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特殊四边形之折叠、最值、动态问题 专练
一、特殊四边形之折叠问题
一、选择题
1.如图，把长方形纸片OABC放入平面直角坐标系中，使OA，OC分别落在x轴、y轴上，连结AC，将纸片OABC沿AC折叠，使点B落在点D的位置，AD与y轴交于点若，则OE的长
A. B. 2 C. D.
2.如图，在菱形ABCD中，，E是AB边上一点，将沿CE翻折，点B恰好落在边DA延长线上的点F处，则的度数是
A. B. C. D.
3.如图，已知正方形ABCD的对角线长为，将正方形ABCD沿直线EF折叠，则图中阴影部分的周长为
A. B. C. 8 D. 6
4.如图，在矩形ABCD中，点M在AB边上，把沿直线CM折叠，使点B落在AD边上的点E处，连结EC，过点B作，垂足为若，，则线段AE的长为
A. B. C. D.
二、填空题
5.如图，将 ABCD纸片折叠折痕是，使得点A落在BC上，记做图1；展平后再将 ABCD折叠折痕是，使得点D落在BC上，记做图2；展平后继续折叠 ABCD，使AD落在直线BC上，记做图3；重新展平，记做图若，，则图4中线段GH的长度是 .
6.如图，正方形ABCD的边长是16，点E在边AB上，，点F是边BC上不与点B，C重合的一个动点，把沿EF折叠，点B落在处．若恰为等腰三角形，则的长为 .
7.如图，已知矩形ABCD的两条边，，点E是对角线AC，BD的交点，点P是边AD上一个动点，将沿PE折叠，使点D落在点处，当与矩形一条边垂直时，PD的长是 .
三、解答题
8.已知矩形纸片OBCD的边OB在x轴上，OD在y轴上，点C在第一象限，且，现将纸片折叠，折痕为点E，F是折痕与矩形的边的交点，点P为点D的对应点，再将纸片还原．
若点P落在矩形OBCD的边OB上，
①如图1，当点E与点O重合时，求点F的坐标；
②如图2，当点E在OB上，点F在DC上时，EF与DP交于点G，若，求点F的坐标．
若点P落在矩形OBCD的内部，且点E，F分别在边OD，DC上，求OP的最小值直接写出结果即可
9.如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A，B的坐标分别为，，D为对角线OB的中点，点E在x轴上运动，连结DE，把沿DE翻折，点O的对应点为点F，连结
当点F在第四象限时如图，求证：
当点F落在矩形的某条边上时，求EF的长．
是否存在点E，使得以D，E，F，B为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点E的坐标；若不存在，请说明理由．
10.将平行四边形纸片ABCD按图1所示的方式折叠，使顶点A，B同时落在线段HF上的点M处，顶点C，D同时落在线段HF上的点N处，其中AD长为6，AE长为
求证：四边形EFGH为矩形．
探究：线段HF的长度会随着AE长度的变化而变化吗？如果会，请用含x的代数式表示HF的长度；如果不会，请直接写出HF的长度．
若，连结AF，当时如图，求的值．
11.如图，长方形纸片ABCD中，，，按下列步骤进行裁剪和拼图：
第一步：如图1，在线段AD上任意取一点E，沿EB，EC剪下一个三角形纸片余下部分不再使用；
第二步：如图2，沿三角形纸片EBC的中位线GH将纸片剪成两部分，并在线段GH上任意取一点M，线段BC上任意取一点N，沿MN将梯形纸片GBCH剪成两部分；
第三步：如图3，将MN左侧纸片绕G点按顺时针方向旋转，使线段GB与GE重合，将MN右侧纸片绕H点按逆时针方向旋转，使线段HC与HE重合，拼成一个与三角形纸片EBC面积相等的四边形纸片．
求拼成的这个四边形纸片的周长的最小值和最大值．
二、 特殊四边形之最值问题
一、选择题
1.如图，在矩形ABCD中，，，动点P满足，则点P到A，B两点距离之和的最小值为
A. B. C. D.
2.如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，P为AB边上一动点不与点A，B重合，于点E，于点若，，则EF的最小值为
A. 3 B. 2 C. D.
3.如图，在边长是5的菱形ABCD中，于点E，，点F是AC上一动点，则的最小值是
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
二、填空题
4.如图，在正方形ABCD中，，对角线AC上有一动点E，以DE为边作正方形DEFG，点H是CD上一点，连结GH，则GH的最小值是 .
5.如图，在菱形ABCD中，，对角线AC，BD相交于点O，点M在线段AC上，且，点P为线段BD上的一个动点，则的最小值是 .
6.如图，正方形ABCD的边长为4，点E在边BC上，且，F为对角线BD上一动点，连接CF，EF，则的最小值为 .
三、解答题
7.如图，在菱形ABCD中，点O是对角线的交点，，，在BC上取一点F，使得，取OA的中点E，G为BD上的一个动点，连结GE，GF，求的最大值．
8.如图，在长方形纸片ABCD中，，，折叠纸片ABCD，使顶点C落在边AD的点G处，折痕分别交边AD，BC于点E，
求证：是等腰三角形
求面积的最大值．
9.如图，边长为1的正方形ABCD中，E，F为对角线BD上的动点．
证明：
①求的最小值；②求的最小值．
10.如图，已知在 ABCD中，，，AC平分，E为AB的中点，F是AC上一动点，求的最小值．
11.在矩形ABCD中，，
将矩形纸片沿BD折叠，使点A落在点F处如图，设DF与BC相交于点G，求证：
将矩形沿直线EF折叠，使点B的对应点落在CD边上如图，点A的对应点为，连结交EF于点当时，求EF，OF的长．
点M在线段AB上，点N在线段BC上如图，若按MN折叠后，点B落在矩形ABCD的AD边上的点H处，求AH的最大值和最小值．
三、特殊四边形之动态问题
一、选择题
1.如图，在矩形ABCD中，，E为AB的中点，F为EC上的一个动点，P为DF的中点，连结当PB的最小值为时，AD的值为
A. 2 B. 3 C. 4 D. 6
2.如图，菱形ABCD的边，，P是AB上一点，，Q是CD上的一个动点．若将梯形APQD沿直线PQ折叠，点A的对应点是点，则当的长最小时，CQ的长为
A. 5 B. C. 7 D. 8
3.如图，在平行四边形ABCD中，，，E，F是对角线BD上的动点，且，M，N分别是边AD，BC上的动点．下列四种说法：
①存在无数个平行四边形MENF；②存在无数个矩形MENF；③存在无数个菱形MENF；④存在无数个正方形
其中正确的个数是
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
4.如图1，点P为矩形ABCD边上的一个动点，点P从A出发沿着矩形的四条边运动，最后回到设点P运动的路程长为x，的面积为y，图2是y随x变化的函数图象，则矩形ABCD的对角线BD的长是
A. B. C. 8 D. 10
二、填空题
5.如图，在矩形ABCD中，，，正方形的顶点M，N分别在矩形的边AB，BC上，E为DC上一个动点．当点D与点关于AE对称时，DE的长为 .
6.如图，在矩形ABCD中，，，M是对角线BD所在直线上的一个动点，点N是平面内一点．若四边形MCND为平行四边形，且，则BM的值为 .
三、解答题
7.如图，点O是正方形ABCD的对称中心，E，F分别在线段AB，CD上，且EF经过点O，，，动点G，H分别在线段AD，BC上．若EF与GH的交点P在点O，F之间不与点O，F重合，且设，求x的取值范围．
8.如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A，C分别落在x轴和y轴上，点B的坐标为，点D，E分别在边BC和AB上，，，P是线段DE上一动点，于点F，连结OP，
求直线DE的函数表达式．
当OP平分时，延长OP交AB于点求证：四边形PFEG是平行四边形．
若是等腰三角形，求点P的横坐标．
9.如图，在正方形ABCD中，，点P为正方形ABCD的对角线AC上一动点，过点P作交边DC于点
如图1，当点E在边CD上时，求证：
如图2，在的条件下，连结BE交AC于点若，求PF的长．
如图3，若点Q是射线CD上的一个动点，且始终满足，设，请直接写出的最小值．
10.如图，已知和是两个边长都为1 cm的等边三角形，且B，D，C，E都在同一直线上，连结AD及
求证：四边形ADFC是平行四边形．
若，沿着BE的方向以每秒1 cm的速度运动，设运动时间为t秒．
①当t为何值时， ADFC是菱形？请说明你的理由；
② ADFC有可能是矩形吗？若可能，求出t的值及此矩形的面积；若不可能，请说明理由．
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一、特殊四边形之折叠问题
一、选择题
1.如图，把长方形纸片OABC放入平面直角坐标系中，使OA，OC分别落在x轴、y轴上，连结AC，将纸片OABC沿AC折叠，使点B落在点D的位置，AD与y轴交于点若，则OE的长
A. B. 2 C. D.
【答案】C
【解析】设，由已知易证≌，，，在中由勾股定理可求解．
2.如图，在菱形ABCD中，，E是AB边上一点，将沿CE翻折，点B恰好落在边DA延长线上的点F处，则的度数是
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】解：四边形ABCD是菱形，
，，，
将沿CE翻折，点B恰好落在边DA延长线上的F处，
，，
，
，
，
，
，
故选：
由四边形ABCD是菱形，得，，，根据将沿CE翻折，点B恰好落在边DA延长线上的F处，可得，，即得，，故，
本题考查菱形中的翻折问题，解题的关键是掌握翻折的性质，求出
3.如图，已知正方形ABCD的对角线长为，将正方形ABCD沿直线EF折叠，则图中阴影部分的周长为
A. B. C. 8 D. 6
【答案】C
【解析】【分析】
此题考查折叠问题，正方形的性质，属于中档题.
设正方形的边长为x，根据正方形的性质和勾股定理求解x值，进而可求解阴影部分的面积.
【解答】
解：根据折叠的性质，可知阴影部分的周长=正方形的周长.
设正方形的边长为x，则，解得，
所以阴影部分的周长为
故选
4.如图，在矩形ABCD中，点M在AB边上，把沿直线CM折叠，使点B落在AD边上的点E处，连结EC，过点B作，垂足为若，，则线段AE的长为
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】解：设，，
，
，
沿直线CM折叠，使点B落在AD边上的点E处，
，，，
在中，，
①，
，
，
，即，
，
，
，
，
，即，
化简变形得：②，
把②代入①得：
，
解得或舍去，
，
故选：
设，，在中，可得①，由，有，即得，而，知，可得，即②，把②代入①可解得
本题考查矩形中的翻折问题，涉及锐角三角函数，勾股定理等知识，解题的关键是掌握翻折的性质，能熟练应用勾股定理及三角函数列方程解决问题．
二、填空题（本大题共3小题，共9.0分）
5.如图，将 ABCD纸片折叠折痕是，使得点A落在BC上，记做图1；展平后再将 ABCD折叠折痕是，使得点D落在BC上，记做图2；展平后继续折叠 ABCD，使AD落在直线BC上，记做图3；重新展平，记做图若，，则图4中线段GH的长度是 .
【答案】3
【解析】连结EH，延长EH交BC于如图，易证≌，，，是的中位线，
6.如图，正方形ABCD的边长是16，点E在边AB上，，点F是边BC上不与点B，C重合的一个动点，把沿EF折叠，点B落在处．若恰为等腰三角形，则的长为 .
【答案】16或
【解析】ⅰ如图1所示，当时，过点作，则 由题意，得，，， ，，
ⅱ如图2所示，当时，则易知点F在BC上且不与点C，B重合
ⅲ当时，，，点E，C在的垂直平分线上，垂直平分，由折叠可知点F与点C重合，不符合题意，舍去．综上所述，的长为16或
7.如图，已知矩形ABCD的两条边，，点E是对角线AC，BD的交点，点P是边AD上一个动点，将沿PE折叠，使点D落在点处，当与矩形一条边垂直时，PD的长是 .
【答案】或5
三、解答题
8.已知矩形纸片OBCD的边OB在x轴上，OD在y轴上，点C在第一象限，且，现将纸片折叠，折痕为点E，F是折痕与矩形的边的交点，点P为点D的对应点，再将纸片还原．
若点P落在矩形OBCD的边OB上，
①如图1，当点E与点O重合时，求点F的坐标；
②如图2，当点E在OB上，点F在DC上时，EF与DP交于点G，若，求点F的坐标．
若点P落在矩形OBCD的内部，且点E，F分别在边OD，DC上，求OP的最小值直接写出结果即可
【答案】【小题1】
解：①≌点F的坐标为 ②折痕为EF，点P为点D的对应点，，四边形OBCD是矩形，，，≌，四边形DEPF是平行四边形．， DEPF是菱形，设，，，解得，，点F的坐标为
【小题2】
当点F与点C重合，点P落在OC上时，OP取最小值，

9.如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A，B的坐标分别为，，D为对角线OB的中点，点E在x轴上运动，连结DE，把沿DE翻折，点O的对应点为点F，连结
当点F在第四象限时如图，求证：
当点F落在矩形的某条边上时，求EF的长．
是否存在点E，使得以D，E，F，B为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点E的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】【小题1】
证明：由已知易得，，，又，即有，，
【小题2】
解：①易知直线直线OF，当点F在边OC上时，轴，点E为，； ②当点F在边AO上时，，这与点E在x轴上矛盾，舍去．③当点F在边AB上时，点F在点B处，如图1，设，则在中，有，解得，④当点F在边BC上时，点F与点C或点B重合，易知此时EF为2或综上，或
【小题3】
解：由题意，易知若存在这样的平行四边形，则有① DFEB，② DEFB，③ ①若为 DFEB，则由，知 DFEB为菱形，，又，，即O，F，B共线，点F在直线OB上，这与题设矛盾，舍去．②若为 DEFB，如图2，则，，点E为③若为 DFBE，如图3，则，点E在x轴上，，点C为，当E在C点左边时，如图3，则E为；当E在C点右边时，如图4，则E为点E为或综上，当点E为或或或时，存在以D，E，F，B为顶点的平行四边形．

10.将平行四边形纸片ABCD按图1所示的方式折叠，使顶点A，B同时落在线段HF上的点M处，顶点C，D同时落在线段HF上的点N处，其中AD长为6，AE长为
求证：四边形EFGH为矩形．
探究：线段HF的长度会随着AE长度的变化而变化吗？如果会，请用含x的代数式表示HF的长度；如果不会，请直接写出HF的长度．
若，连结AF，当时如图，求的值．
【答案】【小题1】
证明：如图1，由折叠可得，，，，同理可得，四边形EFGH为矩形．
【小题2】
不会，
【小题3】
解：连结CH，如图由题意：，，，，，同理：，，，，设，则，，，，， ，

11.如图，长方形纸片ABCD中，，，按下列步骤进行裁剪和拼图：
第一步：如图1，在线段AD上任意取一点E，沿EB，EC剪下一个三角形纸片余下部分不再使用；
第二步：如图2，沿三角形纸片EBC的中位线GH将纸片剪成两部分，并在线段GH上任意取一点M，线段BC上任意取一点N，沿MN将梯形纸片GBCH剪成两部分；
第三步：如图3，将MN左侧纸片绕G点按顺时针方向旋转，使线段GB与GE重合，将MN右侧纸片绕H点按逆时针方向旋转，使线段HC与HE重合，拼成一个与三角形纸片EBC面积相等的四边形纸片．
求拼成的这个四边形纸片的周长的最小值和最大值．
【答案】解：如图1为第三步剪拼之后的四边形的示意图．，三角形中位线定理，四边形是平行四边形，其周长为为定值，四边形的周长取决于MN的大小．
如图2是剪拼之前的完整示意图，过点G，H作BC边的平行线，分别交AB，CD于点P，Q，则四边形PBCQ是一个矩形，这个矩形是矩形ABCD的一半，根据垂线段最短，得到MN的最小值为4；MN的最大值等于矩形对角线的长度，即四边形的周长为，四边形周长的最小值为20，最大值为

二、 特殊四边形之最值问题
一、选择题
1.如图，在矩形ABCD中，，，动点P满足，则点P到A，B两点距离之和的最小值为
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】设中AB边上的高是，动点P在与AB平行且与AB的距离是2的直线l上．如图，作A关于直线l的对称点E，连结AE，BE，则BE的长就是所求的最短距离．
2.如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，P为AB边上一动点不与点A，B重合，于点E，于点若，，则EF的最小值为
A. 3 B. 2 C. D.
【答案】C
3.如图，在边长是5的菱形ABCD中，于点E，，点F是AC上一动点，则的最小值是
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【答案】C
二、填空题
4.如图，在正方形ABCD中，，对角线AC上有一动点E，以DE为边作正方形DEFG，点H是CD上一点，连结GH，则GH的最小值是 .
【答案】
【解析】连结CG，证得≌，，当时，GH取得最小值．，
5.如图，在菱形ABCD中，，对角线AC，BD相交于点O，点M在线段AC上，且，点P为线段BD上的一个动点，则的最小值是 .
【答案】
【解析】解：如图，过点P作于E，
四边形ABCD是菱形，，
，，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
当点M，点P，点E共线且时，有最小值为ME，如图，
，
，
，
，
的最小值为
故答案为：
6.如图，正方形ABCD的边长为4，点E在边BC上，且，F为对角线BD上一动点，连接CF，EF，则的最小值为 .
【答案】
【解析】连接AE交BD于点F，
四边形ABCD是正方形，点A与点C关于BD对称．
，此时最小．
正方形ABCD的边长为4，，
点E在BC上且，
故的最小值为
三、解答题
7.如图，在菱形ABCD中，点O是对角线的交点，，，在BC上取一点F，使得，取OA的中点E，G为BD上的一个动点，连结GE，GF，求的最大值．
【答案】解：在菱形ABCD中，，，，，作点E关于BD的对称点，连结，在中，，则当点G，F，三点共线时，取最大值，如图，取BC的中点H，连结，E为OA的中点，是HC的中点， 是OC的中点，，，取最大值为

8.如图，在长方形纸片ABCD中，，，折叠纸片ABCD，使顶点C落在边AD的点G处，折痕分别交边AD，BC于点E，
求证：是等腰三角形
求面积的最大值．
【答案】【小题1】
证明：在长方形ABCD中，，，根据折叠的性质有，，，是等腰三角形．
【小题2】
解：在长方形ABCD中，，，的面积为，的面积的大小取决于GE的大小．根据折叠的性质有，，，即随着G点往A点移动，可知DE在逐渐增大，当点G与点A重合时，DE最大，此时GE也最大，的面积也最大．如图，由折叠的性质可知，，，在中，，，解得，，，即的面积最大值为

9.如图，边长为1的正方形ABCD中，E，F为对角线BD上的动点．
证明：
①求的最小值；②求的最小值．
【答案】【小题1】
解：证明：，，，≌，，同理可得
【小题2】
①当A，C，E在同一直线上是最短的．；
②如图，以AB为边作等边三角形ABM，M落在正方形ABCD外，连结CM交BD于点E，在CM上取点N，使，过M作与CB的延长线交于点，，，≌，，，，是等边三角形，，此时，的值最小，且，，，，即的最小值为

10.如图，已知在 ABCD中，，，AC平分，E为AB的中点，F是AC上一动点，求的最小值．
【答案】解：连结BD，如图，在 ABCD中，，平分，，，，四边形ABCD是菱形，与BD互相垂直平分，点B，D关于AC对称． 连结ED，则ED就是所求的取最小值时的线段，为AB的中点，，，
，的最小值为

11.在矩形ABCD中，，
将矩形纸片沿BD折叠，使点A落在点F处如图，设DF与BC相交于点G，求证：
将矩形沿直线EF折叠，使点B的对应点落在CD边上如图，点A的对应点为，连结交EF于点当时，求EF，OF的长．
点M在线段AB上，点N在线段BC上如图，若按MN折叠后，点B落在矩形ABCD的AD边上的点H处，求AH的最大值和最小值．
【答案】【小题1】
证明：四边形ABCD是矩形，，，由折叠得，，
【小题2】
如图1，连结BE，，，，，，，，，由折叠得点与点B关于直线EF对称，垂直平分，，易知，，，，，解得，，，，，解得易得，，，的长是，OF的长是
【小题3】
如图2，当点N与点C重合时，AH的值最小，点H与点B关于直线MC对称，垂直平分BH，，，；如图3，当点M与点A重合时，AH的值最大，，且，，，的最大值为6，最小值为
三、特殊四边形之动态问题
一、选择题
1.如图，在矩形ABCD中，，E为AB的中点，F为EC上的一个动点，P为DF的中点，连结当PB的最小值为时，AD的值为
A. 2 B. 3 C. 4 D. 6
【答案】B
2.如图，菱形ABCD的边，，P是AB上一点，，Q是CD上的一个动点．若将梯形APQD沿直线PQ折叠，点A的对应点是点，则当的长最小时，CQ的长为
A. 5 B. C. 7 D. 8
【答案】C
【解析】如图所示，由题意，可知为等边三角形．过C作，则连结DH，要使的长度最小，则梯形APQD沿直线PQ折叠后A的对应点应落在CH上，且对称轴PQ应满足因为，易知，所以
3.如图，在平行四边形ABCD中，，，E，F是对角线BD上的动点，且，M，N分别是边AD，BC上的动点．下列四种说法：
①存在无数个平行四边形MENF；②存在无数个矩形MENF；③存在无数个菱形MENF；④存在无数个正方形
其中正确的个数是
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】C
【解析】【分析】
本题考查正方形的判定、菱形的判定、矩形的判定、平行四边形的判定，解答本题的关键是明确题意，作出合适的辅助线．根据题意作出合适的辅助线，然后逐一分析即可．
【解答】
解：连接AC，MN，BD，它们交于点O，
四边形ABCD是平行四边形，
，，
，
，
只要，那么四边形MENF就是平行四边形，
点E，F是BD上的动点，
存在无数个平行四边形MENF，故①正确；
只要，，则四边形MENF是矩形，
点E，F是BD上的动点，
存在无数个矩形MENF，故②正确；
只要，，则四边形MENF是菱形，
点E，F是BD上的动点，
存在无数个菱形MENF，故③正确；
只要，，，则四边形MENF是正方形，
而符合要求的正方形只有一个，故④错误；
故选：
4.如图1，点P为矩形ABCD边上的一个动点，点P从A出发沿着矩形的四条边运动，最后回到设点P运动的路程长为x，的面积为y，图2是y随x变化的函数图象，则矩形ABCD的对角线BD的长是
A. B. C. 8 D. 10
【答案】B
二、填空题
5.如图，在矩形ABCD中，，，正方形的顶点M，N分别在矩形的边AB，BC上，E为DC上一个动点．当点D与点关于AE对称时，DE的长为 .
【答案】或
【解析】连结，，延长交DC于点设，在中，，解得或在中，设，①当时，，解得②当时，，解得或
6.如图，在矩形ABCD中，，，M是对角线BD所在直线上的一个动点，点N是平面内一点．若四边形MCND为平行四边形，且，则BM的值为 .
【答案】1或6
三、解答题（本大题共4小题，共32.0分）
7.如图，点O是正方形ABCD的对称中心，E，F分别在线段AB，CD上，且EF经过点O，，，动点G，H分别在线段AD，BC上．若EF与GH的交点P在点O，F之间不与点O，F重合，且设，求x的取值范围．
【答案】解：①假设点P与点O重合，如图1所示．过点A作交CD于点N，则，过点O作交AD于点，交BC于点，则，过点A作交BC于点M，则，，延长CD至点Q，使，连结，，，≌，，，，，，≌，设，则，，，解得，，，；②当点H与点C重合时，如图2所示．由①知，，的取值范围为

8.如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A，C分别落在x轴和y轴上，点B的坐标为，点D，E分别在边BC和AB上，，，P是线段DE上一动点，于点F，连结OP，
求直线DE的函数表达式．
当OP平分时，延长OP交AB于点求证：四边形PFEG是平行四边形．
若是等腰三角形，求点P的横坐标．
【答案】【小题1】
解：四边形OABC是矩形，点，，点易证≌，，，点可得直线DE的函数表达式为
【小题2】
证明：延长DE交x轴于点M，点，，易证≌，，，，，，解得点可得直线PO的函数表达式为点，，，，，，即四边形PFEG是平行四边形．
【小题3】
解：过点E作于点N，则，四边形AFNE是矩形，点P在线段DE上，设点，，，，，，，是等腰三角形，分三种情况讨论：①当时，解得，不合题意，舍去；②当时，解得，不合题意，舍去；③当时，解得，此时点P与点E重合，不合题意，舍去 综上所述，若是等腰三角形，则点P的横坐标为5或女或

9.如图，在正方形ABCD中，，点P为正方形ABCD的对角线AC上一动点，过点P作交边DC于点
如图1，当点E在边CD上时，求证：
如图2，在的条件下，连结BE交AC于点若，求PF的长．
如图3，若点Q是射线CD上的一个动点，且始终满足，设，请直接写出的最小值．
【答案】【小题1】
证明：方法一：如图1，连结PD，四边形ABCD是正方形，，易证≌，，，，，，，，方法二：过点P作AD的平行线，构造一线三等角的方法证明全等也可以．
【小题2】
解：如图2中，过点P作于点L，过点F作于点Q，于点，，
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