资源简介

浙江省温州市2024年九年级学业水平考试三模冲刺数学试题
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不给分）
1．如图，是由四个大小相同的小正方体拼成的几何体，则这个几何体的左视图是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】小正方体组合体的三视图
【解析】【解答】解：从左边看第一层是两个小正方形，第二层左边一个小正方形，
故答案为：B．
【分析】根据从左边看到的几何图形解题即可．
2．2022年温州市居民人均可支配收入约为63000元，其中数据63000用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：，
故答案为：D.
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数.
3．把不等式组：的解集表示在数轴上，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：由，
解不等式组得：，
∴不等式组的解集为，
∴在数轴上表示得：
故答案为：A．
【分析】先求出不等式组的解集，表示在数轴上判断即可．
4．某校共有名学生，为了解假期阅读情况，随机调查了名学生，并绘制成如图所示的统计图．图中表示阅读量的数据中，众数是（　　）
A．1本 B．2本 C．3本 D．4本
【答案】A
【知识点】条形统计图；众数
【解析】【解答】解：根据条形统计图可知，1本的有人，2本的有14人，3本的有20人，4本的有16人，5本的有6人，
∴出现次数最多的是1本，
∴众数是1本，
故答案为：A ．
【分析】根据众数的定义“一组数据中出现次数最多的即为众数”解答即可．
5．如图，图形甲与图形乙是位似图形，是位似中心，位似比为，点，的对应点分别为点，．若，则的长为（　　）
A．8 B．9 C．10 D．15
【答案】B
【知识点】位似图形的性质
【解析】【解答】解：∵图形甲与图形乙是位似图形，是位似中心，位似比为，∴，
∵，
∴，
∴
故答案为：B．
【分析】利用相似图形的性质可得，再将代入求出即可.
6．如图，在离铁塔150米的A处，用测倾仪测得塔顶的仰角为，测倾仪高AD为1.5米，则铁塔的高BC为（　　）
A．(1.5＋150tan)米 B．(1.5＋)米
C．(1.5＋150sin)米 D．(1.5＋)米
【答案】A
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：如图，过点A作AE⊥BC于E，
可知AE=DC=150，EC=AD=1.5，
∵塔顶的仰角为，
∴，
∴，
∴，
故答案为：A．
【分析】过点A作AE⊥BC于E，根据正切求出BE长，即可得到BC解题．
7．2024年元旦期间，小华和家人到汾河公园景区游玩，湖边有大小两种游船，小华发现：2艘大船与3艘小船一次共可以满载游客人，1艘大船与1艘小船一次共可以满载游客人．则1艘大船可以满载游客的人数为（　　）
A．15 B．16 C．17 D．18
【答案】D
【知识点】二元一次方程组的实际应用-配套问题
【解析】【解答】解：设1艘大船可以满载游客人，1艘小船可以满载游客人，
依题意得：，
解得：，
即1艘大船可以满载游客的人数为人，
故答案为：．
【分析】设1艘大船可以满载游客人，1艘小船可以满载游客人，根据“2艘大船与3艘小船一次共可以满载游客人，1艘大船与1艘小船一次共可以满载游客人”列方程组解题即可.
8．如图，的边与相切于点，交于点，延长交于点，连接．若，，，则的长为（　　）
A．15 B． C． D．12
【答案】B
【知识点】勾股定理；垂径定理；A字型相似模型；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：连接，如图，
∵是的直径，
∴
∵
∴
在中，，
∵
∴即
∴
在中，；
∵即
∴
∴，
∴
∴，
故答案为：B.
【分析】连接，由勾股定理和垂径定理求出，然后根据平行线得到，然后根据相似三角形的对应边成比例解题即可.
9．如图，已知，以点O为圆心，适当长为半径作圆弧，与角的两边分别交于C，D两点，分别以点C，D为圆心，大于长为半径作圆弧，两条圆弧交于内一点P，连接，过点P作直线，交OB于点E，过点P作直线，交于点F．若，，则四边形的面积是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】含30°角的直角三角形；平行四边形的判定与性质；平行四边形的面积；尺规作图-作角的平分线；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：过P作于M，
由作图得：平分，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴四边形为平行四边形，，
∴，
∴，
设，
在中，，
即：，
解得：，
∴．
故选：B．
【分析】
根据作图可判断OP是的角平分线，从而求出和的度数，利用平行线的性质证明四边形PFOE是平行四边形，再结合角平分线的性质证明邻边相等，从而判定为菱形，然后利用菱形对角线互相垂直平分的性质，结合勾股定理求出对角线EF的长度，最后利用菱形面积公式求解即可.
10．如图，正方形ABCD和正方形CGFE的顶点C，D，E在同一条直线上，顶点B，C，G在同一条直线上．O是EG的中点，∠EGC的平分线GH过点D，交BE于点H，连接FH交EG于点M，连接OH．以下四个结论：①GH⊥BE；②△EHM∽△GHF；③﹣1；④＝2﹣，其中正确的结论是（　　）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【答案】A
【知识点】三角形全等及其性质；正方形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图，
∵四边形ABCD和四边形CGFE是正方形，
∴BC＝CD，CE＝CG，∠BCE＝∠DCG，
在△BCE和△DCG中，
∴△BCE≌△DCG（SAS），
∴∠BEC＝∠BGH，
∵∠BGH+∠CDG＝90°，∠CDG＝∠HDE，
∴∠BEC+∠HDE＝90°，
∴GH⊥BE．
故①正确；
∵△EHG是直角三角形，O为EG的中点，
∴OH＝OG＝OE，
∴点H在正方形CGFE的外接圆上，
∵EF＝FG，
∴∠FHG＝∠EHF＝∠EGF＝45°，∠HEG＝∠HFG，
∴△EHM∽△GHF，
故②正确；
∵△BGH≌△EGH，
∴BH＝EH，
又∵O是EG的中点，
∴HO∥BG，
∴△DHN∽△DGC，
设EC和OH相交于点N．
设HN＝a，则BC＝2a，设正方形ECGF的边长是2b，则NC＝b，CD＝2a，
即a2+2ab﹣b2＝0，
解得：a＝b＝（﹣1+）b，或a＝（﹣1﹣）b（舍去），
故③正确；
∵△BGH≌△EGH，
∴EG＝BG，
∵HO是△EBG的中位线，
∴HO＝BG，
∴HO＝EG，
设正方形ECGF的边长是2b，
∴EG＝2b，
∴HO＝b，
∵OH∥BG，CG∥EF，
∴OH∥EF，
∴△MHO△MFE，
∴，
∴EM＝OM，
∴，
∴
∵EO＝GO，
∴S△HOE＝S△HOG，
∴
故④错误，
故答案为：A．
【分析】先证明△BCE≌△DCG，得到∠BEC+∠HDE=90°，即可得到GH⊥BE判断①；然后证明△BGH≌△EGH，开得到HO∥BG且HO=BG；即可得到OH=OG=OE，即点H在正方形CGFE的外接圆上，根据圆周角可以得到∠FHG=∠EHF=∠EGF=45°，∠HEG=∠HFG，即可证明△EHM∽△GHF判断②；设HN=a，设正方形ECGF的边长是2b，根据HO∥BG可得△DHN∽△DGC，求得判断③；然后推理得到△MHO∽△MFE，即可得到，进而得到，表示面积比判断④解题即可.
二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分）
11．为了弘扬中华传统文化，营造书香校园文化氛围，某学校举行中华传统文化知识大赛活动，该学校从三名女生和两名男生中选出两名同学担任本次活动的主持人，则选出的恰为一男一女的概率是　 　.
【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：画树状图如下，
统计可得，共有20种机会均等的结果，其中一男一女占12种，则恰好抽中一男一女的概率是： ；
故答案为：.
【分析】画树状图得到所有等可能结果，找出符合要求的结果数，利用概率公式解题即可．
12．分解因式：3a2﹣12=　 　．
【答案】3（a+2）（a﹣2）
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：3a2﹣12=3（a+2）（a﹣2）．
【分析】先提取公因式3，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
13．如图，直线m∥n，现将一块含45°角的直角三角尺的顶点A放在直线n上，若∠1=20°，则∠2的度数为　 　．
【答案】
【知识点】两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：延长交直线n于点D，
∵是的一个外角，，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【分析】延长交直线n于点D，根据三角形的一个外角等于与之不相邻的两个内角的和得，然后利用两直线平行，内错角相等可得．
14．一段圆弧形公路弯道的半径为，圆心角为，则该弯道的长度为　 　（结果保留）．
【答案】
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：∵扇形的半径是，圆心角是，
∴该扇形的弧长是：．
故答案为：．
【分析】根据弧长公式计算即可．
15．已知二次函数，当时，的最大值为9，则的值为　 　．
【答案】
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】解：已知二次函数，
∴对称轴为：，
∴时与时的函数值相等，时与时的函数值相等，
∴当时的函数值大于时的函数值，
∴当时，，
∴，
解得，，
故答案为：．
【分析】先求出二次函数的对称轴，再根据二次函数的性质得出当，的最大值为9， 然后代入计算即可．
16．如图，已知在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴的负半轴上，点B在y轴的负半轴上，，以AB为边向上作正方形ABCD．若图像经过点C的反比例函数的解析式是，则图像经过点D的反比例函数的解析式是　 　．
【答案】
【知识点】正方形的性质；三角形全等的判定-AAS；解直角三角形—边角关系；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：过点C作CE⊥y轴于点E，过点D作DF⊥x轴于点F，如图：
∵，
设，，
∴点A为（，0），点B为（0，）；
∵四边形ABCD是正方形，
∴，，
∴，
∴，
同理可证：，
∵，
∴≌≌，
∴，，
∴，
∴点C的坐标为（，），点D的坐标为（，），
∵点C在函数的函数图象上，
∴，即；
∴，
∴经过点D的反比例函数解析式为；
故答案为：．
【分析】过点C作CE⊥y轴于点E，过点D作DF⊥x轴于点F，设，，根据正方形的性质，利用AAS得到≌≌，即可得到点C和点D的坐标，进而得到，求出k值即可．
三、解答题（本题有8小题，共72分，解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）
17．（1）计算：；
（2）解不等式组
【答案】解：（1）
；
（2），
解不等式得：，
解不等式得：，
∴不等式组的解集为：．
【知识点】整式的混合运算；解一元一次不等式组
【解析】【分析】（1）利用平方差公式，单项式乘多项式，合并同类项即可求解；
（2）分别解出每个不等式的解集，然后确定不等式组的解集．
18．如图，平行四边形的对角线相交于点，点在对角线上，且，连接，．
（1）求证：四边形是平行四边形．
（2）若的面积等于2，求的面积．
【答案】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
又，
四边形是平行四边形
（2）解：，，
，
四边形是平行四边形，
【知识点】平行四边形的性质；平行四边形的判定
【解析】【分析】（1）利用平行四边形的性质得到，，即可得到，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形；
（2）利用等底等高的三角形面积相等得到，然后利用平行四边形的性质解题即可．
19．如图1是一台手机支架，图2是其侧面示意图，，可分别绕点A，B转动，测量知，．当，转动到，时，求点C到的距离（参考数据：）
【答案】解：过点B作，垂足为M，过点C作，垂足为N，过点C作，垂足为D，
，
四边形是矩形，
，
在中，，，
，
，
，
，
，
在中，，
，
，
，
点C到的距离为
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】过点B作，过点C作，过点C作，即可得到是矩形，即可得到，在中，根据正弦的定义求出长，再得到度数，即可得到的度数，然后在中，利用正弦求出的长解题即可．
20．学完统计知识后，小明对同学们最近一周的睡眠情况进行随机抽样调查，得到他们每日平均睡眠时长（单位：小时）的一组数据，将所得数据分为四组（A：；B：；C：；D：），并绘制成如下两幅不完整的统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）小明一共抽样调查了___________名同学；在扇形统计图中，表示D组的扇形圆心角的度数为___________；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）小明所在学校共有I400名学生，估计该校最近一周大约有多少名学生睡眠时长不足8小时
（4）A组的四名学生是2名男生和2名女生，若从他们中任选2人了解最近一周睡眠时长不足8小时的原因，试求恰好选中1名男生和I名女生的概率．
【答案】（1）40，18°；
（2）C组人数为：40-4-22-2=12（名）
补全条形统计图如下：
（3）（名）
所以，该校最近一周大约有140名学生睡眠时长不足8小时；
（4）用A和B表示男生，用C和D表示女生，画树状图如下，
因为共有12种等可能的情况数，其中抽到1名男生和1名女生的有8种，
所以抽到1名男生和1名女生的概率是：．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）22÷55%=40（名）
所以，小明一共抽样调查了40名同学；
D组的扇形圆心角的度数为：
故答案为：40，18°；
【分析】（1）用B组的人数除以占比求出调查的人数，根据D组人数占比乘以360°得到圆心角解题；
（2）运用调查人数减去其他组人数求出C组人数，补全条形统计图解题；
（3）用1400乘以不足8小时学生的占比解题；
（4）分别用A，B，C，D表示四名同学，然后通过画树状图得到所有等可能的结数，找出符合条件的结果数，利用概率公式解题．
21．已知一次函数与反比例函数的图象相交于点和点．
（1）试确定一次函数与反比例函数的表达式；
（2）若点P在x轴上，且的面积为，求点P的坐标；
（3）结合图象直接写出不等式的解集．
【答案】（1）解：把代入得；∴反比例函数解析式为，
把代得，解得，
∴，
把，分别代入得，
解得，
∴一次函数解析式为；
（2）解：设一次函数与x轴交点为C，
中，令，则，
解得，
∴一次函数的图象与x轴的交点C的坐标为，
∵，
∴．
∴，
∴点P的坐标为；
（3）解：由图像可得，当反比例函数图象在一次函数下方时，∴的解为：或．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）求出一次函数与x轴的交点C的坐标，利用，得到长即可解题；
（3）借助图象，得到直线在双曲线上方时的自变量x的取值范围即可．
22．如图1，灌溉车沿着平行于绿化带底部边线的方向行驶，为绿化带浇水．喷水口离地竖直高度为（单位：）．如图2，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度，竖直高度为的长．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为，高出喷水口，灌溉车到的距离为（单位：）．
（1）若，；
①求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程；
②求下边缘抛物线与轴的正半轴交点的坐标；
③要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，求的取值范围；
（2）若．要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，请直接写出的最小值．
【答案】（1）（1）①如图，由题意得是上边缘抛物线的顶点，
设．
又∵抛物线经过点，
∴，
∴．
∴上边缘抛物线的函数解析式为．
当时，，
∴，（舍去）．
∴喷出水的最大射程为．
②∵对称轴为直线，
∴点的对称点的坐标为．
∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，
即点是由点向左平移得到，则点的坐标为．
③如图，先看上边缘抛物线，
∵，
∴点的纵坐标为0.5．
抛物线恰好经过点时，
．
解得，
∵，
∴．
当时，随着的增大而减小，
∴当时，要使，
则．
∵当时，随的增大而增大，且时，，
∴当时，要使，则．
∵，灌溉车喷出的水要浇灌到整个绿化带，
∴的最大值为．
再看下边缘抛物线，喷出的水能浇灌到绿化带底部的条件是，
∴的最小值为2．
综上所述，的取值范围是
（2）解：的最小值为．
由题意得是上边缘抛物线的顶点，
∴设上边缘抛物线解析式为．
∵上边缘抛物线过出水口（0，h）
∴
解得
∴上边缘抛物线解析式为
∵对称轴为直线，
∴点的对称点的坐标为．
∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，
∴下边缘抛物线解析式为．
当喷水口高度最低，且恰好能浇灌到整个绿化带时，点，恰好分别在两条抛物线上，
∵DE=3
∴设点，，，
∵D在下边缘抛物线上，
∴
∵EF=1
∴
∴，
解得，
代入，得．
所以的最小值为
【知识点】二次函数的实际应用-喷水问题；二次函数图象的平移变换
【解析】【分析】(1)①由顶点A(2，2)得， 设 再根据抛物线过点(0，1.5)，可得a的值，从而解决问题；
②由对称轴知点(0，1.5)的对称点为(4，1.5)， 则下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4cm得到的，可得点B的坐标；
③根据 求出点F的坐标，利用增减性可得d的最大值为最小值，从而得出答案；
(2)当喷水口高度最低，且恰好能浇灌到整个绿化带时，点D、F恰好分别在两条抛物线上，设点，，，代入解析式求出m，h值解题即可.
23．如图①，是的半径，点P是上一动点，过P作弦弦，垂足为E，连结，，，．
（1）求证：．
（2）当时，求证：．
（3）如图②，在（2）的条件下，连结．
①若的面积为12，，求的面积．
②当P是的中点时，求的值．
【答案】（1）解：延长交圆与F，连接．
∴，
∵与E，
∴，
又，
∴，
∴，
即．
（2）证明：连接，
∵是的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵与E，
∴
∵
∴，
又∵，
∴
∴．
（3）解：①∵，∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，则，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵
解得：，
∴．
②过点O作于H，
∴，
∵，
∴，
∵P是的中点，
∴E是的中点，
设，则，，，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故的值为．
【知识点】垂径定理；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；圆与三角形的综合
【解析】【分析】（1）延长交圆与F，连接，根据同弧所对的圆周角相等可得，根据两角对应相等即可得到，即可得到结论．
（2）连接，根据直径所对的圆周角是直角得到，，然后根据平行线可得，即可得到，进而得到，证明结论．
（3）①根据余弦的定义得到，即可求出，设，则，，由平行线分线段成比例得到PE和PD长，然后根据三角形的面积求出，解题即可．
②过点O作于H，则有，设，根据勾股定理可得，然后根据两角对应相等的两三角形相似得到，即可得到求出DE解题即可．
24．“转化”是解决数学问题的重要思想方法，通过构造图形全等或者相似建立数量关系是处理问题的重要手段．
（1）【问题情景】：如图（1），正方形中，点是线段上一点（不与点、重合），连接．将绕点顺时针旋转90°得到，连接，求的度数．
以下是两名同学通过不同的方法构造全等三角形来解决问题的思路，
①小聪：过点作的延长线的垂线；
②小明：在上截取，使得；
请你选择其中一名同学的解题思路，写出完整的解答过程．
（2）【类比探究】：如图（2）点是菱形边上一点（不与点、重合），，将绕点顺时针旋转得到，使得（），则的度数为______（用含的代数式表示）
（3）【学以致用】：如图（3），在（2）的条件下，连结，与相交于点，当时，若，求的值．
【答案】解：（1）任选一个思路求解即可，下面两种思路求解如下：
小聪解题思路：过点作交的延长线于点，如图1，
将绕点顺时针旋转得到，
，，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
；
小慧解题思路：在上截取，使得，连接，如图所示：
，，
，，
，
又，，
，
，
；
（2）；
（3）解：过点作交的延长线于点，设菱形的边长为3，
，
，，
，
，
，，
，
，由（2）知，，
，
，
，
，
，
上截取，使，连接，作于点，如图所示：
由（2）可知，，
，
，
，
，
，
，
，
，
．

【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的性质；正方形的性质；相似三角形的判定；解直角三角形；旋转的性质；四边形的综合；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：（2）在上截取，使得，连接，如图2，
四边形是菱形，，
，，
，
，
将绕点顺时针旋转得到，
，，
，
，
，
，
，，
，
，
，
故答案为：；
【分析】（1）小聪解题思路：由“”可证，可得，，可得，由等腰直角三角形的性质可求解；小慧解题思路：由“”可得，可得，即可求解；
（2）由“”可证，可得，由等腰三角形的性质即可求出答案.
（3）过点作交的延长线于点，设菱形的边长为3，由题中条件得到，由相似三角形的性质；上截取，使，连接，作于点，如图所示，通过证明，由相似三角形的性质，解直角三角形即可得到答案．
1 / 1浙江省温州市2024年九年级学业水平考试三模冲刺数学试题
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不给分）
1．如图，是由四个大小相同的小正方体拼成的几何体，则这个几何体的左视图是（　　）
A． B． C． D．
2．2022年温州市居民人均可支配收入约为63000元，其中数据63000用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
3．把不等式组：的解集表示在数轴上，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
4．某校共有名学生，为了解假期阅读情况，随机调查了名学生，并绘制成如图所示的统计图．图中表示阅读量的数据中，众数是（　　）
A．1本 B．2本 C．3本 D．4本
5．如图，图形甲与图形乙是位似图形，是位似中心，位似比为，点，的对应点分别为点，．若，则的长为（　　）
A．8 B．9 C．10 D．15
6．如图，在离铁塔150米的A处，用测倾仪测得塔顶的仰角为，测倾仪高AD为1.5米，则铁塔的高BC为（　　）
A．(1.5＋150tan)米 B．(1.5＋)米
C．(1.5＋150sin)米 D．(1.5＋)米
7．2024年元旦期间，小华和家人到汾河公园景区游玩，湖边有大小两种游船，小华发现：2艘大船与3艘小船一次共可以满载游客人，1艘大船与1艘小船一次共可以满载游客人．则1艘大船可以满载游客的人数为（　　）
A．15 B．16 C．17 D．18
8．如图，的边与相切于点，交于点，延长交于点，连接．若，，，则的长为（　　）
A．15 B． C． D．12
9．如图，已知，以点O为圆心，适当长为半径作圆弧，与角的两边分别交于C，D两点，分别以点C，D为圆心，大于长为半径作圆弧，两条圆弧交于内一点P，连接，过点P作直线，交OB于点E，过点P作直线，交于点F．若，，则四边形的面积是（　　）
A． B． C． D．
10．如图，正方形ABCD和正方形CGFE的顶点C，D，E在同一条直线上，顶点B，C，G在同一条直线上．O是EG的中点，∠EGC的平分线GH过点D，交BE于点H，连接FH交EG于点M，连接OH．以下四个结论：①GH⊥BE；②△EHM∽△GHF；③﹣1；④＝2﹣，其中正确的结论是（　　）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分）
11．为了弘扬中华传统文化，营造书香校园文化氛围，某学校举行中华传统文化知识大赛活动，该学校从三名女生和两名男生中选出两名同学担任本次活动的主持人，则选出的恰为一男一女的概率是　 　.
12．分解因式：3a2﹣12=　 　．
13．如图，直线m∥n，现将一块含45°角的直角三角尺的顶点A放在直线n上，若∠1=20°，则∠2的度数为　 　．
14．一段圆弧形公路弯道的半径为，圆心角为，则该弯道的长度为　 　（结果保留）．
15．已知二次函数，当时，的最大值为9，则的值为　 　．
16．如图，已知在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴的负半轴上，点B在y轴的负半轴上，，以AB为边向上作正方形ABCD．若图像经过点C的反比例函数的解析式是，则图像经过点D的反比例函数的解析式是　 　．
三、解答题（本题有8小题，共72分，解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）
17．（1）计算：；
（2）解不等式组
18．如图，平行四边形的对角线相交于点，点在对角线上，且，连接，．
（1）求证：四边形是平行四边形．
（2）若的面积等于2，求的面积．
19．如图1是一台手机支架，图2是其侧面示意图，，可分别绕点A，B转动，测量知，．当，转动到，时，求点C到的距离（参考数据：）
20．学完统计知识后，小明对同学们最近一周的睡眠情况进行随机抽样调查，得到他们每日平均睡眠时长（单位：小时）的一组数据，将所得数据分为四组（A：；B：；C：；D：），并绘制成如下两幅不完整的统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）小明一共抽样调查了___________名同学；在扇形统计图中，表示D组的扇形圆心角的度数为___________；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）小明所在学校共有I400名学生，估计该校最近一周大约有多少名学生睡眠时长不足8小时
（4）A组的四名学生是2名男生和2名女生，若从他们中任选2人了解最近一周睡眠时长不足8小时的原因，试求恰好选中1名男生和I名女生的概率．
21．已知一次函数与反比例函数的图象相交于点和点．
（1）试确定一次函数与反比例函数的表达式；
（2）若点P在x轴上，且的面积为，求点P的坐标；
（3）结合图象直接写出不等式的解集．
22．如图1，灌溉车沿着平行于绿化带底部边线的方向行驶，为绿化带浇水．喷水口离地竖直高度为（单位：）．如图2，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度，竖直高度为的长．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为，高出喷水口，灌溉车到的距离为（单位：）．
（1）若，；
①求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程；
②求下边缘抛物线与轴的正半轴交点的坐标；
③要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，求的取值范围；
（2）若．要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，请直接写出的最小值．
23．如图①，是的半径，点P是上一动点，过P作弦弦，垂足为E，连结，，，．
（1）求证：．
（2）当时，求证：．
（3）如图②，在（2）的条件下，连结．
①若的面积为12，，求的面积．
②当P是的中点时，求的值．
24．“转化”是解决数学问题的重要思想方法，通过构造图形全等或者相似建立数量关系是处理问题的重要手段．
（1）【问题情景】：如图（1），正方形中，点是线段上一点（不与点、重合），连接．将绕点顺时针旋转90°得到，连接，求的度数．
以下是两名同学通过不同的方法构造全等三角形来解决问题的思路，
①小聪：过点作的延长线的垂线；
②小明：在上截取，使得；
请你选择其中一名同学的解题思路，写出完整的解答过程．
（2）【类比探究】：如图（2）点是菱形边上一点（不与点、重合），，将绕点顺时针旋转得到，使得（），则的度数为______（用含的代数式表示）
（3）【学以致用】：如图（3），在（2）的条件下，连结，与相交于点，当时，若，求的值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】小正方体组合体的三视图
【解析】【解答】解：从左边看第一层是两个小正方形，第二层左边一个小正方形，
故答案为：B．
【分析】根据从左边看到的几何图形解题即可．
2．【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：，
故答案为：D.
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数.
3．【答案】A
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：由，
解不等式组得：，
∴不等式组的解集为，
∴在数轴上表示得：
故答案为：A．
【分析】先求出不等式组的解集，表示在数轴上判断即可．
4．【答案】A
【知识点】条形统计图；众数
【解析】【解答】解：根据条形统计图可知，1本的有人，2本的有14人，3本的有20人，4本的有16人，5本的有6人，
∴出现次数最多的是1本，
∴众数是1本，
故答案为：A ．
【分析】根据众数的定义“一组数据中出现次数最多的即为众数”解答即可．
5．【答案】B
【知识点】位似图形的性质
【解析】【解答】解：∵图形甲与图形乙是位似图形，是位似中心，位似比为，∴，
∵，
∴，
∴
故答案为：B．
【分析】利用相似图形的性质可得，再将代入求出即可.
6．【答案】A
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：如图，过点A作AE⊥BC于E，
可知AE=DC=150，EC=AD=1.5，
∵塔顶的仰角为，
∴，
∴，
∴，
故答案为：A．
【分析】过点A作AE⊥BC于E，根据正切求出BE长，即可得到BC解题．
7．【答案】D
【知识点】二元一次方程组的实际应用-配套问题
【解析】【解答】解：设1艘大船可以满载游客人，1艘小船可以满载游客人，
依题意得：，
解得：，
即1艘大船可以满载游客的人数为人，
故答案为：．
【分析】设1艘大船可以满载游客人，1艘小船可以满载游客人，根据“2艘大船与3艘小船一次共可以满载游客人，1艘大船与1艘小船一次共可以满载游客人”列方程组解题即可.
8．【答案】B
【知识点】勾股定理；垂径定理；A字型相似模型；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：连接，如图，
∵是的直径，
∴
∵
∴
在中，，
∵
∴即
∴
在中，；
∵即
∴
∴，
∴
∴，
故答案为：B.
【分析】连接，由勾股定理和垂径定理求出，然后根据平行线得到，然后根据相似三角形的对应边成比例解题即可.
9．【答案】B
【知识点】含30°角的直角三角形；平行四边形的判定与性质；平行四边形的面积；尺规作图-作角的平分线；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：过P作于M，
由作图得：平分，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴四边形为平行四边形，，
∴，
∴，
设，
在中，，
即：，
解得：，
∴．
故选：B．
【分析】
根据作图可判断OP是的角平分线，从而求出和的度数，利用平行线的性质证明四边形PFOE是平行四边形，再结合角平分线的性质证明邻边相等，从而判定为菱形，然后利用菱形对角线互相垂直平分的性质，结合勾股定理求出对角线EF的长度，最后利用菱形面积公式求解即可.
10．【答案】A
【知识点】三角形全等及其性质；正方形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图，
∵四边形ABCD和四边形CGFE是正方形，
∴BC＝CD，CE＝CG，∠BCE＝∠DCG，
在△BCE和△DCG中，
∴△BCE≌△DCG（SAS），
∴∠BEC＝∠BGH，
∵∠BGH+∠CDG＝90°，∠CDG＝∠HDE，
∴∠BEC+∠HDE＝90°，
∴GH⊥BE．
故①正确；
∵△EHG是直角三角形，O为EG的中点，
∴OH＝OG＝OE，
∴点H在正方形CGFE的外接圆上，
∵EF＝FG，
∴∠FHG＝∠EHF＝∠EGF＝45°，∠HEG＝∠HFG，
∴△EHM∽△GHF，
故②正确；
∵△BGH≌△EGH，
∴BH＝EH，
又∵O是EG的中点，
∴HO∥BG，
∴△DHN∽△DGC，
设EC和OH相交于点N．
设HN＝a，则BC＝2a，设正方形ECGF的边长是2b，则NC＝b，CD＝2a，
即a2+2ab﹣b2＝0，
解得：a＝b＝（﹣1+）b，或a＝（﹣1﹣）b（舍去），
故③正确；
∵△BGH≌△EGH，
∴EG＝BG，
∵HO是△EBG的中位线，
∴HO＝BG，
∴HO＝EG，
设正方形ECGF的边长是2b，
∴EG＝2b，
∴HO＝b，
∵OH∥BG，CG∥EF，
∴OH∥EF，
∴△MHO△MFE，
∴，
∴EM＝OM，
∴，
∴
∵EO＝GO，
∴S△HOE＝S△HOG，
∴
故④错误，
故答案为：A．
【分析】先证明△BCE≌△DCG，得到∠BEC+∠HDE=90°，即可得到GH⊥BE判断①；然后证明△BGH≌△EGH，开得到HO∥BG且HO=BG；即可得到OH=OG=OE，即点H在正方形CGFE的外接圆上，根据圆周角可以得到∠FHG=∠EHF=∠EGF=45°，∠HEG=∠HFG，即可证明△EHM∽△GHF判断②；设HN=a，设正方形ECGF的边长是2b，根据HO∥BG可得△DHN∽△DGC，求得判断③；然后推理得到△MHO∽△MFE，即可得到，进而得到，表示面积比判断④解题即可.
11．【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：画树状图如下，
统计可得，共有20种机会均等的结果，其中一男一女占12种，则恰好抽中一男一女的概率是： ；
故答案为：.
【分析】画树状图得到所有等可能结果，找出符合要求的结果数，利用概率公式解题即可．
12．【答案】3（a+2）（a﹣2）
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：3a2﹣12=3（a+2）（a﹣2）．
【分析】先提取公因式3，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
13．【答案】
【知识点】两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：延长交直线n于点D，
∵是的一个外角，，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【分析】延长交直线n于点D，根据三角形的一个外角等于与之不相邻的两个内角的和得，然后利用两直线平行，内错角相等可得．
14．【答案】
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：∵扇形的半径是，圆心角是，
∴该扇形的弧长是：．
故答案为：．
【分析】根据弧长公式计算即可．
15．【答案】
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】解：已知二次函数，
∴对称轴为：，
∴时与时的函数值相等，时与时的函数值相等，
∴当时的函数值大于时的函数值，
∴当时，，
∴，
解得，，
故答案为：．
【分析】先求出二次函数的对称轴，再根据二次函数的性质得出当，的最大值为9， 然后代入计算即可．
16．【答案】
【知识点】正方形的性质；三角形全等的判定-AAS；解直角三角形—边角关系；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：过点C作CE⊥y轴于点E，过点D作DF⊥x轴于点F，如图：
∵，
设，，
∴点A为（，0），点B为（0，）；
∵四边形ABCD是正方形，
∴，，
∴，
∴，
同理可证：，
∵，
∴≌≌，
∴，，
∴，
∴点C的坐标为（，），点D的坐标为（，），
∵点C在函数的函数图象上，
∴，即；
∴，
∴经过点D的反比例函数解析式为；
故答案为：．
【分析】过点C作CE⊥y轴于点E，过点D作DF⊥x轴于点F，设，，根据正方形的性质，利用AAS得到≌≌，即可得到点C和点D的坐标，进而得到，求出k值即可．
17．【答案】解：（1）
；
（2），
解不等式得：，
解不等式得：，
∴不等式组的解集为：．
【知识点】整式的混合运算；解一元一次不等式组
【解析】【分析】（1）利用平方差公式，单项式乘多项式，合并同类项即可求解；
（2）分别解出每个不等式的解集，然后确定不等式组的解集．
18．【答案】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
又，
四边形是平行四边形
（2）解：，，
，
四边形是平行四边形，
【知识点】平行四边形的性质；平行四边形的判定
【解析】【分析】（1）利用平行四边形的性质得到，，即可得到，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形；
（2）利用等底等高的三角形面积相等得到，然后利用平行四边形的性质解题即可．
19．【答案】解：过点B作，垂足为M，过点C作，垂足为N，过点C作，垂足为D，
，
四边形是矩形，
，
在中，，，
，
，
，
，
，
在中，，
，
，
，
点C到的距离为
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】过点B作，过点C作，过点C作，即可得到是矩形，即可得到，在中，根据正弦的定义求出长，再得到度数，即可得到的度数，然后在中，利用正弦求出的长解题即可．
20．【答案】（1）40，18°；
（2）C组人数为：40-4-22-2=12（名）
补全条形统计图如下：
（3）（名）
所以，该校最近一周大约有140名学生睡眠时长不足8小时；
（4）用A和B表示男生，用C和D表示女生，画树状图如下，
因为共有12种等可能的情况数，其中抽到1名男生和1名女生的有8种，
所以抽到1名男生和1名女生的概率是：．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）22÷55%=40（名）
所以，小明一共抽样调查了40名同学；
D组的扇形圆心角的度数为：
故答案为：40，18°；
【分析】（1）用B组的人数除以占比求出调查的人数，根据D组人数占比乘以360°得到圆心角解题；
（2）运用调查人数减去其他组人数求出C组人数，补全条形统计图解题；
（3）用1400乘以不足8小时学生的占比解题；
（4）分别用A，B，C，D表示四名同学，然后通过画树状图得到所有等可能的结数，找出符合条件的结果数，利用概率公式解题．
21．【答案】（1）解：把代入得；∴反比例函数解析式为，
把代得，解得，
∴，
把，分别代入得，
解得，
∴一次函数解析式为；
（2）解：设一次函数与x轴交点为C，
中，令，则，
解得，
∴一次函数的图象与x轴的交点C的坐标为，
∵，
∴．
∴，
∴点P的坐标为；
（3）解：由图像可得，当反比例函数图象在一次函数下方时，∴的解为：或．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）求出一次函数与x轴的交点C的坐标，利用，得到长即可解题；
（3）借助图象，得到直线在双曲线上方时的自变量x的取值范围即可．
22．【答案】（1）（1）①如图，由题意得是上边缘抛物线的顶点，
设．
又∵抛物线经过点，
∴，
∴．
∴上边缘抛物线的函数解析式为．
当时，，
∴，（舍去）．
∴喷出水的最大射程为．
②∵对称轴为直线，
∴点的对称点的坐标为．
∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，
即点是由点向左平移得到，则点的坐标为．
③如图，先看上边缘抛物线，
∵，
∴点的纵坐标为0.5．
抛物线恰好经过点时，
．
解得，
∵，
∴．
当时，随着的增大而减小，
∴当时，要使，
则．
∵当时，随的增大而增大，且时，，
∴当时，要使，则．
∵，灌溉车喷出的水要浇灌到整个绿化带，
∴的最大值为．
再看下边缘抛物线，喷出的水能浇灌到绿化带底部的条件是，
∴的最小值为2．
综上所述，的取值范围是
（2）解：的最小值为．
由题意得是上边缘抛物线的顶点，
∴设上边缘抛物线解析式为．
∵上边缘抛物线过出水口（0，h）
∴
解得
∴上边缘抛物线解析式为
∵对称轴为直线，
∴点的对称点的坐标为．
∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，
∴下边缘抛物线解析式为．
当喷水口高度最低，且恰好能浇灌到整个绿化带时，点，恰好分别在两条抛物线上，
∵DE=3
∴设点，，，
∵D在下边缘抛物线上，
∴
∵EF=1
∴
∴，
解得，
代入，得．
所以的最小值为
【知识点】二次函数的实际应用-喷水问题；二次函数图象的平移变换
【解析】【分析】(1)①由顶点A(2，2)得， 设 再根据抛物线过点(0，1.5)，可得a的值，从而解决问题；
②由对称轴知点(0，1.5)的对称点为(4，1.5)， 则下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4cm得到的，可得点B的坐标；
③根据 求出点F的坐标，利用增减性可得d的最大值为最小值，从而得出答案；
(2)当喷水口高度最低，且恰好能浇灌到整个绿化带时，点D、F恰好分别在两条抛物线上，设点，，，代入解析式求出m，h值解题即可.
23．【答案】（1）解：延长交圆与F，连接．
∴，
∵与E，
∴，
又，
∴，
∴，
即．
（2）证明：连接，
∵是的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵与E，
∴
∵
∴，
又∵，
∴
∴．
（3）解：①∵，∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，则，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵
解得：，
∴．
②过点O作于H，
∴，
∵，
∴，
∵P是的中点，
∴E是的中点，
设，则，，，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故的值为．
【知识点】垂径定理；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；圆与三角形的综合
【解析】【分析】（1）延长交圆与F，连接，根据同弧所对的圆周角相等可得，根据两角对应相等即可得到，即可得到结论．
（2）连接，根据直径所对的圆周角是直角得到，，然后根据平行线可得，即可得到，进而得到，证明结论．
（3）①根据余弦的定义得到，即可求出，设，则，，由平行线分线段成比例得到PE和PD长，然后根据三角形的面积求出，解题即可．
②过点O作于H，则有，设，根据勾股定理可得，然后根据两角对应相等的两三角形相似得到，即可得到求出DE解题即可．
24．【答案】解：（1）任选一个思路求解即可，下面两种思路求解如下：
小聪解题思路：过点作交的延长线于点，如图1，
将绕点顺时针旋转得到，
，，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
；
小慧解题思路：在上截取，使得，连接，如图所示：
，，
，，
，
又，，
，
，
；
（2）；
（3）解：过点作交的延长线于点，设菱形的边长为3，
，
，，
，
，
，，
，
，由（2）知，，
，
，
，
，
，
上截取，使，连接，作于点，如图所示：
由（2）可知，，
，
，
，
，
，
，
，
，
．

【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的性质；正方形的性质；相似三角形的判定；解直角三角形；旋转的性质；四边形的综合；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：（2）在上截取，使得，连接，如图2，
四边形是菱形，，
，，
，
，
将绕点顺时针旋转得到，
，，
，
，
，
，
，，
，
，
，
故答案为：；
【分析】（1）小聪解题思路：由“”可证，可得，，可得，由等腰直角三角形的性质可求解；小慧解题思路：由“”可得，可得，即可求解；
（2）由“”可证，可得，由等腰三角形的性质即可求出答案.
（3）过点作交的延长线于点，设菱形的边长为3，由题中条件得到，由相似三角形的性质；上截取，使，连接，作于点，如图所示，通过证明，由相似三角形的性质，解直角三角形即可得到答案．
1 / 1

展开更多......

收起↑