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贵州省铜仁市万山区2024-2025学年八年级下学期6月期末联考数学试题
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1．“深度求索”的英语单词“”中，字母“e”出现的频率是（　　）
A． B． C． D．
2．中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”“立夏”“大雪”“芒种”，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．在平面直角坐标系中，已知点在第三象限，则的值可以为（　　）
A．0 B．4 C． D．
4．下列各组数据中，能构成直角三角形的是（　　）
A．，， B．6，7，8 C．2，3，4 D．3，3，
5．已知点，都在直线上，则，的大小关系是（　　）
A． B． C． D．无法确定
6．如图，在平面直角坐标系中，将线段平移后得到线段，点A和点B的对应点分别是点D和点C．若点，，，则点C的坐标为（　　）
A． B． C． D．
7．如图，将平行四边形沿折痕折叠，使点与点重合，若，则的周长为（ ）
A．8 B．10 C．12 D．16
8．下列说法中正确的是（　　）
A．对角线相等的四边形是矩形
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．矩形的对角线互相平分且相等
D．菱形的对角线互相垂直且相等
9．已知直线经过第一、二、四象限，则直线的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
10．如图，在等边三角形中，，点D是的中点，过点D作于点F，过点F作于点E，则的长为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
11．如图，在菱形中，对角线交于点O，于点H，连接，若，则的长为（　　）
A．4 B． C． D．
12．甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速步行2400米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发4分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人的距离（米）与甲出发的时间（分）之间的关系如图所示，下列说法错误的是（　　）
A．乙用12分钟追上甲
B．乙追上甲后，再走1440米才到达
C．甲乙两人之间的最远距离是300米
D．甲到终点时，乙已经在终点处休息了6分钟
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，请把正确答案填写在答题卡相应位置上．）
13．在平面直角坐标系中，点关于x轴的对称点的坐标为　 　．
14．已知一次函数（为常数）的图象不经过第二象限．写出一个符合条件的的值为　 　．
15．如图，三角形纸片中，，，．D是边上一点，连接，把沿翻折，点B恰好落在延长线上的点处，则的长为　 　．
16．如图，矩形的边，，为上一点，且，为边上的一个动点，连接，若以为边向右侧作等腰直角三角形，，连接，则的最小值为 　 　 ．
三、解答题（本大题共9小题，共98分，解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．已知：如图，在和中，，相交于点，，，且，求证：．
18．如图，四边形是平行四边形，，且分别交对角线于点，．求证：．
19．如图，在直角坐标系中，已知，，，将向右平移个单位再向下平移个单位得到，点，，的对应点分别是点，，．
（1）画出并直接写出点的坐标；
（2）求的面积．
20．年是爱国卫生运动开展周年，年月也是第个爱国卫生月，为了倡导文明健康绿色环保生活方式，某市决定开展“爱国卫生行动，从我开始行动”主题演讲比赛．该市某中学将参加本校选拔赛的选手的成绩（满分为分，得分为正整数）分成六组，并绘制了如下不完整的统计图表．
频数分布表
组别 成绩分 频数
请根据以上信息，回答下列问题：
（1）参加学校选拔赛的有______人．
（2）补全频数分布直方图．
（3）小华这次的成绩是分，他分析后认为他的成绩刚好是参赛选手成绩的中位数．请问小华的想法是否一定正确？简要说明理由．
21．伟大的“乡村振兴”战略思想为广大的农村地区带来了福音，各项惠农政策极大的促进了农村产业高速发展，某地政府为了加快农产品快速输出，计划整修公路缩短运输路程，如图C地是当地蔬菜种植基地，原先C地的蔬菜运往A城市必须先经过B地中转然后才能到达A市（即沿路线），现在政府计划打通一条隧道（大概位置为图中粗墨色线条），然后再到达A市，即沿路线．
（1）为了使得隧道最短，请你利用尺规作图准确作出D点位置（保留作图痕迹）
（2）已知，，，请你利用所学知识计算打通隧道后由C地到A城市的路程缩短了多少．
22．蛇年新春，《哪吒之魔童闹海》热度节节攀升，其电影周边产品同样火爆，供不应求．某商家小王计划购买某种文创产品进行销售，经调查了解到有甲、乙两个厂家可供选择，且标价都是每个50元．两个厂家针对这种文创产品给出了不同的优惠方案：
甲厂家：一律打8折出售．
乙厂家：若一次性购买这种文创产品的数量超过50个，超过的部分打6折，前50个仍按原价．商家小王计划财买这种文创产品个，设去甲厂家购买应付元，去乙厂家购买应付元．
（1）分别求出、与x之间的函数关系式；
（2）当小王购买这种文创产品为200个时，从哪个厂家购买比较合算？
23．如图，在四边形中，，，，，点从点出发，以的速度向点运动；点同时从点出发，以的速度向点运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．
（1）当运动时，判断此时四边形的形状，并说明理由；
（2）若，且点的运动速度不变，要使四边形为正方形，则点的运动速度是______；
（3）当时，需运动多少时间？
24．如图，已知直线交轴于点，交轴于点，直线交轴于点，与直线相交于点．
（1）求的值与求直线的解析式；
（2）根据图像，直接写出关于的不等式的解集；
（3）求四边形的面积．
25．在正方形中，点、分别为边、上的动点，且
（1）如图①，求证：；
（2）如图②，当点为线段中点，连接，求证：；
（3）如图③，若正方形边长为9，连接，点是的中点，为上的点，且，则的最小值是_______________．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】频数与频率
【解析】【解答】解：“深度求索”的英语单词“”中，字母“e”出现的频率是，
故答案为：D．
【分析】本题考查了频数与频率，利用了频率公式 ： 频率=频数÷数据总和， 用单词“”中字母e的个数除以字母的总个数即可得到答案．
2．【答案】C
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A．该图是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意；
B．该图既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意；
C．该图既是轴对称图形，又是中心对称图形，故符合题意；
D．该图既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意；
故选C．
【分析】将图形沿某一条直线折叠后能够重合的图形为轴对称图形；将图形沿某一点旋转180°后能够与原图重合的图形为中心对称图形.
3．【答案】C
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵点在第三象限，
∴，
故答案为：C．
【分析】本题考查点的坐标，先确定点的纵横坐标，再根据在第三象限的点的纵横坐标的特征进行解答即可．
4．【答案】D
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、，不能组成直角三角形 ，故选项错误 ；
B、，不能组成直角三角形 ，故选项错误 ；
C、，不能组成直角三角形 ，故选项错误 ；
D、，能组成直角三角形 ，故选项正确 ；
故答案为：D．
【分析】 本题考查勾股定理的逆定理的应用．先判断三条边的大小， 用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．
5．【答案】C
【知识点】比较一次函数值的大小
【解析】【解答】解：直线，
，
随的增大而增大，
点，都在直线上，且，
，
故答案为：C．
【分析】本题考查了一次函数的性质，先判断出，可先出此时 y随x的增大而增大，由，即可得出．
6．【答案】C
【知识点】坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解：将线段平移后得到线段，点A和点B的对应点分别是点D和点C．
，，
∴，
∴平移方式为：先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，
，
故点C的坐标为．
故答案为：C．
【分析】本题主要考查点的平移，由点A和点D的坐标可得出线段的平移方式：先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度．根据平移方式由即可求出点C的坐标．
7．【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵，
∴，
根据折叠的性质可知，，
则的周长为：
．
故答案为：C
【分析】本题考查翻折变换，平行四边形的性质等知识， 由折叠推出，利用翻折变换的性质，推出△ABE的周长等于，代入相关数据即可解决问题．
8．【答案】C
【知识点】菱形的判定与性质；矩形的判定
【解析】【解答】解：A. 对角线相等的四边形不一定是矩形，也可以是等腰梯形，选项说法错误，不符合题意；
B. 对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，选项说法错误，不符合题意；
C. 矩形的对角线互相平分且相等，选项说法正确，符合题意；
D. 菱形的对角线互相垂直且平分，选项说法错误，不符合题意；
故答案为：C．
【分析】本题考查了矩形的性质和判定，菱形的性质和判定，根据矩形的判定定理，对角线相等的平行四边形是矩形，可判断A不符合题意；根据菱形的判定定理，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可判断B不符合题意；由矩形的性质可知，矩形的对角线相等，可判断C符合题意；对角线互相垂直平分的四边形是菱形，可判断D不符合题意，于是得到问题的答案．
9．【答案】B
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：直线经过第一、二、四象限，
，，
，
又，
直线经过第一、二、三象限，
故答案为：B．
【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，先由 直线经过第一、二、四象限 可得出，，再得出，结合，可判断 直线的图象经过第一、二、三象限，即可求解．
10．【答案】C
【知识点】等边三角形的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：∵是等边三角形，
∴，，
∵是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
【分析】
由于等边三角形的各边相等、每个内角都是60度，则由直角三角形两锐角互余可得，再由中点的概念可得，则由含30度角的直角三角形性质可得AF＝2，即CF＝6，同理可得CE＝3，则BE＝5．
11．【答案】D
【知识点】勾股定理；菱形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵四边形是菱形，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∵，即，
∴，
故答案为：D．
【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分得OB=OD，OA=OC=4，BD⊥AC，根据直角三角形斜边中线等于下边一半得出OB=OC=OH=3，在Rt△AOB中，根据勾股定理求出AB，再根据等面积法结合菱形面积公式建立方程可求出DH的长.
12．【答案】C
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：由函数图象可知，16分钟时两人相遇，
∴乙追上甲用时分钟，故选项A正确，不符合题意；
设甲的速度为米/秒，甲的速度为米/秒，
则有，解得，
∴乙追上甲时，甲行走距离为米，
∴乙追上甲后，再走米才到达，故选项B正确，不符合题意；
当乙到达终点，用时分钟，
此时甲步行了米，甲离终点还有米，
故甲乙两人之间的最远距离是360米，故选项C不正确，符合题意；
∵乙到达终点后，甲到达终点还需步行时间为分钟，
∴甲到终点时，乙已经在终点处休息了6分钟，故选项D正确，不符合题意．
故答案为：C．
【分析】本题考查了函数图象的知识，由图象得甲出发4分钟后乙开始出发，在甲出发16分钟时乙追上甲故可判断A，求出甲的速度为60米/秒，乙的速度为80米/秒，求出乙追上甲时甲行驶的路程为960米，可得 乙追上甲后，再走1440米才到达，故可判断B；当乙到达终点时用时（分钟），此时甲行驶 了米，甲离终点还有米 ，故可判断C；乙到达终点后，甲到达终点还需步行时间为分钟，甲到终点时，乙已经在终点处休息了6分钟，故可判断D．
13．【答案】
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征；坐标与图形变化﹣对称
【解析】【解答】解：由题意得，在平面直角坐标系中，点关于x轴的对称点的坐标为，
故答案为：．
【分析】根据关于x轴对称的点的坐标特征即可求出答案.
14．【答案】0
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解∶函数 (b是常数)的图象不经过第二象限，
可取．
故答案为∶0(答案不唯一，满足即可)
【分析】 本题考查一次函数的性质， 由 一次函数（为常数） 知，函数图象不经过第二象限，则经过第一、三、四象限或经过原点，故可知，写出满足条件的的值即可．
15．【答案】
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：由翻折可得为的角平分线，
作于点，则，
在中，由勾股定理得，
，，
，
又，
，
．
故答案为：．
【分析】由翻折可得为的角平分线，作于点，则，根据勾股定理可得AC，再根据三角形面积，结合边之间的关系即可求出答案.
16．【答案】
【知识点】矩形的性质；三角形全等的判定-AAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：如图，过点作于，过点作，
四边形是矩形，，，
，，，
，
，
，
，，
，
在和中，
，
，
，
点在平行且到距离为的直线上运动，
当与重合时，有最小值，此时，
的最小值，
故答案为：．
【分析】本题考查了矩形的判定与性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，掌握以上知识，数形结合，正确合理作出辅助线是解答本题的关键．如图，过点作于，过点作，得出，，根据“”证明，可得，可得点在线段的一部分上运动，则当与重合时，有最小值，求得，，运用勾股定理求出即可．
17．【答案】解：在和中，
，
，
．
【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定-HL
【解析】【分析】根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案.
18．【答案】证明：∵在平行四边形中，，
∴，
又∵，
∴，
∴在和中，
，
∴．
【知识点】平行线的性质；平行四边形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】根据平行四边形性质可得，则，根据直线平行性质可得，再根据全等三角形判定定理即可求出答案.
19．【答案】（1）解：如图所示：即为所求；
由图得，；
（2）解：的面积为：．
【知识点】三角形的面积；坐标与图形变化﹣平移；作图﹣平移
【解析】【分析】本题考查平移作图、点的坐标、三角形面积，解题关键是正确掌握平移性质．
（1）根据平移方式： 向右平移个单位再向下平移个单位 找到点，，平移后对应点，再顺次连接即可得，最后根据点在平面直角坐标中的位置写出它的坐标即可；
（2）确定三角形的底边为2，高为3，根据三角形面积计算公式即可得解．
（1）解：如图所示：即为所求；
由图得，；
（2）解：的面积为：．
20．【答案】（1）50
（2）解：∵（人），（人），
∴补全频数分布直方图，
（3）解：小华的想法不一定正确，理由：
因为一共有个数据，中位数是第个数据的平均数，而第个数据在组（），但不能确定这两个数据具体是多少，所以不能确定分就是中位数．
【知识点】频数（率）分布表；频数（率）分布直方图；扇形统计图；条形统计图；中位数
【解析】【解析】（1）解：∵组人数所占百分比为，
∴组人数所占百分比为，
∴参加学校选拔赛的人数为：（人），
故答案为：；
【分析】本题考查了频数分布表，频数分布直方图，条形统计图和扇形统计图，中位数，掌握统计图和相关概念是解题的关键．
（）先根据扇形统计图计算出D组人数所占的百分比，再用1减去D组人数和C组人数所占的百分比得到组的人数所占的百分比之和，用组的人数之和除以百分比求出总数即可；
（）由 参加选拔赛的选手人数分别乘以C组和D组人数的百分比得到的值，再补全频数分布直方图即可；
（）根据中位数的意义和频数分布表中数据的分布情况分析，进行判断即可．
（1）解：∵组人数所占百分比为，
∴组人数所占百分比为，
∴参加学校选拔赛的人数为：（人），
故答案为：；
（2）解：∵（人），（人），
∴补全频数分布直方图，
（3）解：小华的想法不一定正确，理由：
因为一共有个数据，中位数是第个数据的平均数，而第个数据在组（），但不能确定这两个数据具体是多少，所以不能确定分就是中位数．
21．【答案】（1）解：如图，D点位置即为所作，
；
（2）解：∵，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
打通隧道前，由C地到A城市的路程为，
打通隧道后，由C地到A城市的路程为，
打通隧道后由C地到A城市的路程缩短了．
【知识点】三角形的面积；尺规作图-垂线；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；等积变换
【解析】【分析】（1）根据垂线定义作图即可.
（2）根据勾股定理可得AB，根据三角形面积可得CD，再根据勾股定理即可求出答案.
（1）解：如图，D点位置即为所作，
；
（2）解：∵，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
打通隧道前，由C地到A城市的路程为，
打通隧道后，由C地到A城市的路程为，
打通隧道后由C地到A城市的路程缩短了．
22．【答案】（1）解：根据题意．得：．
当时，；
当时，．
综上，与x之间的函数关系式为；
与x之间的函数关系式为
（2）解：当时，，
，
∵，
∴当小王购买这种文创产品为200个时，从乙厂家购买比较合算．
【知识点】一次函数的其他应用
【解析】【分析】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式．
（1）根据售价与数量、单价间的关系，结合两个厂家给出的不同的优惠方案即可列出一次函数关系式即可；
（2）将分别代入（1）中的函数关系式，得出两种方案的函数值，进行比较后即可得到答案．
（1）解：根据题意．得：．
当时，；
当时，．
综上，与x之间的函数关系式为；
与x之间的函数关系式为
（2）当时，，
，
∵，
∴当小王购买这种文创产品为200个时，从乙厂家购买比较合算．
23．【答案】（1）解：四边形为平行四边形，理由如下：
当时，
∵，
∴；
又，
∴，
又，
∴四边形为平行四边形；
（2）
（3）解：根据题意得：，，则，
若要，分为两种情况：
①当四边形为平行四边形时，即，
∴，
解得：，
②当四边形为等腰梯形时，
即
∴，
解得：，
即当或时，．
【知识点】平行四边形的判定与性质；正方形的性质；一元一次方程的实际应用-几何问题；四边形-动点问题；分类讨论
【解析】【解答】（2）解：∵四边形为正方形，
∴，
∴，
∴；
∴点的运动速度为
故答案为：；
【分析】（1）当时，，根据边之间的关系可得AD，再根据平行四边形判定定理即可求出答案.
（2）根据正方形性质可得，再根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
（3）根据题意得：，，则，分情况讨论：①当四边形为平行四边形时，即，②当四边形为等腰梯形时，根据边之间的关系建立方程，解方程即可求出答案.
（1）解：四边形为平行四边形，理由如下：
当时，
∵，
∴；
又，
∴，
又，
∴四边形为平行四边形；
（2）解：∵四边形为正方形，
∴，
∴，
∴；
∴点的运动速度为
故答案为：；
（3）解：根据题意得：，，则，
若要，分为两种情况：
①当四边形为平行四边形时，即，
∴，
解得：，
②当四边形为等腰梯形时，
即
∴，
解得：，
即当或时，．
24．【答案】（1）解：∵直线与直线相交于点，
∴，
解得：
∴，
把点，代入得，
，
解得，
∴直线的解析式为：.
（2）
（3）解：把代入得，，
∴，
把代入得，，
解得：，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴四边形的面积．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与不等式（组）的关系；三角形的面积；几何图形的面积计算-割补法；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】（2）解：由图象可知，当一次函数图象在直线图象上方时，自变量的取值范围为，
∴不等式的解集是，
故答案为：.
【分析】（1）先求出点C的坐标，再将点A、C的坐标代入求出k、b的值即可；
（2）结合函数图象，利用函数值大的图象在上方的原则求解即可；
（3）先求出点B、D的坐标，可得AD的长，再利用三角形的面积公式及割补法求出四边形OBCD的面积即可.
（1）解：∵直线与直线相交于点，
∴，
解得
∴，
把点，代入得，
，
解得，
∴直线的解析式为：；
（2）解：由图象可知，当一次函数图象在直线图象上方时，自变量的取值范围为，
∴不等式的解集是；
（3）解：把代入得，，
∴，
把代入得，，
解得，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴四边形的面积．
25．【答案】（1）证明：在正方形中，，
∵，
∴，
∴，
∵
∴，
∴，
∴；
（2）证明：取中点O，连接，设交于点M，
由（1）知，
∵点O是中点，
∴，
∵点为线段中点，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
同理（1）得，
∵，
∴为中点，即垂直平分，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）
【知识点】正方形的性质；轴对称的性质；三角形全等的判定-SAS；直角三角形斜边上的中线；胡不归模型
【解析】【解答】解：作点关于的对称点，连接，
则，
由（1）知，
∵点 M 是的中点，
∴，
当三点共线时，有最小值，即有最小值，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的最小值是．
故答案为：．
【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，对称的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定与性质是解题的关键．
（1）由四边形是正方形可得出，结合，
运用可证明，由全等三角形的性质可得，由得，从而得，即可得出结论；
（2）取中点O，连接，设交于点M，由直角三角形斜边上的中线等于斜边一半可得
，推出，证明，再证明，得出，，由可得结论；
（3）作点关于的对称点，连接，证明，当三点共线时，有最小值为，利用勾股定理求出即可．
（1）证明：在正方形中，，
∵，
∴，
∴，
∵
∴，
∴，
∴；
（2）证明：取中点O，连接，设交于点M，
由（1）知，
∵点O是中点，
∴，
∵点为线段中点，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
同理（1）得，
∵，
∴为中点，即垂直平分，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）解：作点关于的对称点，连接，
则，
由（1）知，
∵点 M 是的中点，
∴，
当三点共线时，有最小值，即有最小值，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的最小值是．
1 / 1贵州省铜仁市万山区2024-2025学年八年级下学期6月期末联考数学试题
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1．“深度求索”的英语单词“”中，字母“e”出现的频率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】频数与频率
【解析】【解答】解：“深度求索”的英语单词“”中，字母“e”出现的频率是，
故答案为：D．
【分析】本题考查了频数与频率，利用了频率公式 ： 频率=频数÷数据总和， 用单词“”中字母e的个数除以字母的总个数即可得到答案．
2．中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”“立夏”“大雪”“芒种”，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A．该图是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意；
B．该图既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意；
C．该图既是轴对称图形，又是中心对称图形，故符合题意；
D．该图既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意；
故选C．
【分析】将图形沿某一条直线折叠后能够重合的图形为轴对称图形；将图形沿某一点旋转180°后能够与原图重合的图形为中心对称图形.
3．在平面直角坐标系中，已知点在第三象限，则的值可以为（　　）
A．0 B．4 C． D．
【答案】C
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵点在第三象限，
∴，
故答案为：C．
【分析】本题考查点的坐标，先确定点的纵横坐标，再根据在第三象限的点的纵横坐标的特征进行解答即可．
4．下列各组数据中，能构成直角三角形的是（　　）
A．，， B．6，7，8 C．2，3，4 D．3，3，
【答案】D
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、，不能组成直角三角形 ，故选项错误 ；
B、，不能组成直角三角形 ，故选项错误 ；
C、，不能组成直角三角形 ，故选项错误 ；
D、，能组成直角三角形 ，故选项正确 ；
故答案为：D．
【分析】 本题考查勾股定理的逆定理的应用．先判断三条边的大小， 用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．
5．已知点，都在直线上，则，的大小关系是（　　）
A． B． C． D．无法确定
【答案】C
【知识点】比较一次函数值的大小
【解析】【解答】解：直线，
，
随的增大而增大，
点，都在直线上，且，
，
故答案为：C．
【分析】本题考查了一次函数的性质，先判断出，可先出此时 y随x的增大而增大，由，即可得出．
6．如图，在平面直角坐标系中，将线段平移后得到线段，点A和点B的对应点分别是点D和点C．若点，，，则点C的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解：将线段平移后得到线段，点A和点B的对应点分别是点D和点C．
，，
∴，
∴平移方式为：先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，
，
故点C的坐标为．
故答案为：C．
【分析】本题主要考查点的平移，由点A和点D的坐标可得出线段的平移方式：先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度．根据平移方式由即可求出点C的坐标．
7．如图，将平行四边形沿折痕折叠，使点与点重合，若，则的周长为（ ）
A．8 B．10 C．12 D．16
【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵，
∴，
根据折叠的性质可知，，
则的周长为：
．
故答案为：C
【分析】本题考查翻折变换，平行四边形的性质等知识， 由折叠推出，利用翻折变换的性质，推出△ABE的周长等于，代入相关数据即可解决问题．
8．下列说法中正确的是（　　）
A．对角线相等的四边形是矩形
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．矩形的对角线互相平分且相等
D．菱形的对角线互相垂直且相等
【答案】C
【知识点】菱形的判定与性质；矩形的判定
【解析】【解答】解：A. 对角线相等的四边形不一定是矩形，也可以是等腰梯形，选项说法错误，不符合题意；
B. 对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，选项说法错误，不符合题意；
C. 矩形的对角线互相平分且相等，选项说法正确，符合题意；
D. 菱形的对角线互相垂直且平分，选项说法错误，不符合题意；
故答案为：C．
【分析】本题考查了矩形的性质和判定，菱形的性质和判定，根据矩形的判定定理，对角线相等的平行四边形是矩形，可判断A不符合题意；根据菱形的判定定理，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可判断B不符合题意；由矩形的性质可知，矩形的对角线相等，可判断C符合题意；对角线互相垂直平分的四边形是菱形，可判断D不符合题意，于是得到问题的答案．
9．已知直线经过第一、二、四象限，则直线的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：直线经过第一、二、四象限，
，，
，
又，
直线经过第一、二、三象限，
故答案为：B．
【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，先由 直线经过第一、二、四象限 可得出，，再得出，结合，可判断 直线的图象经过第一、二、三象限，即可求解．
10．如图，在等边三角形中，，点D是的中点，过点D作于点F，过点F作于点E，则的长为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【知识点】等边三角形的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：∵是等边三角形，
∴，，
∵是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
【分析】
由于等边三角形的各边相等、每个内角都是60度，则由直角三角形两锐角互余可得，再由中点的概念可得，则由含30度角的直角三角形性质可得AF＝2，即CF＝6，同理可得CE＝3，则BE＝5．
11．如图，在菱形中，对角线交于点O，于点H，连接，若，则的长为（　　）
A．4 B． C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理；菱形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵四边形是菱形，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∵，即，
∴，
故答案为：D．
【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分得OB=OD，OA=OC=4，BD⊥AC，根据直角三角形斜边中线等于下边一半得出OB=OC=OH=3，在Rt△AOB中，根据勾股定理求出AB，再根据等面积法结合菱形面积公式建立方程可求出DH的长.
12．甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速步行2400米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发4分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人的距离（米）与甲出发的时间（分）之间的关系如图所示，下列说法错误的是（　　）
A．乙用12分钟追上甲
B．乙追上甲后，再走1440米才到达
C．甲乙两人之间的最远距离是300米
D．甲到终点时，乙已经在终点处休息了6分钟
【答案】C
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：由函数图象可知，16分钟时两人相遇，
∴乙追上甲用时分钟，故选项A正确，不符合题意；
设甲的速度为米/秒，甲的速度为米/秒，
则有，解得，
∴乙追上甲时，甲行走距离为米，
∴乙追上甲后，再走米才到达，故选项B正确，不符合题意；
当乙到达终点，用时分钟，
此时甲步行了米，甲离终点还有米，
故甲乙两人之间的最远距离是360米，故选项C不正确，符合题意；
∵乙到达终点后，甲到达终点还需步行时间为分钟，
∴甲到终点时，乙已经在终点处休息了6分钟，故选项D正确，不符合题意．
故答案为：C．
【分析】本题考查了函数图象的知识，由图象得甲出发4分钟后乙开始出发，在甲出发16分钟时乙追上甲故可判断A，求出甲的速度为60米/秒，乙的速度为80米/秒，求出乙追上甲时甲行驶的路程为960米，可得 乙追上甲后，再走1440米才到达，故可判断B；当乙到达终点时用时（分钟），此时甲行驶 了米，甲离终点还有米 ，故可判断C；乙到达终点后，甲到达终点还需步行时间为分钟，甲到终点时，乙已经在终点处休息了6分钟，故可判断D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，请把正确答案填写在答题卡相应位置上．）
13．在平面直角坐标系中，点关于x轴的对称点的坐标为　 　．
【答案】
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征；坐标与图形变化﹣对称
【解析】【解答】解：由题意得，在平面直角坐标系中，点关于x轴的对称点的坐标为，
故答案为：．
【分析】根据关于x轴对称的点的坐标特征即可求出答案.
14．已知一次函数（为常数）的图象不经过第二象限．写出一个符合条件的的值为　 　．
【答案】0
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解∶函数 (b是常数)的图象不经过第二象限，
可取．
故答案为∶0(答案不唯一，满足即可)
【分析】 本题考查一次函数的性质， 由 一次函数（为常数） 知，函数图象不经过第二象限，则经过第一、三、四象限或经过原点，故可知，写出满足条件的的值即可．
15．如图，三角形纸片中，，，．D是边上一点，连接，把沿翻折，点B恰好落在延长线上的点处，则的长为　 　．
【答案】
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：由翻折可得为的角平分线，
作于点，则，
在中，由勾股定理得，
，，
，
又，
，
．
故答案为：．
【分析】由翻折可得为的角平分线，作于点，则，根据勾股定理可得AC，再根据三角形面积，结合边之间的关系即可求出答案.
16．如图，矩形的边，，为上一点，且，为边上的一个动点，连接，若以为边向右侧作等腰直角三角形，，连接，则的最小值为 　 　 ．
【答案】
【知识点】矩形的性质；三角形全等的判定-AAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：如图，过点作于，过点作，
四边形是矩形，，，
，，，
，
，
，
，，
，
在和中，
，
，
，
点在平行且到距离为的直线上运动，
当与重合时，有最小值，此时，
的最小值，
故答案为：．
【分析】本题考查了矩形的判定与性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，掌握以上知识，数形结合，正确合理作出辅助线是解答本题的关键．如图，过点作于，过点作，得出，，根据“”证明，可得，可得点在线段的一部分上运动，则当与重合时，有最小值，求得，，运用勾股定理求出即可．
三、解答题（本大题共9小题，共98分，解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．已知：如图，在和中，，相交于点，，，且，求证：．
【答案】解：在和中，
，
，
．
【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定-HL
【解析】【分析】根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案.
18．如图，四边形是平行四边形，，且分别交对角线于点，．求证：．
【答案】证明：∵在平行四边形中，，
∴，
又∵，
∴，
∴在和中，
，
∴．
【知识点】平行线的性质；平行四边形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】根据平行四边形性质可得，则，根据直线平行性质可得，再根据全等三角形判定定理即可求出答案.
19．如图，在直角坐标系中，已知，，，将向右平移个单位再向下平移个单位得到，点，，的对应点分别是点，，．
（1）画出并直接写出点的坐标；
（2）求的面积．
【答案】（1）解：如图所示：即为所求；
由图得，；
（2）解：的面积为：．
【知识点】三角形的面积；坐标与图形变化﹣平移；作图﹣平移
【解析】【分析】本题考查平移作图、点的坐标、三角形面积，解题关键是正确掌握平移性质．
（1）根据平移方式： 向右平移个单位再向下平移个单位 找到点，，平移后对应点，再顺次连接即可得，最后根据点在平面直角坐标中的位置写出它的坐标即可；
（2）确定三角形的底边为2，高为3，根据三角形面积计算公式即可得解．
（1）解：如图所示：即为所求；
由图得，；
（2）解：的面积为：．
20．年是爱国卫生运动开展周年，年月也是第个爱国卫生月，为了倡导文明健康绿色环保生活方式，某市决定开展“爱国卫生行动，从我开始行动”主题演讲比赛．该市某中学将参加本校选拔赛的选手的成绩（满分为分，得分为正整数）分成六组，并绘制了如下不完整的统计图表．
频数分布表
组别 成绩分 频数
请根据以上信息，回答下列问题：
（1）参加学校选拔赛的有______人．
（2）补全频数分布直方图．
（3）小华这次的成绩是分，他分析后认为他的成绩刚好是参赛选手成绩的中位数．请问小华的想法是否一定正确？简要说明理由．
【答案】（1）50
（2）解：∵（人），（人），
∴补全频数分布直方图，
（3）解：小华的想法不一定正确，理由：
因为一共有个数据，中位数是第个数据的平均数，而第个数据在组（），但不能确定这两个数据具体是多少，所以不能确定分就是中位数．
【知识点】频数（率）分布表；频数（率）分布直方图；扇形统计图；条形统计图；中位数
【解析】【解析】（1）解：∵组人数所占百分比为，
∴组人数所占百分比为，
∴参加学校选拔赛的人数为：（人），
故答案为：；
【分析】本题考查了频数分布表，频数分布直方图，条形统计图和扇形统计图，中位数，掌握统计图和相关概念是解题的关键．
（）先根据扇形统计图计算出D组人数所占的百分比，再用1减去D组人数和C组人数所占的百分比得到组的人数所占的百分比之和，用组的人数之和除以百分比求出总数即可；
（）由 参加选拔赛的选手人数分别乘以C组和D组人数的百分比得到的值，再补全频数分布直方图即可；
（）根据中位数的意义和频数分布表中数据的分布情况分析，进行判断即可．
（1）解：∵组人数所占百分比为，
∴组人数所占百分比为，
∴参加学校选拔赛的人数为：（人），
故答案为：；
（2）解：∵（人），（人），
∴补全频数分布直方图，
（3）解：小华的想法不一定正确，理由：
因为一共有个数据，中位数是第个数据的平均数，而第个数据在组（），但不能确定这两个数据具体是多少，所以不能确定分就是中位数．
21．伟大的“乡村振兴”战略思想为广大的农村地区带来了福音，各项惠农政策极大的促进了农村产业高速发展，某地政府为了加快农产品快速输出，计划整修公路缩短运输路程，如图C地是当地蔬菜种植基地，原先C地的蔬菜运往A城市必须先经过B地中转然后才能到达A市（即沿路线），现在政府计划打通一条隧道（大概位置为图中粗墨色线条），然后再到达A市，即沿路线．
（1）为了使得隧道最短，请你利用尺规作图准确作出D点位置（保留作图痕迹）
（2）已知，，，请你利用所学知识计算打通隧道后由C地到A城市的路程缩短了多少．
【答案】（1）解：如图，D点位置即为所作，
；
（2）解：∵，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
打通隧道前，由C地到A城市的路程为，
打通隧道后，由C地到A城市的路程为，
打通隧道后由C地到A城市的路程缩短了．
【知识点】三角形的面积；尺规作图-垂线；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；等积变换
【解析】【分析】（1）根据垂线定义作图即可.
（2）根据勾股定理可得AB，根据三角形面积可得CD，再根据勾股定理即可求出答案.
（1）解：如图，D点位置即为所作，
；
（2）解：∵，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
打通隧道前，由C地到A城市的路程为，
打通隧道后，由C地到A城市的路程为，
打通隧道后由C地到A城市的路程缩短了．
22．蛇年新春，《哪吒之魔童闹海》热度节节攀升，其电影周边产品同样火爆，供不应求．某商家小王计划购买某种文创产品进行销售，经调查了解到有甲、乙两个厂家可供选择，且标价都是每个50元．两个厂家针对这种文创产品给出了不同的优惠方案：
甲厂家：一律打8折出售．
乙厂家：若一次性购买这种文创产品的数量超过50个，超过的部分打6折，前50个仍按原价．商家小王计划财买这种文创产品个，设去甲厂家购买应付元，去乙厂家购买应付元．
（1）分别求出、与x之间的函数关系式；
（2）当小王购买这种文创产品为200个时，从哪个厂家购买比较合算？
【答案】（1）解：根据题意．得：．
当时，；
当时，．
综上，与x之间的函数关系式为；
与x之间的函数关系式为
（2）解：当时，，
，
∵，
∴当小王购买这种文创产品为200个时，从乙厂家购买比较合算．
【知识点】一次函数的其他应用
【解析】【分析】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式．
（1）根据售价与数量、单价间的关系，结合两个厂家给出的不同的优惠方案即可列出一次函数关系式即可；
（2）将分别代入（1）中的函数关系式，得出两种方案的函数值，进行比较后即可得到答案．
（1）解：根据题意．得：．
当时，；
当时，．
综上，与x之间的函数关系式为；
与x之间的函数关系式为
（2）当时，，
，
∵，
∴当小王购买这种文创产品为200个时，从乙厂家购买比较合算．
23．如图，在四边形中，，，，，点从点出发，以的速度向点运动；点同时从点出发，以的速度向点运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．
（1）当运动时，判断此时四边形的形状，并说明理由；
（2）若，且点的运动速度不变，要使四边形为正方形，则点的运动速度是______；
（3）当时，需运动多少时间？
【答案】（1）解：四边形为平行四边形，理由如下：
当时，
∵，
∴；
又，
∴，
又，
∴四边形为平行四边形；
（2）
（3）解：根据题意得：，，则，
若要，分为两种情况：
①当四边形为平行四边形时，即，
∴，
解得：，
②当四边形为等腰梯形时，
即
∴，
解得：，
即当或时，．
【知识点】平行四边形的判定与性质；正方形的性质；一元一次方程的实际应用-几何问题；四边形-动点问题；分类讨论
【解析】【解答】（2）解：∵四边形为正方形，
∴，
∴，
∴；
∴点的运动速度为
故答案为：；
【分析】（1）当时，，根据边之间的关系可得AD，再根据平行四边形判定定理即可求出答案.
（2）根据正方形性质可得，再根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
（3）根据题意得：，，则，分情况讨论：①当四边形为平行四边形时，即，②当四边形为等腰梯形时，根据边之间的关系建立方程，解方程即可求出答案.
（1）解：四边形为平行四边形，理由如下：
当时，
∵，
∴；
又，
∴，
又，
∴四边形为平行四边形；
（2）解：∵四边形为正方形，
∴，
∴，
∴；
∴点的运动速度为
故答案为：；
（3）解：根据题意得：，，则，
若要，分为两种情况：
①当四边形为平行四边形时，即，
∴，
解得：，
②当四边形为等腰梯形时，
即
∴，
解得：，
即当或时，．
24．如图，已知直线交轴于点，交轴于点，直线交轴于点，与直线相交于点．
（1）求的值与求直线的解析式；
（2）根据图像，直接写出关于的不等式的解集；
（3）求四边形的面积．
【答案】（1）解：∵直线与直线相交于点，
∴，
解得：
∴，
把点，代入得，
，
解得，
∴直线的解析式为：.
（2）
（3）解：把代入得，，
∴，
把代入得，，
解得：，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴四边形的面积．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与不等式（组）的关系；三角形的面积；几何图形的面积计算-割补法；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】（2）解：由图象可知，当一次函数图象在直线图象上方时，自变量的取值范围为，
∴不等式的解集是，
故答案为：.
【分析】（1）先求出点C的坐标，再将点A、C的坐标代入求出k、b的值即可；
（2）结合函数图象，利用函数值大的图象在上方的原则求解即可；
（3）先求出点B、D的坐标，可得AD的长，再利用三角形的面积公式及割补法求出四边形OBCD的面积即可.
（1）解：∵直线与直线相交于点，
∴，
解得
∴，
把点，代入得，
，
解得，
∴直线的解析式为：；
（2）解：由图象可知，当一次函数图象在直线图象上方时，自变量的取值范围为，
∴不等式的解集是；
（3）解：把代入得，，
∴，
把代入得，，
解得，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴四边形的面积．
25．在正方形中，点、分别为边、上的动点，且
（1）如图①，求证：；
（2）如图②，当点为线段中点，连接，求证：；
（3）如图③，若正方形边长为9，连接，点是的中点，为上的点，且，则的最小值是_______________．
【答案】（1）证明：在正方形中，，
∵，
∴，
∴，
∵
∴，
∴，
∴；
（2）证明：取中点O，连接，设交于点M，
由（1）知，
∵点O是中点，
∴，
∵点为线段中点，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
同理（1）得，
∵，
∴为中点，即垂直平分，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）
【知识点】正方形的性质；轴对称的性质；三角形全等的判定-SAS；直角三角形斜边上的中线；胡不归模型
【解析】【解答】解：作点关于的对称点，连接，
则，
由（1）知，
∵点 M 是的中点，
∴，
当三点共线时，有最小值，即有最小值，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的最小值是．
故答案为：．
【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，对称的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定与性质是解题的关键．
（1）由四边形是正方形可得出，结合，
运用可证明，由全等三角形的性质可得，由得，从而得，即可得出结论；
（2）取中点O，连接，设交于点M，由直角三角形斜边上的中线等于斜边一半可得
，推出，证明，再证明，得出，，由可得结论；
（3）作点关于的对称点，连接，证明，当三点共线时，有最小值为，利用勾股定理求出即可．
（1）证明：在正方形中，，
∵，
∴，
∴，
∵
∴，
∴，
∴；
（2）证明：取中点O，连接，设交于点M，
由（1）知，
∵点O是中点，
∴，
∵点为线段中点，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
同理（1）得，
∵，
∴为中点，即垂直平分，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）解：作点关于的对称点，连接，
则，
由（1）知，
∵点 M 是的中点，
∴，
当三点共线时，有最小值，即有最小值，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的最小值是．
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