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广东省深圳市龙岗区百合外国语学校2024-2025学年七年级下学期期末数学试卷
1．百万学子的理想学校清华大学、北京大学、浙江大学、上海交大的校徽中是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、C、D的图形均不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
B选项的图形中能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是成轴对称图形．
故答案为：B．
【分析】利用轴对称图形的定义（如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴）逐项分析判断即可.
2．在2025年蛇年春晚上，一群会跳舞、能抛手绢的人形机器人惊艳亮相，机器人的研发也成为当今时代科研的重点．中国科学院研发出新型的工业纳米机器人，其大小约为．已知，则用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：，
，
故答案为：C．
【分析】本题主要考查科学记数法的表示方法，特别是较小数的科学记数法.科学记数法的形式为，其中1≤a<10，n为整数.解题时，先将70nm转换为以米为单位：因为，所以再将其改写为标准形式，因此答案为.解题技巧：进行科学记数法转换时，先确定原数的有效数字部分，再根据小数点移动的位数确定指数.对于小于1的数，指数为负；对于大于等于10的数，指数为正.注意最终结果必须满足1≤a<10，n为整数，且单位要保留.
3．下列计算中，正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次根式的加减法；二次根式的除法
【解析】【解答】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，故A错误；
B、，故B正确；
C、，故C错误；
D、2与，不是同类二次根式，不能合并，故D错误．
故答案为：B．
【分析】本题主要考查二次根式的加减法与乘除法运算，核心在于判断根式是否为同类二次根式以及正确运用运算法则.加减运算要求根式必须同类，即被开方数相同，只有同类二次根式才能合并系数，否则不能直接相加或相减.乘除运算则直接对被开方数进行乘除，再化简结果.
4．成语作为中华优秀传统文化的精髓，既是历史馈赠的语言瑰宝，更是现代文化创新与国际传播的重要资源，下列成语所描述的事件，是必然事件的是（　　）
A．守株待兔 B．百步穿杨 C．水中捞月 D．水涨船高
【答案】D
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：A、守株待兔，是随机事件，不符合题意；
B、百步穿杨，是随机事件，不符合题意；
C、水中捞月，是不可能事件，不符合题意；
D、水涨船高，是必然事件，符合题意；
故答案为：D．
【分析】利用必然事件的定义及特征（必然事件是指在一定的条件下，某些事件在每次试验中必然会发生）逐项分析判断即可.
5．在、、、、这些数中，无理数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】无理数的概念；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：因为，所以由无理数的定义可得，在、、、、这些数中，无理数有，、，共3个，
故答案为：C．
【分析】本题主要考查无理数的定义与识别.无理数是无限不循环小数，常见类型包括开方开不尽的数（如）、含有π的数（如π+3）、以及构造出的无限不循环小数，按照定义逐一判断.小技巧：先化简所有根式，再判断是否为无限不循环小数；分数、整数、有限小数、无限循环小数都是有理数，其余的为无理数.
6．已知，用尺规作图的方法在上确定一点P，使，则符合要求的作图痕迹是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：根据题意，，
由图可知，，
，
故符合要求的作图是作线段的垂直平分线，
由作图痕迹可知，只有B选项符合题意．
故选：B．
【分析】
要使PA+PB=BC，由图可知BC=PB+PC，所以需要PA=PC。根据线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。那么当点P在AC的垂直平分线上时，PA=PC。据此分析选项即可得出结论．
7．父亲节当天，学校“文苑”栏登出了某同学回忆父亲的小诗：“同辞家门赴车站，别时叮咛语千万，学子满载信心去，老父怀抱希望还．”如果用纵轴y表示父亲和学子在行进中离家的距离，横轴t表示离家的时间，下面与上述诗意大致相吻合的图像是( )
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】用图象表示变量间的关系
【解析】【解答】解：“同辞家门赴车站”，父亲和学子的函数图象在一开始的时候应该一样，“别时叮咛语千万”，父亲和学子在说话的时间段距离不变；当学子离开车站出发，离家的距离越来越远，父亲离开车站回家，离家越来越近．
故答案为：B．
【分析】本题主要考查函数图象与实际情境的对应分析能力，核心在于理解横轴（离家时间）和纵轴（离家距离）的含义，并根据诗意描述的变化过程，判断图象的走势.首先，“同辞家门赶车站”意味着父亲和学子同时从家出发，因此初始阶段两人的图象应重合，距离随时间的增加而增大，表现为一条上升的线段；接着，“别时叮咛语千万”描述的是在车站分别前互相叮嘱，此时两人位置不变，离家距离保持不变，因此图象应出现一段水平线段；最后，“学子满载信心去”表示学子乘车离开车站，离家的距离继续增大，图象继续上升；“老父怀抱希望还”表示父亲返回家中，离家的距离逐渐减小，直至归零，图象应呈下降趋势.综合以上分析，只有选项B的图象符合：先同向上升，再水平停顿，然后学子上升、父亲下降.
8．如图，已知，点D是的平分线上的一个定点，点E，F分别在射线和射线上，且．下列结论：①是等边三角形；②四边形的面积是一个定值；③当时，的周长最小；④当时，也平行于．其中正确的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】平行线的性质；角平分线的性质；等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：如图1，连接，作于，于，
∵点D是的平分线上的一个定点，
∴，
∴，
∴，即，
∵，，，
∴，
∴，
∴是等边三角形；①正确，故符合要求；
∵，
∴，
∵点D是的平分线上的一个定点，
∴四边形的面积是一个定值；②正确，故符合要求；
∵的周长为，
当时，最短，即等边的周长最小，③正确，故符合要求；
如图2，当时，
∴，
∴是等边三角形，
∵是等边三角形，
∴与重合，与交于点；④错误，故不符合要求；
故答案为：C
【分析】连接，作于，于，由角平分线的性质可得，根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，再根据等边三角形判定定理可得是等边三角形，进而可判断①的正误；根据全等三角形性质可得，进而可判断②的正误；由的周长为，可知当时，最短，的周长最小，进而可判断③的正误；如图2，当时，，则是等边三角形，则与重合，与交于点；进而可判断④的正误．
9．计算：已知，，则的值为　 　．
【答案】12
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【解答】∵，
，
∴=
故答案为：12．
【分析】利用同底数幂的乘法可得
，再将
，
代入计算即可。
10．若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】由得故填
【分析】考查二次根式有意义条件，由被开方数是非负数得不等式，会解不等式求解，易错点非负数的表示。
11．月日，新加坡立化中学到访我校，上午计划去八年级班随机观摩一节课，如表是当天上午的课表，如果每一个班级的每一节课被观摩的可能性是一样的，则恰好观摩到语文课的概率是　 　．
节次 班 班 班 班 班 班
第节 英语 语文 英语 数学 数学 英语
第节 生物 历史 数学 美术 英语 地理
第节 数学 音乐 道法 英语 形体 历史
第节 语文 英语 日语 语文 语文 数学
【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：由表可知，当天上午的课表中随机观摩一节课有种等可能结果，其中语文课有种结果，
∴恰好观摩到语文课的概率是，
故答案为：．
【分析】先求出所有符合条件的情况数，再利用概率公式求解即可.
12．一副三角板按如图所示的方式摆放，，，，若，则的度数为　 　．
【答案】
【知识点】三角形外角的概念及性质；对顶角及其性质；平行线的应用-求角度；平行线的应用-三角尺问题
【解析】【解答】解：如图所示
，，，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【分析】先利用平行线的性质和三角形外角的性质求出∠2的度数，再利用对顶角的性质求解即可.
13．如图，在中，，，，且AE=AB，连接交的延长线于点，，则　 　．
【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；旋转全等模型
【解析】【解答】解：在CD上截取CG=CF，连接AG，
∵AC=CD，∠ACG=∠DCF=90°，
∴，
∴∠AGC=∠CFD，
设AC=CD=3x，则CF=CG=2x，GD=x，
∵∠EAB=∠EAF+∠CAB=∠CAB+∠B=90°，
∴∠EAF=∠B，
∴∠E=∠CFD-∠EAF=∠AGC-∠B=∠GAB，
又∵AE=AB，
∴，
∴AF=BG=5x，
∴BD=BG-GD=4x，
∴．
【分析】本题主要考查全等三角形的构造与判定、等腰直角三角形的性质以及线段比例的计算.解题的关键是通过“截长补短”的方法在CD上截取CG=CF，构造出△ACG≌△DCF，从而将分散的线段和角集中起来，为进一步证明三角形全等创造条件.根据已知，可将线段用字母表示出来，AC=CD=3x，CF=CG=2x，GD=x，接下来通过角的推导证明，得到BD=BG-GD=4x，即可得出.
14．计算：
（1）．
（2）．
（3）先化简，再求值：，其中，．
【答案】（1）解：原式
；
（2）解：原式
.
（3）解：原式，
，
当，时，
原式．
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；负整数指数幂；二次根式的混合运算；利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】（1）先利用0指数幂、负整式指数幂和绝对值的性质化简，再计算即可；
（2）先利用平方差公式和完全平方公式展开，再计算即可；
（3）先利用整式的混合运算化简，再将x、y的值代入计算即可.
（1）解：原式
；
（2）原式
；
（3）原式，
，
当，时，
原式．
15．如图，在中，DM、EN分别垂直平分AC和BC交AB于M、N．
（1）若，求的周长；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）解：DM、EN分别垂直平分AC和BC交AB于M、N．
，
的周长=MC+MN+CN=AM+MN+BM=AB，
∵AB=12cm，
的周长=12cm．
（2）解：，
，
，
，
，
，
=
=．
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【分析】（1）先利用垂直平分线的性质可得，再利用三角形的周长公式及等量代换求解即可；
（2）先利用等边对等角的性质可得，再利用角的运算和等量代换求出的度数即可.
（1）解：DM、EN分别垂直平分AC和BC交AB于M、N．
，
的周长=MC+MN+CN=AM+MN+BM=AB，
∵AB=12cm，
的周长=12cm．
（2）解：，
，
，
，
，
，
=
=．
16．如图，在中，平分，过点D作交于点E，过点E作交于点F，则可推得平分，其推导过程和推理依据如下：
解：∵，（已知）
∴ ．（ ）
∵，（已知）
∴ ，（ ）
．（ ）
．（等量代换）
又∵平分（已知）
∴．（ ）
∴ ．（等量代换）
∴ 平分．（角平分线定义）
【答案】；两直线平行，内错角相等；；两直线平行，内错角相等；；两直线平行，同位角相等；角平分线的定义；
【知识点】角平分线的概念；两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵，（已知）
∴（两直线平行，内错角相等）
∵，（已知）
∴（两直线平行，内错角相等）
（两直线平行，同位角相等）
．（等量代换）
又∵平分（已知）
∴．（角平分线的定义）
∴．（等量代换）
∴ 平分．（角平分线定义）
故答案为：；两直线平行，内错角相等；；两直线平行，内错角相等；；两直线平行，同位角相等；角平分线的定义；
【分析】根据平行线的性质推导得到，然后根据角平分线得到，继而可得证明结论．
17．校体育队一名田径运动员以每秒的速度绕长方形体育馆进行跑步训练，抽象成如图1所示的数学模型，点H(运动员)按的路径匀速运动，跑到点 D 停止．已知，设点H的运动时间为．的面积 与时间的关系如图2所示．
（1）图2的两个变量中，自变量为 ，因变量为 ；
（2） ， ， ；
（3）当的面积为 时，求t的值．
【答案】（1）运动时间t，的面积S
（2），40，675
（3）或
【知识点】三角形的面积；动点问题的函数图象；一次函数的实际应用-行程问题；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：（1）图2的两个变量中，自变量为运动时间t，因变量为的面积S，
故答案为：运动时间t；的面积S；
（2）解：由图2得，当时，S随t的增大而增大，
∴当点H运动到点B时，，
∴，
当时，S的值不变，
∴当点H运动到点C时，，
∴，
∴，即，
当点H运动到点D处时，，
∴，
故答案为：，40，675；
（3）解：①当点H在上时，的面积，
当时，，
∴，
∴，
②当点H在上时，的面积，
当时，，
∴，
∴，
综上，点H的运动时间为或．
【分析】本题主要考查动点问题与函数图象的综合应用，核心是将图1中点的运动路径与图2中面积变化规律对应起来，利用三角形面积公式和路程、速度、时间的关系求解.解题的关键是理解：△HAD的面积由点H到AD的距离决定，当H在AB上时，高为AH，S随t增大而增大，对应图2中OA段；当H在BC上时，高恒为AB，面积不变，对应图2中水平段；当H在CD上时，高为DH，S随t增大而减小，对应图2中下降段.
第（1）问中，根据函数定义，t是自变量，S是因变量；第（2）问通过图象转折点求AB长度：当H运动到B时，S取最大值，此时AH=AB，由路程=速度×时间，可得AB=3×15=45；a是H运动到点D的时间，因为AB=CD，运动员是匀速的，所以在CD段所用时间也应该是15s，所以a=25+15=40；图2的b对应最大面积，即；第（3）问，面积为240时，H可能在AB上或CD上，分别用面积公式求出AH或DH=16，再结合速度和时间公式，求出对应的t值.
（1）解：图2的两个变量中，自变量为运动时间t，因变量为的面积S，
故答案为：运动时间t，的面积S；
（2）解：由图2得，当时，S随t的增大而增大，
∴当点H运动到点B时，，
∴，
当时，S的值不变，
∴当点H运动到点C时，，
∴，
∴，即，
当点H运动到点D处时，，
∴，
故答案为：，40，675；
（3）解：当点H在上时，的面积，
当时，，
∴，
∴，
当点H在上时，的面积，
当时，，
∴，
∴，
综上，点H的运动时间为或．
18．如图，在正方形网格中，，，，为网格中的格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中利用格点连线画图，画图结果用实线表示，按步骤完成下列问题：
（1）请画出关于直线的对称图形；
（2）请作出的中线；
（3）在直线上找出一点，使得．
【答案】（1）解：如图，即为所求；
（2）解：如图，线段即为所求；
（3） 解：如图，点即为所求．

【知识点】轴对称的性质；作图﹣轴对称；三角形的中线
【解析】【分析】（1）先利用轴对称的定义找出点A、B、C的对应点，再连接即可；
（2）利用中线的定义找出先BC的中点M，再连接AM即可；
（3）根据轴对称的性质和对顶角的性质作出点P即可.
（1）解：如图，即为所求；
（2）解：如图，线段即为所求；
（3）解：如图，点即为所求．
19．【综合实践】
折纸是一种将纸张折成各种不同形状的艺术活动，起源于中国，传到全世界．折纸与自然科学结合在一起，发展出了折纸几何学，成为了现代几何学的一个分支．在综合与实践课上，同学们以“长方形纸片的折叠”为主题展开探究活动．
【操作探究】
操作探究一 动手操作： 步骤1：如图1，将长方形纸片对折，使与重合，得到折痕，展平纸片； 步骤2：再沿着过点的直线折叠纸片，使点的对应点落在折痕上，展平纸片，得到的新折痕与边交于点，连接，，．
问题探究一： （1）试说明：； （2）若点，，在同一条直线上，连接，则的度数为______．
操作探究二 动手操作： 步骤1：如图2，将长方形纸片对折，使与重合，得到折痕，展平纸片； 步骤2：再沿着直线折叠纸片，点的对应点落在长方形纸片内，连接，，．
问题探究二： 判断与的位置关系，并说明理由．
【答案】解：问题探究一：（1）根据折叠可知：，，，
∴垂直平分，
∴，
∴；
（2）；
问题探究二：；
理由如下：如图所示：
根据折叠可知：，，，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
即，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【知识点】三角形外角的概念及性质；等腰三角形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；平行线的应用-证明问题
【解析】【解答】解：问题探究一：（2）长方形纸片中，，
根据折叠可知：，，
∵点D，E，F在同一条直线上，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
故答案为：.
【分析】问题探究一：（1）利用折叠的性质及垂直平分线的性质和等量代换可得；
（2）先利用折叠的性质可得，，再利用平行线的性质可得，再利用等边对等角的性质可得，最后利用角的运算求出即可；
问题探究二：先利用折叠的性质可得，，，，再利用线段的和差及等量代换可得，再利用等边对等角的性质可得，再利用角的运算和等量代换可得，最后证出即可．
20．在利用构造全等三角形来解决的问题中，有一种典型的利用倍延中线的方法．
【特例分析】例如：在中，，，点是边上的中点，怎样求的取值范围呢？我们可以延长到点，使，然后连接（如图①），这样，在和中，由于，，，接下来，在中通过的长可求出的取值范围．
（1）在图①中，中线的取值范围是______．
【拓展探究】
（2）应用上述方法，解决下面问题：
如图②，在中，点是边上的中点，点是边上的一点，作交边于点，连接，若，，请直接写出的取值范围．
【推广应用】
（3）如图③，在四边形中，，，点是中点，点在上，且满足，，连接、，请判断与的位置关系，并证明你的结论．
【答案】解：（1）；
（2）；
（3）；理由如下：
延长与的延长线交于点，如图所示：
点是中点，
，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
，，
，即：，
，
．
【知识点】三角形三边关系；三角形全等及其性质；三角形全等的判定-SAS；倍长中线构造全等模型
【解析】【解答】解：（1）延长到点，使，连接，如图所示：
点是边上的中点，
，
在和中，
，
，
，
在中，，
，即，
，
故答案为：；
（2）延长到点，使，连接、，如图所示：
点是边上的中点，
，
在和中，
，
，
，
，，
，
在中，，
，即，
.
【分析】（1） 延长到点，使，连接，先利用“SAS”证出，利用全等三角形的性质可得，再利用三角形三边的关系及中线的性质求出AD的范围即可；
（2） 延长到点，使，连接、， 先利用“SAS”证出，利用全等三角形的性质可得，再利用三角形三边的关系及中线的性质求出EF的范围即可；
（3） 延长与的延长线交于点， 先利用“ASA”证出，利用全等三角形的性质可得，，再利用线段的和差及等量代换求解即可.
1 / 1广东省深圳市龙岗区百合外国语学校2024-2025学年七年级下学期期末数学试卷
1．百万学子的理想学校清华大学、北京大学、浙江大学、上海交大的校徽中是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．在2025年蛇年春晚上，一群会跳舞、能抛手绢的人形机器人惊艳亮相，机器人的研发也成为当今时代科研的重点．中国科学院研发出新型的工业纳米机器人，其大小约为．已知，则用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
3．下列计算中，正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．成语作为中华优秀传统文化的精髓，既是历史馈赠的语言瑰宝，更是现代文化创新与国际传播的重要资源，下列成语所描述的事件，是必然事件的是（　　）
A．守株待兔 B．百步穿杨 C．水中捞月 D．水涨船高
5．在、、、、这些数中，无理数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．已知，用尺规作图的方法在上确定一点P，使，则符合要求的作图痕迹是（　　）
A． B．
C． D．
7．父亲节当天，学校“文苑”栏登出了某同学回忆父亲的小诗：“同辞家门赴车站，别时叮咛语千万，学子满载信心去，老父怀抱希望还．”如果用纵轴y表示父亲和学子在行进中离家的距离，横轴t表示离家的时间，下面与上述诗意大致相吻合的图像是( )
A． B．
C． D．
8．如图，已知，点D是的平分线上的一个定点，点E，F分别在射线和射线上，且．下列结论：①是等边三角形；②四边形的面积是一个定值；③当时，的周长最小；④当时，也平行于．其中正确的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．计算：已知，，则的值为　 　．
10．若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是　 　．
11．月日，新加坡立化中学到访我校，上午计划去八年级班随机观摩一节课，如表是当天上午的课表，如果每一个班级的每一节课被观摩的可能性是一样的，则恰好观摩到语文课的概率是　 　．
节次 班 班 班 班 班 班
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12．一副三角板按如图所示的方式摆放，，，，若，则的度数为　 　．
13．如图，在中，，，，且AE=AB，连接交的延长线于点，，则　 　．
14．计算：
（1）．
（2）．
（3）先化简，再求值：，其中，．
15．如图，在中，DM、EN分别垂直平分AC和BC交AB于M、N．
（1）若，求的周长；
（2）若，求的度数．
16．如图，在中，平分，过点D作交于点E，过点E作交于点F，则可推得平分，其推导过程和推理依据如下：
解：∵，（已知）
∴ ．（ ）
∵，（已知）
∴ ，（ ）
．（ ）
．（等量代换）
又∵平分（已知）
∴．（ ）
∴ ．（等量代换）
∴ 平分．（角平分线定义）
17．校体育队一名田径运动员以每秒的速度绕长方形体育馆进行跑步训练，抽象成如图1所示的数学模型，点H(运动员)按的路径匀速运动，跑到点 D 停止．已知，设点H的运动时间为．的面积 与时间的关系如图2所示．
（1）图2的两个变量中，自变量为 ，因变量为 ；
（2） ， ， ；
（3）当的面积为 时，求t的值．
18．如图，在正方形网格中，，，，为网格中的格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中利用格点连线画图，画图结果用实线表示，按步骤完成下列问题：
（1）请画出关于直线的对称图形；
（2）请作出的中线；
（3）在直线上找出一点，使得．
19．【综合实践】
折纸是一种将纸张折成各种不同形状的艺术活动，起源于中国，传到全世界．折纸与自然科学结合在一起，发展出了折纸几何学，成为了现代几何学的一个分支．在综合与实践课上，同学们以“长方形纸片的折叠”为主题展开探究活动．
【操作探究】
操作探究一 动手操作： 步骤1：如图1，将长方形纸片对折，使与重合，得到折痕，展平纸片； 步骤2：再沿着过点的直线折叠纸片，使点的对应点落在折痕上，展平纸片，得到的新折痕与边交于点，连接，，．
问题探究一： （1）试说明：； （2）若点，，在同一条直线上，连接，则的度数为______．
操作探究二 动手操作： 步骤1：如图2，将长方形纸片对折，使与重合，得到折痕，展平纸片； 步骤2：再沿着直线折叠纸片，点的对应点落在长方形纸片内，连接，，．
问题探究二： 判断与的位置关系，并说明理由．
20．在利用构造全等三角形来解决的问题中，有一种典型的利用倍延中线的方法．
【特例分析】例如：在中，，，点是边上的中点，怎样求的取值范围呢？我们可以延长到点，使，然后连接（如图①），这样，在和中，由于，，，接下来，在中通过的长可求出的取值范围．
（1）在图①中，中线的取值范围是______．
【拓展探究】
（2）应用上述方法，解决下面问题：
如图②，在中，点是边上的中点，点是边上的一点，作交边于点，连接，若，，请直接写出的取值范围．
【推广应用】
（3）如图③，在四边形中，，，点是中点，点在上，且满足，，连接、，请判断与的位置关系，并证明你的结论．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、C、D的图形均不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
B选项的图形中能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是成轴对称图形．
故答案为：B．
【分析】利用轴对称图形的定义（如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴）逐项分析判断即可.
2．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：，
，
故答案为：C．
【分析】本题主要考查科学记数法的表示方法，特别是较小数的科学记数法.科学记数法的形式为，其中1≤a<10，n为整数.解题时，先将70nm转换为以米为单位：因为，所以再将其改写为标准形式，因此答案为.解题技巧：进行科学记数法转换时，先确定原数的有效数字部分，再根据小数点移动的位数确定指数.对于小于1的数，指数为负；对于大于等于10的数，指数为正.注意最终结果必须满足1≤a<10，n为整数，且单位要保留.
3．【答案】B
【知识点】二次根式的加减法；二次根式的除法
【解析】【解答】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，故A错误；
B、，故B正确；
C、，故C错误；
D、2与，不是同类二次根式，不能合并，故D错误．
故答案为：B．
【分析】本题主要考查二次根式的加减法与乘除法运算，核心在于判断根式是否为同类二次根式以及正确运用运算法则.加减运算要求根式必须同类，即被开方数相同，只有同类二次根式才能合并系数，否则不能直接相加或相减.乘除运算则直接对被开方数进行乘除，再化简结果.
4．【答案】D
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：A、守株待兔，是随机事件，不符合题意；
B、百步穿杨，是随机事件，不符合题意；
C、水中捞月，是不可能事件，不符合题意；
D、水涨船高，是必然事件，符合题意；
故答案为：D．
【分析】利用必然事件的定义及特征（必然事件是指在一定的条件下，某些事件在每次试验中必然会发生）逐项分析判断即可.
5．【答案】C
【知识点】无理数的概念；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：因为，所以由无理数的定义可得，在、、、、这些数中，无理数有，、，共3个，
故答案为：C．
【分析】本题主要考查无理数的定义与识别.无理数是无限不循环小数，常见类型包括开方开不尽的数（如）、含有π的数（如π+3）、以及构造出的无限不循环小数，按照定义逐一判断.小技巧：先化简所有根式，再判断是否为无限不循环小数；分数、整数、有限小数、无限循环小数都是有理数，其余的为无理数.
6．【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：根据题意，，
由图可知，，
，
故符合要求的作图是作线段的垂直平分线，
由作图痕迹可知，只有B选项符合题意．
故选：B．
【分析】
要使PA+PB=BC，由图可知BC=PB+PC，所以需要PA=PC。根据线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。那么当点P在AC的垂直平分线上时，PA=PC。据此分析选项即可得出结论．
7．【答案】B
【知识点】用图象表示变量间的关系
【解析】【解答】解：“同辞家门赴车站”，父亲和学子的函数图象在一开始的时候应该一样，“别时叮咛语千万”，父亲和学子在说话的时间段距离不变；当学子离开车站出发，离家的距离越来越远，父亲离开车站回家，离家越来越近．
故答案为：B．
【分析】本题主要考查函数图象与实际情境的对应分析能力，核心在于理解横轴（离家时间）和纵轴（离家距离）的含义，并根据诗意描述的变化过程，判断图象的走势.首先，“同辞家门赶车站”意味着父亲和学子同时从家出发，因此初始阶段两人的图象应重合，距离随时间的增加而增大，表现为一条上升的线段；接着，“别时叮咛语千万”描述的是在车站分别前互相叮嘱，此时两人位置不变，离家距离保持不变，因此图象应出现一段水平线段；最后，“学子满载信心去”表示学子乘车离开车站，离家的距离继续增大，图象继续上升；“老父怀抱希望还”表示父亲返回家中，离家的距离逐渐减小，直至归零，图象应呈下降趋势.综合以上分析，只有选项B的图象符合：先同向上升，再水平停顿，然后学子上升、父亲下降.
8．【答案】C
【知识点】平行线的性质；角平分线的性质；等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：如图1，连接，作于，于，
∵点D是的平分线上的一个定点，
∴，
∴，
∴，即，
∵，，，
∴，
∴，
∴是等边三角形；①正确，故符合要求；
∵，
∴，
∵点D是的平分线上的一个定点，
∴四边形的面积是一个定值；②正确，故符合要求；
∵的周长为，
当时，最短，即等边的周长最小，③正确，故符合要求；
如图2，当时，
∴，
∴是等边三角形，
∵是等边三角形，
∴与重合，与交于点；④错误，故不符合要求；
故答案为：C
【分析】连接，作于，于，由角平分线的性质可得，根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，再根据等边三角形判定定理可得是等边三角形，进而可判断①的正误；根据全等三角形性质可得，进而可判断②的正误；由的周长为，可知当时，最短，的周长最小，进而可判断③的正误；如图2，当时，，则是等边三角形，则与重合，与交于点；进而可判断④的正误．
9．【答案】12
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【解答】∵，
，
∴=
故答案为：12．
【分析】利用同底数幂的乘法可得
，再将
，
代入计算即可。
10．【答案】
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】由得故填
【分析】考查二次根式有意义条件，由被开方数是非负数得不等式，会解不等式求解，易错点非负数的表示。
11．【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：由表可知，当天上午的课表中随机观摩一节课有种等可能结果，其中语文课有种结果，
∴恰好观摩到语文课的概率是，
故答案为：．
【分析】先求出所有符合条件的情况数，再利用概率公式求解即可.
12．【答案】
【知识点】三角形外角的概念及性质；对顶角及其性质；平行线的应用-求角度；平行线的应用-三角尺问题
【解析】【解答】解：如图所示
，，，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【分析】先利用平行线的性质和三角形外角的性质求出∠2的度数，再利用对顶角的性质求解即可.
13．【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；旋转全等模型
【解析】【解答】解：在CD上截取CG=CF，连接AG，
∵AC=CD，∠ACG=∠DCF=90°，
∴，
∴∠AGC=∠CFD，
设AC=CD=3x，则CF=CG=2x，GD=x，
∵∠EAB=∠EAF+∠CAB=∠CAB+∠B=90°，
∴∠EAF=∠B，
∴∠E=∠CFD-∠EAF=∠AGC-∠B=∠GAB，
又∵AE=AB，
∴，
∴AF=BG=5x，
∴BD=BG-GD=4x，
∴．
【分析】本题主要考查全等三角形的构造与判定、等腰直角三角形的性质以及线段比例的计算.解题的关键是通过“截长补短”的方法在CD上截取CG=CF，构造出△ACG≌△DCF，从而将分散的线段和角集中起来，为进一步证明三角形全等创造条件.根据已知，可将线段用字母表示出来，AC=CD=3x，CF=CG=2x，GD=x，接下来通过角的推导证明，得到BD=BG-GD=4x，即可得出.
14．【答案】（1）解：原式
；
（2）解：原式
.
（3）解：原式，
，
当，时，
原式．
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；负整数指数幂；二次根式的混合运算；利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】（1）先利用0指数幂、负整式指数幂和绝对值的性质化简，再计算即可；
（2）先利用平方差公式和完全平方公式展开，再计算即可；
（3）先利用整式的混合运算化简，再将x、y的值代入计算即可.
（1）解：原式
；
（2）原式
；
（3）原式，
，
当，时，
原式．
15．【答案】（1）解：DM、EN分别垂直平分AC和BC交AB于M、N．
，
的周长=MC+MN+CN=AM+MN+BM=AB，
∵AB=12cm，
的周长=12cm．
（2）解：，
，
，
，
，
，
=
=．
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【分析】（1）先利用垂直平分线的性质可得，再利用三角形的周长公式及等量代换求解即可；
（2）先利用等边对等角的性质可得，再利用角的运算和等量代换求出的度数即可.
（1）解：DM、EN分别垂直平分AC和BC交AB于M、N．
，
的周长=MC+MN+CN=AM+MN+BM=AB，
∵AB=12cm，
的周长=12cm．
（2）解：，
，
，
，
，
，
=
=．
16．【答案】；两直线平行，内错角相等；；两直线平行，内错角相等；；两直线平行，同位角相等；角平分线的定义；
【知识点】角平分线的概念；两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵，（已知）
∴（两直线平行，内错角相等）
∵，（已知）
∴（两直线平行，内错角相等）
（两直线平行，同位角相等）
．（等量代换）
又∵平分（已知）
∴．（角平分线的定义）
∴．（等量代换）
∴ 平分．（角平分线定义）
故答案为：；两直线平行，内错角相等；；两直线平行，内错角相等；；两直线平行，同位角相等；角平分线的定义；
【分析】根据平行线的性质推导得到，然后根据角平分线得到，继而可得证明结论．
17．【答案】（1）运动时间t，的面积S
（2），40，675
（3）或
【知识点】三角形的面积；动点问题的函数图象；一次函数的实际应用-行程问题；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：（1）图2的两个变量中，自变量为运动时间t，因变量为的面积S，
故答案为：运动时间t；的面积S；
（2）解：由图2得，当时，S随t的增大而增大，
∴当点H运动到点B时，，
∴，
当时，S的值不变，
∴当点H运动到点C时，，
∴，
∴，即，
当点H运动到点D处时，，
∴，
故答案为：，40，675；
（3）解：①当点H在上时，的面积，
当时，，
∴，
∴，
②当点H在上时，的面积，
当时，，
∴，
∴，
综上，点H的运动时间为或．
【分析】本题主要考查动点问题与函数图象的综合应用，核心是将图1中点的运动路径与图2中面积变化规律对应起来，利用三角形面积公式和路程、速度、时间的关系求解.解题的关键是理解：△HAD的面积由点H到AD的距离决定，当H在AB上时，高为AH，S随t增大而增大，对应图2中OA段；当H在BC上时，高恒为AB，面积不变，对应图2中水平段；当H在CD上时，高为DH，S随t增大而减小，对应图2中下降段.
第（1）问中，根据函数定义，t是自变量，S是因变量；第（2）问通过图象转折点求AB长度：当H运动到B时，S取最大值，此时AH=AB，由路程=速度×时间，可得AB=3×15=45；a是H运动到点D的时间，因为AB=CD，运动员是匀速的，所以在CD段所用时间也应该是15s，所以a=25+15=40；图2的b对应最大面积，即；第（3）问，面积为240时，H可能在AB上或CD上，分别用面积公式求出AH或DH=16，再结合速度和时间公式，求出对应的t值.
（1）解：图2的两个变量中，自变量为运动时间t，因变量为的面积S，
故答案为：运动时间t，的面积S；
（2）解：由图2得，当时，S随t的增大而增大，
∴当点H运动到点B时，，
∴，
当时，S的值不变，
∴当点H运动到点C时，，
∴，
∴，即，
当点H运动到点D处时，，
∴，
故答案为：，40，675；
（3）解：当点H在上时，的面积，
当时，，
∴，
∴，
当点H在上时，的面积，
当时，，
∴，
∴，
综上，点H的运动时间为或．
18．【答案】（1）解：如图，即为所求；
（2）解：如图，线段即为所求；
（3） 解：如图，点即为所求．

【知识点】轴对称的性质；作图﹣轴对称；三角形的中线
【解析】【分析】（1）先利用轴对称的定义找出点A、B、C的对应点，再连接即可；
（2）利用中线的定义找出先BC的中点M，再连接AM即可；
（3）根据轴对称的性质和对顶角的性质作出点P即可.
（1）解：如图，即为所求；
（2）解：如图，线段即为所求；
（3）解：如图，点即为所求．
19．【答案】解：问题探究一：（1）根据折叠可知：，，，
∴垂直平分，
∴，
∴；
（2）；
问题探究二：；
理由如下：如图所示：
根据折叠可知：，，，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
即，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【知识点】三角形外角的概念及性质；等腰三角形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；平行线的应用-证明问题
【解析】【解答】解：问题探究一：（2）长方形纸片中，，
根据折叠可知：，，
∵点D，E，F在同一条直线上，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
故答案为：.
【分析】问题探究一：（1）利用折叠的性质及垂直平分线的性质和等量代换可得；
（2）先利用折叠的性质可得，，再利用平行线的性质可得，再利用等边对等角的性质可得，最后利用角的运算求出即可；
问题探究二：先利用折叠的性质可得，，，，再利用线段的和差及等量代换可得，再利用等边对等角的性质可得，再利用角的运算和等量代换可得，最后证出即可．
20．【答案】解：（1）；
（2）；
（3）；理由如下：
延长与的延长线交于点，如图所示：
点是中点，
，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
，，
，即：，
，
．
【知识点】三角形三边关系；三角形全等及其性质；三角形全等的判定-SAS；倍长中线构造全等模型
【解析】【解答】解：（1）延长到点，使，连接，如图所示：
点是边上的中点，
，
在和中，
，
，
，
在中，，
，即，
，
故答案为：；
（2）延长到点，使，连接、，如图所示：
点是边上的中点，
，
在和中，
，
，
，
，，
，
在中，，
，即，
.
【分析】（1） 延长到点，使，连接，先利用“SAS”证出，利用全等三角形的性质可得，再利用三角形三边的关系及中线的性质求出AD的范围即可；
（2） 延长到点，使，连接、， 先利用“SAS”证出，利用全等三角形的性质可得，再利用三角形三边的关系及中线的性质求出EF的范围即可；
（3） 延长与的延长线交于点， 先利用“ASA”证出，利用全等三角形的性质可得，，再利用线段的和差及等量代换求解即可.
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