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广东省湛江市寸金培才学校2024-2025学年下学期八年级级期末学情调研数学科试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．下列方程中，属于一元二次方程的是（　　）
A． B． C． D．
2．函数中自变量的值可以是（　　）
A． B．0 C．2 D．4
3．第8个全国近视防控宣传教育月的主题是“有效减少近视发生，共同守护光明未来”．某校积极响应，开展视力检查．某班51名同学视力检查数据如表：
视力 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 5.0
人数 7 4 4 7 11 10 5 3
这51名同学视力检查数据的众数是（　　）
A．4 B．4.7 C．7 D．4.6或4.3
4．二次函数y＝﹣2（x+1）2﹣5的最大值是（　　）
A．﹣1 B．1 C．﹣5 D．5
5．如图，直线过点，，则关于的方程的解是（　　）
A． B． C． D．
6．关于一元二次方程根的情况，以下说法正确的是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法判断
7．对于一次函数，下列结论正确的是（　　）
A．图象与y轴交于点 B．y随x的增大而减小
C．图象经过第一、二、三象限 D．当时，
8．将抛物线向右平移1个单位，再向下平移2个单位后得到的抛物线的解析式为（　　）
A． B． C． D．
9．已知一个三角形两边的长是3和5，第三边的长是方程的根，则该三角形的形状为（　　）
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．直角三角形或钝角三角形
10．如图1是利用四边形不稳定性设计的“千斤顶”，其基本形状是一个菱形，中间通过螺杆连接，转动手柄可改变的长度（菱形的边长不变）．从而改变千斤顶的高度（即之间的距离）．在手柄转动过程中，千斤顶的高度随的长度的变化规律如图2所示，则图2中从点到点，千斤顶下降的高度为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（每小题4分，共24分）
11．一组数据3，4，2，3，5的中位数是　 　．
12．已知函数，当时，y随x的增大而　 　．（填“增大”或“减小”）
13．如图，直线与x轴交于点，与直线交于点，则关于x的不等式的解集为　 　．
14．甲、乙、丙、丁四名同学参加立定跳远训练，他们成绩的平均数相同，方差如下：，，，，则成绩最稳定的同学是　 　．（填“甲”或“乙”或“丙”或“丁”）
15．若，是一元二次方程的两根，则的值为　 　.
16．在一场物理实验中，研究小球从高处自由下落到地面的情况，小球离地面高度为（单位：，落到地面所用时间为（单位：，已知与成正比例关系，当时，．现在小球离地面高度时，那么小球落地所用时间　 　．
三、解答题（本大题共3小题，每小题6分）
17．用配方法解方程2x2-4x-3=0.
18．一次足球联赛，赛制为双循环形式（每两队之间都赛两场），共要比赛90场，共有多少个队参加比赛？
19．为了解某校八年级学生每周参加科学教育的时间（单位：h），随机调查了该校八年级a名学生，根据统计的结果，绘制出如图的统计图①和图②．
请根据相关信息，解答下列问题：
（1）填空：a的值为______，图①中m的值为______；
（2）求统计的这组学生每周参加科学教育的时间数据的平均数；
（3）根据样本数据，若该校八年级共有学生500人，估计该校八年级学生每周参加科学教育的时间是的人数约为多少？
四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
20．已知关于的一元二次方程．
（1）求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根．
（2）当方程的一个根是1时，求的值．
21．农作物出苗率是指在农作物种植过程中，种子在一定条件下能够成功发芽并长出嫩苗的比例．它是农作物种植成功与否的重要指标之一，对于保障农作物的产量和质量具有重要意义．经有关部门研究发现，某农作物出苗率（单位：）与播种后20天累计降雨量（单位：）的关系如图所示．
（1）求当时，与之间的函数表达式；
（2）当该农作物种子种植后20天累计降雨量达到时，该农作物的出苗率是多少？
22．如图，已知抛物线过点与，与轴交于点．点在抛物线上，且与点关于对称轴对称．
（1）求该抛物线的函数关系式和对称轴；
（2）求的面积．
五、解答题（本大题共2小题，每小题12分，共24分）
23．实践活动：某中学“田园梦工厂”社团准备围建一个长方形菜园（如图）．
素材1：要围建的菜园边上有一堵墙，长为，菜园的一边靠墙，另外三边用总长为的铝合金材料围建．
素材2：与墙平行的一边上要预留宽的入口．
任务1：当长方形菜园的长为多少米时，菜园的面积为？
任务2：能否围成的长方形菜园？若能，求出的长；若不能，请说明理由．
24．【观察发现】
如图1，将含有的三角板的直角顶点放在直线上，过两个锐角顶点分别向直线作垂线，这样就得到了两个全等的直角三角形．这种三个直角的顶点都在同一条直线上的基础图形在数学解题中被广泛使用．
【探究迁移】
（1）如图2，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于，两点．
①的度数为________．
②，是正比例函数的图象上的两个动点，连接，．若，，则的最小值是________．
（2）如图3，一次函数的图象与轴、轴分别交于，两点．将直线绕点顺时针旋转得到直线，求直线对应的函数表达式．
【拓展应用】
（3）如图4，点在轴的正半轴上，，是直线上的动点，是轴上的动点．若是以动点为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出所有符合条件的点的坐标．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：A、属于一元二次方程，则此项符合题意；
B、含有两个未知数，且未知数的最高次数为1，不是一元二次方程，则此项不符合题意；
C、中的是分式，不是一元二次方程，则此项不符合题意；
D、是一元一次方程，不是一元二次方程，则此项不符合题意；
故答案为：A．
【分析】利用一元二次方程的定义：（只含有一个未知数，且含未知数项的最高次数为2的整式方程，叫做一元二次方程）逐项分析求解即可.
2．【答案】D
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：由题意，得：，
∴，
观察四个选项，自变量x的取值可以是4；
故选：D．
【分析】根据二次根式有意义的条件即可求出答案.
3．【答案】B
【知识点】众数
【解析】【解答】解：这51名同学视力检查数据中，4.7出现的次数最多，因此众数是4.7．
故选：B．
【分析】根据众数的定义即可求出答案.
4．【答案】C
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：∵y＝﹣2（x+1）2﹣5中；a＝﹣2＜0，
∴此函数的顶点坐标是（﹣1，﹣5），有最大值﹣5，
即当x＝﹣1时，函数有最大值﹣5．
故选C．
【分析】根据二次函数的顶点式性质即可求出答案.
5．【答案】C
【知识点】一次函数与一元一次方程的关系
【解析】【解答】解：∵直线过点，
∴关于的方程的解是，
故答案为：C．
【分析】将一次函数与x轴的交点问题转换为一元一次方程的问题求解即可.
6．【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：一元二次方程，
其中，，，
，
方程没有实数根，
故答案为：C．
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的运用。
一元二次方程，根的判别式，其中当，方程有两个不相等的实数根，当，方程有两个相等的实数根，当，方程没有实数根，据此列式计算进行解答即可．
7．【答案】D
【知识点】一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：A.当时，，即一次函数的图象与y轴交于点，原说法错误；
B.一次函数图象y随x的增大而增大，原说法错误；
C.一次函数的图象经过第一、三、四象限，原说法错误；
D.令，解得，则当时，，说法正确；
故答案为：D．
【分析】将x=0代入解析式求出y的值可判断出A是否正确；再利用一次函数的图象与系数的关系判断B、C是否正确；最后利用不等式求出y的取值范围即可.
8．【答案】C
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：将抛物线向右平移1个单位，再向下平移2个单位后得到的抛物线的解析式为，
故选：C．
【分析】根据函数图象的平移规律：上加下减，左加右减即可求出答案.
9．【答案】C
【知识点】因式分解法解一元二次方程；三角形三边关系；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：，
∴，
∴，，
解得：，，
一个三角形两边的长是3和5，
第三边，
∴三角形的第三边为，
，
该三角形的形状是直角三角形．
故选：C．
【分析】解方程求出x的值，根据三角形三边关系求出第三边的边长，利用勾股定理的逆定理解答即可．
10．【答案】A
【知识点】菱形的性质；通过函数图象获取信息；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：如图，连接交于点O，
四边形是菱形，
，，，
由图象可知，当时，，
此时，，
，
当时，，
，
，
．
则
故选：A．
【分析】连接交于点O，根据菱形性质可得，，，由图象可知，当时，，根据勾股定理可得AD，DO，再根据边之间的关系即可求出答案.
11．【答案】3
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：把这些数从小大排列为2，3，3，4，5，
则中位数是3．
故答案为：3．
【分析】利用中位数的定义及计算方法（将一组数据按大小顺序排列后，位于中间位置的数值。如果数据量是奇数，则中位数是正中间的那个数；如果数据量是偶数，则中位数是中间两个数的平均值）分析求解即可.
12．【答案】增大
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：由题意可知：函数，开口向上，在对称轴右侧随的增大而增大，
又 ∵对称轴为，
∴当时，随的增大而增大，
故答案为：增大．
【分析】根据二次函数的性质即可求出答案.
13．【答案】
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：由题意得，关于x的不等式的解集为，
故答案为：．
【分析】当直线的图象在直线的图象上方时，有，结合函数图象即可求出答案.
14．【答案】丁
【知识点】方差
【解析】【解答】解：∵甲、乙、丙、丁成绩的平均数相同，且，
∴成绩最稳定的同学是丁，
故答案为：丁；
【分析】方差表示一组数据的波动情况，平均数相同的情况下，方差越小，数据越稳定.
15．【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵，是一元二次方程的两根，
∴
∴
故答案为：．
【分析】根据二次方程根与系数的关系可得，提公因式化简代数式，再整体代入即可求出答案.
16．【答案】
【知识点】二次根式的性质与化简；正比例函数的性质
【解析】【解答】解：设，
由时，，得，
解得，
函数的解析式为，
当时，，
解得：或（舍去），
故答案为：．
【分析】先利用待定系数法求出函数解析式，再将h=50代入解析式求出t的值即可.
17．【答案】解：∵2x2-4x-3=0，
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【分析】根据配方法解方程即可求出答案.
18．【答案】解：设一共有x个队参加比赛，
由题意得，即，
解得或（舍去），
∴一共有10个队参加比赛，
答：一共有10个队参加比赛．
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【分析】设应邀请x个球队参加比赛，根据每两队之间都赛两场，共有90场比赛，列出一元二次方程，解方程即可求出答案.
19．【答案】（1），
（2）解：，
这组数据的平均数是8.36．
（3）解：在所抽取的样本中，每周参加科学教育的时间是的学生占，
根据样本数据，估计该校八年级学生500人中，每周参加科学教育的时间是的学生占，有．
估计该校八年级学生每周参加科学教育的时间是的人数约为150．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；平均数及其计算；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：（人，
，
，
【分析】（1）根据6h的人数与占比可得总人数a，再根据8h的人数除以总人数可得m值.
（2）根据平均数的定义即可求出答案.
（3）根据500乘以9h的占比即可求出答案.
（1）解：（人，
，
，
（2）解：，
这组数据的平均数是8.36．
（3）解：在所抽取的样本中，每周参加科学教育的时间是的学生占，
根据样本数据，估计该校八年级学生500人中，每周参加科学教育的时间是的学生占，有．
估计该校八年级学生每周参加科学教育的时间是的人数约为150．
20．【答案】（1）解：∵
，
∴无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：将代入，
得，
解得：．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；已知一元二次方程的根求参数
【解析】【分析】（1）根据二次方程判别式，可得方程有两个不相等的实数根.
（2）将x=1代入方程可得关于m的一次方程，解方程即可求出答案.
（1）解：∵
，
∴无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：将代入，
得，
解得：．
21．【答案】（1）解：设当时，与之间的函数表达式为，
由函数图象可知，当时，；当时，，
，
解得，
与之间的函数表达式为．
（2）解：由函数图象可知，当时，值不变．
当时，．
该农作物种子种植后20天累计降雨量达到时的出苗率是．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）设当时，与之间的函数表达式为，根据待定系数法将时，；时，，代入代数式即可求出答案.
（2）将x=150代入解析式即可求出答案.
（1）解：设当时，与之间的函数表达式为，
由函数图象可知，当时，；当时，，
，
解得，
与之间的函数表达式为．
（2）解：由函数图象可知，当时，值不变．
当时，．
该农作物种子种植后20天累计降雨量达到时的出苗率是．
22．【答案】（1）解：抛物线过点，，
将，代入，
得，
解得，
则该抛物线的函数表达式为，
，
即抛物线的对称轴为；
（2）解：点与点关于对称轴对称，点，
点的坐标为，
，且轴．
．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；三角形的面积
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）先求出点D的坐标，再求出CD的长，最后利用三角形的面积公式求解即可.
（1）抛物线过点，，
将，代入，得，
解得，
则该抛物线的函数表达式为，
，
即抛物线的对称轴为；
（2）点与点关于对称轴对称，点，
点的坐标为，
，且轴．
．
23．【答案】解：任务1：解：设的长为米，
由题意，得，
解得，（舍去），
所以，
任务2：解：由题意得，
方程无解，
不能围成的长方形菜园
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】本题主要考查一元二次方程的实际应用，关键在于理解题目条件并建立正确的等量关系。解题时需注意围墙的最大长度为，需舍去不符合题意的解。任务1：已知砌墙材料总长度为，设，则平行于墙的一边（需考虑门宽）。根据矩形面积公式建立方程，解该一元二次方程即可。
任务2：通过计算判别式，判断方程是否有实数解，从而确定能否围成指定面积的饲养场。
24．【答案】（1）①
②8
（2）解：过点D作于点D，过点D作轴于点F，过点B作于点E，
则四边形为矩形，
∴，
∵
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵一次函数的图象与轴、轴分别交于，两点，
∴，，
∴，
∴，
∴．
∴，
设直线的解析式为，
根据题意，得，
解得，
∴解析式为．
（3）符合题意的点Q的坐标为或（0，7）.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；一次函数图象与坐标轴交点问题；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】（1）解：①∵直线与轴、轴分别交于，两点．
∴，，
∴，
∴，
故答案为：．
②根据垂线段最短，得到时，取得最小值，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案为：8．
（3）解：当在x轴的上方时，过点P作于点M，
根据题意，得，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，是直线上的动点，
设，
∴，，
解得，
故；
当在x轴的下方时，过点P作于点N，
同理可证，
∴，
∵，是直线上的动点，
设，
∴，，
解得，
故；
综上所述，所有符合条件的点的坐标或．
【分析】（1）①分别令函数解析式y=-x+10中的x=0与y=0，算出对应的y与x的值，可得点A(10，0)、B(0，10)，则可得OA=OB=10，从而根据等边对等角及三角形的内角和定理可求出∠OAB的度数；
②根据垂线段最短，得到BD⊥CD时，BD取得最小值，由直角三角形两锐角互余、平角及同角的余角相等推出∠DBO=∠COA，从而利用“AAS”判断出△AOC≌△OBD，由全等三角形的对应边相等得BD=OC，进而结合勾股定理算出OC的长即可得出答案；
（2）过点D作于点D，过点D作轴于点F，过点B作于点E，由三个角为直角的四边形是矩形得出四边形BEFO为矩形，由矩形的对边相等得BE=OF，EF=OB；由三角形内角和定理推出∠DAB=∠DBA=45°，由等角对等边得DA=DB，由平角、直角三角形两锐角互余及同角的余角相等得∠ADF=∠DBE，从而由“AAS”判断出△ADF≌△DBE，由全等三角形的对应边相等得BE=DF，ED=AF；由一次函数与坐标轴交点的坐标特点求出点A、B的坐标，从而可得OA、OB的长，进而即可求出点D的坐标，最后利用待定系数法可求出直线l的解析式；
（3）分类讨论： ①当QP在x轴的上方时，过点P作PM⊥OQ于点M， 利用“AAS”证出△PMQ≌△QOA，由全等三角形的对应边相等得PM=OQ，QM=OA，根据点的坐标与图形性质设P(m，3m-6)，则PM=OQ=m，根据QM+QO=3m-6建立方程求解得出m的值即可得到点Q的坐标；②当QP在x轴的下方时，过点P作PN⊥OQ于点N，同理证△PNQ≌△QOA，由全等三角形的对应边相等得PN=OQ，QN=OA，根据点的坐标与图形性质设P(n，3n-6)，则PM=OQ=n，根据ON+QO=8建立方程求解得出n的值即可得到点Q的坐标，综上可得答案.
1 / 1广东省湛江市寸金培才学校2024-2025学年下学期八年级级期末学情调研数学科试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．下列方程中，属于一元二次方程的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：A、属于一元二次方程，则此项符合题意；
B、含有两个未知数，且未知数的最高次数为1，不是一元二次方程，则此项不符合题意；
C、中的是分式，不是一元二次方程，则此项不符合题意；
D、是一元一次方程，不是一元二次方程，则此项不符合题意；
故答案为：A．
【分析】利用一元二次方程的定义：（只含有一个未知数，且含未知数项的最高次数为2的整式方程，叫做一元二次方程）逐项分析求解即可.
2．函数中自变量的值可以是（　　）
A． B．0 C．2 D．4
【答案】D
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：由题意，得：，
∴，
观察四个选项，自变量x的取值可以是4；
故选：D．
【分析】根据二次根式有意义的条件即可求出答案.
3．第8个全国近视防控宣传教育月的主题是“有效减少近视发生，共同守护光明未来”．某校积极响应，开展视力检查．某班51名同学视力检查数据如表：
视力 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 5.0
人数 7 4 4 7 11 10 5 3
这51名同学视力检查数据的众数是（　　）
A．4 B．4.7 C．7 D．4.6或4.3
【答案】B
【知识点】众数
【解析】【解答】解：这51名同学视力检查数据中，4.7出现的次数最多，因此众数是4.7．
故选：B．
【分析】根据众数的定义即可求出答案.
4．二次函数y＝﹣2（x+1）2﹣5的最大值是（　　）
A．﹣1 B．1 C．﹣5 D．5
【答案】C
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：∵y＝﹣2（x+1）2﹣5中；a＝﹣2＜0，
∴此函数的顶点坐标是（﹣1，﹣5），有最大值﹣5，
即当x＝﹣1时，函数有最大值﹣5．
故选C．
【分析】根据二次函数的顶点式性质即可求出答案.
5．如图，直线过点，，则关于的方程的解是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】一次函数与一元一次方程的关系
【解析】【解答】解：∵直线过点，
∴关于的方程的解是，
故答案为：C．
【分析】将一次函数与x轴的交点问题转换为一元一次方程的问题求解即可.
6．关于一元二次方程根的情况，以下说法正确的是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法判断
【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：一元二次方程，
其中，，，
，
方程没有实数根，
故答案为：C．
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的运用。
一元二次方程，根的判别式，其中当，方程有两个不相等的实数根，当，方程有两个相等的实数根，当，方程没有实数根，据此列式计算进行解答即可．
7．对于一次函数，下列结论正确的是（　　）
A．图象与y轴交于点 B．y随x的增大而减小
C．图象经过第一、二、三象限 D．当时，
【答案】D
【知识点】一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：A.当时，，即一次函数的图象与y轴交于点，原说法错误；
B.一次函数图象y随x的增大而增大，原说法错误；
C.一次函数的图象经过第一、三、四象限，原说法错误；
D.令，解得，则当时，，说法正确；
故答案为：D．
【分析】将x=0代入解析式求出y的值可判断出A是否正确；再利用一次函数的图象与系数的关系判断B、C是否正确；最后利用不等式求出y的取值范围即可.
8．将抛物线向右平移1个单位，再向下平移2个单位后得到的抛物线的解析式为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：将抛物线向右平移1个单位，再向下平移2个单位后得到的抛物线的解析式为，
故选：C．
【分析】根据函数图象的平移规律：上加下减，左加右减即可求出答案.
9．已知一个三角形两边的长是3和5，第三边的长是方程的根，则该三角形的形状为（　　）
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．直角三角形或钝角三角形
【答案】C
【知识点】因式分解法解一元二次方程；三角形三边关系；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：，
∴，
∴，，
解得：，，
一个三角形两边的长是3和5，
第三边，
∴三角形的第三边为，
，
该三角形的形状是直角三角形．
故选：C．
【分析】解方程求出x的值，根据三角形三边关系求出第三边的边长，利用勾股定理的逆定理解答即可．
10．如图1是利用四边形不稳定性设计的“千斤顶”，其基本形状是一个菱形，中间通过螺杆连接，转动手柄可改变的长度（菱形的边长不变）．从而改变千斤顶的高度（即之间的距离）．在手柄转动过程中，千斤顶的高度随的长度的变化规律如图2所示，则图2中从点到点，千斤顶下降的高度为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】菱形的性质；通过函数图象获取信息；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：如图，连接交于点O，
四边形是菱形，
，，，
由图象可知，当时，，
此时，，
，
当时，，
，
，
．
则
故选：A．
【分析】连接交于点O，根据菱形性质可得，，，由图象可知，当时，，根据勾股定理可得AD，DO，再根据边之间的关系即可求出答案.
二、填空题（每小题4分，共24分）
11．一组数据3，4，2，3，5的中位数是　 　．
【答案】3
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：把这些数从小大排列为2，3，3，4，5，
则中位数是3．
故答案为：3．
【分析】利用中位数的定义及计算方法（将一组数据按大小顺序排列后，位于中间位置的数值。如果数据量是奇数，则中位数是正中间的那个数；如果数据量是偶数，则中位数是中间两个数的平均值）分析求解即可.
12．已知函数，当时，y随x的增大而　 　．（填“增大”或“减小”）
【答案】增大
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：由题意可知：函数，开口向上，在对称轴右侧随的增大而增大，
又 ∵对称轴为，
∴当时，随的增大而增大，
故答案为：增大．
【分析】根据二次函数的性质即可求出答案.
13．如图，直线与x轴交于点，与直线交于点，则关于x的不等式的解集为　 　．
【答案】
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：由题意得，关于x的不等式的解集为，
故答案为：．
【分析】当直线的图象在直线的图象上方时，有，结合函数图象即可求出答案.
14．甲、乙、丙、丁四名同学参加立定跳远训练，他们成绩的平均数相同，方差如下：，，，，则成绩最稳定的同学是　 　．（填“甲”或“乙”或“丙”或“丁”）
【答案】丁
【知识点】方差
【解析】【解答】解：∵甲、乙、丙、丁成绩的平均数相同，且，
∴成绩最稳定的同学是丁，
故答案为：丁；
【分析】方差表示一组数据的波动情况，平均数相同的情况下，方差越小，数据越稳定.
15．若，是一元二次方程的两根，则的值为　 　.
【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵，是一元二次方程的两根，
∴
∴
故答案为：．
【分析】根据二次方程根与系数的关系可得，提公因式化简代数式，再整体代入即可求出答案.
16．在一场物理实验中，研究小球从高处自由下落到地面的情况，小球离地面高度为（单位：，落到地面所用时间为（单位：，已知与成正比例关系，当时，．现在小球离地面高度时，那么小球落地所用时间　 　．
【答案】
【知识点】二次根式的性质与化简；正比例函数的性质
【解析】【解答】解：设，
由时，，得，
解得，
函数的解析式为，
当时，，
解得：或（舍去），
故答案为：．
【分析】先利用待定系数法求出函数解析式，再将h=50代入解析式求出t的值即可.
三、解答题（本大题共3小题，每小题6分）
17．用配方法解方程2x2-4x-3=0.
【答案】解：∵2x2-4x-3=0，
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【分析】根据配方法解方程即可求出答案.
18．一次足球联赛，赛制为双循环形式（每两队之间都赛两场），共要比赛90场，共有多少个队参加比赛？
【答案】解：设一共有x个队参加比赛，
由题意得，即，
解得或（舍去），
∴一共有10个队参加比赛，
答：一共有10个队参加比赛．
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【分析】设应邀请x个球队参加比赛，根据每两队之间都赛两场，共有90场比赛，列出一元二次方程，解方程即可求出答案.
19．为了解某校八年级学生每周参加科学教育的时间（单位：h），随机调查了该校八年级a名学生，根据统计的结果，绘制出如图的统计图①和图②．
请根据相关信息，解答下列问题：
（1）填空：a的值为______，图①中m的值为______；
（2）求统计的这组学生每周参加科学教育的时间数据的平均数；
（3）根据样本数据，若该校八年级共有学生500人，估计该校八年级学生每周参加科学教育的时间是的人数约为多少？
【答案】（1），
（2）解：，
这组数据的平均数是8.36．
（3）解：在所抽取的样本中，每周参加科学教育的时间是的学生占，
根据样本数据，估计该校八年级学生500人中，每周参加科学教育的时间是的学生占，有．
估计该校八年级学生每周参加科学教育的时间是的人数约为150．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；平均数及其计算；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：（人，
，
，
【分析】（1）根据6h的人数与占比可得总人数a，再根据8h的人数除以总人数可得m值.
（2）根据平均数的定义即可求出答案.
（3）根据500乘以9h的占比即可求出答案.
（1）解：（人，
，
，
（2）解：，
这组数据的平均数是8.36．
（3）解：在所抽取的样本中，每周参加科学教育的时间是的学生占，
根据样本数据，估计该校八年级学生500人中，每周参加科学教育的时间是的学生占，有．
估计该校八年级学生每周参加科学教育的时间是的人数约为150．
四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
20．已知关于的一元二次方程．
（1）求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根．
（2）当方程的一个根是1时，求的值．
【答案】（1）解：∵
，
∴无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：将代入，
得，
解得：．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；已知一元二次方程的根求参数
【解析】【分析】（1）根据二次方程判别式，可得方程有两个不相等的实数根.
（2）将x=1代入方程可得关于m的一次方程，解方程即可求出答案.
（1）解：∵
，
∴无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：将代入，
得，
解得：．
21．农作物出苗率是指在农作物种植过程中，种子在一定条件下能够成功发芽并长出嫩苗的比例．它是农作物种植成功与否的重要指标之一，对于保障农作物的产量和质量具有重要意义．经有关部门研究发现，某农作物出苗率（单位：）与播种后20天累计降雨量（单位：）的关系如图所示．
（1）求当时，与之间的函数表达式；
（2）当该农作物种子种植后20天累计降雨量达到时，该农作物的出苗率是多少？
【答案】（1）解：设当时，与之间的函数表达式为，
由函数图象可知，当时，；当时，，
，
解得，
与之间的函数表达式为．
（2）解：由函数图象可知，当时，值不变．
当时，．
该农作物种子种植后20天累计降雨量达到时的出苗率是．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）设当时，与之间的函数表达式为，根据待定系数法将时，；时，，代入代数式即可求出答案.
（2）将x=150代入解析式即可求出答案.
（1）解：设当时，与之间的函数表达式为，
由函数图象可知，当时，；当时，，
，
解得，
与之间的函数表达式为．
（2）解：由函数图象可知，当时，值不变．
当时，．
该农作物种子种植后20天累计降雨量达到时的出苗率是．
22．如图，已知抛物线过点与，与轴交于点．点在抛物线上，且与点关于对称轴对称．
（1）求该抛物线的函数关系式和对称轴；
（2）求的面积．
【答案】（1）解：抛物线过点，，
将，代入，
得，
解得，
则该抛物线的函数表达式为，
，
即抛物线的对称轴为；
（2）解：点与点关于对称轴对称，点，
点的坐标为，
，且轴．
．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；三角形的面积
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）先求出点D的坐标，再求出CD的长，最后利用三角形的面积公式求解即可.
（1）抛物线过点，，
将，代入，得，
解得，
则该抛物线的函数表达式为，
，
即抛物线的对称轴为；
（2）点与点关于对称轴对称，点，
点的坐标为，
，且轴．
．
五、解答题（本大题共2小题，每小题12分，共24分）
23．实践活动：某中学“田园梦工厂”社团准备围建一个长方形菜园（如图）．
素材1：要围建的菜园边上有一堵墙，长为，菜园的一边靠墙，另外三边用总长为的铝合金材料围建．
素材2：与墙平行的一边上要预留宽的入口．
任务1：当长方形菜园的长为多少米时，菜园的面积为？
任务2：能否围成的长方形菜园？若能，求出的长；若不能，请说明理由．
【答案】解：任务1：解：设的长为米，
由题意，得，
解得，（舍去），
所以，
任务2：解：由题意得，
方程无解，
不能围成的长方形菜园
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】本题主要考查一元二次方程的实际应用，关键在于理解题目条件并建立正确的等量关系。解题时需注意围墙的最大长度为，需舍去不符合题意的解。任务1：已知砌墙材料总长度为，设，则平行于墙的一边（需考虑门宽）。根据矩形面积公式建立方程，解该一元二次方程即可。
任务2：通过计算判别式，判断方程是否有实数解，从而确定能否围成指定面积的饲养场。
24．【观察发现】
如图1，将含有的三角板的直角顶点放在直线上，过两个锐角顶点分别向直线作垂线，这样就得到了两个全等的直角三角形．这种三个直角的顶点都在同一条直线上的基础图形在数学解题中被广泛使用．
【探究迁移】
（1）如图2，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于，两点．
①的度数为________．
②，是正比例函数的图象上的两个动点，连接，．若，，则的最小值是________．
（2）如图3，一次函数的图象与轴、轴分别交于，两点．将直线绕点顺时针旋转得到直线，求直线对应的函数表达式．
【拓展应用】
（3）如图4，点在轴的正半轴上，，是直线上的动点，是轴上的动点．若是以动点为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出所有符合条件的点的坐标．
【答案】（1）①
②8
（2）解：过点D作于点D，过点D作轴于点F，过点B作于点E，
则四边形为矩形，
∴，
∵
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵一次函数的图象与轴、轴分别交于，两点，
∴，，
∴，
∴，
∴．
∴，
设直线的解析式为，
根据题意，得，
解得，
∴解析式为．
（3）符合题意的点Q的坐标为或（0，7）.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；一次函数图象与坐标轴交点问题；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】（1）解：①∵直线与轴、轴分别交于，两点．
∴，，
∴，
∴，
故答案为：．
②根据垂线段最短，得到时，取得最小值，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案为：8．
（3）解：当在x轴的上方时，过点P作于点M，
根据题意，得，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，是直线上的动点，
设，
∴，，
解得，
故；
当在x轴的下方时，过点P作于点N，
同理可证，
∴，
∵，是直线上的动点，
设，
∴，，
解得，
故；
综上所述，所有符合条件的点的坐标或．
【分析】（1）①分别令函数解析式y=-x+10中的x=0与y=0，算出对应的y与x的值，可得点A(10，0)、B(0，10)，则可得OA=OB=10，从而根据等边对等角及三角形的内角和定理可求出∠OAB的度数；
②根据垂线段最短，得到BD⊥CD时，BD取得最小值，由直角三角形两锐角互余、平角及同角的余角相等推出∠DBO=∠COA，从而利用“AAS”判断出△AOC≌△OBD，由全等三角形的对应边相等得BD=OC，进而结合勾股定理算出OC的长即可得出答案；
（2）过点D作于点D，过点D作轴于点F，过点B作于点E，由三个角为直角的四边形是矩形得出四边形BEFO为矩形，由矩形的对边相等得BE=OF，EF=OB；由三角形内角和定理推出∠DAB=∠DBA=45°，由等角对等边得DA=DB，由平角、直角三角形两锐角互余及同角的余角相等得∠ADF=∠DBE，从而由“AAS”判断出△ADF≌△DBE，由全等三角形的对应边相等得BE=DF，ED=AF；由一次函数与坐标轴交点的坐标特点求出点A、B的坐标，从而可得OA、OB的长，进而即可求出点D的坐标，最后利用待定系数法可求出直线l的解析式；
（3）分类讨论： ①当QP在x轴的上方时，过点P作PM⊥OQ于点M， 利用“AAS”证出△PMQ≌△QOA，由全等三角形的对应边相等得PM=OQ，QM=OA，根据点的坐标与图形性质设P(m，3m-6)，则PM=OQ=m，根据QM+QO=3m-6建立方程求解得出m的值即可得到点Q的坐标；②当QP在x轴的下方时，过点P作PN⊥OQ于点N，同理证△PNQ≌△QOA，由全等三角形的对应边相等得PN=OQ，QN=OA，根据点的坐标与图形性质设P(n，3n-6)，则PM=OQ=n，根据ON+QO=8建立方程求解得出n的值即可得到点Q的坐标，综上可得答案.
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