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广东省阳江市江城区2024-2025学年八年级下学期期末数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2． 下列各组数中，能作为直角三角形三边长的是（　　）
A．4，5，6 B．5，8，13 C．1，1， D．1，，4
3．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．若点在一次函数图象上，则a的值是（　　）
A．1 B．3 C． D．
5．随着互联网的发展，网络购物越来越普及某电商平台对某款热门电子产品一周内的日销售量（单位：台）进行了统计，数据如下：，，，，，，关于这组数据，下列说法正确的是（ ）
A．中位数是 B．众数是 C．中位数是 D．众数是
6．下命题中，是真命题的是（　　）
A．有两边相等的平行四边形是菱形
B．有一个角是直角的四边形是矩形
C．四个角相等的菱形是正方形
D．两条对角线互相垂直的平行四边形是正方形
7．已知正比例函数的函数值y随x的增大而减小，则一次函数的图像大致是（　　）
A． B．
C． D．
8．如图，两个较大正方形的面积分别为225、289，且中间夹的三角形是直角三角形，则字母A所代表的正方形的面积为（　　）
A．4 B．8 C．16 D．64
9．如图，在中，对角线交于点，点是的中点．若，则的长为（　　）
A． B． C． D．
10．已知一次函数与的图象如图所示，有下列结论：① ； ② ； ③关于x的方程的解为； ④当时，其中正确的结论有（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分．
11．要使二次根式有意义，则应满足的条件是　 　．
12．对甲、乙两个超市在九月份每天的营业额进行调查，发现：在九月份两个超市每天营业额的平均值相同，方差分别为 ＝7.5， ＝2.6，则九月份每天营业额较稳定的超市是 　 　（填“甲”或“乙”）.
13．在平面直角坐标系中，点（3，﹣2）到原点的距离是 　 　．
14．将直线 向上平移 个单位后得到的解析式为　 　．
15．如图，有一张一个角为30°，最小边长为2的直角三角形纸片，沿图中所示的中位线剪开后，将两部分拼成一个四边形，所得四边形的周长是 　 　.
三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16．计算：
17．已知与成正比例，当时，．
（1）求出与的函数关系式；
（2）请通过计算，判断点是否在这个函数的图象上．
18．如图（1）所示是某校篮球架实物图，如图（2）所示是篮球架的侧面示意图，篮板边侧垂直于地面．八年级的“综合与实践”数学小组开展测量篮球架篮板高度的实践活动．在不便于直接测量的情况下，小组设计了如下测量方法：如图（3）所示，小组成员将竹竿垂直固定在地面上，小明从竹竿上的F点处观察篮板底部B点，用测角仪测量视线与竹竿的夹角的度数为，接着将观察点沿着竹竿向上移动到G点，使得从G点观察篮板顶部A点的视线与竹竿的夹角的度数恰好等于的度数时，在竹竿上标注G点的位置，测量的长度为．活动分享时，小明说：“的长度就是篮板的高度”，你认为小明的说法是否正确，并说明理由．
19．为了了解某校初中各年级学生每天的平均睡眠时间（单位：），精确到1h，抽样调查了部分学生，并用得到的数据绘制了下面两幅不完整的统计图．
请你根据图中提供的信息，回答下列问题：
（1）求出扇形统计图中百分数的值为，所抽查的学生人数为．
（2）求出平均睡眠时间为8小时的人数，并补全频数分布直方图．
（3）求出这部分学生的平均睡眠时间的众数和平均数．
（4）如果该校共有学生1200名，请你估计睡眠不足（少于）8小时的学生数．
20．如图所示，某小区的两个喷泉A、B之间的距离的长为．供水点位于M，现要为喷泉铺设供水管道，．已知供水点M到的距离的长为，的长为．
（1）求供水点M到喷泉A需要铺设的管道长；
（2）试说明．
21．如图，在平行四边形中，点F在边上，，连接，点O为的中点，的延长线交边于点E，连接．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若平行四边形的周长为24，，，求的长．
22．根据以下素材，探索完成任务：
如何制定订餐方案？
素材1 某班级组织春日研学活动，需提前为同学们订购午餐，现有两种套餐可供选择，套餐信息及团购优惠方案如下所示： 套餐类别套餐单价团体订购优惠方案：米饭套餐30元方案一：套餐满20份及以上打9折； 方案二：套餐满12份及以上打8折； 方案三：总费用满850元立减110元．：面食套餐25元温馨提示：方案三不可与方案一、方案二叠加使用．
素材2 该班级共31位同学，每人都从两种套餐中选择一种，一人一份订餐，拒绝浪费．经统计，有20人已经确定或套餐，其余11人两种套餐皆可．若已经确定套餐的20人先下单，三种团购优惠条件均不满足，费用合计为565元．
问题解决
任务1 计算选择人数 已经确定套餐的20人中，分别有多少人选择套餐和套餐？
任务2 分析变量关系 设两种套餐皆可的同学中有人选择套餐，该班订餐总费用为元，当全班选择套餐人数不少于20人时，请求出与之间的函数关系式．
任务3 制定最优方案 要使得该班订餐总费用最低，则套餐应各订多少份？并求出最低总费用．
23．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点C，且与正比例函数的图象交于点．
（1）求一次函数的解析式；
（2）点M在x轴上，当最小时，求点M的坐标；
（3）若D是直线AB上一点，E是平面内一点，以O、C、D、E四点为顶点的四边形是矩形，请直接写出点E的坐标．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、是最简二次根式，故A符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：A．
【分析】本题考查最简二次根式的定义与分母有理化，判断需满足被开方数无开得尽方的因数/因式、被开方数不含分母两个条件。A选项被开方数无法开方且无分母，符合要求；B选项，含开得尽方的因数4，不符合；C选项，可化为整数，不是最简二次根式；D选项分母含根号，有理化后为，不符合定义。
2．【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、∵，∴不是勾股数；∴A错误；
B、∵，∴三角形是直角三角形，∴B正确；
C、∵，∴不是勾股数；∴C错误；
D、∵，∴不是勾股数；∴D错误；
故选：B.
【分析】根据勾股定理的逆定理，验证两条直角边的平方和等于斜边的平方即可.
3．【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的乘除混合运算；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：与不是同类二次根式，无法合并，原选项计算错误，不符合题意；
、与不是同类二次根式，无法合并，原选项计算错误，不符合题意；
、，原选项计算错误，不符合题意；
、，原选项计算正确，符合题意；
故选：．
【分析】本题考查二次根式的运算与性质，二次根式加减需同类二次根式才可合并，除法遵循，。A选项与非同类二次根式，无法合并；B选项与非同类二次根式，不能直接相减；C选项，计算错误；D选项，计算正确。
4．【答案】A
【知识点】一次函数的性质
【解析】【解答】解：当点在一次函数图象上时，
把点代入得：，
故答案为：A．
【分析】把点代入得：。
5．【答案】C
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：将数据从小到大排列为：25，26，28，30，30，30，32，
∵数据个数为7（奇数），
∴中位数为第4个数，即30；
∵30出现次数最多（3次），
∴众数为30，故C正确．
故选：C．
【分析】本题考查中位数与众数的计算，中位数需先排序，奇数个数据取中间数，众数是出现次数最多的数。将数据排序为25，26，28，30，30，30，32，共7个数据，中位数为第4个数30；30出现3次，次数最多，众数为30。
6．【答案】C
【知识点】菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、有两邻边相等的平行四边形是菱形，故原命题是假命题，不符合题意；
B、有一个角是直角的平行四边形是矩形，故原命题是假命题，不符合题意；
C、四个角相等的菱形是正方形，是真命题，符合题意；
D、两条对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形，故原命题是假命题，不符合题意．
故答案为：C．
【分析】根据菱形的判定可得出A不正确；根据矩形的定义可得出B不正确；根据正方形的判定可得出C正确；根据正方形的判定可得出D不正确。
7．【答案】B
【知识点】一次函数的性质；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：正比例函数的函数值随的增大而减小，
，
，
一次函数的图像经过第一、二、四象限，
故答案为：B．
【分析】由正比例函数的增减性可得出比例系数，由此可推得一次函数的图像必经过一，二，四象限，从而得出结论。
8．【答案】D
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：两个较大正方形的面积分别为225、289，则它们的边长分别为，，
由勾股定理可得：字母A所代表的正方形的边长为，
则字母A所代表的正方形的面积为，
故选：D．
【分析】本题考查勾股定理与正方形面积的结合应用，正方形面积等于边长平方，直角三角形两直角边平方和等于斜边平方。先求正方形边长、，再由勾股定理得A正方形边长，面积为。
9．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵四边形为平行四边形，
∴，
∵点是的中点，
∴，
∴为的中位线，
∴，
故选B．
【分析】根据平行四边形性质，结合三角形中位线定理即可求出答案.
10．【答案】C
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵直线经过第一、二、四象限，
∴，，
所以①正确；
∵直线与y轴的交点在x轴下方，
∴，
所以②错误；
∵当时，，
∴关于x的方程的解为，
所以③正确；
∵当，直线在直线的下方，
∴时，．
所以④错误．
故答案为：C．
【分析】本题考查一次函数图象、一元一次方程与不等式的关系，过一、二、四象限得，①正确；与轴交于负半轴得，②错误；两函数交点横坐标为3，时，方程解为，③正确；时在下方，，④错误，正确结论共2个。
11．【答案】
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：要使二次根式有意义，则，
解得，
故答案为：．
【分析】本题考查二次根式有意义的条件，二次根式被开方数为非负数，据此列不等式，解不等式得的取值范围。
12．【答案】乙
【知识点】方差
【解析】【解答】解：∵ ＝7.5， ＝2.6，
∴ ，
∴九月份每天营业额较稳定的超市是乙，
故答案为：乙.
【分析】方差是反映一组数据的波动大小的一个量，方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越差；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好，据此解答即可．
13．【答案】
【知识点】线段上的两点间的距离
【解析】【解答】解：由题意知点（3，﹣2）到原点的距离为
故答案为：．
【分析】根据两点之间距离公式列出算式求解即可。
14．【答案】y=2x+4
【知识点】一次函数图象与几何变换
【解析】【解答】解：由题意得：y=2x+1+3=2x+4.
故答案为： y=2x+4 .
【分析】根据图象平移的特点，图象向上移动3个单位即纵坐标增加3，据此解答即可.
15．【答案】8或4+
【知识点】直角三角形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】
由题意可得：AB=2，
∵∠C=30 ，
∴BC=4，AC=，
∵图中所示的中位线剪开，
∴CD=AD=，CF=BF=2，DF=1，
如图1所示：拼成一个矩形，矩形周长为：1+1+2++=4+；
如图2所示，可以拼成一个平行四边形，周长为：2+2+2+2=8，
故答案为：8或4+.
【分析】本题考查直角三角形性质、中位线定理与图形剪拼，先由30°直角三角形求出各边长，再由中位线得剪开后线段长度，分拼矩形、平行四边形两种情况，分别计算周长。
16．【答案】解：
．
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】根据二次根式混合运算即可求出答案.
17．【答案】（1）解：由题意，设，
把代入，得，
解得，
∴，
即；
（2）解：当时，，
∴点不在这个函数的图象上．
【知识点】一次函数的概念；待定系数法求一次函数解析式；正比例函数的概念
【解析】【分析】（1）设，根据待定系数法将代入解析式即可求出答案.
（2）将点坐标代入解析式进行判断即可求出答案.
（1）解：由题意，设，
把代入，得，
解得，
∴，
即；
（2）解：当时，，
∴点不在这个函数的图象上．
18．【答案】解：我认为小明的说法正确．理由如下：
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴四边形是平行四边形．
∴．
∴的长度就是篮板的高度．
【知识点】平行线的判定；平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】根据直线平行判定定理及性质，结合平行四边形性质判定定理及性质即可求出答案.
19．【答案】（1）解：∵某校初中各年级学生每天的平均睡眠时间为6小时、8小时、9小时的百分比分别为：20%、30%、5%，
∴；
∵每天的平均睡眠时间为9小时的人数为3人，
∴所抽查的学生人数为：人
（2）解：平均睡眠时间为8小时的人数为：人；
补全频数分布直方图，如下图：
（3）解：根据题意得：平均睡眠时间为7小时的人数所占的百分比最大，
∴这部分学生的平均睡眠时间的众数是7，
平均数小时
（4）解：∵1200名学生中睡眠不足（少于8小时）的学生所占的百分比为：
45%、20%，
∴1200名学生中睡眠不足（少于8小时）的学生数为：
1200（45%+20%）=1200×65%=780（人）．
答： 该校共有学生1200名，睡眠不足（少于）8小时的学生数约为780人
【知识点】扇形统计图；条形统计图；加权平均数及其计算；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】（1）根据各小组的百分比之和等于1可求得平均睡眠时间为7小时的人数所占的百分比，然后根据样本容量=频数÷百分比即可求得所抽查的学生人数 ；
（2）根据频数=样本容量×相应的百分比即可求解平均睡眠时间为8小时的人数，然后可将频数分布直方图补充完整；
（3）根据众数定义“众数是指一组数据中出现次数最多的数；”和平均数的意义“平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以这组数据的个数”计算即可求解；
（4）用样本估计总体即可求解．
20．【答案】（1）解：根据题意可知，
在中，，
∴．
在中，，
∴供水点到喷泉需要铺设的管道长为.
（2）解：∵，，，
∴，
∴．
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；勾股定理的应用
【解析】【分析】（1）先利用勾股定理求出BN的长，再利用线段的和差求出AN的长，最后利用勾股定理求出AM的长即可；
（2）利用勾股定理的逆定理证出∠AMB=90° 即可.
（1）解：由题意可知，
在中，，
∴．
在中，，
∴供水点到喷泉需要铺设的管道长为；
（2）解：∵，，，
∴，
∴．
21．【答案】（1）∵四边形是平行四边形，∴，
∴，
∵O为的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
又，
∴平行四边形是菱形；
（2）∵，∴，
∵平行四边形的周长为24，
∴菱形的周长为：，
∴，
∵，
∴
又，
∴是等边三角形，
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的判定与性质；平行四边形的性质；菱形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】(1)本题考查平行四边形、全等三角形与菱形判定，由平行四边形得，推出角相等，结合证，得，证四边形是平行四边形，再由判定为菱形；
(2)由平行四边形周长和求菱形边长，由得，结合菱形边长相等，判定为等边三角形，得。
（1）∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵O为的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
又，
∴平行四边形是菱形；
（2）∵，
∴，
∵平行四边形的周长为24，
∴菱形的周长为：，
∴，
∵，
∴
又，
∴是等边三角形，
∴．
22．【答案】解：任务1：20人先下单，三种团购优惠方案的条件均不满足，
设这20人中选择套餐的有人，，
则选则套餐的有人，，
，
，
，
答：选择套餐的有13人，选择套餐的有7人；
任务2：两种套餐皆可的11人中有人选择套餐，
当全班选择套餐人数不少于20人时，
即，
，
选择套餐人数为，不满足优惠方案二的条件，
订餐总费用为；
任务3：两种套餐皆可的11人中有人选择套餐，
①当时，由（2）可知，订餐总费用为，
，
随着的增大而增大，
当时，订餐总费用最小为（元）；
②当时，，，
∴订餐总费用为，
，
随着的增大而增大，
当时，订餐总费用最小为（元）；
③若选择优惠方案三，订餐总费用为，
总费用满850元立减110元，
当时，订餐总费用最小为（元）；
综上所述，当订购套餐15份，订购套餐为16份时，订餐总费用最低为740元．
【知识点】一元一次方程的实际应用-方案选择问题；一次函数的实际应用-方案问题
【解析】【分析】任务1：根据题意可设设这20人中选择套餐的有人，，则选则套餐的有人，，根据“费用合计为565元”列出方程，解方程即可求出答案.
任务2：由当全班选择套餐人数不少于20人时，即，得到，从而得到选择套餐人数为，根据套餐、套餐的优惠方式列式计算即可求出答案.
任务3：分三种情况：①当时，②当时，③选择优惠方案三，分别计算出所花费的费用，再比较大小即可求出答案.
23．【答案】（1）解：∵一次函数的图象经过点，点，∴，解得，
∴一次函数的解析式为；
（2）解：如图，作点C关于x轴的对称点，连接交x轴于M，此时的值最小．
对于，
令，则，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
则，解得：，
∴直线的解析式为，
令，得，
∴；
（3）点E的坐标为或．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；矩形的性质；轴对称的应用-最短距离问题；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数中的动态几何问题
【解析】【解答】（3）解：∵，，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
①当为边时，四边形是矩形，此时，，
此时D、A重合，四边形是正方形，
∴点E的坐标为；
②当为对角线时，四边形是矩形，此时，四边形是正方形，
∴，
∴点E的坐标为；
综上所述，满足条件的点E的坐标为或．
【分析】(1)本题考查待定系数法求一次函数解析式，将A、B坐标代入解析式，解方程组得、，确定函数式；
(2)本题考查轴对称求最短路径，作C关于x轴的对称点，连接交x轴于M，求直线解析式，令得M坐标；
(3)本题考查矩形性质与分类讨论，分为边、为对角线两种情况，结合矩形边的位置与长度关系，求点E坐标。
（1）解：∵一次函数的图象经过点，点，
∴，解得，
∴一次函数的解析式为；
（2）解：如图，作点C关于x轴的对称点，连接交x轴于M，此时的值最小．
对于，
令，则，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
则，解得：，
∴直线的解析式为，
令，得，
∴；
（3）解：∵，，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
①当为边时，四边形是矩形，此时，，
此时D、A重合，四边形是正方形，
∴点E的坐标为；
②当为对角线时，四边形是矩形，此时，四边形是正方形，
∴，
∴点E的坐标为；
综上所述，满足条件的点E的坐标为或．
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一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、是最简二次根式，故A符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：A．
【分析】本题考查最简二次根式的定义与分母有理化，判断需满足被开方数无开得尽方的因数/因式、被开方数不含分母两个条件。A选项被开方数无法开方且无分母，符合要求；B选项，含开得尽方的因数4，不符合；C选项，可化为整数，不是最简二次根式；D选项分母含根号，有理化后为，不符合定义。
2． 下列各组数中，能作为直角三角形三边长的是（　　）
A．4，5，6 B．5，8，13 C．1，1， D．1，，4
【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、∵，∴不是勾股数；∴A错误；
B、∵，∴三角形是直角三角形，∴B正确；
C、∵，∴不是勾股数；∴C错误；
D、∵，∴不是勾股数；∴D错误；
故选：B.
【分析】根据勾股定理的逆定理，验证两条直角边的平方和等于斜边的平方即可.
3．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的乘除混合运算；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：与不是同类二次根式，无法合并，原选项计算错误，不符合题意；
、与不是同类二次根式，无法合并，原选项计算错误，不符合题意；
、，原选项计算错误，不符合题意；
、，原选项计算正确，符合题意；
故选：．
【分析】本题考查二次根式的运算与性质，二次根式加减需同类二次根式才可合并，除法遵循，。A选项与非同类二次根式，无法合并；B选项与非同类二次根式，不能直接相减；C选项，计算错误；D选项，计算正确。
4．若点在一次函数图象上，则a的值是（　　）
A．1 B．3 C． D．
【答案】A
【知识点】一次函数的性质
【解析】【解答】解：当点在一次函数图象上时，
把点代入得：，
故答案为：A．
【分析】把点代入得：。
5．随着互联网的发展，网络购物越来越普及某电商平台对某款热门电子产品一周内的日销售量（单位：台）进行了统计，数据如下：，，，，，，关于这组数据，下列说法正确的是（ ）
A．中位数是 B．众数是 C．中位数是 D．众数是
【答案】C
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：将数据从小到大排列为：25，26，28，30，30，30，32，
∵数据个数为7（奇数），
∴中位数为第4个数，即30；
∵30出现次数最多（3次），
∴众数为30，故C正确．
故选：C．
【分析】本题考查中位数与众数的计算，中位数需先排序，奇数个数据取中间数，众数是出现次数最多的数。将数据排序为25，26，28，30，30，30，32，共7个数据，中位数为第4个数30；30出现3次，次数最多，众数为30。
6．下命题中，是真命题的是（　　）
A．有两边相等的平行四边形是菱形
B．有一个角是直角的四边形是矩形
C．四个角相等的菱形是正方形
D．两条对角线互相垂直的平行四边形是正方形
【答案】C
【知识点】菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、有两邻边相等的平行四边形是菱形，故原命题是假命题，不符合题意；
B、有一个角是直角的平行四边形是矩形，故原命题是假命题，不符合题意；
C、四个角相等的菱形是正方形，是真命题，符合题意；
D、两条对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形，故原命题是假命题，不符合题意．
故答案为：C．
【分析】根据菱形的判定可得出A不正确；根据矩形的定义可得出B不正确；根据正方形的判定可得出C正确；根据正方形的判定可得出D不正确。
7．已知正比例函数的函数值y随x的增大而减小，则一次函数的图像大致是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】一次函数的性质；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：正比例函数的函数值随的增大而减小，
，
，
一次函数的图像经过第一、二、四象限，
故答案为：B．
【分析】由正比例函数的增减性可得出比例系数，由此可推得一次函数的图像必经过一，二，四象限，从而得出结论。
8．如图，两个较大正方形的面积分别为225、289，且中间夹的三角形是直角三角形，则字母A所代表的正方形的面积为（　　）
A．4 B．8 C．16 D．64
【答案】D
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：两个较大正方形的面积分别为225、289，则它们的边长分别为，，
由勾股定理可得：字母A所代表的正方形的边长为，
则字母A所代表的正方形的面积为，
故选：D．
【分析】本题考查勾股定理与正方形面积的结合应用，正方形面积等于边长平方，直角三角形两直角边平方和等于斜边平方。先求正方形边长、，再由勾股定理得A正方形边长，面积为。
9．如图，在中，对角线交于点，点是的中点．若，则的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵四边形为平行四边形，
∴，
∵点是的中点，
∴，
∴为的中位线，
∴，
故选B．
【分析】根据平行四边形性质，结合三角形中位线定理即可求出答案.
10．已知一次函数与的图象如图所示，有下列结论：① ； ② ； ③关于x的方程的解为； ④当时，其中正确的结论有（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵直线经过第一、二、四象限，
∴，，
所以①正确；
∵直线与y轴的交点在x轴下方，
∴，
所以②错误；
∵当时，，
∴关于x的方程的解为，
所以③正确；
∵当，直线在直线的下方，
∴时，．
所以④错误．
故答案为：C．
【分析】本题考查一次函数图象、一元一次方程与不等式的关系，过一、二、四象限得，①正确；与轴交于负半轴得，②错误；两函数交点横坐标为3，时，方程解为，③正确；时在下方，，④错误，正确结论共2个。
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分．
11．要使二次根式有意义，则应满足的条件是　 　．
【答案】
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：要使二次根式有意义，则，
解得，
故答案为：．
【分析】本题考查二次根式有意义的条件，二次根式被开方数为非负数，据此列不等式，解不等式得的取值范围。
12．对甲、乙两个超市在九月份每天的营业额进行调查，发现：在九月份两个超市每天营业额的平均值相同，方差分别为 ＝7.5， ＝2.6，则九月份每天营业额较稳定的超市是 　 　（填“甲”或“乙”）.
【答案】乙
【知识点】方差
【解析】【解答】解：∵ ＝7.5， ＝2.6，
∴ ，
∴九月份每天营业额较稳定的超市是乙，
故答案为：乙.
【分析】方差是反映一组数据的波动大小的一个量，方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越差；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好，据此解答即可．
13．在平面直角坐标系中，点（3，﹣2）到原点的距离是 　 　．
【答案】
【知识点】线段上的两点间的距离
【解析】【解答】解：由题意知点（3，﹣2）到原点的距离为
故答案为：．
【分析】根据两点之间距离公式列出算式求解即可。
14．将直线 向上平移 个单位后得到的解析式为　 　．
【答案】y=2x+4
【知识点】一次函数图象与几何变换
【解析】【解答】解：由题意得：y=2x+1+3=2x+4.
故答案为： y=2x+4 .
【分析】根据图象平移的特点，图象向上移动3个单位即纵坐标增加3，据此解答即可.
15．如图，有一张一个角为30°，最小边长为2的直角三角形纸片，沿图中所示的中位线剪开后，将两部分拼成一个四边形，所得四边形的周长是 　 　.
【答案】8或4+
【知识点】直角三角形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】
由题意可得：AB=2，
∵∠C=30 ，
∴BC=4，AC=，
∵图中所示的中位线剪开，
∴CD=AD=，CF=BF=2，DF=1，
如图1所示：拼成一个矩形，矩形周长为：1+1+2++=4+；
如图2所示，可以拼成一个平行四边形，周长为：2+2+2+2=8，
故答案为：8或4+.
【分析】本题考查直角三角形性质、中位线定理与图形剪拼，先由30°直角三角形求出各边长，再由中位线得剪开后线段长度，分拼矩形、平行四边形两种情况，分别计算周长。
三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16．计算：
【答案】解：
．
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】根据二次根式混合运算即可求出答案.
17．已知与成正比例，当时，．
（1）求出与的函数关系式；
（2）请通过计算，判断点是否在这个函数的图象上．
【答案】（1）解：由题意，设，
把代入，得，
解得，
∴，
即；
（2）解：当时，，
∴点不在这个函数的图象上．
【知识点】一次函数的概念；待定系数法求一次函数解析式；正比例函数的概念
【解析】【分析】（1）设，根据待定系数法将代入解析式即可求出答案.
（2）将点坐标代入解析式进行判断即可求出答案.
（1）解：由题意，设，
把代入，得，
解得，
∴，
即；
（2）解：当时，，
∴点不在这个函数的图象上．
18．如图（1）所示是某校篮球架实物图，如图（2）所示是篮球架的侧面示意图，篮板边侧垂直于地面．八年级的“综合与实践”数学小组开展测量篮球架篮板高度的实践活动．在不便于直接测量的情况下，小组设计了如下测量方法：如图（3）所示，小组成员将竹竿垂直固定在地面上，小明从竹竿上的F点处观察篮板底部B点，用测角仪测量视线与竹竿的夹角的度数为，接着将观察点沿着竹竿向上移动到G点，使得从G点观察篮板顶部A点的视线与竹竿的夹角的度数恰好等于的度数时，在竹竿上标注G点的位置，测量的长度为．活动分享时，小明说：“的长度就是篮板的高度”，你认为小明的说法是否正确，并说明理由．
【答案】解：我认为小明的说法正确．理由如下：
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴四边形是平行四边形．
∴．
∴的长度就是篮板的高度．
【知识点】平行线的判定；平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】根据直线平行判定定理及性质，结合平行四边形性质判定定理及性质即可求出答案.
19．为了了解某校初中各年级学生每天的平均睡眠时间（单位：），精确到1h，抽样调查了部分学生，并用得到的数据绘制了下面两幅不完整的统计图．
请你根据图中提供的信息，回答下列问题：
（1）求出扇形统计图中百分数的值为，所抽查的学生人数为．
（2）求出平均睡眠时间为8小时的人数，并补全频数分布直方图．
（3）求出这部分学生的平均睡眠时间的众数和平均数．
（4）如果该校共有学生1200名，请你估计睡眠不足（少于）8小时的学生数．
【答案】（1）解：∵某校初中各年级学生每天的平均睡眠时间为6小时、8小时、9小时的百分比分别为：20%、30%、5%，
∴；
∵每天的平均睡眠时间为9小时的人数为3人，
∴所抽查的学生人数为：人
（2）解：平均睡眠时间为8小时的人数为：人；
补全频数分布直方图，如下图：
（3）解：根据题意得：平均睡眠时间为7小时的人数所占的百分比最大，
∴这部分学生的平均睡眠时间的众数是7，
平均数小时
（4）解：∵1200名学生中睡眠不足（少于8小时）的学生所占的百分比为：
45%、20%，
∴1200名学生中睡眠不足（少于8小时）的学生数为：
1200（45%+20%）=1200×65%=780（人）．
答： 该校共有学生1200名，睡眠不足（少于）8小时的学生数约为780人
【知识点】扇形统计图；条形统计图；加权平均数及其计算；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】（1）根据各小组的百分比之和等于1可求得平均睡眠时间为7小时的人数所占的百分比，然后根据样本容量=频数÷百分比即可求得所抽查的学生人数 ；
（2）根据频数=样本容量×相应的百分比即可求解平均睡眠时间为8小时的人数，然后可将频数分布直方图补充完整；
（3）根据众数定义“众数是指一组数据中出现次数最多的数；”和平均数的意义“平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以这组数据的个数”计算即可求解；
（4）用样本估计总体即可求解．
20．如图所示，某小区的两个喷泉A、B之间的距离的长为．供水点位于M，现要为喷泉铺设供水管道，．已知供水点M到的距离的长为，的长为．
（1）求供水点M到喷泉A需要铺设的管道长；
（2）试说明．
【答案】（1）解：根据题意可知，
在中，，
∴．
在中，，
∴供水点到喷泉需要铺设的管道长为.
（2）解：∵，，，
∴，
∴．
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；勾股定理的应用
【解析】【分析】（1）先利用勾股定理求出BN的长，再利用线段的和差求出AN的长，最后利用勾股定理求出AM的长即可；
（2）利用勾股定理的逆定理证出∠AMB=90° 即可.
（1）解：由题意可知，
在中，，
∴．
在中，，
∴供水点到喷泉需要铺设的管道长为；
（2）解：∵，，，
∴，
∴．
21．如图，在平行四边形中，点F在边上，，连接，点O为的中点，的延长线交边于点E，连接．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若平行四边形的周长为24，，，求的长．
【答案】（1）∵四边形是平行四边形，∴，
∴，
∵O为的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
又，
∴平行四边形是菱形；
（2）∵，∴，
∵平行四边形的周长为24，
∴菱形的周长为：，
∴，
∵，
∴
又，
∴是等边三角形，
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的判定与性质；平行四边形的性质；菱形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】(1)本题考查平行四边形、全等三角形与菱形判定，由平行四边形得，推出角相等，结合证，得，证四边形是平行四边形，再由判定为菱形；
(2)由平行四边形周长和求菱形边长，由得，结合菱形边长相等，判定为等边三角形，得。
（1）∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵O为的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
又，
∴平行四边形是菱形；
（2）∵，
∴，
∵平行四边形的周长为24，
∴菱形的周长为：，
∴，
∵，
∴
又，
∴是等边三角形，
∴．
22．根据以下素材，探索完成任务：
如何制定订餐方案？
素材1 某班级组织春日研学活动，需提前为同学们订购午餐，现有两种套餐可供选择，套餐信息及团购优惠方案如下所示： 套餐类别套餐单价团体订购优惠方案：米饭套餐30元方案一：套餐满20份及以上打9折； 方案二：套餐满12份及以上打8折； 方案三：总费用满850元立减110元．：面食套餐25元温馨提示：方案三不可与方案一、方案二叠加使用．
素材2 该班级共31位同学，每人都从两种套餐中选择一种，一人一份订餐，拒绝浪费．经统计，有20人已经确定或套餐，其余11人两种套餐皆可．若已经确定套餐的20人先下单，三种团购优惠条件均不满足，费用合计为565元．
问题解决
任务1 计算选择人数 已经确定套餐的20人中，分别有多少人选择套餐和套餐？
任务2 分析变量关系 设两种套餐皆可的同学中有人选择套餐，该班订餐总费用为元，当全班选择套餐人数不少于20人时，请求出与之间的函数关系式．
任务3 制定最优方案 要使得该班订餐总费用最低，则套餐应各订多少份？并求出最低总费用．
【答案】解：任务1：20人先下单，三种团购优惠方案的条件均不满足，
设这20人中选择套餐的有人，，
则选则套餐的有人，，
，
，
，
答：选择套餐的有13人，选择套餐的有7人；
任务2：两种套餐皆可的11人中有人选择套餐，
当全班选择套餐人数不少于20人时，
即，
，
选择套餐人数为，不满足优惠方案二的条件，
订餐总费用为；
任务3：两种套餐皆可的11人中有人选择套餐，
①当时，由（2）可知，订餐总费用为，
，
随着的增大而增大，
当时，订餐总费用最小为（元）；
②当时，，，
∴订餐总费用为，
，
随着的增大而增大，
当时，订餐总费用最小为（元）；
③若选择优惠方案三，订餐总费用为，
总费用满850元立减110元，
当时，订餐总费用最小为（元）；
综上所述，当订购套餐15份，订购套餐为16份时，订餐总费用最低为740元．
【知识点】一元一次方程的实际应用-方案选择问题；一次函数的实际应用-方案问题
【解析】【分析】任务1：根据题意可设设这20人中选择套餐的有人，，则选则套餐的有人，，根据“费用合计为565元”列出方程，解方程即可求出答案.
任务2：由当全班选择套餐人数不少于20人时，即，得到，从而得到选择套餐人数为，根据套餐、套餐的优惠方式列式计算即可求出答案.
任务3：分三种情况：①当时，②当时，③选择优惠方案三，分别计算出所花费的费用，再比较大小即可求出答案.
23．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点C，且与正比例函数的图象交于点．
（1）求一次函数的解析式；
（2）点M在x轴上，当最小时，求点M的坐标；
（3）若D是直线AB上一点，E是平面内一点，以O、C、D、E四点为顶点的四边形是矩形，请直接写出点E的坐标．
【答案】（1）解：∵一次函数的图象经过点，点，∴，解得，
∴一次函数的解析式为；
（2）解：如图，作点C关于x轴的对称点，连接交x轴于M，此时的值最小．
对于，
令，则，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
则，解得：，
∴直线的解析式为，
令，得，
∴；
（3）点E的坐标为或．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；矩形的性质；轴对称的应用-最短距离问题；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数中的动态几何问题
【解析】【解答】（3）解：∵，，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
①当为边时，四边形是矩形，此时，，
此时D、A重合，四边形是正方形，
∴点E的坐标为；
②当为对角线时，四边形是矩形，此时，四边形是正方形，
∴，
∴点E的坐标为；
综上所述，满足条件的点E的坐标为或．
【分析】(1)本题考查待定系数法求一次函数解析式，将A、B坐标代入解析式，解方程组得、，确定函数式；
(2)本题考查轴对称求最短路径，作C关于x轴的对称点，连接交x轴于M，求直线解析式，令得M坐标；
(3)本题考查矩形性质与分类讨论，分为边、为对角线两种情况，结合矩形边的位置与长度关系，求点E坐标。
（1）解：∵一次函数的图象经过点，点，
∴，解得，
∴一次函数的解析式为；
（2）解：如图，作点C关于x轴的对称点，连接交x轴于M，此时的值最小．
对于，
令，则，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
则，解得：，
∴直线的解析式为，
令，得，
∴；
（3）解：∵，，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
①当为边时，四边形是矩形，此时，，
此时D、A重合，四边形是正方形，
∴点E的坐标为；
②当为对角线时，四边形是矩形，此时，四边形是正方形，
∴，
∴点E的坐标为；
综上所述，满足条件的点E的坐标为或．
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