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广西壮族自治区崇左市2024-2025学年七年级下学期6月期末数学试题
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑）
1．要使分式有意义，x的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：当，即时，分式有意义，
故答案为：B．
【分析】本题主要考查分式有意义的条件：分式的分母不能为零.因此，只需令分母x+1≠0，解出x的取值范围即可.注意：分式的分子是否为0不影响分式是否有意义，只影响分式的值是否为0.
2．不等式组的解集在数轴上表示为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：
由①可得：，
由②可得：，
∴在数轴上表示为：，
故选：B．
【分析】分别解两个不等式，再求出不等式组的解集，再将解集在数轴上表示即可.
3．计算的结果是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：，
故答案为：B．
【分析】本题主要结合积的乘方运算与幂的乘方运算.积的乘方运算法则：；幂的乘方运算法则：，注：当底数中含有负号时，需注意负数的奇次幂仍为负数.
4．估计的值应在（　　）
A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间
【答案】A
【知识点】无理数的估值；不等式的性质
【解析】【解答】解：，
，
，
．
故答案为：A．
【分析】本题主要考查无理数的估算以及不等式的基本性质.解题的关键是找到与相邻的两个完全平方数，从而确定其整数范围，再利用不等式两边同时加同一个数（这里加1）后不等号方向不变的性质，得到的取值范围.
5．如图，直线，将直角三角板的直角顶点放在直线上．若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：如图，
∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：C．
【分析】本题考查了平行线的性质“两直线平行，同位角相等”.先结合直角三角板直角顶点及，得出，由平行线的性质可得.
6．下列各式中，约分正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】分式的约分
【解析】【解答】解：A、是最简分式，不能约分，故本选项结论不正确，不符合题意；
B、，故本选项结论不正确，不符合题意；
C、，结论正确，符合题意；
D、，故本选项结论不正确，不符合题意；
故答案为：C．
【分析】本题考查分式的约分，约分的依据是分式的基本性质：分式的分子与分母同时除以同一个不为零的整式，分式的值不变.约分的关键是找出分子与分母的公因式，并将其约去.判断约分是否正确，需要检查约分后结果是否与原分式恒等，且是否已化为最简分式.
7．若实数x、y满足，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】算术平方根的性质（双重非负性）
【解析】【解答】解：∵且，
∴，
∴，
∴；
故答案为：A．
【分析】根据两次根式的非负性求出的值，再代值求解即可．
8．如图，要把河中的水引到水池中，应在河岸处开始挖渠才能使水渠的长度最短，这一做法蕴含的数学原理是（　　）
A．两点之间，线段最短 B．经过一点有无数条直线
C．两点确定一条直线 D．垂线段最短
【答案】D
【知识点】垂线段最短及其应用
【解析】【解答】解：要把河中的水引到水池中，应在河岸处开始挖渠才能使水渠的长度最短，这一做法蕴含的数学原理是：垂线段最短，
故答案为：D．
【分析】利用垂线段最短的性质及生活常识分析求解即可.
9．解分式方程时，去分母后变形为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】去分母法解分式方程
【解析】【解答】解：方程，
两边都乘以去分母后得：，
故答案为：C．
【分析】本题主要考查解分式方程时去分母的方法，核心是确定最简公分母并注意符号的处理.方程中分母分别是（x-1）与（1-x），互为相反数，即（1-x）=-（x-1），因此最简公分母可取（x-1），将（1-x）化为-（x-1）再通分，避免符号错误.
10．某次知识竞赛共有20道选择题，每题答对得10分，答错或不答都扣5分，若要使总得分不低于80分，则至少应答对多少道题？若设应答对x道题，则根据题意可列出不等式为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【解答】解：设答对x道题，则答错或不答(20-x)道题。答对得分为10x分，答错或不答扣分为5(20-x)分，
根据总得分不低于80分，列不等式：，
故选：D．
【分析】本题考查一元一次不等式的实际应用，解题思路是先设答对题数为x，表示出答错或不答的题数，再根据“每题答对得10分，答错或不答都扣5分，若要使总得分不低于80分”列不等式，结合选项判断正确式子。
11．已知，，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵，，
∴，，
得：，
∴，
故答案为：．
【分析】本题主要考查完全平方公式的灵活运用，需熟记完全平方公式：；，通过两式相减消去，即可解出.
12．我国宋代数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中记载了一个用数字排成的三角形，后人称之为“杨辉三角”（如图），此图揭示了为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律，例如：
利用上述规律计算：（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：D．
【分析】本题考查了多项式乘方的系数规律问题，解题的关键是根据题意正确分析出各项系数的规律：①每一行的两端都是1；②中间每个数字等于它上方两数之和；③第n+1行的数字对应的系数．据此得出，进而代入计算即可求解.
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）
13．写出一个比大的无理数　 　．
【答案】（答案不唯一）
【知识点】实数的大小比较；无理数的概念
【解析】【解答】解：是比大的无理数，
故答案为：（答案不唯一）.
【分析】本题主要考查无理数的定义和实数的大小比较.无理数是无限不循环小数，常见类型包括：开方开不尽的数（如， ）、含有的数、及特定结构的无限不循环小数（如0.1010010001…）.解题的关键是：先确定，然后写出一个大于 1.5 的无理数，答案不唯一，任何满足条件的无理数均可.
14．分解因式：　 　．
【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】本题主要考查因式分解的基本方法——提公因式法与公式法的综合运用.观察多项式的各项，发现都含有公因式y，先提取y得.括号内的二次三项式恰好是完全平方式，符合的结构，其中a=x，b=4，因此可分解为.最终结果为.解题技巧：因式分解一般遵循“先提公因式，再套公式”的顺序，若多项式有公因式，应首先提取；在观察二次三项式时，注意判别其是否是完全平方式，即中间项是否为两倍乘积.
15．方程的解是　 　
【答案】
【知识点】去分母法解分式方程
【解析】【解答】解：，
去分母，得，
化简，得：，
解得：，
经检验，是分式方程的解，
故答案为：．
【分析】先去分母，将分式方程化为整式方程，求出整式方程的解，然后检验可得原方程的解.
16．如图所示的是一个可折叠的衣架，是地平线，如果，那么就可确定点在同一条直线上．依据是______（填序号）．
①两点确定一条直线；②过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．
【答案】②
【知识点】平行公理
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，
∴点在同一条直线上，
故答案为：②.
【分析】本题主要考查平行公理及其推论.平行公理指出：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.这意味着，如果两条直线同时经过同一点且都平行于同一条直线，则这两条直线必然重合（即它们实际上是同一条直线）.
三、解答题（本大题共7小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：
．
（2）解：
．
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；整式的混合运算
【解析】【分析】本题主要考查整式的乘除混合运算以及乘法公式（完全平方公式、平方差公式）的应用.解题时需严格按照运算顺序，先算乘除，后算加减，并注意符号的处理.（1）是单项式的乘除混合运算，运算顺序是从左到右依次进行，先计算，系数相除等于4，同底数幂相除指数相减得，结果为4xy；再乘以，系数相乘得，同底数幂相乘指数相加得，最后结果为；（2）是先利用乘法公式进行计算，完全平方公式，平方差公式，最后合并同类项；需要注意的是公式要熟练，不可缺项，在去括号时注意符号变化.
（1）解：
．
（2）解：
．
18．（1）解方程：．
（2）先化简，再求值：，试从1，2，3三个数中选取一个你喜欢的数代入求值．
【答案】解：（1）
方程两边同时乘以得：
解得
检验：当时，则，
∴是原分式方程的解；
（2）
．
∵
∴
把代入，得．
【知识点】分式的化简求值；解分式方程
【解析】【分析】（1）本小题主要考查分式方程的解法.解分式方程的基本思想是将分式方程转化为整式方程，通过去分母实现.需要注意的是，去分母时方程两边要乘以最简公分母，并且在求解后必须检验所得解是否使原方程的分母为零，以排除增根.
（2）本小题主要考查分式的化简求值.解题步骤：①先计算括号内的减法（通分），②将除法转化为乘法（除以一个分式等于乘以它的倒数），③对分子、分母进行因式分解，约去公因式，化简得，④根据分式有意义的条件，选择使分母不为零的值代入，故把代入，进行计算，即可作答.
19．把下面的推理过程补充完整，并在括号内填上理由．
已知：三点在一条直线上，．
试说明：．
解：因为（已知），
所以（___________）．
因为（已知），
所以___________（___________），
所以___________（平行于同一条直线的两条直线互相平行），
所以（___________），
（两直线平行，同位角相等）．
因为（已知），
所以（等量代换）．
【答案】∵（已知），
∴（内错角相等，两直线平行）．
∵（已知），
∴（同旁内角互补，两直线平行），
∴（平行于同一条直线的两条直线互相平行），
∴（两直线平行，内错角相等），
（两直线平行，同位角相等）．
∵（已知），
∴（等量代换）．
故答案为：内错角相等，两直线平行；；同旁内角互补，两直线平行；；两直线平行，内错角相等．
【知识点】平行线的应用-证明问题
【解析】【分析】本题主要考查平行线的判定与性质的综合运用.解题的关键是：根据已知角的关系，判定哪两条直线平行，利用平行线的性质（同位角相等、内错角相等、同旁内角互补）进行角度转换，最后通过角的和差关系及等量代换得出结论.
20．如图，李伯伯家有一块长为，宽为的长方形土地，李伯伯准备空出两块长都为，宽都为的小长方形土地以备他用，其余部分用来种植蔬菜．
（1）用含a，b的代数式表示种植蔬菜的面积；（结果化到最简）
（2）若，，且种植蔬菜每平方米的成本为10元，请计算种植蔬菜所需的总成本．
【答案】（1）解： ，
即种植蔬菜的面积为．

（2）解：当，时，
，
（元），
即种植蔬菜所需的总成本为15500元．
【知识点】单项式乘多项式；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【分析】（1）用大长方形的面积减去2个小长方形的面积列出代数式解答即可；
（2）把，代入（1）中的结果计算即可．
（1）解： ，
即种植蔬菜的面积为．
（2）解：当，时，
，
（元），
即种植蔬菜所需的总成本为15500元．
21．如图，将面积分别为10和5的正方形纸片放在数轴上，使正方形的一条边恰好落在数轴上，一个顶点与原点重合，其另一个顶点分别在数轴上的点A和点B处．
（1）点A表示的数为_______；点B表示的数为_______．
（2）请你阅读以下材料，并完成作答：
，
，
的整数部分为2，小数部分为．
根据以上材料可得点B所表示的数的整数部分为_______，小数部分为_______．
（3）小星想用面积为10的正方形纸片裁出一块面积为6的长方形纸片，且它的长与宽的比为，他能裁出来吗？请帮他判断并说明理由．（参考数据：，．）
【答案】（1），
（2）2，
（3）解：他不能裁出来，
理由如下：依题意，设长方形纸片的长为，
∵一块面积为6的长方形纸片，且它的长与宽的比为，
∴宽为，，
则，
∴（负值已舍去）
则长方形纸片的长为，
∵，
∴，
依题意，面积为10的正方形纸片的边长为，且
∵
即，
∴他不能裁出来．
【知识点】实数在数轴上的表示；无理数的估值；算术平方根的实际应用
【解析】【解答】（1）解：∵将面积分别为10和5的正方形纸片放在数轴上，使正方形的一条边恰好落在数轴上，一个顶点与原点重合，其另一个顶点分别在数轴上的点A和点B处．
则面积分别为10和5的正方形纸片的边长为．
∴
∴点A表示的数为；点B表示的数为，
故答案为：，；
（2）解：由（1）得点B表示的数为，
依题意，，
，
的整数部分为2，小数部分为．
∴点B所表示的数的整数部分为2，小数部分为；
故答案为：2，.
【分析】（1）先利用正方形的性质及计算方法求出边长，再结合数轴求出点A、B表示的数即可；
（2）先利用估算无理数大小的方法求出，再求出整数部分和小数部分即可；
（3）设长方形纸片的长为，利用长方形的面积可得，求出（负值已舍去），再求出面积为10的正方形纸片的边长为，且，再比较大小即可.
（1）解：∵将面积分别为10和5的正方形纸片放在数轴上，使正方形的一条边恰好落在数轴上，一个顶点与原点重合，其另一个顶点分别在数轴上的点A和点B处．
则面积分别为10和5的正方形纸片的边长为．
∴
∴点A表示的数为；点B表示的数为，
故答案为：，；
（2）解：由（1）得点B表示的数为，
依题意，，
，
的整数部分为2，小数部分为．
∴点B所表示的数的整数部分为2，小数部分为；
故答案为：2，；
（3）解：他不能裁出来，理由如下：
依题意，设长方形纸片的长为，
∵一块面积为6的长方形纸片，且它的长与宽的比为，
∴宽为，，
则，
∴（负值已舍去）
则长方形纸片的长为，
∵，
∴，
依题意，面积为10的正方形纸片的边长为，且
∵
即，
∴他不能裁出来．
22．根据以下素材，探索完成任务．
背景 某学校拟向公交公司租借两种车共8辆，用于接送八年级师生去实践基地参加社会实践活动．
素材1 A型车最大载客量是50人，B型车的最大载客量是35人，已知A型车每辆的租金是450元，B型车每辆的租金是300元．
素材2 八年级的师生共有305人，根据学校预算，租车的费用需要控制在2900元（包含2900元）以内．
问题解决
任务1 根据素材2中该校八年级师生的实际情况，该如何租车？请给出所有满足条件的租车方案．
任务2 在所有满足条件的租车方案中，花费最少的方案比预算2900元省多少钱？
【答案】解：任务1：设租用A型车a辆，则租用B型车辆，
根据题意得，
解得，
又因为a为正整数，
所以a可以为或，
当时，，
当时，，
所以共有2种租车方案，
方案1：租用A型车2辆，B型车6辆；
方案2：租用A型车3辆，B型车5辆；
任务2：选择方案1所需总租金为（元）；
选择方案2所需总租金为（元）．
（元），
花费最少的是方案1，比预算节省了200元．
【知识点】一元一次不等式组的实际应用-方案问题
【解析】【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的实际应用——方案设计问题.
任务1：设租用A型车a辆，则租用B型车辆，根据总载客量不少于305人，即“载客量”和总租金不超过2900元，即“”可列出关于a的一元一次不等式组，解得a的取值范围，结合a为正整数，写出出租车方案；
任务2：求出选择每种租车方案所需总租金，比较两种方案的总租金，取最小值，再用预算金额（2900元）减去该最小值，得到节省的钱数.
23．（1）观察计算：如图1，在的网格中，将线段向右平移，得到线段，连接，，
①线段平移的距离是______，
②四边形的面积为______；
（2）动手操作：如图2，在的网格中，将折线向右平移3个单位长度，得到折线．
①面出平移后的折线；
②连接，，多边形的面积为______；
[说明：在正方形网格中，1个格长为1个单位长度]
（3）类比探索：如图3，在一块长为米，宽为米的长方形草坪上，修建一条宽为米的小路（小路宽度处处相同），请直接写出小路的面积．
【答案】（1）①3；②6；
（2）①如图，折线即为所求；
②6；
（3）.
【知识点】平移的性质；作图﹣平移；利用平移的思想解决实际问题
【解析】【解答】解：（1）①由图可知，线段AB平移的距离是3；
②四边形的面积为．
故答案为：3，6；
（2）①如图，折线即为所求；
②多边形的面积为．
故答案为：6；
（3）小路的面积为．
【分析】（1）本小题考查平移的基本性质.平移距离指对应点之间沿平移方向的距离.
①观察图1，点A向右移动到达A'，点B向右移动到达B'，数网格可知，向右平移了3个单位长度；
②四边形ABB'A'是平行四边形，底边AA'=3（平移距离），高为点B到直线AA'的垂直距离，即网格中的竖直线段AB长度，由图可知AB=2，根据平行四边形面积公式即可求出.
（2）①根据要求画出图形，平移后的折线与原折线形状相同、方向一致；
②利用分割法求解：将△ABC补到△A'B'C'的位置，利用矩形面积公式求解；
（3）利用以上两问发现的规律，通过平移可以得到小路的面积为mb.
1 / 1广西壮族自治区崇左市2024-2025学年七年级下学期6月期末数学试题
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑）
1．要使分式有意义，x的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
2．不等式组的解集在数轴上表示为（　　）
A． B．
C． D．
3．计算的结果是（　　）
A． B． C． D．
4．估计的值应在（　　）
A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间
5．如图，直线，将直角三角板的直角顶点放在直线上．若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
6．下列各式中，约分正确的是（　　）
A． B． C． D．
7．若实数x、y满足，则的值为（　　）
A． B． C． D．
8．如图，要把河中的水引到水池中，应在河岸处开始挖渠才能使水渠的长度最短，这一做法蕴含的数学原理是（　　）
A．两点之间，线段最短 B．经过一点有无数条直线
C．两点确定一条直线 D．垂线段最短
9．解分式方程时，去分母后变形为（　　）
A． B．
C． D．
10．某次知识竞赛共有20道选择题，每题答对得10分，答错或不答都扣5分，若要使总得分不低于80分，则至少应答对多少道题？若设应答对x道题，则根据题意可列出不等式为（　　）
A． B．
C． D．
11．已知，，则的值为（　　）
A． B． C． D．
12．我国宋代数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中记载了一个用数字排成的三角形，后人称之为“杨辉三角”（如图），此图揭示了为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律，例如：
利用上述规律计算：（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）
13．写出一个比大的无理数　 　．
14．分解因式：　 　．
15．方程的解是　 　
16．如图所示的是一个可折叠的衣架，是地平线，如果，那么就可确定点在同一条直线上．依据是______（填序号）．
①两点确定一条直线；②过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．
三、解答题（本大题共7小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．计算：
（1）；
（2）．
18．（1）解方程：．
（2）先化简，再求值：，试从1，2，3三个数中选取一个你喜欢的数代入求值．
19．把下面的推理过程补充完整，并在括号内填上理由．
已知：三点在一条直线上，．
试说明：．
解：因为（已知），
所以（___________）．
因为（已知），
所以___________（___________），
所以___________（平行于同一条直线的两条直线互相平行），
所以（___________），
（两直线平行，同位角相等）．
因为（已知），
所以（等量代换）．
20．如图，李伯伯家有一块长为，宽为的长方形土地，李伯伯准备空出两块长都为，宽都为的小长方形土地以备他用，其余部分用来种植蔬菜．
（1）用含a，b的代数式表示种植蔬菜的面积；（结果化到最简）
（2）若，，且种植蔬菜每平方米的成本为10元，请计算种植蔬菜所需的总成本．
21．如图，将面积分别为10和5的正方形纸片放在数轴上，使正方形的一条边恰好落在数轴上，一个顶点与原点重合，其另一个顶点分别在数轴上的点A和点B处．
（1）点A表示的数为_______；点B表示的数为_______．
（2）请你阅读以下材料，并完成作答：
，
，
的整数部分为2，小数部分为．
根据以上材料可得点B所表示的数的整数部分为_______，小数部分为_______．
（3）小星想用面积为10的正方形纸片裁出一块面积为6的长方形纸片，且它的长与宽的比为，他能裁出来吗？请帮他判断并说明理由．（参考数据：，．）
22．根据以下素材，探索完成任务．
背景 某学校拟向公交公司租借两种车共8辆，用于接送八年级师生去实践基地参加社会实践活动．
素材1 A型车最大载客量是50人，B型车的最大载客量是35人，已知A型车每辆的租金是450元，B型车每辆的租金是300元．
素材2 八年级的师生共有305人，根据学校预算，租车的费用需要控制在2900元（包含2900元）以内．
问题解决
任务1 根据素材2中该校八年级师生的实际情况，该如何租车？请给出所有满足条件的租车方案．
任务2 在所有满足条件的租车方案中，花费最少的方案比预算2900元省多少钱？
23．（1）观察计算：如图1，在的网格中，将线段向右平移，得到线段，连接，，
①线段平移的距离是______，
②四边形的面积为______；
（2）动手操作：如图2，在的网格中，将折线向右平移3个单位长度，得到折线．
①面出平移后的折线；
②连接，，多边形的面积为______；
[说明：在正方形网格中，1个格长为1个单位长度]
（3）类比探索：如图3，在一块长为米，宽为米的长方形草坪上，修建一条宽为米的小路（小路宽度处处相同），请直接写出小路的面积．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：当，即时，分式有意义，
故答案为：B．
【分析】本题主要考查分式有意义的条件：分式的分母不能为零.因此，只需令分母x+1≠0，解出x的取值范围即可.注意：分式的分子是否为0不影响分式是否有意义，只影响分式的值是否为0.
2．【答案】B
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：
由①可得：，
由②可得：，
∴在数轴上表示为：，
故选：B．
【分析】分别解两个不等式，再求出不等式组的解集，再将解集在数轴上表示即可.
3．【答案】B
【知识点】积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：，
故答案为：B．
【分析】本题主要结合积的乘方运算与幂的乘方运算.积的乘方运算法则：；幂的乘方运算法则：，注：当底数中含有负号时，需注意负数的奇次幂仍为负数.
4．【答案】A
【知识点】无理数的估值；不等式的性质
【解析】【解答】解：，
，
，
．
故答案为：A．
【分析】本题主要考查无理数的估算以及不等式的基本性质.解题的关键是找到与相邻的两个完全平方数，从而确定其整数范围，再利用不等式两边同时加同一个数（这里加1）后不等号方向不变的性质，得到的取值范围.
5．【答案】C
【知识点】平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：如图，
∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：C．
【分析】本题考查了平行线的性质“两直线平行，同位角相等”.先结合直角三角板直角顶点及，得出，由平行线的性质可得.
6．【答案】C
【知识点】分式的约分
【解析】【解答】解：A、是最简分式，不能约分，故本选项结论不正确，不符合题意；
B、，故本选项结论不正确，不符合题意；
C、，结论正确，符合题意；
D、，故本选项结论不正确，不符合题意；
故答案为：C．
【分析】本题考查分式的约分，约分的依据是分式的基本性质：分式的分子与分母同时除以同一个不为零的整式，分式的值不变.约分的关键是找出分子与分母的公因式，并将其约去.判断约分是否正确，需要检查约分后结果是否与原分式恒等，且是否已化为最简分式.
7．【答案】A
【知识点】算术平方根的性质（双重非负性）
【解析】【解答】解：∵且，
∴，
∴，
∴；
故答案为：A．
【分析】根据两次根式的非负性求出的值，再代值求解即可．
8．【答案】D
【知识点】垂线段最短及其应用
【解析】【解答】解：要把河中的水引到水池中，应在河岸处开始挖渠才能使水渠的长度最短，这一做法蕴含的数学原理是：垂线段最短，
故答案为：D．
【分析】利用垂线段最短的性质及生活常识分析求解即可.
9．【答案】C
【知识点】去分母法解分式方程
【解析】【解答】解：方程，
两边都乘以去分母后得：，
故答案为：C．
【分析】本题主要考查解分式方程时去分母的方法，核心是确定最简公分母并注意符号的处理.方程中分母分别是（x-1）与（1-x），互为相反数，即（1-x）=-（x-1），因此最简公分母可取（x-1），将（1-x）化为-（x-1）再通分，避免符号错误.
10．【答案】D
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【解答】解：设答对x道题，则答错或不答(20-x)道题。答对得分为10x分，答错或不答扣分为5(20-x)分，
根据总得分不低于80分，列不等式：，
故选：D．
【分析】本题考查一元一次不等式的实际应用，解题思路是先设答对题数为x，表示出答错或不答的题数，再根据“每题答对得10分，答错或不答都扣5分，若要使总得分不低于80分”列不等式，结合选项判断正确式子。
11．【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵，，
∴，，
得：，
∴，
故答案为：．
【分析】本题主要考查完全平方公式的灵活运用，需熟记完全平方公式：；，通过两式相减消去，即可解出.
12．【答案】D
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：D．
【分析】本题考查了多项式乘方的系数规律问题，解题的关键是根据题意正确分析出各项系数的规律：①每一行的两端都是1；②中间每个数字等于它上方两数之和；③第n+1行的数字对应的系数．据此得出，进而代入计算即可求解.
13．【答案】（答案不唯一）
【知识点】实数的大小比较；无理数的概念
【解析】【解答】解：是比大的无理数，
故答案为：（答案不唯一）.
【分析】本题主要考查无理数的定义和实数的大小比较.无理数是无限不循环小数，常见类型包括：开方开不尽的数（如， ）、含有的数、及特定结构的无限不循环小数（如0.1010010001…）.解题的关键是：先确定，然后写出一个大于 1.5 的无理数，答案不唯一，任何满足条件的无理数均可.
14．【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】本题主要考查因式分解的基本方法——提公因式法与公式法的综合运用.观察多项式的各项，发现都含有公因式y，先提取y得.括号内的二次三项式恰好是完全平方式，符合的结构，其中a=x，b=4，因此可分解为.最终结果为.解题技巧：因式分解一般遵循“先提公因式，再套公式”的顺序，若多项式有公因式，应首先提取；在观察二次三项式时，注意判别其是否是完全平方式，即中间项是否为两倍乘积.
15．【答案】
【知识点】去分母法解分式方程
【解析】【解答】解：，
去分母，得，
化简，得：，
解得：，
经检验，是分式方程的解，
故答案为：．
【分析】先去分母，将分式方程化为整式方程，求出整式方程的解，然后检验可得原方程的解.
16．【答案】②
【知识点】平行公理
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，
∴点在同一条直线上，
故答案为：②.
【分析】本题主要考查平行公理及其推论.平行公理指出：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.这意味着，如果两条直线同时经过同一点且都平行于同一条直线，则这两条直线必然重合（即它们实际上是同一条直线）.
17．【答案】（1）解：
．
（2）解：
．
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；整式的混合运算
【解析】【分析】本题主要考查整式的乘除混合运算以及乘法公式（完全平方公式、平方差公式）的应用.解题时需严格按照运算顺序，先算乘除，后算加减，并注意符号的处理.（1）是单项式的乘除混合运算，运算顺序是从左到右依次进行，先计算，系数相除等于4，同底数幂相除指数相减得，结果为4xy；再乘以，系数相乘得，同底数幂相乘指数相加得，最后结果为；（2）是先利用乘法公式进行计算，完全平方公式，平方差公式，最后合并同类项；需要注意的是公式要熟练，不可缺项，在去括号时注意符号变化.
（1）解：
．
（2）解：
．
18．【答案】解：（1）
方程两边同时乘以得：
解得
检验：当时，则，
∴是原分式方程的解；
（2）
．
∵
∴
把代入，得．
【知识点】分式的化简求值；解分式方程
【解析】【分析】（1）本小题主要考查分式方程的解法.解分式方程的基本思想是将分式方程转化为整式方程，通过去分母实现.需要注意的是，去分母时方程两边要乘以最简公分母，并且在求解后必须检验所得解是否使原方程的分母为零，以排除增根.
（2）本小题主要考查分式的化简求值.解题步骤：①先计算括号内的减法（通分），②将除法转化为乘法（除以一个分式等于乘以它的倒数），③对分子、分母进行因式分解，约去公因式，化简得，④根据分式有意义的条件，选择使分母不为零的值代入，故把代入，进行计算，即可作答.
19．【答案】∵（已知），
∴（内错角相等，两直线平行）．
∵（已知），
∴（同旁内角互补，两直线平行），
∴（平行于同一条直线的两条直线互相平行），
∴（两直线平行，内错角相等），
（两直线平行，同位角相等）．
∵（已知），
∴（等量代换）．
故答案为：内错角相等，两直线平行；；同旁内角互补，两直线平行；；两直线平行，内错角相等．
【知识点】平行线的应用-证明问题
【解析】【分析】本题主要考查平行线的判定与性质的综合运用.解题的关键是：根据已知角的关系，判定哪两条直线平行，利用平行线的性质（同位角相等、内错角相等、同旁内角互补）进行角度转换，最后通过角的和差关系及等量代换得出结论.
20．【答案】（1）解： ，
即种植蔬菜的面积为．

（2）解：当，时，
，
（元），
即种植蔬菜所需的总成本为15500元．
【知识点】单项式乘多项式；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【分析】（1）用大长方形的面积减去2个小长方形的面积列出代数式解答即可；
（2）把，代入（1）中的结果计算即可．
（1）解： ，
即种植蔬菜的面积为．
（2）解：当，时，
，
（元），
即种植蔬菜所需的总成本为15500元．
21．【答案】（1），
（2）2，
（3）解：他不能裁出来，
理由如下：依题意，设长方形纸片的长为，
∵一块面积为6的长方形纸片，且它的长与宽的比为，
∴宽为，，
则，
∴（负值已舍去）
则长方形纸片的长为，
∵，
∴，
依题意，面积为10的正方形纸片的边长为，且
∵
即，
∴他不能裁出来．
【知识点】实数在数轴上的表示；无理数的估值；算术平方根的实际应用
【解析】【解答】（1）解：∵将面积分别为10和5的正方形纸片放在数轴上，使正方形的一条边恰好落在数轴上，一个顶点与原点重合，其另一个顶点分别在数轴上的点A和点B处．
则面积分别为10和5的正方形纸片的边长为．
∴
∴点A表示的数为；点B表示的数为，
故答案为：，；
（2）解：由（1）得点B表示的数为，
依题意，，
，
的整数部分为2，小数部分为．
∴点B所表示的数的整数部分为2，小数部分为；
故答案为：2，.
【分析】（1）先利用正方形的性质及计算方法求出边长，再结合数轴求出点A、B表示的数即可；
（2）先利用估算无理数大小的方法求出，再求出整数部分和小数部分即可；
（3）设长方形纸片的长为，利用长方形的面积可得，求出（负值已舍去），再求出面积为10的正方形纸片的边长为，且，再比较大小即可.
（1）解：∵将面积分别为10和5的正方形纸片放在数轴上，使正方形的一条边恰好落在数轴上，一个顶点与原点重合，其另一个顶点分别在数轴上的点A和点B处．
则面积分别为10和5的正方形纸片的边长为．
∴
∴点A表示的数为；点B表示的数为，
故答案为：，；
（2）解：由（1）得点B表示的数为，
依题意，，
，
的整数部分为2，小数部分为．
∴点B所表示的数的整数部分为2，小数部分为；
故答案为：2，；
（3）解：他不能裁出来，理由如下：
依题意，设长方形纸片的长为，
∵一块面积为6的长方形纸片，且它的长与宽的比为，
∴宽为，，
则，
∴（负值已舍去）
则长方形纸片的长为，
∵，
∴，
依题意，面积为10的正方形纸片的边长为，且
∵
即，
∴他不能裁出来．
22．【答案】解：任务1：设租用A型车a辆，则租用B型车辆，
根据题意得，
解得，
又因为a为正整数，
所以a可以为或，
当时，，
当时，，
所以共有2种租车方案，
方案1：租用A型车2辆，B型车6辆；
方案2：租用A型车3辆，B型车5辆；
任务2：选择方案1所需总租金为（元）；
选择方案2所需总租金为（元）．
（元），
花费最少的是方案1，比预算节省了200元．
【知识点】一元一次不等式组的实际应用-方案问题
【解析】【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的实际应用——方案设计问题.
任务1：设租用A型车a辆，则租用B型车辆，根据总载客量不少于305人，即“载客量”和总租金不超过2900元，即“”可列出关于a的一元一次不等式组，解得a的取值范围，结合a为正整数，写出出租车方案；
任务2：求出选择每种租车方案所需总租金，比较两种方案的总租金，取最小值，再用预算金额（2900元）减去该最小值，得到节省的钱数.
23．【答案】（1）①3；②6；
（2）①如图，折线即为所求；
②6；
（3）.
【知识点】平移的性质；作图﹣平移；利用平移的思想解决实际问题
【解析】【解答】解：（1）①由图可知，线段AB平移的距离是3；
②四边形的面积为．
故答案为：3，6；
（2）①如图，折线即为所求；
②多边形的面积为．
故答案为：6；
（3）小路的面积为．
【分析】（1）本小题考查平移的基本性质.平移距离指对应点之间沿平移方向的距离.
①观察图1，点A向右移动到达A'，点B向右移动到达B'，数网格可知，向右平移了3个单位长度；
②四边形ABB'A'是平行四边形，底边AA'=3（平移距离），高为点B到直线AA'的垂直距离，即网格中的竖直线段AB长度，由图可知AB=2，根据平行四边形面积公式即可求出.
（2）①根据要求画出图形，平移后的折线与原折线形状相同、方向一致；
②利用分割法求解：将△ABC补到△A'B'C'的位置，利用矩形面积公式求解；
（3）利用以上两问发现的规律，通过平移可以得到小路的面积为mb.
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