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广西崇左市江州区2025~2026学年度八年级下学期第二阶段素质评价数学
1．若关于x的方程ax2-2x-1=0 是一元二次方程，则a 的取值范围是（　　）
A．a≤0 B．a≠0
C．a≥0 D．a 为任意实数
2．若式子 有意义，则实数x的值可以是（　　）
A．-1 B．0 C．2 D．4
3．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．小明运用配方法解一元二次方程，其步骤如下，在进行最终验算时发现所得结果有误，计算开始出现错误的步骤为（　　）
2x2-4x=1
解： x2-2x=1， ①
x2 - 2x+1=1+1，即（x-1)2=2， ②
③
④
A．① B．② C．③ D．④
5．若x1，x2 是方程x2-2x-5=0的两个根，则3x1+3x2的值为（　　）
A．6 B．-6 C．10 D．-10
6．若一个三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程（x-2)（x-4)=0 的根，则这个三角形的周长为（　　）
A．11 B．13 C．11或13 D．12或13
7．一个长方形零件如图所示，根据所给尺寸（单位： mm) 可知两孔中心A，B之间的距离是（　　）
A．11 B．12 C．13 D．14
8．根据中国汽车工业协会数据，自2023年以来，中国已经连续两年蝉联全球第一大汽车出口国.已知2025年7月出口量为57.5万辆，9月出口量为65.2万辆.设7月至9月的平均增长率为x，则可列方程为（　　）
A．57.5（1+x)2=65.2 B．57.5（1+2x)=65.2
C．65.2（1-x)2=57.5 D．57.5（1-2x)=65.2
9．如图，长方形ABCD 的边AD落在数轴上， A，D 两点在数轴上对应的数分别为-1 和 2 ，AB=1，连接AC，以A为圆心，AC为半径画弧交数轴于点E，则点E 在数轴上所表示的数为（　　）
A．3 B． C． D．2.2
10．如图， 在小正方形组成的网格中， 有AB，CD，EF，GH 四条线段，下列选项中，能组成直角三角形的三条线段是（　　）
A．AB，CD，EF B．AB，CD，GH C．AB，EF，GH D．CD，EF，GH
11．如图， 折叠长方形的一边AD， 使点D落在边BC 的点F 处， 已知AB=8cm ，BC=10 cm，则线段EF 的长为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
12．已知函数y=kx+b 的图象如图所示，则关于x 的一元二次方程x2+bx+k-1=0 的根的情况是（　　）
A．没有实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．无法确定
13． 化简： 　 　.
14．请写出一个有两个相等实数根的一元二次方程，该方程为　 　
15．如图，在水塔O 的东北方向32m处有一座抽水站A，在水塔的东南方向24m处有一个建筑工地B，在A，B间建一条直水管，则水管的长为　 　.
16． 已知方程的两根分别为a和b，则代数式的值为　 　.
17．（1）计算：
（2）解方程：
18．如图，在△ABC中， CD⊥AB于点D，AC=20，CD=12，BD=9.
（1）求AB 的长；
（2）判断△ABC的形状，并说明理由.
19．已知关于x 的方程 有一个实数根为-1，求它的另一个根及m的值.
20．根据学习“数与式”积累的经验，我们可以通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律，观察下列各式：
（1）请举出一个符合上述运算规律的例子为　 　；
（2）如果n 为正整数，用含n的式子表示上述运算规律为　 　；
（3）用上述运算规律计算：
21．已知斜边为10的直角三角形的两条直角边长a，b为方程 =0的两个根.
（1）求m 的值；
（2）求直角三角形的面积和斜边上的高.
22．定义：若一元二次方程 满足b=a+c，则称该方程为“和谐方程”.
（1）下列方程属于“和谐方程”的是　 　；（填序号)
（2）求证：和谐方程总有实数根；
（3）已知一元二次方程 为和谐方程，若该方程有两个相等的实数根，求a，c的数量关系.
23． 如图
（1） 【初步探究】如图①，分别以Rt△ABC 三条边为边向外作正方形，其面积分别用S，S2，S3表示.请写出S1，S2，S3之间满足的等量关系，并说明理由.
（2）【类比探究】
如图②，分别以Rt△ABC 三条边为直径向外作半圆，其面积分别用S1，S2，S3表示，请写出S1，S2，S3之间满足的等量关系，并说明理由.
（3）【探究应用】
如图③，分别以Rt△ABC 三条边为斜边向外作等腰直角三角形，其面积分别用S1，S2，S3表示， 则S1，S2，S3之间满足的等量关系是　 　·
（4）【拓展应用】
如图④，在四边形ABCD中，AC⊥BD，现以四边形ABCD的四条边为边向外作正方形，其面积分别为S1，S2，S3，S4.请写出S1，S2，S3，S4之间满足的等量关系，并说明理由.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：∵关于x的方程ax2-2x-1=0是一元二次方程，
∴a≠0，
故答案为：B.
【分析】利用一元二次方程的定义：（只含有一个未知数，且含未知数项的最高次数为2的整式方程，叫做一元二次方程）分析求解即可.
2．【答案】D
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：根据题意可得：x-3≥0，
解得：x≥3，
∴4符合题意，
故答案为：D.
【分析】利用二次根式有意义的条件列出不等式求出x的取值范围，再求解即可.
3．【答案】D
【知识点】二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A、∵和不是同类项二次根式，不能合并，∴A不正确；
B、∵和不是同类项二次根式，不能合并，∴B不正确；
C、∵2和不是同类项二次根式，不能合并，∴C不正确；
D、∵，∴D正确；
故答案为：D.
【分析】利用二次根式的加减法计算方法及步骤（①先利用二次根式的性质化简；②利用合并同类项的计算方法计算）分析求解即可.
4．【答案】A
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵方程 2x2-4x=1 两边同时除以2，可得x2-2x=，
∴步骤①错误；
故答案为：A.
【分析】利用配方法的计算方法及步骤（①将方程化简为一般式并将二次项的系数化为1，②将常数项移到方程的右边，③方程的两边都加上一次项系数的一半的平方，④将方程写成完全平方形式并直接开方法求解）分析求解即可.
5．【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵x1，x2 是方程x2-2x-5=0的两个根，
∴x1+x2===2，
∴3x1+3x2=3（x1+x2）=3×2=6，
故答案为：A.
【分析】先利用根与系数的关系可得x1+x2===2，再将其代入3x1+3x2=3（x1+x2）计算即可.
6．【答案】B
【知识点】因式分解法解一元二次方程；三角形三边关系
【解析】【解答】解：（x 4）（x 2）＝0，
x 4＝0或x 2＝0，
所以x1＝4，x2＝2，
因为2＋3＜6，所以x＝2舍去，
所以三角形第三边的长为4，
所以三角形的周长＝3＋6＋4＝13，
故答案为：B．
【分析】利用因式分解法解方程（x 4）（x 2）＝0得到x1＝4，x2＝2，根据三角形三边的关系得到三角形第三边的长为4，然后计算三角形的周长．
7．【答案】C
【知识点】勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【解答】解：如图所示：
由题意得：AO＝9 4＝5（mm），BO＝16 4＝12（mm），
在Rt△AOB中：AB＝（mm），
答：两孔中心A、B之间的距离为13mm.
故答案为：C.
【分析】首先根据题意算出AO和BO的长，再利用勾股定理计算出BA的长即可．
8．【答案】A
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设7月至9月的平均增长率为x，
根据题意可得：57.5（1+x)2=65.2，
故答案为：A.
【分析】设7月至9月的平均增长率为x，利用“ 7月出口量为57.5万辆，9月出口量为65.2万辆 ”列出方程即可.
9．【答案】C
【知识点】实数在数轴上的表示；勾股定理
【解析】【解答】解：根据题意可得：AC=，
∵以A为圆心，AC为半径画弧交数轴于点E，
∴AE=AC=，
∵点A对应的数为-1，
∴点E表示的数为，
故答案为：C.
【分析】先利用勾股定理及等量代换可得AE=AC=，再结合点A表示的数可得点E表示的数为.
10．【答案】B
【知识点】勾股定理的逆定理；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【解答】解：由题意得：AB2＝12＋22＝5，
EF2＝12＋32＝10，
DC2＝32＋22＝13，
GH2＝22＋22＝8，
∵GH2＋AB2＝8＋5＝13，
∴GH2＋AB2＝CD2，
∴GH，AB，CD能组成直角三角形，
故答案为：B．
【分析】根据勾股定理，勾股定理的逆定理进行计算，即可解答．
11．【答案】C
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝8cm，∠D＝90°，
∵根据折叠得出DE＝EF，
设EC＝x cm，则DE＝（8 x）cm，
在Rt△ECF中，CE2＋CF2＝EF2，
x2＋（10 6）2＝（8 x）2，
解得：x＝3，
即EC＝3cm.
∴DE＝EF＝5cm
故答案为：C.
【分析】根据折叠得出DE＝EF，根据勾股定理求出即可．
12．【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：根据一次函数的图象可得：k<0，b<0，
∵一元二次方程x2+bx+k-1=0，
∴△=b2-4ac=b2-4×1×（k-1）=b2-4k+4>0，
∴方程有两个不相等的实数根，
故答案为：C.
【分析】先利用一次函数的图象与系数的关系可得k<0，b<0，再利用根的判别式求解即可.
13．【答案】
【知识点】二次根式的性质与化简；实数的绝对值
【解析】【解答】解：根据题意可得，
故答案为：.
【分析】利用二次根式的性质（）分析求解即可.
14．【答案】（答案不唯一)
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵ 一元二次方程有两个相等实数根，
∴△=0，
∴该方程为（答案不唯一)
故答案为：（答案不唯一).
【分析】利用一元二次方程根的判别式（①当△>0时，方程有两个不相等的实数根；②当△=0时，方程有两个相等的实数根；③当△<0时，方程没有实数根）分析求解即可.
15．【答案】40
【知识点】方位角；勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【解答】解：根据题意可得：OA=32，OB=24，∠AOB=90°，
∴AB=，
故答案为：40.
【分析】先结合题意可得OA=32，OB=24，∠AOB=90°，再利用勾股定理求出AB的长即可.
16．【答案】29
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：∵ 方程的两根分别为a和b，
∴a+b=5，a2=24+5a，
∴原式=24+5a-4a+b=24+a+b=24+5=29.
故答案为：29 .
【分析】将x=a代入方程，可表示出a2的值，利用一元二次方程根与系数可求出a+b的值，然后代入代数式进行计算.
17．【答案】（1）解：原式
=5-3-3
=-1
（2）解：a=5，b=-3， c=-2，
【知识点】平方差公式及应用；二次根式的混合运算；公式法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）先利用平方差公式展开，再利用二次根式的混合运算的计算方法分析求解即可；
（2）利用一元二次方程的公式法的计算方法及步骤分析求解即可.
18．【答案】（1）解：∵CD⊥AB，
∴∠ADC=∠BDC=90°，
在Rt△ADC中， AC=20， CD=12，
根据勾股定理得， =16.
∴AB=AD+BD=16+9=25.
（2）解：△ABC是直角三角形.
理由如下：
在Rt△BDC中，CD=12，BD=9，
根据勾股定理得，
在△ABC中，
即
根据勾股定理逆定理得，∠ACB=90°，
∴ △ABC是直角三角形
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】（1）先利用勾股定理求出AD的长，再利用线段的和差求出AB的长即可；
（2）先利用勾股定理求出BC的长，再利用勾股定理的逆定理证出△ABC是直角三角形即可.
19．【答案】解：设方程的另一个根为x2，
根据根与系数的关系得：-1+x2=-1，
解得：x2=0，
把x=-1代入方程得：
解得：
∴方程的另一个根是0，m的值为0或2
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；已知一元二次方程的根求参数
【解析】【分析】先利用一元二次方程根与系数的关系可得另一个根，再将x=-1代入方程求出m的值即可.
20．【答案】（1）
（2）解：
（3）解：利用（2）的规律可得：
=（2024+1）×
=2025×
【知识点】二次根式的性质与化简；探索数与式的规律；探索规律-等式类规律
【解析】【解答】解：（1）（答案不唯一）
故答案为：（答案不唯一）‘
（2）根据题意可得：，
故答案为： .
【分析】（1）根据题干中的计算方法和规律直接求解即可；
（2）利用题干中的计算方法和规律直接求解即可；
（3）利用（2）的规律将原式变形为（2024+1）×，再计算即可.
21．【答案】（1）解：由题意得，
∵a+b=m， ab=3m+6
即
解得，
∵a+b=m>0
∴ m=-8不合题意舍去，
m=14符合题意.
∴ m的值为14
（2）解：∵ab=3m+6，m=14，
∴ab=48，
∴该直角三角形的面积等于
设斜边上的高为h，
根据题意可得：
即48=10h，
解得：h=4.8
∴斜边上的高等于4.8
【知识点】完全平方公式及运用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；三角形的面积；勾股定理；等积变换
【解析】【分析】（1）利用勾股定理可得，利用一元二次方程根与系数的关系可得a+b=m， ab=3m+6，再利用完全平方公式可得，即 ，最后求出m的值即可；
（2）利用（1）的值先求出ab=48， 再求出三角形的面积，再设斜边上的高为h，利用等积法可得：，最后求出h的值即可.
22．【答案】（1）①③
（2）解：证明：由
∴△≥0，
∴和谐方程总有实数根
（3）解：∵该方程有两个相等的实数根
∴△=0，即
∵方程为和谐方程，
∴b=a+c，
∴a=c，
∴a，c的数量关系为a=c
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】（1）①∵a=3，b=4，c=1，∴b=a+c，∴①是“和谐方程”；
②∵a=1，b=-2，c=-1，∴b≠a+c，∴②不是“和谐方程”；
③∵a=2，b=2，c=0，∴b=a+c，∴③是“和谐方程”；
故答案为：①③.
【分析】（1）利用“和谐方程”的定义逐个计算并判断即可；
（2）利用一元二次方程根的判别式（①当△>0时，方程有两个不相等的实数根；②当△=0时，方程有两个相等的实数根；③当△<0时，方程没有实数根）分析求解即可；
（3）利用根的判别式可得 再结合“和谐方程”的定义可得b=a+c，再将其代入计算可得a=c.
23．【答案】（1）解：
理由如下：在Rt△ABC中，
根据勾股定理得，
又∵
（2）解：
理由如下：
又∵
（3）
（4）解：.理由如下：
设AC与BD相交于点O，
∵AC⊥BD，
∴∠AOD=∠AOB=∠COD=∠BOC=90°.
在Rt△AOB中，
在Rt△COD中，
在Rt△BOC中，
在Rt△AOD中，
【知识点】勾股定理；正方形的性质
【解析】【分析】（1）根据正方形的面积公式及勾股定理得出S1、S2、S3之间的关系即可；
（2）利用圆的面积公式及勾股定理即可得证；
（3）利用三角形的面积公式及勾股定理即可得证；
（4）根据正方形的面积公式及勾股定理得出．
1 / 1广西崇左市江州区2025~2026学年度八年级下学期第二阶段素质评价数学
1．若关于x的方程ax2-2x-1=0 是一元二次方程，则a 的取值范围是（　　）
A．a≤0 B．a≠0
C．a≥0 D．a 为任意实数
【答案】B
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：∵关于x的方程ax2-2x-1=0是一元二次方程，
∴a≠0，
故答案为：B.
【分析】利用一元二次方程的定义：（只含有一个未知数，且含未知数项的最高次数为2的整式方程，叫做一元二次方程）分析求解即可.
2．若式子 有意义，则实数x的值可以是（　　）
A．-1 B．0 C．2 D．4
【答案】D
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：根据题意可得：x-3≥0，
解得：x≥3，
∴4符合题意，
故答案为：D.
【分析】利用二次根式有意义的条件列出不等式求出x的取值范围，再求解即可.
3．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A、∵和不是同类项二次根式，不能合并，∴A不正确；
B、∵和不是同类项二次根式，不能合并，∴B不正确；
C、∵2和不是同类项二次根式，不能合并，∴C不正确；
D、∵，∴D正确；
故答案为：D.
【分析】利用二次根式的加减法计算方法及步骤（①先利用二次根式的性质化简；②利用合并同类项的计算方法计算）分析求解即可.
4．小明运用配方法解一元二次方程，其步骤如下，在进行最终验算时发现所得结果有误，计算开始出现错误的步骤为（　　）
2x2-4x=1
解： x2-2x=1， ①
x2 - 2x+1=1+1，即（x-1)2=2， ②
③
④
A．① B．② C．③ D．④
【答案】A
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵方程 2x2-4x=1 两边同时除以2，可得x2-2x=，
∴步骤①错误；
故答案为：A.
【分析】利用配方法的计算方法及步骤（①将方程化简为一般式并将二次项的系数化为1，②将常数项移到方程的右边，③方程的两边都加上一次项系数的一半的平方，④将方程写成完全平方形式并直接开方法求解）分析求解即可.
5．若x1，x2 是方程x2-2x-5=0的两个根，则3x1+3x2的值为（　　）
A．6 B．-6 C．10 D．-10
【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵x1，x2 是方程x2-2x-5=0的两个根，
∴x1+x2===2，
∴3x1+3x2=3（x1+x2）=3×2=6，
故答案为：A.
【分析】先利用根与系数的关系可得x1+x2===2，再将其代入3x1+3x2=3（x1+x2）计算即可.
6．若一个三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程（x-2)（x-4)=0 的根，则这个三角形的周长为（　　）
A．11 B．13 C．11或13 D．12或13
【答案】B
【知识点】因式分解法解一元二次方程；三角形三边关系
【解析】【解答】解：（x 4）（x 2）＝0，
x 4＝0或x 2＝0，
所以x1＝4，x2＝2，
因为2＋3＜6，所以x＝2舍去，
所以三角形第三边的长为4，
所以三角形的周长＝3＋6＋4＝13，
故答案为：B．
【分析】利用因式分解法解方程（x 4）（x 2）＝0得到x1＝4，x2＝2，根据三角形三边的关系得到三角形第三边的长为4，然后计算三角形的周长．
7．一个长方形零件如图所示，根据所给尺寸（单位： mm) 可知两孔中心A，B之间的距离是（　　）
A．11 B．12 C．13 D．14
【答案】C
【知识点】勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【解答】解：如图所示：
由题意得：AO＝9 4＝5（mm），BO＝16 4＝12（mm），
在Rt△AOB中：AB＝（mm），
答：两孔中心A、B之间的距离为13mm.
故答案为：C.
【分析】首先根据题意算出AO和BO的长，再利用勾股定理计算出BA的长即可．
8．根据中国汽车工业协会数据，自2023年以来，中国已经连续两年蝉联全球第一大汽车出口国.已知2025年7月出口量为57.5万辆，9月出口量为65.2万辆.设7月至9月的平均增长率为x，则可列方程为（　　）
A．57.5（1+x)2=65.2 B．57.5（1+2x)=65.2
C．65.2（1-x)2=57.5 D．57.5（1-2x)=65.2
【答案】A
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设7月至9月的平均增长率为x，
根据题意可得：57.5（1+x)2=65.2，
故答案为：A.
【分析】设7月至9月的平均增长率为x，利用“ 7月出口量为57.5万辆，9月出口量为65.2万辆 ”列出方程即可.
9．如图，长方形ABCD 的边AD落在数轴上， A，D 两点在数轴上对应的数分别为-1 和 2 ，AB=1，连接AC，以A为圆心，AC为半径画弧交数轴于点E，则点E 在数轴上所表示的数为（　　）
A．3 B． C． D．2.2
【答案】C
【知识点】实数在数轴上的表示；勾股定理
【解析】【解答】解：根据题意可得：AC=，
∵以A为圆心，AC为半径画弧交数轴于点E，
∴AE=AC=，
∵点A对应的数为-1，
∴点E表示的数为，
故答案为：C.
【分析】先利用勾股定理及等量代换可得AE=AC=，再结合点A表示的数可得点E表示的数为.
10．如图， 在小正方形组成的网格中， 有AB，CD，EF，GH 四条线段，下列选项中，能组成直角三角形的三条线段是（　　）
A．AB，CD，EF B．AB，CD，GH C．AB，EF，GH D．CD，EF，GH
【答案】B
【知识点】勾股定理的逆定理；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【解答】解：由题意得：AB2＝12＋22＝5，
EF2＝12＋32＝10，
DC2＝32＋22＝13，
GH2＝22＋22＝8，
∵GH2＋AB2＝8＋5＝13，
∴GH2＋AB2＝CD2，
∴GH，AB，CD能组成直角三角形，
故答案为：B．
【分析】根据勾股定理，勾股定理的逆定理进行计算，即可解答．
11．如图， 折叠长方形的一边AD， 使点D落在边BC 的点F 处， 已知AB=8cm ，BC=10 cm，则线段EF 的长为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝8cm，∠D＝90°，
∵根据折叠得出DE＝EF，
设EC＝x cm，则DE＝（8 x）cm，
在Rt△ECF中，CE2＋CF2＝EF2，
x2＋（10 6）2＝（8 x）2，
解得：x＝3，
即EC＝3cm.
∴DE＝EF＝5cm
故答案为：C.
【分析】根据折叠得出DE＝EF，根据勾股定理求出即可．
12．已知函数y=kx+b 的图象如图所示，则关于x 的一元二次方程x2+bx+k-1=0 的根的情况是（　　）
A．没有实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．无法确定
【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：根据一次函数的图象可得：k<0，b<0，
∵一元二次方程x2+bx+k-1=0，
∴△=b2-4ac=b2-4×1×（k-1）=b2-4k+4>0，
∴方程有两个不相等的实数根，
故答案为：C.
【分析】先利用一次函数的图象与系数的关系可得k<0，b<0，再利用根的判别式求解即可.
13． 化简： 　 　.
【答案】
【知识点】二次根式的性质与化简；实数的绝对值
【解析】【解答】解：根据题意可得，
故答案为：.
【分析】利用二次根式的性质（）分析求解即可.
14．请写出一个有两个相等实数根的一元二次方程，该方程为　 　
【答案】（答案不唯一)
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵ 一元二次方程有两个相等实数根，
∴△=0，
∴该方程为（答案不唯一)
故答案为：（答案不唯一).
【分析】利用一元二次方程根的判别式（①当△>0时，方程有两个不相等的实数根；②当△=0时，方程有两个相等的实数根；③当△<0时，方程没有实数根）分析求解即可.
15．如图，在水塔O 的东北方向32m处有一座抽水站A，在水塔的东南方向24m处有一个建筑工地B，在A，B间建一条直水管，则水管的长为　 　.
【答案】40
【知识点】方位角；勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【解答】解：根据题意可得：OA=32，OB=24，∠AOB=90°，
∴AB=，
故答案为：40.
【分析】先结合题意可得OA=32，OB=24，∠AOB=90°，再利用勾股定理求出AB的长即可.
16． 已知方程的两根分别为a和b，则代数式的值为　 　.
【答案】29
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：∵ 方程的两根分别为a和b，
∴a+b=5，a2=24+5a，
∴原式=24+5a-4a+b=24+a+b=24+5=29.
故答案为：29 .
【分析】将x=a代入方程，可表示出a2的值，利用一元二次方程根与系数可求出a+b的值，然后代入代数式进行计算.
17．（1）计算：
（2）解方程：
【答案】（1）解：原式
=5-3-3
=-1
（2）解：a=5，b=-3， c=-2，
【知识点】平方差公式及应用；二次根式的混合运算；公式法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）先利用平方差公式展开，再利用二次根式的混合运算的计算方法分析求解即可；
（2）利用一元二次方程的公式法的计算方法及步骤分析求解即可.
18．如图，在△ABC中， CD⊥AB于点D，AC=20，CD=12，BD=9.
（1）求AB 的长；
（2）判断△ABC的形状，并说明理由.
【答案】（1）解：∵CD⊥AB，
∴∠ADC=∠BDC=90°，
在Rt△ADC中， AC=20， CD=12，
根据勾股定理得， =16.
∴AB=AD+BD=16+9=25.
（2）解：△ABC是直角三角形.
理由如下：
在Rt△BDC中，CD=12，BD=9，
根据勾股定理得，
在△ABC中，
即
根据勾股定理逆定理得，∠ACB=90°，
∴ △ABC是直角三角形
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】（1）先利用勾股定理求出AD的长，再利用线段的和差求出AB的长即可；
（2）先利用勾股定理求出BC的长，再利用勾股定理的逆定理证出△ABC是直角三角形即可.
19．已知关于x 的方程 有一个实数根为-1，求它的另一个根及m的值.
【答案】解：设方程的另一个根为x2，
根据根与系数的关系得：-1+x2=-1，
解得：x2=0，
把x=-1代入方程得：
解得：
∴方程的另一个根是0，m的值为0或2
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；已知一元二次方程的根求参数
【解析】【分析】先利用一元二次方程根与系数的关系可得另一个根，再将x=-1代入方程求出m的值即可.
20．根据学习“数与式”积累的经验，我们可以通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律，观察下列各式：
（1）请举出一个符合上述运算规律的例子为　 　；
（2）如果n 为正整数，用含n的式子表示上述运算规律为　 　；
（3）用上述运算规律计算：
【答案】（1）
（2）解：
（3）解：利用（2）的规律可得：
=（2024+1）×
=2025×
【知识点】二次根式的性质与化简；探索数与式的规律；探索规律-等式类规律
【解析】【解答】解：（1）（答案不唯一）
故答案为：（答案不唯一）‘
（2）根据题意可得：，
故答案为： .
【分析】（1）根据题干中的计算方法和规律直接求解即可；
（2）利用题干中的计算方法和规律直接求解即可；
（3）利用（2）的规律将原式变形为（2024+1）×，再计算即可.
21．已知斜边为10的直角三角形的两条直角边长a，b为方程 =0的两个根.
（1）求m 的值；
（2）求直角三角形的面积和斜边上的高.
【答案】（1）解：由题意得，
∵a+b=m， ab=3m+6
即
解得，
∵a+b=m>0
∴ m=-8不合题意舍去，
m=14符合题意.
∴ m的值为14
（2）解：∵ab=3m+6，m=14，
∴ab=48，
∴该直角三角形的面积等于
设斜边上的高为h，
根据题意可得：
即48=10h，
解得：h=4.8
∴斜边上的高等于4.8
【知识点】完全平方公式及运用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；三角形的面积；勾股定理；等积变换
【解析】【分析】（1）利用勾股定理可得，利用一元二次方程根与系数的关系可得a+b=m， ab=3m+6，再利用完全平方公式可得，即 ，最后求出m的值即可；
（2）利用（1）的值先求出ab=48， 再求出三角形的面积，再设斜边上的高为h，利用等积法可得：，最后求出h的值即可.
22．定义：若一元二次方程 满足b=a+c，则称该方程为“和谐方程”.
（1）下列方程属于“和谐方程”的是　 　；（填序号)
（2）求证：和谐方程总有实数根；
（3）已知一元二次方程 为和谐方程，若该方程有两个相等的实数根，求a，c的数量关系.
【答案】（1）①③
（2）解：证明：由
∴△≥0，
∴和谐方程总有实数根
（3）解：∵该方程有两个相等的实数根
∴△=0，即
∵方程为和谐方程，
∴b=a+c，
∴a=c，
∴a，c的数量关系为a=c
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】（1）①∵a=3，b=4，c=1，∴b=a+c，∴①是“和谐方程”；
②∵a=1，b=-2，c=-1，∴b≠a+c，∴②不是“和谐方程”；
③∵a=2，b=2，c=0，∴b=a+c，∴③是“和谐方程”；
故答案为：①③.
【分析】（1）利用“和谐方程”的定义逐个计算并判断即可；
（2）利用一元二次方程根的判别式（①当△>0时，方程有两个不相等的实数根；②当△=0时，方程有两个相等的实数根；③当△<0时，方程没有实数根）分析求解即可；
（3）利用根的判别式可得 再结合“和谐方程”的定义可得b=a+c，再将其代入计算可得a=c.
23． 如图
（1） 【初步探究】如图①，分别以Rt△ABC 三条边为边向外作正方形，其面积分别用S，S2，S3表示.请写出S1，S2，S3之间满足的等量关系，并说明理由.
（2）【类比探究】
如图②，分别以Rt△ABC 三条边为直径向外作半圆，其面积分别用S1，S2，S3表示，请写出S1，S2，S3之间满足的等量关系，并说明理由.
（3）【探究应用】
如图③，分别以Rt△ABC 三条边为斜边向外作等腰直角三角形，其面积分别用S1，S2，S3表示， 则S1，S2，S3之间满足的等量关系是　 　·
（4）【拓展应用】
如图④，在四边形ABCD中，AC⊥BD，现以四边形ABCD的四条边为边向外作正方形，其面积分别为S1，S2，S3，S4.请写出S1，S2，S3，S4之间满足的等量关系，并说明理由.
【答案】（1）解：
理由如下：在Rt△ABC中，
根据勾股定理得，
又∵
（2）解：
理由如下：
又∵
（3）
（4）解：.理由如下：
设AC与BD相交于点O，
∵AC⊥BD，
∴∠AOD=∠AOB=∠COD=∠BOC=90°.
在Rt△AOB中，
在Rt△COD中，
在Rt△BOC中，
在Rt△AOD中，
【知识点】勾股定理；正方形的性质
【解析】【分析】（1）根据正方形的面积公式及勾股定理得出S1、S2、S3之间的关系即可；
（2）利用圆的面积公式及勾股定理即可得证；
（3）利用三角形的面积公式及勾股定理即可得证；
（4）根据正方形的面积公式及勾股定理得出．
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