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5　实验:用单摆测量重力加速度
课时作业
(分值:60分)
1.(4分)(2025·湖北宜昌期中)某同学做用单摆测量重力加速度的实验,为减小实验误差,多次改变摆长L,测量对应的单摆周期T,用多组实验数据绘制T2L图像如图所示。由图可知,当地重力加速度大小为(　　)
[A]g= [B]g=
[C]g= [D]g=
2.(8分)如图甲,在“用单摆测量重力加速度”的实验中:
(1)摆球自然悬垂的情况下,用毫米刻度尺(如图乙)测量出从悬点到摆球的最底端的长度L=0.884 0 m,再用游标卡尺(如图丙)测量出摆球直径D=　　　　 　m,则单摆摆长l=　　　　　m。测周期时,当摆球经过平衡位置时开始计时并计为第1次,测得第N次(约30～50次)经过该位置的时间为t,则周期为　　　　　　。
(2)如果测得的g值偏小,可能的原因是　　　。(多选)
A.测摆线长时摆线拉得过紧
B.摆线上端悬点未固定,振动中出现松动,使摆线长度增加
C.开始计时时,停表过早按下
18.6 mm=0.018 6 m,单摆的摆长为l=L-=0.884 0 m- m=0.874 7 m,单摆的周期为T==。
(2)根据单摆的周期公式T=2π,得g=。若测摆线长时摆线拉得过紧,则l的测量值偏大,使g的计算结果偏大,故A错误;若摆线上端悬点未固定,振动中出现松动,使实际运动中摆线长度增加,则测量的单摆周期偏大,由此可知g的计算结果偏小,故B正确;开始计时时,停表过早按下,测量的周期偏大,可知g的计算结果偏小,故C正确。
3.(8分)(2025·吉林通化期末)如图甲所示,用单摆测重力加速度,为避免摆球晃动,采用图甲所示装置,两悬绳长都是l,与水平固定横杆夹角均为53°,取sin 53°=0.8。
(1)用螺旋测微器测小球的直径如图乙所示,其值d=　　　　mm,使小球做简谐运动,用秒表记录了单摆n次全振动所用的时间为t,则当地重力加速度的表达式g=　　　　(用题中字母及π来表示)。
(2)若测得的重力加速度数值大于当地的重力加速度的实际值,造成这一情况的原因可能是　　　　。
A.将悬线长加球直径当成摆长
B.由于两边悬线没夹紧,球越摆越低
C.测量周期时,误将n次全振动的时间当成n-1次的时间
D.摆球的质量过大
(3)若保持悬线与水平横杆夹角53°不变,通过改变悬线长,使小球做简谐运动,测得了多组悬线长l和对应的周期T,用图像法处理数据,并用这些数据作出T2l图像为一直线,其斜率为k,由此可以得出当地的重力加速度g=　　　　(用含斜率k的代数式表示)。
4.(8分)(2025·山东潍坊期中)某实验小组用如图甲所示的单摆装置测量当地的重力加速度,进行了如下操作:
①测出悬点O到水平地面的距离H=124.00 cm;
②打开光源,测出小球静止时在竖直墙面上的投影中心到地面的高度h0=25.80 cm;
③将细线从竖直方向拉开较小角度后释放,打开手机的连拍功能,将连拍间隔设为0.1 s,记录小球在不同时刻投影中心的位置并测出其离地面的高度h;
④将测出的高度和对应的时刻输入计算机,得到小球球心的离地高度h随时间t变化的图像如图乙所示。
请回答下列问题:
(1)单摆的摆长l=　　　　cm。
(2)单摆的周期T=　　　　s。
(3)当地的重力加速度大小g=　　　　m/s2(取π2=10,结果保留3位有效数字)。
9.82 m/s2。
5.(8分)(2025·河南信阳阶段检测)某同学进行“单摆周期与重力加速度定量关系的实验研究”,在伽利略用斜面“淡化重力”思想的启发下,创设了“重力加速度”可以人为调节的实验环境。如图甲所示,在水平地面上固定一倾角θ可调的光滑斜面,把摆线一端固定于斜面上的O点,使摆线平行于斜面。小角度拉开摆球至A点,由静止释放后,摆球在ABC之间做简谐运动。某次实验中,该同学通过力传感器(图中未画出)测得摆线的拉力F随时间 t变化的关系如图乙所示,其中T0已知,当地的重力加速度大小为g,摆球质量为m。
(1)实验中测得摆球的运动周期T为　　　　(用T0表示)。
(2)如图甲所示,若摆球在A点的摆角为α,则摆球在A点的回复力是　　　　。
A.mgsin θ B.mgsin α
C.mgsin θsin α D.mgsin θcos α
(3)该同学多次调节斜面的倾角θ,测出相应的摆球周期T,并以T2为纵坐标,以　　　 (选填“sin θ”或“”)为横坐标,绘制的图像是一条直线,则可以求得重力加速度g的大小。
6.(12分)(2025·河南新乡阶段练习)小明做“用单摆测量重力加速度”的实验。
(1)如图甲所示,细线的上端固定在铁架台上,下端系一个小钢球(小球上安装有挡光片,光电门安装在小球平衡位置),做成一个单摆;图乙、丙分别画出了细线上端的两种不同的悬挂方式,你认为应选用图　　　　(选填“乙”或“丙”)的悬挂方式。
(2)使小球在竖直平面内做小角度摆动,当光电门第一次被遮挡时计数器计数为0并同时开始计时,以后光电门被遮挡一次计数增加1。若计数器计数为N时,单摆运动时间为t,则该单摆的周期 T=　　　　。
(3)改变线长L,重复上述步骤,记录所测的数据,并作出LT2图像如图丁所示。
(4)测得当地的重力加速度g=　　　　 m/s2(结果保留3位有效数字)。
7.(12分)将一单摆装置竖直悬挂于某一深度为h(未知)且开口向下的小筒中(单摆的下半部分露于筒外),如图甲所示,将悬线拉离平衡位置一个小角度后由静止释放,设单摆摆动过程中悬线不会碰到筒壁。如果本实验的长度测量工具只能测量出筒的下端口到摆球球心的距离L,并通过改变L而测出对应的摆动周期T,再以T2为纵轴、L为横轴作出函数关系图像,那么就可以通过此图像得出小筒的深度h和当地的重力加速度g。
(1)测量单摆的周期时,某同学在摆球某次通过最低点时按下停表开始计时,同时数“1”,当摆球第二次通过最低点时数“2”,依此法往下数,当他数到“59”时,按下停表停止计时,读出这段时间t,则该单摆的周期为　　　。(填字母)
A. B.
C. D.
(2)如果实验中所得到的T2L关系图线如图乙所示,那么真正的图线应该是　　　　(选填“a”“b”或“c”)。
(3)由图线可知,小筒的深度h=　　　　m,当地的重力加速度g=　　　　m/s2(结果保留3位有效数字,π取3.14)。 3　简谐运动的回复力和能量
课时作业
(分值:60分)
考点一　简谐运动的判断及回复力
1.(4分)(2025·海南检测)如图所示,一正方体木块静止漂浮在开阔且平静的湖面上,小明同学先用力将其下压一段深度后(木块未全部浸没),撤掉外力,木块在水面上下做简谐运动,则(　　)
[A]木块的重力为简谐运动的回复力
[B]撤掉外力时,木块的位置即为振动的平衡位置
[C]撤掉外力时,木块浸没的深度即为振幅大小
[D]若减小开始时木块下压的深度,木块振动的周期不变
2.(4分)如图所示,A、B两物体组成弹簧振子,在振动过程中,物体A、B始终保持相对静止,下列四幅图中能正确反映振动过程中物体A所受摩擦力Ff与振子相对平衡位置位移x关系的图像为(　　)
[A] [B] [C] [D]
3.(6分)(多选)如图所示是某一质点做简谐运动的图像,下列说法正确的是(　　)
[A]在第1 s内,质点速度逐渐增大
[B]在第2 s内,质点速度逐渐增大
[C]在第3 s内,动能转化为势能
[D]在第4 s内,动能转化为势能
4.(14分)(2025·安徽合肥阶段练习)如图所示为一款“玩具弹簧小人”,由头部、弹簧及底部组成,头部质量为m,弹簧质量不计,劲度系数为k,底部质量为,开始时弹簧小人静止于桌面上,现轻压头部后由静止释放,弹簧小人上下振动不停。已知当弹簧形变量为x时,其弹性势能 Ep=kx2,不计一切摩擦和空气阻力,重力加速度为g,弹簧始终在弹性限度内。
(1)若使弹簧小人在振动过程中底部始终不离开桌面,则轻压头部释放时弹簧的压缩量需满足什么条件
(2)若轻压头部释放时弹簧的压缩量为,则弹簧小人在运动过程中头部的最大速度是多大
5.(4分)(2025·黑龙江哈尔滨阶段练习)如图甲所示,悬挂在竖直方向上的弹簧振子,在C、D两点之间做简谐运动,O点为平衡位置。振子到达D点时开始计时,以竖直向上为正方向,一个周期内的振动图像如图乙所示,下列说法正确的是(　　)
[A]振子在C、D两点时速度和位移均为0
[B]振子通过O点时速度方向发生改变
[C]t=0.3 s时,振子的速度方向向下
[D]t=0.5 s到t=1.5 s的时间内,振子的加速度先增大后减小
6.(6分)(多选)(2025·云南昆明阶段练习)如图所示,将一轻弹簧与小圆桶连接在一起,弹簧左端固定在墙上,保持弹簧水平且整个装置放在光滑的水平面上,小圆桶刚好静止在O点。用手缓慢拉动小圆桶到达B点,松开手后小圆桶一直在AB之间振动,若小圆桶运动到A处时将一小物体放到小圆桶内,小物体和小圆桶无相对运动而一起运动,下列说法正确的是(　　)
[A]振幅变小 [B]周期变大
[C]最大速度不变 [D]最大速度减小
7.(4分)(2025·山西大同期末)如图所示,水平面上一小车以2 m/s的速度向右做匀速运动,小车的上表面光滑且水平,A、B为固定在小车两侧的挡板,滑块与挡板A、B分别用两根相同的轻质弹簧连接,小车匀速运动时,滑块相对小车静止,滑块可视为质点,两弹簧恰好处于原长。已知滑块的质量为m=2 kg,弹簧劲度系数为k=1.0×104 N/m,某时刻小车与右侧一障碍物发生碰撞立即停下并被锁定,弹簧弹性势能为Ep=kx2,x为弹簧形变量,关于此后滑块的运动,下列说法正确的是(　　)
[A]滑块做简谐运动的振幅为2 cm
[B]滑块做简谐运动的周期小于8×10-2s
[C]滑块做简谐运动的最大加速度为20 m/s2
[D]滑块做简谐运动的半个周期内,两弹簧对滑块的冲量的矢量和一定为0
8.(4分)(2025·重庆沙坪坝阶段练习)质量为m的钢板与直立轻弹簧的上端连接,弹簧下端固定在地面上。平衡时,弹簧的压缩量为x0,如图所示,一物块从钢板正上方距离为3x0的A处自由落下,落在钢板上并立刻与钢板一起向下运动,但不粘连。它们到达最低点后又向上运动。已知物块质量也为m,弹簧的弹性势能Ep=kx2,弹簧振子做简谐运动的周期T=2π,M为弹簧振子的质量,重力加速度为g,下列说法正确的是(　　)
[A]物块与钢板碰撞后一起下落的初速度是
[B]碰后物块与钢板一起做简谐运动,振幅A=3x0
[C]碰撞刚结束至两者第一次运动到最低点所经历的时间t=
[D]运动过程中弹簧的最大弹性势能Epmax=6mgx0
9.(14分)(2025·山东日照期中)如图所示,在倾角θ=37°的光滑斜面顶端固定一轻弹簧,弹簧下端连接着小球甲,小球甲与小球乙通过轻绳连接。已知小球甲的质量m甲=200 g,小球乙的质量m乙=400 g,静止时弹簧的伸长量x=18 cm(未超出弹性限度)。现剪断甲、乙之间的轻绳,则甲沿斜面做简谐运动。重力加速度g取10 m/s2,取sin 37°=0.6,cos 37°=0.8,求:
(1)小球甲做简谐运动的振幅A;
(2)小球甲运动过程中的最大加速度a;
(3)小球甲运动过程中弹簧的最大压缩量Δx。1　简谐运动
课时作业
(分值:60分)
考点一　弹簧振子
1.(4分)(2025·甘肃天水期末)弹簧振子的运动属于(　　)
[A]匀变速直线运动
[B]匀速直线运动
[C]匀速圆周运动
[D]变速运动
【答案】 D
【解析】 弹簧振子在运动过程中,当经过平衡位置时合力为0,但在其他位置合力不为0,且离平衡位置越远合力越大,物体向平衡位置运动时速度增大,说明物体速度和加速度都时刻改变,属于变速运动。故D正确。
2.(4分)(2025·河南阶段练习)如图所示,甲质点在x1轴上做简谐运动,O1为其平衡位置,A1、B1为其所能到达的最远处。乙质点沿x2轴从A2点开始做初速度为零的匀加速直线运动。已知A1O1=A2O2,甲、乙两质点分别经过O1、O2时速率相等,设甲质点从A1运动到O1的时间为t1,乙质点从A2运动到O2的时间为t2,则下列式子正确的是(　　)
[A]t1t2
[C]t1=t2 [D]t1=2t2
【答案】 A
【解析】 由于甲、乙两质点分别经过O1、O2时速率相等,且A1O1=A2O2,而质点甲做加速度逐渐减小的加速运动,质点乙做匀加速运动,则甲、乙分别运动到O1、O2的vt图像如图所示,可得t13.(6分)(多选)(2025·湖南娄底阶段练习)轻质弹簧的下端悬挂一个钢球,上端固定,它们组成了一个振动系统,称为竖直弹簧振子,如图甲所示。用手把钢球向上托起一段距离,然后释放,钢球便上下振动。如图乙所示的照片是通过频闪照相得到的,频闪仪每隔0.05 s闪光一次,闪光的瞬间振子被照亮,从而得到闪光时钢球的位置,相邻两个位置之间的时间相隔为0.05 s。拍摄时底片从左往右匀速运动,因此在底片上留下了钢球的一系列的像。下列说法正确的是(　　)
[A]钢球托起前的位置就是振子的平衡位置
[B]释放钢球的初始位置就是振子的平衡位置
[C]忽略空气阻力,以地面为参考系可以将钢球的运动看作是简谐运动
[D]忽略空气阻力,以底片为参考系可以将钢球的运动看作是简谐运动
【答案】 AC
【解析】 钢球的平衡位置是弹力和重力相平衡的位置,也就是钢球托起前所处的位置,钢球在初始位置释放时,合力竖直向下,此位置不是平衡位置,选项A正确,B错误;忽略空气阻力,以地面为参考系,钢球在竖直方向上的运动是简谐运动;而以底片为参考系时,钢球还参与水平方向的匀速直线运动,则钢球的运动不是简谐运动,选项C正确,D错误。
考点二　简谐运动及振动图像
4. (4分)(2025·天津静海期中)一个弹簧振子在A、B间做简谐运动,O点为振子的平衡位置,如图所示。规定向右为正方向,当振子向左运动经过O点时开始计时,则下列选项中画出的振动图像正确的是(　　)
[A]　　 [B]
[C]　 　 [D]
【答案】 B
【解析】 由于规定向右为正方向,当振子向左运动经过O点时开始计时,即位移由O向负方向增大,故B正确。
5.(6分)(多选)(2025·新疆伊犁阶段练习)如图甲所示,弹簧振子以点O为平衡位置,在A、B两点之间做简谐运动。取向右为正方向,振子的位移x随时间t的变化如图乙所示,下列说法正确的是(　　)
[A]t=0.8 s时,振子的速度方向向左
[B]t=0.2 s时振子正在做加速度增大的减速运动
[C]t=0.4 s和t=1.2 s时,振子的加速度完全相同
[D]t=0.4 s到t=0.8 s的时间内,振子的速度逐渐减小
【答案】 AB
【解析】 从振子的位移—时间图像可以看出,在0～0.4 s,振子由平衡位置向右运动,t=0.4 s时到达B点,0.4～0.8 s由B点运动到O点,t=0.8 s时,振子速度方向向左,故A正确。0～0.2 s,振子从平衡位置向右侧最大位移处运动,离平衡位置越远,则加速度越大,振子做的是加速度增大的减速运动,故B正确。t=0.4 s时,振子处在正向最大位移处,加速度向左,t=1.2 s时,振子处在负向最大位移处,加速度向右,两个位置加速度大小相等,但方向相反,故C错误。在0.4～0.8 s的时间内,振子从正向最大位移处向平衡位置运动,振子速度逐渐增大,故D错误。
6.(4分)(2025·陕西延安阶段练习)如图,为某鱼漂的示意图。当鱼漂静止时,水位恰好在O点。用手将鱼漂往下按,使水位处于M点。松手后,鱼漂会在M、N之间来回移动,其运动类同于弹簧振子。下列说法正确的是(　　)
[A]水位由O点到N点过程,鱼漂的位移向下最大
[B]水位在O点时,鱼漂的速度最大
[C]水位到达M点时,鱼漂具有向下的加速度
[D]鱼漂由上往下运动时,速度越来越大
【答案】 B
【解析】 水位由O点到N点过程鱼漂向上运动,位移方向向上且达到最大,故A错误;水位在O点时鱼漂经过平衡位置,所以水位在O点时鱼漂的速度最大,故B正确;水位处于M点时,鱼漂具有向上的加速度,故C错误;鱼漂由上往下运动时,当水位在O点上方时加速度向上,水位在O点下方时加速度向下,即可能加速也可能减速,故D错误。
7.(10分)如图所示,简谐运动的图像上有a、b、c、d、e、f六个点,其中:
(1)与a点位移相同的点有哪些
(2)与a点速度相同的点有哪些
(3)b点离开平衡位置的最大距离是多少
【答案】 (1)b、e、f　(2)d、e　(3)2 cm
【解析】 (1)位移是矢量,位移相同意味着位移的大小和方向都要相同,可知与a点位移相同的点有b、e、f。
(2)速度也是矢量,速度相同要求速度的大小和方向都要相同,可知与a点速度相同的点有d、e。
(3)b点离开平衡位置的最大距离即为振动物体最大位移的大小。由题图知最大距离为2 cm。
8.(6分)(多选)(2025·辽宁沈阳阶段练习)如图所示的弹簧振子,O点为它的平衡位置,关于振子的运动,下列说法正确的是(　　)
[A]振子从A点运动到C点时,在C点的位移大小为OC,方向向右
[B]振子从A点运动到C点的过程中,速度在增大,加速度在减小
[C]振子从C点运动到A点时,在A点的位移大小为CA,方向向右
[D]振子从A点运动到O点的过程中,速度先增大后减小,加速度先减小后增大
【答案】 AB
【解析】 振子从A点运动到C点时,其位移是以O点为起点,C点为终点,故位移大小为OC,方向向右;振子从C点运动到A点时位移大小为OA,方向向右,故A正确,C错误。振子的合力为弹簧的弹力,振子从A点运动到C点的过程中弹力在减小,加速度在减小,速度在增大;振子从C点运动到O点的过程中,弹力在减小,加速度在减小,速度在增大,所以振子从A点运动到O点的过程中,速度增大,加速度减小,故B正确,D错误。
9.(4分)(2025·江苏南通阶段练习)如图甲所示,一只小鸟站在树枝上与树枝一起上下振动,小鸟振动的v-t图像如图乙所示,速度向下为正。下列说法正确的是(　　)
[A]t=0时刻小鸟的速度方向向上
[B]t1时刻树枝对小鸟弹力最大
[C]t2时刻小鸟的加速度最大
[D]t3时刻小鸟处在最低点
【答案】 C
【解析】 根据题图乙可知,t=0时刻速度为正,由于速度向下为正方向,所以小鸟的速度方向向下,故A错误;t1时刻小鸟的速度最大,此时小鸟受力平衡,即所受弹力等于重力,此后小鸟向下做减速运动,树枝对其弹力逐渐增大,故t1时刻,树枝对其弹力未达到最大,故B错误;t2时刻小鸟的速度为0,这一瞬间停止了向下的运动,即将向上运动,此时树枝弹力最大,小鸟的加速度方向向上,且达到最大值,故C正确;t3时刻小鸟向上运动达到最大速度后向上做减速运动,故此时小鸟在平衡位置处,不是最低点,故D错误。
10.(12分)(2025·山东泰安期中)如图所示,在倾角为θ=30° 的固定光滑斜面上,C为一固定挡板,轻质弹簧的一端连接物体A,另一端固定在挡板上。物体B在A上方斜面的某处。用力控制A、B保持静止,且使弹簧处于自然状态,现同时释放物体A、B,物体A完成一次全振动,经过的时间为T,此时B和A恰好相碰且粘为一体。物体A的质量为m,物体B的质量为2m。弹簧始终在弹性限度内,劲度系数为k,弹簧弹性势能表达式Ep=kx2,重力加速度为g。
(1)求释放前物体A、B间的距离L;
(2)求B和A粘为一体后的最大速度;
(3)若B和A到达物体A释放位置上方x0处时其速度恰好为零,运动过程中物体A、B整体离开平衡位置的最大距离是多少
【答案】 (1)　(2) (3)+x0
【解析】 (1)由题意可知,当物体A处于平衡位置时受力平衡,有kx1=mgsin 30°,
解得此时弹簧的压缩量为x1=,
物体A完成一次全振动时,又回到了最初释放的位置。物体B在这段时间内沿着斜面向下做匀加速直线运动,则有
mBgsin 30°=mBaB,
得aB=gsin 30°=,由匀变速直线运动的位移—时间关系可得
L=aBT2=。
(2)由匀变速直线运动的速度—时间关系可得,物体B下滑到刚与物体A接触时的速度为
vB=aBT=,
物体A、B发生碰撞,根据动量守恒定律有
2mvB=3mv,v=vB=,
物体A、B粘为一体,此时的平衡位置满足
kx2=3mgsin 30°,
解得x2=,
当A、B整体到达平衡位置时速度最大。从A、B粘为一体到平衡位置,根据动能定理有
3mgx2sin 30°-W弹=·3m-·3mv2,
其中W弹=k=,
化简可得,最大速度为
vmax=。
(3)由于释放物体A时弹簧处于自然状态,A、B碰撞后其整体速度最大时弹簧压缩量为x2,而整体振动过程中到达初始物体A释放位置上方x0处速度恰好为零,可知A、B整体在2(x2+x0)范围内做简谐运动,即离开平衡位置的最大距离为+x0。6　受迫振动　共振
课时作业
(分值:70分)
考点一　阻尼振动和受迫振动
1.(4分)(2025·江苏徐州阶段检测)下列说法正确的是(　　)
[A]阻尼振动可能是简谐运动
[B]弹簧振子的振动周期与弹簧振子的振幅有关
[C]当驱动力的频率等于固有频率时,物体会发生共振现象
[D]受迫振动的振幅由驱动力的大小决定,与系统的固有频率无关
【答案】 C
【解析】 阻尼振动是振幅不断减小的振动,所以阻尼振动中机械能也不断减小,阻尼振动一定不是简谐运动,故A错误;弹簧振子的周期由其本身性质决定,与弹簧振子的振幅无关,故B错误;当驱动力的频率等于固有频率时,物体振动的振幅最大,会发生共振现象,故C正确;做受迫振动的物体的频率等于驱动力的频率,当驱动力的频率等于物体的固有频率时,物体的振幅最大,发生共振,故D错误。
2.(4分)(2025·安徽合肥阶段练习)如图所示为某同学研究单摆做阻尼振动的位移—时间图像,P、N是图像上的两个点。下列说法正确的是(　　)
[A]摆球在P点时做减速运动
[B]摆球在N点时位置正在升高
[C]摆球在P点时的动能和在N点时的动能相同
[D]摆球在P点时的机械能大于在N点时的机械能
【答案】 D
【解析】 由题图可知,摆球在P点时正在衡位置,速度在增大,即摆球在P点时做加速运动,故A错误;摆球在N点时也在衡位置,高度在降低,即摆球在N点时位置在降低,故B错误;由于单摆做阻尼振动,可知摆球需克服阻力做功,由动能定理可知摆球在P点时的动能大于在N点时的动能,故C错误;由于两摆球在P、N两点时处于相同高度,则重力势能相等,而在P点时的动能大于在N点时的动能,所以摆球在P点时的机械能大于在N点时的机械能,故D正确。
3.(6分)(多选)(2025·河北石家庄期中)图中是儿童游乐园里常见的一种弹簧小马,若前后小幅摆动时其水平分运动可视为简谐运动。下列说法正确的是(　　)
[A]关于平衡位置对称的两点的水平分速度一定大小相等,方向相反
[B]关于平衡位置对称的两点的水平分加速度一定大小相等,方向相反
[C]当有儿童通过摇动使其振动时,其振动的周期与摇动周期一定相等
[D]儿童摇动越快,小马的振幅越大
【答案】 BC
【解析】 简谐运动对称点的速度等大,但方向可能相同也可能相反,故A错误;对称点的加速度等大且都指向平衡位置,故方向相反,故B正确;当有儿童摇动时整体做受迫振动,其频率等于摇动频率,故C正确;当儿童摇动的频率越接近小马固有频率时,振幅才越大,故D
错误。
4.(10分)(2025·河南郑州期中)某物理学习小组制作了一个实验装置,如图所示,在曲轴A上悬挂一个弹簧振子,如果转动把手,曲轴可以带动弹簧振子上下振动。
(1)开始时不转动把手,用手往下拉振子,然后放手让振子上下振动,测得振子在20 s内完成50次全振动,其固有周期和固有频率各是多少
(2)若某同学以转速5 r/s匀速转动把手,振子的振动稳定后,其周期和频率各是多少
【答案】 (1)0.4 s　2.5 Hz　(2)0.2 s　5 Hz
【解析】 (1)用手往下拉振子,放手后振子做简谐运动,其周期和频率是由它本身的性质决定的,即为固有周期T固和固有频率f固,则T固= s=0.4 s,f固== Hz=2.5 Hz。
(2)当把手转速为5 r/s时,即转动频率f=5 Hz,则弹簧振子的驱动力频率和周期分别为
f驱=5 Hz,T驱== s=0.2 s,
振子做受迫振动,可知振动达到稳定状态后的振动频率和周期分别为f=f驱=5 Hz,T==0.2 s。
考点二　共振现象与应用和防止
5.(4分)(2024·吉林延边一模)如图所示为某次地震造成高度约为30 m的大楼发生严重倾斜的情境。若钢混结构建筑物的固有频率与其高度的二次方成正比,其比例系数为0.1,则地震引起的地面振动的频率最可能是(　　)
[A]10 Hz [B]30 Hz
[C]40 Hz [D]90 Hz
【答案】 D
【解析】 根据题意有f固=0.1h2=0.1×302 Hz=90 Hz,若建筑物发生严重倾斜,则驱动力的频率等于其固有频率。选项D正确。
6.(6分)(多选)(2025·湖南长沙阶段练习)小孩在果园里,摇动细高的果树的树干,想把果子摇下来。下列说法正确的是(　　)
[A]小孩用相同的频率摇不同的树干,树干的振动频率一定不同
[B]小孩用相同的频率摇不同的树干,树干的振动频率一定相同
[C]对同一棵树,小孩摇动的频率增大,树干振动的频率一定增大
[D]对同一棵树,小孩摇动的频率减小,树干振动的频率一定增大
【答案】 BC
【解析】 小孩在果园里摇动树干,则树干做受迫振动,树干的振动频率取决于驱动力频率即摇动树干的频率,因此树干振动的频率与小孩摇动树干的频率相同,则可知小孩用相同的频率摇不同的树干,树干的振动频率一定相同,对同一棵树,摇动频率增大(或减小),树干的振动频率增大(或减小),故A、D错误,B、C正确。
7.(4分)(2025·福建南平阶段检测)如图所示是用来测量各种发动机转速的转速计原理图。在同一铁支架MN上焊有固有频率依次为100 Hz、90 Hz、80 Hz、70 Hz的不同长度的四个钢片a、b、c、d,将M端与正在转动的电动机接触,发现b钢片振幅很大,其余钢片振幅很小,则(　　)
[A]钢片a的振动频率约为90 Hz
[B]钢片b受到的驱动力最大
[C]钢片c的振幅最小
[D]电动机的转速为70 r/s
【答案】 A
【解析】 因b钢片振幅很大,其余钢片振幅很小,可知b钢片与电动机发生共振,即电动机的转动频率接近90 Hz,其他钢片在电动机带动下做受迫振动,振动频率也接近90 Hz,且驱动力都一样大,选项A正确,B错误;因钢片d的固有频率最远离驱动力的频率,则振幅最小,选项C错误;电动机的转速与钢片b振动频率相等,则n=f=90 r/s,选项D错误。
8.(8分)(2025·云南大理期中)减振器是加速车架与车身振动的衰减以改善汽车行驶舒适性的汽配元件,在大多数汽车的悬架系统内部都装有减振器。汽车的重力一般支撑在固定于轴承上的若干弹簧上,弹簧套在减振器上,两者同时起到改善作用。为了研究方便,我们把两者简化成一个等效劲度系数为k=1.5×105 N/m的“弹簧”。汽车开始运动时,在振幅较小的情况下,其上下自由振动的频率满足f=(l为弹簧的压缩长度),若人体看成一个弹性体,其固有频率约为2 Hz,已知汽车的质量为600 kg,每个人的质量为70 kg,则这辆车乘坐几个人时,人会感觉到最不舒服 (g取 9.8 m/s2,提示:当汽车的振动频率与人的固有频率相等时,人体与之发生共振,人感觉最不舒服)
【答案】 5人
【解析】 人体固有频率为2 Hz,当汽车的振动频率与其相等时,人体与之发生共振,人感觉最不舒服,根据f=,有≈f固,
代入数据解得l=0.062 1 m,
根据胡克定律有kl=(m车+nm人)g,
解得n=5,
即这辆车乘坐5个人时,人会感觉最不舒服。
9.(6分)(多选)(2025·河北保定阶段练习)如图所示,将一根牙签搁在玻璃杯甲(空杯)的杯口处,另一只同样的玻璃杯乙(空杯)靠近甲但不接触。用手指蘸水在乙的杯口旋转摩擦,甲杯上的牙签掉入甲杯中。已知玻璃杯甲和玻璃杯乙的固有频率为260 Hz,下列说法正确的是(　　)
[A]若手指摩擦乙杯的频率为50 Hz,则此时玻璃杯乙振动的频率为50 Hz
[B]若在甲杯(或乙杯)中注入一定量的水,则其固有频率不变
[C]玻璃杯乙振动的频率为260 Hz时,玻璃杯甲会发生共振现象
[D]手指摩擦乙杯的频率越大,玻璃杯乙振动的振幅越大
【答案】 AC
【解析】 玻璃杯乙做受迫振动,振动频率等于驱动力频率,所以若手指摩擦乙杯的频率为50 Hz,则此时玻璃杯乙的振动的频率为50 Hz,故A正确;若在甲杯(或乙杯)中注入一定量的水,其固有频率会发生变化,故B错误;玻璃杯乙的振动会通过空气传到甲杯,若玻璃杯乙振动的频率为260 Hz,即振动频率等于玻璃杯甲的固有频率,玻璃杯甲会发生共振现象,故C正确;手指摩擦乙杯的频率越接近玻璃杯乙的固有频率,玻璃杯乙振动的振幅越大,故D错误。
10.(4分)(2025·浙江绍兴期末)调谐质量阻尼器(简称TMD)的调整质量块通过弹簧和阻尼器与主结构相连接,如图所示。当主结构发生振动时会导致TMD产生相对主结构的振动,满足一定条件的情况下,TMD的振动又会反作用到主结构上,会抑制主结构的振动。关于TMD,下列说法正确的是(　　)
[A]TMD的振动可能不是简谐运动
[B]TMD的振动幅度不受主结构振动的影响
[C]TMD的振动幅度与质量块的质量无关
[D]调整质量块的质量,TMD随主结构振动的频率也会发生改变
【答案】 A
【解析】 当主结构发生振动时使TMD做受迫振动,不一定是简谐运动,故A正确;TMD的固有频率跟它的质量有关,做受迫振动的物体,其振动频率等于驱动力频率,若驱动力的频率跟固有频率相同时振幅最大,所以TMD的振动幅度与质量块的质量有关,又TMD的振动幅度受主结构振动的影响,故B、C错误;调整质量块的质量,TMD固有频率改变,但TMD做受迫振动,它的振动频率等于驱动力频率,与固有频率无关,故D错误。
11.(14分)(2025·河南开封阶段练习)如图,为一单摆的共振曲线(重力加速度g取9.8 m/s2,取π=3.14)。
(1)该单摆的摆长约为多少 (结果保留1位有效数字)
(2)共振时摆球的回复力产生的最大加速度的大小约为多少 (结果保留1位有效数字)
(3)若单摆的摆长变短,共振曲线的峰将怎样移动
【答案】 (1)1 m　(2)0.8 m/s2　(3)右移
【解析】 (1)由题图可知,当驱动力频率为0.5 Hz时,单摆振幅最大,即发生了共振,可知单摆固有频率为0.5 Hz,固有周期为T==2 s,根据单摆周期公式T=2π,
解得单摆的摆长l== m=1 m。
(2)单摆发生共振,当摆球摆到最高点时,回复力最大,回复力产生的加速度最大。摆球在最高点时,设摆线与竖直方向夹角为θ,单摆所受回复力F=mgsin θ,
由牛顿第二定律有F=ma,
得a=gsin θ,
由于单摆的最大摆角较小,则sin θ≈==0.08,
所以a=gsin θ=0.8 m/s2。
(3)由单摆的周期公式可知,若单摆的摆长变短,则单摆固有周期变小即固有频率变大,所以共振曲线的峰将右移。2　简谐运动的描述
课时作业
(分值:60分)
考点一　描述简谐运动的物理量
1.(4分)(2025·上海奉贤阶段练习)关于机械振动的周期、频率和振幅,下列说法正确的是(　　)
[A]振幅是矢量,方向是从平衡位置指向最大位移处
[B]周期和频率的乘积可以变化
[C]振幅增大,周期也必然增大,而频率减小
[D]做简谐运动的物体其周期和频率是一定的,与振幅无关
2.(4分)弹簧振子在AOB之间做简谐运动,如图所示,O为平衡位置,测得AB间距为8 cm,完成30次全振动所用时间为60 s。则(　　)
[A]振动周期是2 s,振幅是8 cm
[B]振动频率是2 Hz
[C]振子完成一次全振动通过的路程是16 cm
[D]振子过O点时开始计时,t=0.25 s时的位移大小为2 cm
3.(4分)(2025·四川泸州阶段检测)如图所示,水平地面上倾角θ=30°的固定斜面底端有一挡板,轻弹簧一端与挡板相连,另一端系着质量m=1 kg的物块P,物块P通过轻绳绕过定滑轮系着质量M=2 kg的小球Q。开始时两物体均处于静止状态,若剪断连接P、Q的轻绳,物块P将做简谐运动。已知轻弹簧的劲度系数 k=100 N/m,细绳与斜面平行,一切摩擦和空气阻力均不计,重力加速度g取10 m/s2。则物块P做简谐运动的振幅为(　　)
[A]0.25 m [B]0.20 m
[C]0.15 m [D]0.05 m
4.(6分)(多选)质点a、b的振动图像分别如图中实线和虚线所示,下列说法正确的是(　　)
[A]质点a、b振动的振幅均为20 cm
[B]质点a、b振动的频率之比为1∶2
[C]质点a、b振动的周期之比为2∶1
[D]质点a、b在0.2 s内运动的路程之比为2∶1
5.(6分)(多选)(2025·山西晋中阶段检测)一质点做简谐运动,其相对于平衡位置的位移x与时间t的关系图线如图所示,由图可知(　　)
[A]该简谐运动的周期是2.5×10-2 s,振幅是 cm
[B]该简谐运动的表达式为x=sin(100πt+) cm
[C]该简谐运动的表达式为x=sin(100πt-) cm
[D]t=0.25×10-2 s时质点的位移为-1.2 cm
6.(4分)(2025·江苏徐州阶段练习)P、Q两个质点做简谐运动的振动图像如图所示,下列说法正确的是(　　)
[A]P、Q的振动步调一致
[B]P、Q的初相位不同
[C]P、Q在0～1.2 s内经过的路程之比是1∶1
[D]t=0.45 s时刻,P、Q的位移大小之比是4∶5
7.(6分)(多选)(2025·江西南昌期中)一个弹簧振子做简谐运动,O为平衡位置,当它经过平衡位置O时开始计时,经过0.5 s,第一次到达点M,再经过0.2 s第二次到达点M,则弹簧振子的周期可能为(　　)
[A]0.6 s [B]0.8 s
[C]2.0 s [D]2.4 s
0.6 s,解得周期T=2.4 s;如图乙所示,若振子一开始从平衡位置向另外一侧运动,到达最远点后反向运动到达O点右侧M点用时0.5 s,从M向右运动到C点时间为0.1 s,则有T′=0.6 s,即T′=0.8 s,故B、D正确。
8.(6分)如图所示为A、B两个弹簧振子的振动图像(实线为A的振动图像,虚线为B的振动图像),试写出它们的位移表达式,并求出相位差Δφ。
9. (4分)(2025·广西贵港阶段练习)如图所示,竖直悬挂的弹簧振子向下振动过程中依次通过相距L的B、C两点(图中未画出)。已知振子在B点的位移大小等于振幅,在C点位移大小是在B点的,振子经过B点时开始计时,t时刻第二次经过C点,该振动的振幅和周期可能是(　　)
[A](2-)L,t [B](2-)L,t
[C](2+)L,t [D](2+)L,8t
10.(6分)(多选)一振子沿x轴做简谐运动,平衡位置在坐标原点。t=0时振子的位移为-0.1 m,t=1 s时位移为0.1 m,则(　　)
[A]若振幅为0.1 m,振子的周期可能为 s
[B]若振幅为0.1 m,振子的周期可能为 s
[C]若振幅为0.2 m,振子的周期可能为4 s
[D]若振幅为0.2 m,振子的周期可能为6 s
11.(10分)(2025·宁夏石嘴山阶段练习)有一弹簧振子在B、C之间做简谐运动,已知B、C间的距离为20 cm,振子在2 s内完成了10次全振动。若从某时刻振子经过平衡位置时开始计时(t=0),经过周期振子有负向最大位移。
(1)在图中作出该振子的位移—时间图像;
(2)写出振子的振动方程。5　实验:用单摆测量重力加速度
课时作业
(分值:60分)
1.(4分)(2025·湖北宜昌期中)某同学做用单摆测量重力加速度的实验,为减小实验误差,多次改变摆长L,测量对应的单摆周期T,用多组实验数据绘制T2L图像如图所示。由图可知,当地重力加速度大小为(　　)
[A]g= [B]g=
[C]g= [D]g=
【答案】 B
【解析】 由题图可知,用多组实验数据绘制T2-L图像的斜率为k=,而根据单摆周期公式T=2π,有T2=L,则=,变形得重力加速度大小为g=,故B正确。
2.(8分)如图甲,在“用单摆测量重力加速度”的实验中:
(1)摆球自然悬垂的情况下,用毫米刻度尺(如图乙)测量出从悬点到摆球的最底端的长度L=0.884 0 m,再用游标卡尺(如图丙)测量出摆球直径D=　　　　 　m,则单摆摆长l=　　　　　m。测周期时,当摆球经过平衡位置时开始计时并计为第1次,测得第N次(约30～50次)经过该位置的时间为t,则周期为　　　　　　。
(2)如果测得的g值偏小,可能的原因是　　　。(多选)
A.测摆线长时摆线拉得过紧
B.摆线上端悬点未固定,振动中出现松动,使摆线长度增加
C.开始计时时,停表过早按下
【答案】 (1)0.018 6　0.874 7　　(2)BC
【解析】 (1)游标卡尺的分度值为0.1 mm,则对应的读数为D=18 mm+6×0.1 mm=
18.6 mm=0.018 6 m,单摆的摆长为l=L-=0.884 0 m- m=0.874 7 m,单摆的周期为T==。
(2)根据单摆的周期公式T=2π,得g=。若测摆线长时摆线拉得过紧,则l的测量值偏大,使g的计算结果偏大,故A错误;若摆线上端悬点未固定,振动中出现松动,使实际运动中摆线长度增加,则测量的单摆周期偏大,由此可知g的计算结果偏小,故B正确;开始计时时,停表过早按下,测量的周期偏大,可知g的计算结果偏小,故C正确。
3.(8分)(2025·吉林通化期末)如图甲所示,用单摆测重力加速度,为避免摆球晃动,采用图甲所示装置,两悬绳长都是l,与水平固定横杆夹角均为53°,取sin 53°=0.8。
(1)用螺旋测微器测小球的直径如图乙所示,其值d=　　　　mm,使小球做简谐运动,用秒表记录了单摆n次全振动所用的时间为t,则当地重力加速度的表达式g=　　　　(用题中字母及π来表示)。
(2)若测得的重力加速度数值大于当地的重力加速度的实际值,造成这一情况的原因可能是　　　　。
A.将悬线长加球直径当成摆长
B.由于两边悬线没夹紧,球越摆越低
C.测量周期时,误将n次全振动的时间当成n-1次的时间
D.摆球的质量过大
(3)若保持悬线与水平横杆夹角53°不变,通过改变悬线长,使小球做简谐运动,测得了多组悬线长l和对应的周期T,用图像法处理数据,并用这些数据作出T2l图像为一直线,其斜率为k,由此可以得出当地的重力加速度g=　　　　(用含斜率k的代数式表示)。
【答案】 (1)20.034　　(2)A　(3)
【解析】 (1)小球的直径d=20 mm+3.4×0.01 mm=20.034 mm,单摆振动周期T=,摆长L=lsin 53°+,根据公式T=2π,解得g=。
(2)将悬线长加球直径当成摆长,导致单摆的实际摆长偏大,则重力加速度的测量值偏大,故A正确;小球变低会导致摆长增大,测量周期变大,但仍按照之前的摆长进行计算,从而导致g测量值偏小,故B错误;误将n次全振动的时间当成n-1次全振动,导致周期偏大,得到的g偏小,故C错误;摆球质量的大小与周期T无关,因此质量不影响g的大小,故D错误。
(3)根据周期T=,又T=2π,L=lsin 53°+,联立得T2=l+,即k=,则g=。
4.(8分)(2025·山东潍坊期中)某实验小组用如图甲所示的单摆装置测量当地的重力加速度,进行了如下操作:
①测出悬点O到水平地面的距离H=124.00 cm;
②打开光源,测出小球静止时在竖直墙面上的投影中心到地面的高度h0=25.80 cm;
③将细线从竖直方向拉开较小角度后释放,打开手机的连拍功能,将连拍间隔设为0.1 s,记录小球在不同时刻投影中心的位置并测出其离地面的高度h;
④将测出的高度和对应的时刻输入计算机,得到小球球心的离地高度h随时间t变化的图像如图乙所示。
请回答下列问题:
(1)单摆的摆长l=　　　　cm。
(2)单摆的周期T=　　　　s。
(3)当地的重力加速度大小g=　　　　m/s2(取π2=10,结果保留3位有效数字)。
【答案】 (1)98.20　(2)2.0　(3)9.82
【解析】 (1)单摆的摆长为l=H-h0=124.00 cm-25.80 cm=98.20 cm。
(2)由题图乙可知,小球相邻两次处于最低点的时间间隔为1.0 s,则单摆的周期为T=2.0 s。
(3)根据单摆的周期公式T=2π,整理得g=,代入数值解得g= m/s2=
9.82 m/s2。
5.(8分)(2025·河南信阳阶段检测)某同学进行“单摆周期与重力加速度定量关系的实验研究”,在伽利略用斜面“淡化重力”思想的启发下,创设了“重力加速度”可以人为调节的实验环境。如图甲所示,在水平地面上固定一倾角θ可调的光滑斜面,把摆线一端固定于斜面上的O点,使摆线平行于斜面。小角度拉开摆球至A点,由静止释放后,摆球在ABC之间做简谐运动。某次实验中,该同学通过力传感器(图中未画出)测得摆线的拉力F随时间 t变化的关系如图乙所示,其中T0已知,当地的重力加速度大小为g,摆球质量为m。
(1)实验中测得摆球的运动周期T为　　　　(用T0表示)。
(2)如图甲所示,若摆球在A点的摆角为α,则摆球在A点的回复力是　　　　。
A.mgsin θ B.mgsin α
C.mgsin θsin α D.mgsin θcos α
(3)该同学多次调节斜面的倾角θ,测出相应的摆球周期T,并以T2为纵坐标,以　　　 (选填“sin θ”或“”)为横坐标,绘制的图像是一条直线,则可以求得重力加速度g的大小。
【答案】 (1)2T0　(2)C　(3)
【解析】 (1)摆球经过最高点时,拉力最小,经过最低点时,拉力最大,由题图乙可知,相邻两次经过最低点(或最高点)的时间为T0,可知摆球的运动周期为T=2T0。
(2)由于摆球在斜面内摆动,所以在A点的回复力为小球所受重力沿斜面向下的分量沿A点切线方向的分力,所以F=mgsin θsin α,故C正确。
(3)根据单摆周期公式有T=2π,而g等=gsin θ,解得T2=4π2=·,所以以T2为纵坐标,以为横坐标,绘制的图像是一条直线,若测出该直线斜率为k,可求得g=。
6.(12分)(2025·河南新乡阶段练习)小明做“用单摆测量重力加速度”的实验。
(1)如图甲所示,细线的上端固定在铁架台上,下端系一个小钢球(小球上安装有挡光片,光电门安装在小球平衡位置),做成一个单摆;图乙、丙分别画出了细线上端的两种不同的悬挂方式,你认为应选用图　　　　(选填“乙”或“丙”)的悬挂方式。
(2)使小球在竖直平面内做小角度摆动,当光电门第一次被遮挡时计数器计数为0并同时开始计时,以后光电门被遮挡一次计数增加1。若计数器计数为N时,单摆运动时间为t,则该单摆的周期 T=　　　　。
(3)改变线长L,重复上述步骤,记录所测的数据,并作出LT2图像如图丁所示。
(4)测得当地的重力加速度g=　　　　 m/s2(结果保留3位有效数字)。
【答案】 (1)丙　(2)　(4)9.68
【解析】 (1)题图乙中当单摆摆动时摆长会发生变化,因此应选用题图丙的悬挂方式。
(2)由题意可知t=N,解得T=。
(4)根据单摆的周期公式有T=2π,可得L=T2-,其图线斜率为k== m/s2=
m/s2,则g=9.68 m/s2。
7.(12分)将一单摆装置竖直悬挂于某一深度为h(未知)且开口向下的小筒中(单摆的下半部分露于筒外),如图甲所示,将悬线拉离平衡位置一个小角度后由静止释放,设单摆摆动过程中悬线不会碰到筒壁。如果本实验的长度测量工具只能测量出筒的下端口到摆球球心的距离L,并通过改变L而测出对应的摆动周期T,再以T2为纵轴、L为横轴作出函数关系图像,那么就可以通过此图像得出小筒的深度h和当地的重力加速度g。
(1)测量单摆的周期时,某同学在摆球某次通过最低点时按下停表开始计时,同时数“1”,当摆球第二次通过最低点时数“2”,依此法往下数,当他数到“59”时,按下停表停止计时,读出这段时间t,则该单摆的周期为　　　。(填字母)
A. B.
C. D.
(2)如果实验中所得到的T2L关系图线如图乙所示,那么真正的图线应该是　　　　(选填“a”“b”或“c”)。
(3)由图线可知,小筒的深度h=　　　　m,当地的重力加速度g=　　　　m/s2(结果保留3位有效数字,π取3.14)。
【答案】 (1)A　(2)a　(3)0.3　9.86
【解析】 (1)从“1”数到“59”时经历了29次全振动,该单摆的周期为,选项A正确。
(2)摆线在筒内部分的长度为h,由T=2π可得T2=L+h,可知T2L关系图线为a。
(3)将T2=0,L=-30 cm代入T2=L+h可得h=30 cm=0.3 m;将T2=1.20 s2,L=0代入T2=L+h可得g=π2 m/s2≈9.86 m/s2。3　简谐运动的回复力和能量
课时作业
(分值:60分)
考点一　简谐运动的判断及回复力
1.(4分)(2025·海南检测)如图所示,一正方体木块静止漂浮在开阔且平静的湖面上,小明同学先用力将其下压一段深度后(木块未全部浸没),撤掉外力,木块在水面上下做简谐运动,则(　　)
[A]木块的重力为简谐运动的回复力
[B]撤掉外力时,木块的位置即为振动的平衡位置
[C]撤掉外力时,木块浸没的深度即为振幅大小
[D]若减小开始时木块下压的深度,木块振动的周期不变
【答案】 D
【解析】 简谐运动中,沿振动方向的合力即为回复力,故木块的回复力是浮力和重力的合力,故A错误;简谐运动的平衡位置是其回复力为0的位置,故木块的平衡位置应是重力与浮力大小相等的位置,即初始时木块静止的位置,故B错误;简谐运动的振幅是指物体偏离平衡位置的最大位移的大小,故撤掉外力时木块浸没的深度与初始时木块浸没的深度之差才是振幅,故C错误;简谐运动的周期与振幅无关,其大小由振动系统决定,故D正确。
2.(4分)如图所示,A、B两物体组成弹簧振子,在振动过程中,物体A、B始终保持相对静止,下列四幅图中能正确反映振动过程中物体A所受摩擦力Ff与振子相对平衡位置位移x关系的图像为(　　)
[A] [B] [C] [D]
【答案】 B
【解析】 设弹簧的劲度系数为k,振子距平衡位置的位移为x时系统的加速度为a,根据牛顿第二定律有kx=-(mA+mB)a,所以当位移为x时,整体的加速度a=-,隔离对物体A分析,则摩擦力Ff=mAa=-kx,B正确。
考点二　简谐运动的能量
3.(6分)(多选)如图所示是某一质点做简谐运动的图像,下列说法正确的是(　　)
[A]在第1 s内,质点速度逐渐增大
[B]在第2 s内,质点速度逐渐增大
[C]在第3 s内,动能转化为势能
[D]在第4 s内,动能转化为势能
【答案】 BC
【解析】 在第1 s内,质点由平衡位置向正向最大位移处运动,速度逐渐减小,所以选项A错误;在第 2 s 内,质点由正向最大位移处向平衡位置运动,速度逐渐增大,所以选项B正确;在第3 s内,质点由平衡位置向负向最大位移处运动,动能转化为势能,所以选项C正确;在第4 s内,质点由负向最大位移处向平衡位置运动,势能转化为动能,所以选项D错误。
4.(14分)(2025·安徽合肥阶段练习)如图所示为一款“玩具弹簧小人”,由头部、弹簧及底部组成,头部质量为m,弹簧质量不计,劲度系数为k,底部质量为,开始时弹簧小人静止于桌面上,现轻压头部后由静止释放,弹簧小人上下振动不停。已知当弹簧形变量为x时,其弹性势能 Ep=kx2,不计一切摩擦和空气阻力,重力加速度为g,弹簧始终在弹性限度内。
(1)若使弹簧小人在振动过程中底部始终不离开桌面,则轻压头部释放时弹簧的压缩量需满足什么条件
(2)若轻压头部释放时弹簧的压缩量为,则弹簧小人在运动过程中头部的最大速度是多大
【答案】 (1)x≤　(2)g
【解析】 (1)设轻压头部释放弹簧的压缩量为x0时,弹簧小人在振动过程中底部恰好不离开桌面,则刚释放时,对弹簧小人头部有
kx0-mg=ma,
根据简谐运动的对称性,可知弹簧小人头部在最高点时的加速度大小也为a,方向竖直向下,设此时弹簧弹力为F,有F+mg=ma,
根据平衡条件,此时对底部有F=mg,
联立解得x0=,
则轻压头部释放时弹簧的压缩量需满足
x≤。
(2)刚释放时弹簧的形变量为x1=,
弹簧振子在平衡位置时的速度最大,此时弹簧压缩量为x2=,根据能量守恒定律有
k-k=mg(x1-x2)+m,
解得vmax=g。
考点三　简谐运动中各物理量的变化
5.(4分)(2025·黑龙江哈尔滨阶段练习)如图甲所示,悬挂在竖直方向上的弹簧振子,在C、D两点之间做简谐运动,O点为平衡位置。振子到达D点时开始计时,以竖直向上为正方向,一个周期内的振动图像如图乙所示,下列说法正确的是(　　)
[A]振子在C、D两点时速度和位移均为0
[B]振子通过O点时速度方向发生改变
[C]t=0.3 s时,振子的速度方向向下
[D]t=0.5 s到t=1.5 s的时间内,振子的加速度先增大后减小
【答案】 D
【解析】 弹簧振子在C、D两点之间做简谐运动,所以振子在C、D两点时速度为0,位移大小为振幅的大小,故A错误。由于位移—时间图像的斜率的正负代表速度的方向,振子通过O点时,图线斜率的正负不变,即速度方向不变;在t=0.3 s时,振子的速度方向向上,故B、C错误。由题图乙可知,在0.5～1.5 s的时间内,振子的正向位移先增大后减小,根据F=-kx,结合牛顿第二定律可知,振子的加速度先增大后减小,D正确。
6.(6分)(多选)(2025·云南昆明阶段练习)如图所示,将一轻弹簧与小圆桶连接在一起,弹簧左端固定在墙上,保持弹簧水平且整个装置放在光滑的水平面上,小圆桶刚好静止在O点。用手缓慢拉动小圆桶到达B点,松开手后小圆桶一直在AB之间振动,若小圆桶运动到A处时将一小物体放到小圆桶内,小物体和小圆桶无相对运动而一起运动,下列说法正确的是(　　)
[A]振幅变小 [B]周期变大
[C]最大速度不变 [D]最大速度减小
【答案】 BD
【解析】 小圆桶在A处时运动速度为0,放上小物体时不会改变机械能,也不会改变平衡位置,振动的振幅不变,但小物体和小圆桶一起运动过程中,在同一位置的速度都会减小,可知其周期变大,故A、C错误,B、D正确。
7.(4分)(2025·山西大同期末)如图所示,水平面上一小车以2 m/s的速度向右做匀速运动,小车的上表面光滑且水平,A、B为固定在小车两侧的挡板,滑块与挡板A、B分别用两根相同的轻质弹簧连接,小车匀速运动时,滑块相对小车静止,滑块可视为质点,两弹簧恰好处于原长。已知滑块的质量为m=2 kg,弹簧劲度系数为k=1.0×104 N/m,某时刻小车与右侧一障碍物发生碰撞立即停下并被锁定,弹簧弹性势能为Ep=kx2,x为弹簧形变量,关于此后滑块的运动,下列说法正确的是(　　)
[A]滑块做简谐运动的振幅为2 cm
[B]滑块做简谐运动的周期小于8×10-2s
[C]滑块做简谐运动的最大加速度为20 m/s2
[D]滑块做简谐运动的半个周期内,两弹簧对滑块的冲量的矢量和一定为0
【答案】 B
【解析】 小车停止后滑块做简谐运动,滑块运动到最大位移的过程中,根据机械能守恒,有(2k)A2=mv2,代入数值解得其振幅为2 cm,故A错误;若滑块的运动视为匀变速运动,则A=×,解得T=8×10-2s,由于简谐运动中从平衡位置向位移最大位置运动时加速度越来越大,根据vt图像中图线面积表示位移可知,滑块做简谐运动的周期小于8×10-2s,故B正确;在最大位移处,根据牛顿第二定律有2kA=ma,其最大加速度为a=200 m/s2,故C错误;滑块经过半个周期,由于初始位置不确定,初、末速度不一定相等,即动量变化不一定为0,故两弹簧对滑块冲量的矢量和不一定为0,故D错误。
8.(4分)(2025·重庆沙坪坝阶段练习)质量为m的钢板与直立轻弹簧的上端连接,弹簧下端固定在地面上。平衡时,弹簧的压缩量为x0,如图所示,一物块从钢板正上方距离为3x0的A处自由落下,落在钢板上并立刻与钢板一起向下运动,但不粘连。它们到达最低点后又向上运动。已知物块质量也为m,弹簧的弹性势能Ep=kx2,弹簧振子做简谐运动的周期T=2π,M为弹簧振子的质量,重力加速度为g,下列说法正确的是(　　)
[A]物块与钢板碰撞后一起下落的初速度是
[B]碰后物块与钢板一起做简谐运动,振幅A=3x0
[C]碰撞刚结束至两者第一次运动到最低点所经历的时间t=
[D]运动过程中弹簧的最大弹性势能Epmax=6mgx0
【答案】 C
【解析】 对物块,根据动能定理有mg×3x0=m,解得v0=,设物块与钢板碰撞后一起开始向下运动的速度为v1,因碰撞时间极短,则满足动量守恒,取v0方向为正方向,有mv0=2mv1,解得v1==,故A错误;碰后到最低点,根据能量守恒定律有k+×2m+2mg(x1-x0)=
k,根据平衡条件有kx0=mg,解得x1=4x0,物块与钢板受力平衡时有2mg=kx2,解得x2=2x0,所以振幅为A=x1-x2=2x0,故B错误;碰撞刚结束至两者第一次运动到平衡位置时间为t1,利用其逆过程,则t1时间内物块与钢板整体的位移为A-x0,则有Asin t1=A-x0,解得t1=,继续运动到最低点所经历的时间为t2,则t2=,即总时间t=t1+t2==×2π=,故C正确;当物块与钢板运动到最低点时,弹簧的弹性势能最大,其大小为Epmax=k=8k=8mgx0,故D错误。
9.(14分)(2025·山东日照期中)如图所示,在倾角θ=37°的光滑斜面顶端固定一轻弹簧,弹簧下端连接着小球甲,小球甲与小球乙通过轻绳连接。已知小球甲的质量m甲=200 g,小球乙的质量m乙=400 g,静止时弹簧的伸长量x=18 cm(未超出弹性限度)。现剪断甲、乙之间的轻绳,则甲沿斜面做简谐运动。重力加速度g取10 m/s2,取sin 37°=0.6,cos 37°=0.8,求:
(1)小球甲做简谐运动的振幅A;
(2)小球甲运动过程中的最大加速度a;
(3)小球甲运动过程中弹簧的最大压缩量Δx。
【答案】 (1)12 cm　(2)12 m/s2　(3)6 cm
【解析】 (1)当小球甲静止时,有
kx=(m甲+m乙)gsin θ,
剪断轻绳后,小球甲经过平衡位置时,有
kx′=m甲gsin θ,
联立解得x′=6 cm,
则小球甲做简谐运动的振幅
A=x-x′=12 cm。
(2)根据简谐运动的特点,剪断轻绳瞬间小球甲具有最大加速度,根据牛顿第二定律有
a==12 m/s2。
(3)根据简谐运动的对称性,可知当小球甲运动到斜面最高点时,弹簧具有最大压缩量,且
kΔx+m甲gsin θ=m甲a,
代入数值解得Δx=6 cm。6　受迫振动　共振
课时作业
(分值:70分)
考点一　阻尼振动和受迫振动
1.(4分)(2025·江苏徐州阶段检测)下列说法正确的是(　　)
[A]阻尼振动可能是简谐运动
[B]弹簧振子的振动周期与弹簧振子的振幅有关
[C]当驱动力的频率等于固有频率时,物体会发生共振现象
[D]受迫振动的振幅由驱动力的大小决定,与系统的固有频率无关
2.(4分)(2025·安徽合肥阶段练习)如图所示为某同学研究单摆做阻尼振动的位移—时间图像,P、N是图像上的两个点。下列说法正确的是(　　)
[A]摆球在P点时做减速运动
[B]摆球在N点时位置正在升高
[C]摆球在P点时的动能和在N点时的动能相同
[D]摆球在P点时的机械能大于在N点时的机械能
3.(6分)(多选)(2025·河北石家庄期中)图中是儿童游乐园里常见的一种弹簧小马,若前后小幅摆动时其水平分运动可视为简谐运动。下列说法正确的是(　　)
[A]关于平衡位置对称的两点的水平分速度一定大小相等,方向相反
[B]关于平衡位置对称的两点的水平分加速度一定大小相等,方向相反
[C]当有儿童通过摇动使其振动时,其振动的周期与摇动周期一定相等
[D]儿童摇动越快,小马的振幅越大
4.(10分)(2025·河南郑州期中)某物理学习小组制作了一个实验装置,如图所示,在曲轴A上悬挂一个弹簧振子,如果转动把手,曲轴可以带动弹簧振子上下振动。
(1)开始时不转动把手,用手往下拉振子,然后放手让振子上下振动,测得振子在20 s内完成50次全振动,其固有周期和固有频率各是多少
(2)若某同学以转速5 r/s匀速转动把手,振子的振动稳定后,其周期和频率各是多少
5.(4分)(2024·吉林延边一模)如图所示为某次地震造成高度约为30 m的大楼发生严重倾斜的情境。若钢混结构建筑物的固有频率与其高度的二次方成正比,其比例系数为0.1,则地震引起的地面振动的频率最可能是(　　)
[A]10 Hz [B]30 Hz
[C]40 Hz [D]90 Hz
6.(6分)(多选)(2025·湖南长沙阶段练习)小孩在果园里,摇动细高的果树的树干,想把果子摇下来。下列说法正确的是(　　)
[A]小孩用相同的频率摇不同的树干,树干的振动频率一定不同
[B]小孩用相同的频率摇不同的树干,树干的振动频率一定相同
[C]对同一棵树,小孩摇动的频率增大,树干振动的频率一定增大
[D]对同一棵树,小孩摇动的频率减小,树干振动的频率一定增大
7.(4分)(2025·福建南平阶段检测)如图所示是用来测量各种发动机转速的转速计原理图。在同一铁支架MN上焊有固有频率依次为100 Hz、90 Hz、80 Hz、70 Hz的不同长度的四个钢片a、b、c、d,将M端与正在转动的电动机接触,发现b钢片振幅很大,其余钢片振幅很小,则(　　)
[A]钢片a的振动频率约为90 Hz
[B]钢片b受到的驱动力最大
[C]钢片c的振幅最小
[D]电动机的转速为70 r/s
8.(8分)(2025·云南大理期中)减振器是加速车架与车身振动的衰减以改善汽车行驶舒适性的汽配元件,在大多数汽车的悬架系统内部都装有减振器。汽车的重力一般支撑在固定于轴承上的若干弹簧上,弹簧套在减振器上,两者同时起到改善作用。为了研究方便,我们把两者简化成一个等效劲度系数为k=1.5×105 N/m的“弹簧”。汽车开始运动时,在振幅较小的情况下,其上下自由振动的频率满足f=(l为弹簧的压缩长度),若人体看成一个弹性体,其固有频率约为2 Hz,已知汽车的质量为600 kg,每个人的质量为70 kg,则这辆车乘坐几个人时,人会感觉到最不舒服 (g取 9.8 m/s2,提示:当汽车的振动频率与人的固有频率相等时,人体与之发生共振,人感觉最不舒服)
9.(6分)(多选)(2025·河北保定阶段练习)如图所示,将一根牙签搁在玻璃杯甲(空杯)的杯口处,另一只同样的玻璃杯乙(空杯)靠近甲但不接触。用手指蘸水在乙的杯口旋转摩擦,甲杯上的牙签掉入甲杯中。已知玻璃杯甲和玻璃杯乙的固有频率为260 Hz,下列说法正确的是(　　)
[A]若手指摩擦乙杯的频率为50 Hz,则此时玻璃杯乙振动的频率为50 Hz
[B]若在甲杯(或乙杯)中注入一定量的水,则其固有频率不变
[C]玻璃杯乙振动的频率为260 Hz时,玻璃杯甲会发生共振现象
[D]手指摩擦乙杯的频率越大,玻璃杯乙振动的振幅越大
10.(4分)(2025·浙江绍兴期末)调谐质量阻尼器(简称TMD)的调整质量块通过弹簧和阻尼器与主结构相连接,如图所示。当主结构发生振动时会导致TMD产生相对主结构的振动,满足一定条件的情况下,TMD的振动又会反作用到主结构上,会抑制主结构的振动。关于TMD,下列说法正确的是(　　)
[A]TMD的振动可能不是简谐运动
[B]TMD的振动幅度不受主结构振动的影响
[C]TMD的振动幅度与质量块的质量无关
[D]调整质量块的质量,TMD随主结构振动的频率也会发生改变
11.(14分)(2025·河南开封阶段练习)如图,为一单摆的共振曲线(重力加速度g取9.8 m/s2,取π=3.14)。
(1)该单摆的摆长约为多少 (结果保留1位有效数字)
(2)共振时摆球的回复力产生的最大加速度的大小约为多少 (结果保留1位有效数字)
(3)若单摆的摆长变短,共振曲线的峰将怎样移动 2　简谐运动的描述
课时作业
(分值:60分)
考点一　描述简谐运动的物理量
1.(4分)(2025·上海奉贤阶段练习)关于机械振动的周期、频率和振幅,下列说法正确的是(　　)
[A]振幅是矢量,方向是从平衡位置指向最大位移处
[B]周期和频率的乘积可以变化
[C]振幅增大,周期也必然增大,而频率减小
[D]做简谐运动的物体其周期和频率是一定的,与振幅无关
【答案】 D
【解析】 振幅是标量,故A错误;由于周期与频率互成倒数,其乘积为1而保持不变,故B错误;做简谐运动的物体其周期和频率是一定的,与振幅无关,故C错误,D正确。
2.(4分)弹簧振子在AOB之间做简谐运动,如图所示,O为平衡位置,测得AB间距为8 cm,完成30次全振动所用时间为60 s。则(　　)
[A]振动周期是2 s,振幅是8 cm
[B]振动频率是2 Hz
[C]振子完成一次全振动通过的路程是16 cm
[D]振子过O点时开始计时,t=0.25 s时的位移大小为2 cm
【答案】 C
【解析】 根据题意,弹簧振子在AOB之间做简谐运动,O为平衡位置,则可知其振幅、周期分别为A==4 cm,T== s=2 s,故A错误;根据频率与周期之间的关系可得f==0.5 Hz,故B错误;振子完成一次全振动通过的路程为s=4A=4×4 cm=16 cm,故C正确;振子振动的位移满足正弦函数,设表达式为x=Asin ωt,其中ω==π rad/s,可得其表达式为x=4sin πt cm,将t=0.25 s 代入可得x=2 cm,故D错误。
3.(4分)(2025·四川泸州阶段检测)如图所示,水平地面上倾角θ=30°的固定斜面底端有一挡板,轻弹簧一端与挡板相连,另一端系着质量m=1 kg的物块P,物块P通过轻绳绕过定滑轮系着质量M=2 kg的小球Q。开始时两物体均处于静止状态,若剪断连接P、Q的轻绳,物块P将做简谐运动。已知轻弹簧的劲度系数 k=100 N/m,细绳与斜面平行,一切摩擦和空气阻力均不计,重力加速度g取10 m/s2。则物块P做简谐运动的振幅为(　　)
[A]0.25 m [B]0.20 m
[C]0.15 m [D]0.05 m
【答案】 B
【解析】 设初始状态弹簧伸长量为x0,则Mg=mgsin θ+kx0,设平衡位置处弹簧压缩量为x1,则kx1=mgsin θ,振幅A=x0+x1,代入数据解得A=0.20 m,故B正确。
考点二　简谐运动的表达式及图像
4.(6分)(多选)质点a、b的振动图像分别如图中实线和虚线所示,下列说法正确的是(　　)
[A]质点a、b振动的振幅均为20 cm
[B]质点a、b振动的频率之比为1∶2
[C]质点a、b振动的周期之比为2∶1
[D]质点a、b在0.2 s内运动的路程之比为2∶1
【答案】 AD
【解析】 由题图可知质点a、b振动的振幅均为20 cm,故A正确;质点a的周期为0.2 s,质点b的周期为0.4 s,则a、b振动的周期之比为1∶2,频率之比为2∶1,故B、C错误;质点a在0.2 s内的路程为80 cm,质点b在0.2 s内的路程为40 cm,则运动的路程之比为2∶1,故D正确。
5.(6分)(多选)(2025·山西晋中阶段检测)一质点做简谐运动,其相对于平衡位置的位移x与时间t的关系图线如图所示,由图可知(　　)
[A]该简谐运动的周期是2.5×10-2 s,振幅是 cm
[B]该简谐运动的表达式为x=sin(100πt+) cm
[C]该简谐运动的表达式为x=sin(100πt-) cm
[D]t=0.25×10-2 s时质点的位移为-1.2 cm
【答案】 BC
【解析】 由题图知,该简谐运动的周期为T=2×10-2 s,振幅为A= cm,故A错误;圆频率为ω==100π rad/s,而φ=或φ=-,所以质点做简谐运动的表达式为x=sin(100πt+) cm 或x=sin(100πt-) cm,故B、C正确;当t=0.25×10-2 s时位移为x=sin(100πt+) cm=×
(-) cm=-1 cm,故D错误。
6.(4分)(2025·江苏徐州阶段练习)P、Q两个质点做简谐运动的振动图像如图所示,下列说法正确的是(　　)
[A]P、Q的振动步调一致
[B]P、Q的初相位不同
[C]P、Q在0～1.2 s内经过的路程之比是1∶1
[D]t=0.45 s时刻,P、Q的位移大小之比是4∶5
【答案】 C
【解析】 两个质点的振动均是由平衡位置开始计时,则初相位相同,但由于二者周期不同,则步调不一致,故A、B错误;在0～1.2 s内P完成一个周期的振动,则路程为40 cm,Q完成两个周期的振动,路程也为40 cm,故路程之比是1∶1,故C正确;P和Q离开平衡位置的x的表达式分别为xP=0.1sin t m,xQ=0.05sin t m,则t=0.45 s时刻,P、Q的位移分别为xP= m,
xQ=-0.05 m,则P、Q的位移大小之比是 ∶1,故D错误。
考点三　简谐运动的周期性和对称性
7.(6分)(多选)(2025·江西南昌期中)一个弹簧振子做简谐运动,O为平衡位置,当它经过平衡位置O时开始计时,经过0.5 s,第一次到达点M,再经过0.2 s第二次到达点M,则弹簧振子的周期可能为(　　)
[A]0.6 s [B]0.8 s
[C]2.0 s [D]2.4 s
【答案】 BD
【解析】 如图甲所示,O点为平衡位置,设C点为M同侧最远点,振子从O→C所需时间为,简谐运动具有对称性,所以振子从M→C所用时间和从C→M所用时间相等,故=0.5 s+ s=
0.6 s,解得周期T=2.4 s;如图乙所示,若振子一开始从平衡位置向另外一侧运动,到达最远点后反向运动到达O点右侧M点用时0.5 s,从M向右运动到C点时间为0.1 s,则有T′=0.6 s,即T′=0.8 s,故B、D正确。
8.(6分)如图所示为A、B两个弹簧振子的振动图像(实线为A的振动图像,虚线为B的振动图像),试写出它们的位移表达式,并求出相位差Δφ。
【答案】 xA=2sin πt cm
xB=2sin(πt+) cm　
【解析】 由题图可知,两个弹簧振子的振幅均为A=2 cm,且TA=TB=2 s,且ωA=ωB==π rad/s,
A的初相位φA=0,B的初相位φB=,则A的位移表达式为xA=2sin πt cm,B的位移表达式为xB=2sin(πt+) cm。其相位差Δφ=φB-φA=,则B的相位比A超前。
9. (4分)(2025·广西贵港阶段练习)如图所示,竖直悬挂的弹簧振子向下振动过程中依次通过相距L的B、C两点(图中未画出)。已知振子在B点的位移大小等于振幅,在C点位移大小是在B点的,振子经过B点时开始计时,t时刻第二次经过C点,该振动的振幅和周期可能是(　　)
[A](2-)L,t [B](2-)L,t
[C](2+)L,t [D](2+)L,8t
【答案】 B
【解析】 若平衡位置在B、C之间,而xB=A、|xC|=A,则xB+|xC|=L,解得A=(2-)L,根据位移表达式y=Asin t,有A=Asin t1,-A=Asin t2,解得t1=T,t2=T,则t=t2-t1=T,即T=t。若B、C两点在平衡位置同侧,有xB=A,xC=A,则xB-xC=L,解得A=(2+)L,又A=Asin t1′,A=
Asin t2′,解得t1′=T、t2′=T,则t=t2′-t1′=T,即T=t,选项B正确。
10.(6分)(多选)一振子沿x轴做简谐运动,平衡位置在坐标原点。t=0时振子的位移为-0.1 m,t=1 s时位移为0.1 m,则(　　)
[A]若振幅为0.1 m,振子的周期可能为 s
[B]若振幅为0.1 m,振子的周期可能为 s
[C]若振幅为0.2 m,振子的周期可能为4 s
[D]若振幅为0.2 m,振子的周期可能为6 s
【答案】 AD
【解析】 若振幅为0.1 m,则从t=0到t=1 s,(n+)T=1 s,解得T=(n=0,1,2,…)。当n=0时,T=
2 s;n=1时,T= s;n=2时,T= s,选项A正确,B错误。若振幅为0.2 m,振动分两种情况讨论:
①若振子振动如图甲所示,则振子由C点振动到D点用时至少为,周期最大为2 s。
②若振子振动如图乙中实线所示,由x=Asin(ωt+φ)知t=0时,-=Asin φ,φ=-,即振子由C点振动到O点用时至少为,由简谐运动的对称性可知,振子由C点振动到D点用时至少为,则T最大为6 s;若振子振动如图乙中虚线所示,振子由C点振动到D点,则周期最大为2 s。综上所述,C错误,D正确。
11.(10分)(2025·宁夏石嘴山阶段练习)有一弹簧振子在B、C之间做简谐运动,已知B、C间的距离为20 cm,振子在2 s内完成了10次全振动。若从某时刻振子经过平衡位置时开始计时(t=0),经过周期振子有负向最大位移。
(1)在图中作出该振子的位移—时间图像;
(2)写出振子的振动方程。
【答案】 (1)图见解析
(2)y=-10sin 10πt cm
【解析】 (1)由于弹簧振子在B、C间运动,则弹簧振子的振幅A=BC=10 cm,
弹簧振子的周期T= s=0.2 s,
该振子从平衡位置开始计时,经周期到负向最大位置,可知开始时振子向y轴负方向运动,则振子的位移—时间图像如图所示。
(2)由ω=,得ω=10π rad/s,可知振子在任意时刻t的位移为y=-Asin ωt=-10sin 10πt cm。4　单　摆
课时作业
(分值:70分)
考点一　单摆及单摆位移—时间图像
1.(4分)关于单摆,下列说法正确的是(　　)
[A]单摆运动均可看作简谐运动
[B]单摆的振幅不论多大,其周期均为2π
[C]单摆的振动是变加速运动
[D]摆球所受合力的大小跟摆球相对平衡位置的位移大小成正比
2.(6分)(多选)(2025·河南安阳期末)图甲是利用沙摆演示简谐运动的装置,当盛沙的漏斗下面的薄木板被水平匀速拉出时,做简谐运动的漏斗漏出的沙在木板上显示出图乙所示的曲线。已知木板水平速度为0.20 m/s,图乙所示一段木板的长度为0.60 m,重力加速度的大小g取π2m/s2,下列说法正确的是(　　)
[A]木板上形成一个完整波形的时间为3 s
[B]沙摆的摆长约为0.56 m
[C]将该装置搬至月球,周期变小
[D]图乙可表示沙摆的振动图像
3.(4分)如图甲所示,从重型机械的机械臂顶部垂下一个大铁球并让它小角度摆动,即可以用来拆卸混凝土建筑,该情境可视为单摆模型,它对应的振动图像如图乙所示,当地的重力加速度g取π2 m/s2,则下列说法正确的是(　　)
[A]铁球的质量增大,周期增大
[B]t=4 s时,摆球的速度最大
[C]该单摆的摆长约为4 m
[D]铁球摆开的角度增大,周期增大
4.(4分)(2025·辽宁沈阳阶段练习)如图所示,摆钟正常工作时其摆锤的运动可看成简谐运动,摆锤每摆动半个周期,表盘上的分针就会向前微小跃动一次,分针每次向前跃动的距离不变。下列说法正确的是(　　)
[A]摆锤摆动的振幅越大,摆钟计时越准
[B]要使摆钟走得慢些,可通过缩短它的摆长来实现
[C]若把摆钟置于正在运行的天宫空间站,其摆锤不会正常摆动
[D]在南极和赤道分别用完全相同的摆钟计时,在南极的摆钟走得慢些
5.(12分)摆是物理学中重要的模型之一。如图甲所示,一根不可伸长的轻软细绳的上端固定在天花板上的O点,下端系一个摆球(可看作质点)。将其拉至A点后由静止释放,摆球将在竖直面内的A、C之间来回摆动,其中B点为运动中的最低点。忽略空气阻力。如图乙所示为绳中拉力F随时间t变化的图线,g取9.8 m/s2,求:
(1)摆的振动周期T;
(2)摆的最大摆角θm;
(3)摆球质量m。
6.(4分)(2025·贵州黔东南期中)如图所示,竖直面内的光滑圆弧槽上,两个小球甲、乙(均视为质点)同时由静止释放,其中小球甲的初位置离圆槽最低点O较远些,小球甲、乙运动的弧长远小于圆弧槽的半径。关于小球甲、乙相遇时的情境,下列说法正确的是(　　)
[A]小球甲、乙的速度相同,相遇在O点左方
[B]小球乙的速度更小,相遇点在O点
[C]小球甲的速度更大,相遇点在O点右方
[D]无法确定小球甲、乙的速度大小关系,因为两小球的质量关系未知
7.(4分)(2025·山东泰安阶段练习)一根细线一端固定,另一端系一密度为ρ=0.8×103 kg/m3的小球,组成一个单摆,其在空气中做简谐运动的周期T=8 s。现将此单摆倒置于水中,使其拉开一个小角度后做简谐运动,如图所示。已知水的密度为 1.0×103 kg/m3,水和空气对小球的阻力可忽略,则小球在水中做简谐运动的周期为(重力加速度g取10 m/s2)(　　)
[A]4 s [B]8 s
[C]12 s [D]16 s
8.(6分)(多选)如图所示为同一地点甲、乙两个单摆的振动图像,下列说法正确的是(　　)
[A]甲、乙两个单摆的振幅之比为9∶4
[B]甲、乙两个单摆的周期之比为1∶1
[C]甲、乙两个单摆的摆长之比为4∶1
[D]单摆的回复力是摆球所受拉力与重力的合力
9.(4分)(2025·重庆合川阶段练习)如图所示,两个完全相同的弹性小球A和B,分别挂在长和L的细线上,重心在同一水平面上、且小球恰好互相接触,把小球A向左拉开一个较小角度后由静止释放,经过多长时间两球发生第4次碰撞(　　)
[A]π [B]3π
[C]π [D]4π
10.(6分)(多选)(2025·四川成都期中)质量为m、摆长为L的单摆,拉开一定角度后,t1时刻由静止释放,在t1、t2、t3时刻(t1[A]摆球第一次回到释放点的时间为4(t2-t1)
[B]摆球在最低点的向心加速度为
[C]t1～t2过程单摆转过角度小于t2～t3过程单摆转过角度
[D]t2、t3时刻细绳拉力的差值大小为
11.(16分)如图甲所示,在天花板上的O点用一定长度的摆线悬挂一个摆球,在O点的下方P点处有一个钉子,现将摆球向左拉开一个很小的角度,t=0 时将摆球由静止释放,当摆球运动到最低点时,摆线碰到钉子,此后摆球又向右摆动一个很小角度(小于5°),设向左为正方向,摆球的振动图像如图乙所示(图线与两轴的交点已在图中标出),不计摆线和钉子相碰时的能量损失,重力加速度g取π2 m/s2,结果可用分式表示,求:
(1)单摆的振动周期;
(2)钉子的位置P点到悬点O的距离;
(3)图像中x1与x2的比值。4　单　摆
课时作业
(分值:70分)
考点一　单摆及单摆位移—时间图像
1.(4分)关于单摆,下列说法正确的是(　　)
[A]单摆运动均可看作简谐运动
[B]单摆的振幅不论多大,其周期均为2π
[C]单摆的振动是变加速运动
[D]摆球所受合力的大小跟摆球相对平衡位置的位移大小成正比
【答案】 C
【解析】 单摆做简谐运动的条件是摆角很小,一般小于5°,选项A错误;单摆做简谐运动时周期T=2π,要求摆角很小,选项B错误;单摆振动中加速度不断变化,是变加速运动,选项C正确;摆球所受合力既提供回复力,又提供做圆周运动的向心力,而回复力与位移成正比,合力的大小跟摆球相对平衡位置的位移大小不成正比,选项D错误。
2.(6分)(多选)(2025·河南安阳期末)图甲是利用沙摆演示简谐运动的装置,当盛沙的漏斗下面的薄木板被水平匀速拉出时,做简谐运动的漏斗漏出的沙在木板上显示出图乙所示的曲线。已知木板水平速度为0.20 m/s,图乙所示一段木板的长度为0.60 m,重力加速度的大小g取π2m/s2,下列说法正确的是(　　)
[A]木板上形成一个完整波形的时间为3 s
[B]沙摆的摆长约为0.56 m
[C]将该装置搬至月球,周期变小
[D]图乙可表示沙摆的振动图像
【答案】 BD
【解析】 根据题图乙可知,单摆完成两次全振动的时间为t= s=3 s,可知振动周期T==1.5 s,选项A错误;根据单摆周期公式T=2π,摆长l==0.56 m,选项B正确;若将装置搬至月球,其重力加速度减小,则周期变大,选项C错误;当薄木板被水平匀速拉动时,题图乙可表示漏斗位置随时间变化的关系,即可表示沙摆的振动图像,选项D正确。
考点二　单摆的周期公式及应用
3.(4分)如图甲所示,从重型机械的机械臂顶部垂下一个大铁球并让它小角度摆动,即可以用来拆卸混凝土建筑,该情境可视为单摆模型,它对应的振动图像如图乙所示,当地的重力加速度g取π2 m/s2,则下列说法正确的是(　　)
[A]铁球的质量增大,周期增大
[B]t=4 s时,摆球的速度最大
[C]该单摆的摆长约为4 m
[D]铁球摆开的角度增大,周期增大
【答案】 C
【解析】 根据单摆的周期公式T=2π,可知周期的大小与铁球的质量、摆开的角度无关,故A、D错误;由题图乙可知,t=4 s时,摆球离开平衡位置的位移达到最大,此时摆球的速度为零,故B错误;由题图乙可知,单摆的周期为4 s,所以摆长约为l==4 m,故C正确。
4.(4分)(2025·辽宁沈阳阶段练习)如图所示,摆钟正常工作时其摆锤的运动可看成简谐运动,摆锤每摆动半个周期,表盘上的分针就会向前微小跃动一次,分针每次向前跃动的距离不变。下列说法正确的是(　　)
[A]摆锤摆动的振幅越大,摆钟计时越准
[B]要使摆钟走得慢些,可通过缩短它的摆长来实现
[C]若把摆钟置于正在运行的天宫空间站,其摆锤不会正常摆动
[D]在南极和赤道分别用完全相同的摆钟计时,在南极的摆钟走得慢些
【答案】 C
【解析】 为了使摆钟摆动时计时准确,摆锤摆动的角度不能大于5°,可知摆锤摆动的振幅不能太大,故A错误;缩短它的摆长,由T=2π可知周期变小,摆钟走得更快,故B错误;若把摆钟置于正在运行的天宫空间站,因为处于完全失重状态,摆锤不会正常摆动,故C正确;在南极和赤道分别用完全相同的摆钟计时,因为赤道重力加速度小,根据T=2π,可知在赤道处周期长,所以赤道的摆钟走得慢些,故D错误。
5.(12分)摆是物理学中重要的模型之一。如图甲所示,一根不可伸长的轻软细绳的上端固定在天花板上的O点,下端系一个摆球(可看作质点)。将其拉至A点后由静止释放,摆球将在竖直面内的A、C之间来回摆动,其中B点为运动中的最低点。忽略空气阻力。如图乙所示为绳中拉力F随时间t变化的图线,g取9.8 m/s2,求:
(1)摆的振动周期T;
(2)摆的最大摆角θm;
(3)摆球质量m。
【答案】 (1)2.16 s　(2)60°　(3)0.25 kg
【解析】 (1)由对称性可知,小球在A、C两点拉力大小相等,但一次全振动是由A点到C点再回到A点,故摆的振动周期为T=2.16 s。
(2)(3)在A点时,有
mgcos θm=Fmin,
在B点时,有
Fmax-mg=m,
从A点到B点由动能定理可得
mg(L-Lcos θm)=mv2,
联立解得m=0.25 kg,θm=60°。
考点三　单摆模型的拓展
6.(4分)(2025·贵州黔东南期中)如图所示,竖直面内的光滑圆弧槽上,两个小球甲、乙(均视为质点)同时由静止释放,其中小球甲的初位置离圆槽最低点O较远些,小球甲、乙运动的弧长远小于圆弧槽的半径。关于小球甲、乙相遇时的情境,下列说法正确的是(　　)
[A]小球甲、乙的速度相同,相遇在O点左方
[B]小球乙的速度更小,相遇点在O点
[C]小球甲的速度更大,相遇点在O点右方
[D]无法确定小球甲、乙的速度大小关系,因为两小球的质量关系未知
【答案】 B
【解析】 小球甲、乙运动的弧长远小于圆弧槽的半径,可知它们的运动可看成是简谐运动,其“摆长”l=R,根据周期公式T=2π,可知小球甲、乙从释放至运动到O点所用的时间均为T,则小球甲、乙在O点相遇,由机械能守恒可知,相遇时甲球速度较大,故B正确,A、C、D错误。
7.(4分)(2025·山东泰安阶段练习)一根细线一端固定,另一端系一密度为ρ=0.8×103 kg/m3的小球,组成一个单摆,其在空气中做简谐运动的周期T=8 s。现将此单摆倒置于水中,使其拉开一个小角度后做简谐运动,如图所示。已知水的密度为 1.0×103 kg/m3,水和空气对小球的阻力可忽略,则小球在水中做简谐运动的周期为(重力加速度g取10 m/s2)(　　)
[A]4 s [B]8 s
[C]12 s [D]16 s
【答案】 D
【解析】 单摆在空气中做简谐运动的周期T=2π=8 s,在水中做简谐运动的周期T′=2π,其中g′为小球摆动过程中的等效重力加速度,小球受到的重力mg=ρgV,其等效重力mg′=(ρ水-ρ)Vg,联立解得T′=2π,代入数据得T′=16 s,故D正确。
8.(6分)(多选)如图所示为同一地点甲、乙两个单摆的振动图像,下列说法正确的是(　　)
[A]甲、乙两个单摆的振幅之比为9∶4
[B]甲、乙两个单摆的周期之比为1∶1
[C]甲、乙两个单摆的摆长之比为4∶1
[D]单摆的回复力是摆球所受拉力与重力的合力
【答案】 AC
【解析】 由题图可知,甲单摆的振幅为9 cm,乙单摆的振幅为4 cm,甲、乙两个单摆的振幅之比为9∶4,故A正确;由题图可知,甲单摆的周期为2 s,乙单摆的周期为1 s,甲、乙两个单摆的周期之比为2∶1,故B错误;根据周期公式T=2π可得 l=,甲、乙两个单摆的摆长之比为4∶1,故C正确;摆球受到的回复力是重力沿切线方向的分力,故D错误。
9.(4分)(2025·重庆合川阶段练习)如图所示,两个完全相同的弹性小球A和B,分别挂在长和L的细线上,重心在同一水平面上、且小球恰好互相接触,把小球A向左拉开一个较小角度后由静止释放,经过多长时间两球发生第4次碰撞(　　)
[A]π [B]3π
[C]π [D]4π
【答案】 A
【解析】 两质量相等的弹性小球做弹性正碰时,根据动量守恒定律和机械能守恒定律有m1v0=m1v1+m2v2,m1=m1+m2,解得v1=0,v2=v0,可知两球碰撞后速度交换,根据单摆周期公式得TA=2π=π,TB=2π,从释放小球A到第1次相碰经历时间 t1=TA=
,从小球B摆起到第2次相碰经历时间t2=TB=π,从小球A摆起到第3次相碰经历时间t3=TA=,从小球B摆起到第4次相碰经历时间t4=t2=π,可知两球发生第4次碰撞的时间t=t1+t2+t3+t4=,故A正确。
10.(6分)(多选)(2025·四川成都期中)质量为m、摆长为L的单摆,拉开一定角度后,t1时刻由静止释放,在t1、t2、t3时刻(t1[A]摆球第一次回到释放点的时间为4(t2-t1)
[B]摆球在最低点的向心加速度为
[C]t1～t2过程单摆转过角度小于t2～t3过程单摆转过角度
[D]t2、t3时刻细绳拉力的差值大小为
【答案】 BCD
【解析】 单摆在摆动过程中,只有重力做功,机械能守恒,其大小为E0,在t1时刻Ek=0,Ep=E0,即摆球处于最高点;在t3时刻Ep=0,Ek=E0,摆球处于最低点,则摆球从最高点运动到最低点所用的时间为t=T=t3-t1,得T=4(t3-t1),故A错误。摆球在最低点时有Ek=E0=mv2,根据牛顿第二定律得Fn=man=m,则an==,故B正确。设t1、t2时刻摆球高度分别为h、h′,则有mgh=E0,mgh′=0.5E0,解得h′=h,可知t1～t2过程单摆下降高度为h,t2～t3过程单摆下降高度同为h,由圆的知识可知,t1～t2过程摆球运动轨迹的弧长一定小于t2～t3过程摆球运动轨迹的弧长,而半径均为L,所以t1～t2过程单摆转过的角度小于t2～t3过程单摆转过的角度,故C正确。设t2时刻摆线与竖直方向的夹角为α,细绳拉力为F1,则有F1-mgcos α=
m,又0.5E0=mv′2,而L-Lcos α=h′,则0.5E0=mgh′;同理,t3时刻有F2-mg=m,E0=mv2,联立方程整理得F2-F1=,故D正确。
11.(16分)如图甲所示,在天花板上的O点用一定长度的摆线悬挂一个摆球,在O点的下方P点处有一个钉子,现将摆球向左拉开一个很小的角度,t=0 时将摆球由静止释放,当摆球运动到最低点时,摆线碰到钉子,此后摆球又向右摆动一个很小角度(小于5°),设向左为正方向,摆球的振动图像如图乙所示(图线与两轴的交点已在图中标出),不计摆线和钉子相碰时的能量损失,重力加速度g取π2 m/s2,结果可用分式表示,求:
(1)单摆的振动周期;
(2)钉子的位置P点到悬点O的距离;
(3)图像中x1与x2的比值。
【答案】 (1)1.8 s　(2)0.36 m　(3)5∶4
【解析】 (1)由题图乙可知,单摆完成一次全振动的时间为T=1.8 s。
(2)由题图乙可知,小球在OP左侧摆动时,单摆的周期为T1=2 s,由周期公式
T1=2π,
解得该单摆摆线的长度为l=1 m,
小球在OP右侧绕着P点摆动时,周期为T2=1.6 s,由周期公式T2=2π,
解得该单摆碰到钉子后的摆长为l′= m,
故钉子的位置P与悬点O的距离Δl=l-l′,
代入数据得Δl=0.36 m。
(3)设单摆在OP左侧摆动的最大偏角为θ1,在OP右侧摆动的最大偏角为θ2,由数学知识可得x1=2lsin ,x2=2l′sin ,
由机械能守恒定律得mgl(1-cos θ1)=mgl′(1-cos θ2),
由数学方法可解得=。1　简谐运动
课时作业
(分值:60分)
考点一　弹簧振子
1.(4分)(2025·甘肃天水期末)弹簧振子的运动属于(　　)
[A]匀变速直线运动
[B]匀速直线运动
[C]匀速圆周运动
[D]变速运动
2.(4分)(2025·河南阶段练习)如图所示,甲质点在x1轴上做简谐运动,O1为其平衡位置,A1、B1为其所能到达的最远处。乙质点沿x2轴从A2点开始做初速度为零的匀加速直线运动。已知A1O1=A2O2,甲、乙两质点分别经过O1、O2时速率相等,设甲质点从A1运动到O1的时间为t1,乙质点从A2运动到O2的时间为t2,则下列式子正确的是(　　)
[A]t1t2
[C]t1=t2 [D]t1=2t2
3.(6分)(多选)(2025·湖南娄底阶段练习)轻质弹簧的下端悬挂一个钢球,上端固定,它们组成了一个振动系统,称为竖直弹簧振子,如图甲所示。用手把钢球向上托起一段距离,然后释放,钢球便上下振动。如图乙所示的照片是通过频闪照相得到的,频闪仪每隔0.05 s闪光一次,闪光的瞬间振子被照亮,从而得到闪光时钢球的位置,相邻两个位置之间的时间相隔为0.05 s。拍摄时底片从左往右匀速运动,因此在底片上留下了钢球的一系列的像。下列说法正确的是(　　)
[A]钢球托起前的位置就是振子的平衡位置
[B]释放钢球的初始位置就是振子的平衡位置
[C]忽略空气阻力,以地面为参考系可以将钢球的运动看作是简谐运动
[D]忽略空气阻力,以底片为参考系可以将钢球的运动看作是简谐运动
4. (4分)(2025·天津静海期中)一个弹簧振子在A、B间做简谐运动,O点为振子的平衡位置,如图所示。规定向右为正方向,当振子向左运动经过O点时开始计时,则下列选项中画出的振动图像正确的是(　　)
[A]　　 [B]
[C]　 　 [D]
5.(6分)(多选)(2025·新疆伊犁阶段练习)如图甲所示,弹簧振子以点O为平衡位置,在A、B两点之间做简谐运动。取向右为正方向,振子的位移x随时间t的变化如图乙所示,下列说法正确的是(　　)
[A]t=0.8 s时,振子的速度方向向左
[B]t=0.2 s时振子正在做加速度增大的减速运动
[C]t=0.4 s和t=1.2 s时,振子的加速度完全相同
[D]t=0.4 s到t=0.8 s的时间内,振子的速度逐渐减小
6.(4分)(2025·陕西延安阶段练习)如图,为某鱼漂的示意图。当鱼漂静止时,水位恰好在O点。用手将鱼漂往下按,使水位处于M点。松手后,鱼漂会在M、N之间来回移动,其运动类同于弹簧振子。下列说法正确的是(　　)
[A]水位由O点到N点过程,鱼漂的位移向下最大
[B]水位在O点时,鱼漂的速度最大
[C]水位到达M点时,鱼漂具有向下的加速度
[D]鱼漂由上往下运动时,速度越来越大
7.(10分)如图所示,简谐运动的图像上有a、b、c、d、e、f六个点,其中:
(1)与a点位移相同的点有哪些
(2)与a点速度相同的点有哪些
(3)b点离开平衡位置的最大距离是多少
8.(6分)(多选)(2025·辽宁沈阳阶段练习)如图所示的弹簧振子,O点为它的平衡位置,关于振子的运动,下列说法正确的是(　　)
[A]振子从A点运动到C点时,在C点的位移大小为OC,方向向右
[B]振子从A点运动到C点的过程中,速度在增大,加速度在减小
[C]振子从C点运动到A点时,在A点的位移大小为CA,方向向右
[D]振子从A点运动到O点的过程中,速度先增大后减小,加速度先减小后增大
9.(4分)(2025·江苏南通阶段练习)如图甲所示,一只小鸟站在树枝上与树枝一起上下振动,小鸟振动的v-t图像如图乙所示,速度向下为正。下列说法正确的是(　　)
[A]t=0时刻小鸟的速度方向向上
[B]t1时刻树枝对小鸟弹力最大
[C]t2时刻小鸟的加速度最大
[D]t3时刻小鸟处在最低点
10.(12分)(2025·山东泰安期中)如图所示,在倾角为θ=30° 的固定光滑斜面上,C为一固定挡板,轻质弹簧的一端连接物体A,另一端固定在挡板上。物体B在A上方斜面的某处。用力控制A、B保持静止,且使弹簧处于自然状态,现同时释放物体A、B,物体A完成一次全振动,经过的时间为T,此时B和A恰好相碰且粘为一体。物体A的质量为m,物体B的质量为2m。弹簧始终在弹性限度内,劲度系数为k,弹簧弹性势能表达式Ep=kx2,重力加速度为g。
(1)求释放前物体A、B间的距离L;
(2)求B和A粘为一体后的最大速度;
(3)若B和A到达物体A释放位置上方x0处时其速度恰好为零,运动过程中物体A、B整体离开平衡位置的最大距离是多少

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