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贵州省黔东南苗族侗族自治州2024-2025学年七年级下学期7月期末数学试题
一、选择题：以下每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，请用2B铅笔在答题卡相应位置作答，每题3分，共36分．
1．甲骨文是汉字的源头和中华优秀传统文化的根脉．下列甲骨文中，能由其中一部分平移得到的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】图形的平移
【解析】【解答】解：∵平移前后图形的大小，形状和方向都不变，只是位置发生改变，
∴能用其中一部分平移得到的只能是A选项中的图形，
故答案为：A．
【分析】根据平移的概念进行判断即可得答案.
2．以下调查中，适合进行抽样调查的是（　　）
A．飞船发射前对重要零部件的检查
B．调查全班同学每周体育锻炼时间
C．了解某批次节能灯的使用寿命
D．乘坐飞机前，对乘客进行安全检查
【答案】C
【知识点】全面调查与抽样调查
【解析】【解答】解：A、飞船发射前对重要零部件的检查，适合进行全面调查，故A不符合题意；
B、调查全班同学每周体育锻炼时间，适合进行全面调查，故B不符合题意；
C、了解某批次节能灯的使用寿命，适合进行抽样调查，故C符合题意；
D、乘坐飞机前，对乘客进行安全检查，适合进行全面调查，故C不符合题意；
故答案为：C．
【分析】一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用全面调查，据此逐项进行判断即可.
3．下列说法中正确的是(　　)
A．0的算术平方根是0 B．4的平方根是2
C．27的立方根是±3 D．4的平方根是
【答案】A
【知识点】开平方（求平方根）；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：A.0的算术平方根是0，正确；
B.4的平方根是，故此选项错误；
C.27的立方根是3，故此选项错误；
D.4的平方根是，故此选项错误；
故答案为：A.
【分析】A.0的算术平方根是0；B和D.一个正数有两个平方根，它们互为相反数；C.任何实数都有唯一确定的立方根，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0.
4．如图，三人分别坐在质地均匀且到中心点O距离相等的跷跷板上，则表示三人体重A，B，C的大小关系正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：由题意得，
∴．
故答案为：C
【分析】先根据题意得到不等式，进而即可求解。
5．立定跳远是贵州省体育中考的项目之一．某次测试时一同学从起跳线上起跳，落地时脚印如图所示，，垂足为，，垂足为，则这位同学本次跳远的成绩是（　　）
A．线段的长度 B．线段的长度
C．线段的长度 D．线段的长度
【答案】D
【知识点】垂线段最短及其应用；点到直线的距离
【解析】【解答】解：根据点到直线的距离的概念得这位同学本次跳远的成绩是线段的长度.
故答案为：．
【分析】根据点到直线的距离的概念判断即可得答案.
6．在贵州省的行政区划图上，以“黔东南苗族侗族自治州”境内一点为原点建立如图所示平面直角坐标系，那么省会“贵阳市”境内一点的坐标可能会是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】点的坐标；用坐标表示地理位置
【解析】 【解答】解：如图，
∵以“黔东南苗族侗族自治州”境内一点为原点建立如图所示平面直角坐标系，那么省会“贵阳市”境内一点点位于第二象限内
∴点的坐标可能会是，
故答案为：．
【分析】以“黔东南苗族侗族自治州”境内一点为原点建立如图所示平面直角坐标系，那么省会“贵阳市”境内一点点位于第二象限内，根据第二象限坐标特点即可得答案.
7．若，则下列结论成立的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、 ∵，
∴，故A错误.
B、∵，
∴，故B正确．
C、 ∵，
∴，故C错误．
D． ∵，
∴，故D错误．
故答案：B．
【分析】根据不等式的性质，结合得得，，，即可得答案.
8．当光线从水中射向空气时要发生折射，由于折射率相同，在水中平行的光线，在空气中也是平行的，如图，一组平行光线从水中射向空气，且，，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：如图，
根据题意，得，
故，
又，
故，
又，
故，
故选：B．
【分析】根据直线平行性质即可求出答案.
9．下列命题中，是假命题的是（　　）
A．等角的补角相等
B．两锐角的和是钝角
C．连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短
D．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行
【答案】B
【知识点】垂线段最短及其应用；真命题与假命题；平行公理
【解析】【解答】解：A、等角的补角相等是真命题，故A错误.
B、两锐角之和可能小于，也可能是钝角，还可以是直角，故两锐角的和是钝角错误，是假命题，故B正确.
C、直线外一点到直线的所有连线中，垂线段长度最短为真命题，故C错误.
D、 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行是平行公理，是真命题，故D错误.
故答案为：B．
【分析】根据真假命题的判断，结合补角性质、锐角与钝角的定义、垂线段性质及平行公理进行判断即可得答案.
10．如图，利用三角尺和直尺可以准确的画出直线，请将下面弄乱的操作步骤按正确的顺序排列好应是（　　）
①沿直尺下移三角尺； ②用直尺紧靠三角尺的另一条边；③沿三角尺的边作出直线；④作直线，并用三角尺的一条边贴住直线．
A．④①②③ B．④②①③ C．④②③① D．④③①②
【答案】B
【知识点】三角板（直尺）画图-平行线
【解析】【解答】解：根据同位角相等两直线平行则正确的操作步骤是④②③①，
故选：B．
【分析】作直线，并用三角尺的一条边贴住直线，用直尺紧靠三角尺的另一条边，沿三角尺的边作出直线，沿直尺下移三角尺.
11．《九章算术》中有这样一道题：今有五雀、六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻．一雀一燕交而处，衡适平．并燕、雀重一斤．问燕、雀一枚各重几何？其大意是：今有5只雀、6只燕，分别聚集而用衡器称之，聚在一起的雀重，燕轻．将1只雀、1只燕交换位置而放，重量相等.5只雀、6只燕重量为1斤．问雀、燕每只各重多少？假设雀每只重x斤，燕每只重y斤，根据题意可列出方程组（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设每只雀重x斤，每只燕重y斤，根据题意得：
故答案选：C.
【分析】根据题目情景，找出等量关系，列出方程组即可得答案.
12．网络是第五代移动通信网络，它将推动我国数字经济发展迈上新台阶．结合2020年到2024年的实际情况，预测2025年到2030年中国直接经济产出和间接经济产出的情况如图所示，根据如图提供的信息，下列推断不合理的是（　　）
A．2024年直接经济产出比间接经济产出少3万亿元
B．2026年直接经济产出为2021年直接经济产出的4倍
C．2020年到2030年，直接经济产出和间接经济产出都是逐年增长
D．2025年和2026年，每年的间接经济产出与直接经济产出的差值相等
【答案】D
【知识点】折线统计图
【解析】【解答】解：如图，
A. 由折线图可知，2024年直接经济产出为万亿元，间接经济产出为万亿元，则2024年直接经济产出比间接经济产出少3万亿元，说法正确，故A错误.
B. 由折线图可知， 2026年直接经济产出为万亿元，2021年直接经济产出为万亿元，则2026年直接经济产出为2021年直接经济产出的4倍，说法正确，故B错误.
C. 由折线图可知，2020年到2030年，直接经济产出和间接经济产出都是逐年增长，说法正确，故C错误.
D. 由折线图可知，2025年，每年的间接经济产出与直接经济产出的差值为（万亿元），2026年，每年的间接经济产出与直接经济产出的差值为（万亿元），则2025年和2026年，每年的间接经济产出与直接经济产出的差值不相等，说法错误，故D正确.
故答案为：D．
【分析】根据折线统计图所反映的数据，分别对ABCD各选项进行判断即可得答案.
二、填空题：每小题4分，共16分．
13．写出一个大于2的无理数　 　．
【答案】如 （答案不唯一）
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：∵2= ，
∴大于2的无理数须使被开方数大于4即可，如 （答案不唯一）．
【分析】根据无理数的定义及实数的大小的比较求解即可。
14．生活中有许多的相交线，如图，是一把剪刀的示意图，我们可以把它抽象成直线与直线相交于点O，当时，　 　度．
【答案】60
【知识点】对顶角及其性质
【解析】【解答】解：如图，
∵直线与直线相交于点O，，
∴．
故答案为：60．
【分析】根据对顶角的性质即可得答案.
15．已知是二元一次方程的一个解，则的值为　 　．
【答案】0
【知识点】二元一次方程的解；求代数式的值-整体代入求值；已知二元一次方程的解求参数
【解析】【解答】解：∵是二元一次方程的一个解，
∴
.
故答案为：0．
【分析】把题目所给的二元一次方程的解代入方程得，再把整理得=，再整体代入求解即可得答案.
16．如图所示，将一把含角的直角三角板的边放置于长方形直尺的边上，与交于点H．将线段绕点B以的速度逆时针旋转得到线段，同时线段绕点H以的速度顺时针旋转得到线段，当N，A，B三点第一次共线时，线段均停止转动，设旋转时间为．当时，t的值为　 　．
【答案】10或40
【知识点】平行线的性质；一元一次方程的实际应用-几何问题；平行线的应用-求角度；分类讨论
【解析】【解答】解：根据题意得：，，，
如图所示，
当时，则，
∴，解得，
如图所示，
当时，则，
∵，，
∴，解得，
综上所述，t的值为10或40.
故答案为：10或40．
【分析】根据题目情景得等于，等于，等于，当平行时，则等于，即可得，解得，同理得当时，，综上所述，t的值为10或40.
三、解答题：本大题9小题，共98分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或者演推步骤．
17．计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：
（2）解：

【知识点】有理数的乘方法则；实数的绝对值；实数的混合运算（含开方）；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【分析】（1）首先计算得算术平方根，立方根，然后计算加减法即可得答案.
（2）首先化简绝对值，有理数的乘方，然后计算加减即可得答案.
（1）解：原式
．
（2）原式
．
18．如图是小波同学在解不等式组时草稿纸上演算的部分过程：
解不等式①： 解不等式②：
（1）小波的解答是在解不等式______（填序号）时出现错误；错误的原因是____________；
（2）请完善正确解答过程：
解：解不等式①，得____________，
解不等式②，得____________，
把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
所以原不等式组解集为：______．
【答案】（1）②； 不等式两边同时乘3时，未在右侧1处乘3.
（2）；；
；.
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】（1）解：小波的解答是在解不等式②时出现错误，错误的原因是不等式两边同时乘3时，未在右侧1处乘3.
故答案为：②； 不等式两边同时乘3时，未在右侧1处乘3.
（2）解：解不等式①，得，
解不等式②，得，
把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
∴原不等式组解集为：．
故答案为：；；；.
【分析】（1）根据解不等式②时，不等式两边同时乘3时，未在右侧1处乘3即可得答案.
（2）分别求出每一个不等式的解集，把它们的解在数轴上表示出解集根据数轴即可求出不等式组的解集.
（1）解：小波的解答是在解不等式②时出现错误；错误的原因是不等式两边同时乘3时，未在右侧1处乘3；
故答案为：②； 不等式两边同时乘3时，未在右侧1处乘3
（2）解：解：解不等式①，得，
解不等式②，得，
把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
所以原不等式组解集为：．
19．已知点，，，其中点A的位置如图所示．
（1）在图中画出平面直角坐标系，并画出三角形；
（2）平移三角形，使点C的对应点落在点上，画出平移后的三角形，并直接写出点A，B的对应点，的坐标．
【答案】（1）解：如图，画三角形如下：
（2）解：如图，画三角形如下：
，．
【知识点】点的坐标；坐标与图形变化﹣平移；作图﹣平移
【解析】【分析】（1）根据点的位置建立平面直角坐标系，即可找到B、C的位置，再画三角形即可得答案.
（2）根据，，坐标，结合平移后，即可确定平移方式，可得点，，的坐标，顺次连接即可得三角形.
（1）解：如图，三角形即为所求；
（2）解：如图，三角形即为所求；
，．
20．中国的人工智能（）领域近年取得了显著的进展，并推动了技术在各行各业的普及和应用．某校采用抽样调查的方式对部分教师做了“我最常使用的软件”的问卷调查，并根据调查收集的数据，绘制了如下不完整的统计图：
（1）本次调查时抽取的教师人数为______人，扇形统计图中部分对应扇形的圆心角度数为______；
（2）补全条形统计图；
（3）若该校共有教师240人，根据统计信息，估计该校教师最常使用“文小言”的人数是多少？
【答案】（1）；.
（2）解：使用为：人，则补全条形统如下：
（3）解：根据题意得：
（人）.
∴该校教师最常使用“文小言”的人数为60人．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：根据题意得：
人，
∴本次调查时抽取的教师人数为80人，
∴扇形统计图中部分对应扇形的圆心角度数为：.
故答案为：；.
【分析】（1）根据抽样调查的教师人数=选择的人数选择的人数的百分数，部分对应扇形的圆心角度数=360选择的人数的百分数，代入数据求解即可得答案.
（2）根据文小言的人数=总人数-选择的人数-豆包人数-其他人数，即可得选择“文小言”的人数，再补全条形统计图即可.
（3）根据样本求出使用“文小言”的百分数，再乘以该校教师人数即可得使用“文小言”的人数.
（1）解：人，
即本次调查时抽取的教师人数为80人，
扇形统计图中部分对应扇形的圆心角度数为；
故答案为：；；
（2）解：使用“文小言”的人数为人，
补全条形统计图，如图：
（3）解：（人）
答：该校教师最常使用“文小言”的人数为60人．
21．当我们想要放松身心，享受阳光和清风时，一把舒适的躺椅就成为了必不可少的伴侣，如图是某种躺椅及其简化结构示意图，扶手与底座都平行于地面，前支架与后支果分别与交于点G，D，与靠背交于点N，于点D．
（1）若于点O，与平行吗？说说你的理由．
（2）若，求的度数．
【答案】（1）解：与平行，
理由如下：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴.
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
【知识点】角的运算；垂线的概念；平行线的性质；平行线的判定与性质
【解析】【分析】（1）先利用垂直的定义可得，再证出即可；
（2）先利用角的运算求出，再利用平行线的性质可得，再结合，利用角的运算求出即可．
（1）解：与平行，理由如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
22．潜望镜是指从海面下伸出海面或从低洼坑道伸出地面，用以窥探海面或地面上活动的装置，常用于潜水艇，坑道和坦克内观察敌情．如图，潜望镜中的两面镜子和是互相平行放置的，光线经过镜子反射时，，，请利用所学的数学知识证明：进入潜望镜的光线与离开潜望镜的光线平行，将证明过程补充完整．
证明：∵（已知）
∴，（____________）
∵，，（已知）
∴，（____________）
∵，
______，（平角的定义）
∴，，
∴，（等量代换）
∴．（____________）
【答案】解：如图，
∵（已知）
∴，（两直线平行，内错角相等）
∵，，（已知）
∴，（等量代换）
∵，，（平角的定义）
∴，，
∴，（等量代换）
∴．（内错角相等，两直线平行）
故答案为：两直线平行，内错角相等；等量代换；；；；；内错角相等，两直线平行．
【知识点】平行线的判定与性质；平行线的应用-证明问题
【解析】【分析】根据平行得相等，理由：两直线平行，内错角相等，再根据相等，相等得相等，理由是等量代换，再，得，理由是平角的定义即可得，即可得即可得，理由：内错角相等，两直线平行即可.
23．某校七年级400名学生到郊外参加植树活动，已知用3辆小客车和1辆大客车每次可运送学生105人，用1辆小客车和2辆大客车每次可运送学生110人．
（1）每辆小客车和每辆大客车各能坐多少长学生
（2）若计划租小客车辆，大客车辆，一次送完，且恰好每辆车都坐满，请你设计出所有的租车方案．
【答案】解：（1）设每辆小客车和每辆大客车各能坐，名学生，
根据题意得：，
解得：，
则每辆小客车和每辆大客车各能坐20，45名学生；
（2）根据题意得：，
整理得：，
当时，；时，，，，
方案一：租小客车11辆，大客车4辆；
方案二：租小客车2辆，大客车8辆；
方案三：租小客车20辆．
【知识点】二元一次方程的解；二元一次方程组的实际应用-配套问题
【解析】【分析】（1）设每辆小客车和每辆大客车各能坐，名学生，根据题意建立方程组，解方程组即可求出答案.
（2）根据题意建立方程，整理得，根据m，n取正整数赋值计算即可求出答案.
24．在人教版七年级下册教材115页数学活动部分，我们曾一起开展了关于二元一次方程的“图象”探究活动，我们尝试在平面直角坐标系中表示二元一次方程的解．
【列表求值】填写下表，使得上下每对x，y的值都是方程的解；
x … 0
…
y …
1 2 …
【描点连线】根据表格填写的取值，在图1的平面直角坐标系中标出这四个点，过这些点中的任意两点作一条直线，你能发现____________；在这条直线上再任取一点，将其对应的x值，y值代入方程，你能发现____________；
【拓展延伸】在图2的平面直角坐标系中画出二元一次方程组中的两个二元一次方程的“图象”，并直接写出这个方程组的解．
【答案】解：【列表求值】-1；0.
【描点连线】所有描出的点都在同一条直线上；这个点的x值，y值是方程的解．
【拓展延伸】图象如图，
方程组的解为．
【知识点】二元一次方程的解；一次函数与二元一次方程（组）的关系；描点法画函数图象
【解析】【解答】解：列表求值：
故答案为：-1；0.
描点连线：如图1所示
所有描出的点都在同一条直线上；
这个点的x值，y值是方程的解．
故答案为：所有描出的点都在同一条直线上；这个点的x值，y值是方程的解．
拓展延伸：
描点，连线，如图2所示
∴方程组的解为．
【分析】列表求值：把的值-1、0代入计算即可得的值.
描点连线：根据的值描点连线，根据图像即可得答案.
拓展延伸：把方程组中的两个方程看作一次函数，列表，再描点、连线即可画图，根据图像可得方程组的解.
25．2025年央视春节联欢晚会上，一群身着东北花棉袄的宇树科技机器人和表演者们一同跳起了秧歌，传统与未来在节目中共舞，科技之光也照亮了文化传承之路，更是向世界展示了中国“智造”的强悍实力．为了便于观察和研究，将机器人的形态进行线条化的表示．
（1）如图1，若只观察机器人的腿部，记地面为直线n，过机器人大腿根部作地面的平行线m，记机器人大腿与直线m的夹角为，机器人小腿与直线n夹角为，机器人大腿与小腿夹角为．为了探究，，三者数量关系，我们可以过机器人大腿、小腿连接点作一条平行于直线m与直线n的直线l，接着利用“两直线平行，内错角相等”的性质，就可以得出，，三者数量关系为______；
（2）如图2，若忽视机器人的手臂，让机器人上半身垂直于地面（即所在直线），若，，求的度数；
（3）如图3，当机器人在训练时可以让手臂与地面呈平行状态，脚面与地面持平，当，时，试探究和的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）
（2）解：如图2，
过点作，过点作，
根据题意得：，
，
，
，
，，
，，
．
（3）解：，理由如下：
如图3，
过点作，过点作，
依题意得：，
，，，
，，
，，
．
【知识点】平行公理及推论；平行线的应用-求角度；平行公理的推论
【解析】【解答】解：（1）如图1，
∵
∴，
∵，
∴，
∴，，三者数量关系为：.
故答案为：.
【分析】（1）根据题意得互相平行，根据平行线的性质，得相等，相等，观察图形得与和为，即可得，，三者数量关系为：.
（2）过点作平行，过点作平行，根据题意可知垂直，即可得等于，根据等于可求出，根据平行，平行，即可得
等于，等于，再根据计算
求解即可得答案.
（3）过点作平行，过点作平行，根据平行线的公理及推论，结合已知可得互相平行，即可得等于，相等，等于，再根据等于的和，等于，的和，进一步得等于的和，等于的和，即可得.
（1）解：作一条平行于直线m与直线n的直线l，接着利用“两直线平行，内错角相等”的性质，就可以得出，，三者数量关系为，
故答案为：；
（2）解：如图2，过点作，过点作，
依题意得，
，
，
，
，，
，，
．
（3）解：，理由如下：
如图3，过点作，过点作，
依题意得，
，，，
，，
，，
．
1 / 1贵州省黔东南苗族侗族自治州2024-2025学年七年级下学期7月期末数学试题
一、选择题：以下每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，请用2B铅笔在答题卡相应位置作答，每题3分，共36分．
1．甲骨文是汉字的源头和中华优秀传统文化的根脉．下列甲骨文中，能由其中一部分平移得到的是（　　）
A． B． C． D．
2．以下调查中，适合进行抽样调查的是（　　）
A．飞船发射前对重要零部件的检查
B．调查全班同学每周体育锻炼时间
C．了解某批次节能灯的使用寿命
D．乘坐飞机前，对乘客进行安全检查
3．下列说法中正确的是(　　)
A．0的算术平方根是0 B．4的平方根是2
C．27的立方根是±3 D．4的平方根是
4．如图，三人分别坐在质地均匀且到中心点O距离相等的跷跷板上，则表示三人体重A，B，C的大小关系正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．立定跳远是贵州省体育中考的项目之一．某次测试时一同学从起跳线上起跳，落地时脚印如图所示，，垂足为，，垂足为，则这位同学本次跳远的成绩是（　　）
A．线段的长度 B．线段的长度
C．线段的长度 D．线段的长度
6．在贵州省的行政区划图上，以“黔东南苗族侗族自治州”境内一点为原点建立如图所示平面直角坐标系，那么省会“贵阳市”境内一点的坐标可能会是（　　）
A． B． C． D．
7．若，则下列结论成立的是（　　）
A． B． C． D．
8．当光线从水中射向空气时要发生折射，由于折射率相同，在水中平行的光线，在空气中也是平行的，如图，一组平行光线从水中射向空气，且，，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
9．下列命题中，是假命题的是（　　）
A．等角的补角相等
B．两锐角的和是钝角
C．连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短
D．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行
10．如图，利用三角尺和直尺可以准确的画出直线，请将下面弄乱的操作步骤按正确的顺序排列好应是（　　）
①沿直尺下移三角尺； ②用直尺紧靠三角尺的另一条边；③沿三角尺的边作出直线；④作直线，并用三角尺的一条边贴住直线．
A．④①②③ B．④②①③ C．④②③① D．④③①②
11．《九章算术》中有这样一道题：今有五雀、六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻．一雀一燕交而处，衡适平．并燕、雀重一斤．问燕、雀一枚各重几何？其大意是：今有5只雀、6只燕，分别聚集而用衡器称之，聚在一起的雀重，燕轻．将1只雀、1只燕交换位置而放，重量相等.5只雀、6只燕重量为1斤．问雀、燕每只各重多少？假设雀每只重x斤，燕每只重y斤，根据题意可列出方程组（　　）
A． B．
C． D．
12．网络是第五代移动通信网络，它将推动我国数字经济发展迈上新台阶．结合2020年到2024年的实际情况，预测2025年到2030年中国直接经济产出和间接经济产出的情况如图所示，根据如图提供的信息，下列推断不合理的是（　　）
A．2024年直接经济产出比间接经济产出少3万亿元
B．2026年直接经济产出为2021年直接经济产出的4倍
C．2020年到2030年，直接经济产出和间接经济产出都是逐年增长
D．2025年和2026年，每年的间接经济产出与直接经济产出的差值相等
二、填空题：每小题4分，共16分．
13．写出一个大于2的无理数　 　．
14．生活中有许多的相交线，如图，是一把剪刀的示意图，我们可以把它抽象成直线与直线相交于点O，当时，　 　度．
15．已知是二元一次方程的一个解，则的值为　 　．
16．如图所示，将一把含角的直角三角板的边放置于长方形直尺的边上，与交于点H．将线段绕点B以的速度逆时针旋转得到线段，同时线段绕点H以的速度顺时针旋转得到线段，当N，A，B三点第一次共线时，线段均停止转动，设旋转时间为．当时，t的值为　 　．
三、解答题：本大题9小题，共98分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或者演推步骤．
17．计算：
（1）；
（2）．
18．如图是小波同学在解不等式组时草稿纸上演算的部分过程：
解不等式①： 解不等式②：
（1）小波的解答是在解不等式______（填序号）时出现错误；错误的原因是____________；
（2）请完善正确解答过程：
解：解不等式①，得____________，
解不等式②，得____________，
把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
所以原不等式组解集为：______．
19．已知点，，，其中点A的位置如图所示．
（1）在图中画出平面直角坐标系，并画出三角形；
（2）平移三角形，使点C的对应点落在点上，画出平移后的三角形，并直接写出点A，B的对应点，的坐标．
20．中国的人工智能（）领域近年取得了显著的进展，并推动了技术在各行各业的普及和应用．某校采用抽样调查的方式对部分教师做了“我最常使用的软件”的问卷调查，并根据调查收集的数据，绘制了如下不完整的统计图：
（1）本次调查时抽取的教师人数为______人，扇形统计图中部分对应扇形的圆心角度数为______；
（2）补全条形统计图；
（3）若该校共有教师240人，根据统计信息，估计该校教师最常使用“文小言”的人数是多少？
21．当我们想要放松身心，享受阳光和清风时，一把舒适的躺椅就成为了必不可少的伴侣，如图是某种躺椅及其简化结构示意图，扶手与底座都平行于地面，前支架与后支果分别与交于点G，D，与靠背交于点N，于点D．
（1）若于点O，与平行吗？说说你的理由．
（2）若，求的度数．
22．潜望镜是指从海面下伸出海面或从低洼坑道伸出地面，用以窥探海面或地面上活动的装置，常用于潜水艇，坑道和坦克内观察敌情．如图，潜望镜中的两面镜子和是互相平行放置的，光线经过镜子反射时，，，请利用所学的数学知识证明：进入潜望镜的光线与离开潜望镜的光线平行，将证明过程补充完整．
证明：∵（已知）
∴，（____________）
∵，，（已知）
∴，（____________）
∵，
______，（平角的定义）
∴，，
∴，（等量代换）
∴．（____________）
23．某校七年级400名学生到郊外参加植树活动，已知用3辆小客车和1辆大客车每次可运送学生105人，用1辆小客车和2辆大客车每次可运送学生110人．
（1）每辆小客车和每辆大客车各能坐多少长学生
（2）若计划租小客车辆，大客车辆，一次送完，且恰好每辆车都坐满，请你设计出所有的租车方案．
24．在人教版七年级下册教材115页数学活动部分，我们曾一起开展了关于二元一次方程的“图象”探究活动，我们尝试在平面直角坐标系中表示二元一次方程的解．
【列表求值】填写下表，使得上下每对x，y的值都是方程的解；
x … 0
…
y …
1 2 …
【描点连线】根据表格填写的取值，在图1的平面直角坐标系中标出这四个点，过这些点中的任意两点作一条直线，你能发现____________；在这条直线上再任取一点，将其对应的x值，y值代入方程，你能发现____________；
【拓展延伸】在图2的平面直角坐标系中画出二元一次方程组中的两个二元一次方程的“图象”，并直接写出这个方程组的解．
25．2025年央视春节联欢晚会上，一群身着东北花棉袄的宇树科技机器人和表演者们一同跳起了秧歌，传统与未来在节目中共舞，科技之光也照亮了文化传承之路，更是向世界展示了中国“智造”的强悍实力．为了便于观察和研究，将机器人的形态进行线条化的表示．
（1）如图1，若只观察机器人的腿部，记地面为直线n，过机器人大腿根部作地面的平行线m，记机器人大腿与直线m的夹角为，机器人小腿与直线n夹角为，机器人大腿与小腿夹角为．为了探究，，三者数量关系，我们可以过机器人大腿、小腿连接点作一条平行于直线m与直线n的直线l，接着利用“两直线平行，内错角相等”的性质，就可以得出，，三者数量关系为______；
（2）如图2，若忽视机器人的手臂，让机器人上半身垂直于地面（即所在直线），若，，求的度数；
（3）如图3，当机器人在训练时可以让手臂与地面呈平行状态，脚面与地面持平，当，时，试探究和的数量关系，并说明理由．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】图形的平移
【解析】【解答】解：∵平移前后图形的大小，形状和方向都不变，只是位置发生改变，
∴能用其中一部分平移得到的只能是A选项中的图形，
故答案为：A．
【分析】根据平移的概念进行判断即可得答案.
2．【答案】C
【知识点】全面调查与抽样调查
【解析】【解答】解：A、飞船发射前对重要零部件的检查，适合进行全面调查，故A不符合题意；
B、调查全班同学每周体育锻炼时间，适合进行全面调查，故B不符合题意；
C、了解某批次节能灯的使用寿命，适合进行抽样调查，故C符合题意；
D、乘坐飞机前，对乘客进行安全检查，适合进行全面调查，故C不符合题意；
故答案为：C．
【分析】一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用全面调查，据此逐项进行判断即可.
3．【答案】A
【知识点】开平方（求平方根）；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：A.0的算术平方根是0，正确；
B.4的平方根是，故此选项错误；
C.27的立方根是3，故此选项错误；
D.4的平方根是，故此选项错误；
故答案为：A.
【分析】A.0的算术平方根是0；B和D.一个正数有两个平方根，它们互为相反数；C.任何实数都有唯一确定的立方根，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0.
4．【答案】C
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：由题意得，
∴．
故答案为：C
【分析】先根据题意得到不等式，进而即可求解。
5．【答案】D
【知识点】垂线段最短及其应用；点到直线的距离
【解析】【解答】解：根据点到直线的距离的概念得这位同学本次跳远的成绩是线段的长度.
故答案为：．
【分析】根据点到直线的距离的概念判断即可得答案.
6．【答案】A
【知识点】点的坐标；用坐标表示地理位置
【解析】 【解答】解：如图，
∵以“黔东南苗族侗族自治州”境内一点为原点建立如图所示平面直角坐标系，那么省会“贵阳市”境内一点点位于第二象限内
∴点的坐标可能会是，
故答案为：．
【分析】以“黔东南苗族侗族自治州”境内一点为原点建立如图所示平面直角坐标系，那么省会“贵阳市”境内一点点位于第二象限内，根据第二象限坐标特点即可得答案.
7．【答案】B
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、 ∵，
∴，故A错误.
B、∵，
∴，故B正确．
C、 ∵，
∴，故C错误．
D． ∵，
∴，故D错误．
故答案：B．
【分析】根据不等式的性质，结合得得，，，即可得答案.
8．【答案】B
【知识点】平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：如图，
根据题意，得，
故，
又，
故，
又，
故，
故选：B．
【分析】根据直线平行性质即可求出答案.
9．【答案】B
【知识点】垂线段最短及其应用；真命题与假命题；平行公理
【解析】【解答】解：A、等角的补角相等是真命题，故A错误.
B、两锐角之和可能小于，也可能是钝角，还可以是直角，故两锐角的和是钝角错误，是假命题，故B正确.
C、直线外一点到直线的所有连线中，垂线段长度最短为真命题，故C错误.
D、 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行是平行公理，是真命题，故D错误.
故答案为：B．
【分析】根据真假命题的判断，结合补角性质、锐角与钝角的定义、垂线段性质及平行公理进行判断即可得答案.
10．【答案】B
【知识点】三角板（直尺）画图-平行线
【解析】【解答】解：根据同位角相等两直线平行则正确的操作步骤是④②③①，
故选：B．
【分析】作直线，并用三角尺的一条边贴住直线，用直尺紧靠三角尺的另一条边，沿三角尺的边作出直线，沿直尺下移三角尺.
11．【答案】C
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设每只雀重x斤，每只燕重y斤，根据题意得：
故答案选：C.
【分析】根据题目情景，找出等量关系，列出方程组即可得答案.
12．【答案】D
【知识点】折线统计图
【解析】【解答】解：如图，
A. 由折线图可知，2024年直接经济产出为万亿元，间接经济产出为万亿元，则2024年直接经济产出比间接经济产出少3万亿元，说法正确，故A错误.
B. 由折线图可知， 2026年直接经济产出为万亿元，2021年直接经济产出为万亿元，则2026年直接经济产出为2021年直接经济产出的4倍，说法正确，故B错误.
C. 由折线图可知，2020年到2030年，直接经济产出和间接经济产出都是逐年增长，说法正确，故C错误.
D. 由折线图可知，2025年，每年的间接经济产出与直接经济产出的差值为（万亿元），2026年，每年的间接经济产出与直接经济产出的差值为（万亿元），则2025年和2026年，每年的间接经济产出与直接经济产出的差值不相等，说法错误，故D正确.
故答案为：D．
【分析】根据折线统计图所反映的数据，分别对ABCD各选项进行判断即可得答案.
13．【答案】如 （答案不唯一）
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：∵2= ，
∴大于2的无理数须使被开方数大于4即可，如 （答案不唯一）．
【分析】根据无理数的定义及实数的大小的比较求解即可。
14．【答案】60
【知识点】对顶角及其性质
【解析】【解答】解：如图，
∵直线与直线相交于点O，，
∴．
故答案为：60．
【分析】根据对顶角的性质即可得答案.
15．【答案】0
【知识点】二元一次方程的解；求代数式的值-整体代入求值；已知二元一次方程的解求参数
【解析】【解答】解：∵是二元一次方程的一个解，
∴
.
故答案为：0．
【分析】把题目所给的二元一次方程的解代入方程得，再把整理得=，再整体代入求解即可得答案.
16．【答案】10或40
【知识点】平行线的性质；一元一次方程的实际应用-几何问题；平行线的应用-求角度；分类讨论
【解析】【解答】解：根据题意得：，，，
如图所示，
当时，则，
∴，解得，
如图所示，
当时，则，
∵，，
∴，解得，
综上所述，t的值为10或40.
故答案为：10或40．
【分析】根据题目情景得等于，等于，等于，当平行时，则等于，即可得，解得，同理得当时，，综上所述，t的值为10或40.
17．【答案】（1）解：
（2）解：

【知识点】有理数的乘方法则；实数的绝对值；实数的混合运算（含开方）；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【分析】（1）首先计算得算术平方根，立方根，然后计算加减法即可得答案.
（2）首先化简绝对值，有理数的乘方，然后计算加减即可得答案.
（1）解：原式
．
（2）原式
．
18．【答案】（1）②； 不等式两边同时乘3时，未在右侧1处乘3.
（2）；；
；.
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】（1）解：小波的解答是在解不等式②时出现错误，错误的原因是不等式两边同时乘3时，未在右侧1处乘3.
故答案为：②； 不等式两边同时乘3时，未在右侧1处乘3.
（2）解：解不等式①，得，
解不等式②，得，
把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
∴原不等式组解集为：．
故答案为：；；；.
【分析】（1）根据解不等式②时，不等式两边同时乘3时，未在右侧1处乘3即可得答案.
（2）分别求出每一个不等式的解集，把它们的解在数轴上表示出解集根据数轴即可求出不等式组的解集.
（1）解：小波的解答是在解不等式②时出现错误；错误的原因是不等式两边同时乘3时，未在右侧1处乘3；
故答案为：②； 不等式两边同时乘3时，未在右侧1处乘3
（2）解：解：解不等式①，得，
解不等式②，得，
把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
所以原不等式组解集为：．
19．【答案】（1）解：如图，画三角形如下：
（2）解：如图，画三角形如下：
，．
【知识点】点的坐标；坐标与图形变化﹣平移；作图﹣平移
【解析】【分析】（1）根据点的位置建立平面直角坐标系，即可找到B、C的位置，再画三角形即可得答案.
（2）根据，，坐标，结合平移后，即可确定平移方式，可得点，，的坐标，顺次连接即可得三角形.
（1）解：如图，三角形即为所求；
（2）解：如图，三角形即为所求；
，．
20．【答案】（1）；.
（2）解：使用为：人，则补全条形统如下：
（3）解：根据题意得：
（人）.
∴该校教师最常使用“文小言”的人数为60人．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：根据题意得：
人，
∴本次调查时抽取的教师人数为80人，
∴扇形统计图中部分对应扇形的圆心角度数为：.
故答案为：；.
【分析】（1）根据抽样调查的教师人数=选择的人数选择的人数的百分数，部分对应扇形的圆心角度数=360选择的人数的百分数，代入数据求解即可得答案.
（2）根据文小言的人数=总人数-选择的人数-豆包人数-其他人数，即可得选择“文小言”的人数，再补全条形统计图即可.
（3）根据样本求出使用“文小言”的百分数，再乘以该校教师人数即可得使用“文小言”的人数.
（1）解：人，
即本次调查时抽取的教师人数为80人，
扇形统计图中部分对应扇形的圆心角度数为；
故答案为：；；
（2）解：使用“文小言”的人数为人，
补全条形统计图，如图：
（3）解：（人）
答：该校教师最常使用“文小言”的人数为60人．
21．【答案】（1）解：与平行，
理由如下：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴.
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
【知识点】角的运算；垂线的概念；平行线的性质；平行线的判定与性质
【解析】【分析】（1）先利用垂直的定义可得，再证出即可；
（2）先利用角的运算求出，再利用平行线的性质可得，再结合，利用角的运算求出即可．
（1）解：与平行，理由如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
22．【答案】解：如图，
∵（已知）
∴，（两直线平行，内错角相等）
∵，，（已知）
∴，（等量代换）
∵，，（平角的定义）
∴，，
∴，（等量代换）
∴．（内错角相等，两直线平行）
故答案为：两直线平行，内错角相等；等量代换；；；；；内错角相等，两直线平行．
【知识点】平行线的判定与性质；平行线的应用-证明问题
【解析】【分析】根据平行得相等，理由：两直线平行，内错角相等，再根据相等，相等得相等，理由是等量代换，再，得，理由是平角的定义即可得，即可得即可得，理由：内错角相等，两直线平行即可.
23．【答案】解：（1）设每辆小客车和每辆大客车各能坐，名学生，
根据题意得：，
解得：，
则每辆小客车和每辆大客车各能坐20，45名学生；
（2）根据题意得：，
整理得：，
当时，；时，，，，
方案一：租小客车11辆，大客车4辆；
方案二：租小客车2辆，大客车8辆；
方案三：租小客车20辆．
【知识点】二元一次方程的解；二元一次方程组的实际应用-配套问题
【解析】【分析】（1）设每辆小客车和每辆大客车各能坐，名学生，根据题意建立方程组，解方程组即可求出答案.
（2）根据题意建立方程，整理得，根据m，n取正整数赋值计算即可求出答案.
24．【答案】解：【列表求值】-1；0.
【描点连线】所有描出的点都在同一条直线上；这个点的x值，y值是方程的解．
【拓展延伸】图象如图，
方程组的解为．
【知识点】二元一次方程的解；一次函数与二元一次方程（组）的关系；描点法画函数图象
【解析】【解答】解：列表求值：
故答案为：-1；0.
描点连线：如图1所示
所有描出的点都在同一条直线上；
这个点的x值，y值是方程的解．
故答案为：所有描出的点都在同一条直线上；这个点的x值，y值是方程的解．
拓展延伸：
描点，连线，如图2所示
∴方程组的解为．
【分析】列表求值：把的值-1、0代入计算即可得的值.
描点连线：根据的值描点连线，根据图像即可得答案.
拓展延伸：把方程组中的两个方程看作一次函数，列表，再描点、连线即可画图，根据图像可得方程组的解.
25．【答案】（1）
（2）解：如图2，
过点作，过点作，
根据题意得：，
，
，
，
，，
，，
．
（3）解：，理由如下：
如图3，
过点作，过点作，
依题意得：，
，，，
，，
，，
．
【知识点】平行公理及推论；平行线的应用-求角度；平行公理的推论
【解析】【解答】解：（1）如图1，
∵
∴，
∵，
∴，
∴，，三者数量关系为：.
故答案为：.
【分析】（1）根据题意得互相平行，根据平行线的性质，得相等，相等，观察图形得与和为，即可得，，三者数量关系为：.
（2）过点作平行，过点作平行，根据题意可知垂直，即可得等于，根据等于可求出，根据平行，平行，即可得
等于，等于，再根据计算
求解即可得答案.
（3）过点作平行，过点作平行，根据平行线的公理及推论，结合已知可得互相平行，即可得等于，相等，等于，再根据等于的和，等于，的和，进一步得等于的和，等于的和，即可得.
（1）解：作一条平行于直线m与直线n的直线l，接着利用“两直线平行，内错角相等”的性质，就可以得出，，三者数量关系为，
故答案为：；
（2）解：如图2，过点作，过点作，
依题意得，
，
，
，
，，
，，
．
（3）解：，理由如下：
如图3，过点作，过点作，
依题意得，
，，，
，，
，，
．
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