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广西南宁市西乡塘区2024—2025学年下学期八年级期末数学试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．下列各式是二次根式的是（　　）
A． B．2 C． D．
2．下列各组数中，可以作为直角三角形三条边的长度的是（　　）
A．1，2，3 B．3，4，5 C．5，6，7 D．8，9，10
3．如图，在中，若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
4．函数中，当时，y的值是（　　）
A． B． C．2 D．1
5．水是生命之源．为了倡导节约用水，随机抽取某小区7户家庭上个月家里的用水量情况（单位：吨），数据为：7，5，6，8，8，9，，这组数据的众数是（　　）
A．7 B．8 C．9 D．
6．下列二次根式中，可以与合并的是（　　）
A． B． C． D．
7．顺次连接任意一个四边形各边中点所得到的四边形一定是（　　）
A．矩形 B．菱形 C．平行四边形 D．正方形
8．我国古代有“不以规矩，不能成方圆”的说法，人们把“规矩”当作几何名词，“规”是圆，“矩”是方，所以初中以后就把长方形改为比较专业的名称“矩形”．木艺活动课上，小明用四根细木条a，b，c，d搭成如图所示的一个四边形，现要判断这个四边形是否是矩形，以下测量方案正确的是（　　）
A．测量是否有三个角是直角 B．测量对角线是否相等
C．测量两组对边是否分别相等 D．测量对角线是否互相垂直
9．利用勾股定理可以作出长为无理数的线段．如图，，过点作直线，在上取点，使，以点为圆心，的长为半径作弧，与数轴正半轴交于点，那么点表示的是（　　）
A． B． C． D．
10．一次函数的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
11．如图，若一次函数（，为常数，且）的图象经过点，则关于的不等式的解集为（　　）
A． B． C． D．
12．如图①的矩形纸板，沿其中一条对角线裁剪可得到两个全等的直角三角形，三角板的较长的直角边长为，，若左侧的三角形保持不动，右侧的三角形沿斜边向右下方向滑动，当四边形是菱形时， 如图②，则的长为（　　）
A．1 B． C． D．2
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分．
13．若二次根式 有意义，则x的取值范围是　 　．
14．某校把学生数学的期中、期末两次成绩分别是按，的比例计入学期总成绩，小芳数学期中成绩是90分，期末成绩是85分，那她的数学学期总成绩为　 　分．
15．如图，一次函数与的图象相交于点，则方程组的解是　 　．
16．如图，正方形的边长为12，点在边上且，点是上一动点，则的最小值为　 　．
三、解答题：本题共7小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．计算：
（1）；
（2）已知，，求的值．
18．如图，四边形是菱形，延长到点F，使，连接交于点
（1）请你用无刻度的直尺和圆规把图形补充完整保留作图痕迹，并证明E是的中点；
（2）连接，若，，求的长．
19．为提高居民防范电信诈骗意识，确保反诈宣传工作落地见效，某社区举行《2024年防诈骗知识》竞赛，社区管理员随机从甲、乙两个小区各抽取20份答卷，并对他们的成绩（单位：分）进行统计、分析，过程如下：
收集数据
甲小区：85 80 95 100 90 95 85 65 75 85 89 90 70 90 100 80 80 90 96 75
乙小区：80 60 80 95 65 100 90 85 85 80 95 75 80 90 70 80 95 75 100 90
整理数据
成绩x（分）
甲小区 2 5 8 5
乙小区 3 7 5 5
分析数据
统计量 平均数 中位数 众数
甲小区 85.75 87 a
乙小区 83.5 b 80
（1）填空：a＝ ，b＝ ；
（2）若甲小区共有1000人参与答卷，请估计甲小区成绩大于80分的人数；
（3）根据以上数据分析，你认为甲、乙两个小区哪一个对防诈骗知识掌握更好？请写出其中一个理由．
20．如图，在中，过点A作于点E，延长至点F，使，连接，
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，，求的面积．
21．综合与实践
项目背景 某校为更好地开展劳动实践活动，在校园内开辟了一片小菜园，用来种植甲、乙两种菜苗．
项目主题 探究不同种菜苗高度与种植天数的关系，查阅资料可知，两种菜苗的最终高度都不超过cm
研究步骤 ①选定小菜园中土壤水平及光照时长相同的一块地，并选择甲、乙两种菜苗进行种植； ②从种植开始每两天记录一次数据； ③数据分析，形成结论． 数据记录： 已种菜苗天数天0246810…甲种菜苗高度cm6912151821…乙种菜苗高度cm151617181920…
初步分析：通过分析数据得两种菜苗的高度，（单位：cm）与已种菜苗天数均为一次函数关系．
问题解决 请根据上述材料完成下列问题． （1）在平面直角坐标系中分别画出菜苗高度，单位：cm关于已种菜苗天数单位：天的函数图象； （2）求出关于x的函数关系式，不用写出自变量的取值范围，并求出第16天乙种菜苗的高度； （3）观察函数图象，据实践经验可得这两种菜苗均在菜苗高度达到45cm左右时开花，请估计哪种菜苗先开花，并说明理由．
22．宇树科技的人形机器人在春晚舞台的惊艳亮相，迅速成为社交媒体热议的焦点．“让机器人走进千家万户，成为生活的好帮手”不再是遥不可及的梦想．某公司计划购买A，B两种机器人进行销售．已知购买1个A种机器人和2个B种机器人共需38万元，购买2个A种机器人和1个B种机器人共需34万元．
（1）求购买一个A，B种机器人各需多少万元？
（2）该公司准备用不超过1200万元再购进第二批A，B两种机器人共100个，且A种机器人数量不超过75个．据市场销售分析，当A种机器人提价，B种机器售价为购买价的倍时，销售状况最好，若按此销售方案将第二批机器人全部销售完，怎样安排购进方案可以使获得的利润最大，求出最大利润及对应的购进方案．
23．综合与探究
（1）【课本再现】人教版八年级数学下册第48页详细介绍了中位线定理的证明过程，方法如下：如图1，D，E分别是中点，延长到F，使，连接，先证明，再证四边形是平行四边形，从而得到线段与的位置关系和数量关系分别为______，______．
（2）【初步运用】如图2，正方形中，E为边中点，G，F分别在边上，且，，，求长．
（3）【拓展延伸】如图3，四边形中，，，E为中点，G，F分别为边上的点，若，，求长．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】二次根式的概念
【解析】【解答】解：A、：被开方数为负数，在实数范围内无意义，不符合二次根式定义，错误；
B、：是整数，未含根号，不属于根式，错误；
C、：根指数为2（省略未写），被开方数2是非负数，符合二次根式定义，正确；
D、：根指数为3，属于三次根式，不符合二次根式根指数为2的要求，错误；
故答案为：C．
【分析】本题主要考查二次根式的定义.判断一个式子是否为二次根式，必须同时满足两个条件：①根指数为2（通常省略不写）；②被开方数为非负数（在实数范围内有意义）.二者缺一不可.
2．【答案】B
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、，不满足勾股定理，错误；
B、，满足勾股定理，正确；
C、，不满足勾股定理，错误；
D、，不满足勾股定理错误；
故答案为：B.
【分析】本题主要考查勾股定理的逆定理.判断三条线段能否构成直角三角形，需要先确定最长边（作为斜边），然后验证“两条较短边的平方和”是否等于“最长边的平方”，若相等，则是直角三角形；若不相等，则不是，据此可以判断.
3．【答案】A
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形
∴
∴
∴
∵
∴
故答案为：A.
【分析】本题考查平行四边形的性质：两组对角分别相等.结合题干，因为，即可求解.
4．【答案】D
【知识点】一次函数的概念
【解析】【解答】解：已知函数为，当时，代入得：
，
因此，当时，的值是1，
故答案为：D.
【分析】本题主要考查函数值的求法.已知函数解析式，要求当自变量x取某个具体数值时对应的函数值y，只需将该数值代入解析式，按运算规则计算结果即可.
5．【答案】B
【知识点】众数
【解析】【解答】解：由题意知，这组数据中，8出现2次，其他数据出现1次，所以众数是8，
故选：B．
【分析】
根据众数是出现次数最多的数据求解作答即即可．
6．【答案】C
【知识点】二次根式的性质与化简；同类二次根式
【解析】【解答】解：A、，2与不是同类二次根式，不能合并，故选项A错误；
B、和不是同类二次根式，不能合并，故选项B错误；
C、，与是同类二次根式，能合并，故选项C正确；
D、，与不是同类二次根式，不能合并，故选项D错误.
故答案为：C.
【分析】根据二次根式的性质将各个选项给出的二次根式化简，化简后的二次根式与 的被开方数相同的就能合并，据此逐项判断即可得解.
7．【答案】C
【知识点】平行四边形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，四边形中，、、、分别是、、、的中点，
，，
同理，，
，，
四边形是平行四边形，
故选：C．
【分析】本题考查三角形的中位线定理，平行四边形的的判定．根据三角形中位线定理可得
，，，，从而推出，，根据一组对边平行且相等可证四边形是平行四边形.
8．【答案】A
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：A、测量其中三个角是否为直角，能判定矩形；符合题意；
B、测量对角线是否相等，不能判定形状；不符合题意；
C、测量两组对边是否分别相等，能判定平行四边形；不符合题意；
D、测量对角线是否互相垂直，不能判定形状；不符合题意．
故答案为：A．
【分析】本题主要考查矩形的判定方法.矩形的定义是有一个角是直角的平行四边形，常见的判定方法有：①有三个角是直角的四边形是矩形；②有一个角是直角的平行四边形是矩形；③对角线相等的平行四边形是矩形.测量是否具有三个直角，可以直接判定矩形，因此选项A正确.
9．【答案】D
【知识点】运用勾股定理在数轴上标出无理数对应点
【解析】【解答】解：由题意可知：，
直线，
，
由勾股定理得：，
∵ 点C在数轴正半轴上，
点C表示的数是，
故答案为：．
【分析】本题综合考查勾股定理与实数在数轴上的表示.首先构建直角三角形，利用勾股定理求出斜边长度，通过尺规作图做出相等线段，因为是以原点为圆心，交于数轴正半轴，所以OC的长度即为点C对应数值.
10．【答案】C
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：一次函数，
该函数的图象经过第一、二、四象限，
故答案为：．
【分析】本题主要考查一次函数的图象与系数的关系.一次函数y=kx+b的图象由斜率k和截距b共同决定：k决定直线的倾斜方向（k>0上升，k<0 下降）；b决定直线与y轴的交点位置（b＞0，交y轴正半轴，b＜0，交y轴负半轴）.已知y=kx+6，其中k<0，b=6，据此可判断图象经过的象限.
11．【答案】A
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：根据函数图象，当时，，
所以不等式的解集为．
故选：A．
【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式的关系，解题核心是结合函数图象分析不等式的解集。不等式表示的是一次函数图象上纵坐标小于2的点对应的横坐标范围，已知函数图象过点，结合一次函数的图象走势，找到纵坐标小于2的区域对应的横坐标，即可得到不等式的解集。
12．【答案】A
【知识点】等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形；菱形的性质；矩形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：图②中四边形是菱形，
，
，
，
图①四边形是矩形，
，，
，，
，
，
，
三角板的较长的直角边长为，
，
即，
解得，
故答案为：A．
【分析】本题主要考查含30°直角三角形的性质、矩形的性质、菱形的性质以及勾股定理的综合应用.解题的关键是在图形变换中，利用原矩形剪裁得到的两个全等直角三角形，以及滑动后形成的菱形，逐步分析线段之间的比例关系.由左侧直角三角形保持不动，右侧三角形沿斜边向右下滑动，滑动后，点F和点E分别为滑动后对应的点，由矩形和平移的性质，可推得BF=DE；结合菱形的性质计算角度，推出△ADE是等腰三角形，利用含30°角的直角三角形得到EF=BF，最后通过勾股定理计算.
13．【答案】x≥2
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：根据题意，使二次根式 有意义，即x﹣2≥0，
解得x≥2；
故答案为：x≥2．
【分析】根据二次根式有意义的条件，可得x﹣2≥0，解不等式求范围．
14．【答案】87
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】解：他的数学学期总成绩为（分），
故答案为：．
【分析】本题考查了加权平均数的计算.加权平均数需要考虑每个数据在整体中的“权重”， 根据学期数学总成绩期中数学成绩所占的百分比期末数学成绩所占的百分比即可求得学期总成绩．
15．【答案】
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系
【解析】【解答】解：∵一次函数与的图象相交于点，
∴，
解得：，
∴，
∴的解是，
故答案为：．
【分析】本题主要考查一次函数图象的交点与二元一次方程组的解之间的关系.两个一次函数图象的交点坐标，就是对应二元一次方程组的解.由交点坐标，代入求出的值，得到交点坐标P（2，4），再根据方程组的解就是两个对应的一次函数图象的交点坐标即可求出方程组的解.
16．【答案】13
【知识点】三角形全等及其性质；正方形的性质；轴对称的应用-最短距离问题；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【解答】解：如图，作BC上一点，且，并连接
∵四边形是正方形
∴
∵
∴
∴
∴
根据两点之间直线段最短的性质得：最小值，如下图所示：
∵四边形是正方形
∴
∴
∵正方形的边长为12，
∴
∴
即的最小值为：13
故答案为：13．
【分析】本题主要考查正方形中的最短路径问题，综合运用了轴对称变换和两点之间线段最短的原理.
解题关键是利用正方形的对称性找到点P关于对角线AC的对称点P'，将PQ转化为P'Q，从而将最小值问题转化为最小值问题；再根据两点之间直线段最短的性质和勾股定理，经计算即可完成求解．
17．【答案】（1）解：原式
；
（2）解：∵，，
∴
．
【知识点】平方差公式及应用；二次根式的乘除混合运算
【解析】【分析】（）本小题主要考查二次根式的乘除混合运算.运算顺序遵循“先乘除，后加减”；二次根式的除法可利用化简，再计算，最后合并同类项；
（）本小题考查平方差公式在二次根式乘法中的应用.已知两个互为有理化因式的二次根式，，其乘积可用进行快速计算.
（1）解：原式
；
（2）解：∵，，
∴
．
18．【答案】（1）解：以点B为圆心，以为半径画弧交的延长线于点F，连接交于点E，如图所示：
四边形是菱形，
，，
，，
，
，
，
，
点E是的中点；
（2）解：，
，
，
是线段的垂直平分线，
，
在菱形中，，
，
.
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；线段垂直平分线的性质；菱形的性质；尺规作图-直线、射线、线段
【解析】【分析】（1）本小题综合考查菱形的性质、尺规作图以及全等三角形的判定与性质.作图思路：以点B为圆心，AB长为半径画弧，交AB的延长线于点F；证明思路：利用菱形对边平行且邻边相等的性质，结合平行线得角相等，由此根据“”判定和全等得，据此即可得出结论；
（2）本小题可结合菱形的性质与线段的垂直平分线的性质解决.根据和全等得，进而得是线段的垂直平分线，则，然后再根据菱形的性质即可得出答案．
（1）解：以点B为圆心，以为半径画弧交的延长线于点F，连接交于点E，如图所示：
四边形是菱形，
，，
，，
，
，
，
，
点E是的中点；
（2），
，
，
是线段的垂直平分线，
，
在菱形中，，
，
19．【答案】（1）90，82.5
（2）解：人，
∴估计甲小区成绩大于80分的人数为650人；
（3）解：甲小区对防诈骗知识掌握更好，理由如下：①甲小区的平均数大于乙小区的平均数；②甲小区的中位数大于乙小区的中位数；③甲小区的众数大于乙小区的众数．
综上：甲小区对防诈骗知识掌握更好.
【知识点】用样本估计总体；中位数；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；众数
【解析】【解答】解：甲小区中成绩为90分的出现了4次，出现的次数最多，则甲小区的众数；
把乙小区得分从低到高排列，处在第10名和第11名的得分分别为80分，85分，则乙小区的中位数，
故答案为：90；82.5；
【分析】本题主要考查频数分布表的分析、众数、中位数的求法，以及用样本估计总体的方法.解题时，首先根据甲小区各分数段的频数分布，找出出现次数最多的分数，从而确定众数a=90；再对乙小区的数据排序，找出第10、11个数据的平均值，得到中位数b=82.5.接着，用甲小区成绩大于80分的人数所占比例 (8+5)/(2+5+8+5)=13/20 乘以总人数1000，估算出约650人.最后，比较两个小区的平均数、中位数，若甲小区均高于乙小区，则说明甲小区整体掌握情况更好.此类问题的解题技巧是：准确读取频数分布表，熟练运用中位数、众数的定义，并善于利用比例进行样本估计，同时用多个统计量综合评判数据分布情况.
20．【答案】（1）证明：在中，，，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
四边形是矩形．
（2）解：四边形是矩形，
，，
，
，
的面积．
【知识点】平行四边形的性质；矩形的性质；矩形的判定；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）本小题主要考查平行四边形的判定与性质，以及矩形的判定方法.证明一个四边形是矩形的一般思路：先证明它是平行四边形，再证明它有一个角是直角（或对角线相等）. 由，可得，即，结合，可得四边形是平行四边形，再结合，可得平行四边形是矩形；
（2）由第（1）问四边形AEFD是矩形，结合已知的线段长度，可利用勾股定理求出平行四边形ABCD的高，最后根据平行四边形的面积公式即可求得.
（1）证明：在中，，，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
四边形是矩形．
（2）解：四边形是矩形，
，，
，
，
的面积．
21．【答案】解：（1）作图如解图：
（2）设与x的函数关系式为，将点，，分别代入得：
，解得
与x的函数关系式为；
当时，，
第16天乙种菜苗的高度为．
（3）甲种菜苗先开花；理由如下：
由图象可知，当甲，乙两种菜苗高度相同时即与的交点处都未达到的高度，
达到相同高度后的图象始终在的图象上方，
甲种菜苗比乙种菜苗先达到高度，
故答案为：甲种菜苗先开花．
【知识点】一次函数的图象；待定系数法求一次函数解析式；通过函数图象获取信息；一次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）本小题考查一次函数图象的画法.已知函数为一次函数，只需确定两个点即可画出直线.根据表格数据，分别任取两点坐标，在坐标系中描点并连线即可得到图象；
（2）本小题考查待定系数法求一次函数解析式.依据题意，设，代入点，，求出k，b后可得解析式；然后将代入解析式，求出对应y2值；
（3）本小题考查通过函数图象比较函数值的大小.观察图像，由两条直线的交点，确定达到相同高度后的图象始终在的图象上方，即可求解．
22．【答案】（1）解：由题意，设购买一个A种机器人需x万元，一个B种机器人需y万元，
则，
，
答：购买一个A种机器人需10万元，一个B种机器人需14万元；
（2）解：由题意，设购进 A 种机器人m个，则购进 B 种机器人个，
，且
又总利润W的表达式：，
随m的增大而减小．
当m取最小值时，W最大．
，
当时，此时取最大利润，最大利润（万元）．
答：最佳购进方案：购进 A 种机器人50 个，B 种机器人50 个，最大利润为215 万元．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）本小题主要考查二元一次方程组的实际应用——销售问题.依据题意，设购买一个A种机器人需x万元，一个B种机器人需y万元，则可列出方程组，解方程组即可；
（2）本小题考查一元一次不等式组的应用与函数最值的问题.依据题意，设购进 A 种机器人m个，则购进 B 种机器人个，根据资金限制和数量限制得出m的取值范围：，建立总利润W的表达式，因为k＜0，故W随m的增大而减小，从而当m取最小值时，W最大，结合，进而可以判断得解.
（1）解：由题意，设购买一个A种机器人需x万元，一个B种机器人需y万元，
则，
，
答：购买一个A种机器人需10万元，一个B种机器人需14万元；
（2）解：由题意，设购进 A 种机器人m个，则购进 B 种机器人个，
，且
又总利润W的表达式：，
随m的增大而减小．
当m取最小值时，W最大．
，
当时，此时取最大利润，最大利润（万元）．
答：最佳购进方案：购进 A 种机器人50 个，B 种机器人50 个，最大利润为215 万元．
23．【答案】（1）DEBC，
（2）解：如图2，延长交于点H，
为中点，
，且，
在和中，
，
，
，，
，
垂直平分，
；
（3）解：如图3，过点D作的平行线交的延长线于点H，过H作的垂线，垂足为P，连接，
同（2）可知，，
，，
，
，
，
，，
，
，
在中，，，，
【知识点】三角形全等及其性质；含30°角的直角三角形；平行四边形的判定与性质；正方形的性质；线段垂直平分线的应用
【解析】【解答】解：（1）解：，
如图1，在中，延长、E分别是的中点到点F，使得，连接，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
故答案为：，；
【分析】（1）本小题主要考查三角形中位线定理的证明过程，通过构造全等三角形和平行四边形，推导出中位线与第三边的位置关系和数量关系，根据材料提供的思路进行证明即可得出结论；
（2）本小题主要考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、垂直平分线的性质以及勾股定理的综合应用.解题思路：类比证明三角形中位线的思路作辅助线，延长交于点H，可证得，结合条件可证明垂直平分，可得，可求得的长；
（3）本小题主要考查全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质（含30°角的直角三角形）、勾股定理以及垂直平分线的性质的综合应用.解题思路：类比第二问构造全等三角形，过点D作的平行线交的延长线于点H，过H作的垂线，垂足为P，连接，同理可得，结合已知角度可得到为度的直角三角形，可求得、的长，在中，利用勾股定理可求得，则可求得的长．
（1）解：，
如图1，在中，延长、E分别是的中点到点F，使得，连接，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
故答案为：，；
（2）如图2，延长交于点H，
为中点，
，且，
在和中，
，
，
，，
，
垂直平分，
；
（3）如图3，过点D作的平行线交的延长线于点H，过H作的垂线，垂足为P，连接，
同（1）可知，，
，，
，
，
，
，，
，
，
在中，，，，
1 / 1广西南宁市西乡塘区2024—2025学年下学期八年级期末数学试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．下列各式是二次根式的是（　　）
A． B．2 C． D．
【答案】C
【知识点】二次根式的概念
【解析】【解答】解：A、：被开方数为负数，在实数范围内无意义，不符合二次根式定义，错误；
B、：是整数，未含根号，不属于根式，错误；
C、：根指数为2（省略未写），被开方数2是非负数，符合二次根式定义，正确；
D、：根指数为3，属于三次根式，不符合二次根式根指数为2的要求，错误；
故答案为：C．
【分析】本题主要考查二次根式的定义.判断一个式子是否为二次根式，必须同时满足两个条件：①根指数为2（通常省略不写）；②被开方数为非负数（在实数范围内有意义）.二者缺一不可.
2．下列各组数中，可以作为直角三角形三条边的长度的是（　　）
A．1，2，3 B．3，4，5 C．5，6，7 D．8，9，10
【答案】B
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、，不满足勾股定理，错误；
B、，满足勾股定理，正确；
C、，不满足勾股定理，错误；
D、，不满足勾股定理错误；
故答案为：B.
【分析】本题主要考查勾股定理的逆定理.判断三条线段能否构成直角三角形，需要先确定最长边（作为斜边），然后验证“两条较短边的平方和”是否等于“最长边的平方”，若相等，则是直角三角形；若不相等，则不是，据此可以判断.
3．如图，在中，若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形
∴
∴
∴
∵
∴
故答案为：A.
【分析】本题考查平行四边形的性质：两组对角分别相等.结合题干，因为，即可求解.
4．函数中，当时，y的值是（　　）
A． B． C．2 D．1
【答案】D
【知识点】一次函数的概念
【解析】【解答】解：已知函数为，当时，代入得：
，
因此，当时，的值是1，
故答案为：D.
【分析】本题主要考查函数值的求法.已知函数解析式，要求当自变量x取某个具体数值时对应的函数值y，只需将该数值代入解析式，按运算规则计算结果即可.
5．水是生命之源．为了倡导节约用水，随机抽取某小区7户家庭上个月家里的用水量情况（单位：吨），数据为：7，5，6，8，8，9，，这组数据的众数是（　　）
A．7 B．8 C．9 D．
【答案】B
【知识点】众数
【解析】【解答】解：由题意知，这组数据中，8出现2次，其他数据出现1次，所以众数是8，
故选：B．
【分析】
根据众数是出现次数最多的数据求解作答即即可．
6．下列二次根式中，可以与合并的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次根式的性质与化简；同类二次根式
【解析】【解答】解：A、，2与不是同类二次根式，不能合并，故选项A错误；
B、和不是同类二次根式，不能合并，故选项B错误；
C、，与是同类二次根式，能合并，故选项C正确；
D、，与不是同类二次根式，不能合并，故选项D错误.
故答案为：C.
【分析】根据二次根式的性质将各个选项给出的二次根式化简，化简后的二次根式与 的被开方数相同的就能合并，据此逐项判断即可得解.
7．顺次连接任意一个四边形各边中点所得到的四边形一定是（　　）
A．矩形 B．菱形 C．平行四边形 D．正方形
【答案】C
【知识点】平行四边形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，四边形中，、、、分别是、、、的中点，
，，
同理，，
，，
四边形是平行四边形，
故选：C．
【分析】本题考查三角形的中位线定理，平行四边形的的判定．根据三角形中位线定理可得
，，，，从而推出，，根据一组对边平行且相等可证四边形是平行四边形.
8．我国古代有“不以规矩，不能成方圆”的说法，人们把“规矩”当作几何名词，“规”是圆，“矩”是方，所以初中以后就把长方形改为比较专业的名称“矩形”．木艺活动课上，小明用四根细木条a，b，c，d搭成如图所示的一个四边形，现要判断这个四边形是否是矩形，以下测量方案正确的是（　　）
A．测量是否有三个角是直角 B．测量对角线是否相等
C．测量两组对边是否分别相等 D．测量对角线是否互相垂直
【答案】A
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：A、测量其中三个角是否为直角，能判定矩形；符合题意；
B、测量对角线是否相等，不能判定形状；不符合题意；
C、测量两组对边是否分别相等，能判定平行四边形；不符合题意；
D、测量对角线是否互相垂直，不能判定形状；不符合题意．
故答案为：A．
【分析】本题主要考查矩形的判定方法.矩形的定义是有一个角是直角的平行四边形，常见的判定方法有：①有三个角是直角的四边形是矩形；②有一个角是直角的平行四边形是矩形；③对角线相等的平行四边形是矩形.测量是否具有三个直角，可以直接判定矩形，因此选项A正确.
9．利用勾股定理可以作出长为无理数的线段．如图，，过点作直线，在上取点，使，以点为圆心，的长为半径作弧，与数轴正半轴交于点，那么点表示的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】运用勾股定理在数轴上标出无理数对应点
【解析】【解答】解：由题意可知：，
直线，
，
由勾股定理得：，
∵ 点C在数轴正半轴上，
点C表示的数是，
故答案为：．
【分析】本题综合考查勾股定理与实数在数轴上的表示.首先构建直角三角形，利用勾股定理求出斜边长度，通过尺规作图做出相等线段，因为是以原点为圆心，交于数轴正半轴，所以OC的长度即为点C对应数值.
10．一次函数的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：一次函数，
该函数的图象经过第一、二、四象限，
故答案为：．
【分析】本题主要考查一次函数的图象与系数的关系.一次函数y=kx+b的图象由斜率k和截距b共同决定：k决定直线的倾斜方向（k>0上升，k<0 下降）；b决定直线与y轴的交点位置（b＞0，交y轴正半轴，b＜0，交y轴负半轴）.已知y=kx+6，其中k<0，b=6，据此可判断图象经过的象限.
11．如图，若一次函数（，为常数，且）的图象经过点，则关于的不等式的解集为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：根据函数图象，当时，，
所以不等式的解集为．
故选：A．
【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式的关系，解题核心是结合函数图象分析不等式的解集。不等式表示的是一次函数图象上纵坐标小于2的点对应的横坐标范围，已知函数图象过点，结合一次函数的图象走势，找到纵坐标小于2的区域对应的横坐标，即可得到不等式的解集。
12．如图①的矩形纸板，沿其中一条对角线裁剪可得到两个全等的直角三角形，三角板的较长的直角边长为，，若左侧的三角形保持不动，右侧的三角形沿斜边向右下方向滑动，当四边形是菱形时， 如图②，则的长为（　　）
A．1 B． C． D．2
【答案】A
【知识点】等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形；菱形的性质；矩形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：图②中四边形是菱形，
，
，
，
图①四边形是矩形，
，，
，，
，
，
，
三角板的较长的直角边长为，
，
即，
解得，
故答案为：A．
【分析】本题主要考查含30°直角三角形的性质、矩形的性质、菱形的性质以及勾股定理的综合应用.解题的关键是在图形变换中，利用原矩形剪裁得到的两个全等直角三角形，以及滑动后形成的菱形，逐步分析线段之间的比例关系.由左侧直角三角形保持不动，右侧三角形沿斜边向右下滑动，滑动后，点F和点E分别为滑动后对应的点，由矩形和平移的性质，可推得BF=DE；结合菱形的性质计算角度，推出△ADE是等腰三角形，利用含30°角的直角三角形得到EF=BF，最后通过勾股定理计算.
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分．
13．若二次根式 有意义，则x的取值范围是　 　．
【答案】x≥2
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：根据题意，使二次根式 有意义，即x﹣2≥0，
解得x≥2；
故答案为：x≥2．
【分析】根据二次根式有意义的条件，可得x﹣2≥0，解不等式求范围．
14．某校把学生数学的期中、期末两次成绩分别是按，的比例计入学期总成绩，小芳数学期中成绩是90分，期末成绩是85分，那她的数学学期总成绩为　 　分．
【答案】87
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】解：他的数学学期总成绩为（分），
故答案为：．
【分析】本题考查了加权平均数的计算.加权平均数需要考虑每个数据在整体中的“权重”， 根据学期数学总成绩期中数学成绩所占的百分比期末数学成绩所占的百分比即可求得学期总成绩．
15．如图，一次函数与的图象相交于点，则方程组的解是　 　．
【答案】
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系
【解析】【解答】解：∵一次函数与的图象相交于点，
∴，
解得：，
∴，
∴的解是，
故答案为：．
【分析】本题主要考查一次函数图象的交点与二元一次方程组的解之间的关系.两个一次函数图象的交点坐标，就是对应二元一次方程组的解.由交点坐标，代入求出的值，得到交点坐标P（2，4），再根据方程组的解就是两个对应的一次函数图象的交点坐标即可求出方程组的解.
16．如图，正方形的边长为12，点在边上且，点是上一动点，则的最小值为　 　．
【答案】13
【知识点】三角形全等及其性质；正方形的性质；轴对称的应用-最短距离问题；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【解答】解：如图，作BC上一点，且，并连接
∵四边形是正方形
∴
∵
∴
∴
∴
根据两点之间直线段最短的性质得：最小值，如下图所示：
∵四边形是正方形
∴
∴
∵正方形的边长为12，
∴
∴
即的最小值为：13
故答案为：13．
【分析】本题主要考查正方形中的最短路径问题，综合运用了轴对称变换和两点之间线段最短的原理.
解题关键是利用正方形的对称性找到点P关于对角线AC的对称点P'，将PQ转化为P'Q，从而将最小值问题转化为最小值问题；再根据两点之间直线段最短的性质和勾股定理，经计算即可完成求解．
三、解答题：本题共7小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．计算：
（1）；
（2）已知，，求的值．
【答案】（1）解：原式
；
（2）解：∵，，
∴
．
【知识点】平方差公式及应用；二次根式的乘除混合运算
【解析】【分析】（）本小题主要考查二次根式的乘除混合运算.运算顺序遵循“先乘除，后加减”；二次根式的除法可利用化简，再计算，最后合并同类项；
（）本小题考查平方差公式在二次根式乘法中的应用.已知两个互为有理化因式的二次根式，，其乘积可用进行快速计算.
（1）解：原式
；
（2）解：∵，，
∴
．
18．如图，四边形是菱形，延长到点F，使，连接交于点
（1）请你用无刻度的直尺和圆规把图形补充完整保留作图痕迹，并证明E是的中点；
（2）连接，若，，求的长．
【答案】（1）解：以点B为圆心，以为半径画弧交的延长线于点F，连接交于点E，如图所示：
四边形是菱形，
，，
，，
，
，
，
，
点E是的中点；
（2）解：，
，
，
是线段的垂直平分线，
，
在菱形中，，
，
.
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；线段垂直平分线的性质；菱形的性质；尺规作图-直线、射线、线段
【解析】【分析】（1）本小题综合考查菱形的性质、尺规作图以及全等三角形的判定与性质.作图思路：以点B为圆心，AB长为半径画弧，交AB的延长线于点F；证明思路：利用菱形对边平行且邻边相等的性质，结合平行线得角相等，由此根据“”判定和全等得，据此即可得出结论；
（2）本小题可结合菱形的性质与线段的垂直平分线的性质解决.根据和全等得，进而得是线段的垂直平分线，则，然后再根据菱形的性质即可得出答案．
（1）解：以点B为圆心，以为半径画弧交的延长线于点F，连接交于点E，如图所示：
四边形是菱形，
，，
，，
，
，
，
，
点E是的中点；
（2），
，
，
是线段的垂直平分线，
，
在菱形中，，
，
19．为提高居民防范电信诈骗意识，确保反诈宣传工作落地见效，某社区举行《2024年防诈骗知识》竞赛，社区管理员随机从甲、乙两个小区各抽取20份答卷，并对他们的成绩（单位：分）进行统计、分析，过程如下：
收集数据
甲小区：85 80 95 100 90 95 85 65 75 85 89 90 70 90 100 80 80 90 96 75
乙小区：80 60 80 95 65 100 90 85 85 80 95 75 80 90 70 80 95 75 100 90
整理数据
成绩x（分）
甲小区 2 5 8 5
乙小区 3 7 5 5
分析数据
统计量 平均数 中位数 众数
甲小区 85.75 87 a
乙小区 83.5 b 80
（1）填空：a＝ ，b＝ ；
（2）若甲小区共有1000人参与答卷，请估计甲小区成绩大于80分的人数；
（3）根据以上数据分析，你认为甲、乙两个小区哪一个对防诈骗知识掌握更好？请写出其中一个理由．
【答案】（1）90，82.5
（2）解：人，
∴估计甲小区成绩大于80分的人数为650人；
（3）解：甲小区对防诈骗知识掌握更好，理由如下：①甲小区的平均数大于乙小区的平均数；②甲小区的中位数大于乙小区的中位数；③甲小区的众数大于乙小区的众数．
综上：甲小区对防诈骗知识掌握更好.
【知识点】用样本估计总体；中位数；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；众数
【解析】【解答】解：甲小区中成绩为90分的出现了4次，出现的次数最多，则甲小区的众数；
把乙小区得分从低到高排列，处在第10名和第11名的得分分别为80分，85分，则乙小区的中位数，
故答案为：90；82.5；
【分析】本题主要考查频数分布表的分析、众数、中位数的求法，以及用样本估计总体的方法.解题时，首先根据甲小区各分数段的频数分布，找出出现次数最多的分数，从而确定众数a=90；再对乙小区的数据排序，找出第10、11个数据的平均值，得到中位数b=82.5.接着，用甲小区成绩大于80分的人数所占比例 (8+5)/(2+5+8+5)=13/20 乘以总人数1000，估算出约650人.最后，比较两个小区的平均数、中位数，若甲小区均高于乙小区，则说明甲小区整体掌握情况更好.此类问题的解题技巧是：准确读取频数分布表，熟练运用中位数、众数的定义，并善于利用比例进行样本估计，同时用多个统计量综合评判数据分布情况.
20．如图，在中，过点A作于点E，延长至点F，使，连接，
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，，求的面积．
【答案】（1）证明：在中，，，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
四边形是矩形．
（2）解：四边形是矩形，
，，
，
，
的面积．
【知识点】平行四边形的性质；矩形的性质；矩形的判定；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）本小题主要考查平行四边形的判定与性质，以及矩形的判定方法.证明一个四边形是矩形的一般思路：先证明它是平行四边形，再证明它有一个角是直角（或对角线相等）. 由，可得，即，结合，可得四边形是平行四边形，再结合，可得平行四边形是矩形；
（2）由第（1）问四边形AEFD是矩形，结合已知的线段长度，可利用勾股定理求出平行四边形ABCD的高，最后根据平行四边形的面积公式即可求得.
（1）证明：在中，，，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
四边形是矩形．
（2）解：四边形是矩形，
，，
，
，
的面积．
21．综合与实践
项目背景 某校为更好地开展劳动实践活动，在校园内开辟了一片小菜园，用来种植甲、乙两种菜苗．
项目主题 探究不同种菜苗高度与种植天数的关系，查阅资料可知，两种菜苗的最终高度都不超过cm
研究步骤 ①选定小菜园中土壤水平及光照时长相同的一块地，并选择甲、乙两种菜苗进行种植； ②从种植开始每两天记录一次数据； ③数据分析，形成结论． 数据记录： 已种菜苗天数天0246810…甲种菜苗高度cm6912151821…乙种菜苗高度cm151617181920…
初步分析：通过分析数据得两种菜苗的高度，（单位：cm）与已种菜苗天数均为一次函数关系．
问题解决 请根据上述材料完成下列问题． （1）在平面直角坐标系中分别画出菜苗高度，单位：cm关于已种菜苗天数单位：天的函数图象； （2）求出关于x的函数关系式，不用写出自变量的取值范围，并求出第16天乙种菜苗的高度； （3）观察函数图象，据实践经验可得这两种菜苗均在菜苗高度达到45cm左右时开花，请估计哪种菜苗先开花，并说明理由．
【答案】解：（1）作图如解图：
（2）设与x的函数关系式为，将点，，分别代入得：
，解得
与x的函数关系式为；
当时，，
第16天乙种菜苗的高度为．
（3）甲种菜苗先开花；理由如下：
由图象可知，当甲，乙两种菜苗高度相同时即与的交点处都未达到的高度，
达到相同高度后的图象始终在的图象上方，
甲种菜苗比乙种菜苗先达到高度，
故答案为：甲种菜苗先开花．
【知识点】一次函数的图象；待定系数法求一次函数解析式；通过函数图象获取信息；一次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）本小题考查一次函数图象的画法.已知函数为一次函数，只需确定两个点即可画出直线.根据表格数据，分别任取两点坐标，在坐标系中描点并连线即可得到图象；
（2）本小题考查待定系数法求一次函数解析式.依据题意，设，代入点，，求出k，b后可得解析式；然后将代入解析式，求出对应y2值；
（3）本小题考查通过函数图象比较函数值的大小.观察图像，由两条直线的交点，确定达到相同高度后的图象始终在的图象上方，即可求解．
22．宇树科技的人形机器人在春晚舞台的惊艳亮相，迅速成为社交媒体热议的焦点．“让机器人走进千家万户，成为生活的好帮手”不再是遥不可及的梦想．某公司计划购买A，B两种机器人进行销售．已知购买1个A种机器人和2个B种机器人共需38万元，购买2个A种机器人和1个B种机器人共需34万元．
（1）求购买一个A，B种机器人各需多少万元？
（2）该公司准备用不超过1200万元再购进第二批A，B两种机器人共100个，且A种机器人数量不超过75个．据市场销售分析，当A种机器人提价，B种机器售价为购买价的倍时，销售状况最好，若按此销售方案将第二批机器人全部销售完，怎样安排购进方案可以使获得的利润最大，求出最大利润及对应的购进方案．
【答案】（1）解：由题意，设购买一个A种机器人需x万元，一个B种机器人需y万元，
则，
，
答：购买一个A种机器人需10万元，一个B种机器人需14万元；
（2）解：由题意，设购进 A 种机器人m个，则购进 B 种机器人个，
，且
又总利润W的表达式：，
随m的增大而减小．
当m取最小值时，W最大．
，
当时，此时取最大利润，最大利润（万元）．
答：最佳购进方案：购进 A 种机器人50 个，B 种机器人50 个，最大利润为215 万元．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）本小题主要考查二元一次方程组的实际应用——销售问题.依据题意，设购买一个A种机器人需x万元，一个B种机器人需y万元，则可列出方程组，解方程组即可；
（2）本小题考查一元一次不等式组的应用与函数最值的问题.依据题意，设购进 A 种机器人m个，则购进 B 种机器人个，根据资金限制和数量限制得出m的取值范围：，建立总利润W的表达式，因为k＜0，故W随m的增大而减小，从而当m取最小值时，W最大，结合，进而可以判断得解.
（1）解：由题意，设购买一个A种机器人需x万元，一个B种机器人需y万元，
则，
，
答：购买一个A种机器人需10万元，一个B种机器人需14万元；
（2）解：由题意，设购进 A 种机器人m个，则购进 B 种机器人个，
，且
又总利润W的表达式：，
随m的增大而减小．
当m取最小值时，W最大．
，
当时，此时取最大利润，最大利润（万元）．
答：最佳购进方案：购进 A 种机器人50 个，B 种机器人50 个，最大利润为215 万元．
23．综合与探究
（1）【课本再现】人教版八年级数学下册第48页详细介绍了中位线定理的证明过程，方法如下：如图1，D，E分别是中点，延长到F，使，连接，先证明，再证四边形是平行四边形，从而得到线段与的位置关系和数量关系分别为______，______．
（2）【初步运用】如图2，正方形中，E为边中点，G，F分别在边上，且，，，求长．
（3）【拓展延伸】如图3，四边形中，，，E为中点，G，F分别为边上的点，若，，求长．
【答案】（1）DEBC，
（2）解：如图2，延长交于点H，
为中点，
，且，
在和中，
，
，
，，
，
垂直平分，
；
（3）解：如图3，过点D作的平行线交的延长线于点H，过H作的垂线，垂足为P，连接，
同（2）可知，，
，，
，
，
，
，，
，
，
在中，，，，
【知识点】三角形全等及其性质；含30°角的直角三角形；平行四边形的判定与性质；正方形的性质；线段垂直平分线的应用
【解析】【解答】解：（1）解：，
如图1，在中，延长、E分别是的中点到点F，使得，连接，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
故答案为：，；
【分析】（1）本小题主要考查三角形中位线定理的证明过程，通过构造全等三角形和平行四边形，推导出中位线与第三边的位置关系和数量关系，根据材料提供的思路进行证明即可得出结论；
（2）本小题主要考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、垂直平分线的性质以及勾股定理的综合应用.解题思路：类比证明三角形中位线的思路作辅助线，延长交于点H，可证得，结合条件可证明垂直平分，可得，可求得的长；
（3）本小题主要考查全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质（含30°角的直角三角形）、勾股定理以及垂直平分线的性质的综合应用.解题思路：类比第二问构造全等三角形，过点D作的平行线交的延长线于点H，过H作的垂线，垂足为P，连接，同理可得，结合已知角度可得到为度的直角三角形，可求得、的长，在中，利用勾股定理可求得，则可求得的长．
（1）解：，
如图1，在中，延长、E分别是的中点到点F，使得，连接，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
故答案为：，；
（2）如图2，延长交于点H，
为中点，
，且，
在和中，
，
，
，，
，
垂直平分，
；
（3）如图3，过点D作的平行线交的延长线于点H，过H作的垂线，垂足为P，连接，
同（1）可知，，
，，
，
，
，
，，
，
，
在中，，，，
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