小球运动的轨迹如图所示，用坐标描述这个运动，找出小球运动的轨迹上几个关于直线 l 对称的点.如果小球起始时位于（1，0）处，仍按原来方向击球，请你画出这时小球运动的轨迹.
24．如图，在矩形ABCD中，E是边AB的中点，F是边AD上一动点，将 沿EF所在直线折叠得到 请你在图中画出点.A'的运动轨迹.
【思路引导】定点(圆心)是 ▲ ，定长(半径)是 ▲ ，点F从A运动到D的过程中，A'的起点位置是 ▲ ，当F在 ▲ 位置时，A'到达终点，画出点A'的运动轨迹.A'
答案解析部分
1．【答案】（1）解：图1即为所作图形.
（2）解：如图2，作CH⊥AF于点 H.
∵△ABC 是等腰直角三角形， AD是中线， AD=1，
∴∠ACB=45°， AD⊥BC， BC=2AD=2.
∵AE∥BC，
∴CH=AD=1.
∵∠FAC=∠ACB=45°，
∴AH=CH=1.
∴AF=FH+AH=.
【知识点】勾股定理；等腰直角三角形；尺规作图-直线、射线、线段
【解析】【分析】（1）以点C为圆心，长为半径画弧交与点F，连接，则CF即为所求．
（2）作于点H．根据等腰直角三角形的性质得出， ，．即可得到是等腰直角三角形，求出，再在Rt△CHF中根据勾股定理求出，最后根据线段的和差解答即可．
2．【答案】（1）解：如图，点和点即为所求，
（2）解：如图，连接，
由（1）可知，点是的中点，
∴，
∴，
在中，．
【知识点】勾股定理；确定圆的条件；垂径定理的推论
【解析】【分析】（1）在圆弧上再取一点，连接，作弦AB，AC的垂直平分线交于点O，点O即为圆心，的垂直平分线与的交点即为中点；
（2）连接，根据垂径定理的逆定理可得，，然后在Rt△AON中根据勾股定理求出圆的半径即可．
3．【答案】（1）①甲、丙；
②甲的做法证明如下：
方法一：由图可知平分，
，
，
，
又点为的中点，
；
方法二：由图可知平分，
，
为边上的中线，即点为的中点，
又点为的中点，
是的中位线，
，
；
丙的做法证明如下：
方法一：连结由图可知，
点在的垂直平分线上，
，
点在的垂直平分线上，
是的垂直平分线，
，
又点为的中点，
；
方法二：连结由图可知，
点在的垂直平分线上，
，
点在的垂直平分线上，
是的垂直平分线，即点为的中点，
又点为的中点，
是的中位线，
，
．
（2）解：如图，以点D为圆心为直径画圆，交于点E，
则．
其他做法酌情给分
【知识点】等腰三角形的性质；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】
解：（1）①做法正确的同学有甲、丙；
【分析】
本题是尺规作图与几何证明的综合题，融合了等腰三角形的性质、直接三角形斜边中线定理、三角形中位线定理等多个核心知识点.
（1）需结合作图痕迹，分析甲乙丙三位同学的做法是否符合的要求，再选择正确做法，利用等腰三角形性质、直角三角形斜边中线定理或中位线定理完成证明；
（2）需根据几何原理，设计不同于三位同学的尺规作图方案，解题的关键是熟练掌握相关几何定理，能将作图痕迹与几何性质对应起来.
（1）解：①做法正确的同学有甲、丙；
②甲的做法证明如下：
方法一：由图可知平分，
，
，
，
又点为的中点，
；
方法二：由图可知平分，
，
为边上的中线，即点为的中点，
又点为的中点，
是的中位线，
，
；
丙的做法证明如下：
方法一：连结由图可知，
点在的垂直平分线上，
，
点在的垂直平分线上，
是的垂直平分线，
，
又点为的中点，
；
方法二：连结由图可知，
点在的垂直平分线上，
，
点在的垂直平分线上，
是的垂直平分线，即点为的中点，
又点为的中点，
是的中位线，
，
．
（2）解：如图，以点D为圆心为直径画圆，交于点E，
则．
其他做法酌情给分
4．【答案】（1）解：即为所求.
（2）解：∵四边形ABCD为矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵垂直平分，
∴，∠AOF=90°，
∴，
∴．
【知识点】矩形的性质；解直角三角形；尺规作图-垂直平分线；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）分别以为圆心，大于的长为半径画弧，连接两弧交点形成的直线，即为所求；
（2）根据勾股定理先求出的长，再根据余弦值求出的长，进而得出答案．
（1）解：如图，即为所求；
（2）∵矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵垂直平分，
∴，
∴，
∴．
5．【答案】（1）解：方法一正确，画图如图所示
证明：∵平分，
∴，
在和中
∵，
∴.
（2）或
【知识点】三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】（2）解：当或时，两种方法都正确，理由如下：
当时，
则，
∴的长即为点P到的距离；
按照方法2作图，的长即为点P到的距离，，
射线上有且只有一个点N符合，则；
当时，，
此时按照方法2作图，，
射线上有且只有一个点N符合，
则．
【分析】（1）方法一正确，根据即可证明全等；
（2）当以P为圆心，为半径作弧，与射线的交点N只有一个，即当或时，两种方法都正确.
（1）解：方法一正确，
画图如图所示
证明：由作图可得，
∵平分，
∴，
在和中
，
∴；
（2）解：当或时，两种方法都正确．
理由：当时，
，的长即为点P到的距离，
按照方法2作图，的长即为点P到的距离，，
射线上有且只有一个点N符合，则；
当时，，
此时按照方法2作图，，
射线上有且只有一个点N符合，
则．
6．【答案】（1）七
（2）解：如图
【知识点】垂径定理；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：（1）将图2中的连弧纹镜补全，则该铜镜应为“七连弧纹镜”
故答案为：七.
【分析】（1）利用圆心角、弧、弦之间的关系，连接一段等弧的两个端点构成弦，再在圆上截取相同长度的弦即可.
（2）利用垂径定理，先确定出两个同心圆的圆心，再依次找出等弧的圆心即可.
7．【答案】（1）解：如图所示：
线段CD即为所求
（2）解：设古塔的高度CD= xm（x>0)，
∵CD⊥AB，
∴∠CDA=90°.
由题意可知， ∠CBD=45°， ∠CAD=37°， AB=15m，
∴∠CBD=∠BCD=45°，
∴CD=BD= xm， AD=AB+BD=（15+x)m，
∴在Rt△ACD中，
解得，x=45，（经检验，x=45是分式方程的解，且符合题意)，即CD=45m.
答：古塔的高度为45m.
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题；尺规作图-垂线
【解析】【解答】解：（1）作图原理：
如图，连接CE， CF， NE， NF，
由作图可知， CE=CF， NE=NF，
∴CN垂直平分EF，
即CD⊥AB，满足正投影的定义.
【分析】（1）根据经过直线外一点作已知直线的垂线的作法即可完成作图；
（2）通过解直角三角形ACD，即可求得古塔的高度CD的值。
8．【答案】（1）
（2）
【知识点】平行四边形的性质；平行四边形的面积
【解析】【分析】（1）作底边为2，高为3，且为边的平行四边形；
（2）作一个底边为2，高为3，且为对角线的平行四边形．
9．【答案】（1）解：如图1，点P即为所求作；如图2所示，点P即为所求作；
（2）解：①如图1，
由题意可知，
∴∠ABP=∠APB，
∵AD//BC，
∴∠APB=∠CBP，
∴∠ABP=∠CBP，
则点P即为所求；
②如图2，
由题意可知，
点P为AE的中点，
由三线合一定理可得BP平分∠ABC，
则点P即为所求.
【知识点】平行四边形的性质；角平分线的概念；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】(1)如图1中，在AD上取点P，使得AB=AP，连接BP，点P即为所求.如图2中，作等腰△ABE，
AB=AE，取AE的中点P，作射线BP，点P即为所求；
(2)①由画图可知，推出∠ABP=∠APB，再根据AD//BC，证明∠APB=∠PBC，可得∠ABP=∠PBC，则点P即为所求；
②由画图可知，AB=BE，点P为AE的中点，由三线合一定理可得BP平分∠ABC，则点P即为所求.
10．【答案】（1）解：如图，△ABC就是所求的三角形；
（2）解：如图，四边形ABCD就是所求的平行四边形.
【知识点】等腰三角形的判定；平行四边形的判定
【解析】【分析】（1）开放性命题，答案不唯一；利用网格纸的特点、全等三角形的对应边相等及等腰三角形定义作图即可；
（2） 开放性命题，答案不唯一；利用网格纸的特点，平行四边形的判定定理（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）作图即可.
（1）解：如图所示，等腰即为所求；
（2）解：如图所示，平行四边形即为所求；
11．【答案】（1）解：如图①中，点D即为所求（答案不唯一）；
（2）解：如图②中，点E即为所求（答案不唯一）．
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【分析】（1）取优弧AC上的格点D，然后连接DA，DB，根据同弧所对的圆周角相等即可解答；
（2）取优弧AC上的格点，连接EA，EC，根据圆内接四边形的内角互补即可得到点E即为所作.
12．【答案】（1）解：如图，△A'B'C'即为所求；
（2）
（3）1
【知识点】三角形的面积；作图﹣相似变换；位似变换；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：（2）∵点M（a，b）为AC边上一点，△A'B'C'与△ABC的相似比为1：2．
∴点M'的坐标为，
故答案为：；
（3）△A'B'C'的面积为，
故答案为：1．
【分析】（1）根据位似的性质作图即可；
（2）由位似变换可得，点M的横纵坐标分别除以 2，即可得点M'的横纵坐标；
（3）利用长方形的面积减去两个直角三角形的面积即可得到△A'B'C'的面积．
13．【答案】（1）解：如图1，连接AB、EF交于点C，过O、C作射线OD，OD即为所求；
（2）解：如图2，连接AC， BD， AC与BD交于点G，连接DE，DE与AC交于点O，连接BO并延长交AD于F， F即为所求；
【知识点】平行四边形的性质；菱形的性质；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】(1)由等腰三角形三线合一，可知 的角平分线过线段AB的中点，由平行四边形的性质可知，AB的中点即为平行四边形对角线的交点，过O与AB的中点的射线即为所求，作图即可；
(2)由菱形的性质，三角形的三条中线交于一点即重心，作 的中线DE，AG，交点为重心O，连接BO并延长交AD于F，F即为所求.
14．【答案】（1）解：如图，在劣弧上任取一点，连接，，则即为所求作；
（2）答：如图，连接BO交延长交 于点F，则即为所求作.

【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质；邻补角
【解析】【分析】
（1）圆内接四边形对角互补；
（2）由圆周角定理得，再利用邻补角的概念延长BO交圆O于点F，则即为所求作．
（1）解：如图，在劣弧上任取一点，连接，，
即为所求作；
（2）解：延长交于点，
即为所求作．
15．【答案】解：如图：连结交与点O，点O即为所求．
理由：连结．
四边形为平行四边形，
∴．
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴点O是线段的中点
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】连结AC交EF与点O，点O即为所求；连接AF、CE，由平行四边形的对边平行得出AE∥CF，从而由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形AECF是平行四边形，进而根据平行四边形的对角线互相平分可得结论.
16．【答案】（1）∠AOC
（2）∠D
（3）∠CAE
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：(1)连接OA，OC，
根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得：∠AOC=2∠ABC=100°，
∴∠AOC即为所求；
故答案为：∠AOC.
(2)在上任取一点D，
∴∠D即为所求；
故答案为：∠D.
(3)如图，
延长AO交⊙O于点E，连接CE，
∴∠ACE=90°，∠E=∠B=50°，
∴∠CAE=40°，
∴∠CAE即为所求.
故答案为：∠CAE.
【分析】(1)连接OA，OC，同弧所对的圆周角是圆心角的一半即可；
(2)在上任取一点D，由圆内接四边形性质可得∠D=130°；
(3)延长AO交⊙O于点E，连接CE，AC，再根据直角三角形性质即可.
17．【答案】（1）解：如图所示，连接交于O，则四边形即为所求；
可证明都是等边三角形，则，则四边形为菱形，即四边形为平行四边形；
（2）解：如图所示，连接交于H，连接交于G，连接并延长交于M，则即为所求；
可得点O和点H分别时的中点，由三角形三条中线交于一点可得即为所求．
【知识点】等边三角形的判定与性质；多边形内角与外角；平行四边形的判定；菱形的判定与性质；三角形的中线
【解析】【分析】（1）根据题意，连接交于O，则四边形即为所求；
（2）根据题意，连接交于H，连接交于G，连接并延长交于M，则即为所求．
（1）解：如图所示，连接交于O，则四边形即为所求；
可证明都是等边三角形，则，则四边形为菱形，即四边形为平行四边形；
（2）解：如图所示，连接交于H，连接交于G，连接并延长交于M，则即为所求；
可得点O和点H分别时的中点，由三角形三条中线交于一点可得即为所求．
18．【答案】（1）解：①在劣弧上任取一点D，连接DA、DC，∠ADC与∠B互补；
②连接AO并延长交 ⊙O 于点E，连接EC，∠EAC+∠E=90°，∠E=∠B，得∠EAC+∠B=90°，∠EAC即为所求；
（2）解：延长OD交 ⊙O 于点F，连接AF即为∠BAC的平分线；
【知识点】尺规作图-作角的平分线；尺规作图-角的和差
【解析】【分析】(1)①根据圆内接四边形对角互补，在劣弧的任意找一点即满足题意；
②连接AO构造直径，同时构造与∠E互余的角度，∠B=∠E，即知∠EAC即为所求；
(2)延长OD知点F为弧的中点，连接AF即为∠BAC的平分线.
19．【答案】C
【知识点】点、线、面、体及之间的联系
【解析】【解答】解：卫星返回时留下的轨迹体现的数学原理是点动成线，
故答案为：C．
【分析】将“嫦娥号”飞船看着一个点，根据点动成线，可得答案.
20．【答案】B
【知识点】生活中的旋转现象
21．【答案】
【知识点】点的坐标；弧长的计算；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵点绕原点O顺时针旋转得到点，
∴点A运动到的轨迹的长度为，
故答案为：．
【分析】先根据点A的坐标得到，再根据旋转结合弧长公式即可求解。
22．【答案】解：AB， ∠AEB.
取AB 中点 O，点E 的运动轨迹如解图所示(不与点A，B重合).
【知识点】定角定弦辅助圆模型；圆周角定理的推论
【解析】【解答】【思路引导】解：∵∠AEB=90°，
∴点E在以AB为直径的圆上，
故答案为：AB；∠AEB；
【分析】根据90°的圆周角所对的弦为直径解答即可.
23．【答案】解：小球的运动轨迹是(3，0)→(0，3)→(1，4)→(5，0)→33 →(3，0)→…，其中关于直线l对称的点有（　　）与(7，4)，(0，3)与(8，3)，(3，0)与(5，0).若小球起始时位于(1，0)处，则小球运动的轨迹如图所示.
【知识点】作图﹣轴对称；作图-画给定对称轴的对称图形
【解析】【分析】 首先需明确直线l的方程，通常对称轴可能是x=4（根据原轨迹的对称点推测），然后分析轨迹的对称性。对于第二个问题，需考虑起始点变化后轨迹的对称性是否保持，并推导新的轨迹点。
24．【答案】解：点 E，AE(或A'E)，点A，点 D.
如解图，点A'的运动轨迹为AA".
【知识点】翻折变换（折叠问题）；定点定长辅助圆模型
【解析】【解答】【思路引导】解：∵沿EF所在直线折叠得到
∴EA'=EA，
∴点A'在以点E为圆心，EA长为半径的圆上， 点F从A运动到D的过程中，A'的起点位置是点A，当F在点D位置时，A'到达终点，
故答案为：点 E，AE，点A，点 D.
【分析】根据翻折可得EA=EA'，然后根据到定点的距离等于定长的点在圆上解答即可.
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