资源简介

广西壮族自治区北海市2024-2025学年八年级下学期6月期末数学试题
一、选择题：共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．
1．下列各组数分别为一个三角形三边的长，其中能构成直角三角形的一组是（　　）
A．1，2，3 B．2，3，4 C．4，5，6 D．3，4，5
2．在中，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
3．我国新能源汽车发展迅猛，下列新能源汽车标志既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
4．如图，小明家在学校的（　　）
A．南偏西方向上 B．北偏东方向上
C．南偏西方向上 D．北偏东方向上
5．常数与一样是常用的无理数． ． 在数字“”中“”出现的频数和频率分别是（　　）
A．， B．， C．12，4 D．，
6．在平面直角坐标系中，将点向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
7．若一次函数 的函数值 随 的增大而增大，则（　　）
A． B． C． D．
8．在平面直角坐标系中，点 在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
9．如图，在ABCD中，，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
10．若一次函数的图象经过点，，则 与 的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
11．如图，在平面直角坐标系中，原点O为对角线的中点，轴，点B的坐标为，，点C的坐标为（　　）
A． B． C． D．
12．如图，已知正方形的边长是7，点E、F分别在、上，，与相交于点G，点H为的中点，连接，则的长为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题3分，共12分．
13．在平面直角坐标系中，与点关于轴对称的点的坐标是　 　．
14．若一个多边形的内角和是900 ，则这个多边形是　 　边形.
15．将一次函数的图象向下平移4个单位，得到的一次函数的表达式是　 　．
16．如图，将矩形沿折叠，使顶点C恰好落在边的中点上．若，，则的长为　 　．
三、解答题：本大题共7题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．如图，直角坐标系中，的顶点都在网格点上，其中，C点坐标为．
（1）写出点A、B 的坐标：A ，B ；
（2）将先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到，画出．
（3）求的面积．
18．一次函数的图象分别与轴、轴交于点．
（1）求该一次函数的表达式；
（2）在该一次函数图象上有一点到轴的距离为10，求点的坐标．
19．已知，如图，在 ABCD中，分别在边BC、AD上取两点，使得CE＝DF，连接EF，AE、BF相交于点O，若AE⊥BF．
（1）求证：四边形ABEF是菱形；
（2）若四边形ABEF的周长为16，∠BEF＝120°，求AE的长．
20．某校八年级举行“每天锻炼一小时，健康生活一辈子”为主题的一分钟跳绳大赛，学校组织了全年级700名学生参加．为了解本次大赛的成绩，八（1）班数学兴趣小组随机抽取了部分学生的成绩作为样本进行统计，制成如图不完整的统计图表，根据所给信息，解答下列问题：
成绩x（次/分） 频数（人） 频率
5 5%
a 15%
20 c
b 35%
25 d
（1）___________，___________；
（2）补全频数直方图；
（3）若成绩在130次分以上（包括130次分）为“优良”，请你估计该校八年级参加本次比赛的700名学生中成绩“优良”的有多少人．
21．我市某中学计划举行以“古诗词飞花令”为形式的知识竞赛，并对获奖的同学给予奖励．现要购买甲、乙两种奖品，已知1件甲种奖品和3件乙种奖品共需60元，2件甲种奖品和2件乙种奖品共需80元．
（1）求甲、乙两种奖品的单价；
（2）根据颁奖计划，该中学需甲、乙两种奖品共50件，且甲种奖品的数量不少于乙种奖品数量，应如何购买才能使总费用最少？并求出最少费用．
22．如图，在中，，，点，分别是，的中点，连接，．
（1）求证：；
（2）过点作于点，求证：．
23．点是平行四边形的对角线所在直线上的一个动点（点不与点、重合），分别过点、向直线作垂线，垂足分别为点、．点为的中点．
（1）如图1，当点与点重合时，线段和的关系是 ；
（2）当点运动到如图2所示的位置时，请在图中补全图形并通过证明判断（1）中的结论是否仍然成立？
（3）如图3，点在线段的延长线上运动，当时，试探究线段、、之间的关系．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】三角形三边关系；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、∵，∴无法构成三角形，故该选项不符合题意；
B、∵，∴无法构成直角三角形，故该选项不符合题意；
C、∵，∴无法构成直角三角形，故该选项不符合题意；
D、∵，∴能构成直角三角形，故该选项符合题意；
故答案为：D．
【分析】本题综合考查三角形的存在条件和直角三角形的判定方法（勾股定理逆定理）.解题时分两步判断：第一步，用“任意两边之和大于第三边”验证能否构成三角形；第二步，若构成三角形，再用“两较小边的平方和等于最大边的平方”检验是否为直角三角形.
2．【答案】C
【知识点】直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：∵在中，，
∴，
故答案为：C.
【分析】本题主要考查直角三角形中两个锐角的数量关系.直角三角形的三个内角之和为180°，其中一个角是直角（90°），因此另外两个锐角互为余角，即它们的和等于90°.已知其中一个锐角的度数，用90°减去它即可得到另一个锐角的度数.
3．【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A. 该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B. 该图形既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；
C. 该图形不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D. 该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不符合题意．
故选：B．
【分析】在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形。根据中心对称和轴对称的定义对每个选项逐一判断求解即可。
4．【答案】D
【知识点】方位角
【解析】【解答】解：由图可得：小明家在学校北偏东方向上，
故答案为：D.
【分析】本题主要考查方向角的识别与表述.方向角通常以“北”或“南”为基准，描述偏向“东”或“西”的角度.解题的关键是：① 确定观测点（学校）；② 确定目标点（小明家）相对于观测点的方位；③ 用“北偏东”“北偏西”“南偏东”“南偏西”的标准格式写出方向.
5．【答案】A
【知识点】频数与频率
【解析】【解答】解：“ ”中“”出现了次，则“”出现的频数为；
“ ”中共个数据，则“”的频率为：.
故答案为：A.
【分析】本题主要考查频数与频率的概念及计算.频数是指某个数据在样本中出现的次数；频率是指该数据的频数与样本数据总数的比值.解题时需准确统计数字串中“8”的出现次数，并计算总数字个数，再代入公式求解即可.
6．【答案】B
【知识点】用坐标表示平移
【解析】【解答】解：由“上加下减，左减右加”的平移规律可知，在平面直角坐标系中，将点向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度所得到的点的坐标为，即，
故答案为：B．
【分析】根据点的平移规律“上加下减，左减右加”解题即可．
7．【答案】B
【知识点】一次函数的性质
【解析】【解答】∵在一次函数y=（k-2）x+1中，y随x的增大而增大，
∴k-2＞0，
∴k＞2，
故答案为：B.
【分析】根据一次函数图象的增减性来确定（k-2）的符号，从而求得k的取值范围.
8．【答案】A
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：点（1，2）所在的象限是第一象限.
故答案为：A.
【分析】由点A的横纵坐标的符号，可判断出点A所在的象限.
9．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：.
【分析】本题主要考查平行四边形的性质以及平行线中同旁内角互补这一核心知识点.在平行四边形中，两组对边分别平行，因此相邻内角互为同旁内角，它们的和为180°.解题时，已知∠A ∠B=60°，再结合∠A+∠B=180°，将两个等式相加，即可消去∠B，快速求出 ∠A=120°.
10．【答案】A
【知识点】一次函数的性质；比较一次函数值的大小
【解析】【解答】解：∵，
∴y随x的增大而增大，
∵点，均在一次函数的图象上，且，
∴．
故答案为：A．
【分析】本题主要考查一次函数的增减性，即当一次函数解析式的系数k>0时，函数值y随自变量x的增大而增大.解题时无需将两个点分别代入解析式计算具体数值，而是直接比较两点的横坐标大小：横坐标越小，对应的函数值越小；横坐标越大，对应的函数值越大.本题中 5<3，且 k=2>0，因此 y111．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵原点O为对角线的中点，
∴点B和点D，点A和点C关于原点对称，
∵点B的坐标为，
∴点D的坐标是：，
又∵轴，
∴点A的坐标是：，
∴点C的坐标为，
故答案为：B．
【分析】本题主要考查平行四边形的中心对称性以及关于原点对称的点的坐标特征.平行四边形对角线的交点即为其对称中心，当对角线交点为原点时，两组对角的顶点分别关于原点对称，即横、纵坐标均互为相反数.解题时，先由点 B 的坐标求出其关于原点的对称点D的坐标；再根据AD平行于x轴，可知点A与点D的纵坐标相同，结合AD的长度确定点A的坐标；最后利用点A与点C关于原点对称，即可求出点C的坐标.整个过程紧扣“对角线交点是对称中心”这一核心性质，通过坐标变换一步步推导.
12．【答案】C
【知识点】正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；直角三角形斜边上的中线；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：∵正方形，，
∴，
∴，
在和中
∵，
∴，
∴．
∴，
∴，
∵点H为的中点，
∴，
∵正方形的边长是7，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：C．
【分析】本题主要考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理以及直角三角形斜边中线的性质.解题的关键是通过证明三角形全等，得出两条线段互相垂直，从而构造出直角三角形，再利用斜边中线等于斜边一半求解.由正方形ABCD边长为7，BE=CF=2，可得△ABE和△BCF中，AB=BC，∠ABE=∠BCF=90°，BE=CF，因此△ABE≌△BCF(SAS)，从而∠AEB=∠BFC.由∠BFC+∠FBC=90°，得∠AEB+∠FBC=90°，所以∠BGE=90°，即AG⊥BF，因此△AGF是直角三角形；又H为AF的中点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到，最后利用勾股定理求出AF.
13．【答案】
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：点关于y轴对称的点的坐标是．
故答案为：．
【分析】本题主要考查平面直角坐标系中关于坐标轴对称的点的坐标变化规律：关于y轴对称时，纵坐标保持不变，横坐标变为原来的相反数；关于x轴对称时，横坐标保持不变，纵坐标变为原来的相反数.记忆口诀：“关于谁对称谁不变，另一个变号”.因此横坐标6变为-6，纵坐标不变，即为.
14．【答案】七
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】设这个多边形是 边形，根据题意得，
，
解得 .
故答案为： .
【分析】根据多边形的内角和公式 ，列式求解即可.
15．【答案】
【知识点】一次函数图象与几何变换
【解析】【解答】解：由题意得将一次函数的图象向下平移4个单位，得到的一次函数的表达式是，
故答案为：
【分析】根据一次函数图象与几何变换即可求解。
16．【答案】10
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵四边形为矩形，∴；
∵点为的中点，，
∴ ；
由折叠的性质可得： ，
设，则，
在中，由勾股定理得：，
∴，
解得：，
∴．
故答案为：10．
【分析】本题主要考查矩形中的折叠问题，综合运用了折叠的性质（对应边相等）、中点定义以及勾股定理.解题的关键是找到折叠前后相等的线段，用CF表示出BF，根据勾股定理在直角三角形中建立方程求解.
17．【答案】（1），
（2）解：如图所示，即为所求作；
．
（3）解：由图知，的面积为：，
【知识点】点的坐标；作图﹣平移；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：根据A，B的位置可得：，；
故答案为：，；
【分析】（1）根据点C的坐标，结合A、B点在坐标系的位置，写出点的坐标即可；
（2）利用方格纸的特点，根据平移的性质，分别作出点A、B、C先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度后的对应点A'、B'、C'，再顺次连接即可；
（3）利用割补法，用△ABC外接矩形的面积分别减去周围三个直角三角形的面积，列式计算即可得出△ABC的面积.
18．【答案】（1）解：设一次函数的表达式为，
把点，代入中，
得，
解得，
该一次函数的表达式为；
（2）解：函数的表达式为，该一次函数图象上有一点到轴的距离为10，
当纵坐标为10时，，
解得，此时点的坐标为；
当纵坐标为时，，
解得，此时点的坐标为．
综上所述，点的坐标为或.
【知识点】点的坐标；待定系数法求一次函数解析式
【解析】【分析】（1）本小题考查用待定系数法求一次函数的解析式.已知一次函数图象上的两个点，可以设解析式为y=kx+b，将两点坐标代入得到关于k和b二元一次方程组，解出k和b的值就可求出函数的表达式；
（2）本小题考查点到坐标轴距离的意义以及已知纵坐标求横坐标的方法.点到x轴的距离等于该点纵坐标的绝对值.因此，满足条件的点P的纵坐标可能是10或-10，分别代入函数解析式求出对应的横坐标，即可得到点P的坐标.
（1）解：设一次函数的表达式为，
把点代入中，
得，
解得，
该一次函数的表达式为；
（2）解：函数的表达式为，该一次函数图象上有一点到轴的距离为10，
当纵坐标为10时，，
解得，此时点的坐标为；
当纵坐标为时，，
解得，此时点的坐标为．
综上所述，点的坐标为或．
19．【答案】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，
四边形是平行四边形，
又，
四边形是菱形；
（2）解：菱形的周长为16，
，，
，
，
是等边三角形，
．
【知识点】等边三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质
【解析】【分析】（1）本小题结合平行四边形的性质及菱形的判定.首先由平行四边形的性质得出且，根据得出，则四边形是平行四边形，由，即可依据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”判定四边形是菱形；
（2）本小结合菱形的性质及等边三角形的性质求解.菱形的性质得出，，根据“两直线平行，同旁内角互补”得到证出是等边三角形，得出.
（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，
四边形是平行四边形，
又，
四边形是菱形；
（2）解：菱形的周长为16，
，，
，
是等边三角形，
．
20．【答案】（1）35；25%
（2）解：（人）
补全频数直方图为：
（3）解：（人）
答：估计该校八年级参加本次比赛的700名学生中成绩“优良”的有420人．
【知识点】频数（率）分布表；频数（率）分布直方图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）解：由的频数5，频率5%得：（人）
即本次随机抽取了100名学生的成绩作为样本，
∴（人），．
故答案为：35；25%．
【分析】（1）本小题考查频数、频率与样本总数之间的关系：频率=频数÷样本总数×100％.根据第一组数据的频数为5，频率为5%求得样本的数量，再根据样本总数和频率求对应频数，或根据频数求频率；
（2）a是第二组的频数，可由样本总数×对应频率得到，或者由样本总数减去其他各组频数之和得到，最后补全频数直方图；
（3）本小题考查用样本估计总体.先计算样本中成绩在130分以上的频率（即第四组和第五组的频率之和），再乘以全年级总人数.
（1）解：由的频数5，频率5%得：（人）
即本次随机抽取了100名学生的成绩作为样本，
∴（人），．
故答案为：35，25%．
（2）解：（人）
补全频数直方图为：
（3）解：（人）
故估计该校八年级参加本次比赛的700名学生中成绩“优良”的有420人．
21．【答案】（1）解：设甲种奖品的单价为x元/件，乙种奖品的单价为y元/件，
依题意，得：，解得，
答：甲种奖品的单价为30元/件，乙种奖品的单价为10元/件．
（2）解：设购买甲种奖品m件，则购买乙种奖品（50 m）件，设购买两种奖品的总费用为w元，
∵甲种奖品的数量不少于乙种奖品数量，
∴
∴
依题意，得：w=30m+10（50 m）=20m+500，
∵20＞0，
∴w随m值的增大而增大，
∴当m=25时，w有最小值，最小值=
∴当学校购买件甲种奖品25件、乙种奖品25件时，总费用最少，最少费用是1000元．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数最值的实际应用.第（1）问，根据两种购买方案的总价分别列出方程，联立解得甲、乙两种奖品的单价；
第（2）问，设甲种奖品购买件数为m，则乙种奖品为50 m，根据“甲种奖品数量不少于乙种奖品数量”列出不等式确定m的取值范围，再建立总费用w=30m+10(50 m)=20m+500，最后利用一次函数k=20>0的单调性“y随x的增大而增大”，得出当m取最小值时总费用最少，从而求出最少费用为20×25+500=1000元.解决此类问题的关键是：列方程要找准等量关系，列不等式要抓准关键词（如“不少于”），费用最值问题则优先考虑一次函数的增减性，在自变量取值范围内挑选端点值进行计算.
22．【答案】（1）证明：∵在中，，，
∴；
又∵点D，E分别是，的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴．
（2）证明：∵在中，，，
∴，
又∵，
∴是等边三角形，
∵，
∴，
∴，
又，
∴，
∵是的中位线，，
∴，
∴在和中，有，，
∴，
即．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）本小题综合运用含30°角的直角三角形的性质和三角形中位线定理.先由含30°角推出，再根据中位线的性质可得，即可证明；
（2）首先需要根据“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”是等边三角形，根据等边三角形“三线合一”得，再由含30度角的直角三角形的性质可得，推得，根据全等三角形的判定（HL）即可证明．
（1）证明：∵在中，，，
∴；
又∵点D，E分别是，的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴．
（2）证明：∵在中，，，
∴，
又∵，
∴是等边三角形，
∵，
∴，
∴．又，
∴，
∵是的中位线，，
∴，
∴在和中，有，，
∴，
即．
23．【答案】解：（1）；
（2）补全图形如图所示，仍然成立，
证明如下：延长交于点，
∵，
∴，
∴，
∵点为的中点，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）当点在线段的延长线上时，线段、、之间的关系为，
证明如下：延长交的延长线于点，如图所示，
由（2） 可知，
∴，，
又∵，，
∴，
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；含30°角的直角三角形；平行四边形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：（1）如图1，∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，
∵AE⊥BP，CF⊥BP，
∴∠AEO＝∠CFO＝90°，
∵∠AOE＝∠COF，
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴OE＝OF；
【分析】本题综合考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边中线的性质以及含30°角的直角三角形的边角关系.解题的核心思路是通过作辅助线（延长相关线段）构造全等三角形，利用平行四边形的对角线互相平分得到边相等的条件，从而将分散的线段进行等量转化，最终证明线段之间的相等或和差关系.
在第（1）问中，点P与点O重合，由平行四边形对角线互相平分得OA=OC，结合垂直条件可证△AOE≌△COF，直接得出OE=OF；
在第（2）问中，点P运动至一般位置时，结论OE=OF仍然成立.此时需延长EO交CF于点G，先证△AOE≌△COG，得OE=OG，再利用Rt△EFG斜边上的中线等于斜边的一半，证出OF=OE.关键在于通过延长线段将“中点O”与“垂直条件”串联起来，构造直角三角形并结合中线性质；
在第（3）问中，点P运动到OA延长线上，结论变为OE = CF + AE.此时延长EO交FC延长线于点H，由△AOE≌△COH得AE=CH、OE=OH，再结合∠OEF=30°和Rt△EFH中30°角的边长关系（30°角所对直角边等于斜边的一半），得出HF=OE，而HF=CF+CH=CF+AE，从而完成证明.
1 / 1广西壮族自治区北海市2024-2025学年八年级下学期6月期末数学试题
一、选择题：共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．
1．下列各组数分别为一个三角形三边的长，其中能构成直角三角形的一组是（　　）
A．1，2，3 B．2，3，4 C．4，5，6 D．3，4，5
【答案】D
【知识点】三角形三边关系；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、∵，∴无法构成三角形，故该选项不符合题意；
B、∵，∴无法构成直角三角形，故该选项不符合题意；
C、∵，∴无法构成直角三角形，故该选项不符合题意；
D、∵，∴能构成直角三角形，故该选项符合题意；
故答案为：D．
【分析】本题综合考查三角形的存在条件和直角三角形的判定方法（勾股定理逆定理）.解题时分两步判断：第一步，用“任意两边之和大于第三边”验证能否构成三角形；第二步，若构成三角形，再用“两较小边的平方和等于最大边的平方”检验是否为直角三角形.
2．在中，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：∵在中，，
∴，
故答案为：C.
【分析】本题主要考查直角三角形中两个锐角的数量关系.直角三角形的三个内角之和为180°，其中一个角是直角（90°），因此另外两个锐角互为余角，即它们的和等于90°.已知其中一个锐角的度数，用90°减去它即可得到另一个锐角的度数.
3．我国新能源汽车发展迅猛，下列新能源汽车标志既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A. 该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B. 该图形既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；
C. 该图形不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D. 该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不符合题意．
故选：B．
【分析】在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形。根据中心对称和轴对称的定义对每个选项逐一判断求解即可。
4．如图，小明家在学校的（　　）
A．南偏西方向上 B．北偏东方向上
C．南偏西方向上 D．北偏东方向上
【答案】D
【知识点】方位角
【解析】【解答】解：由图可得：小明家在学校北偏东方向上，
故答案为：D.
【分析】本题主要考查方向角的识别与表述.方向角通常以“北”或“南”为基准，描述偏向“东”或“西”的角度.解题的关键是：① 确定观测点（学校）；② 确定目标点（小明家）相对于观测点的方位；③ 用“北偏东”“北偏西”“南偏东”“南偏西”的标准格式写出方向.
5．常数与一样是常用的无理数． ． 在数字“”中“”出现的频数和频率分别是（　　）
A．， B．， C．12，4 D．，
【答案】A
【知识点】频数与频率
【解析】【解答】解：“ ”中“”出现了次，则“”出现的频数为；
“ ”中共个数据，则“”的频率为：.
故答案为：A.
【分析】本题主要考查频数与频率的概念及计算.频数是指某个数据在样本中出现的次数；频率是指该数据的频数与样本数据总数的比值.解题时需准确统计数字串中“8”的出现次数，并计算总数字个数，再代入公式求解即可.
6．在平面直角坐标系中，将点向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】用坐标表示平移
【解析】【解答】解：由“上加下减，左减右加”的平移规律可知，在平面直角坐标系中，将点向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度所得到的点的坐标为，即，
故答案为：B．
【分析】根据点的平移规律“上加下减，左减右加”解题即可．
7．若一次函数 的函数值 随 的增大而增大，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】一次函数的性质
【解析】【解答】∵在一次函数y=（k-2）x+1中，y随x的增大而增大，
∴k-2＞0，
∴k＞2，
故答案为：B.
【分析】根据一次函数图象的增减性来确定（k-2）的符号，从而求得k的取值范围.
8．在平面直角坐标系中，点 在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：点（1，2）所在的象限是第一象限.
故答案为：A.
【分析】由点A的横纵坐标的符号，可判断出点A所在的象限.
9．如图，在ABCD中，，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：.
【分析】本题主要考查平行四边形的性质以及平行线中同旁内角互补这一核心知识点.在平行四边形中，两组对边分别平行，因此相邻内角互为同旁内角，它们的和为180°.解题时，已知∠A ∠B=60°，再结合∠A+∠B=180°，将两个等式相加，即可消去∠B，快速求出 ∠A=120°.
10．若一次函数的图象经过点，，则 与 的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】一次函数的性质；比较一次函数值的大小
【解析】【解答】解：∵，
∴y随x的增大而增大，
∵点，均在一次函数的图象上，且，
∴．
故答案为：A．
【分析】本题主要考查一次函数的增减性，即当一次函数解析式的系数k>0时，函数值y随自变量x的增大而增大.解题时无需将两个点分别代入解析式计算具体数值，而是直接比较两点的横坐标大小：横坐标越小，对应的函数值越小；横坐标越大，对应的函数值越大.本题中 5<3，且 k=2>0，因此 y111．如图，在平面直角坐标系中，原点O为对角线的中点，轴，点B的坐标为，，点C的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵原点O为对角线的中点，
∴点B和点D，点A和点C关于原点对称，
∵点B的坐标为，
∴点D的坐标是：，
又∵轴，
∴点A的坐标是：，
∴点C的坐标为，
故答案为：B．
【分析】本题主要考查平行四边形的中心对称性以及关于原点对称的点的坐标特征.平行四边形对角线的交点即为其对称中心，当对角线交点为原点时，两组对角的顶点分别关于原点对称，即横、纵坐标均互为相反数.解题时，先由点 B 的坐标求出其关于原点的对称点D的坐标；再根据AD平行于x轴，可知点A与点D的纵坐标相同，结合AD的长度确定点A的坐标；最后利用点A与点C关于原点对称，即可求出点C的坐标.整个过程紧扣“对角线交点是对称中心”这一核心性质，通过坐标变换一步步推导.
12．如图，已知正方形的边长是7，点E、F分别在、上，，与相交于点G，点H为的中点，连接，则的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；直角三角形斜边上的中线；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：∵正方形，，
∴，
∴，
在和中
∵，
∴，
∴．
∴，
∴，
∵点H为的中点，
∴，
∵正方形的边长是7，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：C．
【分析】本题主要考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理以及直角三角形斜边中线的性质.解题的关键是通过证明三角形全等，得出两条线段互相垂直，从而构造出直角三角形，再利用斜边中线等于斜边一半求解.由正方形ABCD边长为7，BE=CF=2，可得△ABE和△BCF中，AB=BC，∠ABE=∠BCF=90°，BE=CF，因此△ABE≌△BCF(SAS)，从而∠AEB=∠BFC.由∠BFC+∠FBC=90°，得∠AEB+∠FBC=90°，所以∠BGE=90°，即AG⊥BF，因此△AGF是直角三角形；又H为AF的中点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到，最后利用勾股定理求出AF.
二、填空题：本大题共4小题，每小题3分，共12分．
13．在平面直角坐标系中，与点关于轴对称的点的坐标是　 　．
【答案】
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：点关于y轴对称的点的坐标是．
故答案为：．
【分析】本题主要考查平面直角坐标系中关于坐标轴对称的点的坐标变化规律：关于y轴对称时，纵坐标保持不变，横坐标变为原来的相反数；关于x轴对称时，横坐标保持不变，纵坐标变为原来的相反数.记忆口诀：“关于谁对称谁不变，另一个变号”.因此横坐标6变为-6，纵坐标不变，即为.
14．若一个多边形的内角和是900 ，则这个多边形是　 　边形.
【答案】七
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】设这个多边形是 边形，根据题意得，
，
解得 .
故答案为： .
【分析】根据多边形的内角和公式 ，列式求解即可.
15．将一次函数的图象向下平移4个单位，得到的一次函数的表达式是　 　．
【答案】
【知识点】一次函数图象与几何变换
【解析】【解答】解：由题意得将一次函数的图象向下平移4个单位，得到的一次函数的表达式是，
故答案为：
【分析】根据一次函数图象与几何变换即可求解。
16．如图，将矩形沿折叠，使顶点C恰好落在边的中点上．若，，则的长为　 　．
【答案】10
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵四边形为矩形，∴；
∵点为的中点，，
∴ ；
由折叠的性质可得： ，
设，则，
在中，由勾股定理得：，
∴，
解得：，
∴．
故答案为：10．
【分析】本题主要考查矩形中的折叠问题，综合运用了折叠的性质（对应边相等）、中点定义以及勾股定理.解题的关键是找到折叠前后相等的线段，用CF表示出BF，根据勾股定理在直角三角形中建立方程求解.
三、解答题：本大题共7题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．如图，直角坐标系中，的顶点都在网格点上，其中，C点坐标为．
（1）写出点A、B 的坐标：A ，B ；
（2）将先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到，画出．
（3）求的面积．
【答案】（1），
（2）解：如图所示，即为所求作；
．
（3）解：由图知，的面积为：，
【知识点】点的坐标；作图﹣平移；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：根据A，B的位置可得：，；
故答案为：，；
【分析】（1）根据点C的坐标，结合A、B点在坐标系的位置，写出点的坐标即可；
（2）利用方格纸的特点，根据平移的性质，分别作出点A、B、C先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度后的对应点A'、B'、C'，再顺次连接即可；
（3）利用割补法，用△ABC外接矩形的面积分别减去周围三个直角三角形的面积，列式计算即可得出△ABC的面积.
18．一次函数的图象分别与轴、轴交于点．
（1）求该一次函数的表达式；
（2）在该一次函数图象上有一点到轴的距离为10，求点的坐标．
【答案】（1）解：设一次函数的表达式为，
把点，代入中，
得，
解得，
该一次函数的表达式为；
（2）解：函数的表达式为，该一次函数图象上有一点到轴的距离为10，
当纵坐标为10时，，
解得，此时点的坐标为；
当纵坐标为时，，
解得，此时点的坐标为．
综上所述，点的坐标为或.
【知识点】点的坐标；待定系数法求一次函数解析式
【解析】【分析】（1）本小题考查用待定系数法求一次函数的解析式.已知一次函数图象上的两个点，可以设解析式为y=kx+b，将两点坐标代入得到关于k和b二元一次方程组，解出k和b的值就可求出函数的表达式；
（2）本小题考查点到坐标轴距离的意义以及已知纵坐标求横坐标的方法.点到x轴的距离等于该点纵坐标的绝对值.因此，满足条件的点P的纵坐标可能是10或-10，分别代入函数解析式求出对应的横坐标，即可得到点P的坐标.
（1）解：设一次函数的表达式为，
把点代入中，
得，
解得，
该一次函数的表达式为；
（2）解：函数的表达式为，该一次函数图象上有一点到轴的距离为10，
当纵坐标为10时，，
解得，此时点的坐标为；
当纵坐标为时，，
解得，此时点的坐标为．
综上所述，点的坐标为或．
19．已知，如图，在 ABCD中，分别在边BC、AD上取两点，使得CE＝DF，连接EF，AE、BF相交于点O，若AE⊥BF．
（1）求证：四边形ABEF是菱形；
（2）若四边形ABEF的周长为16，∠BEF＝120°，求AE的长．
【答案】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，
四边形是平行四边形，
又，
四边形是菱形；
（2）解：菱形的周长为16，
，，
，
，
是等边三角形，
．
【知识点】等边三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质
【解析】【分析】（1）本小题结合平行四边形的性质及菱形的判定.首先由平行四边形的性质得出且，根据得出，则四边形是平行四边形，由，即可依据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”判定四边形是菱形；
（2）本小结合菱形的性质及等边三角形的性质求解.菱形的性质得出，，根据“两直线平行，同旁内角互补”得到证出是等边三角形，得出.
（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，
四边形是平行四边形，
又，
四边形是菱形；
（2）解：菱形的周长为16，
，，
，
是等边三角形，
．
20．某校八年级举行“每天锻炼一小时，健康生活一辈子”为主题的一分钟跳绳大赛，学校组织了全年级700名学生参加．为了解本次大赛的成绩，八（1）班数学兴趣小组随机抽取了部分学生的成绩作为样本进行统计，制成如图不完整的统计图表，根据所给信息，解答下列问题：
成绩x（次/分） 频数（人） 频率
5 5%
a 15%
20 c
b 35%
25 d
（1）___________，___________；
（2）补全频数直方图；
（3）若成绩在130次分以上（包括130次分）为“优良”，请你估计该校八年级参加本次比赛的700名学生中成绩“优良”的有多少人．
【答案】（1）35；25%
（2）解：（人）
补全频数直方图为：
（3）解：（人）
答：估计该校八年级参加本次比赛的700名学生中成绩“优良”的有420人．
【知识点】频数（率）分布表；频数（率）分布直方图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）解：由的频数5，频率5%得：（人）
即本次随机抽取了100名学生的成绩作为样本，
∴（人），．
故答案为：35；25%．
【分析】（1）本小题考查频数、频率与样本总数之间的关系：频率=频数÷样本总数×100％.根据第一组数据的频数为5，频率为5%求得样本的数量，再根据样本总数和频率求对应频数，或根据频数求频率；
（2）a是第二组的频数，可由样本总数×对应频率得到，或者由样本总数减去其他各组频数之和得到，最后补全频数直方图；
（3）本小题考查用样本估计总体.先计算样本中成绩在130分以上的频率（即第四组和第五组的频率之和），再乘以全年级总人数.
（1）解：由的频数5，频率5%得：（人）
即本次随机抽取了100名学生的成绩作为样本，
∴（人），．
故答案为：35，25%．
（2）解：（人）
补全频数直方图为：
（3）解：（人）
故估计该校八年级参加本次比赛的700名学生中成绩“优良”的有420人．
21．我市某中学计划举行以“古诗词飞花令”为形式的知识竞赛，并对获奖的同学给予奖励．现要购买甲、乙两种奖品，已知1件甲种奖品和3件乙种奖品共需60元，2件甲种奖品和2件乙种奖品共需80元．
（1）求甲、乙两种奖品的单价；
（2）根据颁奖计划，该中学需甲、乙两种奖品共50件，且甲种奖品的数量不少于乙种奖品数量，应如何购买才能使总费用最少？并求出最少费用．
【答案】（1）解：设甲种奖品的单价为x元/件，乙种奖品的单价为y元/件，
依题意，得：，解得，
答：甲种奖品的单价为30元/件，乙种奖品的单价为10元/件．
（2）解：设购买甲种奖品m件，则购买乙种奖品（50 m）件，设购买两种奖品的总费用为w元，
∵甲种奖品的数量不少于乙种奖品数量，
∴
∴
依题意，得：w=30m+10（50 m）=20m+500，
∵20＞0，
∴w随m值的增大而增大，
∴当m=25时，w有最小值，最小值=
∴当学校购买件甲种奖品25件、乙种奖品25件时，总费用最少，最少费用是1000元．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数最值的实际应用.第（1）问，根据两种购买方案的总价分别列出方程，联立解得甲、乙两种奖品的单价；
第（2）问，设甲种奖品购买件数为m，则乙种奖品为50 m，根据“甲种奖品数量不少于乙种奖品数量”列出不等式确定m的取值范围，再建立总费用w=30m+10(50 m)=20m+500，最后利用一次函数k=20>0的单调性“y随x的增大而增大”，得出当m取最小值时总费用最少，从而求出最少费用为20×25+500=1000元.解决此类问题的关键是：列方程要找准等量关系，列不等式要抓准关键词（如“不少于”），费用最值问题则优先考虑一次函数的增减性，在自变量取值范围内挑选端点值进行计算.
22．如图，在中，，，点，分别是，的中点，连接，．
（1）求证：；
（2）过点作于点，求证：．
【答案】（1）证明：∵在中，，，
∴；
又∵点D，E分别是，的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴．
（2）证明：∵在中，，，
∴，
又∵，
∴是等边三角形，
∵，
∴，
∴，
又，
∴，
∵是的中位线，，
∴，
∴在和中，有，，
∴，
即．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）本小题综合运用含30°角的直角三角形的性质和三角形中位线定理.先由含30°角推出，再根据中位线的性质可得，即可证明；
（2）首先需要根据“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”是等边三角形，根据等边三角形“三线合一”得，再由含30度角的直角三角形的性质可得，推得，根据全等三角形的判定（HL）即可证明．
（1）证明：∵在中，，，
∴；
又∵点D，E分别是，的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴．
（2）证明：∵在中，，，
∴，
又∵，
∴是等边三角形，
∵，
∴，
∴．又，
∴，
∵是的中位线，，
∴，
∴在和中，有，，
∴，
即．
23．点是平行四边形的对角线所在直线上的一个动点（点不与点、重合），分别过点、向直线作垂线，垂足分别为点、．点为的中点．
（1）如图1，当点与点重合时，线段和的关系是 ；
（2）当点运动到如图2所示的位置时，请在图中补全图形并通过证明判断（1）中的结论是否仍然成立？
（3）如图3，点在线段的延长线上运动，当时，试探究线段、、之间的关系．
【答案】解：（1）；
（2）补全图形如图所示，仍然成立，
证明如下：延长交于点，
∵，
∴，
∴，
∵点为的中点，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）当点在线段的延长线上时，线段、、之间的关系为，
证明如下：延长交的延长线于点，如图所示，
由（2） 可知，
∴，，
又∵，，
∴，
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；含30°角的直角三角形；平行四边形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：（1）如图1，∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，
∵AE⊥BP，CF⊥BP，
∴∠AEO＝∠CFO＝90°，
∵∠AOE＝∠COF，
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴OE＝OF；
【分析】本题综合考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边中线的性质以及含30°角的直角三角形的边角关系.解题的核心思路是通过作辅助线（延长相关线段）构造全等三角形，利用平行四边形的对角线互相平分得到边相等的条件，从而将分散的线段进行等量转化，最终证明线段之间的相等或和差关系.
在第（1）问中，点P与点O重合，由平行四边形对角线互相平分得OA=OC，结合垂直条件可证△AOE≌△COF，直接得出OE=OF；
在第（2）问中，点P运动至一般位置时，结论OE=OF仍然成立.此时需延长EO交CF于点G，先证△AOE≌△COG，得OE=OG，再利用Rt△EFG斜边上的中线等于斜边的一半，证出OF=OE.关键在于通过延长线段将“中点O”与“垂直条件”串联起来，构造直角三角形并结合中线性质；
在第（3）问中，点P运动到OA延长线上，结论变为OE = CF + AE.此时延长EO交FC延长线于点H，由△AOE≌△COH得AE=CH、OE=OH，再结合∠OEF=30°和Rt△EFH中30°角的边长关系（30°角所对直角边等于斜边的一半），得出HF=OE，而HF=CF+CH=CF+AE，从而完成证明.
1 / 1

展开更多......

收起↑